2019_2020学年高中数学第1讲坐标系三简单曲线的极坐标方程练习新人教A版选修4_4

三 简单曲线的极坐标方程主动成长夯基达标 1.已知点P (32π,2),若点P 的极角θ满足-π<θ<π,ρ∈R ,下列点中与点P 重合的是( )A.)3π5,2(),34π,2(),3π,2(-B.)3π5,2(),34π,2(),38π,2(-C.)34π,2(),35π,2(),34π,2(---D.)3π,2(--解析:当-π≤θ≤π时,ρ≥0(或ρ≤0)时,除极点外,点极坐标分别为唯一.当ρ∈R 时,一个点的极坐标只有两个形式:(-2,-3π)或(2,32π). 答案:D2.圆ρ=2(cos θ+sin θ)的圆心的坐标是( )A.(1,4π) B.(4π,21)C.(4π,2)D.(2,4π)解析:圆的方程可化为ρ=2cos(θ-4π). 这是ρ=2r cos(θ-θ0)形式,它的圆心为O ′(r ,θ0),本题也可化为直角坐标方程求解. 答案:A3.极坐标系中,方程ρ=cos θ(θ∈［0,π］,ρ∈R )表示的曲线是( )A.以(21,0)为圆心,半径为21的上半个圆 B.以(21,0)为圆心,半径为21的圆C.以(1,0)为圆心,半径为21的上半个圆D.以(21,2π)为圆心,半径为21的圆解析:当ρ≥0时,θ∈［0,2π］,方程ρ=cos θ表示上半个圆,半径为21,当ρ≤0时,θ∈［2π,π］,方程表示下半个圆,半径为21. 答案:B4.方程ρ=sin θ+cos θ+K 的曲线不经过极点,则K 的取值范围是( ) A.K ≠0 B.K ∈R C.|K |>2 D.|K |≤2解析:当ρ=0时,sin θ+cos θ=-K,若此方程无解,由|sin θ+cos θ|≤2,∴当|K |>2时,方程无解. 答案:C5.在极坐标系中,点P (2,611π)到直线ρsin(θ-6π)=1的距离等于( ) A.1 B.2 C.3 D.1+3解法一:∵x P =2cos611π=3,y P =2sin 611π=-1, ∴P 点的直角坐标为(3,-1).又直线ρsin(θ-6π)=1化为直角坐标方程为23y -21x -1=0.∴P 点到直线的距离为d =|-23-21·3-1|=1+3. 解法二:直线ρsin(θ-6π)=1与直线θ=6π平行,且距离为1.过P 点作PH 垂直于直线ρsin(θ-6π)=1,垂足为H ,设PH 交直线θ=6π于M ,在R t △POM 中,OP =2,∠POM =3π. ∴PM =2sin 3π=3.故P 点到直线ρsin(θ-6π)=1的距离为1+3.答案:D6.点M 在直线ρcos θ=a (a >0)上,O 为极点,延长OM 到P 使|MP |=b (b >0),则P 的轨迹方程是________.解析:设M (ρ0,θ0),P (ρ,θ),则ρ0cos θ0=a ,ρ=ρ0+b ,θ0=θ代入即可. 答案:(ρ-b )cos θ=a 7.画出极坐标方程(θ-4π)ρ+(4π-θ)sin θ=0的图形. 解析:若所给曲线的极坐标方程比较复杂时,可将其方程分解因式,分解成几个常见曲线方程连乘积的形式,然后分别作出图形,放在一起即为所求方程的曲线.解:如图,将原方程分解因式得(θ-4π)(ρ-sin θ)=0,∴θ-4π=0, 即θ=4π为一条射线,或ρ-sin θ=0为一个圆. 8.证明过A (ρ1,θ1)和B (ρ2,θ2)两点的直线l的极坐标方程是.)sin()sin()sin(122112ρθθρθθρθθ-+-=-解析:虽然所证明的方程看起来比较复杂,但是,只要我们理清求曲线方程的步骤,问题是不难解决的.我们可以利用三角形的面积法将这些量互相联系起来.解:设M (ρ,θ)为直线AB 上一点,如图,∵S △AOB =21ρ1ρ2sin(θ2-θ1),S △AOM =21ρρ1sin(θ-θ1), S △BOM =21ρρ2sin(θ2-θ), 又S △AOB =S △AOM +S △BOM ,∴ρ1ρ2sin(θ2-θ1)=ρρ1sin(θ-θ1)+ρρ2sin(θ2-θ), 即.)sin()sin()sin(122112ρθθρθθρθθ-+-=-9.已知圆ρ=2,直线ρcos θ=4,过极点作射线交圆于A,直线于B,求AB 中点M 的轨迹方程.解:设M(ρ,θ),A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2),则有∴(2ρ-2)cosθ=4⇒ρ=2s e cθ+1.10.从原点O引直线交直线2x+4y-1=0于点M，P为OM上一点，已知|OP|·|OM|=1，求P点的极坐标方程.解析:先把直线化为极坐标方程,由于P点的运动与M点有关,可以利用转移法来解决问题.我们可以根据长度之间的关系式找到点P与点M坐标之间的关系.解:如图,以O为极点,x轴正方向为极轴建立坐标系后,直线的方程化为2ρcosθ+4ρsinθ-1=0.设M(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则2ρ0cosθ+4ρ0sinθ-1=0.又⎩⎨⎧1ρ=ρθ=θ，,知⎪⎩⎪⎨⎧，，ρ=ρ=θθ1代入2ρ1cosθ+4ρ1sinθ-1=0,∴ρ=2cosθ+4sinθ,这是一个圆(ρ≠0).11.从极点O作圆C：ρ=8cosθ的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程.解析:在直角坐标系中,求曲线的轨迹方程的方法有直接法、定义法、转移法,在极坐标系中,求曲线的极坐标方程这几种方法仍然是适用的.解法一:如图,圆C的圆心C(4,0),半径r=|OC|=4,连结CM.∵M为弦ON的中点,∴CM⊥ON.故M在以OC为直径的圆上.所以,动点M 的轨迹方程是ρ=4cos θ.解法二:解法一是定义法,下面我们用转移法来解决这个问题. 设M 点的坐标是(ρ,θ),N (ρ1,θ1). N 点在圆ρ=8cos θ上, ∴ρ1=8cos θ1.(*) ∵M 是ON 的中点,∴⎩⎨⎧，，=θθρ=ρ112将它代入(*)式得2ρ=8cos θ,故M 的轨迹方程是ρ=4cos θ.12.O 为已知圆外的定点,M 在圆上,以OM 为边作正三角形OMN ,当点M 在圆上移动时,求点N 的轨迹方程(O 、M 、N 逆时针排列).解:以O 为极点,以O 和已知圆圆心O ′所在射线为极轴,建立极坐标系,如图,设|OO ′|=ρ0,圆的半径为r ,那么圆的极坐标方程为ρ2-2ρ0ρcos θ+ρ02-r 2=0, 设N (ρ,θ),M (ρ1,θ1),∵M 在圆上,∴ρ12-2ρ0ρ1cos θ1+ρ02-r 2=0.①∵△OMN 为正三角形,∴⎪⎩⎪⎨⎧⇒⎪⎩⎪⎨⎧.3π3π1111－＝，＝＋＝＝θθρρθθρρ代入①得ρ2-2ρ0ρcos(θ-3π)+ρ02-r 2=0,这就是点N 的轨迹方程. 走近高考1.(经典回放)曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为( ) A.x 2+(y +2)2=4 B.x 2+(y -2)2=4C.(x -2)2+y 2=4D.(x +2)2+y 2=4解析:在ρ=4sin θ两边同时乘以ρ得ρ2=4ρ·sin θ.再利用⎩⎨⎧θy=ρ=ρ+y x sin ,222可得x 2+y 2=4y ,即x 2+(y -2)2=4. 答案:B2.(经典回放)在极坐标系中,过点M (2,2π)且平行于极轴的直线的极坐标方程是________. 解析:如图所示,设P (ρ,θ)为直线上任一点,连结PO ,作P A 垂直极轴于点A.在R t△PAO中,|PA|=2,∠POA=θ,∴ρsinθ=2.∴所求的极坐标方程为ρsinθ=2.答案:ρsinθ=23.(经典回放)设有半径为4的圆,它在极坐标系内的圆心的坐标为(4,π),则这个圆的极坐标方程是________.解析:如图所示,设P(ρ,θ)为圆上任一点,则在R t△R PO中,|OR|=8,∠POR=π-θ,∴ρ=8cos(π-θ),即ρ=-8cosθ.∴所求圆的极坐标方程是ρ=-8cosθ.答案:ρ=-8cosθ。

高中数学第一讲坐标系1.3简单曲线的极坐标方程练习（含解析）新人教A版选修44课时过关·能力提升基础巩固1极坐标方程cos θ≥0)表示的曲线是()A.余弦曲线B.两条相交直线C.一条射线D.两条射线解析∵cosθ∈Z).又ρ≥0,∴cosθ.答案D2极坐标方程ρ=7cos θ表示的圆的半径是()A答案D3在极坐标系中,点A(1,π)到直线ρcos θ=2的距离是()A.1B.2C.3D.4解析点A(1,π)化为直角坐标为(-1,0),直线ρcosθ=2化为直角坐标方程为x=2.因为点A(-1,0)到直线x=2的距离为3,所以点A(1,π)到直线ρcosθ=2的距离为3.答案C4在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标可能是()AC.(1,0)D.(1,π)解析因为该圆的直角坐标方程为x2+y2=-2y,即为x2+(y+1)2=1,圆心的直角坐标为(0,-1),化为极坐标可以B.答案B5在极坐标系中,过点A.ρcos θB.ρsin θC.ρD.ρ解析设直线与极轴的交点为A,则|OA|=|OP|·co又设直线上任意一点M(ρ,θ)(除点P外),则|OM|·cosθ=|OA|,即ρcosθ因为,所以所求的直线方程为ρcosθ答案A6在极坐标系中,与圆ρ=6cos θ相切的一条直线方程为()A.ρsin θ=6B.ρcos θ=3C.ρcos θ=6D.ρcos θ=-6解析圆的极坐标方程可化为直角坐标方程(x-3)2+y2=9,四个选项所对应的直线方程分别为y=6,x=3,x=6,x=-6,易知x=6满足题意.故选C.答案C7圆心在点(-1,1)处,且过原点的圆的极坐标方程是()A.ρ=2(sin θ-cos θ)B.ρ=2(cos θ-sin θ)C.ρ=2sin θD.ρ=2cos θ解析如图,圆的半径所以圆的直角坐标方程为(x+1)2+(y-1)2=2,即x2+y2=-2(x-y).将其化为极坐标方程,为ρ2=-2(ρcosθ-ρsinθ).因为圆过极点,所以方程可简化为ρ=2(sinθ-cosθ).答案A8(2018·天津模拟)在极坐标系中,解析(1,1),直线ρcosθ-ρsinθ-1=0的直角坐标方程为x-y-1=0,点到直线的距离答案9在极坐标系中,点解析在相应的平面直角坐标系中,点P的坐标为(0,-2),直线l的方程为3x-4y-3=0,所以点P到直线l的距离d答案110在极坐标系中,曲线C1为ρ解析ρθ+sinθ)=1,θ+ρsinθ=1对应的直角坐标方程x2+y2=a2.,令y=0,得x x2+y2=a2,得a答11求过点解如图,在直线l上任意取除点A外的一点M(ρ,θ),连接OA,OM,过点M作极轴的垂线交极轴于点H.因|MH|=2si在Rt△OMH中,|MH|=|OM|sinθ,即ρsinθ.故过ρsinθ12在圆心的极坐标为A(4,0),半径为4的圆中,求过极点O的弦的中点的轨迹.解设M(ρ,θ)(ρ≠0)是所求轨迹上的任意一点.连接OM并延长交圆A于点P(ρ0,θ0),则有θ0=θ,ρ0=2ρ.由圆心为(4,0),半径为4的圆的极坐标方程,得ρ0=8cosθ0.所以2ρ=8cosθ,即ρ=4cosθ.故所求轨迹方程是ρ=4cosθ(ρ≠0).它表示以(2,0)为圆心,2为半径的圆(不含极点).能力提升1极坐标方程ρ2cos θ-ρ=0的直角坐标方程为()A.x2+y2=0或y=1B.x=1C.x2+y2=0或x=1D.y=1解析∵ρ(ρcosθ-1)=0,∴ρρcosθ=x=1.答案C2极坐标方程分别为ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是()A.2 B解析如图,两圆的圆心的极坐标分别答案D3在极坐标系中,曲线ρ=4siA.直线θB.直线θC.D.极点中心对称解析把原方程化为直角坐标方程,得(x圆心为(故选B.答案B4(2018·北京朝阳区二模)在极坐标系中,直线l:ρcos θ+ρsin θ=2与圆C:ρ=2cos θ的位置关系为()A.相交且过圆心B.相交但不过圆心C.相切D.相离解析由直线l:ρcosθ+ρsinθ=2,可知直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.由圆C:ρ=2cosθ,可知圆C的直角坐标方程为x2+y2=2x,整理得(x-1)2+y2=1.所以圆心(1,0)到直线x+y-2=0的距离d因此直线与圆相交但不过圆心.答案B5已知曲线C1:ρ=解析将方程ρ=ρco x2+y2=(x-y-2=0,则C1是圆心在坐标原点,半径,C2是直线.因为圆心到直线x-y-2=0的距离3.答案36在极坐标系中,定点≥0,θ∈[0,2π))解析将ρcosθ+ρsinθ=0化为直角坐标方程为x+y=0,A(0,1).如图,过点A作AB⊥直线l于点B,因为△AOB为等腰直角三角形,又因为|OA|=1,则|OB|∠BOx故点B的极坐标答7已知曲线C的极坐标方程为ρ=2(0≤θ<2π),曲线C在解析根据极坐标与直角坐标的互化公式可得ρ=2可化为x2+y2=4,因为x2+y2=4上,故圆在x+y-x+y-答案x+y-8圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求经过圆O1、圆O2的交点的直线的直角坐标方程.解以极点为原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.(1)由ρ=4cosθ,得ρ2=4ρcosθ.根据x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得x2+y2-4x=0,故圆O1的直角坐标方程为x2+y2-4x=0.同理可得圆O2的直角坐标方程为x2+y2+4y=0.(2)即圆O1、圆O2相交于点(0,0)和(2,-2),过两圆的交点的直线的直角坐标方程为y=-x.★9在极坐标系中,已知圆C的圆心(1)求圆C的极坐标方程;(2)若点P在直线OQ上,解(1)将圆C的圆心的极坐标化为直角坐标C的直角坐标方程将其化为极坐标方程为ρ2-6ρco(2)设点P的坐标为(ρ,θ),点Q的坐标为(ρ0,θ0),则由题意可因为点Q在圆C上,所以点Q的坐标适合圆C的方程,代入P 的轨迹的极坐标方程为ρ2-15ρco。

第1讲坐标系与参数方程[做真题］1．（2019·高考全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A（2，0）,B错误!，C错误!,D（2，π），弧错误!,错误!,错误!所在圆的圆心分别是（1，0),错误!，(1,π），曲线M1是弧错误!,曲线M2是弧错误!，曲线M3是弧错误!。

(1）分别写出M1,M2，M3的极坐标方程;（2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上,且|OP｜＝3，求P的极坐标．解:（1)由题设可得，弧错误!，错误!,错误!所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ。

所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos θ错误!，M2的极坐标方程为ρ＝2sin θ错误!,M3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ错误!。

（2)设P（ρ，θ），由题设及(1)知：若0≤θ≤错误!，则2cos θ＝错误!，解得θ＝错误!;若错误!≤θ≤错误!,则2sin θ＝错误!,解得θ＝错误!或θ＝错误!；若错误!≤θ≤π,则－2cos θ＝错误!，解得θ＝错误!.综上,P的极坐标为错误!或错误!或错误!或错误!。

2．(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为错误!（t为参数)．以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋错误!ρsin θ＋11＝0。

（1)求C和l的直角坐标方程;（2)求C上的点到l距离的最小值．解：(1）因为－1＜错误!≤1,且x2＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!＝1,所以C的直角坐标方程为x2＋错误!＝1(x≠－1)．l的直角坐标方程为2x＋错误!y＋11＝0。

（2)由(1)可设C的参数方程为错误!（α为参数,－π＜α＜π)．C上的点到l的距离为错误!＝错误!.当α＝－错误!时，4cos错误!＋11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为错误!.[明考情］1．坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．2．全国卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等,备考此部分内容时应注意转化思想的应用．极坐标方程及其应用［典型例题］（2019·高考全国卷Ⅱ）在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:ρ＝4sin θ上，直线l过点A（4,0）且与OM垂直,垂足为P.(1)当θ0＝错误!时,求ρ0及l的极坐标方程；(2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．【解】(1)因为M(ρ0，θ0)在C上，当θ0＝错误!时，ρ0＝4sin 错误!＝2错误!。

第1讲 坐标系与参数方程[做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标．解：(1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sinθ⎝⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知：若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6. 综上，P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝4t1＋t2(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．解：(1)因为－1＜1－t 21＋t 2≤1，且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2(1＋t 2)2＝1，所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)．l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π＜α＜π)．C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7.[明考情]1．坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．2．全国卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．极坐标方程及其应用[典型例题](2019·高考全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4，0)且与OM 垂直，垂足为P .(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【解】 (1)因为M (ρ0，θ0)在C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除P 的任意一点．连接OQ ， 在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2. 经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上．所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2. (2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，故θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.(1)极坐标方程与普通方程互化的技巧①巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．②巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．③将直角坐标方程中的x 换成ρcos θ，将y 换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程． (2)求解与极坐标有关问题的主要方法①直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用．②转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．[对点训练]1．(2019·合肥模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 1：x ＝0，圆C ：(x －1)2＋(y －1－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 1和圆C 的极坐标方程；(2)若直线l 2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设l 1，l 2与圆C 的公共点分别为A ，B ，求△OAB 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以直线l 1的极坐标方程式为ρcos θ＝0，即θ＝π2(ρ∈R )，圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin θ＋3＋22＝0.(2)设A (π2，ρ1)、B (π4，ρ2)，将θ＝π2代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2(1＋2)ρ＋3＋22＝0，解得ρ1＝1＋ 2.将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2(1＋2)ρ＋3＋22＝0，解得ρ2＝1＋ 2.故△OAB 的面积为12×(1＋2)2×sin π4＝1＋324.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1，0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0，2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与 C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.参数方程及其应用 [典型例题](2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率． 【解】 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cosα＋sin α)t －8＝0. ①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.(1)有关参数方程问题的2个关键点①参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化． ②利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义． (2)利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：①t 0＝t 1＋t 22.②|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③|AB |＝|t 2－t 1|.④|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.[对点训练]1．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.2．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋3，y ＝2t －23(t 为参数)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求|AB |的值；(2)若F 为曲线C 的左焦点，求FA →·FB →的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，消去参数θ得x 216＋y 24＝1.由⎩⎨⎧x ＝t ＋3，y ＝2t －23消去参数t 得y ＝2x －4 3.将y ＝2x －43代入x 2＋4y 2＝16中，得17x 2－643x ＋176＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝64317，x 1x 2＝17617.所以|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝517×(643)2－4×17×176＝4017，所以|AB |的值为4017. (2)由(1)得，F (－23，0)，则 FA →·FB →＝(x 1＋23，y 1)·(x 2＋23，y 2) ＝(x 1＋23)(x 2＋23)＋(2x 1－43)(2x 2－43) ＝x 1x 2＋23(x 1＋x 2)＋12＋4[x 1x 2－23(x 1＋x 2)＋12] ＝5x 1x 2－63(x 1＋x 2)＋60 ＝5×17617－63×64317＋60＝44，所以FA →·FB →的值为44.极坐标方程与参数方程的综合应用[典型例题](2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，点P 的极坐标为(2，π4)． (1)求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；(2)(一题多解)设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求|PM |.【解】 (1)由ρ2＝21＋sin 2θ得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2 ①，将ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入①并整理得，曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1.设点P 的直角坐标为(x ，y )，因为点P 的极坐标为(2，π4)，所以x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1.所以点P 的直角坐标为(1，1)．(2)法一：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t 代入x 22＋y 2＝1，并整理得41t 2＋110t ＋25＝0，Δ＝1102－4×41×25＝8 000>0，故可设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1，t 2为A ，B 对应的参数，且t 1＋t 2＝－11041.依题意，点M 对应的参数为t 1＋t 22，所以|PM |＝|t 1＋t 22|＝5541. 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t y ＝1＋45t，消去t ，得y ＝43x －13.将y ＝43x －13代入x 22＋y 2＝1，并整理得41x 2－16x －16＝0，因为Δ＝(－16)2－4×41×(－16)＝2 880>0， 所以x 1＋x 2＝1641，x 1x 2＝－1641.所以x 0＝841，y 0＝43x 0－13＝43×841－13＝－341，即M (841，－341)．所以|PM |＝(841－1)2＋(－341－1)2＝(－3341)2＋(－4441)2＝5541.解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．[对点训练]1．(2019·石家庄市模拟(一))在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α＋2y ＝r sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ＝π3.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)当0<r <2时，若曲线C 与射线l 交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |的取值范围． 解：(1)由题意知曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝r 2，令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，化简得ρ2－4ρcos θ＋4－r 2＝0.(2)法一： 把θ＝π3代入曲线C 的极坐标方程中，得ρ2－2ρ＋4－r 2＝0.令Δ＝4－4(4－r 2)>0，结合0<r <2，得3<r 2<4.方程的解ρ1，ρ2分别为点A ，B 的极径，ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝4－r 2>0， 所以1|OA |＋1|OB |＝1ρ1＋1ρ2＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝24－r 2.因为3<r 2<4，所以0<4－r 2<1， 所以1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞)．法二：射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12ty ＝32t(t 为参数，t ≥0)，将其代入曲线C 的方程(x －2)2＋y 2＝r 2中得，t 2－2t ＋4－r 2＝0，令Δ＝4－4(4－r 2)>0，结合0<r <2，得3<r 2<4，方程的解t 1，t 2分别为点A ，B 对应的参数，t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝4－r 2，t 1>0，t 2>0， 所以1|OA |＋1|OB |＝1t 1＋1t 2＝t 1＋t 2t 1t 2＝24－r 2.因为3<r 2<4，所以0<4－r 2<1， 所以1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞)．2．(2019·江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若极坐标系内异于O 的三点A (ρ1，φ)，B (ρ2，φ＋π6)，C (ρ3，φ－π6)(ρ1，ρ2，ρ3>0)都在曲线M 上．(1)求证：3ρ1＝ρ2＋ρ3；(2)若过B ，C 两点的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t y ＝12t (t 为参数)，求四边形OBAC 的面积．解：(1)证明：由题意得ρ1＝2cos φ，ρ2＝2cos(φ＋π6)，ρ3＝2cos(φ－π6)，则ρ2＋ρ3＝2cos(φ＋π6)＋2cos(φ－π6)＝23cos φ＝3ρ1.(2)由曲线M 的极坐标方程得曲线M 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，将直线BC 的参数方程代入曲线M 的直角坐标方程得t 2－3t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝3，所以在平面直角坐标中，B (12，32)，C (2，0)，则ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝π6，所以ρ1＝ 3.所以四边形OBAC 的面积S ＝S △AOB ＋S △AOC ＝12ρ1ρ2sin π6＋12ρ1ρ3sin π6＝334.1．(2019·东北四市联合体模拟(一))在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的倾斜角为30°，且经过点A (2，1)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 2：ρcos θ＝3.从坐标原点O 作射线交l 2于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足|OM |·|ON |＝12，记点N 的轨迹为曲线C .(1)写出直线l 1的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 1与曲线C 交于P ，Q 两点，求|AP |·|AQ |的值．解：(1)直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos 30°y ＝1＋t sin 30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t y ＝1＋12t(t 为参数)．设N (ρ，θ)，M (ρ1，θ1)(ρ>0，ρ1>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ1＝12θ＝θ1，又ρ1cos θ1＝3，所以ρ3cos θ＝12，即ρ＝4cos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2－4x ＋y 2＝0(x ≠0)．(2)设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 1的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中， 得(2＋32t )2－4(2＋32t )＋(1＋12t )2＝0， 即t 2＋t －3＝0，Δ＝13>0，t 1，t 2为方程的两个根，所以t 1t 2＝－3，所以|AP ||AQ |＝|t 1t 2|＝|－3|＝3.2．(2019·四省八校双教研联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ty ＝t 2(其中t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并取相同的单位长度，曲线C 2的极坐标方程为ρcos(θ＋π3)＝1.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)过P (0，1)的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，当|PA |·|PB |＝8时，求直线l 的倾斜角． 解：(1)消去参数t 得曲线C 1的普通方程为x 2＝4y ，曲线C 2的极坐标方程可化为ρcos θ－3ρsin θ＝2，化为直角坐标方程为x －3y －2＝0.(2)设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m cos αy ＝1＋m sin α(m 为参数，α为直线l 的倾斜角且α≠90°)，代入曲线C 1的普通方程中得m 2cos 2α－4m sin α－4＝0， 所以m 1m 2＝－4cos 2α，所以|PA |·|PB |＝|m 1m 2|＝4cos 2α＝8，得α＝45°或135°，即直线l 的倾斜角为45°或135°.3．(2019·广州市综合检测(一))在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝sin 2t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρ(sin θ－a cos θ)＝12(a ∈R )．(1)写出曲线C 1的普通方程和直线C 2的直角坐标方程；(一题多解)(2)若直线C 2与曲线C 1有两个不同的交点，求a 的取值范围．解：(1)曲线C 1的普通方程为y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入ρ(sin θ－a cos θ)＝12，得直线C 2的直角坐标方程为y －ax ＝12，即ax －y ＋12＝0.(2)法一：由直线C 2∶ax －y ＋12＝0，知直线C 2恒过点M (0，12)．由y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)，知当y ＝0时，x ＝±1，则直线MP 的斜率为k 1＝0－12－1－0＝12，直线MQ 的斜率为k 2＝0－121－0＝－12.因为直线C 2的斜率为a ，且直线C 2与曲线C 1有两个不同的交点，所以k 2≤a ≤k 1，即－12≤a ≤12.所以a 的取值范围为[－12，12]．法二：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)ax －y ＋12＝0，消去y 得x 2＋ax －12＝0，依题意，得x 2＋ax －12＝0在[－1，1]上有两个不相等的实根．设f (x )＝x 2＋ax －12，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2>0－1<－a 2<1f (－1)＝12－a ≥0，f (1)＝12＋a ≥0解得－12≤a ≤12.所以a 的取值范围为[－12，12]．4．(2019·湖南省湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－t ，y ＝－2＋t (t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ＝42sin(θ＋π4)．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 与直线l 的交点为A ，B ，Q 是曲线C 上的动点，求△ABQ 面积的最大值． 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－t ，y ＝－2＋t消去t 得x ＋y －5＝0，所以直线l 的普通方程为x ＋y －5＝0.由ρ＝42sin(θ＋π4)＝4sin θ＋4cos θ，得ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.(2)由(1)知，曲线C 是以(2，2)为圆心，22为半径的圆，直线l 过点P (3，2)，可知点P 在圆内．将直线l 的参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－22t y ＝－2＋22t ，代入圆的直角坐标方程，得t 2－92t ＋33＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝92，t 1t 2＝33， 所以|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝30. 又圆心(2，2)到直线l 的距离d ＝|2＋2－5|2＝22，所以△ABQ 面积的最大值为12×30×(22＋22)＝5152.5．(2019·济南市学习质量评估)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t y ＝a ＋12t (t 为参数，其中a >0)，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若点P (0，a )满足1|PM |＋1|PN |＝4，求a 的值．解：(1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2cos 2θ＝ρsin θ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得曲线C 的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t y ＝a ＋12t(t 为参数)代入y ＝x 2，得34t 2－t 2－a ＝0，Δ＝14＋3a >0.设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝23，t 1t 2＝－4a3，所以1|PM |＋1|PN |＝|PM |＋|PN ||PM ||PN |＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝49－4·(－4a 3)|－4a 3|＝4，化简得64a 2－12a －1＝0， 解得a ＝14或a ＝－116(舍去)，所以a ＝14.6．(2019·广东省七校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋a cos φ，y ＝a sin φ(φ为参数，实数a >0)，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝b cos φ，y ＝b ＋b sin φ(φ为参数，实数b >0)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α(ρ≥0，0≤α≤π2)与C 1交于O ，A两点，与C 2交于O ，B 两点，当α＝0时，|OA |＝1；当α＝π2时，|OB |＝2.(1)求a ，b 的值；(2)求2|OA |2＋|OA |·|OB |的最大值．解：(1)将C 1的参数方程化为普通方程为(x －a )2＋y 2＝a 2，其极坐标方程为ρ1＝2a cos θ， 由题意可得，当θ＝α＝0时，|OA |＝2a ＝1，所以a ＝12.将C 2的参数方程化为普通方程为x 2＋(y －b )2＝b 2，其极坐标方程为ρ2＝2b sin θ， 由题意可得，当θ＝α＝π2时，|OB |＝2b ＝2，所以b ＝1.(2)由(1)可得C 1，C 2的方程分别为ρ1＝cos θ，ρ2＝2sin θ，所以2|OA |2＋|OA |·|OB |＝2cos 2θ＋2sin θcos θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋1＝2sin(2θ＋π4)＋1.因为θ＝α，0≤α≤π2，所以0≤θ≤π2，所以2θ＋π4∈[π4，5π4]，所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，2sin(2θ＋π4)＋1取得最大值，为2＋1.7．(2019·合肥市第一次质量检测)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝102cos αy ＝sin α(α为参数)，以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)P ，Q 为曲线C 上两点，若OP →·OQ →＝0，求|OP →|2·|OQ →|2|OP →|2＋|OQ →|2的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝102cos αy ＝sin α，得曲线C 的普通方程是2x 25＋y 2＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsinθ代入，得5ρ2sin 2θ＋2ρ2cos 2θ＝5，即ρ2＝53sin 2θ＋2(ρ2＝55sin 2θ＋2cos 2θ也可得分)． (2)因为ρ2＝55sin 2θ＋2cos 2θ，所以1ρ2＝sin 2θ＋2cos 2θ5， 由OP →·OQ →＝0，得OP ⊥OQ ，设点P 的极坐标为(ρ1，θ)，则点Q 的极坐标可设为(ρ2，θ±π2)，所以|OP →|2·|OQ →|2|OP →|2＋|OQ →|2＝11|OP →|2＋1|OQ →|2＝11ρ21＋1ρ22＝1sin 2θ＋2cos 2θ5＋cos 2θ＋2sin 2θ5＝11＋25＝57. 8．(2019·郑州市第二次质量预测)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝22t(t 为参数)，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．(1)若点P 的极坐标为(2，π)，求|PM |·|PN |的值； (2)求曲线C 的内接矩形周长的最大值．解：(1)由ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12得x 2＋3y 2＝12，故曲线C 的直角坐标方程为x 212＋y 24＝1，点P 的直角坐标为(－2，0)，将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝22t 代入曲线C 的直角坐标方程x 212＋y24＝1中，得t 2－2t－4＝0，设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则|PM |·|PN |＝|t 1t 2|＝4.(2)由(1)知，曲线C 的直角坐标方程为x 212＋y 24＝1，可设曲线C 上的动点A (23cos α，2sin α)，0<α<π2，则以A 为顶点的内接矩形的周长为4(23cos α＋2sin α)＝16sin(α＋π3)，0<α<π2.因此该内接矩形周长的最大值为16，当且仅当α＝π6时取得最大值．。

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三、简单曲线的极坐标方程一、选择题（每小题5分,共20分)1．圆心在(1,0）且过极点的圆的极坐标方程为（）A．ρ＝1 B．ρ＝cos θC．ρ＝2cos θD．ρ＝2sin θ解析：由题意知圆的极坐标方程为ρ＝2r cos θ＝2·1·cos θ即ρ＝2cos θ故选C．答案：C2．直线错误!x－y＝0的极坐标方程(限定ρ≥0)是（)A．θ＝π6B．θ＝错误!πC．θ＝π6和θ＝错误!πD．θ＝错误!π解析: 由错误!x－y＝0,得错误!ρcos θ－ρsin θ＝0，即tan θ＝错误!，∴θ＝错误!和θ＝错误!π,又ρ≥0，因此直线的方程可以用θ＝错误!和θ＝错误!π表示．答案：C3．将曲线ρ2（1＋sin2θ)＝2化为直角坐标方程是（）A．x2＋错误!＝1 B．错误!＋y2＝1C．2x2＋y2＝1 D．x2＋2y2＝1解析: ∵ρ2(1＋sin2θ）＝2，∴ρ2（cos2θ＋2sin2θ）＝2，∴ρ2cos2θ＋2ρ2sin2θ＝2,即x2＋2y2＝2,∴x22＋y2＝1.答案：B4．在极坐标中，和极轴垂直且相交的直线l与圆ρ＝4相交于A，B两点，若｜AB|＝4，则直线l的极坐标方程为( )A．ρcos θ＝2错误!B．ρsin θ＝2错误!C．ρcos θ＝错误!D．ρsin θ＝错误!解析：如右图,Rt△OAC中,OC＝错误!＝错误!＝2错误!.设直线l的任意一点为M(ρ，θ),则ρcos θ＝2错误!。

【三维设计】高考数学 第一节坐标系课后练习 人教A版选修4-41．已知⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别是ρ＝2cos θ和ρ＝2a sin θ(a 是非零常数)． (1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)若两圆的圆心距为5，求a 的值． 解：(1)由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ. 所以⊙O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ， 即(x －1)2＋y 2＝1.由ρ＝2a sin θ，得ρ2＝2aρsin θ. 所以⊙O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2ay ， 即x 2＋(y －a )2＝a 2.(2)⊙O 1与⊙O 2的圆心距为12＋a 2＝5，解得a ＝±2.2．(2011·大连模拟)已知直线l 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4.(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．由ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4得ρ＝cos θ＋sin θ，所以ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12，(2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t 代入⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12，得t 2＋12t －14＝0.|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝14.3．(2011·山西六校联考)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点A 的直角坐标为(1，－5)，点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，若直线l 过点A ，且倾斜角为π3，圆C以M 为圆心、4为半径．(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； (2)试判定直线l 和圆C 的位置关系．解：(1)由题意，直线l 的普通方程是y ＋5＝(x －1)tan π3，此方程可化为y ＋5sin π3＝x －1cosπ3，令y ＋5sin π3＝x －1cos π3＝a (a 为参数)，得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12a ＋1，y ＝32a －5(a 为参数)．如图，设圆上任意一点为P (ρ，θ)， 则在△POM 中，由余弦定理，得PM 2＝PO 2＋OM 2－2·PO ·OM cos ∠POM ， ∴42＝ρ2＋42－2×4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2.化简得ρ＝8sin θ，即为圆C 的极坐标方程．(2)由(1)可进一步得出圆心M 的直角坐标是(0,4)，直线l 的普通方程是3x －y －5－3＝0，圆心M 到直线l 的距离d ＝|0－4－5－3|3＋1＝9＋32>4，所以直线l 和圆C 相离．4．(2011·哈九中高三期末)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝22＋32t(t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |.解：(1)直线参数方程可以化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos60°，y ＝22＋t sin60°，根据直线参数方程的意义，这条直线是经过点(0，22)，倾斜角为60°的直线． (2)l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋22， ρ＝2cos(θ－π4)的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －222＝1， ∴圆心(22，22)到直线l 的距离d ＝64.∴|AB |＝102. 5．(2011·东北三校模拟)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)若直线l 的斜率为－1，求直线l 与曲线C 交点的极坐标； (2)若直线l 与曲线C 相交弦长为23，求直线l 的参数方程． 解：(1)直线l 的方程：y －1＝－1(x ＋1)，即y ＝－x ，C ：ρ＝4cos θ，即x 2＋y 2－4x ＝0，联立方程得2x 2－4x ＝0，∴两交点分别为：A (0,0)，B (2，－2)，极坐标A (0,0)，B (22，7π4)． (2)d ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝1，设直线l 为y －1＝k (x ＋1)，则圆心C 到l 的距离为|2k ＋k ＋1|k 2＋1＝1.∴k ＝0或k ＝－34.∴l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1(t 为参数)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－45t ，y ＝1＋35t (t 为参数)．6．(2011·新课标全国卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α，(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP u u u r ＝2OM u u u u r，P 点的轨迹为曲线C 2·(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.解：(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.。

三简单曲线的极坐标方程一、基础达标1．已知点P的极坐标为(1，π)，那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是() A．ρ＝1B．ρ＝cos θC．ρ＝－1cos θD．ρ＝1cos θ答案 C解析如图所示，设M为直线上任一点，设M(ρ，θ)．在△OPM中，OP＝OM·cos∠POM，∴1＝ρ·cos(π－θ)，即ρ＝－1cos θ.2．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为() A．x2＋(y＋2)2＝4 B．x2＋(y－2)2＝4C．(x－2)2＋y2＝4 D．(x＋2)2＋y2＝4答案 B解析由已知得ρ2＝4ρsin θ，∴x2＋y2＝4y，∴x2＋(y－2)2＝4.3．在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的方程为() A．ρ＝22cos θB．ρ＝－22cos θC．ρ＝22sin θD．ρ＝－22sin θ答案 B解析如图所示，P(2，π)，在圆上任找一点M (ρ，θ)，延长OP 与圆交于点Q ，则∠OMQ ＝90°， 在Rt △OMQ 中，OM ＝OQ ·cos ∠QOM ∴ρ＝22cos(π－θ)，即ρ＝－22cos θ. 4．极坐标方程ρ·sin θ＝2sin 2θ表示的曲线为( )A ．两条直线B ．一条射线和一个圆C ．一条直线和一个圆D ．圆答案 C解析 由ρ·sin θ＝2sin 2θ，得ρsin θ＝4sin θcos θ，即sin θ(ρ－ 4cos θ)＝0，∴sin θ＝0或ρ－4cos θ＝0.∴极坐标方程ρ·sin θ＝ 2sin 2θ表示的曲线为直线sin θ＝0和圆ρ＝4cos θ.故选C. 5．(2014·北京丰台质检)圆ρ＝2cos θ的半径是________． 答案 1解析 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x ，所以圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1，半径为1.6．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________． 答案3解析 圆ρ＝4sin θ即x 2＋(y －2)2＝4的圆心为C (0，2)，直线l ：θ＝π6(ρ∈R )即x －3y ＝0；点C 到直线l 的距离是|0－23|2＝ 3.7．求过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，并且与极轴垂直的直线的极坐标方程．解 在直线l 上任取一点M ，如图：因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，所以|OH |＝2cos π6＝ 3.在Rt △OMH 中，|OH |＝ρcos θ＝3，所以所求直线的方程为ρcos θ＝ 3.二、能力提升8．(2013· 安徽)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2 C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1 D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1 答案 B解析 在极坐标系中，圆心坐标ρ＝1，θ＝0，半径r ＝1.故左切线为θ＝π2或3π2. 右切线满足cos θ＝2ρ⇒ρcos θ＝2.即切线方程为：θ＝π2和ρcos θ＝2.所以选B.9．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4到直线l的距离为( )A. 2B.22 C ．2－22D ．2＋22答案 B解析 由ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22得ρsin θ＋ρcos θ＝1，即直线方程为x ＋y ＝1.A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4对应的直角坐标为⎩⎨⎧x ＝ρcos θ＝2cos 3π4＝－2y ＝ρsin θ＝2sin 3π4＝2，即直角坐标为(－2，2)．所以点到直线的距离为||－2＋2－12＝22，选B.10．(2013·天津理)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝______．答案 2 3解析 由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2＝4x ，所以(x －2)2＋y 2＝4，圆心C (2，0)．点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，即ρ＝4，θ＝π3，所以x ＝ρcos θ＝4cos π3＝2，y ＝ρsin θ＝4sin π3＝23，即P (2，23)，所以||CP ＝2 3. 11．将下列直角坐标方程和极坐标方程互化． (1)y 2＝4x ；(2)y 2＋x 2－2x －1＝0； (3)ρcos 2 θ2＝1； (4)ρ2cos 2θ＝4； (5)ρ＝12－cos θ.解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ，化简得ρsin 2 θ＝4 cos θ. (2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＋x 2－2x －1＝0， 得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化简得ρ2－2ρcos θ－1＝0.(3)∵ρcos 2θ2＝1，∴ρcos θ＋12＝1，即ρcos θ＋ρ＝2， ∴x ＋x 2＋y 2＝2，整理有y 2＝4－4x .(4)∵ρ2cos 2θ＝4， ∴ρ2(cos 2 θ－sin 2 θ)＝4. 化简得x 2－y 2＝4. (5)∵ρ＝12－cos θ，∴1＝2ρ－ρcos θ，∴1＝2x 2＋y 2－x ，整理得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.12．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M 、N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0)． θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．三、探究与创新13．已知点A在直线x＝5上移动，等腰△OP A的顶角∠OP A为120°(O，P，A 按顺时针方向排列)，求点P的轨迹的极坐标方程．解取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x＝5的极坐标方程为ρcos θ＝5，设A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)．∵点A在直线ρcos θ＝5上，∴ρ0cos θ0＝5. ①∵△OP A为等腰三角形，且∠OP A＝120°，而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0以及∠POA＝30°.∴ρ0＝3ρ，且θ0＝θ－30°. ②把②代入①，得点P的轨迹的极坐标方程为：3ρcos(θ－30°)＝5.。

第一讲坐标系测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.将曲线y=sin 3x按照伸缩变换后得到的曲线方程为()A.y=3sin xB.y=3sin 3xC.y=3sin 6xD.y=sin x解析由伸缩变换,得将其代入y=sin 3x,有=sin x',即y'=3sin x'.所以变换后的曲线方程为y=3sin x.答案A2.在极坐标系中,已知M,则下列所给出的不能表示点M的坐标的是()A.B.C.D.答案A3.若点A的球坐标为,则它的直角坐标为()A.B.C.D.解析设点A的直角坐标为(x,y,z),则x=r sin φcos θ=5·sin cos=-,y=r sin φsinθ=5sin sin,z=r cos φ=5cos=-,所以直角坐标为.答案A4.在极坐标系中,过点且与极轴垂直的直线方程为()A.ρ=-4cos θB.ρcos θ-1=0C.ρsin θ=-D.ρ=-sin θ解析设M(ρ,θ)为直线上除以外的任意一点,则有ρcos θ=2·cos,则ρcos θ=1,经检验符合方程.所以直线的极坐标方程为ρcos θ-1=0.答案B5.在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ(0≤θ<2π)的圆心的极坐标是()A. B.C.(1,0)D.(1,π)解析由ρ=-2sin θ,得ρ2=-2ρsin θ,化为直角坐标方程为x2+(y+1)2=1,其圆心坐标为(0,-1),所以其极坐标为.答案B6.可以将椭圆=1变为圆x2+y2=4的伸缩变换是()A.B.C.D.解析将x2+y2=4改写为x'2+y'2=4,设满足题意的伸缩变换为将其代入x'2+y'2=4,得λ2x2+μ2y2=4,即=1,与椭圆=1,比较系数得解得故满足题意的伸缩变换为即答案D7.在极坐标系中,圆ρ=22sin θ的圆心到极轴的距离为()A.11B.11C.11D.22解析由圆的极坐标方程ρ=22sin θ,得ρ2=22ρsin θ,即圆的直角坐标方程为x2+y2-22y=0,标准方程为x2+(y-11)2=121,所以圆心C(0,11)到极轴的距离为11.答案A8.在极坐标系中,圆ρ=2cos θ与直线2ρcos=-1的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.无法确定解析圆ρ=2cos θ与直线2ρcos=-1的直角坐标方程分别为圆(x-1)2+y2=1与x-y+1=0,圆心(1,0)到直线的距离为d==1=r,所以直线与圆相切.答案B9.若曲线的极坐标方程为ρ=8sin θ,则它的直角坐标方程为()A.x2+(y+4)2=16B.x2+(y-4)2=16C.(x-4)2+y2=16D.(x+4)2+y2=16解析由直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcos θ,y=ρsin θ,即ρ2=x2+y2,可得x2+y2=8y,整理得x2+(y-4)2=16.答案B10.导学号73574029在球坐标系中,集合M=(r,φ,θ)2≤r≤6,0≤φ≤,0≤θ<2π表示的图形的体积为()A.B.C.D.解析由球坐标中r,φ,θ的含义知,该图形的体积是两个半径分别为6,2的半球的体积之差.故V=×63-×208=.答案A11.在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2B.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2C.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=1D.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=1解析由题意可知圆ρ=2cos θ化为直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.所以圆的垂直于x轴的两条切线的直角坐标方程分别为x=0和x=2,再将两条切线的直角坐标方程化为极坐标方程分别为θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2,故选B.答案B12.导学号73574030圆ρ=r与圆ρ=-2r sin(r>0)的公共弦所在直线的方程为()A.2ρ(sin θ+cos θ)=rB.2ρ(sin θ+cos θ)=-rC.ρ(sin θ+cos θ)=rD.ρ(sin θ+cos θ)=-r解析圆ρ=r的直角坐标方程为x2+y2=r2,①圆ρ=-2r sin=-2r=-r(sin θ+cos θ),两边同乘ρ,得ρ2=-r(ρsin θ+ρcos θ),所以x2+y2+rx+ry=0,②由①-②,并化简得(x+y)=-r,即为两圆公共弦所在直线的直角坐标方程.将直线(x+y)=-r化为极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=-r.答案D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在极坐标系中,点P(2,0)与点Q关于直线θ=对称,则|PQ|=.解析直线θ=的直角坐标方程为y=x.设点P到直线的距离为d,则|PQ|=2d==2.答案214.已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcos θ=3,ρ=6sin θ,则曲线C1与C2交点的极坐标为.解析∵将②代入①,得6sin θcos θ=3,∴sin 2θ=1.∵0≤2θ<π,∴θ=.代入①得ρ=3.∴C1与C2交点的极坐标为.答案15.已知点M的柱坐标为,则点M的直角坐标为,球坐标为.解析设点M的直角坐标为(x,y,z),球坐标为(r,φ,θ).由由得即所以点M的直角坐标为,球坐标为.答案16.导学号73574031在极坐标系中,由三条直线θ=0,θ=,ρcos θ+ρsin θ=1围成的图形的面积是.解析因为三条直线θ=0,θ=,ρcos θ+ρsin θ=1在平面直角坐标系中对应的直线方程分别为y=0,y=x,x+y=1.三条直线围成的图形如图阴影部分所示.则点A(1,0),B.所以S△AOB=×1=.答案三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知伸缩变换表达式为曲线C在此变换下变为椭圆+y'2=1,求曲线C的方程.解因为所以将其代入方程+y'2=1,得=1,即x2+=1.故曲线C的方程为x2+=1.18.(本小题满分12分)已知定点P.(1)将极点移至O'处,极轴方向不变,求点P的新坐标;(2)极点不变,将极轴顺时针转动角,求点P的新坐标.解(1)设点P的新坐标为(ρ,θ),如图所示,由题意可知,|OO'|=2,|OP|=4,∠POx=,∠O'Ox=,所以∠POO'=.在△POO'中,ρ2=42+(2)2-2×4×2×cos=16+12-24=4,则ρ=2.又,所以sin∠OPO'=×2,即∠OPO'=.所以∠OP'P=π-,则∠PP'x=,∠PO'x'=.故点P的新坐标为.(2)如图所示,设点P的新坐标为(ρ,θ),则ρ=4,θ=.故点P的新坐标为.19.(本小题满分12分)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知C1:ρ=2cos θ-4sin θ,C2:ρsin θ-2ρcos θ+1=0.(1)将C1的方程化为直角坐标方程;(2)求曲线C1和C2两交点A,B之间的距离.解(1)由ρ=2cos θ-4sin θ,得ρ2=2ρcos θ-4ρsin θ.∴x2+y2=2x-4y.∴C1的直角坐标方程为(x-1)2+(y+2)2=5.(2)C2:ρsin θ-2ρcos θ+1=0化为直角坐标方程为y-2x+1=0.∵圆心(1,-2)到直线的距离d=,∴|AB|=2.20.(本小题满分12分)已知定点A(a,0),动点P对极点O和点A的张角∠OPA=.在OP的延长线上取点Q,使|PQ|=|PA|.当点P在极轴所在直线的上方运动时,求点Q的轨迹的极坐标方程.解设点Q,P的坐标分别是(ρ,θ),(ρ1,θ1),则θ=θ1.在△POA中,|OP|=ρ1=·sin,|PA|=.又|OQ|=|OP|+|PQ|=|OP|+|PA|,化简可得ρ=2a cos.故点Q的轨迹的极坐标方程为ρ=2a cos.21.导学号73574032(本小题满分12分)在极坐标系中,已知圆C的圆心C,半径r=3.(1)求圆C的极坐标方程;(2)若点Q在圆C上运动,点P在OQ的延长线上,且=2,求动点P的轨迹的极坐标方程.解(1)设M(ρ,θ)是圆C上除极点外的任意一点,连接OM,CM.在△OCM中,∠COM=,由余弦定理得|CM|2=|OM|2+|OC|2-2|OM||OC|cos∠COM,即32=ρ2+32-2×3×ρcos,ρ=6cos.因为极点适合上式,所以圆C的极坐标方程为ρ=6cos.(2)设点Q为(ρ1,θ1),点P为(ρ,θ),由=2,得=2(),即,所以ρ1=ρ,θ1=θ.因为点Q在圆C上,所以有ρ1=6cos.将ρ1=ρ,θ1=θ,代入圆ρ1=6cos的方程,得ρ=6cos, 即ρ=9cos.故动点P的轨迹的极坐标方程为ρ=9cos.22.导学号73574033(本小题满分12分)在极坐标系中,极点为O,已知曲线C1:ρ=2与曲线C2:ρsin交于不同的两点A,B.(1)求|AB|的值;(2)求过点C(1,0)且与直线AB平行的直线l的极坐标方程.解(1)(方法一)∵ρ=2,∴x2+y2=4,半径r=2.又ρsin,∴y=x+2.∵原点(0,0)到直线x-y+2=0的距离d=,∴|AB|=2=2=2.(方法二)设A(ρ,θ1),B(ρ,θ2),θ1,θ2∈[0,2π),则sin,sin.∵θ1,θ2∈[0,2π),∴|θ1-θ2|=,即∠AOB=.又|OA|=|O B|=ρ=2,∴|AB|=2.(2)∵曲线C2的斜率为1,∴过点(1,0)且与曲线C2平行的直线l的直角坐标方程为y=x-1, ∴直线l的极坐标方程为ρsin θ=ρcos θ-1,即ρcos.。