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全国高中数学联赛竞赛大纲及全部定理内容一、平面几何1、数学竞赛大纲所确定的所有内容; 补充要求：面积和面积方法;2、几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理;3、几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点;到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心;三角形内到三边距离之积最大的点--重心;4、几何不等式;5、简单的等周问题;了解下述定理：在周长一定的ｎ边形的集合中,正ｎ边形的面积最大; 在周长一定的简单闭曲线的集合中,圆的面积最大;在面积一定的ｎ边形的集合中,正ｎ边形的周长最小; 在面积一定的简单闭曲线的集合中,圆的周长最小;6、几何中的运动：反射、平移、旋转;7、复数方法、向量方法; 平面凸集、凸包及应用;二、代数1、在一试大纲的基础上另外要求的内容：周期函数与周期,带绝对值的函数的图像;三倍角公式,三角形的一些简单的恒等式,三角不等式;2、第二数学归纳法;递归,一阶、二阶递归,特征方程法; 函数迭代,求ｎ次迭代,简单的函数方程;3、ｎ个变元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及应用;4、复数的指数形式,欧拉公式,棣美弗定理,单位根,单位根的应用;5、圆排列,有重复的排列与组合,简单的组合恒等式;6、一元n次方程多项式根的个数,根与系数的关系,实系数方程虚根成对定理;7、简单的初等数论问题,除初中大纲中所包括的内容外,还应包括无穷递降法,同余,欧几里得除法,非负最小完全剩余类,高斯函数,费马小定理,欧拉函数,孙子定理,格点及其性质;三、立体几何1、多面角,多面角的性质;三面角、直三面角的基本性质;2、正多面体,欧拉定理;3、体积证法;4、截面,会作截面、表面展开图;四、平面解析几何1、直线的法线式,直线的极坐标方程,直线束及其应用;2、二元一次不等式表示的区域;3、三角形的面积公式;4、圆锥曲线的切线和法线;5、圆的幂和根轴;五、其它抽屉原理; 容斤原理; 极端原理; 集合的划分; 覆盖;数学竞赛中涉及的重要定理1、第二数学归纳法：有一个与自然数n有关的命题,如果：1当n＝1时,命题成立；2假设当n≤k时命题成立,由此可推得当n＝k+1时,命题也成立;那么,命题对于一切自然数n来说都成立;2、棣美弗定理：设复数z=rcosθ+isinθ,其n次方z^n = r^n cosnθ+isinnθ,其中n为正整数;3、无穷递降法：证明方程无解的一种方法;其步骤为：假设方程有解,并设X为最小的解;从X推出一个更小的解Y;从而与X的最小性相矛盾;所以,方程无解;4、同余：两个整数a,b,若它们除以整数m所得的余数相等,则称a,b对于模m同余,记作a ≡ b mod m ,读作a同余于b模m,或读作a与b关于模m同余; 比如26 ≡ 14 mod 12定义设ｍ是大于1的正整数,a,b是整数,如果m|a-b,则称a与b关于模m同余,记作a≡bmod m,读作a同余于b模m.;有如下事实：1若a≡0mod m,则m|a；2a≡bmod m等价于a与b分别用m去除,余数相同.5、欧几里得除法：即辗转相除法; 详见高中数学课标人教B版必修三6、完全剩余类：从模n的每个剩余类中各取一个数,得到一个由n个数组成的集合,叫做模n的一个完全剩余系;例如,一个数除以4的余数只能是0,1,2,3,{0,1,2,3}和{4,5,-2,11}是模4的完全剩余系;可以看出0和4,1和5,2和-2,3和11关于模4同余,这4组数分别属于4个剩余类;7、高斯函数：fx=ae-x-b^2/c^2 其中a、b与c为实数常数 ,且a > 0.8、费马小定理：假如p是质数,且a,p=1,那么 a^p-1 ≡１mod p 假如p是质数,且a,p互质,那么 a的p-1次方除以p的余数恒等;9、欧拉函数：φ函数的值：通式：φx=x1-1/p11-1/p21-1/p31-1/p4…..1-1/pn,其中p1, p2…pn为x的所有质因数,x是不为0的整数;φ1=1唯一和1互质的数就是1本身;若n是质数p的k次幂,φn=p^k-p^k-1=p-1p^k-1,因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质;欧拉函数是积性函数——若m,n互质,φmn=φmφn;特殊性质：当n为奇数时,φ2n=φn, 证明于上述类似;10、孙子定理：此定理的一般形式是设m = m1 ,… ,mk 为两两互素的正整数,m＝m1,…mk ,m＝miMi,i＝1,2,… ,k ;则同余式组x≡b1modm1,…,x≡bkmodmk的解为x≡M'1M1b1＋…＋M'kMkbk modm;式中M'iMi≡1 modmi,i＝1,2,…,k ;11、裴蜀定理：对任何整数a、b和它们的最大公约数d,关于未知数x和y的线性丢番图方程称为裴蜀等式：若a,b是整数,且a,b=d,那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数,特别地,一定存在整数x,y,使ax+by=d成立;它的一个重要推论是：a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1.11、梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F 且D 、E 、F 三点共线,则FB AF EA CE DC BD ••=1 12、梅涅劳斯定理的逆定理： 如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、E 、F,且满足FB AF EA CE DC BD ••=1,则D 、E 、F 三点共线; 13、塞瓦定理：设O 是△ABC 内任意一点,AO 、BO 、CO 分别交对边于N 、P 、M,则1=••PA CP NC BN MB AM14、塞瓦定理的逆定理：设M 、N 、P 分别在△ABC 的边AB 、BC 、CA 上,且满足1=••PA CP NC BN MB AM ,则AN 、BP 、CM 相交于一点;15、广勾股定理的两个推论：推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和;推论2：设△ABC 三边长分别为a 、b 、c,对应边上中线长分别为m a 、m b 、m c则：m a =2222221a c b -+；m b =2222221b c a -+；m c =2222221c b a -+16、三角形内、外角平分线定理：内角平分线定理：如图：如果∠1=∠2,则有AC AB DCBD = 外角平分线定理：如图,AD 是△ABC 中∠A 的外角平分线交BC 的延长线与D,则有AC AB DC BD = 17、托勒密定理：四边形ABCD 是圆内接四边形,则有AB ·CD+AD ·BC=AC ·BD18、三角形位似心定理：如图,若△ABC 与△DEF 位似,则通过对应点的三直线AD 、BE 、CF 共点于P19、正弦定理、在△ABC 中有R C c B b A a 2sin sin sin ===R 为△ABC 外接圆半径余弦定理：a 、b 、c 为△ABC 的边,则有：a 2=b 2+c 2-2bc ·cosA; b 2=a 2+c 2-2ac ·cosB; c 2=a 2+b 2-2ab ·cosC;20、西姆松定理：点P 是△ABC 外接圆周上任意一点,PD ⊥BC,PE ⊥AC,PF ⊥AB,D 、E 、F 为垂足,则D 、E 、F 三点共线,此直线称为西姆松线;21、欧拉定理：△ABC 的外接圆圆心为O,半径为R,内切圆圆心为I,半径为r,记OI=d,则有：d 2=R 2-2Rr.22、巴斯加线定理：圆内接六边形ABCDEF不论其六顶点排列次序如何,其三组对边AB与DE、BC与EF、CD与FA的交点P、Q、R共线;。
28高斯函数数论函数，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.定义一：对任意实数是不超过的最大整数，称为的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数由、的定义不难得到如下性质：（1）的定义域为R ，值域为Z ；的定义域为R ，值域为 （2）对任意实数，都有. （3）对任意实数，都有.（4）是不减函数，即若则，其图像如图I －4－5－1；是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2.图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2（5）.其中. （6）；特别地，（7），其中；一般有；特别地，.][x y =][,x x x ][x x ].[}{},{x x x x y -==][x }{x ][x y =}{x y =)1,0[x 1}{0},{][<≤+=x x x x 且x x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][][x y =21x x ≤][][21x x ≤}{x y =}{}{];[][x n x x n n x =++=+*∈∈N n R x ,∑∑==∈≥+≥++≥+ni iin i iR xx x y x y x x y x y x 11],[][};{}{}{{];[][][].[][ba nb na ≥][][][y x xy ⋅≥+∈R y x ,∑∏=+=∈≥ni iin i iR xx x 11],[][*∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][（8），其中. 例题讲解1．求证：其中k 为某一自然数.2．对任意的3．计算和式4．设M 为一正整数，问方程，在[1，M]中有多少个解？5．求方程]][[][nx n x =*∈+∈N n R x ,,2!211--=⇔k n n n ∑∞=+*+=∈01].22[,K k kn S N n 计算和.]503305[502的值∑==n nS 222}{][x x x =-.051][4042的实数解=+-x x6．7．对自然数n 及一切自然数x ，求证：.8．求出的个位数字.][3]3[2]2[1][][:,,nnx x x x nx N n R x ++++≥∈+∈*证明].[]1[]2[]1[][nx nn x n x n x x =-+++++++ ]31010[10020000+例题答案：1．证明：2为质数，n!中含2的方次数为若故反之，若n 不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2s p ，其中p >1为奇数，这时总可以找出整数t ，使由于n !.这与已知矛盾，故必要性得证. 2．解：因对一切k =0,1,…成立，因此， 又因为n 为固定数，当k 适当大时,3．解：显然有：若503是一个质数，因此，对n=1,2,…,502, 都不会是整数，但+可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是，[]+故4．解：显然x =M 是一个解,下面考察在[1，M]中有少个解.∑∞==1].2[)!(2t t n n ∑∑∞=-=--------=-=++++====1111221111122221]2[]2[)!(2,2t k t k k t k t k k n n n 则!.|21n n -+++=<<--+ ]2[]2[)!(22!,222211p p n n p s s t s t 的方次数为中所含于是≤++- 0]2[p t s ].2[]22[])12(2[])222[(21p n p p p p t s t s s t t s t s s s -------+=-=-=+++ 12,2)!(22!,2]2[,221----≤-=-<<n t s ts n n n p 则的方次数中含故则]212[]22[11+=+++k k n n ].2[]22[]212[111+++-⋅=+k k k nn n .)]2[]2([,0]2[,1201n nn S n n K k k k k ==-==<∑∞=+ 故从而.,,1][][][,1}{}{R y x y x y x y x ∈++=+=+则503305n 503305n ,305503)503(305=-n 503305n .304]503)503(305[=-n ∑∑===⨯=-+==25115021.76304251304]),503)503(305[]503305([]503305[n n n n n S设x 是方程的解.将代入原方程，化简得所以上式成立的充要条件是2[x ]{x }为一个整数.5．解：经检验知，这四个值都是原方程的解.6．这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下. 【证明】 由于222}{}{}{2][x x x x x +⋅+==}]{[2x x ,1}{0].}{}]{[2[2<≤+x x x x 由于.1)1(],1[,.)1())1(21(2),1[,11.2)1,[),12,,1,0(2}{,][个解中有原方程在因此个解中方程有可知在又由于个解中方程有即在则必有设+--⋅=-+++-≤≤+-==∈=M M M M M M M M m m m m m k mkx N m x .0][,1][][不是解又因<+<≤x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥<⎩⎨⎧≤-->--⎪⎩⎪⎨⎧≤+->+-+∴.217][,23][,211][;217][,23][,25][.07][2)(3][2(.0)11][2)(5][2(.051][4][4,051][40)1]([422x x x x x x x x x x x x x x 或.2269,02694;2229,02294;2189,01894;229,0294:,876][2][2222==-==-==-==-==x x x x x x x x x x 分别代入方程得或或或解得.,2,1,][2]2[][ =+++=k kkx x x A k 令.,1],[1命题成立时则==n x A7．解：M ＝|f(x)|max ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－)|} ⑴若|－|≥1 (对称轴不在定义域内部) 则M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|} 而f ⑴＝1＋a ＋b f(－1)＝1－a ＋b|f ⑴|＋|f(－1)|≥|f ⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4 则|f ⑴|和|f(－1)|中至少有一个不小于2∴ M≥2＞⑵|－|＜1 M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－)|} ＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－＋b|}＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－＋b|，|－＋b|}≥(|1＋a ＋b|＋|1－a ＋b|＋|－＋b|＋|－＋b|)≥[(1＋a ＋b)＋(1－a ＋b)－(－＋b)－(－＋b)]＝≥综上所述，原命题正确.8．先找出的整数部分与分数部分..,,,],[][][][][][][])[])1([(]))2[(]2([])1[(]([][]2[])2[(])1[(][])1[(]2[][][])1[(]2[][][])1[(]2[][)(:].[],2[22,],)1[()1()1(],[,][,][,].)1[(,],2[],[,1122112111221111121证毕均成立故原不等式对一切命题成立时即故相加得所以成立对一切即因为即有时命题成立设*---------∈=≤∴=+++≤++-++-++-+=+++-+-++-+++≤++++++-+++=+-+++=+++-==--=---=-=-=--≤≤≤-≤N n k n kx A kx k kx kx kx kx kx x x k x k x x k x x x x k x k kx x k x x A A A A kx x k x x kA kx x k x x A A A kA x A x A A x k A k A k kx kA kA k kx kA kA kkx A A x k A x A x A k n k k k k k k k k k k k k k k k 2a 2a212a2a 4a 24a 24a 2414a 24a 2414a 24a 2)2a 2(412+213101010020000+=其中分母的个位数字为3，分子的个位数字为9，故商的个位数字为3.3101010020000+31033103)10(100200100200200100+++-.3108110310910310310]31010[,131093103.310310,3)10(|310310|3)10(,)3(])10[(3)10(1005020000100100200001002002000100200001001001002001002002000022100100200200002210010021002100200200100+-=+-=+-=+<+=++--+---=-知显然是整数知又知。
四点共圆四点共圆的定义四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
证明四点共圆有下述一些基本方法：【方法1】从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距。
【方法2 】如果各点都在某两点所在直线同侧，且各点对这两点的张角相等，则这些点共圆．（若能证明其两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。
）【方法3 】把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．【方法4】把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆。
【方法5】证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．【方法6】根据托勒密定理的逆定理，在四边形ABCD中，若AC*BD=AB*CD+AD*BC，那么A，B，C，D四点共圆。
或根据西姆松定理的逆定理证四点共圆。
【方法7】证明五点或五点以上的点共圆，可以分别证各四点共圆，且四点中有三点相同。
【方法8】证连结各点所得凸多边形与某一圆内接凸多边形相似。
上述六种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这8种基本方法中选择一种证法，给予证明．一．某些知识的补充1．已知：ABCD共圆，AB中点为E、CD中点为F，EF中点为G，过E点分别作AD、BC的垂线，垂足为H、I求证：GH=GI首先可这样转化图形：作E点关于AD、BC边的轴对称点S、T，显然I、H分别是ES、ET中点。
高中数学竞赛培优教程高中数学竞赛是一项旨在培养学生数学思维能力和解决问题能力的比赛。
为了能够在这项竞赛中取得优异成绩，学生需要进行系统的数学竞赛培优教程。
首先，数学竞赛培优教程应该涵盖高中数学知识的全面复习。
例如，代数、几何、概率与统计等各个领域的基本概念和定理都应该被涵盖。
学生需要了解每个知识点的定义、性质和相关的解题方法。
此外，数学竞赛经常涉及一些特殊的数学技巧和方法，如逆向思维、特殊等式的整理和化简、巧解问题等，这些内容也应该包含在培优教程中。
其次，数学竞赛培优教程应该注重强化学生的解题能力。
解题能力是竞赛成功的关键，因此培优教程应该包含大量的解题经验和技巧。
教师可以通过解析一些经典竞赛题目来教授解题思路和方法，让学生了解不同题型的特点和解题技巧。
此外，培优教程还应该包括大量的练习题和试题，让学生能够不断巩固和提高解题能力。
第三，数学竞赛培优教程还应该注重培养学生的数学思维能力。
数学思维能力是指学生对数学问题的理解、分析和解决问题的能力。
培优教程可以通过引导学生思考一些开放性问题、进行数学证明和构造问题等方式来培养学生的数学思维能力。
教师可以引导学生思考问题的多种解法、不同角度的思考，并且鼓励学生在解题过程中提出自己的猜想和推理，从而培养他们的数学思维能力和创新精神。
最后，数学竞赛培优教程还应该注重培养学生的应试技巧和压力处理能力。
竞赛时，学生往往面临一定的压力和时间限制，因此培优教程还应该包括一些关于应试技巧和心理调节的内容。
教师可以讲解一些应对竞赛压力的方法和技巧，如时间管理、问题分析与解决方法等。
此外，学生还可以通过模拟竞赛、参加竞赛训练等方式来提前适应竞赛的环境和压力。
总而言之，高中数学竞赛培优教程应该包含全面复习高中数学知识、强化解题能力、培养数学思维能力和应试技巧等方面的内容。
通过良好的培优教程，学生能够更好地备战数学竞赛，提高竞赛成绩，并且在数学领域有更深层次的理解和应用能力。
高中数学竞赛模拟试题一一 试（考试时间：80分钟 满分100分）一、填空题（共8小题，5678=⨯分）1、已知,点(,)x y 在直线23x y += 上移动,当24x y +取最小值时,点(,)x y 与原点的距离是。
2、设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如()22212312314f =++=。
记1()()f n f n =，1()(())k k f n f f n +=，1,2,3...k =，则=)2010(2010f。
3、如图，正方体1111D C B A ABCD -中，二面角11A BD A --的度数是 。
4、在2010,,2,1 中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是 。
5、若正数cb a ,,满足ba cc a b c b a +-+=+，则ca b +的最大值是 。
6、在平面直角坐标系xoy 中，给定两点(1,2)M -和(1,4)N ，点P 在X 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是 。
7、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则∑=ni ia 01的值是 。
8、函数sin cos tan cot sin cos tan cot ()sin tan cos tan cos cot sin cot x x x x x x x x f x x xx xx xx x++++=+++++++在(,)2x o π∈时的最小值为 。
二、解答题（共3题，分44151514=++）9、设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n )求证：对于任何正整数n ，都有：n nn n a a 111+≥+10、已知曲线m y x M =-22:，0>x ，m 为正常数．直线l 与曲线M 的实轴不垂直，且依次交直线x y =、曲线M 、直线x y -=于A 、B 、C 、D 4个点，O 为坐标原点。
【最新整理，下载后即可编辑】高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
高中数学竞赛训练教学方案设计一、教学目标数学竞赛是培养学生数学素养和解决问题能力的重要途径。
本教学方案旨在提供高中数学竞赛训练的全面指导，帮助学生在数学竞赛中取得优异成绩。
二、教学内容1. 理论知识的系统复习2. 解题技巧和策略的讲解和实践3. 模拟竞赛训练和实践经验的积累三、教学步骤1. 理论知识的系统复习（1）复习数学基础知识，包括代数、几何、概率等内容。
（2）掌握数学定理和公式的运用，并理解其推导过程。
（3）强化学生对数学概念的理解和记忆。
2. 解题技巧和策略的讲解和实践（1）教授常见解题技巧，如逆向思维、分类讨论、代入法等。
（2）引导学生分析复杂问题，培养逻辑思维和问题解决能力。
（3）组织解题讨论和小组竞赛，激发学生的动手实践和团队合作精神。
3. 模拟竞赛训练和实践经验的积累（1）提供一系列数学竞赛试题，包括选择题、填空题和证明题。
（2）组织模拟竞赛活动，锻炼学生在有限时间内高效解题的能力。
（3）分析竞赛试题的特点和解题思路，总结经验，完善解题技巧和策略。
四、教学评估与反馈1. 定期进行小测验，检查学生掌握情况和弱点。
2. 针对学生的不足进行个别辅导和指导。
3. 根据模拟竞赛结果，及时反馈学生的表现和进步，并鼓励他们继续努力。
五、教学资源与保障1. 提供教材和参考书籍，以备学生复习和巩固知识。
2. 教师编制习题集和模拟竞赛试卷，供学生练习和考核。
3. 制定教学进度表，保证教学计划的顺利进行。
六、教学心得及建议数学竞赛训练是学生提高数学水平的重要途径，但同时也需要学生付出更多的努力和时间。
教师应注重引导学生独立思考和解决问题的能力，培养他们的竞赛意识和团队合作精神。
此外，教师还应关注学生的学习动态，及时调整教学策略，满足不同学生的学习需求。
七、总结高中数学竞赛训练教学方案设计旨在为学生提供全面的数学竞赛指导，帮助他们在竞赛中取得优异成绩。
通过理论知识的复习、解题技巧和策略的讲解以及模拟竞赛训练，学生将不断提高数学水平和解决问题的能力。
高中数学竞赛培训教案
教学目标：通过本次培训，学生能够掌握竞赛所需的数学知识和解题技巧，提高数学竞赛
的应试能力。
教学内容：本次培训主要围绕高中数学竞赛的常见题型展开，包括数列、概率、几何、代
数等知识点。
教学步骤：
第一步：复习基础知识
讲解数学竞赛常见题型，包括选择题、填空题、解答题等，帮助学生理清基础知识，打好
基础。
第二步：讲解数学竞赛解题技巧
介绍数学竞赛解题的基本思路和方法，包括适时放弃、灵活运用、多角度思考等技巧。
第三步：解析典型题目
通过解析一些典型的数学竞赛题目，引导学生掌握解题技巧，提高解题速度和正确率。
第四步：练习题目
让学生进行有针对性的练习，巩固所学知识和技巧，提高解题能力。
第五步：总结反思
让学生对本次培训进行总结和反思，查漏补缺，为下次培训做好准备。
教学方法：讲解结合练习、小组合作、讨论交流等方式，激发学生学习兴趣，提高学习效果。
教学工具：教材、习题、黑板、投影仪等。
教学评价：通过练习题目和考试测验，评估学生的学习情况和提高空间，及时调整教学方案，确保教学效果。
教学改进：根据学生的反馈和评价意见，不断改进教学方法和内容，提高竞赛培训的质量
与效果。
以上是本次高中数学竞赛培训教案范本，希最能达到预期目标，提高学生的数学竞赛能力。
又到了新一轮竞赛学习，不少学生反映不知道买哪些参考书，今天就来给大家推荐一些书目，从入门、进阶到拔高，适合各个不同阶段，欢迎大家对号入座~一、入门1、《奥数教程》，华东师范大学出版社这套书按年级分为高一、高二、高三三套，每个年级包含教程、测试和学习手册三本， 是比较基础、入门级的竞赛教程 。
《奥数教程》从课本知识出发，由浅入深，逐步过渡到竞赛，内容涵盖了竞赛的全部考点和热点。
每本书包含基础篇和拔高篇，基础篇主要是一试相关内容，拔高篇是二试相关内容。
共30讲，每讲又分为“内容概述”、“例题精解”、“读一读”和“巩固训练”四个部分， 系统地梳理了数学竞赛知识，比较适合刚接触竞赛的学生使用。
《奥数教程-能力测试》是配套的练习用书，每讲配备了1个小时左右的练习量，确保学生更好地掌握知识。
《奥数教程-学习手册》详细解答了《奥数教程》中“巩固训练”，并对该年级的竞赛热点进行精讲，并配有真题用作练习。
2、《2018年全国高中数学联赛备考手册》，华东师范大学出版社这本书每年出版一本，集合了各个省市联赛预赛的试题及答案详解，预赛命题人员大多为各省市数学会成员，题型和难度一般和高联一试相当，可以在学完一遍一试后作为练习题使用。
二、进阶1、《数学奥林匹克小丛书》，华东师范大学出版社俗称“小蓝本”，这套书共14册，包括《集合》、《函数与函数方程》、《三角函数》、《平均值不等式与柯西不等式》、《不等式的解题方法与技巧》、《数列与数学归纳法》、《平面几何》、《复数与向量》、《几何不等式》、《数论》、《组合数学》、《图论》、《组合极值》、《数学竞赛中的解题方法与策略》等，可以说是竞赛生人手一套的“圣书”。
力图用各种方法介绍数学竞赛中的14个专题，书中有对基本知识、基本问题以及解决这些问题的一些典型方法的讲解，还有由基本问题派生出来的教学方法和应用，相对易懂。
2、《奥赛经典》，湖南师范大学出版社这套书分为《奥林匹克数学中的组合问题》、《奥林匹克数学中的几何问题》、《奥林匹克数学中的代数问题》、《奥林匹克数学中的数论问题》、《奥林匹克数学中的真题分析》五册。
高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3.初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。
高三数学总复习竞赛复习科目：数学 高中数学竞赛总复习（一）复习内容：高中数学第三章-数列 编写时间：2005-5修订时间：总计第一次 2005-5一、数列专题（一）数列常见题型形式.一、以极限为载体，考查等比数列中q1)q (1a lim n 1n --∞→当q ＞1时，等比数列极限不存在. 当q ＜1时，等比数列极限存在. 若等比数列和的极限存在，则一定有q ＜1. 当数列{}n a 的极限存在是A a n n =∞→lim ，则A a n n =+∞→1lim .1. 设{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且233222211,,a b a b a b ===（a 1＜a 2），又22)(lim 21+=++++∞→n n b b b ，试求{}n a 的首项与公差.2. 数列{}n x 由下列条件确定：++∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==N n x a x x a x n n n ,21,011 . 若数列{}n x 的极限存在，且大于零，求n n x ∞→lim 的值.二、以对数为载体，充分考虑比例分数的合比与分比定理.例： 等比数列3log ,3log ,3log 842+++a a a 的公比是 .三、求参数最值通常考虑判别式法.1. 各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有 项.四、若以集合形式出现，常常题目要隐藏其集合的包含与被包含关系.1. 若n A 和n B 分别表示数列{}n a 和{}n b 前n 项和，对任意正整数n ，n A B n a n n n 13124,232=-+-=.设集合{}{}++∈==∈==N n b y y Y N n a x x X n n ,4,,2.若等差数列{}n C 的任一项1,C Y X C n ∈是Y X 中的最大数，且265-＜10C ＜125-，求{}n C 的通项公式.（二）求常见数列的方法. 一、求数列的通项.I. 形如)(1n f a a n n +=+的一阶递归式，其通项求法为∑∑-=-=++=-+=1111111)()(n k n k k k n k f a a aa a .. 形如n n a n f a )(1=+的递归式，其通项求法为123121-⋅⋅=n n n a a a a a a a a )2)(1()2()1(1≥-⋅=n n f f f a . 注意：①形如r a n f a n n +=+)(1当数字特殊时可考虑转化为))((1x a n f x a n n +'=+-的形式，再叠乘可求出通项.②形如11)()(-++=n n n a n g a n f a 常需要转化为))((11-+-=-n n n n a a n q a a 或ra n Pq a n q n n +=++)()1(1.例如：n n n a n a n a )2()3(12+-+=++有n n n n n n n b n a a n b a a b )1())(1(,1111+=-+=-=-+++有121!)1(b n b n n nb b n n n ⋅==⋅-⋅==-- 有∑-=+⋅=1111!n k n ab k a .1. 数列{}n a na n n a a n n 12,011++=+ 确定，求通项n a .2. 在数列{}n a 中，11=a ，且12336241+++-=+n a n n a n n ，求n a .. 形如)1(1≠+=+p r pa a n n 的递归式，有方法一r pa a r pa a n n n n +=+=-+11,，两式相减得)(11-+-=-n n n n a a p a a ，故{}n n a a -+1是首项为12a a -，且公比为p 的等比数列，先求出n n a a -+1，再求出n a .有方法二转化等比：1)(11-=⇒-+=⇒+=+++P rx x Px Pa a x a P x a n n n n .有方法三：迭代法=++=+=--r r Pa P r Pa a n n n )(21…=r r P a Pn n +++⋅+--Pr 211⇒有公式121-+=n n P c c a ，21,c c 由21,a a 确定. 有方法四：特征根方法.. 形如)1)((1≠+=+p n q pa a n n 的递推式，有方法一两边同除以1+n p ，得111)(++++=n nn n n p n q p a p a ，令n nn b p a =，则11)(+++=n n n p n q b b ，仿2求得n b ，再求n a . 有方法二递推法. 例如：当)(n g 为一次函数时b kn Pa a n n ++=+1与b n k Pa a n n +-+=-)1(1相减有k a P a n n =+-+)1(1仿. 可求出n a .1. 已知数列{}n a ，{}n b 中，q b p a ==11,且⎩⎨⎧+==---111,n n nn n rb qa b pa a )0,2( r p n ≥（1）求n b ； （2）求22limnnn n ba b +∞→.V . 形如)0,0(1 n q n n a p pa a =+或......1sn r n m n a Pa a -+⋅=的递推式，方法一两边取对数有p a q a n n lg lg lg 1+=+，令n n a b lg =，则p qb b n n lg 1+=+，仿4求得n b ，再求n a . 方法二有q q qq qqg qq q q qq qq q q q n q n n n nnn n n apq a p a a a pp p p p a p pa a ----+++++++--⋅=⋅=⋅⋅⋅⋅==⋅==--111111111121212212)(1. 在数列{}n a 中，101=a ，且n n a a 21=+，求n a2. 数列{}n a 满足n n a a a 10,1011==+，求通项n a .. 高阶等差数列：形如任意两项之差成等差数列不如比等差数列为{}n a ，则我们可用构造新数列{}n b 使d n a a b b n n n )1(11-+==-+，最后1211-++=-n n a a a b b .高阶等差数列：给定一个数列{}n a ，令n n n a a b -=+1，则称数列{}n b 为{}n a 的一阶差数列，而{}n b 的一阶差数列称为{}n a 的二阶差数列，递推地，可以定义{}n a 的p 阶差数列.如果数列{}n a 的p 阶差数列是一非零常数列，则称数列{}n a 是p 阶等差数列p 1时，数列{}n a 就是我们通常所说的等差数列，2≥p 时，数列{}n a 称为高阶等差数列. 数列{}n a 是p 阶等差数列的充要条件是：数列{}n a 的通项是关于n 的p 次多项式. 例如：数列2、4、7、11、16……经观察发现{}n n a a -+1成等差，故令{}{}n n n a a b -=+1.n n b b n +=⋅-+=11)1(1进而有1212112)1(1211++=⇒-+-=-⇒+=-+n n a n n n a a n a a n n n n . 1. 求数列{}n a ：1，3，8，20，43，81，…的一个通项表达式.. 不动点法：设数列{}n a 满足),0(,11ad bc a baa dca a a a n n n ≠≠++==+.①若b ax dcx x f ++=)(有两个不相等的不动点βα,，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧--βαn n a a 是等比数列，可用βα--=n n n a a b βα--=+++111n n n a a b 来求. ②若b ax dcx x f ++=)(有两个相等的不动点βα=，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-αn a 1是等差数列，公差d 可用α-=n n a b 1，α-=++111n n a b 来求. 注：形如baa dca a n n n ++=+21亦可用不动点法.证明：令dx c b x a x +⋅+⋅=，即()02=--+b x a d cx ，令此方程的两个根为x 1，x 2，若x 12，则有p x a x a n n +-=-+11111其中k 可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将p 的表达式记住，da c +2.若x 1≠x 2则有212111x a x a q x a x a n n n n --⋅=--++其中k 可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将q 的表达式记住，21cx a cx a --.1. 设满足24,11+==+nn n a a a 求通项n a .2. 数列{}n a 满足052,2111=--+=++n n n n a a a a a 求n a .. 裂项法：常见的有)111(2+-=+n n k nn k 等.1. 数列{}n a 满足 11=a ，且)(3)(221++∈+++=N n nn a a n n a n n n ，求n a .. 取倒法：常用于对复杂分式转化为r a p a n n +=-11或211--+=n n n a ra p a 等等常见数列形式. 1. 在数列{}n x 中，2,321==x x ，)3(21212≥-=----n x x x x x n n n n n ，求n x .X. 换元法：数列中的通常把将数列通过换元构造位熟悉的等差、等比、或线性递推数列. 最重要的是三角换元法的应用. 1. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 之间满足)2(222≥-=n a S a S n n n n ，且21=a ，求n a .2. 已知数列{}n a 中，112012,35--+==n n n a a a a ，求通项n a .3. 数列{}n a 满足 ,121==a a 且)3(2221≥-+=-n a a a n n n 求通项n a .4. 设正数列n a a a .....,10满足110==a a ，且)2(21212≥=-----n a a a a a n n n n n ，求n a .5. 已知数列{}n a 满足211,1n a a a n n -=+=+，求n a .二、求数列的和.I. 求导法：导数方法用于数列常是以求和形式出现，经常要与二项式定理联系（能够用错位相消法求和的数列问题，都可以用求导方法去做）. 1. 已知)1,0(1≠≠=-x x nx a n n ，求数列{}n a 的前n 项和n S .2. 已知n n n a 2=，求数列{}n a 的前n 项和n S .3. 求和12222321-+++=n n x n x x S .. 形如r Pa a nn n )1(1-+=-时，则求和变为 r r r r Pa Pa Pa a S n n +-+-++++=211当n 为偶，-r 与+r 恰好抵消完；当n 为奇数时，剩一个-r ，故)(21n n a a a P S +++= 或r a a a P n -++)(21 .1. 已知{}n a 是由非负整数组成的数列，满足 ,5,4,3),2)(2(,3,021121=++=•==--+n a a a a a a n n n n ①求3a ；②证明;,5,4,3,22 =+=-n a a n n ③求{}n a 的通项公式及其前n 项和n S .三、周期数列.1. 设数列{}n a nn n a a a a -+=+=+11,3221定义求cos 2a .2. 设数列 ,,,,21n a a a 满足2,1321===a a a ，且对任意自然数,n 都有,121≠++n n n a a a 又321321+++++++++=n n n n n n n n a a a a a a a a ，则10021a a a +++ 的值是 .【2005高中数学联赛预测】1. 各项为实数的等差数列的公差为4，其首项的平方与其余各项之和不超过100，这样的数列至多有 项.2. 设数列{}n a 满足 ,3,2,1,121=+-=+n na a a n n n .（1）当21=a 时，求432,,a a a ，并由此猜想出n a 的一个通项公式；（2）当31≥a 时，证明对所有的1≥n ，有① 2+≥n a n ；② 2111111121≤++++++n a a a3. 数列{}n a 满足：++∈+==N n a a a a nn n ,1,111，求100a 的整数部分.4. 3个数列{}{}{}n n n c b a ,,存在下列关系：),3,2,1(3,,21,111111 =-=-=-===-++n np b b c a a b b a n n n n n n n ，这里p 为正常数. （1）求n a ；（2）证明：若0≥n c ，必有1+n c ＞0；（3）若数列{}n b 的最小项为,4b 求p 的取值范围.5. 两个数列{}n a ，{}n b 满足,1,211==b a ⎩⎨⎧+=++=++n n n n n n b a b b a a 53,73511),3,2,1( =n 试求通项n a 和n b6. 数列{}n a ，{}n b 满足 ),3,2,1(212,2111,01111 =+=+=++n b a b b a a b a n n n n n n ，证明下列命题： （1）2a ＜2b ＜1b ；（2）对任何正整数n ，有n b ＞1+n a ； （3）对任意整数2≥n ，有n b ＜1b .7. （不等式夹击法找数列范围）设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不小于3，且各项和为297，则这样的数列共有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个《雷氏笔录》数学组 编写 2005年5月18日高三数学总复习竞赛复习科目：数学 高中数学竞赛总复习（二）复习内容：高中数学第七、八章-解析几何 编写时间：2005-5修订时间：总计第一次 2005-5二、解析几何专题一、 关于定值的证明. 平面解析几何有方法一：先取特殊位置，求出这个定值，再证明一般情况下也等于这个定值. 有方法二：直接证明法.1. 已知圆16)4()3(22=-+-y x ，直线0:1=--k y kx l .若Q P ,连线的中点为M ，1l 与042:2=++y x l 的交点为N ， 求证AN AM ⋅为定值.2. 如图，M 是圆C ：08622=--+y x y x 上的动点，O 是坐标原点，N 是射线上的点，150=⋅ON OM ，求N 点的轨迹方程.二、共线问题经常转化为斜率相等这一重要条件，当然也可以用构造法—大胆设参构造.1. 已知抛物线px y 22=及定点)2,0)(0,(),,(2pa b ab a B b a A ≠≠-是抛物线上的点，设直线、与抛物线的另一个交点为M 1、M 2.M M ≠三、看到有长度大小关系的直线方程时，又有动点),(y x 与定点),(00y x 要考虑直线的参数方程.1. 过不在椭圆上任意一点P 作两条直线1l 和2l ，分别交椭圆于A 、B 、C 、D 四点，若1l 、2l 的倾斜角为βα,且πβα=+.求证：A 、B 、C 、D 四点共圆.四、曲线系方程.1. 已知是圆O 的一条弦，R 是弦的中点，过R 任作两条相交弦和.过A ，B ，C ，D 四点的二次曲线T 交于P ，Q 两点. 求证：R 是的中点.五、涉及整数点问题的最值问题用余数法.1. 直角坐标平面内横坐标与纵坐标都为整数的点称为格点，则平面内格点到直线3243+=x y 的距离的最小值为 .六、移坐标法，我们可把坐标轴平移，可使某个点成为新原点，这样可以减少运算.1. 已知椭圆C ：14)2(9)1(22=-+-y x 上存在关于直线m x y l +=2:对称的两点，试求m 的取值范围.【2005高中数学联赛预测】1. 21,F F 是椭圆1422=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，则21PF PF ⋅的最小值是 .,c c（1）求证：P 、Q 、R 不能都在双曲线的同一支上；（2）设P （-1，- 1）在2c 上，Q 、R 在1c ，求顶点Q 、R 的坐标.3. 已知椭圆ε：＝1(a ＞b ＞0)， 动圆Γ：x 2＋y 2＝R 2，其中b ＜R ＜a .若A 是椭圆ε上的动点，B 是动圆Γ上的动点，且使直线与椭圆ε和动圆Γ均相切，求A 、B 两点的距离的最大值. （2004年四川初赛试题）解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线的方程为＝＋m因为A 既在椭圆上，又在直线上，从而有错误! 将(1)代入(2)得：(a 2k 2＋b 2)x 2＋22x ＋a 2(m 2－b 2)＝0由于直线与椭圆相切，故△＝(22)2－4(a 2k 2＋b 2)a 2(m 2－b 2)＝0 从而可得：m 2＝b 2＋a 2k 2，x 1＝－ (3)同理，由B 既在圆上又在直线上，可得：m 2＝R (1＋k 2)，x 2＝－ (4)由(3)(4)得：k 2＝，x 2－x 1＝∴2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2 ＝＝＝a 2＋b 2－R 2－ ＝(a －b )2－(R －)2≤(a －b )2.即≤a －b ，当且仅当R ＝时取等号. 所以，A 、B 两点的距离的最大值为a －b .《雷氏笔录》数学组 编写 2005年5月18日高三数学总复习竞赛复习科目：数学 高中数学竞赛总复习（三）复习内容：高中数学第三、七、八章 编写时间：2005-5修订时间：总计第一次 2005-5三、数列、解析几何热点专题数列一、奇偶数列.若}{n b 为奇数项的数列，若}{'nb 为偶数项的数列，则有2)1(2''nn n n n n b b b b a --+-=.二、特征方程.形如n n n qa pa a +=++12（p 、q 为二阶常数）方法一用特征根方法求解.具体步骤：①写出特征方程q Px x +=2（2x 对应2+n a ，x 对应1+n a ），并设二根21,x x ②若21x x ≠可设nn n xc x c a 2211.+=，若21x x =可设nn x n c c a 121)(+=；③由初始值21,a a 确定21,c c . 有方法二)(112n n n n xa a p xa a -=-+++，pqx -=1. 有方法三迭代法，迭代法是解决一切数列问题的通．．．．．．．．．．．．．．法．.三、求和.主要方法：倒序相加、错位相减、数学归纳法.⑴等差数列的前n 项和为n S ，在d ＜0时，有最大值. 如何确定使n S 取最大值时的n 值，有两种方法： 一是求使1,0+≥n n a a ＜0，成立的n 值；二是由n da n d S n )2(212-+=利用二次函数的性质求n 的值. ⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n 项和可依照等比数列前n 项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：, (2)1)12,...(413,211n n -⋅⑶①1+2+3 … =()21+n n ②()()61213212222++=+++n n n n ③()2213213333⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++n n n四、等差、等比数列.若{}n a ，{}n b 均是等差数列，则{}n n db ca +也是等差数列),(R d c ∈. 两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21d d ，的最小公倍数.解析几何一、几种常见的圆锥曲线问题. [题型示例一]若椭圆12222=+b y a x 的左右焦点分别是,,21F F 过1F且倾斜角为θ的直线交椭圆为B A ,两点，若||11B F A F λ= 则椭圆的离心率为e = .解：e BF BF e BF AF BF AF e BF AF e BF e AF BF AF BB AA ABAC 111)1()1(11cos 11111111111111⋅+-=+-⋅=+-⋅=+-=--==λλλλθθλλcos 1)11(⋅+-=e . 注：本题变为求直线的方程，解法如上，将θcos 转为求θtan ,则AB K 可确定，又过1F ，故直线方程可确定.如果采用定比分点，则运算量大，但是若A 、B 不在椭圆上或者有一个点不在椭圆上，则只有用定比分点了.[题型示例二]已知抛物线Px y 22=，当一条过焦点的直线与抛物线交于两点,求2121,y y x x 的值.解（一）：当k 存在时，)2(p x k y -=代入Px y 22=则04)2(22222=++-P k x P P k x k ，,4221p x x =221421222214p y y p x x p y y -=∴==，当k 不存在时，),2(),,2(p p B p p A -，成立. 故221221,4P y y p x x -==成立.解（二）：4p t t 4p x ,x y y p 414p 2pt 2pt 41t t K K 2222122*********BF AF =⋅==-=-⋅=⋅→-=⋅⇒=[题型示例三] 如图，一条过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B. 三点共线， 是抛物线的准线. 求证：∥x 轴. 证：AM 为过O 点直线，∴ ，所以22'21142y x p y x y -=-=. 综上：2212214p y y p x x -==44222211-=-=⋅⇒p p x y x y ，222px y =. .2422'222'211y y px x p y x y =∴-=-=∴故为平行x 轴直线.变题：若证共线呢？提示：要证共线，即证 ，下面就如上法炮制了. [题型示例四]如下图，抛物线Px y 22=的焦点为F ，为准线，P 为的中点. 求证：共圆，∠为直角.证（1）：因为Px y 22=，故 = = . 又因为为梯形的中位线，故 =AB BDAC 21)(21=+,故,所以共圆，且P 为三角形外心.证（2）： 9065180652435614321=∠+∠∴=∠+∠+∠+∠⇒∠=∠∠=∠∠=∠∠=∠，，，.注：[题型示例四] 拓展1：根据上述证明，可以推导以双曲线焦点弦，为直径为圆与准线是相交关系；以椭圆焦点弦为直径的圆与准线是相离关系.拓展2：∆中M ∠最大角为90°，这时是M ∠的临界条件，这条准线上其它的点与A 、B 构成的三角形是锐角∆，故若要使∆为钝角，只需A ∠或B ∠为锐角.过A 作垂直于的直线交L 于E ，则在E 上方（不包括E ）的点与A 、B 构成三角形为钝角，但是由于这条直线与准线要相交（这里要检验，是否在所求范围内），同理过B 作垂直于的直线交L 于F ，则在F 下方（不包括F ）与A 、B 构成的三角形都是钝角.[题型示例五]如下图，抛物线Px y 22=，一直线交抛物线于A ，B ，且⊥. 求证：直线过一定点. 证：设)()(2211y x B y x A ,令：令：x k 1-，故)2,2(222k P k P A Px y kxy ⇒⎪⎩⎪⎨⎧== )2,2(2122Pk Pk B kx y xk y -⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=，故可求得恒过(2P,0). [题型示例六] 已知抛物线Px y 22=，焦点为F ，一直线交抛物线于A ，B ，求证：PBF AF 2||1||1=+. 证： 2,221p x BF p x AF +=+= ，∴=+||1||1BF AF p p x x p p x x x x p x x p p x x 2)(24)(212212122121=+++=+++++. 二、区域问题：当求整点个数常用数列逼近法.1. 直角坐标平面上，求满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤100313y x x y xy 的整点的个数.2. 一张纸上画有半径为R 的圆O 及圆O 内一定点A ，且，折叠纸片，使圆周上，某一点A '刚好与A 点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕. 当A '取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合.（2003全国高中联赛）三、圆的幂与根轴. 过定点A 任作直线交定圆于B 、C 两点，则AC AB ⋅为定值，该定值称为定点A 对定圆的幂1. 向以原是为圆心，半径为1的圆A 和另一圆B 所引切线长相等的点在直线0632=--y x 上，求圆心B 的轨迹方程.四、与数论结合.若g 是质数，P 是正整数，若130)13)(10(1310=--⇔=+g p pg p g 构造出了1013p 巧妙的解出11，143或23时23.1. 一次函数b ax x f +=)(的图象经过点（10，13），它与x 轴的交点为（p ，0），与y 轴的交点为（0，q ），其中P 是质数，q 是正整数，则满足条件的所有一次函数为 .【2005高中数学联赛预测】1. (数形结合)已知两点A(- 2, 0)(0 ,2),点C 是圆0222=-+x y x 上的任意一点，则ABC ∆的面积最小值是（ ）A. 23-B. 23+C.226- D. 223- 2. (立体几何与余弦定理综合)设A ，B ，C ，D 是空间四个点，满足⊥，⊥，⊥，则△是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定《雷氏笔录》数学组 编写 2005年5月24日高三数学总复习竞赛复习科目：数学 高中数学竞赛总复习（四）复习内容：高中数学第二章-函数 编写时间：2005-5修订时间：总计第一次 2005-5 四、函数专题一、函数与方程.I. 发现和利用函数的奇偶性，函数的奇偶性常常与函数方程结合.1. 求)113124()32()1569)(13(22++-⋅-+++--=x x x x x x y 的图象与x 轴的交点坐标.. 三元二个方程一定不能求出解，若要求出解一定是0)b z C(a )b y B(a )b x A(a 233222211=+++++（无交叉项时）或0z)b y C(a z)b x B(a y)b x A(a 233222211=+++++（有交叉项时）或者是以x 为主元，其判别式0k Δ2≥-=只有0故可求出其一变量的值.2. 已知,,4,4,R a y x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈ππ且⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+0cos sin 402sin 33a y y y a x x 则=+)2cos(y x .3. 求三个实数x ，y ，z ，使得它们同时满足下列方程：823152941332222=++-++=++z y x z y x z y x. 求选对偶式解方程题或者利用不等式来凑，即凑出原方程小于某一常数，但此方程又等于这一常数.则等号成立条件即为方程的解. 例如：14444444144144141222222222=++≤+++++=++=z z y y x x z z y y x x z y x ，则必有21===z y x . 1.求所有的实数x ，使得xx x x 111-+-=.二、函数的最值，对二次函数c bx ax y ++=2的值域属于R 的充要条件是0≥∆.1. 若k 是实数，11)(2424++++=x x kx x x f ，对任意三个实数a ，b ，c ，存在一个以)(),(),(c f b f a f 为三边长的三角形，求k 的取值范围.三、函数与不等式.1. 设[]1,1-∈x 时，恒有12≤++c bx ax ，求证：当[]1,1-∈x 时，有22≤+±a bx cx .《雷氏笔录》数学组 编写 2005年5月24日高三数学总复习竞赛复习科目：数学 高中数学竞赛总复习（五）复习内容：高中数学第四章-三角函数 编写时间：2005-5修订时间：总计第一次 2005-5五、三角函数专题一、求三角函数的最值.1.刑如a y a n n n a y n n a y 934)32(212cos 2cos 2sin )cos 1(2sin 3222222≤⇒⋅≤⋅⋅⋅=⇒+=θθθθθ.1. 如果⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，则x x y 32sin cos =的最大值是 .2. 设20πx ，求证：xxx x sin cos 1cos 2+.2. 三角函数中的连体常常是首尾相乘为一常数，连加常常是裂项相消法. 1. 求值∏=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅++164182020)15sin 1()cot 32(k k .2. 化简[]∑=∈≠+++nk z k k k k 1),()1(cos )cos(1πββαβα.3. 三角代换.1. 设1,,,22=++∈+z y x R z y x ，试求xz xy 2+的最大值.2. 函数x xxx x x y 2sin 2cos cos 3cos sin 3sin 233++=的值域是 .3. 已知,2),2,0(,,ππ=++∈z y x z y x 求 的最大值.4. ∑=+=+=∈41111),4,3,2,1(i ii ai R a ，求4321a a a a 的最小值.5 . 化简∑-=∈≠+⋅11),()1tan(tan n k Z k k k k πθθθ.二、反三角函数. 1. 函数)3sin 1sin 2cot(++=x x arc y 的值域是 .四、与解析几何综合.1. △ 的内角满足,1sin cos ,1sin cos ,1sin cos 222=+=+=+C b C a B b B a A b A a 试判定 △的形状.。
