辽宁省沈阳市郊联体2021届高三上学期期中考试试题 数学 含答案

2023-2024学年度（上）联合体高三期中检测数学（答案在最后）（满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1.答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效.4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.复数()i 1i+在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若全集{}Z 4U x x =∈≤，{}3,2,1,0,1A =---，则U A =ð（）A.{}4,2,3,4- B.{}2,3,4 C.{}3,2,1,0--- D.{}3,2,1,0,1---3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3456a a a ++=，则7S =（）A.21B.18C.14D.124.若 1.212⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，ln 2b =，12c =，则（）A.a b c>> B.b a c>> C.c a b>> D.b c a>>5.已知单位向量a ，b，且()()23+⊥- a b a b ，则,a b = （）A .180︒B.120︒C.60︒D.30︒6.已知直线30x y -+=是曲线31y x mx =++的一条切线，则实数m =（）A.2B.1C.1- D.2-7.已知,αβ为锐角，且tan 2,cos()ααβ=+=，则tan()αβ-=（）A.913-B.913C.712-D.7128.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()3f x f x +-=，且函数()1f x +是偶函数，当[]4,0x ∈-时，有()21f x x =+，则()2023f =（）A.6- B.2C.5- D.10二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知向量()1,3a =，()2,4b =- ，则（）A.10a b ⋅=B.向量a ，b的夹角为3π4C.12a b +=D.向量()6,2=- c 与a垂直10.函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.2ω=B.π3ϕ=C.点π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心D.直线11π12x =是函数()f x 图象的对称轴11.若函数f (x )＝3x －x 3在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的可能取值是（）A.0B.1C.2D.312.已知正实数x ，y 满足1x y +=，则（）A.40x y xy +-≥ B.221x y +≥ C.111112x y ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.14912x y +≥+第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若命题“[]0,3x ∀∈，240x x a --≤”为真命题，则实数a 的取值范围是________.14.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若向量(),=+m c b a ，(),=+- n a c b ，且//m n u r r，则角C 的度数为________.15.已知等比数列{}n a 中，2512,4a a ==，则满足12231858n n a a a a a a ++++≤ 成立的最大正整数n 的值为_________．16.已知偶函数()f x 是在R 上连续的可导函数，当0x >时，()()0f x f x x'+>，则函数()()21F x x f x =-的零点个数为______．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数()21sin2sin 2f x x x =+.（1）求()f x 的最大值及相应x 的取值；（2）若把()f x 的图象向左平移π3个单位长度得到()g x 的图象，求()g x 在[]0,π上的单调递增区间.18.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin 14A =，11cos 14B =.（1）求角C ；（2）若14c =，求ABC 的面积.19.已知n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，2a 是1a 与4a 的等比中项，945S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知1213n a n n b a --=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x 台()*Nx ∈的收入函数为2()300020R x x x=-（单位：元），其成本函数为()5004000C x x =+（单位：元），利润是收入与成本之差．（1）求利润函数()P x 及利润函数()P x 的最大值；（2）为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为()Q x ，求()Q x 的最大值及此时x 的值．21.设函数()32132a f x x x bx c =-++，其中0a >，曲线()=y f x 在点()()0,0P f 处的切线方程为=1y .（1）确定b ，c 的值；（2）若过点(0,2)可作曲线()=y f x 的三条不同切线，求a 的取值范围.22.已知函数()()212ln 1R 2f x x mx m =-+∈.（1）当1m =时，证明：()1f x <；（2）若关于x 的不等式()()2f x m x <-恒成立，求整数m 的最小值.2023-2024学年度（上）联合体高三期中检测数学（满分：150分考试时间：120分钟）注意事项：1.答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效.4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1.复数()i 1i+在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】按照复数的定义展开即可.【详解】()i 1i 1i +=-+，所以该复数在复平面内对应的点为()1,1-，在第二象限故选：B.2.若全集{}Z 4U x x =∈≤，{}3,2,1,0,1A =---，则U A =ð（）A.{}4,2,3,4- B.{}2,3,4 C.{}3,2,1,0--- D.{}3,2,1,0,1---【答案】A 【解析】【分析】根据集合补集的定义计算求解即可.【详解】{}{}Z 44,3,2,1,0,1,2,3,4U x x =∈≤=---- ,{}4,2,3,4U A ∴=-ð.故选：A.3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3456a a a ++=，则7S =（）A.21B.18C.14D.12【答案】C 【解析】【分析】由等差数列的性质，345463a a a a ++==，747S a =，可求值.【详解】等差数列{}n a 中，345436a a a a ++==，得42a =，则()1747477271422a a a S a +⨯====.故选：C4.若 1.212⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，ln 2b =，12c =，则（）A.a b c >>B.b a c>> C.c a b>> D.b c a>>【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质，得到12a <，12b >，即可求解.【详解】由指数函数的性质，可得 1.21111222a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又由对数函数的性质，可得11ln 2ln e 22b =>==，所以bc a >>.故选：D.5.已知单位向量a ，b，且()()23+⊥- a b a b ，则,a b = （）A.180︒B.120︒C.60︒D.30︒【答案】A 【解析】【分析】根据向量垂直，可得其数量积为0，进而可求出1a b ⋅=-，根据向量的夹角公式即可求出其夹角.【详解】因为()()23+⊥-a b a b ，所以()()230a b a b +⋅-=即2223230a b a b a b -+⋅-⋅= ，又因为向量a ，b为单位向量，所以1a b ⋅=-，所以cos ,1a b a b a b⋅==-⋅，所以,180a b =︒，故选：A6.已知直线30x y -+=是曲线31y x mx =++的一条切线，则实数m =（）A.2 B.1C.1- D.2-【答案】D 【解析】【分析】利用切线的斜率，求解切点坐标，代入切线方程求解即可．【详解】曲线31y x mx =++，可得23y x m '=+，直线30x y -+=是曲线31y x mx =++的一条切线，设切点横坐标为：a ，则切点纵坐标为3a +，则233131a m a a ma ⎧+=⎨+=++⎩，解得1a =-，2m =-.故选：D ．7.已知,αβ为锐角，且tan 2,cos()ααβ=+=，则tan()αβ-=（）A.913-B.913C.712-D.712【答案】A 【解析】【分析】先由cos()αβ+求出sin()αβ+，从而可求得tan()αβ+，然后再利用正切的二倍角公式求出tan 2α，再利用两角差的正切公式可求得结果.【详解】因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈.由cos()10αβ+=-可得sin()αβ+=则1tan()3αβ+=-，又22tan 4tan 21tan 3ααα==--，故tan()tan[2()]αβααβ-=-+tan 2tan()1tan 2tan()ααβααβ-+=++413341133-+=+⨯913=-，故选：A.8.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()3f x f x +-=，且函数()1f x +是偶函数，当[]4,0x ∈-时，有()21f x x =+，则()2023f =（）A.6-B.2C.5- D.10【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性结合()()3f x f x +-=可得()f x 为周期函数，且周期为4，进而根据周期即可求解.【详解】由于()1f x +为偶函数，所以()()1=1f x f x +-+，故()()=2f x f x -+，又()()3f x f x +-=，所以()()23f x f x ++=，因此()()423f x f x +++=，进而可得()()=4f x f x +，所以()f x 为周期函数，且周期为4，()()20231=2f f =-，故选：B二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知向量()1,3a =，()2,4b =- ，则（）A.10a b ⋅=B.向量a ，b的夹角为3π4C.12a b +=D.向量()6,2=- c 与a垂直【答案】BD 【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算分别求解向量的数量积，模，夹角，验证向量垂直，逐项判断即可得结论.【详解】对A ，()1,3a = ，()2,4b =- ，()123410a b ∴⋅=⨯+⨯-=-，故A 错误；对B，2cos ,2a b a b a b⋅===-，又0,πa b ≤≤ ，∴向量a ，b的夹角为3π4，故B 正确；对C ，()()()111,32,42,122a b +=+-=，12a b ∴+== ，故C 错误；对D ，61230c a ⋅=-⨯+⨯= ，c a ∴⊥，故D 正确.故选：BD.10.函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.2ω=B.π3ϕ=C.点π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心D.直线11π12x =是函数()f x 图象的对称轴【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据图象得到函数最小正周期，进而得到2π2T ω==；B 选项，将π,212⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入解析式，求出π3ϕ=-；C 选项，π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，C 正确；D 选项，计算出211π12f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故D 正确.【详解】A 选项，设()f x 的最小的正周期为T ，由图象可知，1511πππ212122T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得πT =，因为0ω>，所以2π2Tω==，A 正确；B 选项，将π,212⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入()()2sin 2f x x ϕ=+中得，π2sin 26ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，故ππ2π,Z 62k k ϕ-+=-+∈，即π2π,Z 3k k ϕ=-+∈，因为π2ϕ<，所以只有当0k =时，满足要求，故π3ϕ=-，B 错误；C 选项，()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，故πππ2sin 0633f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故点π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心，C 正确；D 选项，π11ππ2sin 2161123f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故直线11π12x =是函数()f x 图象的对称轴，D 正确.故选：ACD11.若函数f (x )＝3x －x 3在区间(a 2－12，a )上有最小值，则实数a 的可能取值是（）A.0B.1C.2D.3【答案】ABC 【解析】【分析】先求得函数的极小值点，再根据函数f (x )＝3x －x 3在区间(a 2－12，a )上有最小值求解.【详解】解：因为函数f (x )＝3x －x 3，所以()233'=-f x x ，令()0f x '=，得1x =±，当1x <-或1x >时，()0f x '<，当11x -<<时，()0f x ¢>，所以当=1x -时，()f x 取得极小值()12f =-，则21211a a ⎧-<-⎨>-⎩，解得1a -<<又因为()f x 在()1,+∞上递减，且()22f =-，所以2a ≤，综上：12a -<≤，所以实数a 的可能取值是0，1，2故选：ABC12.已知正实数x ，y 满足1x y +=，则（）A.40x y xy +-≥ B.221x y +≥ C.111112x y ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.14912x y +≥+【答案】AD【解析】2x y +≤，即14≤xy ，所以选项A 正确；而222()122x y x y ++≥=可判断B 错误；将1111x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开并结合14≤xy 可知C 错误；观察D 项分母可知12x y ++=，利用基本不等式“1”的妙用求最值，即可知D 正确.【详解】对于A 2x y +≤，即14≤xy ，所以41xy x y ≤=+，即40x y xy +-≥；当且仅当12x y ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，根据不等式222()122x y x y ++≥=，当且仅当12x y ==时，等号成立；所以B 错误；对于C ，1111112111119x y x y x y xy xy xy xy ⎛⎫+⎛⎫++=+++=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12x y ==时，等号成立；故C 错误；对于D ，根据1x y +=，观察分母可知12x y ++=为定值，则1411411419(1)1451212122y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫++=+++=+++≥+= ⎪ ⎪ +++⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当21,33x y ==时，等号成立；故D 正确.故选：AD.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若命题“[]0,3x ∀∈，240x x a --≤”为真命题，则实数a 的取值范围是________.【答案】[)0,∞+【解析】【分析】[]20,3,40x x x a ∀∈--≤，即转化为24a x x ≥-，[]0,3x ∈恒成立，只需()2max 4a x x ≥-即可得解.【详解】由题意，[]20,3,40x x x a ∀∈--≤为真命题，即24a x x ≥-，[]0,3x ∈恒成立，令()24f x x x =-，[]0,3x ∈，对称轴为2x =，所以函数()f x 在[)0,2上递减，在[]2,3上递增，结合对称性可得()()max 00f x f ==，0a ∴≥即可，实数a 的取值范围是[)0,∞+.故答案为：[)0,∞+.14.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若向量(),=+ m c b a ，(),=+- n a c b ，且//m n u r r ，则角C 的度数为________.【答案】150︒【解析】【分析】由向量共线的坐标运算和余弦定理求解.【详解】向量(),=+ m c b a ，(),=+- n a c b ，由//m n u r r ，有()()()c b c b a a +-=+，即222a b c +-=，由余弦定理，222cos 222a b c C ab ab +-===，由()0,180C ∈︒︒，则有150C =︒.故答案为：150︒15.已知等比数列{}n a 中，2512,4a a ==，则满足12231858n n a a a a a a ++++≤ 成立的最大正整数n 的值为_________．【答案】4【解析】【分析】求出等比数列的公比和首项，得出数列{}1n n a a +是等比数列，并求出其首项，公比和前n 项和，即可求出使不等式成立的最大正整数n 的值.【详解】由题意，N n *∈，在等比数列{}n a 中，2512,4a a ==，设公比为q ，∴3352124a a q q ===，解得：12q =，∴212412a a q ===，∵()221111124n n n n n n n n a a a a q q n a a a a +---===≥，∴数列{}1n n a a +是以12428a a =⨯=为首项，公比为14的等比数列，∴122311181321441314n n n n a a a a a a +⎛⎫⎛⎫- +++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==- ，∴当12231858n n a a a a a a ++++≤ 时，132185438n ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤，即4256n ≤，解得：4n ≤，∴最大正整数n 的值为4，故答案为：4.16.已知偶函数()f x 是在R 上连续的可导函数，当0x >时，()()0f x f x x '+>，则函数()()21F x x f x =-的零点个数为______．【答案】2【解析】【分析】由题意，方程()0F x =等价于()1xf x x=，令()()g x xf x =，()1h x x =，求导得函数()g x 的单调性，再结合奇偶性画出函数的大致图象，由图可得答案．【详解】解：显然0x =不是()F x 的零点，∴方程()0F x =等价于()1xf x x =，令()()g x xf x =，()1h x x=，则()()()()()f x g x f x xf x x f x x ⎡⎤'''=+=+⎢⎥⎣⎦，∴当0x >时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+上单调递增，∵()f x 为偶函数，∴()g x 为奇函数，∴()g x 在R 上单调递增，由图象可知()g x 与()h x 有两个交点，故函数()F x 的零点个数为2，故答案为：2．【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的零点个数问题，解题关键是将()0F x =等价于()1xf x x=，构造函数()()g x xf x =，()1h x x =，然后利用导数研究函数的单调性，画出大致图象，借助图象解出答案．本题考查了学生的转化与化归能力，考查了数形结合思想，属于中档题．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数()21sin2sin 2f x x x =+.（1）求()f x 的最大值及相应x 的取值；（2）若把()f x 的图象向左平移π3个单位长度得到()g x 的图象，求()g x 在[]0,π上的单调递增区间.【答案】（1）3ππ,8x k k =+∈Z 时，()f x 取得最大值212.（2）π13π0,,,π2424⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.【解析】【分析】（1）化简函数，然后结合三角函数函数的性质判断函数最值；（2）根据“左加右减”平移函数图像，然后整体代入求解函数的单调递增区间；【小问1详解】因为()2111cos2sin2sin sin2222x f x x x x -=+=+2π1sin 2242x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以当ππ22π,42x k k -=+∈Z ，即3ππ,8x k k =+∈Z 时，()f x 取得最大值12+.【小问2详解】()πππ15π1sin 2sin 2323422122g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由π5ππ2π22π,2122k x k k -≤+≤+∈Z ，得:11ππππ,2424k x k k -≤≤+∈Z ，取0,1k =得：()g x 在[]0,π上的单调递增区间为π13π0,,,π2424⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦18.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin 14A =，11cos 14B =.（1）求角C ；（2）若14c =，求ABC 的面积.【答案】（1）2π3（2）【解析】【分析】（1）根据平方关系可求得sin 14B =，13cos 14A =，进而结合两角和的余弦公式即可求解；（2）根据正弦定理可得a 、b 的值，进而结合面积公式即可求解.【小问1详解】因为11cos 14B =，所以sin 14B ==，π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又sin sin A B <，所以A B <，即π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以13cos 14A ==，所以()13111cos cos cos cos sin sin 141414142C A B A B A B =-+=-+=-⨯+⨯=-，又0πC <<，故2π3C =.【小问2详解】由正弦定理得sin sin sin a b c A B C ==，2335343141==，所以6a =，10b =，所以ABC的面积为11sin 610222ABC S ab C ==⨯⨯⨯= .19.已知n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，2a 是1a 与4a 的等比中项，945S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知1213n a n n b a --=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n=（2）()131nn T n =-⨯+【解析】【分析】（1）由等比中项及等差数列通项公式列方程得1d a =，由等差数列前n 项和可得145a d +=，进而求基本量，写出通项公式即可；（2）应用错位相减法、等比数列前n 项和公式求n T .【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，由2a 是1a 与4a 的等比中项，则2214a a a =，所以2111()(3)a d a a d +=+，且0d ≠，整理得1d a =①，又19998452d S a =+⨯⨯=，整理得145a d +=②，由①②解得，11a d ==，所以1(1)n a a n d n =+-=.【小问2详解】由（1）知，1(21)3n n b n -=-⋅，则0121133353...(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯，所以12313133353...(23)3(21)3n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯两式相减得1231212(333...3)(21)3n nn T n --=+⨯++++--⨯13(13)12(21)3(22)3213n n n n n --=+⨯--⨯=-⨯--，所以(1)31n n T n =-⨯+.20.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x 台()*N x ∈的收入函数为2()300020R x x x =-（单位：元），其成本函数为()5004000C x x =+（单位：元），利润是收入与成本之差．（1）求利润函数()P x 及利润函数()P x 的最大值；（2）为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为()Q x ，求()Q x 的最大值及此时x 的值．【答案】（1）利润函数2()2025004000P x x x =-+-，最大值为74120（元）（2）当15x =台时，每台产品的利润()Q x 取到最大值1900元【解析】【分析】（1）根据题意得到()P x 的解析式，再利用二次函数的性质即可求得()P x 的最大值；（2）根据题意得到()Q x 的解析式，再利用基本不等式即可得解.【小问1详解】由题意知，[]*1,100,N x x ∈∈P(x)R(x)C(x)=-2300020(5004000)x x x =--+220x 2500x 4000=-+-212520741252x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，易得()P x 的对称轴为1252x =，所以当62x =或63x =时，()P x 取得最大值为74120（元）．所以利润函数2()2025004000P x x x =-+-，最大值为74120（元）；【小问2详解】依题意，得()500()P x Q x x -=4500202500x x=--+2500≤-1900=（元）.当且仅当450020x x=时等号成立，即15x =时，等号成立．所以当15x =台时，每台产品的利润()Q x 取得最大值1900元．21.设函数()32132a f x x x bx c =-++，其中0a >，曲线()=y f x 在点()()0,0P f 处的切线方程为=1y .（1）确定b ，c 的值；（2）若过点(0,2)可作曲线()=y f x 的三条不同切线，求a 的取值范围.【答案】（1）0,1b c ==（2）)+∞【解析】【分析】（1）根据切线方程可知(0)0,(0)1f f '==，进而求出,b c（2）先设出切点(,())t f t ，再写出切线的方程，利用切线过(0,2)得到关于t 的方程()0g t =，从而将切线的个数问题转化成()0g t =有3个零点问题，从而得解【小问1详解】解：(0)1f c ==，2()f x x ax b'=-+(0)0f b '∴==0,1b c ∴==【小问2详解】解：设切点为(,())t f t ，则2()f t t at'=-则切线方程为2()()()y f t t at x t -=--即：2321()()132a y t at x t t t =--+-+∵点(0,2)在切线上，2321()1232a t at t t t ∴--+-+=整理得：3221032a t t -+=令322()132a g t t t =-+则题目问题可转化为()0g t =有3个不同零点即可令2()2(2)g t t at t t a '=-=-=0解得：=0t 或2at =由()0g t '>得0t <或2a t >，函数()g t 在0t <或2a t >上递增由()0g t '<得02a t <<，函数()g t 在02a t <<上递减(0)10g = >，9(3)1702g a -=--<1(3,0)x ∴∃∈-，使得1()0g x =31(0)0,()106g g a a =+ >>∴结合()g t 的单调性及图像（如下图）易知：只要()02a g <即可即322(103222a a a ⋅⋅+-()<解得：323a >所以a 的取值范围为3(23,)+∞【点睛】本题解题的关键是把切线个数问题转化为函数的零点个数问题，要熟悉三次函数的图像，结合图像即可解决问题．22.已知函数()()212ln 1R 2f x x mx m =-+∈.（1）当1m =时，证明：()1f x <；（2）若关于x 的不等式()()2f x m x <-恒成立，求整数m 的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）最小值为3【解析】【分析】（1）先确定函数的定义域，求导得()22x f x x='-，根据其正负即可得函数的单调区间,再根据最值证明即可；（2）构造函数()()212ln 212G x x mx m x =-+-+在区间()0,∞+内恒成立，再求出()G x 的最大值为222ln 2ln21G m m m⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，结合函数单调性，即求得整数m 的最小值．【小问1详解】当1m =时，()212ln 1(0)2f x x x x =-+>，()222(0)x f x x x x x -'∴=-=>，令()0f x '=，得x =，当(x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增；当)x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减，所以()f x在x =处取得唯一的极大值，即为最大值，所以max 1()21ln22f x f ==-⨯+=，所以()ln2f x ≤，而ln2lne 1<=，所以()1f x <.【小问2详解】令()()()()2122ln 212G x f x m x x mx m x =--=-+-+.则()()()22222mx m x G x mx m x x-+-+=-+-='.当0m ≤时，因为0x >，所以()0G x '>，所以()G x 在()0,∞+上单调递增，又因为()31302G m =-+>.所以关于x 的不等式()0G x <不能恒成立；当0m >时，()()21m x x m G x x⎛⎫-+ ⎪'⎝⎭=-.令()0G x '=，得2x m =，所以当20,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0G x '>；当2,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0G x '<.因此函数()G x 在20,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.故函数()G x 的最大值为222ln 2ln21G m m m⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.令()22ln 2ln21h m m m=-+-，因为()()()1112ln20,20,32ln22ln303h h h =+>==--<，又因为()h m 在()0,∞+上单调递减，所以当3m ≥时，()0h m <.所以整数m 的最小值为3.【点睛】方法点睛：根据不等式直接构造函数，分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数m 范围。

2020-2021沈阳市高三数学上期中模拟试卷含答案一、选择题1．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-3．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--4．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C．D．5．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2B ．4C ．16D ．86．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．40377．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A ．1B ．3C ．6D ．98．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（ ）．A ．8-B ．4-C ．1D ．29．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．13711．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 412．已知正项数列{}n a*(1)()2n n n N +=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =二、填空题13．若数列{}n a 满足11a =，()()11132nn n n a a -+-+=⋅ ()*n N ∈，数列{}n b 的通项公式()()112121n n nn a b ++=-- ，则数列{}n b 的前10项和10S =___________14．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=L ，且13k a =,则k =_________．15．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a =___________．16．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________17．数列{}n b 中，121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈，则2016b =___________.18．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，cos23C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．19．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-，则935784a ab b b b +++的值为_______． 20．设a ＞0,b ＞0． 若关于x,y 的方程组1,{1ax y x by +=+=无解，则+a b 的取值范围是 ．三、解答题21．在ABC V 中，5cos 13A =-，3cos 5B =． (1)求sinC 的值；(2)设5BC =，求ABC V 的面积．22．已知数列{}n a 是公差为2-的等差数列，若1342,,a a a +成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12n n n b a -=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ,求满足0n S ≥成立的n 的最小值.23．设数列{}n a 满足12a = ，12nn n a a +-= ；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2132n S n n =-（）（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b = ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．24．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且211a =，7161S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 25．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且b =（1）当4A π=时，求ABC ∆的面积S ；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值． 26．设函数2()1f x mx mx =--．(1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[1,3]x ∈，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =，∴112n n a -=， ∴1121111222n n n n n a a +--=⨯=， ∴数列1{}n n a a +是首项为12，公比为14的等比数列，∴1223111(1)21224(1)134314n n n n a a a a a a +-++⋅⋅⋅+==-<-， ∴23k ≥．故k 的取值范围是2[,)3+∞．选D ．2．C解析：C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.3．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率1a -≥-， 01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤….故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.4．A解析：A 【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.5．D解析：D【解析】 【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可． 【详解】等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．6．C解析：C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且2018201900a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩，所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.7．D解析：D 【解析】 【分析】首先根据对数运算法则，可知()31212log ...12a a a =，再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =，最后计算67a a 的值.【详解】由3132312log log log 12a a a +++=L ，可得31212log 12a a a =L ，进而可得()6121212673a a a a a ==L ，679a a ∴= .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.8．D解析：D 【解析】作出不等式组20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图所示，当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，max 2z =，当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.9．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ． 【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础10．B解析：B 【解析】 【分析】由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数. 【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.11．D解析：D 【解析】∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1， ∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0， 设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ， 则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0， 化为(m ＋n )·(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵2222132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭＋－＋，∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0， ∴a 4＋a 2 013＝2， ∴()()1201642013201620162016201622a a a a S ++===.很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013， 本题选择D 选项.12．B解析：B【解析】【分析】()()1122n n n n+-=-的表达式，可得出数列{}n a的通项公式.【详解】(1)(1),(2)22n n n nn n+-=-=≥1=，所以2,(1),nn n a n=≥=，选B.【点睛】给出n S与n a的递推关系求n a，常用思路是：一是利用1,2n n na S S n-=-≥转化为na的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S的递推关系，先求出n S与n之间的关系，再求n a. 应用关系式11,1{,2nn nS naS S n-==-≥时，一定要注意分1,2n n=≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.二、填空题13．【解析】【分析】对于当n=1代入得-4依次得发现规律利用求出【详解】由当n=1代入得-4依次得发现规律利用得b=-求出故答案为【点睛】本题考查的是在数列中给了递推公式不好求通项公式时可以列举几项再发解析：20462047-【解析】【分析】对于()()11132n nn na a-+-+=⋅，当n=1，代入得2a=-4,依次得345a=10a=-22a=46...，，发现规律，利用()()112121nn n nab++=--，求出10S.【详解】由()()11132n nn na a-+-+=⋅，当n=1，代入得2a=-4,依次得23456 34567a=32-2a=-32+2a=32-2a=-32+2a=32-2...⨯⨯⨯⨯⨯，，，，发现规律，利用()()112121nn n nab++=--，得b1=-43，234510224694b=b=-b=b=-...3771515313163⨯⨯⨯⨯，，，，求出1020462047S=-.故答案为20462047- 【点睛】本题考查的是在数列中，给了递推公式不好求通项公式时，可以列举几项再发现规律，求出题中要求的前10项和，属于中档题.14．18【解析】观察下标发现4710成等差数列所以同理解析：18 【解析】471017a a a ++=，观察下标发现4，7，10成等差数列，所以74710317a a a a =++=，7173a ∴=同理94561213141177a a a a a a a =++++++=L ，97a ∴=423d ∴=，23d =91376k a a -=-=2693÷=9918k ∴=+=15．【解析】∵∴将以上各式相加得：故应填；【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法迭代法等； 解析：()112n n ++【解析】∵112,1n n a a a n +==++∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，()2331n n a a n --=+-+，⋯，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+将以上各式相加得：()()()123211n a n n n n ⎡⎤=-+-+-+++++⎣⎦L()()()()11111111222n n n n n n n n ⎡⎤--+-+⎣⎦=++=++=+故应填()112n n ++； 【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住11n n a a n +=++中1,n n a a +系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；16．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式解析：13- 【解析】 【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果.【详解】因为当0x ≥时 ()21,01,22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，当10m +=时，x R ∈； 当10m +>时，12mx -≤对[],1x m m ∈+恒成立，11111233m m m m -+≤∴≤-∴-<≤-； 当10m +<时，12m x -≥对[],1x m m ∈+恒成立，1123m m m -≥∴≥（舍）； 综上113m -≤≤-，因此实数m 的最大值是13-. 【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.17．-4【解析】【分析】根据已知可得即可求解【详解】且故答案为:-4【点睛】本题考查数列的递推关系以及周期数列考查计算求解能力属于中档题解析：-4 【解析】 【分析】根据已知可得6n n b b +=，即可求解. 【详解】121,5b b ==且*21()n n n b b b n N ++=-∈， 321211n n n n n n n n b b b b b b b b ++++++=-==-=--， 63,20166336n n n b b b ++=-==⨯， 201663214b b b b b ∴==-=-+=-.故答案为:-4 【点睛】本题考查数列的递推关系以及周期数列，考查计算求解能力，属于中档题.18．【解析】试题分析：外接圆直径为由图可知当在垂直平分线上时面积取得最大值设高则由相交弦定理有解得故最大面积为考点：解三角形【思路点晴】本题主要考查解三角形三角函数恒等变换二倍角公式正弦定理化归与转化的解析：5【解析】试题分析：5cos2C=，21cos2cos129CC=-=，45sin C=，cos cos2a Bb A c+==，外接圆直径为952sincRC==，由图可知，当C在AB垂直平分线上时，面积取得最大值.设高CE x=，则由相交弦定理有951x x⎛⎫-=⎪⎪⎝⎭，解得5x=，故最大面积为15522S=⋅⋅=.考点：解三角形．【思路点晴】本题主要考查解三角形、三角函数恒等变换、二倍角公式、正弦定理，化归与转化的数学思想方法，数形结合的数学思想方法.一开始题目给了C的半角的余弦值，我们由二倍角公式可以求出单倍角的余弦值和正弦值.第二个条件cos cos2a Bb A+=我们结合图像，很容易知道这就是2c=.三角形一边和对角是固定的，也就是外接圆是固定的，所以面积最大也就是高最大，在圆上利用相交弦定理就可以求出高了.19．【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式代值计算可得【详解】∵{an}{bn}为等差数列∴∵＝∴故答案为【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式属基础题解析：1941【解析】【分析】由等差数列的性质和求和公式可得原式1111ST=，代值计算可得．【详解】∵{a n}，{b n}为等差数列，∴939393657846666222a a a a a a a b b b b b b b b ++=+==++ ∵61111111111622a S a a T b b b +==+＝211319411341⨯-=⨯-，∴661941a b =， 故答案为1941. 【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．20．【解析】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行所以且又为正数所以（）即取值范围是考点：方程组的思想以及基本不等式的应用 解析：(2,)+∞【解析】试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行，所以1ab =且1a b ≠≠．又a ，b为正数，所以2a b +>=（1a b ≠≠），即+a b 取值范围是(2,)+∞．考点：方程组的思想以及基本不等式的应用．三、解答题21．（1）1665；（2）83. 【解析】 【分析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换求得结果;(2)利用正弦定理和三角形的面积公式求出结果． 【详解】(1)在ABC V 中，A B C π++=，由5cos 13A =-，2A ππ<<，得12sin 13A =， 由3cos 5B =，02B π<<，得4sin 5B =． 所以()16sin sin sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=； (2)由正弦定理sin sin AC BCB A=， 解得：sin 13sin 3BC B AC A ⋅==，所以ABC V 的面积：1113168sin 5223653S BC AC C =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=．【点睛】本题考查的知识点：三角函数关系式的恒等变换，三角形内角和定理，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答。

2024—2025学年度上学期高中学段高三联合考试数学科试卷（答案在最后）答题时间：120分钟满分：150分命题人：一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}820A x x =∈-N ，{}2|B y y x ==，则A B = （）A.[]0,2 B.[)0,4 C.{}0,1 D.{}0,1,2,32.复数12z z 、满足1212,z z z z +=若11i z =+，则2z =（）A.2B.1C.2D.3.已知命题p ：x ∀∈R ，210ax ax -+>；q ：x ∃∈R ，20x x a -+≤.均为真命题，则a 的取值范围是（）A.(),4-∞ B.[)0,4 C.10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D.10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.将函数()8sin f x x =图象向右平移π8后，再将所得图象上各点横坐标扩大为原来的4倍，得到()g x 的图象，若方程()4g x =在[0,8π]内有两不等实根,αβ，则πcos(6αβ++=（）A.2-B.32C.1-D.12-5.如图，在四边形ABCD 中，4,2,60AC AD CAD ==∠=，E 为线段AC 中点，2DE EB = ，则DB DC ⋅= （）A.332B.15C.18D.96.已知函数()20252025xxf x -=-，若0a >，0b >，且()()20f a f b -+=，则3111a b +++的最小值为（）A.2B.12+C.312-D.7.定义在R 上的函数()f x 满足()00f =，()()11f x f x +-=，()152x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且当1201x x ≤<≤时，()()12f x f x ≤，则12025f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.1256B.1128C.164D.1328.若关于x 不等式()ln ax x b ≤+恒成立，则当1e ea ≤≤时，1e lnb a +-的最小值为（）A.11e+ B.e 1- C.1D.e二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列四个命题为真命题的是（）.A.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若a =2b =，A θ=，要使满足条件的三角形有且只有两个，则π0,6θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B.若向量()5,0a =，()2,1b = ，则a 在b 上的投影向量为()4,2C.已知向量()cos ,sin a αα= ，()2,1b = ，则a b -1+D.在ABC 中，若sin sin AB AC AO AB B AC C λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭（λ∈R ），则动点O 的轨迹一定通过ABC ∆的重心10.若0a >，0b >，且22a b +=，则下列结论正确的是（）A.224a b +的最小值为2B.24a b +的最小值为4C.()sin 123a b ++>D.若实数1c >，则22321(2)1a abc ab c ++-⋅+-的最小值为811.已知函数()sin cos e e xx f x =-，其中e 是自然对数的底数，下列说法中正确的是（）A.()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数B.()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C.()f x 在 ‪π上有两个极值点D.若0x 为()f x 的一个极小值点，且()0cos 0etan x a f x x -<+恒成立，则1a <-三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知方程2340z z ++=的两个复数根分别为1z ，2z ，则12z z -=___________.13.如图，在ABC 中，已知1AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，BC ，AC 边上的两条中线AM ，BN 相交于点P ，则MPN ∠的余弦值为___________.14.若()2216ln 8ln 122x x f x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()1cos cos cos 02B c B bC a ++=.（1）求角B 的大小：（2）若8a c +=，7b =，a c <，求()sin 2A C +的值；（3）设D 是边AC 上一点，BD 为角平分线且2AD DC =，求cos A 的值.16.已知函数()()2e2e xx f x a ax =+--.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调区间.17.在复数集中有这样一类复数：i z a b =+与i z a b =-(),R a b ∈，我们把它们互称为共轭复数，0b ≠时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质：（1）设i z ≠，1z =，求证：21+zz 是实数；（2）已知13z =，25z =，127z z -=，求12z z 的值；（3）设i z x y =+，其中x ，y 是实数，当1z =时，求21z z -+的最大值和最小值．18.已知函数()()()5cos sin 5sin 3tan 4sin 5sin f x x x x θθθθ=⋅--+--（π02θ<<）的图象关于y 轴对称.（1）求tan θ；（2）设()()π2h x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求()h x 的最大值和此时的x 的集合；（3）设函数()()π2g x f x f x λωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（0λ>，0ω>）.已知()y g x =在π6x =处取最小值并且点2π,443λ⎛⎫- ⎪⎝⎭是其图象的一个对称中心，试求λω+的最小值.19.请阅读下列2段材料：材料1：若函数()y f x =的导数()f x 仍是可导函数，则()'f x 的导数()f'x '⎡⎤⎣⎦称为()f x 的二阶导数，记为()''f x ：若()''f x 仍是可导函数，则()''f x 的数()'f''x ⎡⎤⎣⎦称为()f x 的三阶导数，记为()'''f x ；以此类推，我们可以定义n 阶导数：设函数()y f x =的1n -阶导数()1n f x -（2n ≥，n +∈N ）仍是可导函数，则()1n fx -的导数()1n f x '-⎡⎤⎣⎦称为()f x 的n 阶导数，记为()n f x ，即()()1n n f x f x '-⎡⎤=⎣⎦.材料2：帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发现的对任意函数的一种用有理函数逼近的方法.帕德逼近有阶的概念，如果分子是m 次多项式，分母是n 次多项式，那么帕德逼近就是mn阶的帕德逼近.一般地，函数()f x 在0x =处的[],m n 阶帕德逼近函数定义为：()0111mm n n a a x a x R x b x b x +++=+++ 且满足()()00f R =，()()00f'R'=，()()00f''R''=，…，()()()()00m n m n f R ++=（其中e 2.71878=…为自然对数的底数）.请根据以上材料回答下列问题：（1）求函数()()ln 1f x x =+在0x =处的[]1,1阶帕德逼近函数()R x ，并比较()f x 与()R x 的大小；（2）求证：当()0,x ∈+∞时，23xx >恒成立.（3）在（1）条件下，若()()()()12f x h x m f x R x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在()0,∞+上存在极值，求m 的取值范围2024—2025学年度上学期高中学段高三联合考试数学科试卷答题时间：120分钟满分：150分命题人：一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】C二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】ABD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【13题答案】【答案】14【14题答案】【答案】5四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）2π3B =（2）437（3）277【16题答案】【答案】（1）()222e 2e 0x y ---=（2）答案见详解【17题答案】【答案】（1）证明见解析（2）123i;1010z z =-±（3）22max min 13,10z z z z -+=-+=【18题答案】【答案】（1）4tan 3θ=（2）)281，3π2π,Z 4x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭（37+【19题答案】【答案】（1）当0x ≥时，()()f x R x ≥，当10x -<<时，()()f x R x <（2）证明见解析（3）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭。

辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2021届高三数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题1.已知集合2A {|}x y x x =-,集合{|ln(1)}B x y x ==-,求A B =（ ）A. [0,1]B. [0,1)C. (,1)-∞D. (,1)-∞【答案】B 【解析】 【分析】由集合的交集运算求解即可【详解】集合A 中x 应满足20x x -≥，即[]0,1x ∈；集合B 中x 应满足10x ->，即1x <；则A[0,1)B =故选：B【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题 2.已知2log ,1()2,1xx x f x x ≥⎧=⎨<⎩,则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A. 1 B.12 C.14D. -2【答案】B 【解析】 【分析】先求内层函数值，再求外层函数即可【详解】先求得12122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再求得1122212log 22f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即1122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B【点睛】本题考查分段函数中函数值的求法，属于基础题 3.向量(1,2)a m =和向量(3,1),(),b a b b m =-+⊥=（ ）A.132B.76C. 76-D. 132-【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标运算即可求出参数m【详解】由题知(1,2)a m =，(3,1)b =-，则()4,21a b m +=-，又()a b b +⊥，1343120,2m m ∴⨯+-=∴=故选：A【点睛】本题考查由向量垂直求解参数，属于基础题 4.将2sin 2y x =图像左移6π个单位后，对称轴为（ ） A. ()28k x k Z ππ=-∈ B. x ()28k k Z ππ=+∈ C. ()212k x k Z ππ=-∈ D. ()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】D 【解析】 【分析】先求出平移之后的表达式，再由对称轴通式化简即可 【详解】2sin 2y x =图像左移6π个单位可得：2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再令2,62x k k Z πππ⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，解得()212k x k Z ππ=+∈； 故选：D【点睛】本题考查函数图像平移法则，正弦型函数对称轴通式的求法，属于基础题5.设函数()f x 的导函数为()f x '，且2()2(1)f x x x f '=+⋅，则(0)f '=（ ）.A. 0B. -4C. -2D. 2【答案】B 【解析】 【分析】可先求函数的导数，先令1x =求出()'1f ，再令0x =即可求解(0)f '【详解】由2()2(1)'()22(1)f x x x f f x x f ''=+⋅⇒=+，令1x =得'(1)212(1)f f '=⨯+，解得()'12f =-，则'()24f x x =-，(0)4f '=- 故选：B【点睛】本题考查函数具体导数值的求法，属于基础题6.若定义域为R 的函数()f x 不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是（ ） A. ,()()x R f x f x ∀∈-≠ B. ,()()x R f x f x ∀∈-= C. ,()()x R f x f x ∃∈-≠ D. ,()()x R f x f x ∃∈-=【答案】C 【解析】 【分析】可通过列举函数图像结合奇函数进行选项排除 【详解】如图：函数为奇函数图像（不唯一），,()()x R f x f x ∃∈-=，如图中的1x =，则A 错误，B 项为偶函数的性质，显然矛盾，则B 错误； 通过图像显然,()()x R f x f x ∃∈-≠，则C 正确；D 项不一定成立，如图：,()()x R f x f x ∃∈-=，显然是不成立的，D 错误；故选：C【点睛】本题考查函数性质的应用，全称命题和存在命题的辨析，属于基础题 7.正方形ABCD 的边长为1，E 为CD 中点，则向量AE BD ⋅=（ ）. A. 12-B.12C. 0D. 1【答案】B 【解析】 【分析】可建立直角坐标系，由向量的坐标运算求解即可 【详解】如图：则()()()()0,0,1,0,1,1,0,1A B C D ,E 为CD 中点，1,12E ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭则1,12AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,1BD =-，11122AE BD ⋅=-+=故选：B【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，建系法在向量中的应用，属于基础题8.偶函数32()(1)1f x a x mx =-++的定义域为()21564,m m m ++，则2()2g x ax mx =+的最小值（ ） A. -3 B. 3 C. -8 D. 8【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数的性质可先求得a ，再由定义域最新原点对称求得m ，进而可求()g x 的值域【详解】32()(1)1f x a x mx =-++为偶函数，32()(1)1f x a x mx ∴-=-++，由()()f x f x =-可得1a =；又定义域()21564,m m m ++最新原点对称，故215640m m m +++=，解得8m =-，()22()28228g x x x x =-=--，当2x =时，()()min 28g x g ==-故选：C【点睛】本题考查偶函数的性质，二次函数最值的求解，属于基础题 9.在1100x y x y ==-=,,,围成的正方形中随机投掷10000个点，则落入曲线20x y -=,1y =和y 轴围成的区域的点的个数的估计值为（ ）A. 5000B. 6667C. 7500D. 7854【答案】B 【解析】 【分析】应用微积分基本定理求出对应的原函数，再由定积分定义求出空白区域面积，由正方形面积减去空白区域面积即可求出阴影部分面积，结合几何概型可推导出对应区域内的点的个数【详解】由微积分基本定理可求出2yx 的原函数为()313F x x =，空白区域面积为31101133S x ==，故阴影部分面积212133S =-=，由几何概型可知，落入阴影部分的点数估计值为21000066673⨯≈ 故选：B【点睛】本题考查定积分与微积分的基本定理，几何概型，属于基础题 10.tan 23,0,,sin 342ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+=--∈= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A. 0B. -23131【答案】A 【解析】 【分析】可由tan 234πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求出tan θ，由同角三角函数的基本关系即可求解 【详解】由1tan tan 2323tan 341tan πθθθθ+⎛⎫+=--=-= ⎪-⎝⎭，又0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故3πθ=，31sin sincos 332ππθθ===，则33sin 30θθ=-= 故选：A【点睛】本题考查正切角的和角公式的应用，常见角的三角函数求值，属于基础题11.3(21),1()2log ,1a a x a x f x x x ⎧--<⎪=⎨⎪≥⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围为（ ） A. (0,1) B. (1,2]C. 11,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】根据增函数的定义需使每段分段函数都是增函数，再由临界点建立不等关系即可求解【详解】()f x 是R 上的增函数，∴满足21013log 1212a a a a a ⎧⎪->⎪>⎨⎪⎪≥--⎩，解得(1,2]a ∈故选：B【点睛】本题考查由函数的单调性求解参数范围，属于基础题12.若对于任意[),0,x y ∈+∞，不等式2242x y x y ax e e +---≤++恒成立，则实数a 的最大值是( ) A.14B. 1C. 2D.12【答案】D 【解析】分析：利用基本不等式和参数分离得212x e a x -+≤在0x >时恒成立，构造函数21()2x e g x x-+=，通过求导判断函数的单调性求得()g x 的最小值，即可求得a 的最大值． 详解：当0x =时，不等式即为2202y y e e ---≤++，显然成立， 当0x >时，设()222x y x y f x ee +--+=++，所以不等式2242x y x y ax e e +--+≤++恒成立，即为不等式()4ax f x ≤恒成立， 即有()222()2222x y y x y y x f x e e e e e e e -----=++≥⋅⋅=+（当0y =时等号成立）， 由题意可得2422x ax e-≤+，即有212x e a x-+≤在0x >时恒成立，令函数21()2x e g x x -+=，则22222(1)()4x x xe e g x x---+'=， 令()0g x '=，即有2(1)1x x e --=，令()()22(1)x x h x x eh x xe --⇒='=-，当0x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，由于()21h =，即有2(1)1x x e --=的根为2，当2x >时，函数()g x 单调递增，02x <<时，函数()g x 单调递减， 即有2x =时，()g x 取得最小值，其最小值为11142+=， 所以实数a 的最大值为12，故选D ． 点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用，以及不等式恒成立问题的求解，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 二、填空题13.函数()(1)ln 4(1)f x x x x =+--在1x =处的切线斜率为________. 【答案】-2 【解析】【分析】先求导，再将1x =代入导数公式即可求解【详解】由1()(1)ln 4(1)'()ln 3f x x x x f x x x =+--⇒=+-，1'(1)ln1321f =+-=- 故答案为：-2【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题14.3cos ,,,cos 352ππααπα⎛⎫⎛⎫+=∈--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________.343-【解析】 【分析】可采取拼凑角的方式，cos cos 33ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，结合差角公式和同角三角函数的求法，先求出sin 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭，即可求解 【详解】cos cos cos cos sin sin 333333ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又3,,cos 235ππαπα⎛⎫⎛⎫∈--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3πα∴+在第四象限，sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭为负值，即5sin 43πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3143343cos 525α-⎛⎫∴=⨯+- ⎪⎝⎭343-【点睛】本题考查同角三角函数的基本求法，两角差的余弦公式，属于中档题15.已知命题:44,:(2)(3)0p x a q x x -<-<-->，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求a 的取值范围________. 【答案】[1,6]- 【解析】 【分析】p ⌝是q ⌝的充分不必要条件可转化为q 是p 的充分不必要条件，再化简两命题对应x 的取值范围，进一步判断即可【详解】“p ⌝是q ⌝的充分不必要条件”⇔q 是p 的充分不必要条件，命题p 中：44a x a -<<+，命题q 中：23x <<，由q 是p 的充分不必要条件可知，应满足4243a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得[1,6]a ∈- 故答案为：[1,6]-【点睛】本题考查由命题的充分不必要条件求解参数范围，属于中档题 16.已知sin 23αα=tanα＝______________.【答案】22【解析】由2333 即sin （α＋Φ）＝1，其中2 于是α＋Φ＝2kπ＋2π（k∈Z） 所以tanα＝tan （2kπ＋2π－Φ）＝cotΦ＝22考点：三角函数性质 三、解答题17.函数()cos()(0,0)f x x+ωϕωϕ=>≤≤π为R 上的奇函数，其中点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭是一个对称点，且在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调（1）求ϕ值 （2）求()f x 解析式【答案】（1）2ϕπ= （2）4()sin 3f x x =-【解析】【分析】（1）先由诱导公式将原函数转化为()cos()sin 2f x x x πωϕωϕ⎛⎫=+=-+- ⎪⎝⎭，再由奇函数性质即可求得ϕ值； （2）由图像最新3,04M π⎛⎫⎪⎝⎭对称可得43k ω=，又()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数得1342T ππω≤=，联立求解即可解得具体ω，进而求得()f x 解析式 【详解】（1）()cos()sin sin 22f x x x x ππωφωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+=--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是R 上的奇函数,(0)sin 02f πϕ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭，0ϕπ≤≤，2ϕπ=， （2）()sin f x x ω=-，图像最新3,04M π⎛⎫⎪⎝⎭对称，3sin 04πω∴=， 34k πωπ∴=，4,3kk Z ω∈∴=，k Z ∈.① 又()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，1342T ππω∴≤=，302ω∴<≤，② 43ω∴=，4()sin 3f x x ∴=-. 【点睛】本题考查三角函数中由奇偶性求解具体参数ϕ值，由单调性求解具体参数ω值，属于中档题18.32()44f x x x x =-+， （1）求()f x 的单调区间 （2）求()f x 在[0,3]上的最值.【答案】（1）单调增区间为2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(2,)+∞,单调减区间为2,23⎛⎫⎪⎝⎭（2）min max ()0,()3f x f x ==【解析】【分析】（1）先求导数()'f x ，再令导数为0，结合导数的正负求解单调区间即可；（2）先求出()f x 在[0,3]上的极值点，再求出两端点值，即可求出函数最值 【详解】（1）2()384(2)(32)f x x x x x '=-+=-- 令()0f x '>得23x <或2x > 令()0f x '<得223x << ()f x ∴单增区间为2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(2,)+∞ 单减区间为2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）令()0f x '=得23x =或2x = 232(0)0,,(2)0,(3)3327f f f f ⎛⎫==== ⎪⎝⎭min max ()0,()3f x f x ∴==【点睛】本题考查由函数导数判断函数单调性，函数在指定区间的最值的求法，属于中档题19.已知向量(sin ,cos ),(3sin ,sin )(0)a x x b x x ωωωωω==>，3()2f x a b =⋅-（1）当最小正周期为π时，求ω的值；（2）函数()()1g x f x m =++有零点，求m 的取值范围.【答案】（1）1（2）[2,0]-【解析】【分析】 （1）先由向量的数量积公式求出()f x 表达式，得()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令22T ππω==即可求解；（2）要使函数()()1g x f x m =++有零点，即()(1)f x m =-+有根，由函数()f x 的值域即可求解参数m 取值范围【详解】解：（1）3()2f x a b =⋅- 233sin cos x x x ωωω=+⋅-1cos 2133sin 2222x x ωω-=- sin 23x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 22T ππω== 1ω∴=（2）由题知()(1)f x m =-+有根又()[1,1](1)[1,1]f x m ∈-∴-+∈-(1)[1,1]m ∴+∈-[2,0]m ∴∈-【点睛】本题考查三角函数由三角函数的最小正周期求解参数，函数与方程的转化，属于中档题20.函数f(x)=ax 3+3x 2+3x(a≠0).（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围.【答案】（1）a≥1时，在（-∞，+∞）是增函数；0<a<1时, f （x ）在（－∞，x 2），（x 1，+∞）上是增函数；f （x ）在（x 2，x 1）上是减函数；（2）5[,0)(0,)4-⋃+∞ 【解析】【详解】试题分析：（1）首先求出函数的导数，然后求出使()0f x '>或()0f x '<的解集即可.（2）分类讨论在区间（1，2）上使()0f x '>成立的条件，并求出参数a 的取值范围即可 试题解析：（1）2()363f x ax x '=++，2()3630f x ax x ++'==的判别式△=36（1-a ）. （i ）若a≥1，则()0f x '≥，且()0f x '=当且仅当a=1，x=-1，故此时f （x ）在R 上是增函数.（ii ）由于a≠0，故当a<1时，()0f x '=有两个根：121111a a x x a a ----==， 若0<a<1,则当x∈（－∞，x 2）或x∈（x 1，+∞）时，()0f x '>，故f （x ）在（－∞，x 2），（x 1，+∞）上是增函数；当x∈（x 2，x 1）时，()0f x '<，故f （x ）在（x 2，x 1）上是减函数；（2）当a>0，x>0时,()0f x '>，所以当a>0时，f （x ）在区间（1，2）是增函数. 若a<0时，f （x ）在区间（1,2）是增函数当且仅当(1)0f '≥且(2)0f '≥，解得504a -≤<. 综上，a 的取值范围是5[,0)(0,)4-⋃+∞. 考点：1.函数的导数；2.导数性质的应用.21.函数211()sin 2sin cos cos sin 222f x x x πϕϕϕ⎛⎫=⋅+⋅-+ ⎪⎝⎭，22ππϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭其图像过定点1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）求ϕ值；（2）将()y f x =图像左移8π个单位后得到()y g x =，求()g x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大和最小值及此时对应的x 的取值是多少？【答案】（1）0ϕ=（2）当4x π=时，min 2()4g x =-；当8x π=-时，max 1()2g x = 【解析】【分析】（1）先将函数表达式结合降幂公式化简可得()1cos(2)2f x x ϕ=-，结合函数过点1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭和,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭即可求解具体ϕ值； （2）根据函数图像平移法则先求得1()cos 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦求得32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，再结合余弦函数性质即可求解 【详解】（1）11cos 21()sin 2sin cos cos 222x f x x ϕϕϕ+=⋅+⋅- 11sin 2sin cos 2cos 22x x ϕϕ=⋅+⋅ 1cos(2)2x ϕ=- 又图像过点1,64π⎛⎫ ⎪⎝⎭，11cos 423πϕ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ 233k ππϕπ∴-=+或2()3k k Z ππ-+∈ 又,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0ϕ∴= （2）由（1）知1()cos 22f x x =， 11()cos 2cos 22824g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当3244x ππ+=时，即4x π=时，min 2()4g x =- 当204x π+=时，即8x π=-时，max 1()2g x = 【点睛】本题考查三角函数表达式的化简求值，降幂公式的使用，两角差的余弦公式的逆用，在具体区间函数最值的求解，属于中档题22.已知2()2,()x f x x x g x xe =+=（1）求()()f x g x -的极值.（2）当(2,0)x ∈-时()1()f x ag x +≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）极小值为11e-，极大值为2ln 2 （2）0a ≥【解析】【分析】（1）先令2()()()2x h x f x g x x x xe =-=+-，对()h x 求导，令()0h x '=，结合导数正负判断原函数单调性，进而求解极值；（2）可采用分离参数法，得221x x x a xe++≥在(2,0)x ∈-时恒成立，令()221x x x t x xe ++=，利用导数研究()t x 的增减性，求出()t x 的最大值即可求解【详解】解：（1）令2()()()2x h x f x g x x x xe =-=+-则()()(1)2x h x x e '=+-令()0h x '=，解得1x =-或ln2x =.当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表： x (,1)-∞--1 (1,ln 2)- ln 2 (ln 2,)+∞ ()h x ' - 0+ 0 - ()h x↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘所以()()111h x h e=-=-极小值，()()2ln2ln 2h x h ==极大值. （2）由题意知，当(2,0)x ∈-时，221x x x axe ++≥恒成立，即221x x x a xe++≥，令()221x x x t x xe ++=则()221(1)()x x x t x x e -++'=，所以当(2,1)x ∈--时，()0t x '>，()t x 单调递增；当(1,0)x ∈-时，)0(t x '＜，()t x 单调递减，故当(2,0)x ∈-时，()max )10(t x t =-=，所以0a ≥.【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值点，利用分离常数法和导数研究函数在定区间恒成立问题，属于中档题。

辽宁省沈阳市城郊市重点联合体2021届高三数学上学期期中试题 理命题范围：人教B 版，集合，简易逻辑，函数，导数，三角函数，向量 考试时间：120分钟 满分：150分第I 卷客观题一、选择题：(本大题共12题，每小题5分，共60分){{}1.A |,|(1)A ()A [0,1]B [0,1)C (-,1) D(-,1)x y B x y ln x B ===-⋂=∞∞已知集合=集合,求()=x f .2{1,log 1,22≥<x x xx，()=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛21f f 求 1.A 21.B 41.C2.-D()()()=⊥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==→→→→→m b b a b m a ,,1,32,1.3和向量向量213.A 67.B 67.-C 213.-D 4.2sin 2()6.() B.x=().().()2828212212y x k k k k A x k Z k Z C x k Z D x k Z πππππππππ==-∈+∈=-∈=+∈将图像左移个单位后，对称轴为()()()()()()=⋅+=0,12,.5''2'f f x x x f x f x f 则且的导函数为设函数0.A 4.-B 2.-C 2.D()()题中一定为真命题的是不是偶函数，则下列命的函数若定义域为x f R .6()()x f x f R x A ≠-∈∀,. ()()x f x f R x B =-∈∀,. ()()x f x f R x C ≠-∈∃,. ()()x f x f R x D =-∈∃,.()=⋅→→BD AE CD E ABCD 中点，则向量为，的边长为正方形1.721.-A 21.B 0.C 1.D32228.()(1)1(1564,),()2()A.-3.3.8.8f x a x mx m m mg x ax mx B C D =-++++=+-偶函数的定义域为则的最小值29.1,1,0,01000001A.5000.6667.7500.7854x y x y x y y y B C D ====-==在围成的的正方形中随机投掷个点，则落入曲线与和轴围成的区域的点的个数的估计值为（）10.tan()2()4.0.211A B C D πθθθ+=--=-()=x f .11()⎩⎨⎧<--≥1,23121,log x a x a x x a ()的取值范围为上的增函数，则是a R()1,0.A (]2,1.B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡31,71.C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,71.D2212.,[0,),411..2.1.42x y x y x y ax e a A B C D +---∀∈+∞≤若不等式+e +2恒成立，则的最大值是（）第II 卷主观题二．填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)()()()处的切线斜率为在函数114ln 1.13=--+=x x x x x f314.cos(),(,),cos 352ππααπα+==--=15.:44,:(2)(3)0,p x a q x x p q a -<-<-->⌝⌝已知命题若是的充分不必要条件，求的取值范围==+αααtan ,3cos 2sin .16则三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）()()()()()().21300430,0cos .17解析式求值；求上单调，对称点，且在是一个，上的奇函数，其中点为函数x f R x x f ϕπππϕωϕω⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛≤≤>+=()()()()()[].3,021,44.1823上的最值在求的单调区间；求x f x f x x x x f +-=()()()()()()()().12123,0sin ,sin 3,cos ,sin .19的取值范围有零点，求函数的值；时，求当最小正周期为已知向量m m x f x g b a x f x x b x x a ++=-⋅=>==ωπωωωωω()()()()()()().2,121.033.2023的取值范围是增函数，求在区间若函数的单调性；讨论函数函数a x f x f a x x ax x f ≠++=211121.()=sin 2sin cos cos sin(),(),(,)2222264(1)(2)()()(),844f x x x y f x y g x g x x ππππϕϕϕϕπππϕ⋅+⋅-+-<<⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦函数其图像过定点求值；将的图像左移个单位后得到，求在上的最大和最小值及此时对应的取值是多少？2()2,()(1)()()()1()x f x x x g x xe f x g x x f x ag x a =+=-∈+≥22.已知求的极值.(2)当(-2,0)时，恒成立，求的取值范围.城郊市重点联合体期中考试高三年级数学（理）答案及评分标准 1-5 BBADB 6-10CBCBA 11B 12D 13.-2 14.10343- 15.[]6,1- 16.2217.（1）解:—————2分是R 上的奇函数, , ———————————1分,2πϕ=———————————1分（2）图象关于对称, ,,, ,.① ———————————2分又在上是单调函数, , ——————2分,②, ——————2分18.解：（1）()()()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛∞∴<<<><>--=+-=232232-23202320232483''2'，单减区间为，和，单增区间为得令或得令x f x x f x x x f x x x x x f ——————6分（2）()()()()()()3,033,02,273232,002320max min '==∴===⎪⎭⎫ ⎝⎛====x f x f f f f f x x x f 或得令 ——————6分19. 解:(1)()122.32sin 232sin 2122cos 1323cos sin sin 3232=∴==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+-=-⋅+=-⋅=ωπωππωωωωωωT x x x x x x b a x f ——————6分 （2）()()()[]()[]()[][]0,21,111,111,11-∈∴-∈+∴-∈+-∴-∈+-=m m m x f m x f 又有根由题知 ——————6分20. 解： （1），的判别式△=36（1-a ） ————1分（i ）若a≥1，则，此时f （x ）在R 上是增函数. ————1分（ii ）由于a≠0，故当a<1时，有两个根：， ————1分若0<a<1,则当x ∈（－，）或x ∈（，+）时，，故f （x ）在（－，），（，+）上是增函数； 当x ∈（，）时，，故f （x ）在（，）上是减函数； ————1分a<0时，当x ∈（－，）或x ∈（，+）时， ()0'<x f ，故f （x ）在（－，），（，+）上是减函数； 当x ∈（，）时，，故f （x ）在（，）上是增函数； ————2分（2）当a>0，x>0时, ，>0所以当a>0时，f （x ）在区间（1，2）是增函数. ————2分 若a<0时，f （x ）在区间（1,2）是增函数当且仅当且，————2分解得.综上，a 的取值范围是. ———2分21. （1）()()213cos 3cos 21414162cos 21cos 2cos 21sin 2sin 21cos 21cos 22cos 1sin 2sin 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴⎪⎭⎫⎝⎛-=∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅+⋅=-⋅++⋅=ϕπϕππϕϕϕϕϕϕ，图像过点又 x x x x x x f22-23-23-3=∴⎪⎭⎫⎝⎛∈∈++=∴ϕππϕππππϕπ，又）（或Z k k k ————6分（2）由（1）知()()()()21804242443424344242cos 2182cos 21,2cos 21max min =-==+-===+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==x g x x x g x x x x x x g x x f 时，时，即当时，时，即当，ππππππππππ ————6分 22.解：（1）令h(x)=f(x)-g(x)=x 2+2x-xe x， 则h′(x)=(x+1)(2-e x)，令h′(x)=0，解得x=-1或x=ln2. ————2分 当x 变化时，h′(x)与h(x)的变化情况如下表：————2分所以h(x)极小值=h(-1)=-1，h(x)极大值=h(ln2)=ln 22. ———2分（2）由题意知，当x ∈（-2，0）时，x 2+2x+1≥axe x恒成立，即a≥， ———2分则t′(x)=， ———1分所以当x ∈（-2，-1）时，t′(x)＞0，t(x)单调递增；当x∈（-1，0）时，t′(x)＜0，t(x)单调递减，故当x∈（-2，0）时，t(x)max=t(-1)=0，所以a≥0. ————3分。

2020-2021沈阳市高三数学上期中一模试卷(附答案)一、选择题1．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102002．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S3．下列命题正确的是A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2B ．若a ＞b ，则 ac ＞bcC ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b4．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸5．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．36．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．4y x x=+B．2y =C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< 7．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．168．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）9．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．10．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89B ．23C ．6481D ．12524311．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ） A ．95B ．100C ．135D ．8012．若0,0x y >>，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D ．(1,8)-二、填空题13．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．14．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则122016111a a a +++=L _________． 15．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________． 16．定义11222n n n a a a H n-+++=L 为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值12n n H +=,记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________．17．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 18．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为________.19．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .20．已知数列{}n a 的通项1n n a n+=+，则其前15项的和等于_______.三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和22n n nS +=．（1）求数列{}n a 通项公式； （2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22．已知函数()3sin cos f x x x =-.（1）求函数()f x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域； （2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求a b 的取值范围． 23．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos (tan tan 1)1A C A C -=．（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）若33a c +=，3b =,求的面积．24．各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{(1)}nn a -•的前2n 项和2n T ．25．已知函数()sin 2(0)f x m x x m =+>的最大值为2. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间； （Ⅱ）ABC ∆中,()()46sin 44f A f B A B ππ-+-=,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且060,3C c ==，求ABC ∆的面积．26．在ABC ∆角中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3asinB bcosA =． （1）求角A ；（2）若ABC ∆的面积为235a =，，求ABC ∆的周长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.2．D解析：D 【解析】 【分析】由已知条件判断出公差0d <，对20191<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.3．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C4．B解析：B 【解析】 【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。

辽宁省2021年高三上学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2019高三上·上海月考) 已知集合 = = ,则=________.2. （1分） (2020高二下·吉林期末) 设i为虚数单位，如果复数满足，那么z的虚部为________.3. （1分） (2016高一下·徐州期末) 函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为________．4. （1分） (2020高一下·大兴期末) 数据19，20，21，23，25，26，27，则这组数据的方差是________.5. （1分）(2019·萍乡模拟) 设双曲线：的右焦点为，直线为双曲线的一条渐近线，点关于直线的对称点为，若点在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为________．6. （1分）(2016·江苏) 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________.7. （1分）如图中算法的功能是(a>0，b>0)________.8. （1分） (2019高三上·扬州月考) 在正四棱锥中，点是底面中心，，侧棱，则该棱锥的体积为________.9. （1分）等差数列{an}中，已知a4、a5分别是方程x2﹣8x+15=0的两根，则S8=________10. （1分） (2018高二下·鸡西期末) 给出下列四个命题：①半径为2，圆心角的弧度数为的扇形面积为②若为锐角，，则③ 是函数为偶函数的一个充分不必要条件④函数的一条对称轴是其中正确的命题是________．11. （1分） (2017高一上·伊春月考) 已知是定义在上的奇函数，且它在定义域内单调递减，若满足，则的取值范围是________．12. （1分） (2019高二上·六安月考) 近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周猪肉价格分别为元/斤、元/斤，家庭主妇甲和乙买猪肉的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤猪肉，家庭主妇乙每周买50元钱的猪肉，试比较谁购买方式更实惠（两次平均价格低视为实惠）________（在横线上填甲或乙即可）．13. （1分）(2017·临川模拟) 在平面直角坐标系xoy中，点P是直线3x+4y+3=0上的动点，过点P作圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，切点分别是A，B，则|AB|的取值范围为________．14. （1分） (2016高三上·泰兴期中) 命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是________．二、解答题 (共12题；共105分)15. （10分） (2020高一下·吉林期末) 已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a∶b∶c＝7∶5∶3.（1）求cos A的值；（2）若△AB C的面积为45 ，求△ABC外接圆半径R的大小．16. （5分） (2018高二上·台州期中) 如图，四边形为正方形，、分别为、的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且 .(Ⅰ)面面；(Ⅱ)求二面角的大小.17. （10分） (2017高一上·石家庄期末) 如图，点A，B是单位圆O上的两点，A，B点分别在第一，而象限，点C是圆O与x轴正半轴的交点，若∠COA=60°，∠AOB=α，点B的坐标为（﹣，）．（1）求sinα的值；（2）已知动点P沿圆弧从C点到A点匀速运动需要2秒钟，求动点P从A点开始逆时针方向作圆周运动时，点P的纵坐标y关于时间t（秒）的函数关系式．18. （10分） (2019高二上·厦门月考) 已知椭圆的中心在原点，其中一个焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，（1）求椭圆E的方程：（2）若直线AB的倾斜角为135度，求 .19. （5分） (2016高三上·北京期中) 已知集合A=a1 ， a2 ， a3 ，…，an ，其中ai∈R（1≤i≤n，n ＞2），l（A）表示和ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16，分别求l（P）和l（Q）；（Ⅱ）若集合A=2，4，8，…，2n ，求证：；（Ⅲ）l（A）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？20. （10分） (2020高二下·宝坻月考) 已知函数 (m R)（1）当时，①求函数在x=1处的切线方程；②求函数在上的最大，最小值．（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；21. （10分）(2016·安徽模拟) 如图，圆内接四边形ABCD中，BD是圆的直径，AB=AC，延长AD与BC的延长线相交于点E，作EF⊥BD于F．（1）证明：EC=EF；（2）如果DC= BD=3，试求DE的长．22. （5分） (2017高三上·徐州期中) 已知矩阵A= ，若直线y=kx+1在矩阵A对应的变换作用下得到的直线过点P（2，6），求实数k的值．23. （10分） (2016高三上·枣阳期中) 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+ ）=3 ，射线OM：θ= 与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．24. （10分）设函数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）△ABC的三边a，b，c所对的内角分别为A，B，C，若b=5，且，求△ABC面积的最大值．25. （10分） (2016高二下·赣榆期中) 如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F 是棱CD上的动点，G为C1D1的中点，H为A1G的中点．（1）当点F与点D重合时，求证：EF⊥AH；（2）设二面角C1﹣EF﹣C的大小为θ，试确定点F的位置，使得sin θ= ．26. （10分） (2019高二下·广东期中) 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值．由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65)，[65，75)，[75，85]内的频率之比为4∶2∶1.（1）求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的概率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75)内的产品件数为X ，求X的分布列．参考答案一、填空题 (共14题；共14分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：二、解答题 (共12题；共105分)答案：15-1、答案：15-2、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：答案：24-1、答案：24-2、考点：解析：答案：25-1、答案：25-2、考点：解析：答案：26-1、答案：26-2、考点：解析：。

辽宁省沈阳市五校协作体2021届高三数学上学期期中联考试题 理试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷选择题（1—12题，共60分）和第Ⅱ卷（非选择题，13—23题，共90分）。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

考试时间 ：120 分钟 考试分数：150分第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合{|3}A x x =∈Z ≤，{|ln 1}B x x =<，集合A 与B 关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合为 ( ) A ．{|0}x x e << B ．{123}，， C ．{012}，， D ．{12}，2.i 为虚数单位，复数1i 2+=z 在复平面内对应的点的坐标为( ) A ．)11(，-B ．)11(，C ．)11(-，D ．)11(--，3.已知,a b 都是实数,:p 直线0x y +=与圆22()()2x a y b -+-=相切; :2q a b +=,则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述。

两颗星的星等与亮度满足m 2-m 1=lg ，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k =1,2). 已知太阳的星等为 -26.7，天狼星的星等为 -1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10-10.15.已知2333211,,log 32a b c π⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．a c b >> 6.x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0 7.已知43(,0),cos()sin 36ππααα∈-+-=sin()12πα+的值是（ ） A ． 23 B ．2 C 23 D ．45-8.函数()||mf x x x=-（其中m R ∈）的图像不可能．．．是（ ） A ． B ． C ．D ．9.为了丰富教职工的文化生活，某学校从高一年级、高二年级、高三年级、行政部门各挑选出4位教师组成合唱团，现要从这16人中选出3人领唱，要求这3人不能都是同一个部门的，且在行政部门至少选1人，则不同的选取方法的种数为A ．336B ．340C ．352D ．472 10.已知3412a b==，则,a b 不可能．．．满足的关系是（ ） A ．4a b +> B ．4ab > C ．22(1)(1)2a b -+-> D ．223a b +< 11.已知向量OA 、OB 满足0OA OB =,点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒, 设OC mOA nOB =+（,m n R ∈），若||12||OA OB =,则m n =A.3B. 4C.23D.1412.已知()f x '是奇函数f(x)(x R ∈)的导函数，f(-1)=0,当x>0时，()()0xf x f x '-<,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围为( )A.)1,0()1,(⋃--∞B.),1()0,1(+∞⋃-C.)0,1()1,(-⋃--∞D.),1()1,0(+∞⋃第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13.若实数,x y 满足条件20,0,3,x y x y y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩则34z x y =-的最大值是__________． 14.由曲线3x y =(0)x ≥与它在1=x 处切线以及x 轴所围成的图形的面积为 ． 15.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，23BAC π∠=，3AP =，23AB =Q 是BC边上的一个动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则该三棱锥外接球的表面积为__________．16.对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具O xyO x y有性质P.（1）下列函数中具有性质P 的有 ；①()2f x x =-+②()sin f x x =([0,2])x π∈ ③1()f x x x=+，((0,))x ∈+∞（2）若函数 具有性质P ，则实数a 的取值范围是 . （本题第一空2分，第二空3分．）三、解答题：共70分。

2020-2021学年度上学期沈阳市郊联体期末考试高三试题数 学考试时间：120分钟 满分：150分注意事项：本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分组成.第Ⅰ卷选择题部分，一律用2B 铅笔按题号依次填涂在答题卡上；第Ⅱ卷非选择题部分，按要求答在答题卡相应位置上.第Ⅰ卷 选择题一、单选题：本大题共8道小题，每小题5分，共40分： 1. 若集合{}12A x x =-≤≤，{}3log 1B x x =≤，则A B （ ）A. {}02x x <≤B. {}12x x -≤≤C. {}12x x ≤≤D. {}13x x -≤≤2. 已知复数z 满足()1243z i i +=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A. -2B. 2i -C. 1D. i3. 已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为12，则此双曲线的离心率为（ ）A. 2B. 2C.D.4. 已知一个圆柱上、下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为10，圆柱底面直径为6，则圆柱的侧面积为（ ） A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π5. 已知某药店只有A ，B ，C 三种不同品牌的95N 口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的95N 口罩，若甲、乙买A 品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买B 品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的95N 口罩的概率为（ ） A. 0.7B. 0.65C. 0.35D. 0.266. ()3222x n x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中含3x 项的系数为（ ）A. 2B. 8C. -5D. -177. 已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>，过M 的右焦点()3,0F 作直线交椭圆于A ，B 两点，若AB 中点坐标为()2,1，则椭圆M 的方程为（ ）A. 22196x y += B. 2214x y += C.221189x y += D.221123x y += 8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为223x y +≤，若将军从点()3,1A 处出发，河岸线所在直线方程为5x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A.B.C. D. 二、多选题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分.9. 已知m ，n 是不重合的直线，α，β，γ是不重合的平面，则下列命题为假命题的是（ ） A. 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβB. 若m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβC. 若//αβ，//γβ，则//γαD. 若αβ⊥，m β⊥，则//m α 10. 下列说法中，正确的命题是（ ）A. 已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，()40.8P X <=，则()240.2P X <<= B. 线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a =D. 若样本数据121x +，221x +，…，1621x +的方差为8，则数据1x ，2x ，…，16x 的方差为2 11. 下列命题中是真命题的是（ ）A. “1ω=”是“()sin 26f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为π”的必要不充分条件 B. 在ABC △中，点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），若AD mAB nAC =+，则14m n+的最小值是9C. 已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n n a a a a ++-=+，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前24项和为2D. 函数()f x 是定义在R 上的偶函数且在[)0,+∞上为减函数，()21f -=，则不等式()11f x -<的解集为{}13x x -<<12. 已知1l ，2l 是双曲线T ：()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线，直线l 经过T 的右焦点F ，且1//l l ，l 交T 于点M ，交2l 于点Q ，交y 轴于点N ，则下列说法正确的是（ ）A. FOQ △与OQN △的面积相等B. 若T 的焦距为4，则点M 到两条渐近线的距离之积的最大值为14C. 若FM MQ =，则T 的渐近线方程为y x =±D. 若12,23FM FQ ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则T 的离心率[]2,3e ∈ 第Ⅱ卷 非选择题三、填空题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分.13. 一批产品的次品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的次品件数，则()E X =________；14. 电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映.在《夺冠》上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是________；15. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：26y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线C 上一点，PA l ⊥，A 为垂足，若直线AF 的斜率2k =-，则线段PF 的长为________；16. 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的序号是__________. ①AC BE ⊥； ②//EF 平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值； ④AEF △的面积与BEF △的面积相等.四、解答题：本大题共6个小题，共70分.17. 已知向量3sin,12x m ⎛⎫= ⎪⎭，2cos ,cos 22x n x ⎛⎪=⎫ ⎝⎭，函数1()2f x m n =⋅-.（Ⅰ）若,36x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求()f x 的取值范围；（Ⅱ）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()1f B =，5a =，b =ABC △的面积.18. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a +=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21nn b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19. 已知如图①，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒且2AB =，E 为AD 的中点，将ABE △沿BE 折起使AD =，得到如图②所示的四棱锥A BCDE -.（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若P 为AC 的中点，求二面角P BD A --的余弦值.20. 某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间.根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”.（Ⅰ）求a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[)550,650，[)750,850内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？参考公式：()21122122121212n n n n n K n n n n ++++-=，其中（11211222n n n n n =+++）21. 平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>左、右焦点分别是1F ，2F .以1F 为圆心、以3为半径的圆与2F 为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点()1,0作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，设OP OA OB =+，问：是否存在这样的直线l ，使得OP AB =，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.22. 已知函数()ln f x x a x =-.（Ⅰ）若曲线()(),y f x b a b R =+∈在1x =处的切线方程为30x y +-=，求a ，b 的值； （Ⅱ）求函数()1()()a g x f x a R x+=+∈的极值点； （Ⅲ）设1()()ln (0)x xh x f x ae a a a a=+-+>，若当x a >时，不等式()0h x ≥恒成立，求a 的最小值.2020－2021学年度上学期沈阳市郊联体期末考试高三试题答案数 学一、选择题： 1-5：AABDC 6-8：DCC二、多选题：9. ABD 10. CD 11. BC 12. AC 三、填空题：13. 3 14. 16 15. 15216. ①②③ 四、解答题：17.【解析】（Ⅰ）∵向量3sin,12x m ⎛⎫= ⎪⎭，2cos ,cos 22x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由此可得函数11()sin cos sin 2226f x m n x x x π⎛⎫=⋅-=+=+ ⎪⎝⎭， 又∵,36x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，得,663x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴13sin ,622x π⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 的取值范围是13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）∵函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()sin 16f B B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又∵7,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴62B ππ+=，可得3B π=.∵5a =，b =∴根据正弦定理sin sin a b A B=，可得5sin sin 1sin 2a B A b π⨯===， 由a b <得A B <，所以6A π=，因此()2C A B ππ=-+=，可得ABC △是以C 为直角顶点的直角三角形，∴ABC △的面积11522S ab ==⨯⨯=. 18.【解析】 （Ⅰ）当1n =时，1112S a +=，解得11a =. 因为21n n S a =-，①所以当2n ≥时，1121n n S a --=-，②①-②得，1122n n n n S S a a ---=-，所以12n n a a -=. 故数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为12n n a -=.（Ⅱ）由题知，(1)2nn b n =+⋅，所以123223242(1)2nn T n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++，③23412223242(1)2n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++，④③-④得，()123122222(1)2nn n T n +-=++++⋅⋅⋅+-+()112122(1)2212n n n n n ++⨯-=+-+=-⋅-.所以12n n T n +=⋅.19.【解析】（Ⅰ）在图①中，连接BD ，如图所示：因为四边形ABCD 为菱形，60A ∠=︒，所以ABD △是等边三角形. 因为E 为AD 的中点，所以BE AE ⊥，BE DE ⊥. 又2AD AB ==，所以1AE DE ==.在图②中，AD =222AE ED AD +=，即AE ED ⊥.因为//BC DE ，所以BC BE ⊥，BC AE ⊥. 又BEAE E =，,AE BE ⊂平面ABE .所以BC ⊥平面ABE .又BC ⊂平面ABC ，所以平面ABE ⊥平面ABC . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，AE DE ⊥，AE BE ⊥. 因为BEDE E =，,BE DE ⊂平面BCDE .所以AE ⊥平面BCDE .以E 为坐标原点，EB ，ED ，EA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0,0E ，()0,0,1A ，)B，)C，()0,1,0D .因为P 为AC的中点，所以122P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以311,2PB ⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭，12PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面PBD 的一个法向量为(),,m x y z =，由00PB mPD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得102102x y z x z --=⎨⎪-=⎪⎩.令z =1x =-，y =(1,m =-.设平面BDA 的一个法向量为()111,,n x y z =. 因为()BA =-，()0,1,1AD =-，由00BAn AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得111100z y z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩， 令11x =，得(1,3,n =，则1cos ,77m n m n m n⋅===-⨯⨯，又二面角P BD A --为锐角，所以二面角P BD A --的余弦值为17. 20.【解析】（Ⅰ）由题意知100(0.00150.00250.00150.001)1a ⨯++++=，解得0.0035a =，样本平均数为5000.156000.357000.258000.159000.10670x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元. （Ⅱ）由题意，从[)550,650中抽取7人，从[)750,850中抽取3人， 随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3.()337310()0,1,2,3k k C C P X k k C -===. 所以随机变量X 的分布列为：随机变量X 的数学期望()2312012012010E X =+⨯+⨯=. （Ⅲ）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，其中女生10人；得出以下22⨯列联表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2100(10251550)50 5.024*********⨯-⨯==≈⨯⨯⨯. 所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与性别有关.21.【解析】（Ⅰ）由题意可知，24a =，∴2a =，又2c a =，222b a c =-，∴1b =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=. （Ⅱ）∵OP OA OB =+，∴四边形OAPB 为平行四边形，假设存在l 使得OP AB =，则四边形OAPB 为矩形，∴0OA OB ⋅=，若l 的斜率不存在，直线l 的方程为1x =，由22114x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得1,2A ⎛ ⎝⎭， 1.B ⎛- ⎝⎭， ∴104OA OB ⋅=>，不合题意，故l 的斜率存在. 设l 的方程是()1y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ， 由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222148440k x k x k +-+-=. ∴2122814k x x k +=+，21224414k x x k-=+，① ∴()()()222121212122311114k y y k x x k x x x x k -=--=-++=⎡⎤⎣⎦+.② 由0OA OB ⋅=，得12120x x y y +=，把①，②代入得2k =±.∴存在直线l ：22y x =-+或22y x =-使得OP AB =.22.【解析】（Ⅰ）由()ln f x x a x =-，得ln y x a x b =-+，∴''()1a y f x x ==-. 由已知可得：'(1)1(1)2f f b =-⎧⎨+=⎩，即1112a b -=-⎧⎨+=⎩，∴2a =，1b =. （Ⅱ）11()()ln a a g x f x x a x x x ++=+=-+， ∴[]22(1)(1)1'()1(0)x x a a a g x x x x x+-++=--=>. 当10a +≤，即1a ≤-时，'()0g x >，()g x 在()0,+∞上为增函数，无极值点.当10a +>，即1a >-时，则有：当01x a <<+时，'()0g x <，当1x a >+时，'()0g x >，∴()g x 在()0,1a +为减函数，在()1,a ++∞上为增函数，∴1x a =+是()g x 极小值点，无极大值点；综上可知：当1a ≤-时，函数()g x 无极值点，当1a >-时，函数()g x 的极小值点是1a +，无极大值点. （Ⅲ）1()()ln ln ln (0)x x x h x f x ae a ae x a a a a=+-+=-+>， 由题意知：当x a >时，ln ln 0x ae x a -+≥恒成立，又不等式ln ln 0x ae x a -+≥等价于：ln x x ae a ≥，即1ln x x e a a≥， 即ln xx x xe a a ≥①，①式等价于ln ln x x a x xe e a ≥， 由0x a >>知，1x a>，ln 0x a >. 令()(0)x x xe x ϕ=>，则原不等式即为：()ln x x a ϕϕ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 又()(0)x x xe x ϕ=>在(0,)+∞上为增函数，所以，原不等式等价于：lnx x a ≥②， 又②式等价于x x e a ≥，即：(0)x x a x a e≥>>. 设()(0)x x F x x e =>，1'()xx F x e -=，∴()F x 在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数， 又0x a >>，∴当01a <<时，()F x 在(),1a 上为增函数，在()1,+∞上为减函数， ∴1()(1)F x F e ≤=.要使原不等式恒成立，须使11a e≤<， 当1a ≥时，则()F x 在(),a +∞上为减函数，1()(1)F x F e <=， 要使原不等式恒成立，须使1a e≥，∴1a ≥时，原不等式恒成立.综上可知：a 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，a 的最小值为1e .。