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第4课时：分式【课前预习】（一）知识梳理1、分式的有关概念：①定义；②分式有意义的条件；③分式的值为0的条件．2、分式的基本性质：①约分；②最简分式；③通分；④最简公分母．3、分式的运算：①分式的乘除；②分式的加减；③分式的混合运算．（二）课前练习1. 下列有理式: x 1，()12x y +，y x y x --22，π2,3-x x ，1394y x +,212-+x x 中,分式是____ _______________.2、当x 时，分式x x -2有意义，当x 为 时，分式3212-++x x x 的值为零. 3、不改变分式的值，把分式b a b a 212.031+-的分子和分母各项系数化为整数，结果是__ ______.4、约分:222axy y ax =_ ____ ，32)()(x y y x --=___ __, 11222-+-x x x =____ ___. 5、分式245a b c ，2310c a b 与252b ac -的最简公分母为_________；分式11,122-+x x x 的最简公分母为_________. 6、计算① xx x x x x x +-⋅-+÷+--111112122= ； ② 1111--+x x = .【解题指导】例1 计算： (1)112---x x x (2) x x x x x x 11132-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-- (3) )212(112a a a a a a +-+÷--例2 化简求值：①（x 2＋4x －4）÷ x 2－4 x 2＋2x ，其中x ＝－1， ②222(1)(1)(1)121x x x x x x x --÷+---+，其中210x x +-=．③先化简211()1122x x x x -÷-+-，1-中选取一个你认为合适．．的数作为x 的值代入求值．例3、已知22)2(2)2(3-+-=-+x B x A x x ,则A= ,B= .【巩固练习】 1.要使分式212x x x -+-的值为零，则x 的取值为 （ ） A.x =1 B. x =－1 C. x ≠1且x ≠－2 D.无任何实数2.将分式y x xy -中的y x ,都扩大2倍,分式的值 ( ) A.扩大4倍 B.扩大2倍 C.不变 D.缩小23、计算：（1）)3()42()(-62322b a b a ab -÷-⋅ （2）222+-+y y y （3）)11(122b a b a b a -++÷-4、 先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛+---÷--11211222x x x x x x ，其中21=x【课后作业】 班级 姓名一、必做题： 1.要使分式11x +有意义，则x 应满足的条件是（ ）A ．1x ≠B ．1x ≠-C ．0x ≠D ．1x >2.若分式33x x -+的值为零，则x 的值是（ ） A ．3 B ．3- C ．3± D ．03.化简222a b a ab -+的结果为（ ）A ．b a -B ．a ba - C ．a ba + D ．b -4.化简22422b a a b b a +--的结果是（ ）A ．2a b --B ．2b a -C ．2a b -D ．2b a +5.计算22()ab a b -的结果是（ ）A ．aB ．bC ．1D ．－b6.分式111(1)a a a +++的计算结果是（ ）A ．11a +B ．1a a +C ．1aD ．1a a +7.学完分式运算后，老师出了一道题“化简：23224x xx x +-++-” 小明的做法是：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----；小亮的做法是：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-； 小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222x xx x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++．其中正确的是（ ）A ．小明B ．小亮C ．小芳D ．没有正确的8、当x 时，分式12x -无意义；若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于 ．9、化简： 22a aa += ；=---b a bb a a _____________.10、计算：①(12-a )÷(1a 1-) ②2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭11、先化简aa a a a -+-÷--2244)111( ，再选取一个适当的a 的值代入求值.二．选做题：1、 a 、b 为实数，且ab =1，设P =11a b a b +++，Q =1111a b +++，则P Q （填“＞”、“＜”或“＝”）． 2、某单位全体员工在植树节义务植树240棵，原计划每小时植树a 棵，实际每小时植树的棵数是原计划的1.2倍，那么实际比原计划提前了 小时完成任务(用含a 的代数式表示)．3、设0a b >>，2260a b ab +-=，则a b b a+-的值等于 ． 4、（1）若3a b +=0，求22222124b a ab b a b a b ++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭； （2已知x 2－3x －1＝0，求x 2＋1x 2的值．5、观察下列格式：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，… （1）计算111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯__________； （2）探究()11111223341n n ++++=⨯⨯⨯+…__________；（用含有n 的式子表示） （3）若()()111117133557212135n n ++++=⨯⨯⨯-+…，求n 的值.。
第4课时 分式【学习目标】了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算．【课前热身】1．（2013．河池）若分式21x -有意义，则x 的取值范围是_______． 2．（2013．白银）若代数式21x -－1的值为零，则x ＝_______． 3．(2013．淄博)下列运算错误的是 A ．()()221a b b a -=- B ．1a b a b --=-+ C ．0.55100.20.323a b a b a b a b ++=-- D ．a b b a a b b a--=++ 4．如果把分式5x x y+中的x 与y 都扩大10倍，那么这个代数式的值 ( ) A ．不变 B ．扩大50倍 C ．扩大10倍 D ．缩小为原来的1105．（2013．枣庄）化简211x x x x+--的结果是 ( ) A ．x ＋1 B ．x －1 C ．－x D ．x6．(2013．贵阳)先化简，再求值：22312121x x x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭．其中x ＝1． 【课堂互动】知识点1 分式的意义例1 （2013．柳州）若分式32x x +-有意义，则x ≠_______． 例2 已知分式235x x x a--+，若当x ＝2时，分式无意义，则a ＝_______．当a<6时，使分式无意义的x 的值共有_______个．例3 （2013．淄博）如果分式2122x x -+的值为0，则x 的值是 ( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1跟踪训练1．（2013．南京）使式子1＋11x -有意义的x 的取值范围是_______． 2．若分式293a a -+＝0，则a ＝_______．3．（2013有意义，那么x 的取值范围是 ( ) A ．x ≥0 B ．x ≠1 C ．x>0 D ．x ≥0且x ≠1知识点2 分式的化简例1 (2013．衢州)化简：224442x x x x x ++-=--_______． 例2 (2013．临沂)化简2121211a a a a +⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭的结果是 ( ) A ．11a - B ．11a + C ．211a - D ．211a + 跟踪训练 1．(2013．上海)计算：23b a a b•=_______． 2．(2013．新疆)化简：2212124x x x x x --+÷=--_______． 3．(2013．南京)计算231a a ⎛⎫• ⎪⎝⎭的结果是 ( ) A ．a B ．a 5C ．a 6D ．a 9知识点3 分式的运算 例1 (2013．岳阳)先化简，再求值；2121a a a --+-，其中a ＝3． 例2 (2013．枣庄)先化简，再求值：2352362m m m m m -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭，其中m 是方程x 2＋3x －1＝0的根．跟踪训练1．(2013．天津)若x ＝－1，y ＝2，则2221648x x y x y---的值等于 ( ) A ．117- B ．117 C ．116 D ．1152．(2013．宿迁)先化简，再求值：22144111x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，其中x ＝3． 知识点4 阅读理解题例 描述证明．海宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：(1)请你用数学表达式补充完整海宝发现的这个有趣的现象；(2)请你证明海宝所发现的现象．跟踪训练学完分式运算后，老师出了一道题：化简23224x x x x +-+--． 小明的做法是：原式＝()()2222223226284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==---- 小亮的做法是：原式＝()()()22322624x x x x x x x =+-+-=+-+-=- 小芳的做法是：原式＝()()3231311222222x x x x x x x x x x +-++-=-=-==-+--++ 其中正确的是 ( )A ．小明B ．小亮C ．小芳D ．没有正确的知识点5 开放性问题 例 (2013．乌鲁木齐)先化简：2344111x x x x x -+⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，然后从－1≤x ≤2中选一个合适的整数作为x 的值代入求值．跟踪训练(2013．西宁)先化简：22142x x x ---，然后在不等式5－2x>－1的非负整数解中选一个使愿式有意义的数代入求值．知识点6 说理解答题例 已知222693393x x x y x x x x+++=÷-+--，试证明不论x 为任何有意义的值，y 的值均不变．跟踪训练先化简：231312349223x x x x ⎛⎫÷•+ ⎪+--⎝⎭，若结果等于23，求出相应x 的值．参考答案 课前热身1．x ≠1 2.3 3．D 4.A 5．D6．原式＝21x x +，原式＝2课堂互动知识点1例1 2 例2 6 2 例3 A跟踪训练1．x ≠1 2．3 3．D知识点2例1 22x - 例2 A跟踪训练1. 3b 2．21x x +- 3．A知识点3例1 原式＝2a －1，原式＝5例2 13跟踪训练1．D 2．原式＝12x x +-，原式＝4知识点4例 (1)abb a +＋2＝ab a ＋b ＝ab (2)略 跟踪训练C知识点5例 原式＝－22x x +- 原式＝3跟踪训练 原式＝12x + 原式＝12知识点6例 原式＝3，根据化简结果与x 无关可知，不论x 为任何有意义的值，y 的值均不变 跟踪训练原式＝23x x。
第一章 数与式第4课时 分式1.了解分式和最简分式的概念，2.会利用分式的最基本性质进行约分和通分，3.会进行简单的分式加、减、乘、除运算...一、预习考点阅读中考帮13页，了解分式的概念、基本性质方法和分式的运算法则。
将预学中的疑问用笔标出。
（3-5分钟）二、考点分析考点1：分式的概念1定义：能识别给定的代数式是整式还是分式典例：下列哪些是整式，哪些是分式？2.分式有无意义和值为零的条件典例：若分式x 2－1x ＋1的值有意义，则 ，那么x 的取值范围若分式x 2－1x ＋1的值无意义，则 ，那么x 的取值范围若分式x 2－1x ＋1的值为零，则 且 ，那么x 的值 考点2：能利用分式的基本性质进行约分和通分1.通过类比分数的基本性质引导学生掌握分式的基本性质（中考帮P13）2.最简分式、最简公分母、约分、通分的含义（中考帮P13）典例：1.中考帮典例32.化简y x xy m x x b 221)4(33(41)2(,2)1(+-+-，π），考点3：分式的运算1.分式的乘除法则典例：（1）226283a y y a ⋅（2） x y xy 2262÷ （3）22122a a a a+⋅-+（4）41441222--÷+--a a a a a 2.分式的加减法法则典例：同分母分式相加减（1）y x y y x x -+-；（2）a a a a ----12112；（3）mn n n m n m n n m ---+-+22 典例：异分母分式相加减 x xy x xy y -++1)1(； 11)2(2+-+x x x ； 31913)3(2+---+-a a a a a 备选题目：112)1(--x ； 1312(22--+-a a a a ）； 222)3(n m m n m n n m m -++++ 3.分式的乘方法则4.分式的混合运算典例：见中考帮典例4、变式3、典例5备选题目：（1）341213-31222+-+-•---x x x x x x x （2） xx x x x -÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2422 ，其中x =–1． 三、随堂巩固：随堂帮第4页四、学习体会本节课你有哪些收获？ 预习时的疑难解决了吗？你还有哪些疑惑？五、布置作业作业帮第4页A 、B 层：第1-13题C 、D 层：第1-9题E 层：第1-8题 ，，121)2(205)1(222+--x x x y x xy。
2023-2024学年苏科版数学中考复习专题讲义（专题7-分式方程及其应用）知识梳理【考点一】分式方程的概念1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是去分母把分式方程转化为整式方程．（2）解分式方程的一般步骤：（3）增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为“0”的根，称为方程的增根. 因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为“0”的根是增根应舍去．（4）产生增根的原因：将分式方程化为整式方程时，在方程两边同乘以使最简公分母为“0”的因式．（5）分式方程的无解与增根：分式方程有增根与无解并非用一个概念，无解既包含产生增根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解．【考点二】分式方程的应用列分式方程解应用题的一般步骤，与列整式方程解应用题的步骤一样，都是按照审、设、列、解、验、答六步进行．（1）在利用分式方程解实际问题时，必须进行“双检验”，既要检验去分母化成整式方程的解是否为分式方程的解，又要检验分式方程的解是否符合实际意义.（2）分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水航行这一类型.中考真题1.（2023上海中考真题）在分式方程2221521x x x x -+=-中，设221x y x -=，可得到关于y 的整式方程为（ ）A ．2550y y ++=B ．2550y y -+=C ．2510y y ++=D ．2510y y -+=2.（2023•淄博）已知x ＝1是方程的解，那么实数m 的值为（ ） A ．﹣2B ．2C ．﹣4D ．43．（2023黑龙江中考真题）已知关于x 的分式方程122m x x x+=--的解是非负数，则m 的取值范围是（ ） A ．2m ≤B ．2m ≥C ．2m ≤且2m ≠-D ．2m <且2m ≠-4.（2023湖南中考真题）某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x 千米/时，则可列方程为（ ） A ．505011.26x x =+ B ．505010 1.2x x+= C ．5050101.2x x=+ D ．501506 1.2x x+= 5.（2023云南中考真题）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x 米/分，则下列方程正确的是（ ） A ．1.24800400x x -= B ．1.24800400x x-= C ．40080041.2x x-= D ．80040041.2x x-= 6.（2023江苏扬州中考真题）甲、乙两名学生到离校2.4km 的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发30min 后乙同学出发，两名同学同时到达，则乙同学骑自行车的速度为 ．7.（1）（2023连云港市中考真题）解方程：2533322x x x x --=---． (2)（2023江苏泰州中考真题）解方程：322112x x x =---．8.（2023江苏徐州中考真题）随着2022年底城东快速路的全线通车，徐州主城区与东区之间的交通得以有效改善，如图某人乘车从徐州东站至戏马台景区，可沿甲路线或乙路线前往．已知甲、乙两条路线的长度均为12km，甲路线的平均速度为乙路线的32倍，甲路线的行驶时间比乙路线少10min，求甲路线的行驶时间．9.（2023江苏盐城中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．（1）若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价．（2）若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买m本硬面笔记本（m为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价．10.（2023年南通市中考真题）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：信息—工程队每天施工面积（单位：2m）每天施工费用（单位：元）x 3600甲300乙x 2200信息二甲工程队施工21800m所需天数与乙工程队施工21200m所需天数相等．（1）求x的值；（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于215000m．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用?中考模拟一、选择题（共5题）1.（2023•鄞州区一模）要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1 B．x≠1 C．x≠±1 D．x≠02.（2024•辽宁模拟）解分式方程时，将方程两边都乘同一个整式．得到一个一元一次方程，这个整式是（）A．x B．x﹣1 C．x（x+1）D．x（x﹣1）3．（2023•唐山一模）若÷运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（）A．y﹣x B．y+x C．2x D．4.（2023•靖宇县一模）某生产车间生产m个机械零件需要a小时完成，那么该车间生产200个同样的零件需要的时间（）A．小时B．小时C．小时D．小时5.（2023•安徽模拟）已知实数x，y，z满足++＝，且＝11，则x+y+z的值为（）A．12 B．14 C．D．9二、填空题（共5题）6.（2023•长岭县模拟）计算结果是．7.（2023•梁山县模拟）“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为．8.（2023•巴中）关于x的分式方程+＝3有增根，则m＝．9.（2023•宁波模拟）对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若x*y＝2，则的值为．10.（2023•九龙坡区校级模拟）若关于x的不等式组有且仅有四个整数解，关于y的分式方程+＝1有整数解，则符合条件的所有整数a的和是．三、解答题（共5题）11.(1)（2023•连云港）解方程＝﹣3．(2)（2023•海拉尔区模拟）解分式方程：．12.（2023•长春）随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个摆件？13.(2023•新化县模拟）某工厂对零件进行检测，引进了检测机器．已知一台检测机的工作效率相当于一名检测员的20倍．若用这台检测机检测900个零件要比15名检测员检测这些零件少3小时．（1）求一台零件检测机每小时检测零件多少个？（2）现有一项零件检测任务，要求不超过7小时检测完成3450个零件．该厂调配了2台检测机和30名检测员，工作3小时后又调配了一些检测机进行支援，则该厂至少再调配几台检测机才能完成任务？14.（2023•宁夏）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍．（1）求两种型号玩具的单价各是多少元？根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：甲：＝+30，解得x＝5，经检验x＝5是原方程的解．乙：＝1.6×，解得x＝65，经检验x＝65是原方程的解．则甲所列方程中的x表示，乙所列方程中的x表示（2）该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个，则最多可购进A型玩具多少个？15.（2023•通辽）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．。
