自旋电子学(翟宏如等编著)思维导图

量子表达
第三章：原子的精细结构：电子的自旋
为方磁向矩 上方看向是的线单偏此位振矢光外量。，三个量子数（n ，l ，ml ）表示一个
状态，正好与经典物理中用（x 第三章：原子的精细结构：电子的自旋
第三章：原子的精细结构：电子的自旋
，y
，z）描
述一个质点的状态相对应。 上一章原子态表示为nL；
由上面的分析我们看到：新能级裂距的大小△E 与 及 成反比。
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第三章：原子的精细结构：电子的自旋
第二节：史特恩—盖拉赫实验
在磁场区域 x 方向： d v t1
（1）
Y
方向： z1
1 2
Fz m
t12（2）
t时1 刻，原子沿z方向的速度为
实验装置 理论推导
vz
at1
Fz m
d v
back
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第三章：原子的精细结构：电子的自旋
在 Z 方向的投影表达式为
lz rLz 2em hml （3）
通常令 B
eh 2m
，称之为玻尔磁子。
前言
经典表达 式
量子表达 式
角动量取 向量子化
back
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第三章：原子的精细结构：电子的自旋
第二节：史特恩—盖拉赫实验
实验装置 理论推导
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第三章：原子的精细结构：电子的自旋
Automic Physics 原子物理学
第三章：原子的精细结构： 电子的自旋
第一节 原子中电子轨道运动磁矩
第二节 史特恩—盖拉赫实验 第三节 电子自旋的假设
第四节 碱金属双线
第五节 塞曼效应
结束

35
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
2p
2pz
C
1s
y
1s22s22p2
36
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
2p
2pz
N
1s
y
1s22s22p3
37
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
2p
2pz
O
1s
y
1s22s22p4
38
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
2p
2pz
F
1s
y
1s22s22p5
39
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pzEຫໍສະໝຸດ 2s2px2p
2pz
Ne
1s
y
1s22s22p6
40
Energy Levels
3s 3px 3p
y
3pz
E
2s
2px
由于粒子为全同粒子，粒子位置互换对整个空间的粒子分 布几率密度无影响：
( xx t ) ( x xt)
2
2
19
故波函数必满足以下条件之一：
(1) (2)
( xxt ) ( x xt) ( xxt ) ( xxt)
满足条件（1）的微观粒子称玻色子，其波函数为粒子 的对称函数。 如光子、基态氢原子、粒子等。其自旋 角动量为0或的整数倍。

1. 原子的磁矩
μ半经i 典S计算给e出Sn 0 T
e 2 r / v
r
2
n
0
e 2me
me
v
rn
0
e 2me
L
原子中电子轨道运动产生磁矩示ห้องสมุดไป่ตู้图
即 μ L 其中 e
2me
量子力学的计算给出相同的结果
电磁学中磁矩概念的复习
M ISn
矩形线圈在均匀磁场中 所受的力矩
F Idl B
第四章 原子的精细结构： 电子自旋
张劭光
物理学与信息技术学院
一、引言
通过对原子的磁偶极矩的测定来间接测量原子的轨道角动量。考虑这些实验结果 时，我们将发现一个重要的实验事实，即电子不仅具有轨道角动量及与之相对应的磁 偶极矩，还具有一种内禀磁矩，与该磁矩相对应，电子具有一种称为自旋的内禀角动 量。而且磁矩（因而角动量）的空间取向都是量子化的。
类似地 pˆ y p (r )=py p (r ), pˆ z p (r )=pz p (r )
量子力学中如何描述角动量 尝试定义角动量算符(momentum operator): Lˆ = rˆ pˆ 可导出其对易关系（the commutation relations）为:
[Lˆx , Lˆy ] i Lˆz，[Lˆy , Lˆz ] i Lˆx， [Lˆz , Lˆx ] i Lˆy. Then the following relations can be verified: [Lˆ, Lˆ2 ] 0, 即 [Lˆx , Lˆ2 ] 0, [Lˆy , Lˆ2 ] 0, [Lˆz , Lˆ2 ] 0. 选取Lˆ2 , 和 Lˆz 为力学量完备集，求解Lˆ2 , 和 Lˆz的本征值方程， 可得其共同本征态为Ylm

0
即角动量矢量在

空间有三个取向
v 轨道角动量的大小 L及其z分量Lz的取值是量子化的， 而 Lz取值的量子化意味着角动量在空间取向是量子化 的，因为对于每一个l值有2l+1个ml值,即 L在z 轴上应 有2l+1个分量，因而 L有2l+1个取向。
12
PPT课件
与l =1情况相同，我们有l =2时有5个取向， l =3时有 7个取向
Z
L 6 2
L 2(2 1) 6,(l 2) ml 00,1,2,(l 2) Lz 0,,2
2
l2
即，角动量量子数为l 时，其在空间有2l+1个取向，
它对应有2l+1个投影值ml
13
PPT课件
§4.2 史特恩－盖拉赫实验
通过第一节的学习，我们知道不仅原子中电子 轨道的大小、形状和电子运动的角动量、原子内 部的能量都是量子化的，而且在外部磁场中角动 量的空间取向也是量子化的。
所以在l z方向的投影 为l ,z：
l,z

Lz
mlLeabharlann e 2me ml B
ml 0,1,2, ,l
(18 - 5)
可以看出μB 是轨道磁矩的最小单元
10
PPT课件
另外，因为
原子的磁偶 极矩的量度
第一玻尔
半径
B

e 2me

1 2
e2 c
2 me e 2
e

1 2
0.5788104 ev T1
为玻尔磁子，是轨 道磁矩的最小单元。 是原子物理学中的 一个重要常数。
9
PPT课件
又因为量子力学中角动量 L 在z方向的投影大小为：

自旋角动量与电子的坐标和动量无关，它是电子内 秉状态的表征，是描写电子状态的第四个自由度 ˆ （第四个变量）。 记为：
S
自旋角动量 比较： 同是角动量，满足同样的角动量对易关系 轨道角动量 ˆ 自旋与坐标、动量无关，不适用 r p
轨道角动量 ˆ L ˆ ˆ ˆ L L iL ˆ ˆ ˆ [ Lx , L y ] iLz ˆ ˆ ˆ [ L y , Lz ] iLx ˆ ˆ ˆ [ Lz , Lx ] iL y

1 (r , 2) 2 2 d [| 1 | | 2 | ]d 1 2 (r , 2)

（2）几率密度
(r , t ) | 1 |2 | 2 |2 1 (r , t ) 2 (r , t )
（三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵
电子自旋算符（如SZ）是作用与电子自旋波函数上的，既 然电子波函数是两分量波函数，表示成了2×1 的列矩阵， 那末，电子自旋算符的矩阵表示应该是 2×2 矩阵。
（1） SZ的矩阵形式
sz Sz sz sz 2 | sz | 2 | 2 | 2 1 2 0 0 1
0 i Sy i 0 2
1 0 Sz 0 1 2
（四）含自旋波函数的归一化和几率密度
（1）归一化 电子波函数
1 (r , ) 2 2 (r , 2 )

d 1* 2*

| c |2 1
0 e i x i e 0
求σy 的矩阵形式

ˆ 则 S zΨ1 = Ψ1 2
ˆ S zΨ 2 = − Ψ 2 2
ˆ S z 的本征态只有 Ψ1 ,Ψ。 2
把两个分量排成一个二行一列的矩阵为：
⎛Ψ1 ( x, y, z, t ) ⎞ Ψ =⎜ ⎟ ⎜Ψ ( x, y, z, t )⎟ ⎠ ⎝ 2
规定列矩阵 第一行对应于Sz = /2， 第二行对应于Sz = - /2。
Ψ = Ψ ( x, y, z, S z , t )
⎧ ⎪Ψ 1 ( x , y , z , t ) = Ψ ( x , y , z , + 2 , t ) ⎪ ⎨ ⎪Ψ ( x , y , z , t ) = Ψ ( x , y , z , − , t ) ⎪ 2 2 ⎩
由于 SZ 只取 ± /2 两个值，所以上式可 写为两个分量：
0 ⎞ ⎛ ⎛ 0⎞ ⎟ =Ψ 2 ( x, y, z , t )⎜ ⎟ ⎜ =⎜ ⎜1⎟ Ψ 2 ( x, y , z , t ) ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝
⎛1⎞ χ 1 (S z ) = ⎜ ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ 2
ˆ Sz χ 1 =
2
2
χ1
2
Ψ −1/ 2
⎛0⎞ χ 1 (S z ) = ⎜ ⎟ ⎜1⎟ − ⎝ ⎠ 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ⎧σ x σ y + σ y σ x = 0 ⎪ ˆ ˆ ˆ ˆ ⎨σ y σ z + σ z σ y = 0 ⎪ˆ ˆ ˆ ˆ ⎩σ z σ x + σ x σ z = 0
从 反 对 易 关 系 式 出 发
证明（法一）：（以第一个式子为例）
ˆ ˆ ˆ ˆ σ xσ y + σ yσ x
说明：
1. 若已知电子处于 S z =
2

乌仑贝克（Uhlenbeck）和哥德斯密脱 （Goudsmit）为了解释这些现象，于1925年
左右提出了电子自旋的假设：
（1）每个电子都具有一个自旋角动量
Sz
s
，它
在空间任何方向上的投影只能取两个数值： （2）每个电子具有自旋磁矩 s 它与自旋角动
量
2
（若将空间任意方向取为z方向） 的关系是
ms 称为自旋磁量子数。由
且
2
S S S S
2 2
2 2 x
^2
(13)
2
3 故 S 的本征值是 S S S S 4
2 y 2 z
[ S , S z ] [ S , S y ] [ S , S x ] 0 (14)
2
若将任何角动量平方算符的本征值记为
J j ( j 1)
0 1 (Sz ) 2 1
(7)
与 构成电子自旋态空间的一组正交完备基，
任何一个自旋态式（4），均可用它们来展开， 表示为 a (8) ( S z ) a b
(9)
b 而计及空间坐标的波函数式（1），可以表示为
(r , Sz ) (r , 2) (r , 2)
^
^
^
^
^
(24)
z x x z i y
即
^
^
^
^
^
i
式(21)和(24)和 数性质。


概括了Pauli算符的全代
特例: 在量子力学中凡与自旋有关的力学量常 ˆ 算符表示。 ˆ 在任意方向n 的分量算符 ˆn 以
或表示为
[ i , j ] 2iijk k

Dilute ferromagnetic oxides; TC > RT
材料 GaN TiO2 掺杂元素 Mn 9% Co 7% Fe 2% SnO2 Fe 5% Co 5% 磁
Fe (001) MgO(001)2nm Fe (001) MgO(001)基片
3x12m2
室温：TMR=88%
超过Al2O3非晶势垒 (TMR~70%)
磁性隧道结的应用—磁记录头，MRAM
Motorola MTJ MRAM structure
位线
位线
BL
写线 写线
MTJ
字线
读出
字线
写入
CMOS
Fe Fe
↑↑ ↑↑ ↑↑
↑↓
↑↓
Al2O3
Fe/Al2O3/Fe电阻隧磁场变化
↓↓ ↓↑
Fe
↓↑
Al2O3 Fe
↓↓
J.Magn.Magn.Mater.139(1995)L231----151(1995)403
Fe/Al2O3/Fe磁滞回线
隧穿磁电阻的解释 (Fe/Al2O3/Fe)
↑↑ 电阻RP小 ↑↓ 电阻RAP大
FLASH
MRAM
MRAM与现行各存储器的比较（F为特征尺寸）
>256 GB
>500 MHz 2 F2/bit <2 ns <10 ns <10 ns 无穷 无穷 <1 V
无穷 0.6-0.5 V
<50 mV
5. 高自旋极化率材料：半金属材料和稀磁半导体

混合价钙钛矿CMR
稀 磁 半 导 体

稀 磁 半 导 体
电子
自 旋
电荷 电子 自旋

“反常”塞曼 (Zeeman)效应, 即磁 场中谱线的复杂分裂花样。 这给原 子物理学家造成了困惑和忧虑
电子自旋 的发现
塞曼 P.Zeeman 1865-1943 荷兰物理学家
“反常”塞曼 (Zeeman)效应
计及自旋轨道耦合 加弱磁场
m
4/3 2/3
E
3p
3/2 1/2 –1/2 –3/2 1/2 –1/2
实验事实一 史特恩和盖拉赫在非均匀磁场中一些
电子自旋 的发现
处于s态的原子射线束， 一束分为两 束的现象。它不能用轨道角动量的空 间量子化来加以解释(2l+1)。
考虑到斯特恩-盖拉赫实验1922年引起的广泛兴趣, 则在自 旋理论1925年被提出后应该很快会用自旋的概念重新加以 解释。实际情形是, 直到1927年弗莱塞 (Fraser)发现银、 氢和钠原子的轨道角动量为零斯特恩-盖拉赫实验才被归 因于自旋。现今的课本都说斯特恩-盖拉赫实验验证了电 子自旋, 但却未指出两位勇敢的科学家根本就不知道他们 发现的是自旋。

但是，经典物理学无法理解电子有内部结构。 电子的自旋运动是一种内部“固有的” 运动，其本质目前还不清楚。
盖拉赫
1912年于图宾根大学获得物理学 博士学位 盖拉赫于1920年在法兰克福的实 验物理研究所谋到了一个助手的 位置, 该所紧捱着玻恩的理论物 理所 1922年 斯特恩-盖拉赫实验
1925年 盖拉赫回到图宾根,接替他的导 师帕邢 (Paschen)的职位做实验物理教 授。四年后, 盖拉赫到慕尼黑接替维恩教 授的教席, 直到1957年退休
斯特恩一盖拉赫实验
N S
电子自旋 的发现
非均匀磁场
S2 S1 Ag
（基态银原子束）

§20
电子自旋的假设
一、电子自旋假设 (1925年，乌楞贝克和古德史密特) 电子除了轨道运动之外，还存在着一种内禀运动，称为 自旋。存在相应的自旋角动量S，它是电子的基本属性。
S s s 1 ,
注意：
s 1/ 2
S z ms
1 ms 2

自旋是一种量子效应，没有经典对应， 把自旋看成电子的经典转动是不恰当 的。 自旋是一个新的自由度，与空间运动无关。
z cos
原子分为两束，说明原子在磁场中的空间取 向是量子化的，有两个空间取向。 • 实验证实了原子在磁场中的空间量子化。
• 但实验具体结果（偶数个取向）是当时的量子化 理论所不能解释的。 要使 2l+1 为偶数，只有角动量为半整数，而轨道 角动量不能给出半整数。
除了该实验结果外，碱金属原子双线结构以及反常塞 曼效应也需要合理解释。
三、角动量取向量子化 磁矩及其z分量的量子化来源于角动量空间取向的量子 化
§19 史特恩-盖拉赫实验 1921年，史特恩和盖拉赫从实验中首次直接观察到了 原子在外磁场中的取向量子化。
在电炉O内使银蒸发。银原 子通过狭缝S1和S2后，形成 细束，经过一个不均匀磁 场区域，在垂直于磁场的 方向行进。最后撞在相片P 上，银原子经过的区域是 抽成真空的。 不均匀的磁场由不对称的 磁极产生。 当时在照片上看到两条黑斑，说明银原子经过不均匀磁场区域 时分成两束。
3、力和力矩
d F (m ) dt


i
d (m ) dL M r F r dt dt
一、经典表示式
e 电子轨道运动的闭合电流： i T “-”表示电流方向与电子运动方向相反 1 1 2 面积： dS r rd r dt 2 2