§6.2 电子的自旋算符和自旋函数

§6.2 电子的自旋算符和自旋函数重点：自旋算符和波函数的引入及意义（一）自旋算符与轨道角动量满足同样的对易关系：（6.2-1a）分量式为：（6.2-1b）及（6.2-2）由于在空间任意方向上的投影只能取两个数值，所以三个算符的本征都是，即（6.2-3）的本征值用磁量子数示的式子，可以把的仿照轨道角动量z方向分量算符本征值表为（6.2-4）其中为自旋磁量子数。

因为自旋角动量平方算符：所以的本征值是（6.2-5）仿照的本征值用角量子数表示的式子，的本征值也可写成（6.2-6）比较（6.2-5）与（6.2-6）式，可得，我们称s为自旋量子数，它只能取一个数值，即。

（二）自旋波函数电子具有自旋，所以描写电子状态的波函数除包括描写其质心坐标x、y、z的自变量外，还需引入描写自旋变量S z，所以电子的波函数庆写为（6.2-7）由于S z只能取两个数值，所以上式实际上相当于两个波函数（6.2-8）根据波函数的统计解释，和表示t时刻的x、y、z点附近单位体积内找到电子自旋分别和的几率。

因此考虑到电子自旋以后，电子波函数的归一化条件为（6.2-9）和对x、y、z的依赖关系当电子的自旋和轨道运动相互作用小到可以略去时，这时是相同时，我们可以把（6.2-10）是描写自旋状态自旋函数，称为自旋波函数。

它的自旋变量S z只是取和式中（6.2-12）和任何力学量的算符一样，它的本征函数应是正交归一的，即（6.2-13）的态中，找到自旋的电子的几率为1，找到自显然，对于本征值为的电子的几率为零，因此，的函数数值可取为旋为（6.2-14）相似地有（6.2-15）首先把电子的波函数（6.2-8）式用下列二行一列矩阵表示（6.2-16）则（6.2-17）分别表示电子处于及的自旋态，而（6.2-18）是的共轭矩阵，于是波函数的归一化条件为（6.2-19）由（6.2-14）、（6.2-15）式，可将自旋波函数用下列二行一列矩阵来表示（6.2-20）其共厄矩阵为（6.2-21）正交归一关系为（6.2-22）当波函数用上述二行一列矩阵表示，则自旋算符应是二行二列矩阵，以便算符作用在波函数上仍得出二行一列的矩阵。

自旋角动量算符是描述电子内禀属性自旋角动量的算符。

自旋角动量是电子的内禀属性，无经典对应，不能象轨道角动量一样写成r 和p的函数，而是描述电子状态的又一个新的力学量。

自旋角动量算符与轨道角动量算符的对易关系一致，因此可以利用角动量的定义和性质来研究自旋角动量。

自旋角动量的分量算符s^x、s^y、s^z具有和轨道角动量算符分量一样的对易关系，即有[s^i,s^j]=iϵij ks^k。

类似地，我们也可以定义自旋算符s^+=s^x+is^y和s−=s^x−is^y，它们满足的对易关系为[s^+,s−]=2s^z。

同时，自旋算符的本征值σ称为自旋变量，它是算符s^z的本征值的可能取值的集合。

当给定自旋角动量的模量平方s2时，s2=s(s+1)。

由于算符s^z的本征值之差必为一个整数，且当σs可取的最大值为s时，相应地有s^z的本征值可取的最小值为−s。

因此必有2s=n为一个非负整数，故有s的可取值为n/2，即s既可以是一个整数，也可以是一个半整数。

当给定s时，σ的取值可以是s, s−1,..., −s，共有2s+1种可能，这表明自旋为s的粒子的波函数共有2s+1个分量。