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阵列信号处理中的DOA （窄带）/接收过程中的信号增强。
空域参数估计：从而对目标进行定位/给空域滤波提供空域参(DOA)θ的函数，P(θ)./经典波束形成器 注，延迟相加法和CBF 法本质相同，仅仅是CBF 法的最优权向量是归一化了的。
CBF / Bartlett 波束形成器 CBF ：Conventional Beam Former ） 最小方差法/Capon 波束形成器/ MVDR 波束形成器MVDR ：minimum variance distortionless response ） Root-MUSIC 算法 多重信号分类法 解相干的MUSIC 算法 （MUSIC ） 基于波束空间的MUSIC 算法 TAM 旋转不变子空间法 LS-ESPRIT TLS-ESPRIT 确定性最大似然法（DML ：deterministic ML ）随机性最大似然法（SML ：stochastic ML ）最大似然估计法是最优的方法，即便是在信噪比很低的环境下仍然具有良好的性能，但是通常计算量很大。
同子空间方法不同的是，最大似然法在原信号为相关信号的情况下也能保持良好的性能。
阵列流形矩阵（导向矢量矩阵）只要确定了阵列各阵元之间的延迟τ，就可以很容易地得出一个传统的波达方向估计方法是基于波束形成和零波导引概念的，并没有利用接收信号向量的模型（或信号和噪声的统计特性）。
知道阵列流形 A 以后，可以对阵列进行电子导引，利用电子导引可以把波束调整到任意方向上，从而寻找输出功率的峰值。
①常规波束形成(CBF)法CBF法，也称延迟—相加法/经典波束形成器法/傅里叶法/Bartlett波束形成法,是最简单的DOA 估计方法之一。
这种算法是使波束形成器的输出功率相对于某个信号为最大。
（参考自：阵列信号处理中DOA估计及DBF技术研究_赵娜）注意：上式中，导向矩阵A表示第K个天线阵元对N个不同的信号s(i)示第i个信号s(i)在M个不同的天线上的附加权值。
阵列信号处理中的DOA估计算法摘要：本文简要介绍了阵列信号处理的基本知识和其数学模型，并且对阵列信号处理中很重要的来波方向（DOA）估计方法进行了比较，主要包括古典谱估计方法、Capon最小方差法、多重信号分类（MUSIC）算法以及旋转不变因子空间（ESPRIT）算法。
通过这些算法的介绍和比较，我们可以很方便地在不同的情况下选择不同的算法去对信号的来波方向进行估计。
关键词：阵列信号处理；来波方向（DOA）；MUSIC；自相关矩阵；特征分解；ESPRIT DOA Estimation Algorithms in Array Signal Processing Abstract：In this paper, we have introduced the basic knowledge and data model of array signal processing and have compared many DOA estimation methods in array signal processing，which included classical spectrum estimation method、Capon minimum variance method、MUSIC method and ESPRIT method。
Through the introduction and comparison of these algorithms，we can choose different algorithm to estimate the DOA of signal in different situation，conveniently。
Key word s：array signal processing；DOA；MUSIC；self-correction matrix；eigendecomposition；ESPRIT1.引言近几十年来，阵列信号处理作为信号处理的一个重要分支，在声纳、雷达、通信以及医学诊断等领域得到了相当广泛的应用和发展。
阵列信号处理中的DOA （窄带）/接收过程中的信号增强。
参数估计：从而对目标进行定位/给空域滤波提供空域参数。
(DOA)空间谱：输出功率P 关于波达角θ的函数，P(θ).——相加法/经典波束形成器注，延迟相加法和CBF 法本质相同，仅仅是CBF 法的最优权向量是归一化了的。
CBF / Bartlett 波束形成器CBF ：Conventional Beam Former ）最小方差法/Capon 波束形成器/ MVDR 波束形成器MVDR ：minimum variance distortionless response ）Root-MUSIC 算法多重信号分类法解相干的MUSIC 算法（MUSIC ）基于波束空间的MUSIC 算法TAM旋转不变子空间法LS-ESPRIT TLS-ESPRIT 确定性最大似然法（DML ：deterministic ML ）随机性最大似然法（SML ：stochastic ML ）最大似然估计法是最优的方法，即便是在信噪比很低的环境下仍然具有良好的性能，但是通常计算量很大。
同子空间方法不同的是，最大似然法在原信号为相关信号的情况下也能保持良好的性能。
阵列流形矩阵（导向矢量矩阵）只要确定了阵列各阵元之间的延迟τ，就可以很容易地得出一个特定阵列天线的阵列流形矩阵A。
传统的波达方向估计方法是基于波束形成和零波导引概念的，并没有利用接收信号向量的模型（或信号和噪声的统计特性）。
知道阵列流形 A 以后，可以对阵列进行电子导引，利用电子导引可以把波束调整到任意方向上，从而寻找输出功率的峰值。
①常规波束形成(CBF)法CBF法，也称延迟—相加法/经典波束形成器法/傅里叶法/Bartlett波束形成法,是最简单的DOA 估计方法之一。
这种算法是使波束形成器的输出功率相对于某个信号为最大。
（参考自：阵列信号处理中DOA估计及DBF技术研究_赵娜）注意：理解信号模型注意：上式中，导向矩阵A的行向量表示第K个天线阵元对N个不同的信号s(i)的附加权值，列向量表示第i个信号s(i)在M个不同的天线上的附加权值。
宽带信号DOA 估计rotational signal subspace 宽带特定频带上并最终在该频带上进行处的数据接收形式以及对应协方差矩用于DOA 时，非相干信号子空间法ISSM最早出现的宽带信号高分辨DOA 估计方法是非相干信号子空间方法(ISSM ：incoherent signal subspace method)。
主要思想：将宽带数据分解到不重叠频带上的窄带数据,然后对每一个频带进行窄带信号子空间处理,再对各处理结果进行简单平均。
即对每一个子带的谱密度矩阵进行特征分解,根据特征子空间构成空间谱,对所有子带的空间谱进行算术平均或几何平均,最后得出宽带信号空间谱估计ISSM：为了估计各个窄带上的谱密度矩阵,需要把时域观测信号转换．．到频域。
首先将观测时间T 0内采集到的信号数据平均分成K 个不重叠的段,每段的长度为T K =T 0/K,再对每段信号作快速傅立叶变换(FFT),得到K 组互不相关的窄带频率分量,宽带处理中称K 为频域快拍,由此可以得到K 个快拍,记为X k (f),k=1,2,…,K,f=1,2,…,J 。
ISM 算法的思想就是由这K 个频域快拍估计多个目标的方位。
ISSM 的缺点：ISM 用平均的方法利用了宽带信号的信息,但是由于宽带信号的能量分布并不均匀,不同的窄带部分往往具有不同的信噪比,低信噪比的窄带部分可能对宽带信号的高分辨DOA 估计产生很大的偏差,因此这种简单的平均不能充分利用信号的能量。
当目标具有相干性时,每一个子带的估计结果都会失败,而且对每一个子带信号进行估计时,为了得到较好的相关矩阵,需要较长的信号观测值,因此运算量大。
为了克服这些缺点,提高估计性能,借鉴窄带信号的去相干原理,可以将ISM 算法加以修正扩展到宽带信号的相干源情况中。
修正ISSM 算法的实质是前后向空间平滑,但是实际上只有一个子阵,而且子阵和原阵是完全一样的,因此该方法不损失阵列孔径。
此外在实际应用中,也存在着系统误差和测量误差,在低信噪比和快拍数较少时,采用R(w j )进行目标方位估计,具有平均的意义,平均可以消除或者减弱误差对算法性能的影响,从而使修正ISSM 算法具有更高的估计精度,稳健性也更好。
阵列协方差矩阵与focuss 算法的doa 估计方法摘要：1.阵列协方差矩阵与DOA 估计方法概述2.阵列协方差矩阵的性质与应用3.focuss 算法的原理和实现4.DOA 估计方法的性能比较与优缺点分析5.结论与展望正文：1.阵列协方差矩阵与DOA 估计方法概述阵列协方差矩阵是一种在信号处理领域中常用的矩阵，主要用于描述阵列接收器接收到的信号之间的相关性。
DOA（Direction of Arrival）估计方法是指通过观测信号来确定信号源的方向，广泛应用于通信、雷达和声呐等领域。
阵列协方差矩阵与DOA 估计方法相结合，可以有效地提高信号源定位的准确性。
2.阵列协方差矩阵的性质与应用阵列协方差矩阵具有以下性质：（1）协方差矩阵是半正定的，即其元素都为非负实数，且行列式大于等于零；（2）协方差矩阵的特征值和特征向量可以用来表示信号源的方向；（3）协方差矩阵的逆矩阵可以用来消除信号之间的相关性，从而提高信噪比。
在实际应用中，阵列协方差矩阵可以用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
例如，在无线通信中，通过使用阵列天线接收信号，可以利用阵列协方差矩阵来估计信号源的方向，从而提高信号传输的质量和可靠性。
3.focuss 算法的原理和实现focuss（Fast Oriented Channel Estimation Using Sparse Signal Techniques）算法是一种基于稀疏信号处理技术的快速定向信道估计方法。
其主要思想是通过观测信号的稀疏特性，来有效地降低信道估计的复杂度。
focuss 算法的实现主要包括以下步骤：（1）对观测信号进行预处理，包括去除噪声、缩放信号等操作；（2）利用稀疏信号恢复算法（如L1 范数最小化）来恢复原始信号；（3）根据恢复的信号计算阵列协方差矩阵；（4）利用阵列协方差矩阵来估计信号源的方向。
4.DOA 估计方法的性能比较与优缺点分析相比于传统的DOA 估计方法，阵列协方差矩阵与focuss 算法相结合的方法具有以下优点：（1）具有较高的估计精度，尤其是在信号源数量较多时；（2）具有较好的鲁棒性，能够应对信号的波动和噪声的影响；（3）计算复杂度较低，能够实现实时估计。
阵列信号处理中的DOA （窄带）/接收过程中的信号增强。
空域参数估计：从而对目标进行定位/给空域滤波提供空域参(DOA)θ的函数，P(θ)./经典波束形成器 注，延迟相加法和CBF 法本质相同，仅仅是CBF 法的最优权向量是归一化了的。
CBF / Bartlett 波束形成器 CBF ：Conventional Beam Former ） 最小方差法/Capon 波束形成器/ MVDR 波束形成器MVDR ：minimum variance distortionless response ） Root-MUSIC 算法 多重信号分类法 解相干的MUSIC 算法 （MUSIC ） 基于波束空间的MUSIC 算法 TAM 旋转不变子空间法 LS-ESPRIT TLS-ESPRIT 确定性最大似然法（DML ：deterministic ML ）随机性最大似然法（SML ：stochastic ML ）最大似然估计法是最优的方法，即便是在信噪比很低的环境下仍然具有良好的性能，但是通常计算量很大。
同子空间方法不同的是，最大似然法在原信号为相关信号的情况下也能保持良好的性能。
阵列流形矩阵（导向矢量矩阵）只要确定了阵列各阵元之间的延迟τ，就可以很容易地得出一个传统的波达方向估计方法是基于波束形成和零波导引概念的，并没有利用接收信号向量的模型（或信号和噪声的统计特性）。
知道阵列流形 A 以后，可以对阵列进行电子导引，利用电子导引可以把波束调整到任意方向上，从而寻找输出功率的峰值。
①常规波束形成(CBF)法CBF法，也称延迟—相加法/经典波束形成器法/傅里叶法/Bartlett波束形成法,是最简单的DOA 估计方法之一。
这种算法是使波束形成器的输出功率相对于某个信号为最大。
（参考自：阵列信号处理中DOA估计及DBF技术研究_赵娜）注意：上式中，导向矩阵A表示第K个天线阵元对N个不同的信号s(i)示第i个信号s(i)在M个不同的天线上的附加权值。
将式（2.6）的阵元接收信号，写成矢量形式为：X(t)=AS(t)+N(t)其中，X(t)为阵列的M×1维 快拍数据矢量，N(t)为阵列的M×1维噪声数据矢量，S(t)为信号空间的N×1维矢量，A 为空间阵列的M×N 维阵列流型矩阵（导向矢量矩阵），且A =[a 1(ω0) a 2(ω0)…a N (ω0)]其中，导向矢量a i (ω0) 为列矢量，表示第i 个信号在M 个天线上的附加权值a i (ω0)=[exp (−jω0τ1i )exp (−jω0τ2i )⋮exp (−jω0τMi )]，i =1,2,…,N 式中，ω0=2πf =2πc λ ,其中，c 为光速，λ为入射信号的波长。
的时间延时为τki ，则有：τki =(k−1)d sin θi c ⁄ ，k =1,2,…,M ，其中，d 为阵元间距，一般取d=λ/2。
第i由上述的知识可知,一旦知道阵元间的延迟表达式τ,就很容易得出特定空间阵列的导向矢量或阵列流型。
,在一时间内将阵列波束“导向”到一个方向上,对期望信号得到最大输出功率的导向位置即是波达方向估计值,如图1所示。
假设空间存在M 个阵元组成的阵列,Nw =[w 1w 2…w M ]Ty (t)=w H x (t )=∑w i ∗M i=1x i (t)P (w )=1L ∑|y(t)|2=w H E {x (t )x (t )H }w =w H Rw LI=1 其中，R 为接收信号矢量x(t)的自相关矩阵图1 阵列信号处理示意图假设来自θ方向的输出功率最大,则该最大化问题可表述为：θ=arg max w[P (w )]=arg maxw[E{w H x(t)x(t)H w}]=arg maxw[w H E{x(t)x(t)H}w]=arg maxw[E|s(t)|2|w H a(θ)|2+σ2‖w‖2]为了使加权向量w的权值不影响输出信噪比，在白化噪声方差σ2一定的情况下，取‖w‖2=1，此时求解为：w CBF=a(θ)√a H(θ)a(θ)此时Bartlett 波束形成器的空间谱为：P CBF(θ)=w CBF H Rw CBF=a H(θ)Ra(θ) a H(θ)a(θ)Bartlett算法相同，仅最优权向量不同，后者的最优权是归一化了的。
）（参考自：阵列信号处理中的DOA估计技术研究_白玉）k时刻，令x(t)=u(k)，s(t)=s(k),n(t)=n(k),上面公式中：P cbf(θ)=P(w)，u(k)=x(t),令u(k)=a(θ)s(k)+n(k)，波束形成器输出信号y(k)是传感器阵元输出的线性加权之即y(k)=w H u(k)(2-1)传统的波束形成器总的输出功率可以表示为：P cbf =E[|y(k)|2]=E[|w H u(k)|2]=w H E[u(k)u H(k)]w=w H R uu w(2-2)式中,R uu定义为阵列输入数据的自相关矩阵。
式(2-2)在传统DOA估计算法中的地位举足轻重。
自相关矩阵R uu包含了阵列响应向量和信号自身的有用信息,仔细分析R uu，可以估计出信号的参数。
考察一个以角度θ入射到阵列上的信号s(k)，则有u(k)=a(θ)s(k)+n(k)。
根据窄带输入数据模型,波束形成器的输出功率可以表示成:P cbf(θ )=E[|w H u(k)|2]=E[|w H(a(θ)s(k)+n(k))|2]=|w H a(θ)|2σ2+|w H|2σn2(2-3)式中，σs2=E[s(k)2]，a(θ)是关于DOA角θn(k)是阵列输入端的噪声向量。
当时，系统的输出（信号）功率达到最大。
这是因为，权值向量w在传感器阵元处和来自方向θ的信号在DOA估计的经典波束形成方法中，波束形成器产生的波束在感兴趣的区域中离散地扫描，对应不同的θ可以产生不同的权向量：w yanchi=a(θ)从而得到的输出功率也不相同。
利用式(2-3),经典波束形成器的输出功率与波达方向的关系由下式给出:P cbf(θ)=w H R uu w=a H(θ)R uu a(θ) (2-4)因此，如果我们对输入自相关矩阵进行估计,θ,通过锁定式(2-4)定义的空间谱的峰值就可以估计出波达方向。
常规波束形成器法)，CBF法(Bartlett但是当存在着来自多个方向的信号时，该方法要受到波束宽度和旁瓣高度的制约，因而这种方法的分辨率较低，只能大致分辨出信号所处的角度范围。
这是因为，延迟—相加法是把阵列形成的波束指向某个方向，由此可以获得来自于这个方向的信号的最大功率。
就单个信号而言，延迟—相加法可以很好地估计出它的波达方向。
但是当信号空间中存在多个信号的时侯，因为波束宽度的限制，受到同一个波束内信号之间的相互干扰，延迟—相加法的估计性能就会急剧的下降。
增加阵列的阵元数（M）可以改善延迟—相加法的性能，提高分辨率，但是这会使系统更加复杂，还会增加算法的计算量和数据存储空间。
②Capon 最小方差法(Capon 波束形成器，也称MVDR波束形成器)最小方差无畸变响应（MVDR）波束形成器解决了延迟—相加法分辨率差的缺点，用一部分自由度在期望方向上形成一个波束，利用剩余的一部分自由度在干扰方向形成零陷。
这种方法使得输出功率和约束条件为其优化问题表述为：θ=arg minw[P(w)]约束条件为：w H a(θ)=1综合上式求解w为：w CAP=R−1a(θ) a H R−1a(θ)此时Capon 波束形成器的空间谱为：P CAP=w CAP H Rw CAP=1a H R−1a(θ)Capon算法比延迟—相加法有了一定程度的改进，可以对多个信号进行DOA 估计。
但是Capon 算法只能分辨非相干信号，当存在与感兴趣信号相关的其它信号时，它就不能起作用了。
这是因为Capon 算法在运算的过程中使用到了信号的自相关矩阵，因而不能对干扰信号形成零陷。
也就是说，在使得输出功率为最小的过程当中，相关分量可能会恶性合并。
此外，Capon算法运算时需要对信号的自相关矩阵求逆，当阵列加大时会有巨大的运算量。
对于任意的Φ,P Capon(Φ )是来自方向Φ的信号功率的最大似然估计。
子空间分解类算法开始兴起。
这一类算法有一个共同的特点，就是需要对阵列的接收数据矩阵进行数学分解（如奇异值分解、特征值分解和QR 分解等），将数据分解成两个互相正交的特征子空间：一个是信号子空间，另一个是噪声子空间。
子空间类算法按照处理方式的不同可以分成两类：一种是以 MUSIC 算法为代表的噪声子空间类算法另一种是以ESPRIT 算法为代表的信号子空间类算法。
式中,R s是信号相关矩阵( signal correlation matrix ),E[ss H]。
R的特征值为{ λ0,λ1,,λ2, ….,λM-1},使得|R−λi I|=0 (2-12)利用式(2-11),我们可以把它改写为|AR s A H+σn2I-λi I|=|AR s A H-(λi-σn2)I|=0 (2-13) 因此AR s A H的特征值(eigenvalues)νi为νi=λi-σn2(2-14)因此A是由线性独立的导引向量构成的,因此是列满秩的,信号相关矩阵R s也是非奇异的,只要入射信号不是高度相关的。
列满秩的A和非奇异的R s可以保证,在入射信号数L小于阵元数M时,M×M的矩阵AR s A H是半正定的,且秩为D。
这意味着AR s A H的特征值νi中,有M-L个为零。
由式(2-14)可知,R的特征值λi中有M-L个等于噪声方差σn2。
该M-L个最小特征值λi相关的特征向量,和构成A的L个导引向量正交。
噪声子空间和信号子空间是相互正交的，而由导向矢量所张成的空间与信号子空间是一致的。
应当指出，与传统方法不同，MUSIC算法在估计信号功率时并没有考虑波达角。
在噪声与信号源非相关的环境下，可以确保P MUSIC(θ) 的谱峰对应着信号的真实方向。
由于P MUSIC(θ)的峰值是可以分辨的，并且与信号之间的真实角度间隔没有关系，因此从理论上来讲，只要阵元位置校准的足够准确，MUSIC算法就可以分辨出两个邻近的信号。
但是当入射信号之间彼此高度相关时，自相关矩阵R xx会旋转不变子空间算法（ESPRIT）是空间谱估计算法中的典型算法之一，它和前面介绍的 MUSIC 算法一样，也需要对阵列接收数据的协方差矩阵进行特征分解。
但是两者也存在着明显的不同点，即MUSIC 算法利用了阵列接收数据的协方差矩阵的噪声子空间和导向矢量之间的正交特性，而ESPRIT 算法则利用了阵列接收数据的协方差矩阵信号子空间的旋转不变性，所以 MUSIC 算法与 ESPRIT算法可以看成为是一种互补的关系。
