运用平移法解决几何问题

运用平移法解决几何问题在行测数学运算中，几何问题是经常出现的一种考试问题，而且在实际考试时，题目中给出的几何体往往不是以标准的形状出现，而是以比较复杂的组合图形出现，很难直接利用公式计算其面积或体积。

如果在保持图形的面积或体积不变的前提下，对图形进行适当的变换，就容易计算出其面积或者体积。

本文就将介绍一种“平移法”，来帮助大家解决一些几何问题。

所谓平移法，是说在看不出几何图形面积的计算方法时，通过把图形的某一部分向某一方向平行移动一定的距离，使图形重新组合成可以看出计算方法的图形，从而计算出图形的解题方法。

下面我们通过几道实际题目，让大家了解和领会平移法的奥秘。

例1：计算下图中阴影部分的周长(单位：厘米)本题阴影部分就是一个不规则的图形，尤其是左边正方形中的阴影，我们无法直接用公式计算出来，而如果把图形中右边的阴影部分向左平移5厘米，就可以把图形转换为下图的样子：这时候我们发现其实阴影部分就是一个小正方形，那么阴影部分的周长，也就是小正方形的周长，也就是5×4=20cm。

即使本题变一下，问的是阴影部分的面积，对我们来说也是很容易解决的。

通过例1，我想大家已经对平移法有了一个了解，也能感觉到这种方法的妙处，下面我们再看一个复杂一些的题目，又如何利用平移法解题的。

例2.求下图S形水泥弯路面的面积。

(单位：米)本题相对上题就复杂很多，对于弯路的形状，根本无法运用公式求出，即使运用割补法之类的也感觉无从下手。

那么下面，我们如果把图中的弯路面左边甲部分向右平移2米，使S形水泥路面的两边重合，图形就转化为了下图：这时，S形水泥路面的面积就转化为了图中阴影部分的面积，而这个面积显然就非常好求了，即30×2=60㎡。

通过上面的两道题，让大家体会了平移法在解决一些看似复杂的几何问题的巧妙之处，中公教育也希望这种方法，能给各位考生带来一些启示，也会在未来同大家分享更多更好的方法。

同时，给大家留两个练习题，大家尝试用平移法去试着解决问题。

平移齐次化法求面积平移齐次化法是一种通过平移和齐次化来求解几何问题的方法。

在求面积的问题中，平移齐次化法可以将复杂的几何图形转化为简单的几何图形，从而简化计算过程。

假设我们要求一个平面几何图形的面积，我们可以按照以下步骤使用平移齐次化法：1.首先，将图形进行平移，使得其中一个顶点移动到坐标原点。

这样做的目的是为了简化计算，因为平移不会改变图形的面积。

2.接下来，将图形进行齐次化。

具体来说，将图形上的每个点都乘以一个非零常数，使得图形的所有顶点都位于坐标轴上。

这样做可以进一步简化计算，因为齐次化也不会改变图形的面积。

3.最后，利用简单的几何知识计算图形的面积。

由于我们已经将图形平移和齐次化，所以现在可以使用简单的几何公式来计算面积。

下面是一个具体的例子：假设我们要求一个直角三角形ABC的面积，其中A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。

我们可以按照以下步骤使用平移齐次化法：1.将点A移动到坐标原点(0,0)，得到新的点D(-x1,-y1)。

2.将图形进行齐次化。

具体来说，将三角形ABC上的每个点都乘以一个非零常数k，得到新的点E(-kx1,-ky1)，F(-kx2,-ky2)，G(-kx3,-ky3)。

3.由于平移和齐次化不会改变图形的面积，所以三角形ABC的面积等于三角形DEF的面积。

而三角形DEF是一个直角三角形，其面积为(1/2)*DE*EF。

4.最后，利用勾股定理计算DE和EF的长度，从而得到三角形ABC的面积。

通过以上步骤，我们可以使用平移齐次化法求出直角三角形ABC的面积。

这种方法可以推广到其他类型的几何图形，如平行四边形、梯形等。

六年级数学技巧解决几何问题的平移变换在六年级的数学学习中，几何问题是一个常见的章节。

而在解决几何问题时，平移变换是一个重要而实用的数学技巧。

本文将介绍六年级数学技巧解决几何问题的平移变换的相关知识和方法。

一、平移变换的概念和性质平移变换是指在平面上将一个图形整体移动到另一个位置，移动的过程中，图形的形状和大小保持不变。

在平移变换中，移动的距离和方向是关键因素。

平移变换的性质：1. 平移变换后的图形与原图形是全等图形；2. 平移变换保持图形的各个点之间的距离和角度；3. 平移变换可以任意进行组合，多次进行平移变换后仍然是平移变换。

二、平移变换的基本步骤和方法平移变换的基本步骤如下：1. 确定平移的向量：平移的向量是指平移的距离和方向；2. 选取一个点：选取一个图形上的点作为参照点；3. 根据平移向量将参照点移动到新的位置：根据平移向量的距离和方向将参照点进行移动。

在解决几何问题时，可以通过以下方法应用平移变换：1. 利用平移变换求解对称图形的性质：对称图形是平移变换的特殊情况，可以通过平移变换来证明对称图形的性质；2. 利用平移变换解决问题：通过将图形进行平移变换，将原问题转化为一个更易解决的几何问题；3. 应用平移变换进行图形的构造：通过平移变换可以构造出满足一定条件的图形。

三、平移变换的实例分析为了更好地理解和应用平移变换，我们来看几个实例分析。

实例一：证明平行线的性质假设有两条平行线AB和CD，要证明它们平行，我们可以应用平移变换的方法。

选取线段AC上的一点E作为参照点，根据平行线的性质，将线段AC通过平移变换移到BD上，得到线段AE与BD重合。

然后利用全等三角形的性质，可证明线段AE与BD平行，从而证明了线段AB和CD平行。

实例二：求解图形的位置关系假设有一个平面上的三角形ABC，要求确定在平移变换后点C的新位置。

选取点A作为参照点，根据平移变换的向量AC，将点C进行平移变换到新位置C'。

齐次平移法巧解圆锥曲线问题归纳总结：1、概述：圆锥曲线是数学几何上最常见的曲线之一，也称为双曲线。

它是一种抛物线的特殊形式。

它具有复杂的几何形状，是一种数学复杂的曲线，更加困难利用传统方法求解。

因此，出现了平移法的求解方法，即“齐次平移法”，对于奇形怪状的圆锥曲线，可以很好地进行求解。

2、齐次平移法概述：齐次平移法是通过将圆锥曲线进行线性变换，将原曲线变换到X-Y坐标轴上来解决圆锥曲线问题的一种有效方法。

它由坐标轴上的点和曲线两个部分组成，可将双曲线抛物线和椭圆形等曲线线性变换成直线。

首先，将原曲线变换到指定区域内，然后逆变换回原曲线。

来达到求解的目的。

3、齐次平移法的步骤：（1）步骤一：选择一个基准点，在其旁边变换坐标轴；（2）步骤二：选择曲线的极点和焦点，并计算出坐标轴的偏角；（3）步骤三：计算坐标轴的长度，变换至相应的量程；（4）步骤四：将原曲线经过坐标轴变换后，再将点和曲线映射到坐标轴上；（5）步骤五：将曲线和直线表达式变换，从而求解出原曲线的参数；（6）步骤六：转换坐标轴，将曲线恢复至原状求解圆锥曲线问题。

4、齐次平移法优势：（1）比较高效：将曲线进行线性变换，使其变换成直线，平滑地进行求解，一般不需要大量的计算，耗费时间较少；（2）可以解决复杂曲线问题：齐次平移法可用于求解几乎任何好形怪状的双曲曲线，使其更容易理解和求解；（3）通用性强：齐次平移法可以很好地解决几乎所有的圆锥曲线问题，且可以不受边界条件的限制；（4）推广性：圆锥曲线问题的求解可以推广到多维空间。

综上所述，齐次平移法是圆锥曲线求解的有效方法，难度较低，工作量较少，适用性强，事半功倍，为解决复杂的圆锥曲线作出了重要贡献。

初中数学：用平移法解几何题若已知条件中出现相互平行且相等的线段自然想到利用平移知识解决问题，若条件中并没有出现这些问题，要想利用平移的知识求解，则可通过平移使有关线段或角相对集中，从而可降低求解的难度。

1、求图形的面积例1、如图1，在长方形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，根据图中标明的数据，其中空白部分的面积是多少？图1分析：利用平移的方法及面积公式，由图1可知，四个空白四边形经过平移可以组成一个长方形，其长为，宽为，所以面积为。

2、求线段的长度例2、如图2，某商场重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，已知主楼梯道的宽为3米，其侧面如图2所示，则买地毯至少需要多少元？图2分析：这题若要通过逐步计算，比较复杂，若运用平移的知识，则问题就变得容易多了，因此，同学们在学习平移知识时，一定要用心去体会。

先利用平移的知识分别将楼梯水平方向的线段沿竖直方向平移到BC上，竖直方向的线段沿水平方向平移到AC上，于是铺地毯的横向线段的长度之和就等于横向直角边的长度，纵向线段的长度之和就等于纵向直角长度，所以地毯的总长度至少5.6米＋2.8米＝8.4米，地毯的总面积为8.4米×3米＝25.2平方米，所以购买地毯至少需要25.2平方米×40元/平方米＝1008元。

3、说明角的关系例3、如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＜BC，则∠B与∠C的数量关系怎样？试说明你的理由。

图3分析：由于∠B与∠C的位置较分散，若从平移的角度来思考问题，使问题简洁获解。

将∠B与∠C变换到同一个三角形中来。

而AD∥BC，AD＜BC，故将线段AB沿着AD的方向平移AD长，即点B平移到点E，此时有DE＝AB，DE∥AB，所以∠DEC＝∠B于是，在△DEC中因为 DE＝DC所以∠DEC＝∠C故∠B＝∠C。

4、比较线段的大小例4、如图4，在△ABC中，E、F分别为AB、AC上的点，且BE＝CF，则FE＜BC吗？为什么？图4分析：由于已知条件中的线段BE、CF和结论中的线段FE、BC比较分散，故可考虑运用平移的知识将这四条线段相对集中，即将EF平移到BM，则此时BE平移到MF，这样只要说明BC＞BM即可，而由于CF＝BE＝MF，再考虑到MF与CF的对称关系，作∠MFC的平分线交BC于点D，易得 DM＝DC因为 BD＋DM＞BM所以BC＞EF即 FE＜BC。

数学中的平移和对称解决几何问题数学中的平移和对称是解决几何问题的重要工具。

平移和对称在几何学中起到了至关重要的作用，可以帮助我们研究和解决各种几何问题。

本文将介绍平移和对称的基本概念和性质，并探讨它们在解决几何问题中的应用。

一、平移的概念和性质平移是指将一个图形沿着直线方向移动一段固定的距离，使得移动后的图形与原图形形状相同，大小相等，但位置发生了改变。

平移可以保持图形的面积、周长、角度等性质不变。

在平面几何中，平移可以用向量来描述。

如果有一个向量u，它的起点是图形上的一个点A，终点是另一个点B，那么通过平移，可以将图形上的每个点P都移动到与之对应的点Q，使得向量AP等于向量BQ。

平移可以通过向量的加法来实现，即通过给图形上的每个点的坐标加上向量u的坐标来得到移动后的点的坐标。

平移具有以下性质：1. 两个平移可以进行复合，复合后的结果还是一个平移。

2. 平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。

3. 平移保持图形的面积、周长、角度等性质不变。

4. 平移是可逆的，即可以通过反向平移将图形还原。

二、对称的概念和性质对称是指图形相对于某一直线、某一点或某一平面呈镜像关系。

对称可以分为轴对称和中心对称两种类型。

轴对称是指图形相对于某一直线呈镜像关系。

对称轴是将图形分为两个对称的部分的直线，图形上的每个点与其对称点关于对称轴对称，即对称轴上任意一点A，图形上的点P与A关于对称轴的镜像点P'，则点P和点P'关于对称轴对称。

轴对称可以保持图形的大小、形状、面积、周长等性质不变。

中心对称是指图形相对于某一点呈镜像关系。

对称中心是将图形分为两个对称的部分的点，图形上的每个点与其对称点关于对称中心对称，即对称中心O，图形上的点P与O关于对称中心的镜像点P'，则点P和点P'关于对称中心对称。

中心对称同样可以保持图形的大小、形状、面积、周长等性质不变。

对称具有以下性质：1. 两个对称可以进行复合，复合后的结果还是一个对称。

有趣的几何变换问题解决关于几何变换的有趣问题几何变换是数学中的一个重要概念，它描述了图形在平面或空间中的位置、形态、方向等属性随时间或其他变量的变化过程。

在几何学中，有许多有趣的问题与几何变换相关。

本文将探讨一些有趣的几何变换问题，并解决这些问题。

1. 平移变换平移变换是最基本的几何变换之一，它描述了图形在平面或空间中沿着特定的向量移动的过程。

我们现在来考虑一个有趣的问题：如何用平移将一个正方形变成一个长方形？解决方案：设正方形的四个顶点分别为A、B、C、D，边长为a。

我们可以将正方形向右平移一个距离为a的向量，然后将右下角的顶点D沿着与原来的底边平行的方向平移一个距离为2a的向量。

这样，我们就完成了从正方形到长方形的变换。

通过这个简单的平移变换，我们将一个图形的形状完全改变了。

2. 旋转变换旋转变换是几何变换中常见的一种，它描述了图形围绕一个中心点旋转的过程。

现在我们来解决一个有趣的问题：如何用旋转将一个长方形变成一个菱形？解决方案：设长方形的四个顶点分别为A、B、C、D，其中AB为底边，CD为顶边。

我们可以选择将长方形绕中心点O逆时针旋转45°，然后将旋转后的长方形顶点B和D分别沿着原来的底边AB和顶边CD 平移一个距离为AB的向量。

这样，我们就完成了从长方形到菱形的变换。

通过旋转变换和平移变换的组合，我们成功改变了图形的形状。

3. 缩放变换缩放变换是一种改变图形尺寸的几何变换，它描述了图形在平面或空间中被放大或缩小的过程。

我们现在来解决一个有趣的问题：如何用缩放将一个三角形变成一个等腰三角形？解决方案：设三角形的三个顶点分别为A、B、C，其中AB为底边，AC为等腰边。

我们可以选择以顶点A为中心，将三角形沿着底边AB缩放为原来的2倍，然后再以顶点A为中心，将缩放后的三角形沿着等腰边AC缩放为原来的2倍。

这样，我们就完成了从三角形到等腰三角形的变换。

通过缩放变换，我们改变了图形尺寸，并且保持了图形的形状特征。

用平移、旋转、对称巧解几何问题谈静在证明和求值的诸多几何问题中，往往不能直接找到解题的突破口，那么我们就要另壁蹊径，就是要借助图形转换的方法来解题了。

以下介绍三种方法：一、平移：将图形沿着一个方向移动一段距离例1 如图1，在六边形ABCDEF中，AB//ED，AF//CD，BC//FE，AB=ED，AF=CD，BC=EF，又知对角线FD⊥BD，FD=24cm，BD=18cm，则六边形ABCDEF的面积为多少？此题显然不能直接运算，但只要将图形适当地分割并平移一下就可以了。

解：本题初看无法下手，但仔细观察，题中彼此平行且相等的线段有三组，于是产生将△DEF平移到△BAG，将△BCD平移到△GAF的位置。

则长方形BDFG的面积等于六边形的面积。

即S六ABCDEF=S正BDFG=18×24=432cm2二、旋转：将某图形绕着一个固定点转动到另一个位置，以此重新组合图形例2如图2，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a（a>0），求：（1）∠APB的度数；（2）正方形的边长。

解：将△APB绕点B顺时针转90°，得△CQB，显然△CQB≌△APB，连接PQ，∠PBQ=90°，PB=QB=2a ，所以∠PQB=∠QPB=45°， PQ=︒=∠⇒9022PQC a 于是∠APB=90°＋45°=135°．（2）⎭⎬⎫︒=∠︒=∠45135PBQ APB a AC AB aa a AC Q P A 225222410])221[(22+==⇒+⇒++=⇒⇒三点共线、、例3 如图3，P 是等边△ABC 内一点，PA=2，PB 32=，PC=4，求BC 的长。

此题乍一看似乎无从着手，但只要运用旋转的方法来解题，就十分容易了。

解：将△BPA 绕点B 旋转60°，则BA 与BC 重合，BP=BM ，PA=MC ，连接MP ，则△MBP 为正三角形，即32=MP ，PC=4，，︒=∠⇒=+⇒=902222CMP PC MC MP MC 因为PC MC 21=， 所以∠MPC=30°，又因为∠MPB=60°，所以∠CPB=90°，得BC 7222=+=PC PB ．可见，经过旋转后的图形给我们的解题带来了很大的好处，是一种捷径．因此，我们应多多利用旋转的方法来解决更多的问题．三、对称（也可理解为翻折）：某图形对于某条线对称的图形例4 作图设计，村庄A 、B 位于不平行的两条小河的两侧，若要在两条小河上各架设一座与河岸垂直的桥，并要使A 到B 的路程最近，问桥应架在何处？解：此题看来很复杂，但利用对称的原理来稍做改变，问题就可以迎刃而解了。