数学文卷·2018届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期中考试(2017.11)

2017—2018学年度上学期省六校协作体高三期中考试文科数学试题命题学校： 命题人： 校对人：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知i 是虚数单位，则复数=-i23i A. iB. i 3C. i -D.i 3-2、设集合{}421，，=A ，{}032=+-=mx x x B 。

若{}1=B A ，则B = A.{}1,3- B. {}1,3 C.{}1,0 D.{}1,53、《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是 A ．10日 B ． 20日 C ．30日 D ．40日4、设非零向量b a,，下列四个条件中，使bb a a =成立的充分条件是A.b a //B. b a 2=C. b a // 且b a= D. =a -b 5、抛物线()042<=a ax y 的焦点坐标是A.()0,aB.()0,a -C.()a ,0D.()a -,0 6、如图四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，2,90==∠AB ACB ，1==BC PA ,F 是BC 的中点。

则此几何体的左视图的面积是 A.41B.1C. 23D. 217、已知向量),(y x a = ，若实数x ，y 满足5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则a 的最大值是B.C.28、现输入如下四个函数，执行如下程序框图，则可输出的函数是A.()xx f 1=B.()()x x e e x x f --=C.x x +-11lnD.()2sin xx x x f += 9 、某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在直角坐标系xoy 中，以()y x ,为坐标轴的点落在直线12=-y x 上的概率为 A.121 B.91 C.365 D.61 10、学校艺术节对同一类的,,,a b c d 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是c 或d 作品获得一等奖”； 乙说：“b 作品获得一等奖”； 丙说：“,a d 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“是c 作品获得一等奖”． 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 A. d B.c C.b D.a11、函数()82221--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x f 的单调递增区间是A. (4, +)B.(1, +)C. (-,-1)D.(-,-2)12、一直线过双曲线()0142222>=-a ay a x 的焦点且垂直于x 轴，与双曲线相交于N M ,两点，以线段MN 为一边、双曲线的虚半轴为另一边作一个四边形，则这个四边形一定是 A.等腰梯形 B.一般梯形 C.菱形 D.平行四边形但非菱形 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2017-2018学年辽宁省六校协作体高三上学期期中考试数学（理）（详细答案版）2017-2018学年辽宁省六校协作体高三上学期期中考试数学（理）一、选择题：共12题1．已知集合,则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要是考查集合的运算.由得,,即∴∵,∴2．设复数是虚数单位),则A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要是考查复数的运算.∵∴===3．已知命题“”,则为A. B.C. D.【答案】C【解析】本题主要是考查全称命题和存在性命题的否定.命题“”,则为4．设是等比数列的前项和,,则公比A. B. C.1或 D.1或 QUOTE1 / 14【答案】C【解析】本题主要是考查等比数列的前项和公式.当时,,符合题意.当时,.解得.5．若满足条件,则目标函数的最小值是A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要是考查简单线性规划.作出不等式组,表示的平面区域,如图所示:作出直线平移直线,由图可知,当直线经过点B时,目标函数取最小值. 由,得.∴6．学校艺术节对同一类的四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:2017-2018学年辽宁省六校协作体高三上学期期中考试数学（理）（详细答案版）甲说:“是或作品获得一等奖”;乙说:“作品获得一等奖”;丙说:“两项作品未获得一等奖”;丁说:“是作品获得一等奖”.若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要是考查合情推理.∵对同一类的四项参赛作品,只评一项一等奖.∴假设作品获得一等奖,则四人说法都错误,不符合题意;假设作品获得一等奖,则甲、丁人说法都错误,乙丙说法正确,符合题意;假设作品获得一等奖,乙说法错误,其余三人说法正确,不符合题意;假设作品获得一等奖,则乙丙丁人说法都错误,不符合题意.故作品获得一等奖.7．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要是考查几何体的三视图、直观图、表面积.由三视图可知,该几何体时长方体与半圆柱的组合体.,如图:3 / 14∴表面积422= .8．四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着.那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要是考查概率的计算公式,列举法求概率.四个人站起来的方法共有16种,没有相邻的两个人站起来,即正面不能相邻.有:正反正反,反正反正,反反反正,反反正反,反正反反,正反反反,反反反反,有7种方法.∴没有相邻的两个人站起来的概率为9．我国古代数学著作<九章算术>有如下问题:“今有器中米,不知其数,前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升.问,米几何?”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的(单位:升),则输入的值为2017-2018学年辽宁省六校协作体高三上学期期中考试数学（理）（详细答案版）5 / 14A.4.5B.6C.9D.12【答案】D【解析】本题主要是考查循环结构程序框图. 模拟运行程序,输入满足条件执行循环体.满足条件执行循环体., 满足条件执行循环体.不满足条件,退出循环,输出.∴ ∴10．点A ,B,C ,D 在同一个球的球面上,AB =BC =,∠ABC =90°,若四面体ABCD 体积的最大值为3,则这个球的表面积为 A.2π B.4πC.8πD.16π【答案】D【解析】本题主要是考查球的内接多面体,球的表面积,其中分析出何时四面体体积最大是解答本题的关键. 根据题意知,其所在球的小圆的圆心在斜边的中点,设小圆的圆心为,若四面体体积的最大值,由于底面积是定值,高最大时体积最大.∴与面垂直时体积最大,最大值为,∴如图,设球心为O,半径为R,则在直角中,,∴∴∴这个球的表面积为:11．已知直线和直线,抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要是考查抛物线的几何性质以及抛物线的定义.∵抛物线的准线是直线∴P到直线的焦点的距离加1.∴过点P作直线的垂线与抛物线交点是则点P到和直线的距离之和的最小值,就是到直线的距离加1.∴最小值为12．已知向量,若与的夹角为60°,且,则实数的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要是考查向量的数量积.∵.2017-2018学年辽宁省六校协作体高三上学期期中考试数学（理）（详细答案版） 7 / 14∴.∴.∴二、填空题：共4题13． .【答案】【解析】本题主要考查微积分基本定理..14．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象,则函数的最小值为 .【答案】【解析】本题主要是考查三角函数的图像与性质. 由题意得∴====,∴, ∴当时,.15．已知,且满足,那么的最小值为.【答案】【解析】本题主要是考查均值不等式的应用.∵,∴∴=当且仅当时取等号.16．已知函数是函数的导函数,,对任意实数都有,则不等式的解集为 .【答案】【解析】本题主要是考查利用导数研究函数的单调性与最值,构造函数.令则,∴在R上是减函数.∴等价于∴不等式的解集是三、解答题：共7题17．已知,命题:对,不等式恒成立;命题,使得成立.(1)若为真命题,求的取值范围;(2)当时,若假,为真,求的取值范围.【答案】(1)对任意x∈[0,1],不等式2x﹣2≥m2﹣3m恒成立,∴﹣2≥m2﹣3m,解得1≤m≤2.(2)a=1时,存在x∈[﹣1,1],使得m≤ax成立.∴m≤1.∵p且q为假,p或q为真,∴p与q必然一真一假,∴或,2017-2018学年辽宁省六校协作体高三上学期期中考试数学（理）（详细答案版） 9 / 14解得1＜m ≤2或m ＜1.∴m 的取值范围是(﹣∞,1)∪(1,2].【解析】本题主要是考查简易逻辑,恒成立问题,不等式的解法. (1)由题意得出,然后解不等式即可.(2)由题意得出,再根据p 且q 为假,p 或q 为真,得出p 与q 必然一真一假,即可解答.18．在中,角的对边分别为,满足.(1)求角的大小; (2)若,求的面积.【答案】(1)由及正弦定理,得,,,,,.,.(2)由(1)得,由余弦定理得,,所以的面积为.【解析】本题主要是考查正余弦定理、和角公式、三角形面积公式的应用. (1)由及正弦定理,得再利用和角公式、三角形内角和定理以及诱导公式得出,即可解答;(2)由余弦定理得 ,把已知条件代入,求出,即可.19．数列的前项和记为,已知(1)证明:数列是等比数列; (2)求数列的前项和.【答案】(1)证明:因为,又,数列是等比数列,首项为,公比为的等比数列.(2)由(1)可知,T n=2+222+323+…(n-1)2n-1+n2n,2T n=22+223+324+…+(n-1)2n+n2n+1,所以T n-2T n=-T n=2+22+23+24+…+2n-n2n+1=(1-n)2n+1-2,所以T n=(n-1)2n+1+2.【解析】本题主要是考查等比数列的定义、数列求通项和数列求和,解答本题的关键是熟练掌握等比数列的定义以及错位相减法求和的方法.(1)由,得出,即可证明.(2)根据题意求出,然后利用错位相减法求和.20．已知函数图象上一点处的切线方程为.(1)求的值;(2)若方程在内有两个不等实根,求的取值范围(其中为自然对数的底).【答案】(1),,f(2)=a ln2﹣4b.∴,且a ln2﹣4b=﹣6+2ln2+2.解得a=2,b=1.(2)f(x)=2ln x﹣x2,令h(x)=f(x)+m=2ln x﹣x2+m,则,令h'(x)=0,得x=1(x=﹣1舍去).在内,当x∈时,h'(x)＞0,∴h(x)是增函数;当x∈(1,e]时,h'(x)＜0,∴h(x)是减函数.2017-2018学年辽宁省六校协作体高三上学期期中考试数学（理）（详细答案版）11 / 14方程h (x )=0在内有两个不等实根的充要条件是,即.【解析】本题主要是考查函数与方程,函数与导数的综合应用. (1)根据导数的几何意义,得出两个方程,然后求解.(2)先利用导数研究函数h (x )=f (x )+m =2ln x ﹣x 2+m 的单调性,根据单调性与极值点确定关系然后求解.21．函数,其中.(1)试讨论函数 的单调性; (2)已知当(其中是自然对数的底数)时,在上至少存在一点,使 成立,求 的取值范围;(3)求证:当时,对任意,有.【答案】(1)易知的定义域为.=.由 得: 或.∵,∴.∴①当时,则为增函数;为减函数; 为增函数.②当时,则为增函数;为减函数;为增函数.③当时,为增函数.(2)在上至少存在一点,使成立,等价于当时,.∵,∴.由(1)知,时,为增函数,时,为减函数.∴在时,.∴.检验,上式满足,所以是所求范围.(3)当时,函数.构造辅助函数,并求导得.显然当时,为减函数.∴对任意,都有成立,即.即.又∵,∴.【解析】本题主要是考查利用导数研究函数的单调性、极值最值,导数的综合应用. (1)易知的定义域为.=.通过讨论导数的正负解答.(2)在上至少存在一点,使成立,等价于当时,.通过单调性求出最大值,然后解答.(3)构造辅助函数,并求导得=,然后利用单调性解答.2017-2018学年辽宁省六校协作体高三上学期期中考试数学（理）（详细答案版） 13 / 1422．在平面直角坐标系中,将曲线上的所有点的横坐标伸长为原来的倍,纵坐标伸长为原来的倍后,得到曲线;在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程是.(1)写出曲线的参数方程和直线的直角坐标方程; (2)在曲线上求一点,使到直线的距离最大,并求出此最大值.【答案】(1)由题意知,曲线C 2方程为,参数方程为(φ为参数).直线l 的直角坐标方程为2x -y -6＝0. (2)设P (cos φ,2sin φ),则点P 到直线l 的距离为d ＝＝.∴当sin(60°-φ)＝-1时,d 取最大值2,此时取φ＝150°+k 360°,,点P 坐标是.【解析】本题主要是考查曲线的极坐标与直角坐标的互化,考查椭圆的参数方程以及普通方程的转化.(1)求出C 2的普通方程,写出参数方程,利用极坐标与直角坐标的互化写出直线的普通方程; (2)设P (cos φ,2sin φ),根据点到直线的距离公式,求出点P 到直线l 的距离,然后求出最值.23．已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若,且当时,不等式有解,求实数的取值范围.【答案】(1)当时,,等价于或或,解得或或,即.∴不等式的解集为.(2)∵,∴,不等式,∴,∴实数的取值范围是.【解析】本题主要是考查绝对值不等式,存在性问题的解法.(1)分类讨论,去掉绝对值,然后解不等式;(2)由题意,原问题转化为,然后求解.。

2017-2018学年高三上学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}0,1,A a =，{}22,B a =，若{}0,1,2,3,9A B = ,则a 的值为（ ）A ．3B ．1C ．2D ．0 2．复数z 满足21iz i-=-，则z 对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．如果命题" ()"p q ⌝∨为假命题，则（ ）A ．,p q 均为真命题B ．,p q 中至少有一个为真命题C ．,p q 均为假命题D ．,p q 中至多有一个真命题 4．设1.05.0=a ,1.0log 4=b ，1.04.0=c ,则( )A. a c b >> B ．a c b >> C ．c a b >> D. c a b >> 5. 若sin cos 1sin cos 2αααα-=+，则tan 2α的值为（ ）A ．34B ．35 C.34- D ．36．定义在R 上的函数()f x 在)(6,+∞上为减函数，且函数()6+=x f y 为偶函数，则（ ）A ．()()54f f >B ．()()74f f >C ．()()75f f >D ．()()85f f >7．一个五面体的三视图如右图，正视图是等腰直角三角形，侧视图是直角三角形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为（ ）A.1B.2C.3D.48．函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,2πωϕπ>≤≤)的部分图象如右图所示，其中,A B 两点之间的距离为5， 则=)1(f ( ) A ．3 B ． 3- C ．1 D ．1-9．已知数列}{n a 为等差数列，若11101,a a <-且它们的前n 项和n S 有最大值，则使得0n S >的n 的最大值为（ ）A.11B.21C.20D.19 10．在ABC ∆中，90C =o ，且3CA CB ==，点M 满足2=，则⋅等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．函数()f x 的导函数为()f x '，对x R ∀∈,都有()()f x f x '>成立，若(ln 2)2f =，则不等式()x f x e >的解是（ ）A ．1x >B ．01x <<C ．ln 2x > D. 0ln 2x <<12．已知方程|lnx|=kx+1在（0，e 3）上有三个不等实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．320,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．3232,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．3221,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数21,0()0xx f x x -⎧-≤⎪=>，则[(2)]f f -=14．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n S 和n T ，且对任意正整数n 都有3523n n S n T n +=+，则77a b = ． 15．已知O 是坐标原点，点(1,1)A -，若点(,)M x y 为平面区域2,1,2,x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是____________16．已知函数()()02x f x f e x '=-+，点P 为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线l 上的一点，点Q在曲线x y e =上，则PQ 的最小值为____________三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知命题p ：函数()212log 2y x x a =++的定义域R ，命题q ：函数()250,a y x -=+∞在上是减函数.若p q ∧⌝为真命题，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有324n n a S =+成立． （1）记2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式； （2）设11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin sin 1sin sin sin sin B CA C A B+=++．（1）求角A ；（2）若a =b c +的取值范围．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，△ABC 为正三角形，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，PA=AC ，PA ⊥平面ABCD ． （1）若E 为棱PC 的中点，求证PD ⊥平面ABE ； （2）若AB=3，求点B 到平面PCD 的距离．21.（本小题满分12分） 已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈． （1）当2a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）设函数1()()ah x f x x+=+，求函数()h x 的单调区间； （3）若1()ag x x+=-，在[]()1 2.71828e e =⋯，上存在一点0x ，使得()()00f x g x ≤成立，求a 的取值范围．请考生在22、23、二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为2sin cos θρθ=． （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点P （0，2）作斜率为1直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试求11PA PB+的值．23．(本小题满分10分)已知函数|32||1|)(+--=x x x f . （I ）解不等式2)(>x f ；（II ）若关于x 的不等式a a x f -≤223)(的解集为R ，求正数a 的取值范围.2017-2018学年高三上学期期中考试文科数学答案1.A2.A3.B4. B5.C6.D7. B8. D9.D 10. A 11.C 12. C13.14.4429 15.[]0,2 16．17.解：对于命题p ：因其定义域为R ，故220x x a ++>恒成立， 所以440a ∆=-<，∴1a >．对于命题q ：因其在()0,+∞上是减函数，故250a -<，则52a <．……6分∵p q ∧⌝为真命题， ∴p 真q 假，则1,52a a >⎧⎪⎨≥⎪⎩，则52a ≥，故实数a 的取值范围为5[,)2+∞． …………………………12分18.解：（1）在中令n=1得a 1=8，因为对任意正整数n，都有成立，所以，两式相减得a n+1﹣a n=a n+1，所以a n+1=4a n ， 又a 1≠0，所以数列{a n }为等比数列， 所以a n =8•4n ﹣1=22n+1，所以b n =log 2a n =2n+1，……6分 （2）c n===（﹣）所以…12分19.解：（1）∵=1．∴由正弦定理可得：=1，整理可得：b 2+c 2﹣a 2=bc ，∴由余弦定理可得：cosA===，∵A ∈（0，π）， ∴A=．……6分（2）∵A=，a=4，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc，可得：48=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，解得：bc≤48，当且仅当b=c=4时等号成立，又∵48=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，可得：（b+c）2=48+3bc≤192，∴可得：b+c≤8，又∵b+c＞a=4，∴b+c∈（4，8]．…………12分20.（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC⊥CD，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE．∵AC=PA，E是PC的中点，∴AE⊥PC，又PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，由面面垂直的性质定理可得BA⊥平面PAD，AB⊥PD，又AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．……6分（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，∴，由（1）的证明知，CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，∵AB⊥AD，△ABC为正三角形，∴∠CAD=30°，∵AC⊥CD，∴设点B的平面PCD的距离为d，则．在△BCD中，∠BCD=150°，∴．∴，∵V B﹣PCD=V P﹣BCD，∴，解得，即点B到平面PCD的距离为．………12分21.………3分………7分………12分22．解：（I ）∵ρ=，∴ρ2cos 2θ=ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程是x 2=y ，即y=x 2．……4分（II ）直线l的参数方程为（t 为参数）．将（t 为参数）代入y=x 2得t 2﹣﹣4=0． ∴t 1+t 2=，t 1t 2=﹣4．∴+====．……10分23.解：（1）函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥--<<----≤+=+--=1,4123,2323,4|32||1|)(x x x x x x x x x f ，当23-≤x 时，由24>+x 解得2->x ，即232-≤<-x ； 当123<<-x 时，由223>--x 解得2<x ，即3423-<<-x ；当1≥x 时，由24>--x 解得6-<x ，无解； 所以原不等式的解集为}342|{-<<-x x .……5分（2）由（1）知函数)(x f 在23-=x 处取函数的最大值25)23(=-f ， 要使关于x 的不等式a a x f -≤223)(的解集为R ，只需25232≥-a a ，即05232≥--a a ，解得1-≤a 或35≥a .又a 为正数，则35≥a .……10分。

2017-----2018学年度下学期沈阳市郊联体期中考试题高三数学理科答案考试时间120分钟 试卷总分150分一、选择题：1--5 A D D B C 6--10 D C B B C 11-12 DA二、填空题：13、2 14、π34 15、3())4g x x π=- 16、22 三、解答题： 17、（1）解：(1)因为S n ＋n ＝2a n ，所以S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2，n∈N *)．两式相减，得a n ＝2a n －1＋1 .……2分所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2，n ∈N *)，所以数列{a n ＋1}为等比数列 ……3分．因为S n ＋n ＝2a n ，令n ＝1得a 1＝1.a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2n ，所以a n ＝2n －1 .……5分(2)因为b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，所以b n ＝(2n ＋1)·2n .……6分所以T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ， ①2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1， ②①－②，得－T n ＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1……8分＝6＋2×－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2＋2n ＋2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2－(2n －1)·2n ＋1.所以T n ＝2＋(2n －1)·2n ＋1. ……12分18、解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，经济损失不超过4000元的有70人，经济损失超过4000元的有30人，则表格数据如下…………………………2分762.430702080)20101060(10022≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K 因为4.762 3.841>，( 3.841)0.05p k ≥=所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．……………………………………………………………………………………4分（2）由频率分布直方图可知抽到自身经济损失超过4000元居民的频率为0.3，将频率视为概率.由题意知ξ的取值可能有0,1,2,3，………………………………………………5分 3~(3,)10B ξ， 003337343(0)()()1010100p C ξ==⨯=，……………………………………6分 112337441(1)()()1010100p C ξ==⨯=， ……………………………………7分 221337189(2)()()1010100p C ξ==⨯=，……………………………………8分 33033727(3)()()1010100p C ξ==⨯=，……………………………………9分从而ξ的分布列为………………………10 3()30.910E np ξ==⨯=，……………………………………………11分 37()(1)30.631010D np p ξ=-=⨯⨯=………………………………12分19、解：（Ⅰ）取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为EA EB =，所以AB EO ⊥．因为四边形ABCD 为直角梯形，BC CD AB 22==，BC AB ⊥，所以四边形OBCD 为正方形，所以OD AB ⊥．O DO EO =所以⊥AB 平面EOD ． 所以 ED AB ⊥．……3分（Ⅱ）因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且 AB EO ⊥，所以⊥EO 平面ABCD ，所以OD EO ⊥． 由OE OD OB ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O - ……………4分因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以OE OD OB OA ===，设1=OB ，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E -． 所以 )1,1,1(-=，平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD = ．…………5分设直线EC与平面ABE 所成的角为θ，所以||sin |cos ,|||||EC OD EC OD EC OD θ⋅=〈〉== ， 即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦．…7分（Ⅲ）存在点F ，且13EF EA =时，有EC // 平面FBD ．…………8分证明如下：由)31,0,31(--==EF ，)32,0,31(-F ，所以)32,0,34(-=FB ． 设平面FBD 的法向量为v ),,(c b a =，则有0,0.BD FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ v v 所以 0,420.33a b a z -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 取1=a ，得)2,1,1(=v ……………10分．因为 ⋅v 0)2,1,1()1,1,1(=⋅-=，且⊄EC 平面FBD ，所以 EC // 平面FBD ． 即点F 满足13EF EA =时，有EC // 平面FBD ．…………12分 注意：其它方法酌情给分，如（Ⅲ）中设)10(≤≤=λλEA EF 求出平面FBD 的法向量得2分，解出λ得2分，总结得1分 。

2017-2018学年度上学期沈阳市郊联体期中考试高三试题数 学（理）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

已知集合2{log (1)}A x y x ==-，2{20}B x x x =-<,则A B =（ )A ．{0}x x >B ．{1}x x >C ．{12}x x <<D ．{02}x x <<2．已知平面向量,a b 的夹角为090,(3,1)a =，1b =，则2a b +=（）A ．2B ．7C ．23D ．223。

已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-=(）A ．13- B ．23-C ．13D ．234。

已知等差数列{}na 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前12项和12S=( ）A ．135B ．150 C.95 D ．855。

2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是（ )A ．36B ．24C 。

72D ．144 6.已知：命题:p “1a =是0x >,2ax x +≥的充分必要条件”；命题:q “0x R ∃∈，20020x x +->",则下列命题正确的是( )A ．命题“p q ∧”是真命题B ．命题“()()p q ⌝∧⌝”是真命题C. 命题“()p q ∧⌝”是真命题 D ．命题“()p q ⌝∧"是真命题 7。

在平面直角坐标系中，(3,1)A ,B 点是以原点O 为圆心的单位圆上的动点，则OA OB+的最大值是（ ）A ．5B ．4C 。

3D ．38。

已知变量,x y 满足2025020x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则31y u x -=+的取值范围是（)A ．516[,]25B ．11[,]25--C 。

15[,]22-D ．514[,]25-9.从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点(,)M x y ，则点M 取自阴影部分的概率为（ ）A ．12B ．13C. 14D ．1610.函数()tan f x x =，则函数4()log 1y f x x =+-的零点的个数是（ ）A ．1B ．2 C. 3 D ．411。

2017—2018学年度沈阳郊联体高三上学期期末考试数学（文）答案一，选择题（本大题共 12 小题，每小题5分，计 60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.A2.B3.C4.C5. D6.C7.A 8.B 9.C 10.D 11. B 12.D二，填空题（本大题共4 小题，每小题 5分，共20分）：13. 01443=++y x 或（和） 0643=-+y x 14. 1515 16. 113120 三，解答题（要求写出必要的计算步骤和思维过程，共70分。

其中17-21题每题12分，22题10分。

）17.（本小题满分12分）解：（1）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=得7=a . …………3分 由正弦定理Cc A a sin sin =得721sin =C . ……6分 （2）原式降幂得C A B B A sin 32cos 1sin 2cos 1sin =+⋅++⋅化简得C B A sin 5sin sin =+ ……8分 即c b a 5=+=10① 又C C ab S sin 225sin 21==得25=ab ② ……10分 5==∴b a ……12分18. （本小题满分12分）证明：（1）法一 连1AB 交B A 1于M ，连PM . ……2分依题，11ABB A 为矩形，M ∴为1AB 中点，又P 为AC 的中点.PM ∴为C AB 1∆的中位线，1//CB PM ∴. ……4分又⊄C B 1平面PB A 1，⊂PM 平面PB A 1∴//1C B 平面PB A 1 ……6分法二 取11C A 中点为M ，证平面M CB 1//平面B PA 1， ……4分再证：//1C B 平面PB A 1 ……6分（2）==--PBC A BC A P V V 11ΘA A S PBC 131⋅⋅∆=13)212221(31=⨯⨯⨯⨯⨯. ……8分 易得2,17,13===BC AC AB ，BC A 1∆∴为直角三角形，131=∴∆BC A S ……10分 （也可证1AB BC 平面⊥，BC A 1∆∴为直角三角形，131=∴∆BC A S ）设点P 到平面BC A 1的距离为d ，13111=⋅=∆-d S V BC A BC A P Θ，13133=∴d .即点P 到平面BC A 1的距离为13133.……12分19.（本小题满分12分） （Ⅰ）抛物线的准线为2px -=，所以423=+=p d ,所以 抛物线的方程为 ……3分所以，,解得所以椭圆的标准方程为……6分(Ⅱ)直线l的斜率必存在,设为,设直线与抛物线C交于1则直线的方程为,联立方程组:所以, (*) ……8分由得:得: ……10分所以将(*)代入上式,得 ……12分20．（本小题满分12分）（1）,1=C 232=a b ，解得3,2==b a .所以椭圆的方程13422=+y x . …………4分（2）假设存在点),(00y x M ，当l 斜率不存在，211F F M F =，c c a 2=-，不成立；当l 斜率存在，设为k ，设直线)1(:+=x k y l 与13422=+y x 联立得01248)43(2222=-+++k x k x k .…………6分0)99(162>+=∆k .2221438k kx x +-=+，则AB 的中点坐标为)433,434(222k kk k ++- …………8分AB 与2MF 的中点重合， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+∴2220433243421k k y k k x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+--=∴2022*******12k ky k k x ， …………10分 代入椭圆的方程13422=+y x 得027248024=-+k k .解得2092=k .∴存在符合条件的直线l 的方程为：)1(1053+±=x y . …………12分21．（本小题满分12分）（1）()(2)(e 1)x f x x m '=+-．因为(0)1f m =-，(0)2(1)f m '=-，…………2分所以切线l 方程为2(1)1y m x m =-+-．由2(1)1m m -≥-，得m 的取值范围为[1,)+∞． …………4分（2）令()0f x '=，得12x =-，2ln x m =-． …………6分①若21e m ≤<，则220x -<≤．从而当2(2,)x x ∈-时，()0f x '<；当2(,)x x ∈+∞时，()0f x '>．即()f x 在2(2,)x -单调递减，在2(,)x +∞单调递增．故()f x 在[2,)-+∞的最小值为2()f x ．而2221()(2)02f x x x =-+≥，故当2x ≥-时，()0f x ≥．………8分 ②若2e m =，22()e (2)(e e )x f x x -'=+-．当2x ≥-时，()0f x '>．即()f x 在[2,)-+∞单调递增．故当2x ≥-时，()(2)0f x f ≥-=．………10分③若2e m >，则222(2)e 1e (e )0f m m ---=-+=--<．从而当2x ≥-时，()0f x ≥不恒成立． 综上m 的的最大值为2e ．…………12分22.(本小题满分10分)（1）04:=--y x l ；14:22=+y x C ………5分 （2）设)sin ,cos 2(ααM ，得最小值为54-.………10分23.(本小题满分10分)（1）),27[]27,(+∞--∞Y ………5分（2）由2≤-a x 的解集为]3,1[-得1=a ，由均值不等式mn n m 222≥+，当且仅当32==n m 时取等. 得3)2()22(2++≥+n m n m 62≥+∴n m ………10分。

2017-2018学年辽宁省沈阳市交联体高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足（1+i）z=2i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”B．“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件C．命题“若a＞b，则ac＞bc”的逆否命题为“若ac＞bc，则a≤b”D．若“p∨（¬q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题3．（5分）已知向量，若，则λ=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣14．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A．B．C．D．5．（5分）已知O为坐标原点，点M的坐标为（2，﹣1），点N的坐标满足，的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=2，，则c=（）A．B．5 C．D．7．（5分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=n（a n+1﹣a n）（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A．2n﹣1 B．n C．D．n29．（5分）若f（x）=﹣x2+2ax与在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（0，1]C．（0，1） D．（0，1] 10．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cosωx的图象，只需把y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度11．（5分）抛物线y=2x2在第一象限内图象上一点处的切线与x轴交点的横坐标记为a i，其中i∈N*，若a2=16，则a2+a4+a6等于（）+1A．16 B．21 C．32 D．4212．（5分）如图，在扇形OAB中，∠AOB=30°，C为弧上且与A，B不重合的一个动点，且，若μ=x+λy（λ＞0）存在最大值，则λ的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知α是第三象限角，，则tanα=．14．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这三位同学中有且仅有两个同学参加同一兴趣小组的概率为．15．（5分）若偶函数y=f（x），x∈R，满足f（x+2）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=3﹣x2，则方程f（x）=sin|x|在[﹣10，10]内的根的个数为．16．（5分）在数列{a}中，a1≠0，，S n为{a n}的前n项和，记，则数列{R n}的最大项为第项．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知tanα=，函数f（x）=cos2α，数列{a n}的首项a1=1，a n+1=f（a n）．（1）求f（x）的解析式；（2）设b n=a n+2an，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士﹣12369”的绿色环保活动小组对2016年1月﹣2016年12月（一年）内空气质量指数API 进行监测，下图是在这一年随机抽取的100天的统计结果：（1）若某市某企业每天由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量指数API （记t ）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失p ∈（200，600]元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考：参考公式：，其中n=a +b +c +d ．19．（12分）已知函数f （x ）=2x ﹣1，（x ∈R ）（1）当时，求函数f （x ）的最小值和最大值；（2）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且c=，f （C ）=0，若向量与向量共线，求a，b的值．20．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，满足S n=2a n﹣n，（1）求证：存在实数λ数使得列{a n+λ}是等比数列；（2）设b n=（2n+1）（a n+1），求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分）已知函数在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．（1）求a，b的值；（2）若对函数f（x）定义域内的任一个实数x，都有xf（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）已知x+y+z=1．（1）证明：；（2）设x，y，z为正数，求证：．2017-2018学年辽宁省沈阳市交联体高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足（1+i）z=2i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由，得=．∴z在复平面内对应的点的坐标为，是第一象限的点．故选：A．2．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”B．“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件C．命题“若a＞b，则ac＞bc”的逆否命题为“若ac＞bc，则a≤b”D．若“p∨（¬q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1≤0“；A错误；对于B、当“x=3”时，必有“2x2﹣7x+3=0”，反之若2x2﹣7x+3=0，则x=3或，x=3不一定成立，则“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件，B正确；对于C、命题“若a＞b，则ac＞bc”的逆否命题为“若ac≤bc，则a≤b”，C错误；对于D、若“p∨（¬q）”为真命题，则p、￢q都是真命题，则p为真命题，而￢q为假命题，则“p∧q”也假命题，D错误；故选：B．3．（5分）已知向量，若，则λ=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【解答】解：，∴（2λ+3）×（﹣1）﹣3=0，∴λ=﹣3．故选：B．4．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A．B．C．D．【解答】解：模拟程序的运行过程知，该程序运行后输出S=1+++…+，计算S=1+（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=2﹣=，∴输出S的值为．故选：C．5．（5分）已知O为坐标原点，点M的坐标为（2，﹣1），点N的坐标满足，的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：根据题意可得，=2x﹣y，令Z=2x﹣y做出不等式组所表示的平面区域，如图所示的△ABC阴影部分：做直线l0：2x﹣y=0，然后把直线l0向可行域内平移，到点A时Z最大，而由可得A（1，0），此时Z max=2．故选：D．6．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，b=2，，则c=（）A．B．5 C．D．【解答】解：a=3，b=2，，由余弦定理：b2=a2+c2﹣2cacosB．即4=9+c2﹣2c．解得：c=．故选：A．7．（5分）设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于1的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域D为正方形OABC，如图所示；到坐标原点的距离小于1的点，位于以原点O为圆心、半径为1的圆内；其中O为坐标原点，A（1，0），B（1，1），C（0，1）；因此在区域D内随机取一个点P，则P点到坐标原点的距离大于1时，点P位于图中正方形OABC内，且在扇形OAC的外部，如图中的阴影部分；=12=1，S扇形=π•12=，∵S正方形OABC所求的概率为P=1﹣=1﹣=．故选：D．8．（5分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=n（a n+1﹣a n）（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A．2n﹣1 B．n C．D．n2【解答】解：∵a n=n（a n+1﹣a n），∴=，∴a n=•…••a1=•…••1=n，故选：B．9．（5分）若f（x）=﹣x2+2ax与在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（0，1]C．（0，1） D．（0，1]【解答】解：函数f（x）=﹣x2+2ax的图象开口朝下，且以直线x=a为对称轴，若在区间[1，2]上是减函数，则a≤1，的图象由y=的图象左移一个单位得到，若在区间[1，2]上是减函数，则a＞0，综上可得：a的取值范围是（0，1]，故选：D．10．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cosωx的图象，只需把y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：∵T=4×（）=π，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），π∵图象过点（，0），∴sin（2×+φ）=0，∵|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+）=sin[2（x+）]；∵y=cos2x=sin（2x+）=sin[2（x+）]=sin[2（x++）]；∴函数f（x）的图象向左平移个单位长度，可以得到函数y=sin2x的图象．故选：D．11．（5分）抛物线y=2x2在第一象限内图象上一点处的切线与x轴交点的横坐标记为a i，其中i∈N*，若a2=16，则a2+a4+a6等于（）+1A．16 B．21 C．32 D．42【解答】解：∵y=2x2（x＞0），∴y′=4x，∴x2=y在第一象限内图象上一点（a i，2a i2）处的切线方程是：y﹣2a i2=4a i（x ﹣a i），整理，得4a i x﹣y﹣2a i2=0，，∵切线与x轴交点的横坐标为a i+1=a i，∴a i+1∴{a2k}是首项为a2=16，公比q=的等比数列，∴a2+a4+a6=16+4+1=21．故选：B．12．（5分）如图，在扇形OAB中，∠AOB=30°，C为弧上且与A，B不重合的一个动点，且，若μ=x+λy（λ＞0）存在最大值，则λ的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】解：如图所示：，∠AOB=30°，设射线OB上存在为B'，使=，AB'交OC于C'，由于=x+y=x+λy•=x+λy•，设=t，=x′+λy′，由A，B'，C'三点共线可知x'+λy'=1，所以u=x+λy=tx'+t•λy'=t，则u=存在最大值1，即在弧AB（不包括端点）上存在与AB'平行的切线，所以λ∈（，）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知α是第三象限角，，则tanα=．【解答】解：∵α是第三象限角，，∴sinα=﹣，cosα=﹣=﹣，tan=．故答案为：．14．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这三位同学中有且仅有两个同学参加同一兴趣小组的概率为．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3=9种结果，满足条件的事件是三位同学中有且仅有两个同学参加同一兴趣小组，由于有三个小组，则有6种结果，根据古典概型概率公式得到P==，故答案为：．15．（5分）若偶函数y=f（x），x∈R，满足f（x+2）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=3﹣x2，则方程f（x）=sin|x|在[﹣10，10]内的根的个数为10．【解答】解：∵函数y=f（x）为偶函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=f（x），∴偶函数y=f（x）为周期为4的函数，由x∈[0，2]时f（x）=3﹣x2可作出函数f（x）在[﹣10，10]的图象，同时作出函数y=sin|x|在[﹣10，10]的图象，交点个数即为所求．数形结合可得交点个为10，故答案为：10．}中，a1≠0，，S n为{a n}的前n项和，记16．（5分）在数列{a，则数列{R n}的最大项为第6项．【解答】解：由，可得数列{a n}是公比为的等比数列，那么前n项和，可得：==（）．设，则R n转为f（t）=（）∵，当且仅当（t=）时取等号，即（）∴f（t）即，∵n∈N*，∴n最大值为6．故答案为：6三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知tanα=，函数f（x）=cos2α，数列{a n}的首项a1=1，a n+1=f（a n）．（1）求f（x）的解析式；（2）设b n=a n+2an，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵tanα=，∴tan2α==，cos2α=cos 2α﹣sin 2α===．∴函数f （x ）=cos2α=x +1；（2）∵数列{a n }的首项a 1=1，a n +1=f （a n ）．∴a n +1﹣a n =1， ∴数列{a n }是等差数列，公差为1， ∴a n =1+n ﹣1=n ． ∴b n =a n +2an =n +2n ．∴数列{b n }的前n 项和S n =（1+2+…+n ）+（2+22+…+2n ）=+=+2n +1﹣2．18．（12分）某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士﹣12369”的绿色环保活动小组对2016年1月﹣2016年12月（一年）内空气质量指数API 进行监测，下图是在这一年随机抽取的100天的统计结果：（1）若某市某企业每天由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量指数API （记t ）的关系为：，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失p ∈（200，600]元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考：参考公式：，其中n=a+b+c+d．【解答】解：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失P∈（200，600]元”为事件A，由200＜4t﹣400≤600，得150＜t≤250，∴P（A）=0.006×50+0.018×50=0.39；（2）根据以上数据得到如下表：计算K2=≈4.575＞3.841，所以有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关．19．（12分）已知函数f（x）=2x﹣1，（x∈R）（1）当时，求函数f（x）的最小值和最大值；（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量与向量共线，求a，b的值．【解答】解：函数f（x）=2x﹣1，（x∈R）化简可得：f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2=2sin（2x﹣）﹣2（1）由时，可得：≤2x﹣∴当2x﹣=时，函数f（x）取得最小值为=﹣3；∴当2x﹣=时，函数f（x）取得最小值为2×1﹣2=0；（2）由f（C）=0，即求解C大小，由于sin（2C﹣）=1，∴2C﹣=2kπ，k∈Z．∵0＜C＜π∴C=∵向量与向量共线，∴2sinA=sinB由正弦定理：2a=b…①由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC…②①②联立可得：a=1，b=220．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，满足S n=2a n﹣n，（1）求证：存在实数λ数使得列{a n+λ}是等比数列；（2）设b n=（2n+1）（a n+1），求数列{b n}的前n项和T n．【解答】证明：（1）当n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1=1，当n≥2时，S n=2a n+n．①=2a n﹣1+（n﹣1）②利用递推关系式：S n﹣1由①﹣②得：a n=2a n﹣1+1整理得：a n+1=2（a n+1）﹣1即=2，∵a1+1=2∴{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴存在实数λ=1数使得列{a n+λ}是等比数列；解：（2）由（1）可得a n+1=2n，则b n=（2n+1）2n，∴T n=3×2+5×22+7×23+…+（2n+1）2n，∴2T n=3×21+5×23+7×24+…+（2n+1）2n+1，∴﹣T n=6+23+24+…+2n+1﹣（2n+1）2n+1=6+﹣（2n+1）2n+1=﹣2﹣（2n ﹣1）2n+1，∴T n=2+（2n﹣1）2n+1．21．（12分）已知函数在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．（1）求a，b的值；（2）若对函数f（x）定义域内的任一个实数x，都有xf（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=，而点（1，f（1））在直线x+y=2上，∴f（1）=1，又直线x+y=2的斜率为﹣1，∴f′（1）=﹣1，故有，解得：；（2）由（Ⅰ）得f（x）=（x＞0），由xf（x）＜m，得：＜m，令g（x）=，g′（x）=，令h（x）=1﹣x﹣lnx，则h′（x）=﹣1﹣＜0，（x＞0），∴h（x）在区间（0，+∞）上是减函数，∴当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，从而当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，故g（x）max=g（1）=1，要使＜m成立，只需m＞1，故m的取值范围是（1，+∞）．22．（12分）已知x+y+z=1．（1）证明：；（2）设x，y，z为正数，求证：．【解答】证明：（1）∵x+y+z=1，∴（x+y+z）2=1，∴x2+y2+z2﹣=x2+y2+z2﹣（x+y+z）2，=x2+y2+z2﹣（x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx），=（2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2yz﹣2zx），=[（x﹣y）2+（y﹣z）2+（z﹣x）2]≥0，当且仅当x=y=z时取等号，∴x2+y2+z2≥，要证（2）要证，需证（﹣1）（﹣1）（﹣1）≥8，即证••≥8xyz，需要证（y+z）（x+z）（x+z）≥8xyz，∵x，y，z为正数，由基本不等式可得x+y≥2，x+z≥2，x+y≥2，当且仅当x=y=z时取等号，将以上三个同向不等式相乘得（y+z）（x+z）（x+z）≥8，即（y+z）（x+z）（x+z）≥8xyz，所以原不等式．。

2017-2018学年度上学期沈阳市郊联体期末考试高三试题数学（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）B. C.【答案】A所以，故选A.考点：集合的运算.视频2. 已知复数）A. 2B.C.【答案】B位于直线故选B）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据题意，若l1∥l2，则有1×3=a×（a-2），解可得a=-1或3，反之可得，当a=-1时，直线l1：x-y+6=0，其斜率为1，直线l2：-3x+3y-2=0，其斜率为1，且l1与l2不重合，则l1∥l2，当a=3时，，直线l1：x+3y+6=0，直线l2：x+3y+6=0，l1与l2重合，此时l1与l2不平行，所以l1∥l2⇒a=-1，反之，a=-1⇒l1∥l2，故l1∥l2⇔a=-1，故选C．4. ）A.C.【答案】C【解析】A中A错。

B中，两平面垂直，并不能推出两平面的任取一直线相互垂直，B错.C中由经过一平面垂线的平面与另一平面垂直，B对。

D中，两平面平行只有被第3个平面相交所得的交线平行，其余情况不平行，D错，选C.5. 的焦距为，且双曲线的一条渐近线为线的方程为（）【答案】D即a2+b2=5，…①双曲线的一条渐近线方程为x-2y=0，可得a=2b，…②，解①②可得a=2，b=1．所求的双曲线方程为：故选D6.（）A. 最大值为100B. 最大值为25C. 为定值24D. 最大值为50【答案】C1，又，所以故选C7. 已知正数为（）B. D.【答案】A【解析】可得f（x）在点（m，f（m））处的切线的斜率为k=m2+n2，由正数，n，满足mn=2故选A8. 如图，在边长为1的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A. 15B. 13C. 12D. 9【答案】B【解析】题中的几何体的直观图如图所示,其中底面ABCD是一个矩形(其中AB=5,BC=2),棱EF∥底面ABCD,且EF=3,直线EF到底面ABCD 的距离是3.连接EB,EC,则题中的多面体的体积等于四棱锥E-ABCD与三棱锥E-FBC的体积之和,而四棱锥E-ABCD E-FBC的体积等于因此题中的多面体的体积等于10+3=13.故选B.9. 已知椭圆相切，则的离心率为（）C. D.【答案】C【解析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，∴原点到直线的距离C的离心率故选A10.外接球的表面积为（）【答案】D【解析】∵SA⊥平面ABC，AB⊥AC，故三棱锥外接球等同于以AB，AC，SA为长宽高的长方体的外接球，故三棱锥外接球的表面积S=（22+22+32）π=17π.故选D.11. 交抛物线于）【答案】B【解析】p=2,作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，又|BC|=2|BF|，得|BC|=2|BN|，故选B点睛：本题考查抛物线的定义的应用,体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算，解题过程中相似比的应用是关键.12. 已知函数时，）【答案】D作出f（x）在4]上的函数图象如图所示：有3个交点，4，ln4），则若直线y=ax与y=lnx相切，设切点为（x，y），则此时切线斜率为故选D点睛：本题充分体现了转化思想以及数形结合的思想，即把根的问题转化为函数零点问题，再进一步转化为两个函数图象交点的问题，做出图象直观的判断，再进行计算.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知直线方程为__________．或（和）【解析】由直线l1与直线l2：4x-3y+1=0垂直，则可设l1的方程是3x+4y+b=0．由圆C：x2+y2=-2y+3，知圆心C（0，1），半径r=2，l1的方程为3x+4y+6=0或3x+4y-14=0．故答案为3x+4y+6=0或3x+4y-14=0．14. ．【答案】15故答案为1515. ：两点，线段与双曲线的另一交点为，若为________．【解析】如图所示：所以|AC|=4|F2C|．由x=-c，代入双曲线的方程，取A（-c，，直线AF2的方程为：化为：（4c2-b2）x2+2cb2x-b2c2-4a2c2=0，∴x C×（-c）∴c-（-c）=5（化为：3a2=c2，解得e=16. 已知椭圆的右焦点为的面积为__________．..................点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，利用定义找到了P在AF′的的倾斜角为的长，对割即可得解.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17..【答案】（1）；（2）试题分析：（1），，结合这两个等式即可得和的值.试题解析：（1）由余弦定理得.由正弦定理得.（2）原式降幂得化简得即=10① 又得②18. 的侧棱垂直于底面，.（1）求证：（2.【答案】（1）见解析；（2【解析】试题分析：（1）连接AB1与A1B交于点1C，由此能证明B1C∥平面A1PB；（21到平面.试题解析：（1）法一连交于，连.依题，为矩形，为中点，又为的中点.为的中位线，.又平面，平面平面（2）=.易得，为直角三角形，设点到平面的距离为，，.即点到平面的距离为.19. 到其焦点4，且过抛物线的焦点（1）求抛物线（2）过点两不同点，交，.【答案】（1（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用抛物线C1：y2＝2px上一点M（3，y0）到其焦点F的距离为4；求出p，即可得到抛物线方程，通过椭圆的离心率e，且过抛物线的焦点F（1，0）求出a，b，即可得到椭圆的方程；（2）直线l1的斜率必存在，设为k，设直线l与椭圆C2交于A（x1，y1），B（x2，y2），求出直线l的方程为y=k（x-1），N（0，-k），联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理以及判别式，通过向量关系式即可求出λ+μ为定值．试题解析：（Ⅰ）抛物线的准线为，所以,所以抛物线的方程为所以，,解得所以椭圆的标准方程为(Ⅱ)直线的斜率必存在,设为,设直线与抛物线交于则直线的方程为,联立方程组:所以, (*)由得:得:所以将(*)代入上式,得20. 已知椭圆.（1）求椭圆（2）.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1，的方程；（2）假设存在符合条件的点M（x 0，y0），当斜率不存在，推出矛盾不成立，设直线l四边形的对角线相互平分的性质可得点M试题解析：（1），解得.所以椭圆的方程.（2）假设存在点，当斜率不存在，，，不成立；当斜率存在，设为，设直线与联立得..，则的中点坐标为AB与的中点重合，得，代入椭圆的方程得.解得.存在符合条件的直线的方程为：.21. 处的切线（1（2.【答案】（1（2试题解析：（1（2②若，．当点睛：本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，对于不等式恒成立问题，转化为求最值是关键.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程以极点为原点，（为参数）.（1的普通方程与曲线（2.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）根据直线的极坐标方程，即可求得直线l的直角坐标公式，由椭圆C的参数方程即可求得曲线C的直角坐标方程；（2）由（1）可得丨x-y-4丨=丨2cosφ-sinφ-4丨，根据辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得|x-y-4|的最小值．试题解析：（1cosθ-ρsinθ=4，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入即得直线l的直角坐标方程为.（2）设，则丨x-y-4丨=丨2cosφ-sinφ-4丨（φ+α）-4丨（φ+α）（tanαcos（φ+α）=1时，|x-y-4|取最小值，最小值为23. 选修4-5：不等式选讲（1（2的解集为【答案】（1（2）见解析.【解析】试题分析：（1）当得不等式解集；（2的解集为，利用均值不等式试题解析：（1）时，所即不等式的解集为.（2）由的解集为得，由均值不等式且仅当时取等.点睛：本题考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，利用分类讨论法去掉绝对值符号是解题的关键，注意计算的准确性.。

2017-2018学年辽宁省六校协作体高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．已知集合P={y|y=（）x，x＞0}，Q={x|y=lg（2x﹣x2）}，则（C R P）∩Q为（）A．[1，2）B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．[1，+∞）2．复数+2等于（）A．2﹣2i B．﹣2i C．1﹣i D．2i3．下列命题中正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2﹣1＞0”B．命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题是真命题：C．命题”若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”D．命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题4．已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=•的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．36．若α∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣7．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A．2 B．2 C．2 D．48．已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和为S n，T n，若对于任意的自然数n，都有=，则+=（）A．B．C．D．9．在等比数列{a n}中，a5+a6=a（a≠0），a15+a16=b，则a25+a26的值是（）A．B．C．D．10．已知整数以按如下规律排成一列：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个数对是（）A．（10，1） B．（2，10） C．（5，7）D．（7，5）11．△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则•的取值范围是（）A．[1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣5，2]12．函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+2=0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（）A．2 B．4 C．D．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上13．已知曲线上一点P（1，e）处的切线分别交x轴，y轴于A，B两点，O为原点，则△OAB的面积为．14．已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）=．15．定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为．16．设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：①若b⊂α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β．其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）三、解答题17．（10分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）．（Ⅰ）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若方程f（x）﹣t=1在x∈[0，]内恒有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．18．（12分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．19．（12分）已知数列{a n}，{c n}满足条件：a1=1，a n=2a n+1，c n=．+1（1）求证数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和T n，并求使得T n＞对任意n∈N*都成立的正整数m的最小值．20．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面SAD为边长2的正三角形，且面SAD⊥面ABCD．AB=，E、F分别为AD、SC的中点；（1）求证：BD⊥SC；（2）求四面体EFCB的体积．21．（12分）已知函数f（x）=为偶函数（1）求实数a的值；（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣，判断λ与E的关系；（3）当x∈[，]（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域[2﹣3m，2﹣3n]，求实数m，n值．22．（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0，e为自然数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）．2016-2017学年辽宁省六校协作体高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（2016秋•辽宁期中）已知集合P={y|y=（）x，x＞0}，Q={x|y=lg（2x﹣x2）}，则（C R P）∩Q为（）A．[1，2）B．（1，+∞）C．[2，+∞）D．[1，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】求出集合P，Q，然后根据集合的基本运算即可求出结论．【解答】解：∵P={y|y=（）x，x＞0}={y|0＜y＜1}，Q={x|y=lg（2x﹣x2）}={x|2x﹣x2＞0}={x|0＜x＜2}，∴C R P={y|y≤0或y≥1}，∴（C R P）∩Q={x|1≤x＜2}=[1，2）．故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求解集合P，Q是解决本题的关键．2．（2014春•东港区校级期末）复数+2等于（）A．2﹣2i B．﹣2i C．1﹣i D．2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：+2=+2=+2=﹣2﹣2i+2=﹣2i．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3．（2016春•卢龙县期末）下列命题中正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2﹣1＞0”B．命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题是真命题：C．命题”若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0”D．命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是假命题【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】写出原命题的否定判断A；直接判断原命题的真假得到命题“若cosx=cosy，则x=y”的逆否命题的真假；写出命题的否命题判断C；举例说明命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是真命题判断D．【解答】解：命题“∃x∈R，使得x2﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2﹣1≥0”，命题A为假命题；当cosx=cosy时，x与y要么终边相同，要么终边关于x轴对称，∴命题“若cosx=cosy，则x=y”为假命题，则其逆否命题是假命题，命题B为假命题；命题”若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是“若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0，命题C为真命题；所有菱形的四边相等，∴命题“存在四边相等的四边形不是正方形”是真命题，命题D是假命题．故选：C．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了原命题、否命题、逆否命题的写法与真假判断，是中档题．4．（2010•湖北）已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】解题时应注意到，则M为△ABC的重心．【解答】解：由知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则==，所以有，故m=3，故选：B．【点评】本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理．5．（2011•广东）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=•的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．3【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】不等式的解法及应用．【分析】首先画出可行域，z=•代入坐标变为z=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率为的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值．【解答】解：如图所示：z=•=x+y，即y=﹣x+z首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z 最大．因为B（，2），故z的最大值为4．故选：C．【点评】本题考查线形规划问题，考查数形结合解题．6．（2016•湖南模拟）若α∈（，π），则3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】三角函数的化简求值；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】直接利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数化简函数的表达式，利用平方关系式求出结果即可．【解答】解：3cos2α=sin（﹣α），可得3cos2α=（cosα﹣sinα），3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα），∵α∈（，π），∴sinα﹣cosα≠0，上式化为：sinα+cosα=，两边平方可得1+sin2α=．∴sin2α=．故选：D．【点评】本题主要考查二倍角的余弦函数，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．7．（2015•延边州一模）某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A．2 B．2 C．2 D．4【考点】棱锥的结构特征；点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离．【分析】本题只要画出原几何体，理清位置及数量关系，由勾股定理可得答案．【解答】解：由三视图可知原几何体为三棱锥，其中底面△ABC为俯视图中的钝角三角形，∠BCA为钝角，其中BC=2，BC边上的高为2，PC⊥底面ABC，且PC=2，由以上条件可知，∠PCA为直角，最长的棱为PA或AB，在直角三角形PAC中，由勾股定理得，PA===2，又在钝角三角形ABC中，AB==．故选C．【点评】本题为几何体的还原，与垂直关系的确定，属基础题．8．（2016秋•辽宁期中）已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和为S n，T n，若对于任意的自然数n，都有=，则+=（）A．B．C．D．【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可得出．【解答】解：+=+======．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（2011•莱州市校级模拟）在等比数列{a n}中，a5+a6=a（a≠0），a15+a16=b，则a25+a26的值是（）A．B．C．D．【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】根据等比数列的性质可知a5+a6，a15+a16，a25+a26也成等比数列，进而根据等比中项的性质可求得答案．【解答】解：∵数列{a n}为等比数列∴a5+a6，a15+a16，a25+a26也成等比数列∴a25+a26==故选C【点评】本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是利用了在等比数列中，依次每k 项之和仍成等比数列．10．（2014•安徽模拟）已知整数以按如下规律排成一列：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第60个数对是（）A．（10，1） B．（2，10） C．（5，7）D．（7，5）【考点】归纳推理；进行简单的合情推理．【专题】计算题；规律型．【分析】我们可以在平面直角坐标系中，将：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，按顺序连线，然后分析这些点的分布规律，然后归纳推断出，点的排列规律，再求出第60个数对【解答】解：我们在平面直角坐标系中，将各点按顺序连线，如下图示：有（1，1）为第1项，（1，2）为第2项，（1，3）为第4项，…（1，11）为第56项，因此第60项为（5，7）．【点评】本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．11．（2016•孝义市模拟）△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则•的取值范围是（）A．[1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣5，2]【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由于D是边BC上的一点（包括端点），利用向量共线定理：可设=+（0≤λ≤1）．由∠BAC=120°，AB=2，AC=1，可得=2×1×cos120°=﹣1．代入利用数量积运算性质即可得出•=﹣7λ+2．再利用一次函数的单调性即可得出．【解答】解：∵D是边BC上的一点（包括端点），∴可设=+（0≤λ≤1）．∵∠BAC=120°，AB=2，AC=1，∴=2×1×cos120°=﹣1．∴•=[+]•=﹣+=﹣（2λ﹣1）﹣4λ+1﹣λ=﹣7λ+2．∵0≤λ≤1，∴（﹣7λ+2）∈[﹣5，2]．∴•的取值范围是[﹣5，2]．故选：D．【点评】本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、一次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12．（2015•路南区校级二模）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+2=0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（）A．2 B．4 C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】由题意可得点A（﹣2，﹣1）；故﹣2m﹣n+2=0；从而得=+=++2+；利用基本不等式求解．【解答】解：由题意，点A（﹣2，﹣1）；故﹣2m﹣n+2=0；故2m+n=2；=+=++2+≥4+=；当且仅当m=n=时，等号成立；故选D．【点评】本题考查了函数的性质应用及基本不等式的应用，属于基础题．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上13．（2008•镇江一模）已知曲线上一点P（1，e）处的切线分别交x轴，y轴于A，B两点，O为原点，则△OAB的面积为2e．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；压轴题．【分析】求出曲线方程的导函数，把切点的横坐标代入求出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线的方程，分别令x=0和y=0求出与坐标轴的截距，由三角形的面积公式即可求出△OAB的面积．【解答】解：求导得：y′==﹣，把x=1代入得：k=y′x=1=﹣e，所以切线方程为：y﹣e=﹣e（x﹣1），即ex+y=2e，令x=0，解得y=2e，令y=0，解得x=2，则△OAB的面积S=•2e•2=2e．故答案为：2e【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点和斜率写出直线的方程，是一道基础题．14．（2015秋•周口期末）已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）=．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据幂函数的定义，利用待定系数法进行求解．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，∵函数的图象过点（3，），∴f（3）=3α==3，解得α=，则f（x）==，则f（2）=，则log4f（2）=log4===，故答案为：．【点评】本题主要考查幂函数的解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．15．（2016秋•辽宁期中）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为1﹣2a．【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的零点转化为：在同一坐标系内y=f（x），y=a 的图象交点的横坐标；作出两函数图象，考查交点个数，结合方程思想，及零点的对称性，根据奇函数f（x）在x≥0时的解析式，作出函数的图象，结合图象及其对称性，求出答案．【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=，即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故答案为：1﹣2a．【点评】本题考查分段函数的图象与性质的应用问题，也考查了利用函数零点与方程的应用问题，是综合性题目．16．（2016•镇江一模）设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：①若b⊂α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β．其中正确的命题是④．（写出所有正确命题的序号）【考点】平面的基本性质及推论．【专题】计算题．【分析】由题设条件，对四个选项逐一判断即可，①选项用线线平行的条件进行判断；②选项用线面平行的条件判断；③选项用线面垂直的条件进行判断；④选项用面面垂直的条件进行判断，【解答】解：①选项不正确，因为线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面；②选项不正确，因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行；③选项不正确，因为两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；④选项正确，因为线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直．其中正确的命题是④．故答案为：④．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，求解本题关键是有较好的空间想像能力，对空间中点线面的位置关系可以准确判断，再就是熟练掌握点线面位置关系判断的定理与条件．三、解答题17．（10分）（2015秋•汉川市期末）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）．（Ⅰ）当x∈[0，π]时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若方程f（x）﹣t=1在x∈[0，]内恒有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）首先利用三角函数的恒等变换，变形成正弦型函数进一步利用函数的单调性求函数在固定区间内的增减区间．（Ⅱ）把求方程的解得问题转化成求函数的交点问题，进一步利用函数的性质求参数的取值范围．【解答】解：（I）f（x）=2cos2x+2sinxcosx=cos2x++12sin（2x+）+1令（k∈Z）解得：（k∈Z）由于x∈[0，π]f（x）的单调递增区间为：[]和[]．（Ⅱ）依题意：由2sin（2x+）+1=t+1解得：t=2sin（2x+）设函数y1=t与由于在同一坐标系内两函数在x∈[0，]内恒有两个不相等的交点．因为：所以：根据函数的图象：，t∈[1，2]时，，t∈[﹣1，2]所以：1≤t＜2【点评】本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的单调性，在同一坐标系内的利用两函数的交点问题求参数的取值范围问题．18．（12分）（2013•浙江模拟）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且=﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．【考点】解三角形．【专题】计算题．【分析】（1）根据正弦定理表示出a，b及c，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数；（2）由（1）中得到角B的度数求出sinB和cosB的值，根据余弦定理表示出b2，利用完全平方公式变形后，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积，把ac与sinB的值代入即可求出值．【解答】解：（1）由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，将上式代入已知，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，即2sinAcosB+sin（B+C）=0，∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，∴2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，∵sinA≠0，∴，∵B为三角形的内角，∴；（II）将代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得：b2=（a+c）2﹣2ac﹣2accosB，即，∴ac=3，∴．【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理及三角函数的恒等变形．熟练掌握定理及公式是解本题的关键．利用正弦定理表示出a，b及c是第一问的突破点．=2a n+1，19．（12分）（2014•蚌埠二模）已知数列{a n}，{c n}满足条件：a1=1，a n+1c n=．（1）求证数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和T n，并求使得T n＞对任意n∈N*都成立的正整数m的最小值．【考点】数列的求和；等比数列的性质．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由a n+1=2a n+1，知a n+1+1=2（a n+1），由此能证明数列{a n+1}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由，用裂项求和法求出T n=，由此能求出使得对任意n∈N*都成立的正整数m的最小值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵a n+1=2a n+1∴a n+1+1=2（a n+1），∵a1=1，a1+1=2≠0…（2分）∴数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．∴，∴．…（4分）（Ⅱ）∵，…（6分）∴=．…（8分）∵，又T n＞0，∴T n＜T n+1，n∈N*，即数列{T n}是递增数列．∴当n=1时，T n取得最小值．…（10分）要使得对任意n∈N*都成立，结合（Ⅰ）的结果，只需，由此得m ＞4．∴正整数m 的最小值是5．…（12分）【点评】本题考查数列是等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的正整数的最小值的求法．解题时要认真审题，注意构造法和裂项求和法的合理运用． 20．（12分）（2014•葫芦岛二模）如图，在四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧面SAD 为边长2的正三角形，且面SAD ⊥面ABCD ．AB=，E 、F 分别为AD 、SC 的中点； （1）求证：BD ⊥SC ；（2）求四面体EFCB 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】立体几何． 【分析】（1）要证先线线垂直，只需要证明线面垂直，需要证明线线垂直和面面垂直． （2）因为V F ﹣EBD =V S ﹣EBC ，只要求出V S ﹣EBC ，根据体积公式，分别求出底面积和高即可． 【解答】（1）证明：连接BD ，设BD ∩CE=O易证：△CDE ∽△BCD ∴∠DBC=∠ECD ∵∠DBC +∠BDC=90° ∴∠ECD +∠BDC=90° ∴∠COD=90° ∴BD ⊥CE∵△SAD 为正三角形，E 为AD 中点 ∴SE ⊥AD又∵面SAD ⊥面ABCD ，且面SAD ∩面ABCD=AD ∴SE ⊥面ABCD ∵BD ⊂面ABCD∴SE ⊥BD∵BD ⊥CE ，SE ⊥BD ，CE ∩SE=E ， ∴BD ⊥面SEC SC ⊂面SEC ∴BD ⊥SC（2）解：∵F 为SC 中点 ∴V F ﹣EBD =V S ﹣EBC 连接SE ，面SAD ⊥面ABCD ∵△SAD 为正三角形 ∴SE ⊥AD 又∵面SAD ⊥面ABCD∴SE ⊥面ABCD SE= S △EBC =×2×=∴V F ﹣EBD =V S ﹣EBD =×××=【点评】本题以四棱锥为载体，考查了面面、线面、线线垂直，考查三棱锥的体积，解题的关键是正确运用线面垂直，同时考查学生转化问题的能力．21．（12分）（2016春•邯郸校级期末）已知函数f （x ）=为偶函数（1）求实数a 的值；（2）记集合E={y |y=f （x ），x ∈{﹣1，1，2}}，λ=lg 22+lg2lg5+lg5﹣，判断λ与E 的关系； （3）当x ∈[，]（m ＞0，n ＞0）时，若函数f （x ）的值域[2﹣3m ，2﹣3n ]，求实数m ，n 值．【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合． 【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用． 【分析】（Ⅰ）根据函数为偶函数f （﹣x ）=f （x ），构造关于a 的方程组，可得a 值；（Ⅱ）由（Ⅰ）中函数f （x ）的解析式，将x ∈{﹣1，1，2}代入求出集合E ，利用对数的运算性质求出λ，进而根据元素与集合的关系可得答案（Ⅲ）求出函数f （x ）的导函数，判断函数的单调性，进而根据函数f （x ）的值域为[2﹣3m ，2﹣3n ]，x ∈，m ＞0，n ＞0构造关于m ，n 的方程组，进而得到m ，n 的值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数为偶函数．∴f （﹣x ）=f （x ） 即=∴2（a+1）x=0，∵x为非零实数，∴a+1=0，即a=﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）得∴E={y|y=f（x），x∈{﹣1，1，2}}={0，}而====∴λ∈E（Ⅲ）∵＞0恒成立∴在上为增函数又∵函数f（x）的值域为[2﹣3m，2﹣3n]，∴f（）=1﹣m2=2﹣3m，且f（）=1﹣n2=2﹣3n，又∵，m＞0，n＞0∴m＞n＞0解得m=，n=【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性，其中利用奇偶性求出a值，进而得到函数的解析式，是解答的关键．22．（12分）（2015秋•黔南州期末）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0，e为自然数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）．【考点】不等式的证明；函数的最值及其几何意义．【专题】转化思想；分析法；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）通过对函数f（x）求导，讨论f（x）的单调性可得函数f（x）的最小值；（2）根据条件可得g（a）=a﹣alna﹣1≥0，讨论g（a）的单调性即得结论；（3）由（2）得e x≥x+1，即ln（x+1）≤x，通过令x=（k∈N*），即＞ln=ln（1+k）﹣lnk，（k=1，2，…，n），然后累加即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=e x﹣a，令f′（x）=0，解得x=lna，当x＞lna时，f′（x）＞0；当x＜lna时，f′（x）＜0，因此当x=lna时，f（x）min=f（lna）=e lna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1．（2）因为f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，所以f（x）min≥0，由（1）得f（x）min=a﹣alna﹣1，所以a﹣alna﹣1≥0，令g（a）=a﹣alna﹣1，函数g（a）的导数为g′（a）=﹣lna，令g′（a）=0，解得a=1．当a＞1时，g′（a）＜0；当0＜a＜1时，g′（a）＞0，所以当a=1时，g（a）取得最大值，为0．所以g（a）=a﹣alna﹣1≤0．又a﹣alna﹣1≥0，因此a﹣alna﹣1=0，解得a=1；（3）由（2）得e x≥x+1，即ln（x+1）≤x，当且仅当x=0时，等号成立，令x=（k∈N*），则＞ln（1+），即＞ln=ln（1+k）﹣lnk，（k=1，2，…，n），累加，得1+++…+＞ln（n+1）﹣lnn+lnn﹣ln（n﹣1）+…+ln2﹣ln1，则有1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）．【点评】本题考查函数的最值，单调性，通过对表达式的灵活变形是解决本题的关键，属于中档题．。