第2章(2)求解微分方程及拉氏变换
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常微分方程-拉氏变换法求解常微分方程
03 拉普拉斯变换的逆变换
定义与性质
定义
逆变换是拉普拉斯变换的逆过程，将 拉普拉斯变换后的函数还原为原函数。
性质
逆变换具有线性性、时移性、微分性、 积分性和相似性等性质，这些性质在 求解常微分方程时具有重要作用。
逆变换的求解方法
表格法
通过查表或计算公式，将拉普拉 斯变换后的函数还原为原函数。 这种方法适用于已知拉普拉斯变 换函数的简单情况。
幂级数法
通过幂级数展开，将拉普拉斯变 换后的函数展开为无穷级数，然 后逐项积分得到原函数。这种方 法适用于较为复杂的拉普拉斯变 换函数。
积分法
通过积分运算，将拉普拉斯变换 后的函数进行积分，得到原函数。 这种方法需要熟练掌握积分运算 和拉普拉斯变换的性质。
04 拉普拉斯变换法的优缺点
优点
高效性
对于一些复杂或难以直接求 解的常微分方程，拉普拉斯 变换法能够提供一种简洁、 高效的求解方法。
普适性
拉普拉斯变换法适用于各种 类型的初值问题，具有广泛 的适用性。
易于计算
拉普拉斯变换的逆变换相对 容易计算，使得求解过程相 对简单。
可处理多变量问题
通过引入偏导数，拉普拉斯 变换法可以处理多变量微分 方程，这是其他方法难以做 到的。
缺点
不易理解物理意义
拉普拉斯变换将原始的微分方程转换为复 平面上的函数，这使得初学者不易理解其
性质
拉普拉斯变换具有线性性、时移性、 微分性、积分性和复共轭性等性质， 这些性质使得求解常微分方程变得更 为简便。
拉普拉斯变换的应用
求解常微分方程
通过拉普拉斯变换，可以将常微分方程转化为代数方程，从而简化求 解过程。
系统分析
在控制工程和信号处理等领域，拉普拉斯变换被广泛应用于系统分析 和系统设计。
第二章 拉氏变换
m
m 1
1、F(S)无重极点(n个不等根)时，F(s)可表示为
bm s bm 1s b1s b0 F ( s) an ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
m
m 1
Kn K1 K2 s p1 s p2 s pn
(a为实数)
L[e ] e e dt e 0 0
at at st
( s a )t
dt
1 sa
5、正弦函数
0 f (t ) sin t
其拉氏变换
t <0
t ≥0
(为实数)
L[sin t ] sin t e dt 0 2 2 s
在控制工程中,使用拉氏变换的主要目的: 用它来研究系统动态特性.
因为描述系统动态特性的传递函数和频 率特性都是建立在拉氏变换的基础之上 的。
第二节
一、拉氏变换定义
拉普拉斯变换
对时间函数f(t)，t≥0，f(t)的拉普拉斯变换L[f(t)] （简称拉氏变换）或F(s)定义为
0 一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是： 原函数 象函数
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
1 复数与复变函数 2 拉普拉斯变换及反变换
2.1 复数和复变函数
一、复数的概念
为了解方程的需要，人们引入了一个新数i, 称为虚数单位，并规定：
教材上：j
(1) i 1;
2
(2) i 可与实数进行四则运算.
复 数
形如 s j 的数称为复数.
实部 记作：Re(s)=σ
复数可以表示成
s σ jω r (cos i sin )
m 1
1、F(S)无重极点(n个不等根)时，F(s)可表示为
bm s bm 1s b1s b0 F ( s) an ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
m
m 1
Kn K1 K2 s p1 s p2 s pn
(a为实数)
L[e ] e e dt e 0 0
at at st
( s a )t
dt
1 sa
5、正弦函数
0 f (t ) sin t
其拉氏变换
t <0
t ≥0
(为实数)
L[sin t ] sin t e dt 0 2 2 s
在控制工程中,使用拉氏变换的主要目的: 用它来研究系统动态特性.
因为描述系统动态特性的传递函数和频 率特性都是建立在拉氏变换的基础之上 的。
第二节
一、拉氏变换定义
拉普拉斯变换
对时间函数f(t)，t≥0，f(t)的拉普拉斯变换L[f(t)] （简称拉氏变换）或F(s)定义为
0 一个函数可以进行拉氏变换的充要条件是： 原函数 象函数
第二章 拉普拉斯变换的数学方法
1 复数与复变函数 2 拉普拉斯变换及反变换
2.1 复数和复变函数
一、复数的概念
为了解方程的需要，人们引入了一个新数i, 称为虚数单位，并规定：
教材上：j
(1) i 1;
2
(2) i 可与实数进行四则运算.
复 数
形如 s j 的数称为复数.
实部 记作：Re(s)=σ
复数可以表示成
s σ jω r (cos i sin )
拉斯变换解微分方程
拉斯变换解微分⽅程§2-3拉普拉斯变换及其应⽤时域的函数可以通过线性变换的⽅法在变换域中表⽰，变换域的表⽰有时更为简捷、⽅便。
例如控制理论中常⽤的拉普拉斯变换，简称拉⽒变换，就是其中的⼀种.⼀、拉⽒变换的定义已知时域函数，如果满⾜相应的收敛条件，可以定义其拉⽒变换为(2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表⽰为(2-46)因为是复⾃变量的函数，所以是复变函数。
有时，拉⽒变换还经常写为(2-47)拉⽒变换有其逆运算，称为拉⽒反变换，表⽰为(2-48)上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。
⼆、常⽤信号的拉⽒变换系统分析中常⽤的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。
现复习⼀些基本时域信号拉⽒变换的求取。
(1)单位脉冲信号理想单位脉冲信号的数学表达式为(2-49) 且(2-50)所以(2-51) 说明：单位脉冲函数可以通过极限⽅法得到。
设单个⽅波脉冲如图2-13所⽰，脉冲的宽度为，脉冲的⾼度为，⾯积为1。
当保持⾯积不变，⽅波脉冲的宽度趋于⽆穷⼩时，⾼度趋于⽆穷⼤，单个⽅波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。
在坐标图上经常将单位脉冲函数表⽰成单位⾼度的带有箭头的线段。
由单位脉冲函数的定义可知，其⾯积积分的上下限是从到的。
因此在求它的拉⽒变换时，拉⽒变换的积分下限也必须是。
由此，特别指明拉⽒变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。
所以，关于拉⽒变换的积分下限根据应⽤的实际情况有，，三种情况。
为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。
(2)单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表⽰为(2-52)⼜经常写为 (2-53)由拉⽒变换的定义式，求得拉⽒变换为(2-54)因为阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉⽒变换，其积分下限规定为。
(3)单位斜坡信号单位斜坡信号的数学表⽰为(2-55)图2-15单位斜坡信号另外，为了表⽰信号的起始时刻，有时也经常写为 ( 2-56) 为了得到单位斜坡信号的拉⽒变换，利⽤分部积分公式得(2-57)(4)指数信号指数信号的数学表⽰为(2-58) 拉⽒变换为 (2-59)(5)正弦、余弦信号正弦、余弦信号的拉⽒变换可以利⽤指数信号的拉⽒变换求得。
第二章拉氏变换的数学方法
第二章拉氏变换的数学方法拉普拉斯变换（Laplace transform）是一种积分变换方法，用于求解线性常系数微分方程组的初值问题。
它是法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）于18世纪末发展起来的。
拉普拉斯变换在工程和物理学中有着广泛的应用，特别是在控制系统分析和信号处理中。
拉普拉斯变换将一个时间函数f(t)（t为实数）转换为一个复变函数F(s)（s为复数），可以表达为：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] f(t) e^(-st) dt其中，s是复平面上的一个复数，而e^(-st)为拉普拉斯变换的核函数。
拉普拉斯变换的定义域是右半平面Re(s) > 0，当Re(s)=0时，定义域为共轭虚轴Im(s)=0。
这是为了保证积分的绝对收敛性。
拉普拉斯变换有许多基本的性质和定理，其中包括线性性、平移性、尺度性、微分性等。
利用这些性质，我们可以对不同类型的函数进行拉普拉斯变换，从而求解常系数线性微分方程组的初值问题。
在应用拉普拉斯变换求解微分方程组时，首先将微分方程转化为代数方程。
假设我们要求解一个线性常系数微分方程组：a0y^(n) + a1y^(n-1) + ... + an-1y' + any = f(t)其中，a0, a1, ..., an 为常数，y^(n)表示y的n阶导数，f(t)为所给激励函数。
对微分方程两边同时进行拉普拉斯变换，根据拉普拉斯变换的性质和核函数的定义，将方程转化为代数方程：[a0s^nY(s) - a0s^(n-1)y(0) - a0s^(n-2)y'(0) - ... - a0y^(n-1)(0)] + [a1s^(n-1)Y(s) - a1s^(n-2)y(0) - a1s^(n-3)y'(0) - ... - a1y^(n-2)(0)] + ... + [an-1sY(s) - an-1y(0) - an-2y'(0) - ... - y(0)] + [anY(s) - y(0)] = F(s)其中，Y(s)为未知函数y(t)的拉普拉斯变换，y(0),y'(0),...,y^(n-1)(0)为初始值条件，F(s)为激励函数f(t)的拉普拉斯变换。
第二章 拉普拉斯变换
非重根si：
二重根sj：
1.对F(s)的分母做因式分解后，将F(s)分 解为三部分：
2.利用留数定理确定待定系数：
由此得到F(s)的常用函数组合：
3.利用Laplace变换的线性性质和复移位性 质，反变换F(s)得到f(t):
三、象函数包含有共轭复根
• 共轭复根的特点是两个根具有相同的实部 和符号相反的虚部，如： • 共轭复根在象函数的分母中可以表示为：
的形式，其中
。
的形式，其中
。
6. 初值定理： 若 和 均可以进行Laplace变
换，且
存在，则：
7. 终值定理： 若 和 且
均可以进行Laplace变换，
存在，则：Байду номын сангаас
说明：该定理只适用于像函数 在复平 面右半平面和虚轴上（除坐标原点外）没有 极点的情况。即： 的根不能是 正实数或纯虚数
第二章
第3小节
的
推论：若
，则
同理：
4. 延迟性质： 时间函数 数等于 若 在时间轴上平移 的像函数 ，则： ,其像函 。 乘以指数因子
5. 复移位性质： 原函数 乘以指数 ，其像函数等于 的像函数 在复数域平移a，其中a 为实常数可取正、负值。 若 ，则：
例： 可以拆分成 已知： 那么：
例： 可以拆分成 已知： 那么：
例：电阻、电感、电容串联 构成的电路如图，其中， 各元件初始状态皆为0，即：
当电压源上产生单位阶跃函 数的电压后，电路的输出会 产生怎样的响应函数。
解： 1. 列写电路的微分方程 输入信号： 输出信号： 串联电路：
2. 对微分方程进行拉氏变换 零初始条件下：
3.求解拉氏变换后的代数方程：
第2章拉普拉斯变换及其应用
(式1)
(式2) （式3）
2）将式2分解为部分分式：
3）用待定系数法可求得A=1，B=-T，代入式3，得
（式4） 4）对式4进行拉氏反变换有： （式5）
惯性环节单位阶跃响应曲线
小
结
st F ( S ) L f (t ) dt (1) 拉氏变换定义式： 0 f (t )e
（2）常用典型输入信号的拉氏式
s2 c c 1 2 (s 1)(s 3) s 1 s 3
c1 lim (s 1)
s 1
s2 1 2 1 (s 1)(s 3) 1 3 2
c 2 lim (s 3)
s 3
s2 3 2 1 (s 1)(s 3) 3 1 2
12 12 F(s) s 1 s 3
f (t) 1 t 1 3t e e 2 2
2.4用拉氏变换方法解微分方程
应用拉氏变换求解微分方程的一般步骤: 微分方程 求待定系数 系统微分方程
y '' (t ) a1. y ' (t ) a2 y (t ) 1(t ) ' y ( 0 ) y (0) 0
1 (t )
1 0 t
单位阶跃函数定义为：
令：
1(t ) lim 1 (t )
0
有:
由拉氏变换的定义得1(t)的象函数为:
【2】求单位脉冲函数（Unit Pluse Function)
的象函数
单位脉冲函数
定义为：
在自动控制系统中，单位脉冲函数相当于一 个瞬时的扰动信号，拉氏变换为：
0(t 0) f (t ) sin t ( t 0 )
拉氏变换
1 d2 r A03 = 2 [ F ( s)(s + p0 ) ] 2! ds s =− p
……
0
1 d r −1 r A0 r = r −1 [ F ( s )(s + p0 ) ] (r − 1)! ds s =− p
0
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′ ( s + 5) xo (0) + xo (0) ′ B2 = = −2 xo (0) − xo (0) s+2 s = −3
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第二章 数学模型 所以：
′ ′ 2 + 3 + 3xo (0) + xo (0) + − 2 xo (0) − xo (0) X o ( s) = 6 + s s+2 s+3 s+2 s+3 1 −1 1
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第二章 数学模型
A3 = [F ( s )( s + 1)]s = −1 = 2
F ( s) = −1 2 2 − + ( s + 2) 2 s + 2 s + 1
于是：
f (t ) = L [ F ( s )] = −(t + 2)e − 2t + 2e −t (t ≥ 0)
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02第二章拉氏变换的数学方法(第二讲)
L[sin t 1(t )] L[
e
j t
e 2j
j t
1(t )]
1 1 1 2 2 2 j s j s j s
2.2 拉氏变换的性质
2 微分定理 L[ dx(t ) ] sX ( s ) x (0 ) dt 推论： n d （1）L[ x (t )] s n X ( s ) s n 1 x (0 ) s n 2 x (0 ) n dt
x(t) x(t)
as
X (s)
t a
t
L[sin (t 4) 1(t 4)] e
4 s
s
2 2
2.2 拉氏变换的性质 例：求如下图的拉氏变换。
f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) E 1(t ) E 1(t t 0 )
L[ f (t )] E s e
2 st
t0 t0
0
0
te dt
st
s
e
st
0
0
s
dt
1 单位速度函数
t
2.1.1 简单函数的拉氏变换
7 单位加速度函数
0 x (t ) 1 2 2 t
t0 t0
x(t)
L x (t ) 1(t ) 1 s
3
1 2
0
（2）在零初始条件下
s
2
x n (0 ) s
n
L[ x (t )( dt ) ]
n
X (s) s
2.2 拉氏变换的性质
4 衰减定理 例：已知
2第二章拉普拉斯变换及其应用
上式称为拉氏变换的定义式。为L 了f (保t) 证式中等号右边的积分存在（收敛），应满足下列
条件： F(s)Lf(t)f(t)estdt
当
，
；
0
（2.1）
当
，
分段连续；
当
，较
衰减得更快。
t0 t0
f (t) 0
f (t)
t e s t f ( t )
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2.1 拉氏变换的概念
F(s) f (t)dt t0
s
s
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2.2 拉氏变换的运算定理
当初始条件
f (t)dt
0 时，由上式有
t0
同理，可以L证明在零f初(t始)条d件t下有
F(s) s
Lf(t)(dt)2Fs(2s)
L n f(t)(dt)nFs(ns)
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2.2 拉氏变换的运算定理
例一：求单位阶跃函数（Unit Step Function）的象函数。
在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相当一个开关的闭合(或断开)。 在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义式
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2.1 拉氏变换的概念
0
(t 0)
见图2-1（a）
1
(t
)
1
t
F(s)L et 0 etestdt
（2.7）
例六. 求正弦函数（Sinusoidal Function）
的象函数。
e (s )td t1e ( s)t
0
s
0s 1
f(t)sint
F (s ) L s int s inte s td t 1 (e j t e j t)e s td t
常微分方程拉氏变换法求解常微分方程全文
1
拉普拉斯变换法用于求解常微分方程的基本思路：
对常微分方程进行拉氏变换法，得代数方程，求解 再反变换获取原方程的解
问题： 1. 什么是拉氏变换 2. 拉氏变换的基本性质 3. 什么是拉氏逆变换 4. 如何用拉氏变换求解微分方程
2
1拉普拉斯变换定义(简称拉氏变换)
对于在 [0, ) 上有定义的函数 f (t)
sx0(n2)
x (n1) 0
16
x(n) a1x(n1) an1x an x f (t)
给(4.32)两端施行Laplace Transform
sn
X
(s)
s n1 x0
sn2 x0
sx0(n2)
x (n1) 0
a1[s n1 X
(s)
sn2 x0
s n3 x0
x (n2) 0
]
an1[sX (s) x0 ] an X (s) F (s)
F (s) test f (t)dt
0
F (n) (s) (1)n t nest f (t)dt
0
F (n) (s) (1)n L[tn f (t)]
10
§3 拉普拉斯逆变换 已知象函数，求原函数
L1[F (s)] f (t)
也具有线性性质
L1[c1F1(s) c2F2 (s)] c1L1[F1(s)] c2L1[F2 (s)]
(sn a1sn1 an1s an ) X (s) F (s) B(s)
X (s) F(s) B(s) A(s)
x(t) L1[ X (s)] L1[ F (s) B(s)] A(s)
17
用拉氏变换求微分方程实例
例5 求 dx x e2t 满足初始条件 x(0) 0的特解
拉普拉斯变换法用于求解常微分方程的基本思路：
对常微分方程进行拉氏变换法，得代数方程，求解 再反变换获取原方程的解
问题： 1. 什么是拉氏变换 2. 拉氏变换的基本性质 3. 什么是拉氏逆变换 4. 如何用拉氏变换求解微分方程
2
1拉普拉斯变换定义(简称拉氏变换)
对于在 [0, ) 上有定义的函数 f (t)
sx0(n2)
x (n1) 0
16
x(n) a1x(n1) an1x an x f (t)
给(4.32)两端施行Laplace Transform
sn
X
(s)
s n1 x0
sn2 x0
sx0(n2)
x (n1) 0
a1[s n1 X
(s)
sn2 x0
s n3 x0
x (n2) 0
]
an1[sX (s) x0 ] an X (s) F (s)
F (s) test f (t)dt
0
F (n) (s) (1)n t nest f (t)dt
0
F (n) (s) (1)n L[tn f (t)]
10
§3 拉普拉斯逆变换 已知象函数，求原函数
L1[F (s)] f (t)
也具有线性性质
L1[c1F1(s) c2F2 (s)] c1L1[F1(s)] c2L1[F2 (s)]
(sn a1sn1 an1s an ) X (s) F (s) B(s)
X (s) F(s) B(s) A(s)
x(t) L1[ X (s)] L1[ F (s) B(s)] A(s)
17
用拉氏变换求微分方程实例
例5 求 dx x e2t 满足初始条件 x(0) 0的特解
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则
（2）微分性质
dn L[ n dt
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aF1 ( s) bF2 ( s)
d L[ f (t )] sF ( s ) f (0) dt f (t )]
s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f (0) sf ( n 2) (0) f ( n 1) (0)
r(t) O t
L[r (t )] te
（4）单位抛物线函数
1 2 t xi (t ) 2 0
1 dt 2 s
t0 t0
xi(t) O t
L[ xi (t )]
0
1 2 st 1 t e dt 3 2 s
jik03
6
（5）指数函数f(t)=
t
1/s
coswt
2
s
(s 2 w2 )
1s
at
e sin wt
at
e
1/(s+a)
e cos wt
at
w ( s a) 2 w 2 sa ( s a) 2 w 2
3．最简单的性质：
（1）叠加性质
若
L[ f1 (t )] F1 ( s) ， L[ f 2 (t )] F2 ( s)
6 3 2 1 X (s) 2 s ( s 5 s 6) s 2 s 3 s
2t
u (t )
t
x(t ) L1[ X ( s )] （查表）
x (t ) x s (t ) 3e
2e
3 t
1 (t≥0)
13
jik03
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
jik03
1
微分方程的解及系统的响应
一、线性微分方程的解
( n) ( n 1) an xo (t ) an1 xo (t ) a1 x o (t ) a0 xo (t ) ( m) ( m1) m i m1 i 1 i 0 i
b x
(t ) b
x
(t ) b x (t ) b x (t )
jik03
F (s) L[ f (t )]
0
f (t )e st dt
4
2.典型输入函数的拉氏变换
（1）单位脉冲函数δ(t)
(t ) 0
(t)
0
t0 t0
，且 (t )dt 1
0
0 0
O
t
L[ (t )] (t )est dt (t )est dt es0 1
初始条件(状态)=0，输入≠0 微分方程的特解，包括瞬态响应和稳态响应
jik03
12
x (t ) 5x (t ) 6x(t ) 6， 例 2.8 求解 (0) 0 初始条件 x(0) 0 ， x
t0 1 1 解：单位阶跃函数 u (t ) t0 0 1 0 L[u (t )] s 6 2 s X ( s ) 5sX ( s ) 6 X ( s ) L变换: s
jik03
16
xs ( t )
x (t )
稳态响应 1
2 1.5
瞬态响应 5 e -2 t-4 e -3 t 稳态响应+1
瞬态响应 -3 e 2 t + 2 e - 3 t
1 0.5
t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0
1
2
3
4
t
4．总响应[复合运动]
总响应x(t)= 零输入响应xZ(t)+零状态响应xs(t) =瞬态响应+稳态响应 前例:x(t ) x Z (t ) x S (t )
(8e 2t 6e 3 t ) (3e 2t 2e 3t 1)
(5e 2t 4e 3t ) 1
jik03
14
例 2.9 求解 x (t ) x(t ) t 2 (t )， 初始条件x(0) 3
(t )
解：单位脉冲函数δ(t)
注意∶在零初始条件下，
jik03
d ps dt
8
（3）积分性质
零初始条件下 L[
（4）终值定理
t
0
F (s) f (t )dt ] s
lim f (t ) lim sF ( s )
t s 0
（5）延迟性质
L[ f (t )] e
s
F ( s)
9
jik03
(i ) a x ( t ) b x i i (t ) j 0 ( j) j o i 0 n m
列写系统微分方程的一般步骤：
（1）将系统划分环节，确定各环节的输入输出信号； （2）根据物理定律或通过实验等方法得到物理规律，列各环 节的原始方程，并考虑适当简化、线性化； （3）将各原始方程联立，消去中间变量，最后得到只含输入 变量、输出变量以及参量的系统方程式。
0
（2）单位阶跃函数u(t)
1 u (t ) 0
u(t) (t)
t 0 t 0
1
O
t
L[u(t )]
0
1 st 1 1 e dt e 0 s s
st
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5
（3）单位斜坡函数r(t)
t r (t ) 0
0
t0 t0
st
11
特点：
（1）解的各项系数: 指数: （2）只有瞬态响应，稳态响应=0； 2.5 x Z (t) （3）初始条件变化 2 只改变各组成项的系数。 瞬态响应
1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
8 e -2 t - 6 e -3 t
3．零状态响应 [强迫运动]
稳态响应 0 t
输入=0，初始条件(状态)≠0， 齐次方程的解(微分方程的通解)
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10
x (t ) 5 x (t ) 6 x(t ) 0 ， 例 2.7 求解 初始条件 x(0) 2 ， x (0) 2 。
s X ( s) sx(0) x (0) 5sX ( s) 5x(0) 6 X ( s) 0
三、拉氏反变换
1.定义
1
1 j st f (t ) L [ F ( s)] F ( s ) e ds 2j j
2.思路 ：若象函数为有理分式，则可先将其展开成
部分分式，再查表求拉氏反变换
四．微分方程的解与系统的响应
1．特征方程与特征根 2．零输入响应[自由运动]
代入初始条件用部分分式法展开
X (s) 2 s 12 8 6 ( s 2 5 s 6) s 2 s 3
1
解： L变换:
2
x(t ) L [ X ( s)] （查表） 2t 3t (t 0) x(t ) x Z (t ) 8e 6e
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e
at
F ( s) e e dt e
at st 0 0
( a s ) t
1 ( s a ) t 1 dt e sa sa 0
F(s)
w (s 2 w2 )
几个重要的拉氏变换
f(t) δ (t) F(s) 1 f(t) sinwt
1(t)
t0 0 (t ) (t )dt 1 0 t0 0 1 L 变换: sX ( s) 3 X ( s) 2 2 s 1 2 3 X ( s) 2 s ( s 1) s 1 s 1
L[ (t )] 1
0
t
x(t ) L1[ X ( s )] （查表）
解：该方程的特征方程为
5 6 0
2
对应的特征根为 2和 3 通解的形式为 根据初始条件有
x(t ) c1e2t c 2 e3t
x(0) c1 c2 2 x(0) 2c1 3c2 2
解之得C1=8,C2=-6 该方程的通解为
对应的齐次方程为
( n) ( n 1) an xo (t ) an1 xo (t ) a1 x o (t ) a0 xo (t ) 0
则特征方程为
an an1
n
n1
a1 a0 0
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2
x (t ) 5 x (t ) 6 x(t ) 0 ， 例 2.7 求解 初始条件 x(0) 2 ， x (0) 2 。
x(t ) (e
t
t 1) (2e
t
3e ) = 6e
t
t
+
(t 1)
15
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特点：
(1)只有一个特征根， 只有一项瞬态响应6e-t； 两项稳态响应，t 和 -1; (2)系统的初值≠初始条件（状态）. δ(t)改变了系统的初始条件（状态）
8 x ( t) 7 1 6 5 瞬态响应 6 e - t 4 3 稳态响应 t -1 2 1 t 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8
复习：线性系统微分方程的一般形式
( n) ( n 1) an xo (t ) an1 xo (t ) a1 x o (t ) a0 xo (t )
( m) ( m1) bm xi (t ) bm1xi (t ) b1x i (t ) b0 xi (t )
x(t ) 8e2t 6e3t
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3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二、拉氏变换