08福建高考数学卷（理工农医类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)若复数(a 2-3a +2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数a 的值为 A.1B.2C.1或2D.-1(2)设集合A={x |1xx -＜0},B={x |0＜x ＜3＝,那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(3)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为 A.63B.64C.127D.128(4)函数f (x )=x 3+sin x +1(x ∈R ),若f (a )=2,则f (-a )的值为 A.3B.0C.-1D.-2(5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是 A.16625B.96625C. 192625D. 256625(6)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为A.63B.265C.155D.105(7)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A.14B.24C.28D.48(8)若实数x 、y 满足 {10,x y -+≤则yx的取值范围是 (9)函数f (x )=cos x (x )(x ∈R )的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y =-f ′(x )的图象，则m 的值可以为A.2πB.πC.－πD.－2π(10)在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为A. 6π B.3π C.6π或56πD.3π或23π(11)又曲线22221x y ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为A.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞(12)已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.（13）若(x -2)5=a 3x 5+a 5x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=__________.(用数字作答) x =1+cos θ(14)若直线3x+4y+m=0与圆 y =-2+sin θ（θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是 .（153，则其外接球的表面积是 . （16）设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈R ，都有a +b 、a -b ， ab 、ab∈P （除数b ≠0），则称P 是一个数域.例如有理数集Q 是数域；数集{}2,F a b b Q =+∈也是数域.有下列命题： ①整数集是数域；②若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域；③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号填填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） 已知向量m =(sin A ,cos A ),n =(3,1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.如图，在四棱锥P-ABCD 中，则面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA =PD ＝2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ,AB⊥AD ,AD =2AB =2BC =2,O 为AD 中点.（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求异面直线PD 与CD 所成角的大小；（Ⅲ）线段AD 上是否存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为32？若存在，求出AQQD的值；若不存在，请说明理由.（19）（本小题满分12分） 已知函数321()23f x x x =+-. （Ⅰ）设{a n }是正数组成的数列，前n 项和为S n ，其中a 1=3.若点211(,2)n n n a a a ++-(n ∈N*)在函数y =f ′(x )的图象上，求证：点（n ,S n ）也在y =f ′(x )的图象上；（Ⅱ）求函数f (x )在区间（a -1,a ）内的极值.（20）（本小题满分12分）某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科 目B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证 书.现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目B 每次考试 成绩合格的概率均为12.假设各次考试成绩合格与否均互不影响. （Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望E ξ.如图、椭圆22221(0)x y ab a b+=的一个焦点是F （1，0），O 为坐标原点.（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.若直线l 绕点F 任意转动，值有222OA OBAB +,求a 的取值范围.（22）（本小题满分14分）已知函数f (x )=ln(1+x )-x 1 （Ⅰ）求f (x )的单调区间；（Ⅱ）记f (x )在区间[]0,π（n ∈N*）上的最小值为b x 令a n =ln(1+n )-b x . （Ⅲ）如果对一切n ，不等式22nn n ca a a ++-恒成立，求实数c 的取值范围； （Ⅳ）求证： 131321122424221 1.n n na a a a a a a a a a a a a -++++-【参考答案】一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分60分.（1）B （2）A （3）C （4）B （5）B （6）D （7）A （8）C （9）A （10）D （11）B （12）D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分16分.（13）31（14）(,0)(10,)-∞⋃+∞（15）9π（16）③④三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.满分12分. 解：（Ⅰ）由题意得3sin cos 1,m n A A =-=12sin()1,sin().662A A ππ-=-=由A 为锐角得,.663A A πππ-==（Ⅱ）由（Ⅰ）知1cos ,2A =所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x s x =+=-+=--+因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值32.当sin x =-1时，f (x )有最小值-3，所以所求函数f (x )的值域是33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（18）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分.解法一：（Ⅰ）证明：在△PAD 中PA =PD ,O 为AD 中点，所以PO ⊥AD ,又侧面PAD ⊥底面ABCD ,平面PAD ⋂平面ABCD =AD , PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD .（Ⅱ）连结BO ，在直角梯形ABCD 中、BC ∥AD ，AD =2AB =2BC ,有OD ∥BC 且OD =BC ,所以四边形OBCD 是平行四边形， 所以OB ∥DC .由（Ⅰ）知，PO ⊥OB ,∠PBO 为锐角， 所以∠PBO 是异面直线PB 与CD 所成的角.因为AD =2AB =2BC =2,在Rt △AOB 中，AB =1,AO =1,所以OB ＝2，在Rt △POA 中，因为AP ＝2，AO ＝1，所以OP ＝1， 在Rt △PBO 中，tan ∠PBO ＝122,arctan .222PG PBO BC ==∠=所以异面直线PB 与CD 所成的角是2arctan2. （Ⅲ）假设存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为32. 设QD ＝x ，则12DQC S x ∆=，由（Ⅱ）得CD =OB =2， 在Rt △POC 中， 222,PC OC OP =+=所以PC =CD =DP , 233(2),42PCD S ∆==由V p-DQC =V Q-PCD ,得2，所以存在点Q 满足题意，此时13AQ QD =. 解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)以O 为坐标原点，OC OD OP 、、的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz ,依题意，易得A (0,-1,0),B (1,-1,0),C (1,0,0),D (0,1,0), P (0,0,1),所以110111CDPB ---＝（，，），＝（，，）. 所以异面直线PB 与CD 所成的角是arccos63， (Ⅲ)假设存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为32， 由(Ⅱ)知(1,0,1),(1,1,0).CP CD =-=- 设平面PCD 的法向量为n =(x 0,y 0,z 0).则0,0,n CP n CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以00000,0,x z x y -+=⎧⎨-+=⎩即000x y z ==，取x 0=1,得平面PCD 的一个法向量为n =(1,1,1). 设(0,,0)(11),(1,,0),Q y y CQ y -≤≤=-由32CQ n n=，得13,23y -+=解y =-12或y =52(舍去)， 此时13,22AQ QD ==，所以存在点Q 满足题意，此时13AQ QD =.题和解决问题的能力.满分12分.(Ⅰ)证明：因为321()2,3f x x x =+-所以f ′(x )=x 2+2x , 由点211(,2)(N )n n n a a a n +++-∈在函数y =f ′(x )的图象上, 又0(N ),n a n +>∈所以11()(2)0,n n n n a a a a -+---=所以2(1)32=22n n n S n n n -=+⨯+,又因为f ′(n )=n 2+2n ,所以()n S f n '=, 故点(,)n n S 也在函数y=f ′(x )的图象上.(Ⅱ)解:2()2(2)f x x x x x '=+=+, 由()0,f x '=得02x x ==-或.当x 变化时,()f x '﹑()f x 的变化情况如下表: 注意到(1)12a a --=<,从而①当212,21,()(2)3a a a f x f -<-<-<<--=-即时的极大值为,此时()f x 无极小值； ②当10,01,()a a a f x -<<<<即时的极小值为(0)2f =-,此时()f x 无极大值； ③当2101,()a a a f x ≤--≤≤≥或或时既无极大值又无极小值.(20)本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的能力.满分12分. 解:设“科目A 第一次考试合格”为事件A ，“科目A 补考合格”为事件A 2；“科目B 第一次考试合格”为事件B ，“科目B 补考合格”为事件B .(Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A 1·B 1,注意到A 1与B 1相互独立，则1111211()()()323P A B P A P B =⨯=⨯=. 答：该考生不需要补考就获得证书的概率为13. (Ⅱ)由已知得，ξ＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得1112(2)()()P P A B P A A ξ==+2111114.3233399=⨯+⨯=+= x (-∞,-2)-2 (-2,0) 0 (0,+∞) f ′(x ) + 0 - 0 + f (x )↗极大值↘极小值↗112112122(3)()()()P P A B B P A B B P A A B ξ==++2112111211114,3223223326693=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++= 12221212(4)()()P P A A B B P A A B B ξ==+12111211111,3322332218189=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= 故4418234.9993E ξ=⨯+⨯+⨯=答：该考生参加考试次数的数学期望为83.(21)本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分.解法一：(Ⅰ)设M ，N 为短轴的两个三等分点，因为△MNF 为正三角形， 所以32OF MN =, 即1＝32, 3.23bb 解得＝ 2214,a b =+=因此，椭圆方程为221.43x y += (Ⅱ)设1122(,),(,).A x y B x y (ⅰ)当直线 AB 与x 轴重合时，2222222222,4(1),.OA OB a AB a a OA OB AB +==>+<因此，恒有(ⅱ)当直线AB 不与x 轴重合时，设直线AB 的方程为：22221,1,x y x my a b=++=代入整理得22222222()20,a b m y b my b a b +++-=所以222212122222222,b m b a b y y y y a b m a b m-+==++ 因为恒有222OA OB AB +<，所以∠AOB 恒为钝角. 即11221212(,)(,)0OA OB x y x y x x y y ==+<恒成立.22222222222222222222222(1)()210.m b a b b m a b m a b m m a b b a b a a b m +-=-+++-+-+=<+又a 2+b 2m 2>0,所以-m 2a 2b 2+b 2-a 2b 2+a 2<0对m ∈R 恒成立，即a 2b 2m 2> a 2 -a 2b 2+b 2对m ∈R 恒成立.当m ∈R 时，a 2b 2m 2最小值为0，所以a 2- a 2b 2+b 2<0. a 2<a 2b 2- b 2, a 2<( a 2-1)b 2= b 4,因为a >0,b >0,所以a <b 2,即a 2-a -1>0, 解得a 15+或a 15-(舍去)，即a 15+, 综合（i ）(ii)，a 的取值范围为（152+，+∞）. 解法二：（Ⅰ）同解法一， （Ⅱ）解：（i ）当直线l 垂直于x 轴时，x =1代入22222221(1)1,A y b a y a b a -+===1.因为恒有|OA |2+|OB |2<|AB |2,2(1+y A 2)<4 y A 2,y A 2>1，即21a a->1,解得a 15+或a 15-(舍去)，即a 15+. （ii ）当直线l 不垂直于x 轴时，设A （x 1,y 1）, B （x 2,y 2）.设直线AB 的方程为y =k (x -1)代入22221,x y a b+=得(b 2+a 2k 2)x 2-2a 2k 2x + a 2k 2- a 2b 2=0,故x 1+x 2=222222222222222,.a k a k a b x x b a k b a k -=++因为恒有|OA |2+|OB |2<|AB |2, 所以x 21+y 21+ x 22+ y 22<( x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2, 得x 1x 2+ y 1y 2<0恒成立.x 1x 2+ y 1y 2= x 1x 2+k 2(x 1-1) (x 2-1)=(1+k 2) x 1x 2-k 2(x 1+x 2)+ k 2=(1+k 2)2222222222222222222222222()a k a b a k a a b b k a b k k b a k b a k b a k--+--+=+++. 由题意得（a 2- a 2 b 2+b 2）k 2- a 2 b 2<0对k ∈R 恒成立.②当a 2- a 2b 2+b 2=0时，a =152+; ③当a 2- a 2b 2+b 2<0时，a 2- a 2(a 2-1)+ (a 2-1)<0，a 4- 3a 2+1>0, 解得a 235+a 235-，a >152，因此a ≥152+. 综合（i ）（ii ），a 的取值范围为（152+，+∞）. （22）本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分. 解法一：（I ）因为f(x)=ln(1+x )-x ，所以函数定义域为（-1,+∞）,且f 〃(x)=11x +-1=1x x-+. 由f 〃(x )>0得-1<x <0，f (x )的单调递增区间为（-1，0）； 由f 〃(x )<0得x >0，f (x )的单调递增区间为（0，+∞）. (II)因为f (x )在[0,n]上是减函数，所以b n =f (n )=ln(1+n )-n , 则a n =ln(1+n )-b n =ln(1+n )-ln(1+n )+n =n . (i)222(2(2)22n n n a a a n n n n n n++=++=+++221.22n n n +=+++又2(2)12112x n n n n ++==+-+,因此c <1，即实数c 的取值范围是（-∞，1）. （II ）由（i 212 1.21n n n <+-+因为[135(21)246(2)n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅]2=3222133557(21)(21)11,246(2)2121n n n n n ⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅⋅++＜ 所以135(21)246(2)21n n n -+＜2121n n -(n ∈N *),则113135(21)224246(2)n n -+++＜1313211222423153212121 1.n nna n n a a a a a a a a a a a a -++-=++++即＜211(n a n +∈N *）解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为f (x )在[]0,n 上是减函数，所以()ln(1),n b f n n n ==+- 则ln(1)ln(1)ln(1).n n a n b n n n n =+-=+-++= （i 22n n n a a a ++-n ∈N*恒成立.22n n n +-+n ∈N*恒成立.则222cn n n +-+n ∈N*恒成立.设2()22,g n n n n =++ n ∈N*，则c ＜g (n )对n ∈N*恒成立. 考虑[)2()22,1,.g x x x x x =++∈+∞因为122211()1(2)?(22)11212x g x x x x x x x-+=-++=-++′＝0， 所以[)()1,g x +∞在内是减函数；则当n ∈N*时，g (n )随n 的增大而减小，又因为2242lim ()lim(22)limlim222211x x x x ng n n n n n n nn n→∞→∞→∞→∞+=+-+==++++++ 1.所以对一切*N ,() 1.n g n ∈>因此c ≤1,即实数c 的取值范围是(-∞，1]. (ⅱ) 由(ⅰ)212 1.21n n n <+-+ 下面用数学归纳法证明不等式135(21)N ).246(2)21n n n n +-<∈+①当n =1时，左边＝123，左边<右边.不等式成立. ②假设当n=k 时,不等式成立.即135(21)k -<当n=k +1时，32122321222122212121)22(2642)12(12531++++=++=++++⋯+⋯••••••k k k k k k k k k k k k k ＜）（）－（=,1)1(2132132148243824++=++++++•k k k k k k k ＜即n ＝k ＋1时，不等式成立综合①、②得，不等式*)N (121)2(642)12(531∈+⋯-⋯••••••••n n n n ＜成立.所以1212)2(642)12(531--+⋯-⋯••••••••n n n n ＜)2(642)12(531423121n n ••••••••••⋯-⋯⋯+＋＋.112123513-+=-⋯n n ＋＝－＋－＜ 即*)N (1212421231423121∈-⋯⋯⋯+++-n a a a a a a a a a a a a a n nn ＜＋.08福建高考数学试卷（文史类）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若集合A ={x |x 2-x ＜0},B={x |0＜x ＜3},则A ∩B 等于 A.{x |0＜x ＜1} B.{x |0＜x ＜3} C.{x |1＜x ＜3} D.￠ （2）“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 （3）设|a n |是等左数列，若a 2=3,a 1=13,则数列{a n }前8项的和为 A.128 B.80 C.64 D.56（4）函数f (x )=x 3+sin x +1(x ∈R)，若f (a )=2,则f (-a )的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2 (5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是 A.12125 B.16125 C.48125 D.96125(6)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=BC =2，AA 1=1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为A.22 B.2 C.2 D.1（7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为 A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x (8)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2+c 2-b 23ac ,则角B 的值为A.6π B.3π C.6π或56π D.3π或23π(9)某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A.14B.24C.28D.48(10)若实数x 、y 满足10,0,2,x y x x -+≤⎧⎪⎨⎪≤⎩则y x 的取值范围是A.（0，2）B.（0，2）C.(2,+∞)D.[2，+∞) （11）如果函数y=f (x )的图象如右图，那么导函数y=f (x )的图象可能是（12）双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PE 2|，则双曲线离心率的取值范围为A.（1，3）B.（1，3）C.（3，+∞）D. [3，+∞]第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置. （13）（x +1x）9展开式中x 2的系数是 .（用数字作答） （14）若直线3x+4y +m =0与圆x 2+y 2-2x +4y +4=0没有公共点，则实数m 的取值范围是 . （15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . （16）设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a+b 、a-b 、ab 、ab∈P （除数b ≠0）则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，有下列命题： ①数域必含有0，1两个数； ②整数集是数域；③若有理数集Q ⊆M ,则数集M 必为数域;④数域必为无限集.其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） 已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==-,且0.m n = (Ⅰ)求tan A 的值；(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域.（18）（本小题满分12分）三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为111,,,543且他们是否破译出密码互不影响. (Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率；(Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.（19）（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA ＝PD 2,底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ,AB ⊥AD ,AD =2AB =2BC=2，O 为AD 中点. (Ⅰ)求证:PO ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值； (Ⅲ)求点A 到平面PCD 的距离.（20）（本小题满分12分）已知｛a n ｝是正数组成的数列，a 1=11,n n a a +）（n ∈N *）在函数y =x 2+1的图象上.(Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛b n ｝满足b 1=1,b n +1=b n +2n a，求证：b n ·b n +2＜b 2n +1.(21)（本小题满分12分）已知函数32()2f x x mx nx =++-的图象过点（-1，-6），且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称. (Ⅰ)求m 、n 的值及函数y =f (x )的单调区间；(Ⅱ)若a ＞0，求函数y =f (x )在区间（a -1,a +1）内的极值.(22)（本小题满分14分）如图，椭圆2222:1x y C a b+=（a ＞b ＞0）的一个焦点为F (1,0)，且过点（2，0）.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l :x =4与x 轴交于点N ， 直线AF 与BN 交于点M . (ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上； (ⅱ)求△AMN 面积的最大值.【数学试题（文史类）参考答案】一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分60分. （1）A （2）C (3)C (4)B (5)C (6)D （7）A （8）A (9)A (10)D (11)A (12)B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分. （13）84（14）(,0)(10,)-∞⋃+∞ （15）9π （16）①④三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力，满分12分. 解：（Ⅰ）由题意得 m ·n =sin A -2cos A =0,因为cos A ≠0,所以tan A =2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知tan A =2得2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x x x =+=-+=--+因为x ∈R,所以[]sin 1,1x ∈-. 当1sin 2x =时，f (x )有最大值32， 当sin x =-1时，f (x )有最小值-3， 所以所求函数f (x )的值域是33,.2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（18）本小题主要考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题、解决问题的能力.满分12分. 解：记“第i 个人破译出密码”为事件A 1(i =1,2,3)，依题意有123111(),(),(),54.3P A P A P A ===且A 1，A 2，A 3相互独立.（Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B ，则有B ＝A 1·A 2·3A ·A 1·2A ·A 3+1A ·A 2·A 3且A 1·A 2·3A ，A 1·2A ·A 3，1A ·A 2·A 3彼此互斥于是P (B )=P (A 1·A 2·3A )+P （A 1·2A ·A 3）+P （1A ·A 2·A 3）＝314154314351324151⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ＝203.答：恰好二人破译出密码的概率为203.（Ⅱ）设“密码被破译”为事件C ，“密码未被破译”为事件D .D ＝1A ·2A ·3A ，且1A ，2A ，3A 互相独立，则有 P （D ）＝P （1A ）·P （2A ）·P （3A ）＝324354⨯⨯＝52.而P （C ）＝1-P （D ）＝53，故P （C ）＞P （D ）. 答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.（19）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力.满分12分. 解法一：（Ⅰ）证明：在△PAD 卡中PA ＝PD ，O 为AD 中点，所以PO ⊥AD . 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD.（Ⅱ）连结BO ，在直角梯形ABCD 中，BC ∥AD ,AD =2AB =2BC ， 有OD ∥BC 且OD ＝BC ，所以四边形OBCD 是平行四边形， 所以OB ∥DC.由（Ⅰ）知PO ⊥OB ，∠PBO 为锐角，所以∠PBO 是异面直线PB 与CD 所成的角.因为AD ＝2AB ＝2BC ＝2，在Rt △AOB 中，AB ＝1，AO ＝1，所以OB ＝2， 在Rt △POA 中，因为AP ＝2，AO ＝1，所以OP ＝1， 在Rt △PBO 中，PB ＝322=+OB OP , cos ∠PBO =3632==PB OB , 所以异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为36. (Ⅲ)由（Ⅱ）得CD ＝OB ＝2， 在Rt △POC 中，PC ＝222=+OP OC ，所以PC ＝CD ＝DP ，S △PCD =43·2=23. 又S △=,121=•AB AD 设点A 到平面PCD 的距离h ， 由V P-ACD =V A-PCD ， 得31S △ACD ·OP ＝31S △PCD ·h ， 即31×1×1＝31×23×h ，解得h ＝332.（Ⅱ）以O 为坐标原点，OP OD OC 、、的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O -xyz . 则A （0，-1，0），B （1，-1，0），C （1，0，0），D （0，1，0），P （0，0，1）. 所以CD ＝（-1，1，0），PB ＝（t ，-1，-1）， ∞〈PB 、CD 〉362311-•--＝＝CDPB CD PB ， 所以异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为36， （Ⅲ）设平面PCD 的法向量为n ＝（x 0,y 0,x 0）， 由（Ⅱ）知CP =（-1，0，1），CD ＝（-1，1，0）， 则 n ·CP ＝0，所以 -x 0+ x 0=0,n ·CD ＝0， -x 0+ y 0=0，即x 0=y 0=x 0,取x 0=1，得平面的一个法向量为n =(1,1,1). 又AC =(1,1,0).从而点A 到平面PCD 的距离d .33232==•nnAC （20）本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力.满分12分. 解法一：（Ⅰ）由已知得a n +1=a n +1、即a n +1-a n =1，又a 1=1,所以数列｛a n ｝是以1为首项，公差为1的等差数列. 故a n =1+(a -1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：a n =n 从而b n +1-b n =2n. b n =(b n -b n -1)+(b n -1-b n -2)+···+（b 2-b 1）+b 1=2n -1+2n -2+···+2+1＝2121--n =2n -1. 因为b n ·b n +2-b 21+n =(2n -1)(2n +2-1)-(2n -1-1)2=(22n +2-2n +2-2n +1)-(22n +2-2-2n +1-1)=-5·2n +4·2n=-2n＜0,所以b n ·b n +2＜b 21+n ,（Ⅱ）因为b 2=1,b n ·b n +2- b 21+n =(b n +1-2n )(b n +1+2n +1)- b 21+n=2n +1·b n -1-2n ·b n +1-2n ·2n +1＝2n （b n +1-2n +1） =2n （b n +2n -2n +1） =2n （b n -2n） = (2)（b 1-2）=-2n〈0， 所以b n -b n +2<b 2n +1（21）本小题主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分. 解：（1）由函数f (x )图象过点（－1，－6），得m -n =-3, ……①由f (x )=x 3+mx 2+nx -2，得f ′（x ）=3x 2+2mx +n ,则g (x )=f ′(x )+6x =3x 2+(2m +6)x +n ; 而g (x )图象关于y 轴对称，所以－3262⨯+m ＝0，所以m =-3, 代入①得n =0.于是f ′(x )＝3x 2-6x =3x (x -2). 由f ′(x )>得x>2或x <0,故f (x )的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）； 由f ′(x )<0得0<x <2,故f (x )的单调递减区间是（0，2）. (Ⅱ)由（Ⅰ）得f ′(x )＝3x (x -2), 令f ′(x )＝0得x =0或x=2.当变化时，()、()的变化情况如下表：X(-∞.0) 0 (0,2) 2 (2,+ ∞) f ′(x ) + 0 － 0 ＋ f (x )极大值极小值由此可得：当0<a <1时，f (x )在（a -1,a +1）内有极大值f (O )=-2,无极小值； 当a =1时，f (x )在（a -1,a +1）内无极值；当1<a <3时，f (x )在（a -1,a +1）内有极小值f (2)＝－6，无极大值； 当a ≥3时，f (x )在（a -1,a +1）内无极值.综上得：当0<a <1时，f (x )有极大值－2，无极小值，当1<a <3时，f (x )有极小值－6，无极大值；当a=1或a ≥3时，f (x )无极值.(22)本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力，满分14分, 解法一：（Ⅰ）由题设a =2,c =1,从而b 2=a 2-c 2=3,所以椭圆C 前方程为122=+y x .(Ⅱ)(i)由题意得F (1,0),N (4,0).设A (m,n ),则B (m ,-n )(n ≠0),3422n m +=1. ……① AF 与BN 的方程分别为：n (x -1)-(m -1)y =0， n (x -4)-(m -4)y =0.设M (x 0,y 0),则有 n (x 0-1)-(m -1)y 0=0, ……②n (x 0-4)+(m -4)y 0=0, ……③由②，③得x 0=523,52850-=--m ny m m .所以点M 恒在椭圆G 上.(ⅱ)设AM 的方程为x =xy +1,代入3422y x +＝1得（3t 2+4）y 2+6ty -9=0.设A (x 1,y 1),M （x 2，y 2），则有：y 1+y 2=.439,4362212+-=+-t y y x x |y 1-y 2|=.4333·344)(2221221++=-+t t y y y y 令3t 2+4=λ(λ≥4),则 |y 1-y 2|＝，＋）－－（＝＋）－（＝－ 412113411341·3432λλλλλ 因为λ≥4，0<时，，＝，即＝所以当04411,41≤1=t λλλ |y 1-y 2|有最大值3，此时AM 过点F . △AMN 的面积S △AMN=.292323y ·212121有最大值y y y y y FN -=-=- 解法二：（Ⅰ）问解法一： （Ⅱ）（ⅰ）由题意得F (1,0),N (4,0).设A (m ,n ),则B (m ,-n )(n ≠0), .13422=+n m ……① AF 与BN 的方程分别为：n (x -1)-(m -1)y =0, ……②n (x -4)-(m -4)y =0, ……③由②，③得：当≠523,528525-=--=x yn x x m 时，. ……④ 1)52(4936)85()52(412)85()52(3)52(4)85()52(3)52(4)85(34222222222222222020=--+-=-+-=-+--=-+--=+m m m m n m m n m m m n m m y x 由于由④代入①，得3422y x +=1（y ≠0）. 当x=52时，由②，③得：3(1)023(4)0,2n m y n m y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩解得0,0,n y =⎧⎨=⎩与a ≠0矛盾. 所以点M 的轨迹方程为221(0),43x x y +=≠即点M 恒在锥圆C 上. （Ⅱ）同解法一.2009年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工农医类）一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。
