能被2整除的数的特征

能被特殊数‎整除的特征‎1、能被2整除‎的数的特征‎。

如果一个数‎能被2整除‎，那么这个数‎末尾上的数‎为偶数，“0”、“2”、“4”、“6”、“8”。

2、能被3整除‎的数的特征‎。

如果一个数‎能被3整除‎，那么这个数‎所有数位上‎数字的和是‎3的倍数。

例如：225能被‎3整除，因为2+2+5=9,9是3的倍‎数，所以225‎能被3整除‎。

3、能被4整除‎的数的特征‎。

如果一个数‎的末尾两位‎能被4整除‎，这个数就能‎被4整除。

例如：15692‎512能不‎能被4整除‎呢？因为156‎92512‎的末尾两位‎12，能被4整除‎，所以156‎92512‎能被4整除‎。

4、能被5整除‎的数的特征‎。

若一个数的‎末尾是0或‎5则这个数‎能被5整除‎。

5、能被7整除的数的‎特征。

方法一：若一个整数‎的个位数字‎截去，再从余下的‎数中，减去个位数‎的2倍，如果差是7‎的倍数，则原数能被‎7整除。

如果差太大‎或心算不易‎看出是否是‎7的倍数，就需要继续‎上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚‎判断为止。

例如，判断133‎是否是7 的倍数的过‎程如下：13－3×2＝7，所以133‎是7的倍数‎；又例如判断‎6139是‎否7的倍数‎的过程如下‎：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以613‎9是7的倍数‎，以此类推。

方法二：如果一个多‎位数的末三‎位数与末三‎位以前的数‎字所组成的‎数的差，是7的倍数‎，那么这个数‎就能被7整‎除。

例如：28067‎8末三位数‎是678，末三位以前‎数字所组成‎的数是28‎0,679-280=399,399能被‎7整除，因此280‎679也能‎被7整除。

方法三：首位缩小法‎，减少7的倍‎数。

例如，判断452‎669能不‎能被7整除‎，45266‎9-42000‎0=32669‎，只要326‎69能被7‎整除即可。

可对326‎69继续，32669‎-28000‎=4669,4669-4200=469,469-420=49,49当然被‎7整除所以4526‎69能被7‎整除。

被2，3，4，5，7，8，9，11，13，25，27，125等整除数的特征...被2，3，4，5，7，8，9，11，13，25，27，125等整除数的特征.性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。

性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。

能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被6整除的数，个数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

能被8整除的数，百位、个位和十位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除能被9整除的数，各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除能被10整除的数，如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。

11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！能被12整除的数，若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除能被13整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。

如：22，33
22÷11=2(整除）
33÷11=3(整除）
如：23，34
23÷11=2.090909(不能整除）
34÷11=3.090909(不能整除）
13的整除特征
若一个整数的个位数字截去，再从余下 的数中，加上个位数的4倍，如果差是13 的倍数，则原数能被13整除。
如：665 665÷13=15(整除） 如：14 14÷13=1.07692308(不能整除）
除）
7的整除特征
被7整除若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中， 减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7 整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需 要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直 到能清楚判断为止。
如：133 13－3×2＝7 ， 7÷7=1(整除） 如：12 12÷7=1.741857(不能整除）
数的整除特征
研究内容： 2、3、5、7、9、11、13等数的整除特征 同学们，你们有没有在做题时遇到除数是2、
3、5、7、9、11、13的情况呢？如果有， 是不是很难算呢？那么今天就让我们来 揭开他们的秘密吧！
2的整除特征
被2整除的数是偶数。 如：2，4，6，8 2÷2=1(整除） 4÷2=2(整除） 6÷2=3(整除） 8÷2=4(整除） 如：3，5 3÷2=1.5(不能整除） 5÷2=2.5(不能整
小测试
200÷2 21÷3 55÷5 147÷7 46÷9 67÷11 123÷13
答案是前四个可以，后三个不行。
你都算对了吗？
除）
3的整除特征
被3整除的数必须各个位数上的数加起来 为3的倍数。
如：147＝1+4＋7＝12 147÷3=49(整除） 如：136＝1＋3＋6＝10 136÷3=45.33333333.......(不能整除）

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c 整除。

性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。

能被2整除的数，个位上的数是0、2、4、6、8、的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被6整除的数，个数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

整除的特征1、能被2整除的数：个位数能被2整除，则这个数就能被2整除。

如个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。

2、每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。

3、最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。

4、个位上是0或5的数都能被5整除。

5、一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。

6、把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

另外，把末三位数字截去，再从余下的数中减去截去的末三位数，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

7、最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。

8、每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。

9、若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

10、若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差值能被11整除，则这个数能被11整除。

另外1，把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。

另外2，把末三位数字截去，再从余下的数中减去截去的末三位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除.12、若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

13、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。

另外，把末三位数字截去，再从余下的数中减去截去的末三位数，如果差是13的倍数，则原数能被13整除.14、若一个整数能被2和7整除，则这个数能被14整除。

15、若一个整数能被3和5整除，则这个数能被15整除。

16、若一个整数的末位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

17、若一个整数能被2和9整除，则这个数能被18整除。

18、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。

如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，。

.2整除的数的特征：①能被包含两方面的意义：一方面，个”的整数.“特征4个位数字是0、2、、6、8整除的数，0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2位数字是偶数（包括下面含义相似。

“特征”其个位数字只能是偶数（包括0）. 。

0或5整除的数的特征：②能被5个位是各个数位数字之和能被3（或）整除。

9③能被3（或9）整除的数的特征：）整除。

例如：末两位数能被4（或25）整除的数的特征④能被4（或25：又与25的倍数.100是4与25的倍数，所以1800是41864=1800＋64，因为不能的倍数，所以1864251864，所以能被4整除.但因为64不是因为4｜64.整除被25）整除。

例如：末三位数能被1258（或⑤能被8（或125）整除的数的特征：1258与的倍数，所以1000是8与12529000是＋29375＝29000375，因为.能被125整除又因为125｜375，所以29375.的倍数这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字⑥能被11整除的数的特征：之和的差（大减小）是11的倍数。

这个数奇数位上的数字之这九位数能否被11整除？解：123456789例如：判断2025—24＋＝20.因为，＋和是97＋5＋3＋1=25偶数位上的数字之和是8＋6＋的因数。

再例如：判不是1234567895不是11的倍数，所以11＝5，又因为的倍数？是否是11断13574）＋3）-（75解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋＋1 11的倍数。

因此13574是11＝0.因为0是任何整数的倍数，所以｜0.一个整数的末三位数与末三位以前的数整除的数的特征：）11或13⑦能被7（1059282（11）整除。

例如：判断或13字所组成的数之差（以大减小）能被7，7771059-282＝因为把7的倍数？解：1059282分为1059和282两个数.是否是3546725再例如：判断1059282｜1059282.因此是7的倍数。

能被2,3,5,7整除的数的特征“嘿，同学们，今天咱们来聊聊能被 2、3、5、7 整除的数的特征哈。

”能被 2 整除的数的特征很简单，就是个位数是 0、2、4、6、8 的数。

比如说 10、12、14 这些数，它们的个位数都是偶数，所以都能被 2 整除。

就好像咱们排队分组，2 个一组，这些数都能正好分完，没有剩余。

能被 3 整除的数呢，它的特征是这个数的各个数位上的数字之和能被 3 整除。

举个例子哈，123，1+2+3=6，6 能被 3 整除，所以 123 就能被 3 整除。

再比如 369，3+6+9=18，18 能被 3 整除，那 369 也就可以。

这就好比是把一堆东西分成 3 份，每份的数量加起来能被 3 整除才行。

能被 5 整除的数，特征就是个位是 0 或 5 的数。

像 5、10、15 等等，很容易看出来吧。

这个就像是分组，5 个一组，这些数都能刚好分完。

那能被 7 整除的数呢，这个稍微有点复杂。

有一种方法是把这个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被 7 整除，那么这个数就能被 7 整除。

比如说 1059，末三位 059，前面是 1，1000-59=941，941 能被 7 整除，所以 1059 能被 7 整除。

还有一种割尾法，就是用这个数去掉末位数字后再减去末位数字的 2 倍，如果差是 7 的倍数，那么原来这个数就能被 7 整除。

比如 147，去掉 7 后是 14，14-7×2=0，0 是 7 的倍数，所以 147 能被 7 整除。

咱再来说说实际应用。

比如说在分东西的时候，知道总数，想知道能不能平均分给 2 个人、3 个人、5 个人或者 7 个人，就可以用这些特征来判断。

或者在一些数学竞赛中，也经常会出现判断一个数能不能被这些数整除的题目。

再比如在编程中，也会用到这些整除的特征来进行一些算法的设计。

同学们，这些特征都记住了吧？多练习练习，以后遇到这种问题就轻松解决啦。

2. 与3有同种倍数特征的数据： 9的倍数的特征：一个数的各个数位上的数的和 是9的倍数，这个数就是9的倍数。 例：4536是9的倍数吗？ 解答：（4+5+3+6）÷9=2，是9的倍数， 所以4536是9的倍数。
3. 其他一些数据的倍数的特征：
7的倍数的特征：把一个数的末尾数字割去，从留下的 数中减去所割去的数字的2倍，这样继续 做下去，如果最后的结果是7的倍数，那么 原来这个数就是7的倍数。 例：判断：4151能否被7整除？
判断1884924与2560437， 能否被27或37整除。 能被27（或37）整除的数的特征：对于任何一个 自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若 干节，然后将每一节上的数连加，如果所得的和 能被27（或37）整除，那么这个数一定能被27 （或37）整除。
判断1884924与2560437，能 否被27或37整除。 解：1884924=1,884,924， 1+884+924=1809。 因为，1809能被27整除，不能被37整除。 所以，1884924能被27整除，但不能被37整除。
所有六位数是：123654、321654
5. 一个整数乘以17后，乘积的后四位数是2002， 这样的整数中最小的是多少？ 解答：用□2002除以17，要求整数中最小的 是多少？这个数字最小就是12002。 12002÷17=706， 符合题目要求的最小的整数是706。
ABC分别是几时，使得七位数A6474BC能分别 被8、9和25整除。 分析：本体可以利用能被8、9和25整除的数的特 征，以及整除的性质3来解决。 ① 能被8整除的数的特征：一个数的末三位能被8整除。 ② 能被9整除的数的特征：一个数各个数位上的数字 之和能被9整除。 ③ 能被25整除的数的特征：一个数的末两位能被25整除。

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c 整除。

性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。

能被2整除的数，个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除能被6整除的数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

能被8整除的数，百位、十位和个位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除能被9整除的数，各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除能被10整除的数，如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）能被11整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。

11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！能被12整除的数，若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除能被13整除的数，若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。

能被1—31整除的数的特征能被质数整除的数的特征（1—31）7－2 11－1 13＋4 17－5 19＋2 23＋7 29＋3 31－3能被2整除：偶数。

能被3整除：各个数位的和，是3的倍数。

能被5整除：个位为0或5。

能被7整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数减去个位数的2倍，差是7的倍数。

例如，6139是否7的倍数？613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数。

方法2（能被7、11、13整除相同）：末三位数与非末三位数的差，是7的倍数。

例如，6139是否7的倍数？139－6＝133，所以6139是7的倍数。

能被11整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数减去个位数，差是11的倍数。

方法2（能被7、11、13整除相同）：末三位数与非末三位数的差，是11的倍数。

方法3：奇数位的和减去偶数位的和，差是11的倍数。

能被13整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数加上个位数的4倍，和是13的倍数。

方法2（能被7、11、13整除相同）：末三位数与非末三位数的差，是13的倍数。

能被17整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数减去个位数的5倍，差是17的倍数。

方法2（能被17、19整除类似）：末三位数与3倍的非末三位数的差，是17的倍数。

能被19整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数加上个位数的2倍，和是19的倍数。

方法2（能被17、19整除类似）：末三位数与7倍的非末三位数的差，是19的倍数。

能被23整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数加上个位数的7倍，和是23的倍数。

方法2（能被23、29整除相同）：末四位数与5倍的非末四位数的差，是23的倍数。

能被29整除：方法1（能被7—31的质数的整除类似）：非个位数加上个位数的3倍，和是29的倍数。

方法2（能被23、29整除相同）：末四位数与5倍的非末四位数的差，是29的倍数。

下面我们讨论能被2，5，3，9，4，25，8，125，11，7，13等数整除的数的特征．1．能被2或5整除的数的特征是：如果这个数的个位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除．也就是说：一个数的个位数字是0、2、4、6、8时，这个数一定能被2整除．一个数的个位数字是0、5时，这个数一定能被5整除．例如要判断18762，9685，8760这三个数能否被2或5整除，根据这三个数的个位数字的特点，很快可以判断出，2|18762，2不能整除9685，2|8760；5不能整除18762，5|9685，5|8760．2．能被3或9整除的数的特征是：如果这个数的各个数位上的数字和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除．例如要判断47322能否被9整除，由于47322=40000+7000+300+20+2=4×（9999＋1）+7×（999+1）+3×（99＋1）+2×（9+1）＋2=4×9999+7×999+3×99+2×9+4+7+3+2+2=9×（4×1111+7×111+3×11+2×1）+（4+7+3+2+2）9一定能整除9×（4×1111+7×111+2×11+2×1），所以要判断9能否整除47322，只要看9能否整除4+7+3+2+2=18，因为9|18，所以9|47322．可以看到4+7+3+2+2恰好是这个数的各个数位上的数字和．类似的方法我们还可以判断出3|47322．3．能被4或25整除的数的特征是：如果这个数的末两位数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除．例如要判断63950能否被4或25整除，由于63950=639×100+50，100=4×25，所以100能被4或25整除，根据整除的性质，639×100能被4或25整除，要判断63950能否被4或25整除，只要看50能否被4或25整除，因为4不能整除50，25|50，所以4不能整除63950，25|63950．可以看出50恰好是63950的末两位数．4．能被8或125整除的数的数的特征是：如果这个数的末三位数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除．例如要判断4986576能否被8整除，由于4986576=4986×1000＋576，1000=8×125，所以8|1000，根据整除的性质，8|4986000，要判断8能否整除4986576，只要看8能否整除576，因为8|576，所以8|4986576．可以看出576恰好是4986576的末三位数．同理可以判断这个数不能被125整除．5．能被11整除的数的特征是：如果这个数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除．奇数位是指从个位起的第1、3、5…位，其余数位是偶数位．例如要判断64251能否被11整除，由于64251=6×104＋4×103+2×102+5×10+1=6×（9999+1）+4×（1000+1-1）+2×（99+1）+5×（10+1-1）+1=6×（11×909+1）+4×（11×91-1）+2×（11×9+1）+5×（11-1）+1=[11×（6×909+4×91+2×9+5）]+[（6+2+1）-（4＋5）]上式第一个中括号内的数能被11整除，要判断64251能否被11整除，只要（6＋2＋1）-（4＋5）=0能被11整除，因为11|0，所以11|64251，而（6＋2+1）-（4+5）恰好是64251的奇数位上的三个数减去偶数位上的两个数字．6．能被7、11、13整除的数的特征是：如果这个数的末三位数所组成的数与末三位以前的数所组成的数的差（大减小）能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除．例如要判断1096823能否被7、11、13整除，由于7×11×13=1001，所以7|1001，11|1001，13|10011096823=1096×1000+823=1096×（1001-1）+823=1096×1001-（1096-823）因为1096×1001能被7、11、13整除，要判断1096823能否被7、11、13整除，只要判断1096-823=273能否被7、11、13整除，由于7|273，13|273，11不能整除273，所以7|1096823，13|1096823，11不能整除1096823，而1096-823恰好是1096823的末三位以前的数所组成的四位数减去1096823的末三位数所组成的数．下面举例说明整除的性质及数的整除特征的应用．例1在□内填上适当的数字，使（1）34□□能同时被2、3、4、5、9整除；（2）7□36□能被24整除；（3）□1996□□能同时被8、9、25整除．分析：（1）题目要求34□□能同时被2、3、4、5、9整除，因为能被4整除的数一定能被2整除，能被9整除的数一定能被3整除，所以34□□只要能被4、9、5整除，就一定能被2、3、4、5、9整除．先考虑能被5整除的条件．个位是0或5，再考虑能被4整除的条件，由于4不能整除34□5，所以个位必须是0，最后考虑能被9整除的条件，34□0的各个数位上的数字和是9的倍数，3+4+□+0=7+□，这时十位数字只能是2，问题得以解决．（2）题目要求7□36□能被24整除，24=3×8，而3与8互质，根据整除的性质，考虑被24整除，只要分别考虑被3、8整除就行了．先考虑被8整除的条件，7□36□的末三位数所组成的数36□能被8整除，所以个位数字只能是0或8，当个位数字为0时，由于要求7□360能被3整除，所以7+□+3+6+0=16+□能被3整除，这样千位数字只能是2或5或8；当个位数字为8时，由于要求7□368能被3整除，所以7+□+3+6+8=24+□能被3整除，这样千位数字只能是0或3或6或9．（3）题目要求□1996□□能同时被8、9、25整除，首先考虑能被25整除的条件，□1996□□的末两位数能被25整除，末两位数只能是00，25，50，75．其次考虑能被8整除的条件，□1996□□的末三位数字组成的数能被8整除，但600，625，650，675这四个数中，只有600这个数能被8整除．最后□199600这个数能被9整除，其各个数位上的数字和□+1+9+9+9+6+0=25+□能被9整除，所以第七位数字是2．解：（1）因为34□□能同时被2、3、4、5、9整除，因此只要34□□能同时被4、5、9整除．由于34□□能被5整除，所以个位数字只能是0或5，又因为4不能整除34□5，所以个位必须是0，又34□0能被9整除，3+4+□+0=7+□能被9整除，所以十位数字只能是2．3420能同时被2、3、4、5、9整除．（2）因为24=3×8，3与8互质，7□36□被8整除的条件是，7□36□的末三位数所组成的数36□能被8整除，所以个位数字只能是0或8；当个位数字是0时，7□360能被3整除，7+□+3+6+0=16+□能被3整除，所以千位数字只能是2或5或8；当个位数字是8时，7□368能被3整除，7+□+3+6+8=24+□能被3整除，所以千位数字只能是0或3或6或9．所以所求的数为72360，75360，78360，70368，73368，76368，79368．（3）因为□1996□□能被25整除，□1996□□的末两位数能被25整除，这样末两位数只能是00，25，50，75；又因为□1996□□能被8整除，但□1996□□的末三位数600，625，650，675这四个数中，只有600能被8整除；而□199600又能被9整除，□+1+9+9+6+0+0=25+□能被9整除，所在第七位数字只能是2．所以2199600能同时被8、9、25整除．例2把915连续写多少次，所组成的数就能被9整除，并且这个数最小．分析：要求这个数能被9整除，而9+1+5=15显然不能被9整除，但3×15能被9整除，因此只要把915连续写3次，所组成的数就能被9整除，并且这个数最小．解：因为9+1+5=15，15不能被9整除，而3×15能被9整除，所以只要把915连续写3次，即915915915必能被9整除，且这个数最小．例3希希买了九支铅笔，两支圆珠笔，三个练习本和五块橡皮．她看到圆珠笔每支3角9分，橡皮每块6分，其余她没注意．售货员要她付3元8角，希希马上说：“阿姨你算错了．”请问售货员的帐算错了没有？为什么？分析：根据圆珠笔与橡皮的单价，可以算出圆珠笔、橡皮共需39×2+6×5=108（分），而3元8角即380分减去108分等于272分，这272分是买九支铅笔、三个练习本的价格，这9与3正好是3的倍数，也就是说九支铅笔与三个练习本的总价钱应是3的倍数（无论它们各自的单价是多少），而272不是3的倍数，显然是售货员把账算错了．解：两支圆珠笔和五块橡皮的总钱数39×2+6×5=108（分）3元8角即380分，380-108=272（分）应是九支铅笔与三个练习本付的总价钱，因为九支铅笔与三个练习本的总价钱必是3的倍数，而272不是3的倍数，所以售货员把账给算错了．。

能被1-23整除的数的特征（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）能被2整除的数，整数的末位是0、2、4、6或8。

（3）整数能被3整除的数，整数的数字和能被3整除。

(4) 能被4整除的数，整数的末尾两位数能被4整除。

（5）能被5整除的数，整数的末位是0或5。

（6）能被6整除的数，整数能被2和3整除同时整除，即整数的数字和能被3整除，且为偶数。

（7）能被7整除的数，一个数的其末三位数与末三位前的数字所组成的差(以大减小)能被7整除。

此法也适用于能被11、13整除的数。

（8）能被8整除的数，整数的未尾三位数能被8整除。

因为1000能被8整除。

（9）能被9整除的数，整数的数字和能被9整除。

同能被3整除的数的特征相似。

（10）能被10整除的数，整数的末位是0。

（11）能被11整除的数，整数的奇位数字之和与偶位数字之和(注意：是从右往左数)的差能被11整除。

（12）能被12整除的数，整数能被3和4整除。

（13）能被13整除的数，一个数的其末三位数与末三位前的数字所组成的差(以大减小)能被7整除。

此法也适用于能被11整除的数。

（14）能被14整除的数，能同时被7和2整除。

（15）能被15整除的数，能同时被5和3整除。

（16）能被16整除的数，能同时被8和2整除。

（17）能被17整除的数，把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

另一种方法，一个数去掉末二位后得到的数的两倍与末位数之差能被17整除，则这个数就能被17整除。

（18）能被18整除的整数，整数能同时被9和2整除。

(19) 能被19整除的数，整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，这样，一次次下去，直到能清楚判断为止，如果是19的倍数（包括0），则这个数能被19整除。

常见数的整除特征1.偶数的特征：偶数是可以被2整除的数。

任何一个偶数都可以表示为2n（n为整数），所以偶数除以2的余数必为0。

2.能被5整除的特征：一个数能被5整除的条件是它的个位数字为0或5、例如，10、25、45等。

3.能被10整除的特征：一个数能被10整除的条件是它的个位数字为0。

例如，30、80、120等。

4.能被2和5同时整除的特征：一个数能同时被2和5整除的条件是它的个位数字为0、2、4、6或8、例如，40、60、100等。

5.能被3整除的特征：一个数能被3整除的条件是它的各位数字之和能被3整除。

例如，36（3+6=9，9能被3整除），258（2+5+8=15，15能被3整除）等。

6.能被9整除的特征：一个数能被9整除的条件是它的各位数字之和能被9整除。

例如，99（9+9=18，18能被9整除），891（8+9+1=18，18能被9整除）等。

7.能被4整除的特征：一个数能被4整除的条件是它的末尾两位数能被4整除。

例如，116（16能被4整除），528（28能被4整除）等。

8.能被8整除的特征：一个数能被8整除的条件是它的末尾三位数能被8整除。

例如，216（216能被8整除），1152（152能被8整除）等。

9.能被6整除的特征：一个数能被6整除的条件是它能同时被2和3整除。

根据特征1和特征5，一个数能被6整除的条件是它是一个偶数且各位数字之和能被3整除。

10.质数的特征：质数是只能被1和自身整除的数。

特征1中提到的偶数和特征2中提到的能被5整除的数不是质数。

11.完全平方数的特征：完全平方数是能被一个自然数的平方整除的数。

例如，1、4、9、16等。

一个数是否是完全平方数可以通过求平方根并判断是否是整数来确定。

总结起来，常见数的整除特征包括偶数、能被2和5同时整除的数、能被3和9整除的数、特定位数（个位、末尾两位、末尾三位）能被4和8整除的数、能被6整除的数、质数和完全平方数。

通过了解这些特征，我们可以更快地判断一个数是否能被其他数整除。

能被2整除的数的特征
能被2整除的数是整数中最简单的一类数，这类数的特征十分明显，以下是它们的几个特点：
1. 归为偶数
所有能被2整除的数都被归为偶数。

偶数是指可以被2整除的整数，也就是满足2n(n为自然数)的所有整数。

2. 最低位为0
由于2是一个偶数，它的最低位一定是0。

因此，我们可以通过观察一个数的最低位是否为0来判断它是否能被2整除。

3. 可以用整数相除来判断
当一个整数能够被2整除时，这意味着它可以被2整除而没有余数。

也就是说，这个整数可以被另一个整数2整除，结果是一个整数。

因此，我们可以通过用一个数除以2并观察其余数是否为0来判断它是否能被2整除。

4. 与其他偶数性质相同
所有偶数的性质都与能被2整除的数的性质相同。

例如，它们都可以
被分解为两个因子的乘积，其中一个因子是2，另一个因子是一个整数。

总结一下，能被2整除的数的特征包括：归为偶数、最低位为0、可
以用整数相除来判断，以及与其他偶数性质相同。

这些特征都十分明显，容易理解和操作，使能被2整除的数成为整数中最简单的一类数。

能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征 性质1：如果数a 、b 都能被c 整除，那么它们的和（整除，那么它们的和（a+b a+b a+b）或差）或差）或差(a (a (a－－b)b)也能被也能被c 整除。

整除。

性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。

的积也能被这个数整除。

能被2整除的数，个位上的数是0、2、4、6、8、的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除整除能被3整除的数，各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数，个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．整除．例如：例如：467546754675＝46×100＋＝46×100＋＝46×100＋75 75由于100能被25整除，整除，100100的倍数也一定能被25整除，整除，46004600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．整除．又如：又如： 832 832＝8×100＋＝8×100＋＝8×100＋32 32 由于100能被4整除，整除，100100的倍数也一定能被4整除，整除，800800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除． 能被5整除的数，个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除整除能被6整除的数，个数位上的数字和能被3整除的偶数，整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除整除能被7整除的数， 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

奥数第二讲 数的整除如果整数a除以不为零数b，所得的商为整数而余数为0，我们就说a能被b整除，或叫b能整除a。

如果a能被b整除，那么，b叫做a的因数，a叫做b的倍数。

数的整除的特征：（1） 能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0，那么这个整数一定能被2整除。

（2） 能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3（或9）整除，那么这个整数一定能被3（或9）整除。

（3） 能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就一定能被4（或25）整除。

（4） 能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么这个整数一定能被5整除。

（5） 能被6整除的数的特征：如果一个整数能被2整除，又能被3整除，那么这个数就一定能被6整除。

（6） 能被7（或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是0或是7（或11或13）的倍数，这个数就能被7（或11或13）整除。

（7） 能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就一定能被8（或125）整除。

（8） 能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。

1、 例题与方法指导例1、下列各数哪些能被7整除？哪些能被13整除？（数的整除特征） 88205， 167128， 250894， 396500， 675696， 796842， 805532， 75778885。

例2、一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.思路导航：一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8的倍数,它的末三位数肯定也是8的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是0或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是0或11的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能23 0 56 0 或23 8 56 8又 23056088=262023856888=2711所以,本题的答案是2620或2711.例3、123456789□□,这个十一位数能被36整除,那么这个数的个位上的数最小是_____.思路导航：因为36=94,所以这个十一位数既能被9整除,又能被4整除.因为1+2+…+9=45，由能被9整除的数的特征，（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的数的特征:这个数的末尾两位数是4的倍数,可知□□是00,04,…，36，…，72，…96.这样,这个十一位数个位上有0,2,6三种可能性.所以,这个数的个位上的数最小是0.例4、下面一个1983位数33…3□44…4中间漏写了一个数字(方框),已991个 991个知这个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是_____.思路导航：33...3□44 (4)991个 991个=33...310993+3□410990+44 (4)990个 990个因为111111能被7整除，所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要 990个 990个3□4能被7整除，原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.例5、有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是11的倍数.这三个数是_____.思路导航：三个连续的两位数其和必是3的倍数,已知其和是11的倍数,而3与11互质,所以和是33的倍数,能被33整除的两位数只有3个,它们是33、66、99.所以有当和为33时,三个数是10,11,12；当和为66时,三个数是21,22,23；当和为99时,三个数是32,33,34.所以，答案为 10,11,12或21,22,23或32,33,34。

①能被2整除数特征：个位数字是0、2、4、6、8整数.“特征”包含两方面意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除数特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除数特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除数特征：末两位数能被4（或25）整除。

例如：1864=1800＋64，因为100是4及25倍数，所以1800是4及25倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为64不是25倍数，所以1864不能被25整除.⑤能被8（或125）整除数特征：末三位数能被8（或125）整除。

例如：29375＝29000＋375，因为1000是8及125倍数，所以29000是8及125倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.⑥能被11整除数特征：这个整数奇数位上数字之和及偶数位上数字之和差（大减小）是11倍数。

例如：判断123456789这九位数能否被11整除？解：这个数奇数位上数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为5不是11倍数，所以11不是123456789因数。

再例如：判断13574是否是11倍数？解：这个数奇数位上数字之和及偶数位上数字和差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因为0是任何整数倍数，所以11｜0.因此13574是11倍数。

⑦能被7（11或13）整除数特征：一个整数末三位数及末三位以前数字所组成数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

例如：判断1059282是否是7倍数？解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7倍数。

再例如：判断3546725能否被13整除？解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.1 / 1。