成都理工大学概率论与数理统计_陈聆_模拟试卷

概率论与数理统计综合练习（文科各专业本、专科）一、选择题1.设()0P A >，()0P B >，则下列公式正确的是（ ） A.()()()1P A B P A P B -=-⎡⎤⎣⎦ B.()()()P AB P A P B =⋅ C.()()()P AB P B P A B =D.()()P A B P B A =2.对于任意两个事件,A B ，则()() P A B -= A.()()P A P B - B.()()P A P AB - C.()()P A P B ⋅D.()()()P A P B P AB -+3.事件,A B 是两个相互独立的随机事件，且()P A p =，()P B q =，()01,01p q <<<<，则()P A B ⋃() = A.p q +B.()()11p q --C.p q pq +-D.()1p q -4.设,A B 是两个互不相容的随机事件,()0P A >，()0P B >，则() A.()()1P A P B =- B.()()()=P AB P A P BC.()=1P A B ⋃D. ()=1P AB5.设()=0P AB ，则（ ） A.A 和B 没有关系B.A 和B 独立C.()0P A =或()=0P BD.()()P A B P A -=6.设A 和B 是对立事件，则（ ） A.A 和B 没有关系B.A 和B 独立C.()0P A =或()=0P BD.()()P A B P A -=7.设A 和B 为两个相互独立的随机事件，()=0.5P A ，()=0.6P B ，则()=P A B ⋃（ ） A.0.6B.0.7C.0.8D.0.98.口袋中有4个白球，2个黑球，从中随机地取出3个球，则取得2个白球、1个黑球的概率是() A.0.3B.0.4C.0.5D.0.69.若函数()y f x =是一随机变量X 的概率密度，则一定成立的是（ ）A.()f x 的定义域为[]0,1B.()f x 的值域为[]0,1 C.()f x 在(),-∞+∞内连续 D.()f x 为非负10.设随机变量ξ服从()2,N μσ（其中2,μσ已知，且0σ>），如果{}12P k ξ<=，则k =（ ） A.0B.μC.μσD.2μσ11.若()1F x ，()2F x 为分布函数，下列说法正确的是（ ） A.()()()12F x F x F x =+是分布函数 B.()()121F F -∞=-∞= C.()()121F F +∞=+∞=D.()()1122a F x a F x +不是分布函数12.若连续型随机变量ξ的分布函数()20, 0, 061, 6x F x Ax x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩，则必有() A =A.6B.1/6C.1/18D.1/3613.设离散型随机变量X 的分布律表如下，则常数c =（ ）题13表A.12B.4C.13D.1614.设随机变量X 的分布律为{}15k P X k ==，1,2,3,4,5k =，则15=22P X ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭()A.15B.25C.35D.4515.设随机变量X 的分布律为{},1,2,3,4,5P X k a k ===，则3{3}2P X <≤=( ) A.15B.25C.35D.4516.设离散型随机变量X 的分布函数()2, 2351, 3F x x x⎪⎪=-≤<⎨⎪≤⎪⎩，则X 的分布律为()17.设随机变量X 的分布律为{}15k P X k ==，1,2,3,4,5k =，则15=22P X ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭()A.45B.25C.35D.1518.设连续型随机变量X 的概率密度为()1, 00, 0x e x F x x -⎧->=⎨≤⎩，则{}()0.1 P X ≤=A.0.11e -+B.0.11e -C.0.11e --D.0.11e +19.设二维随机变量(),X Y 的联合概率密度函数是(),x y ϕ，则关于X 的边缘分布函数()=X F x （ ）A.(),xx y dx ϕ-∞⎰B.(){},x x y dy dx ϕ+∞-∞-∞⎰⎰C.(),x ϕ+∞D.(),xx y dy ϕ-∞⎰20.设(,)X Y 的联合分布律表如下，则()()1 P XY ==A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4 21.设离散型随机变量X 的分布律如下，则()=E X （ ）A.-0.2B.0.1C.0.2D.-0.122.已知随机变量X 的分布函数为(), 0441, 4x F x x x ⎪⎪=<≤⎨⎪>⎪⎩，则()=E X （ ）A.2B.4C.1D.323.设随机变量ξ服从区间()1,3上的均匀分布，则()=E ξ（ ） A.0B.1C.2D.324.设(){}20, 0, 011, 1x F x P x X x x x <⎧⎪=≤=≤≤⎨⎪>⎩，则()() E X =A.13x dx ⎰B.122x dx ⎰C.12x dx ⎰D.202x dx -∞⎰25.下面的数学期望与方差都存在，当随机变量,ξη相互独立时，下列中错误的是（ ）A.()()()E E E ξηξη=B.()()()D D D ξηξη±=+C.()()()D D D ξηξη=D.()cov ,0ξη=26.下列关于协方差的性质，错误的是（ ） A.cov(,)()X X D X =B. cov(,)cov(,)aX aY a Y X =(其中a 为常数)C. cov(,)cov(,)X Y Y X =D. cov(,)0C X =(其中C 为任意常数)27.设随机变量X 服从区间()1,3-的均匀分布，则()E x =（ ） A.12B.34C. 1D.4328.设随机变量X 服从区间()1,3-的均匀分布，则()() D x = A.12B.34C. 1D.4329.设随机变量X ()10,0.4B ，则()() D x =A.1B. 1.2C. 2.4D. 430.下面的数学期望与方差都存在，当随机变量,ξη相互独立时，下列中错误的是()A.()()()E E E ξηξη=B.()()()D D D ξηξη±=+C.()()()D D D ξηξη=D.()cov ,0ξη=二．填空题1. 设C B A ,,为三个事件，请用C B A ,,的运算关系表示下列事件： （1） A ，B ，C 都发生 ； （2）B A ,发生而C 不发生 ； （3）A 发生而B ，C 都不发生 ； （4） A ，B ，C 至少有一个发生 ； （5） A ，B ，C 都不发生 ； （6） A ，B ，C 不都发生 ； （7） A ，B ，C 至多有2个发生 ； （8） A ，B ，C 至少有2个发生 .2．设B A ,为两个事件，且5.0)()(,7.0)(===⋃B P A P B A P ，则=)(B A P ，=)|(B A P 。

数学实验——概率论与数理统计实验报告学院：班级：学号：姓名：成绩：成都理工大学第1章古典概型1．求下列各式的值（1）9！>> factorial(9)1页ans =362880（2）P310>> nchoosek(10,2)*factorial(2)ans =90（3）C310> nchoosek(10,3)ans =1202．碰运气能否通过英语四级考试大学英语四级考试是全面检验大学生英语水平的一种综合考试,具有一定难度。

这种考试包括听力、语法结构、阅读理解、写作等。

除写作占15分外,其余85道为单项选择题,每道题附有A、B、C、D四个选项。

这种考试方法使个别学生产生碰运气和侥幸心理,那么,靠运气能通过英语四级考试吗?第2章随机变量及其分布1．随机变量X服从参数为试验次数20，概率为0.25的二项分布。

（1）生成X的概率分布；（2）产生18个随机数（3行6列）；（3）又已知分布函数F（x）=0.45，求x；（4）画出X的分布律和分布函数图形。

（1）>> binopdf(0:20,20,0.25)ans =Columns 1 through 80.0032 0.0211 0.0669 0.1339 0.1897 0.2023 0.1686 0.1124Columns 9 through 162页0.0609 0.0271 0.0099 0.0030 0.0008 0.0002 0.0000 0.0000Columns 17 through 210.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000（2）>> binornd(20,0.25,3,6)ans =9 8 3 4 6 66 3 4 5 6 25 6 6 4 7 4（3）>> binoinv(0.45,20,0.25)ans =5（4）>> x=0:20;y=binopdf(x,20,0.25)；>> plot(x,y,'.')>> x=0:0.01:20;>> y=binocdf(x,20,0.25);>> plot(x,y)2、随机变量X服从参数为3的泊松分布。

概率论与数理统计期末考试试卷参考解答及评分标准开/闭卷 闭卷A/B 卷A 课程编号2219002801-2219002811课程名称概率论与数理统计学分3命题人(签字) 审题人(签字) 年 月 日第一部分 基本题一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）（每道选择题选对满分，选错0分） 1. 事件表达式A B 的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (C) 事件B 发生但事件A 不发生 (D) 事件A 与事件B 至少有一件发生 答：选D ，根据A B 的定义可知。

2. 假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B ( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1 (D) 是必然事件 答：选A ，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。

3. 已知随机变量X ,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则X 2＋Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F 分布 (D) 自由度为2的F 分布答：选B ，因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为n 的χ2分布。

4. 已知随机变量X ,Y 相互独立，X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( ) (A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)答：选C ，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布，而E (X +Y )=E (X )+E (Y )=2-2=0, D (X +Y )=D (X )+D (Y )=4+1=5, 所以有X +Y ~N (0,5)。

5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ，E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计(C) 22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计答：选B ，因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。

山东工商学院2020学年第一学期概率论与数理统计课程试题 A卷（考试时间：120分钟，满分100分）特别提醒：1、所有答案均须填写在答题纸上，写在试题纸上无效。

2、每份答卷上均须准确填写函授站、专业、年级、学号、姓名、课程名称。

一单选题 (共25题，总分值50分 )1. （）。

（2 分）A. 9B. 15C. 21D. 272. 若A与自身独立，则（）（2 分）A.B.C.D.3. 若随机变量（2 分）A.B.C.D.4. 设随机变量X的密度函数为，且是X的分布函数，则对任意实数a成立的是（）（2 分）A.B.C.D.5. （）（2 分）A.B.C.D.6. 设则有（）（2 分）A. A和B互不相容B. A和B相互独立；C.D.7. 已知则（）（2 分）A.B.C.D.8. （）。

（2 分）A. 单调增大B. 单调减小C. 保持不变D. 增减不定9. 设是来自总体的一部分样本，则服从（）。

（2 分）A.B.C.D.10. （）（2 分）A.B.C.D.11. 事件A,B,C中任意两个事件相互独立是事件A,B,C相互独立的（）（2 分）A. 充要条件B. 必要条件C. 充分条件D. 既不充分也不必要条件12. 已知为来自总体的样本，记则服从分布为（）（2 分）A.B.C.D.13. （2 分）A. 0.9B. 0.2C. 0.1D. 0.414. （）（2 分）A.B.C.D.15. （2 分）A.B.C.D.16. 下列函数为随机变量分布密度的是( ) （2 分）A.B.C.D.17. 设事件A,B互不相容，且，则有（）（2 分）A.B.C.D.18. 数最可能是（）（2 分）A.B.C.D.19. （2 分）A. 0.21B. 0.3C. 0.81D. 0.720. （2 分）A.B.C.D.21. 的置信区间为，则由（）确定。

（2 分）A.B.C.D.22. 2、下列数列中，是概率分布的是（）（2 分）A.B.C. D.23. 下列各函数中是随机变量分布函数的为（）。

《概率论与数理统计》期末试题一一、 填空题（每小题4分，共40分）1、 设A 与B 为互不相容的两个事件，0)B (P >，则=)|(B A P 0 。

2、 事件A 与B 相互独立，,7.0)(,4.0)(=+=B A P A P 则 =)(B P 0.5 。

3、 设离散型随机变量X 的分布函数为0 1-<x=)(x F a 11<≤-xa 32- 21<≤x b a + 2≥x且21)2(==X P ，则=a61 =b , 65。

4、 某人投篮命中率为54，直到投中为止，所用投球数为4的概率为___6254________。

5、 设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从“0-1”分布，4.0=p ；Y 服从2=λ的泊松分布)2(π，则._______24.2____)(_______,4.2____)(=+=+Y X D Y X E6、 已知,31,9)Y (D ,16)X (D X Y =ρ== 则.___36___)Y 2X (D =-7、 设总体X 服从正态分布),,0(2σN 从总体中抽取样本,,,,4321X X X X 则统计量24232221X X X X ++服从_______)2,2(F ______________分布。

8、 设总体X 服从正态分布),1,(μN 其中μ为未知参数，从总体X 中抽取容量为16的样本，样本均值,5=X 则总体均值μ的%95的置信区间为____（4.51，5.49）____。

（96.1975.0=u ）9、 若),(~),,(~222211σμσμN Y N X ，且X 与Y 相互独立，则Y X Z +=服从______),(222121σσμμ++N ______分布。

二、 计算题（每小题10分，共60分）1、 (10分)已知8只晶体管中有2只次品，从其中取两次，每次任取一只，做不放回抽样。

求下列事件的概率：（1）一只是正品，一只是次品；（2）第二次才取得次品；（3）第二次取出的是次品。

《概率论与数理统计》试题（1）一、判断题（本题共15分，每小题3分。

正确打“√”，错误打“×”）⑴对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( )⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2nS=n121)(X Xni i-∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ）二、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。

三、（15分）把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分）已知离散型随机变量X 的分布列为 210131111115651530X P-- 求2Y X =的分布列.五、（10分）设随机变量X 具有密度函数||1()2x f x e-=，∞＜ x ＜∞，求X 的数学期望和方差.六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.《概率论与数理统计》试题（1）评分标准一⑴×；⑵×；⑶√；⑷√；⑸×。

二解（1）ABC（2）AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC ；（3）A B C 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ；（4）ABC ABC ABC ；（5）AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC 每小题4分；三解 设A =‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为,,x y a x y --，则0,0,0x a y a x y a <<<<<+<，不等式构成平面域S .------------------------------------5分,22a a y x y a <<<+<----------------------------------------10分 所以-----------------------------------------15分四解Y 的分布列为 014917111530530Y P.Y 的取值正确得2分，分布列对一组得2分； 五解||102x EX x e dx +∞--∞=⋅=⎰，（因为被积函数为奇函数）--------------------------4分 22||2012x xD X EX x e dx x e dx +∞+∞---∞===⎰⎰202xxx exe dx +∞+∞--=-+⎰2[] 2.xxxe e dx +∞+∞--=-+=⎰----------------------------------------10分六解 X ～b(k;100,0.20), EX=100×0.2=20, DX=100×0.2×0.8=16.----5分30201420(1430)P X --≤≤≈Φ-Φ---------------------------10分(2.5)( 1.5)=Φ-Φ-=0.994+0.933--10.927=.--------------------------------------------------15分七解1111(,,;)(1)(1)ni i i nx nx nn i L x x p p p p p =--=∑=-=-∏----------5分1ln ln ()ln(1),ni i L n p X n p ==+--∑1ln 0,1nii Xnd L n dppp=-=--∑ --------------------------------10分解似然方程11nii n Xn pp=-+=-∑，得p 的极大似然估计1p X=。

<概率论>试题一、填空题1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。

试用 A 、B 、C 分别表示事件1）A 、B 、C 至少有一个发生2）A 、B 、C 中恰有一个发生3）A 、B 、C 不多于一个发生2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。

则P(B)A ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则α=4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===⋅⋅⋅则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =⎩⎨⎧<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为8081，则该射手的命中率为_________10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥=12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<=13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<=14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。

模拟试题〔一〕参考答案一.单项选择题〔每题2分,共16分〕1、设B A ,为两个随机事件,假设0)(=AB P ,那么以下命题中正确的选项是〔 〕(A) A 及B 互不相容 (B) A 及B 独立(C) 0)(0)(==B P A P 或 (D) AB 未必是不可能事件解 假设AB 为零概率事件,其未必为不可能事件.此题应选D. 2、设每次试验失败的概率为p ,那么在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为〔 〕(A) )1(3p - (B) 3)1(p - (C) 31p - (D) 213)1(p p C - 解 所求事件的对立事件为“3次都不成功〞,其概率为3p ,故所求概率为31p -.假设直接从正面去求较为麻烦.此题应选C.3、假设函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度,那么下面说法中一定成立的是〔 〕(A) )(x f 非负 (B) )(x f 的值域为]1,0[ (C) )(x f 单调非降 (D) )(x f 在),(+∞-∞内连续解 由连续型随机变量概率密度的定义可知,)(x f 是定义在),(+∞-∞上的非负函数,且满足⎰∞+∞-=1d )(x x f ]21,31[上的均匀分布的随机变量的概率密度 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,0,2131,6)(x x f在31=x 及21=x 处不连续,且在这两点的函数值大于1.因而此题应选A.4、假设随机变量X 的概率密度为)( e21)(4)3(2+∞<<-∞=+-x x f x π,那么=Y 〔 〕)1,0(~N(A)23+X (B)23+X (C)23-X (D)23-X 解 X 的数学期望3-=EX ,方差2=DX,令23+=X Y,那么其服从标准正态分布.故此题应选A.5、假设随机变量Y X ,不相关,那么以下等式中不成立的是〔 〕 (A) 0),cov(=Y X (B) DY DX Y X D +=+)((C) DY DX DXY ⋅= (D) EY EX EXY ⋅= 解 因为0=ρ,故0),cov(=⋅=DY DX Y X ρ,DY DX Y X DY DX Y X D +=++=+),cov(2)(,但无论如何,都不成立DY DX DXY ⋅=.故此题应选C.6、设样本n X X X ,,,21⋅⋅⋅取自标准正态分布总体X ,又S X ,分别为样本均值及样本标准差,那么〔 〕(A) )1,0(~N X (B) )1,0(~N X n(C) )(~212n X ni i χ∑= (D))1(~-n t SX解 )1,0(~nN X,),0(~n N X n ,)1(~-⋅n t S X n ,只有C 选项成立.此题应选C. 7、样本n X X X ,,,21 )3(≥n 取自总体X ,那么以下估计量中,〔 〕不是总体期望μ的无偏估计量(A) ∑=ni i X 1 (B) X(C) )46(1.01n X X + (D) 321X X X -+解 由无偏估计量的定义计算可知,∑=ni i X 1不是无偏估计量,此题应选A.8、在假设检验中,记0H 为待检假设,那么犯第一类错误指的是〔 〕 (A) 0H 成立,经检验承受0H (B) 0H 成立,经检验拒绝0H (C) 0H 不成立,经检验承受0H (D) 0H 不成立,经检验拒绝0H 解 弃真错误为第一类错误,此题应选B. 二.填空题〔每空2分,共14分〕1、同时掷三个均匀的硬币,出现三个正面的概率是,恰好出现一个正面的概率是.解 81;83.2、设随机变量X 服从一区间上的均匀分布,且31,3==DX EX ,那么X 的概率密度为.解 设],[~b a X ,那么,3112)( ,322=-==+=a b DX b a EX 解得2=a , 4=b , 所以X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.0,42,21)(其他x x f3、设随机变量X 服从参数为2的指数分布, Y 服从参数为4的指数分布,那么=+)32(2Y X E .解 473])([232)32(222=++=+=+EY EX DX EYEX Y X E . 4、设随机变量X 和Y 的数学期望分别为－2和2,方差分别为1和4,而相关系数为－0.5,那么根据切比雪夫不等式,有≤≥+}6||{Y X P .解 根据切比雪夫不等式,12136),cov(26)(}6||{2=++=+≤≥+Y X DY DX Y X D Y X P .5、假设随机变量X 服从分布)(n t ,那么21X服从分布〔并写出其参数〕.解 设)(~n t nZ YX =,其中)1,0(~N Y ,)(~2n Z χ,且)1(~22χY ,从而)1,(~122n F Yn Z X =. 6、设n X X X ,,,21 )1(>n 为来自总体X 的一个样本,对总体方差DX 进展估计时,常用的无偏估计量是.解 ∑=--=ni i X X n S 122)(11.三.(此题６分)设1.0)(=A P ,9.0)|(=A B P ,2.0)|(=A B P ,求)|(B A P . 解 由全概率公式可得27.02.09.09.01.0)|()()|()()(=⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P .31)()|()()()()|(===B P A B P A P B P AB P B A P . 四.(此题8分)两台车.加工出来的零件放在一起.又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的2倍.求:(1) 任取一个零件是合格品的概率, (2) 假设任取一个零件是废品,它为第二台车床加工的概率.解 设21,A A 分别表示第一台,第二台车床加工的零件的事件.B 表示产品是合格品的事件.(1) 由全概率公式可得973.098.03197.032)|()()|()()(2211≈⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P .(2) 247.0973.0102.031)()|()()()()|(2222≈-⋅===B P A B P A P B P B A P B A P .五.(此题14分)袋中有4个球分别标有数字1,2,2,3,从袋中任取一球后,不放回再取一球,分别以Y X ,记第一次,第二次取得球上标有的数字,求:(1) ) ,(Y X 的联合分布； (2) Y X ,的边缘分布；(3) Y X ,是否独立； (4) )(XY E . 解 〔1〕 YX 1 2 3 1 0 611212 61 61 613 121 61〔2〕41)1(==X P ,21)2(==X P ,41)3(==X P .41)1(==Y P ,21)2(==Y P ,41)3(==Y P .〔3〕因为)1()1(1610)1,1(===≠===Y P X P Y X P ,故Y X ,不独立.〔4〕613261226112121316121)(⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=XY E 612312113⋅⋅+⋅⋅+623=.六.(此题12分)设随机变量X 的密度函数为)( e )(||2+∞<<-∞=-x Ax x f x ,试求:(1) A 的值； (2) )21(≤<-X P ； (3) 2X Y =的密度函数.解 (1) 因⎰∞+∞-x x f d )(⎰∞+-===0214d e 2A x x A x ,从而41=A ; (2) ⎰⎰⎰---+==≤<-20201221d e 41d e 41d )(}21{x x x x x x f X P x x12e 45e 251----=;(3) 当0≤y 时,0)(=y F Y ;当0>y 时,)()()()(2y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤=)()(y F y F X X --=,所以,两边关于y 求导可得,.e 4121e 4121e 41)(yyyY y yy yy y f ---⋅=-⋅⋅-⋅⋅=故Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>⋅≤=-.0,e 41,0,0)(y y y y f yY七.(此题6分)某商店负责供给某地区1000人商品,某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6.假定在这段时间,各人购置及否彼此无关,问商店应预备多少件这种商品,才能以%7.99的概率保证不会脱销？〔假定该商品在某一段时间内每人最多买一件〕.解 设⎩⎨⎧=人购买该种商品第人不购买该种商品第i i X i ,1,,0(1000,,2,1 =i )表示购置该种商品的人数,那么)6.0,1000(~B X.又设商品预备n 件该种商品,依题意,由中心极限定理可得)240600240600()()(-≤-=-≤-=≤n X P DXEX n DX EX X P n X P997.0)240600(=-Φ≈n .查正态分布表得75.2240600=-n ,解得6436.642≈=n 件.八.(此题10分)一个罐内装有黑球和白球,黑球数及白球数之比为R .(1) 从罐内任取一球,取得黑球的个数X 为总体,即⎩⎨⎧=白球，，黑球，，01X 求总体X 的分布；(2) 从罐内有放回的抽取一个容量为n 的样本n X X X ,,,21 ,其中有m 个白球,求比数R 的最大似然估计值.解〔1〕 X 1 0 PR R +1 R+11即RR R R R x X P xxx+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+==-1111)(1 )1,0(=x ; 〔2〕nx ni i i R R x X P R L i)1()()(1+∑===∏=, 两边取对数,)1ln()(ln R n x R R L i +-∑=,两边再关于R 求导,并令其为0,得011=+-∑Rnx i , 从而∑∑-=ii xn x Rˆ,又由样本值知,m n xi-=∑,故估计值为1ˆ-=mn R. 九.(此题14分)对两批同类电子元件的电阻进展测试,各抽6件,测得结果如下〔单位:Ω〕:A 批:0.140,0.138,0.143,0.141,0.144,0.137；B 批:0.135,0.140,0.142,0.136,0.138,0.141.元件电阻服从正态分布,设05.0=α,问:(1) 两批电子元件的电阻的方差是否相等 (2) 两批电子元件的平均电阻是否有显著差异 〔2281.2)10(025.0=t ,15.7)5,5(025.0=F 〕解 (1) 2221122210 σσσσ≠=：，：H H .检验统计量为2221S S F =)5 ,5(~F 〔在0H 成立时〕, 由05.0=α,查得临界值15.7)5 ,5(025.02/==F F α,15.712/1=-αF . 由样本值算得962.00000078.00000075.0==F ,由于2/2/1ααF F F <<-,故不能拒绝10H ,即认为两批电子元件的电阻的方差相等.(2) 211210 μμμμ==：，：H H . 统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n s n s n n n YX T )10(~t 〔在0H 成立时〕,查表得临界值228.2)10(025.02/==t t α.再由样本值算得005.2120000078.00000075.0139.01405.0=+-=T ,因为2/||αt T <,故接收0H .即认为两批电子元件的平均电阻无显著差异.模拟试题〔二〕参考答案一.单项选择题〔每题2分,共16分〕C , ,B A 表示3个事件,那么C B A 表示〔 〕.(A) C , ,B A 中有一个发生 (B) C , ,B A 中不多于一个发生 (C) C , ,B A 都不发生 (D) C , ,B A 中恰有两个发生 解 此题应选C.)(,61)|(,31)()(B A P B A P B P A P 则====〔 〕.(A) 187 (B) 1811 (C) 31 (D) 41解 181)|()()(==A B P A P AB P ,187)()()(1)(1)()(=+--=-==AB P B P A P B A P B A P B A P . 故此题应选A.X 及Y 分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ,那么〔 〕(A) 21}0{=≤+Y X P (B) 21}1{=≤+Y X P(C) 21}0{=≤-Y X P (D) 21}1{=≤-Y X P解 )2,1(~N Y X +,)2,1(~--N Y X ,故此题应选B.X 及Y 为两随机变量,且6.0,1,4===XY DY DX ρ,那么=-)23(Y X D 〔 〕(A) 40 (B) 34 (C) 25.6 解 2.1),cov(=⋅=DY DX Y X XY ρ,6.25),cov(1249)23(=-+=-Y X DY DX Y X D . 故此题应选C.X 服从参数为λ的泊松分布,那么2X 的数学期望是〔 〕(A) λ (B)λ1(C) 2λ (D) λλ+2解 222)(λλ+=+=EX DX EX ,此题应选D.n X X X ,,,21 是来自于正态总体),(2σμN 的简单随机样本,X为样本方差,记∑=--=ni i X X n S 122)(111 ∑=-=ni i X X n S 1222)(1∑=--=n i i X n S 1223)(11μ ∑=-=n i i X n S 1224)(1μ那么服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是〔 〕(A) 1/1--=n S X t μ (B) 1/2--=n S X t μ (C) 1/3--=n S X t μ (D) 1/4--=n S X t μ解 ),(~2nN X σμ,)1(~)(1122--∑=n t X Xni iσ,再由t 分布的定义知,此题应选B.X 均值μ及方差2σ都存在,且均为未知参数,而,,,21 X X n X 是该总体的一个样本,X 为样本方差,那么总体方差2σ的矩估计量是〔 〕(A) X(B) ∑=-ni i X n 12)(1μ(C) ∑=--n i i X X n 12)(11 (D) ∑=-n i i X X n 12)(1 解 此题应选D.8.在假设检验时,假设增大样本容量,那么犯两类错误的概率〔 〕 (A) 都增大 (B) 都减小(C) 都不变 (D) 一个增大一个减小 解 此题应选B.二.填空题〔每空2分,共14分〕1.设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,所取2件中有1件是不合格品,那么另外1件也是不合格品的概率为.解 设A 表示两件中有一件不合格品,B51)()()()()|(===A PB P A P AB P A B P 2.设随机变量X 服从)8.0 ,1(B 分布,那么X 的分布函数为. 解 X 服从0-1分布,其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.11,10,2.0,0,0)(x x x x f3.假设随机变量X 服从均值为2,方差为2σ的正态分布,且6.0}40{=<<X P ,那么}0{<X P .解 2=μ,即其密度函数关于2=x2.026.01}0{=-=<X P . X 服从参数为p 的0－1分布,其中)10(<<p p 未知.现得一样本容量为8的样本值:0,1,0,1,1,0,1,1,那么样本均值是,样本方差是.解 由定义计算知85=X;56152=S . X 服从参数为λ的指数分布,现从X 中随机抽取10个样本,根据测得的结果计算知27101=∑=i ix ,那么λ的矩估计值为.解 27101ˆ==X λ. ) ,(~2σμN X ,且2σ未知,用样本检验假设00μμ=：H 时,采用的统计量是. 解 )1(~0--=n t nSX T μ (0H 为真时).三.〔此题8分〕设有三只外形完全一样的盒子,Ⅰ号盒中装有14个黑球,6个白球；Ⅱ号盒中装有5个黑球,25个白球；Ⅲ号盒中装有8个黑球,42个白球.现在从三个盒子中任取一盒,再从中任取一球,求:〔1〕取到的球是黑球的概率；〔2〕假设取到的是黑球,它是取自Ⅰ号盒中的概率.解 设321,,A A A 分别表示从第Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ号盒中取球,B 表示取到黑球. (1) 由全概公式可得≈⋅+⋅+⋅==∑=5083130531201431)|()()(31i i i A B P A P B P 0.342; (2) 由贝叶斯公式得≈=)()|()()|(111B P A B P A P B A P 0.682.四.〔此题6分〕设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他，，，，002cos 21)(πx x x f , 对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π地次数,求2Y 的数学期望.解 21d 2cos 21)3(3==>⎰πππx x XP ,)21,4(~B Y ,从而 5)(22=+=EY DY EY .五.〔此题12分〕 设),(Y X 的联合分布律为YX 0 1 2问:(1) Y X ,是否独立；(2) 计算)(Y X P =的值；(3) 在2=Y 的条件下X 的条件分布律. 解 (1) 因为)0()1(4.05.02.01.0)0,1(===⋅=≠===Y P X P Y X P ,所以Y X ，不独立;(2) 15.01.005.0)2,2()1,1()(=+===+====Y X P Y XP Y X P ; (3) 9745.035.0)2()2,1()2|1(========Y P Y X P Y X P , 92971)2|2(=-===Y X P .六.〔此题12分〕设二维随机变量) ,(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=,,0,10,12),(2其他x y y y x f 求:(1) X 的边缘密度函数)(x f X ；(2) )(XY E ； (3) )1(>+Y X P . 解 (1)⎩⎨⎧≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤==⎰⎰∞+∞-.,0,104,0,10,d 12d ),()(302其他其他x xx y y y y x f x f x X (2) 21d 12d )(0310==⎰⎰y xy x XY E x ;(3) ==>+⎰⎰-y y x Y X P x x d 12d )1(1212187.七.〔此题6分〕一部件包括10局部,每局部的长度是一个随机变量,它们相互独立,且服从同一均匀分布,其数学期望为2,均方差为0.05,规定总长度为)1.020(±时产品合格,试求产品合格的概率.解 设i X 表示第i 局部的长度,10,,2,1 =i ,X2=i EX ,0025.0=i DX ,且∑==101i iX X ,20=EX ,025.0=DX .由独立同分布的中心极限定理知,产品为合格品的概率为)025.01.0|025.020(|)1.0|20(|≤-=≤-X P X P4714.01)025.01.0(2=-Φ=.八.〔此题7分〕设总体X 具有概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>-=--,,0,0,e )!1()(1其他x x k x f x k k θθ 其中k 为正整数,求θ的极大似然估计.解 设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,当0,,,21>nx x x 时,似然函数∑-===-=-=∑∏ni ix ni k innkni i xk x f L 1e])!1[()()(111θθθ,两边取对数,∑-+--===-∑ni ini k ix x k n nk L 111ln )!1ln(ln )(ln θθθ,关于θ求导,并令其为0,得0)(ln 1=∑-==ni i x nkL θθ,从而解得θ的极大似然估计为 Xk X nkni i=∑==1ˆθ.九.〔此题14分〕从某锌矿的东、西两支矿脉中,各抽取样本容量分别为9及8的样本进展测试,得样本含锌平均数及样本方差如下:东支:230.01=x ,1337.021=n s , )9(1=n西支:269.02=x ,1736.022=n s , )8(2=n假设东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布,问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以看作一样？)05.0(=α53.4)7 ,8( (025.0=F ,90.4)8 ,7(025.0=F ,) 1315.2)15(0025.0=t解 此题是在未知方差,又没有说明方差是否相等的情况下,要求检验两总体均值是否相等的问题,故首先必须检验方差是否相等,在相等的条件下,检验总体均值是否相等.第一步假设0H 21σ22σ,统计量2221s s F =~)1,1(21--n n F ,经检验,承受0H 21σ22σ；第二步假设0H :21μμ=, 统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n s n s n n n YX T)2(~21-+n n t经检验,承受0H ,即可认为东、西两支矿脉含锌量的平均值相等.(请参见模拟试题(一)第九大题) 十.〔此题5分〕 设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0,0,3)(23其它θθx x x f其中θ为未知参数,n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本,证明:X 34是θ的无偏估计量.证明 ⎰∞+∞-===x x xf EX X E X E d )(343434)34(θθθ==⎰033d 334x x , 故X 34是θ的无偏估计量.模拟试题〔三〕参考答案一.填空题〔每题2分,共14分〕1.一射手对同一目标独立地进展四次射击,假设至少命中一次的概率为8180,那么该射手的命中率为 .解 设A 表示一次射击中击中目标,依题意,四次都没击中的概率为81801)(4-=A P ,解得31)(=A P ,从而射手的命中率为32)(=A P . 2.假设事件A ,B 独立,且p A P =)(,q B P =)(那么=+)(B A P . 解 pq p B P A P B P A P B A P +-=-+=1)()()()()( .3.设离散型随机变量X 服从参数为λ〔0>λ〕的泊松分布,==)1(X P )2(=X P ,那么λ= .解 )2(e 2e)1(2=====--X P XP λλλλ,从而解得2=λ.4.设相互独立的两个随机变量X ,Y 具有同一分布律,且X 的分布律为:X 0 1P21 21 那么随机变量},max{Y X Z =的分布律为 .解 Z 的可能取值为0,1.412121)0()0()0,0()0(=⋅========Y P X P Y X P Z P . 43411)1(=-==Z P . 5.设随机变量X ,Y 的方差分别为25=DX ,36=DY ,相关系数4.0=XYρ,那么),(Y X Cov = .解 12),cov(=⋅=DY DX Y X XYρ.6.设总体X 的期望值μ和方差2σ都存在,总体方差2σ的无偏估计量是21)(∑=-ni i X X n k ,那么=k . 解 1-=n nk . 7.设总体),(~2σμN X ,μ未知,检验2020σσ=H ：,应选用的统计量是 .解)1(~)(22012--∑=n X Xni iχσ (0H 为真时)二 .单项选择题〔每题2分,共16分〕1.6本中文书和4本外文书任意往书架上摆放,那么4本外文书放在一起的概率为〔 〕(A) !10!6!4 (B)107 (C) !10!7!4 (D)104 解 此题应选C.2.假设事件B A ,相互独立,那么以下正确的选项是〔 〕 (A) =)|(A B P )|(B A P (B) =)|(A B P )(A P (C) )|(B A P )(B P = (D) =)|(B A P )(1A P -解 由独立性的定义知,==)()|(A P B A P )(1A P -,故此题应选D. 3.设随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布,且6.1=EX ,28.1=DX ,那么n ,p 的值为〔 〕(A) n 8p 2.0 (B) n 4p 4.0 (C) n 5p 32.0 (D) n 6p 3.0解 由6.1=np ,28.1)1(=-p np ,解得n 8p 2.0,此题应选A.4.设随机变量X 服从正态分布)1,2(N ,其概率密度函数为)(x f ,分布函数为)(x F ,那么有〔 〕(A) =≥)0(X P =≤)0(X P 5.0 (B) =≥)2(X P =≤)2(X P 5.0 (C) )(x f =)(x f -,),(∞+-∞∈x (D) =-)(x F -1)(x F , ),(∞+-∞∈x解 2=EX ,故其密度函数关于2=x 对称,故此题应选B.5.如果随机变量X 及Y 满足:)(Y X D +)(Y X D -=,那么以下式子正确的选项是〔 〕(A) X 及Y 相互独立 (B) X 及Y 不相关 (C) 0=DY (D) 0=⋅DY DX解 由)(Y X D +)(Y X D -=,可得0),cov(=Y X ,从而可知X 及Y 不相关,故此题应选B.6.设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本,X 为样本均值,令=Y 212)(σ∑=-ni iX X,那么~Y 〔 〕(A) )1(2-n χ (B) )(2n χ(C) ),(2σμN (D)),(2nN σμ解 此题应选A.7.设n X X X ,,,21 是取自总体),0(2σN 的样本,可以作为2σ的无偏估计量的统计量是〔 〕(A) ∑=n i i X n 121 (B) ∑=-n i i X n 1211 (C) ∑=ni iX n 11 (D)∑=-ni iX n 111解 由无偏估计的定义及期望的性质知,2221212)(1)1(σ==+===∑∑==DX EX DX EX EX n X n E ni i n i i ,故A 选择正确,同理验算其他选项均不正确.故此题应选A.8.样本n X X X ,,,21 来自正态总体),(2σμN ,假设进展假设检验,当〔 〕时,一般采用统计量n S X t /0μ-=(A) μ未知,检验2σ=20σ(B) μ,检验2σ=20σ(C) 2σ未知,检验 μ=0μ (D) 2σ,检验μ=0μ 解 此题应选C.三.〔此题8分〕有两台车床生产同一型号螺杆,甲车床的产量是乙车床的5.1倍,甲车床的废品率为%2,乙车床的废品率为%1,现随机抽取一根螺杆检查,发现是废品,问该废品是由甲车床生产的概率是多少？解 设21,A A 分别表示螺杆由甲,乙车床生产的事件.B)|()()|()()|()()|(2211111A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=75.001.05202.05302.053=⋅+⋅⋅=. 四.〔此题8分〕假设一部机器在一天内发生故障的概率为2.0五个工作日里无故障,可获利润10万元,发生一次故障获利润5万元,发生两次故障获利润0万元,发生三次或三次以上故障就要亏损2万元,问一周内期望利润是多少？解 设X 表示一周中所获的利润,其分布律为:X 05 10 P 548.08.02.051-⋅⋅- 48.02.05⋅⋅ 58.0从而由期望的定义计算可得216.5=EX . 五.〔此题12分〕1.设随机向量X ,Y 的联合分布为:X Y 1 2 31 0 61 1212 61 61 613 121 61(1) 求X ,Y 的边际分布；(2) 判断X ,Y 是否独立.解 (1) X 的边际分布为： Y 的边际分布为：X 1 2 3 Y 1 2 3P 41 21 41 P 41 21 41(2) X 及Y 不相互独立.2.设随机变量),(Y X 的联合密度函数为:),(y x f =⎩⎨⎧<<-其他，，，，00e y x y求概率)1(≤+Y X P . 解 ==≤+⎰⎰--y x Y X P x xy d e d )1(1210211e2e 1---+.六.〔此题8分〕设连续型随机变量X 的分布函数为:=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-，，，，000e 22x x B A x 求: (1) 系数A 及B ；(2) 随机变量X 的概率密度； (3) )9ln 4ln (≤≤X P .解 (1) 由分布函数的性质知1)e(lim )(22==+=+∞-+∞→A B A F x x ,)0(0)e(lim )(lim 202F B A B A x F x x x ==+=+=-→→++,从而1-=B ;(2) 分布函数的导数即为其概率密度,即)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤>-000e 22x x x x ，，，(3) 61)4ln ()9ln ()9ln 4ln (=-=≤≤F F X P . 七.〔此题8分〕设n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本,X 的概率密度为:)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-其他，，，，0101x x θθ其中0>θ,求未知参数θ的矩估计量及极大似然估计量. 解 令X x x EX =+==⎰1d 10θθθθ,从而解得θ的矩估计量为2)1(XX -=θ. 极大似然估计为:∑∑==+=ni ini iXX n 11ln ln θ.(具体做法类似及模拟试卷二第八题)八.〔此题１０分〕设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为5.66分,标准差为15分,问在显著水平05.0下,是否可认为全体考生的平均成绩为70分？解 假设0H :70=μ,选取统计量ns X T /μ-=)1(~-n t , (0H 为真时)在05.0=α下,查t 分布的双侧临界值表知0301.2025.0=t .另一方面,计算统计量的值0301.24.136/15705.66||<=-=T ,从而承受原假设,即可认为全体考生的平均成绩为70分. 九.〔此题１２分〕两家银行分别对21个储户和16个储户的年存款余额进展抽样调查,测得其平均年存款余额分别为x =2600元和y =2700元,样本标准差相应地为811=S 元和1052=S 元,假设年存款余额服从正态分布,试比拟两家银行的储户的平均年存款余额有无显著差异？〔10.0=α〕解 此题要求检验21μμ=,由于t 检验必须在方差相等的条件下进展,因此必须先检验21σ及22σ是否相等.第一步假设0H 21σ22σ,统计量2221s s F =~)1,1(21--n n F ,经检验,承受0H 21σ22σ；第二步假设0H :21μμ=, 统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n s n s n n n YX T)2(~21-+n n t经检验,拒绝0H ,即两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异.(请参见模拟试题(一)第九大题)十.〔此题４分〕设总体X 服从参数为λ的泊松分布,λ为未知参数,⎩⎨⎧-=为偶数，，为奇数，，X X X T 11)( 证明:)(X T 是λ2-e 的一个无偏估计量.证明 ∑∞===0)()()]([x x XP x T X T E∑∞=-=0!)(x xex x T λλ=-=∑∞=-0!)1(n nne n λλλ2-e ,所以)(X T 是λ2-e 的一个无偏估计量.模拟试题〔四〕参考答案一.填空题(每题2分,共20分)1.设)(A P =)(B P ,7.0)(=B A P 那么=+)(B A P . 解 55.0)|()()()()(=-+=+B A P B P B P A P B A P2.假设随机变量X 服从二项分布,即)1.0,5(~B X ,那么=-)21(X D .解 8.19.01.0544)21(=⋅⋅⋅==-DX X D .3.三次独立重复射击中,假设至少有一次击中的概率为6437,那么每次击中的概率为 .解 43.4.设随机变量X 的概率密度是:⎩⎨⎧<<=,,0,10,3)(2其他x x x f 且，784.0)(=≥a X P 那么=a .解 由784.0)(=≥a X P 知,10<<α.故 ，784.01d 3)(132⎰=-==≥ααx x a X P 从而6.0=α. 5.利用正态分布的结论,有:=+-⎰∞+∞---x x x x d e)44(212)2(22π.解 令t x =-2,那么原式1)(d e 212222=+==⎰∞+∞--EX DX t t t π,这里)1,0(~N X.6.设总体X 的密度函数为:⎩⎨⎧<<=-,,0,10,)(1其他x x x f αα)0(>αα为参数其中,n x x x ,,,21 是来自总体X的样本观测值,那么样本的似然函数=);,,,(21αn x x x L . 解 ∏=-ni i n x 11αα.7.设X ,Y 是二维随机向量,DX ,DY 都不为零,假设有常数0>a 及b 使1)(=+-=b aX Y P ,这时X 及Y 是 关系.解 完全相关.8.假设),(~2σμN X ,n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,2,S X 分别为样本均值和方差,那么SnX )(μ-服从 分布.解 )1(-n t .),(~211σμN X ,),(~222σμN Y ,X 及Y X ,Y 中分别抽取容量为21,n n 的样本,样本均值分别为Y X ,,那么Y X -服从分布 .解 ),(22212121n n N σσμμ+-.X 和Y 的相关系数为0.9,假设4.0-=X Z ,那么Y 及Z 的相关系数为.解 9.0),cov()4.0,cov(),cov(==-=X Y X Y Z Y . 二.单项选择题(每题2分,共12分)1. 设随机变量X 的数学期望EX 及2σ=DX 均存在,由切比雪夫不等式估计概率}4{σ<-EX X P 为( )(A) 161≥(B) 161≤(C) 1615≥(D) 1615≤解 此题应选C.2.B A ,为随机随机事件,且A B ⊂,那么以下式子正确的选项是( ). (A) )()(A P B A P = (B) )()()(A P B P A B P -=- (C) )()(A P AB P = (D) )()(B P A B P = 解 此题应选A.3. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其他，，，，010)(x B Ax x f 且127=EX ,那么( ).(A) 5.0,1-==B A (B) 1,5.0=-=B A (C) 1,5.0==B A (D) 5.0,1==B A 解 令1d )(10=+⎰x B Ax ,127d )(10=+⎰x x B Ax ,解得5.0,1==B A ,故此题应选D.4.假设随机变量X 及Y 不相关,那么有( ). (A) )(9)()3(Y D X D Y X D -=- (B) )()()(Y D X D XY D ⨯=(C) 0)]}()][({[=--Y E Y X E X E (D) 1)(=+=b aX Y P 解 此题应选C.5.随机变量),(~21n n F F ,且αα=>)},({21n n F F P ,那么=-),(211n n F α( ). (A)),(121n n F α(B)),(1121n n F α-(C)),(112n n F α(D)),(1211n n F α-解6.将一枚硬币独立地掷两次,记事件:=1A {掷第一次出现正面},=2A {掷第二次出现正面},=3A {正、反面各出现一次},=4A {正面出现两次},那么事件( ).(A) 321,,A A A 相互独立 (B) 432,,A A A 相互独立 (C) 321,,A A A 两两独立 (D) 432,,A A A 两两独立 解 21)(1=A P ,21)(2=A P ,21)(3=A P ,41)(4=A P ,再由事件独立的充分必要条件可知321,,A A A 两两独立,此题应选C. 三.计算题(每题８分,共48分)1.某厂由甲,乙,丙三个车间生产同一种产品,它们的产量之比为3:2:1,各车间产品的不合格率依次为8%,9%,12%.现从该厂产品中任意抽取一件,求:(1) 取到不合格产品的概率；(2) 假设取到的是不合格品,求它是由甲厂生产的概率.解 (1) 运用全概率公式, 0.09;(2) 运用贝叶斯公式, 0.44.(具体做法参见模拟试卷(一)第四题)2.一实习生用一台机器接连独立地制造三个同样的零件,第i 个零件是不合格品的概率为)3,2,1(11=+=i ip i,以X表示三个零件中合格品的个数,求:(1) X 的概率分布； (2) X 的方差DX .解 (1) 12234132411241=⋅+⋅+=EX ,2741924114412=⋅+⋅+=EX ,故521.0)(22=-=EX EX DX . 3.设总体X ),0(~2σN ,2σ为未知参数,n x x x ,,,21 是来自总体X 的一组样本值,求2σ的最大似然估计.3解 似然函数21221222222e )21(e)21()(σσσπσπσ∑=∑===--ni i ni i x n x nL ,两边取对数212222ln 22ln 4)(ln σσπσ∑---==ni ix nn L ,关于2σ求导,并令其为零,得0)(21222122=∑+⋅-=σσni ix n , 从而解得极大似然估计量为∑==n i i x n 1221ˆσ. 4.二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度:⎩⎨⎧>>=+-其它，，，，00,0e 2),()2(y x y x f y x 求: (1) X 及Y 之间是否相互独立,判断X 及Y 是否线性相关；(2) )1(≤+X Y P .解 (1) ⎪⎩⎪⎨⎧≤>==⎰⎰∞++-∞+∞-0,0,0,d e 2d ),()(0)2(x x y y y x f x f y x X⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e x x x同理⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(2y y yf y Y 从而)()(),(y f x f y x f Y X =,故X 及Y 相互独立,因而X 及Y 一定不相关. (2) =≤+)1(XY P =⎰⎰-+-y x x y x d 2e d 10)2(1021)e 1(--.5.某人乘车或步行上班,他等车的时间X (单位:分钟)服从参数为51的指数分布,如果等车时间超过10分钟他就步行上班.假设此人一周上班5次,以Y Y 的概率分布；并求他一周内至少有一次步行上班的概率.解 此人每天等车时间超过10分钟也即步行上班的概率为210e d e 51)10(--∞+==>⎰x X P sx. 故)e ,5(~2-B Y .52)e 1(1)1(---=≥Y P .6.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈⋅=其他，，，，0]8,1[31)(32x x x f )(x F 是X )(X F Y =的概率分布. 解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-≤=.8,1,81,1,1,0)(31x x x x x F(3) 当0<y 时,0)()(=≤=y Y P y F Y ; 当10<≤y 时,))1(()1()()(331+≤=≤-=≤=y X P y X P y Y P y F Yy y F X =+=))1((3;当1≥y 时,1)()(=≤=y Y P y F Y . 故对)(y F Y 求导可得Y 的概率密度,⎩⎨⎧<<=其它，，，，0101)(y y f Y 即]10[~，U Y四.应用题(第1题7分、第2题8分,共15分)1.假设对目标独立地发射400发炮弹,每一发炮弹的命中率等于0.2,用中心极限定理计算命中60发到100发之间的概率.解 设⎩⎨⎧=发炮弹命中第发炮弹没有命中第i i X i ,1,,0 (400,,2,1 =i ),那么∑==4001i i X X )2.0,400(~B表示400发炮弹命中的发数,且80=EX ,64=DX ,故由中心极限定理知,)6420|6480(|)20|80(|)10060(<-=<-=<<X P X P X P9876.01)820(2=-Φ=. 2.某厂生产铜丝,生产一向稳定.现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力,测后经计算: 5.160)(,5.28712=-=∑=ni i x x x .假定铜丝折断力服从正态分布,问是否可以相信该厂生产的铜丝的折断力方差为16(1.0=α) 解 16162120≠=σσ：，：H H .采用统计量2221S n σχ-=,在0H 成立时,)9(~22χχ.由1.0=α,查得临界值325.3)9(295.022/1==-χχα, 919.16)9(205.022/==χχα,由样本值算得03.10165.1602≈=χ,由于22/222/1ααχχχ<<-,所以不拒绝0H ,即该厂生产的铜丝的折断力方差为16. 五.证明题(5分)假设随机变量X 的密度函数)(x f ,对任意的R x ∈,满足:)()(x f x f -=,)(x F 是其分布函数.证明:对任意实数a ,有⎰-=-a x x f a F 0d )(21)(.证明 ⎰⎰⎰-∞--∞-+==-aa x x f x x f x x f a F 00d )(d )(d )()(⎰-+=a x x f 0d )(21(令x t -=) ⎰⎰⎰-=-=--=a a a x x f t t f t t f 000d )(21d )(21d )(21.。

概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1)概率统计模拟题一一、填空题（本题满分18 分，每题 3 分）1、设P( A) 0.7, P( A B) 0.3, 则 P( AB) =。

2、设随机变量X ~ B(2, p), Y ~ B(3, p)，若p( X 1)5，则 p(Y1)。

93、设X与Y相互独立，DX2, DY 1，则 D(3X4Y5)。

4、设随机变量X的方差为 2，则根据契比雪夫不等式有P{ X -EX 2}。

5、设(X1, X2, , X n)为来自总体2 (10) 的样本，则统计量 YnX i服从i1分布。

6、设正态总体N ( , 2 )， 2 未知，则的置信度为1的置信区间的长度L。

（按下侧分位数）二、选择题（本题满分15 分，每题 3 分）1、若 A 与自身独立，则（）(A)P( A)0 ；(B) P(A)1；(C)0 P(A)1； (D)P( A)0或P(A)12、下列数列中，是概率分布的是（）(A)p( x)x, x0,1,2,3,4 ；(B)p( x)5x2, x0,1,2,3 156(C)p( x)1, x3,4,5,6；(D)p(x)x1, x1,2,3,4,5 4253、设X ~ B(n, p)，则有（）(A)E(2 X1)2np(B)D(2X 1)4np(1p)(C)E(2 X1)4np 1(D)D(2X1)4np(1p)14、设随机变量X~N( ,2 ) ，则随着的增大，概率P X（）。

(A) 单调增大 (B) 单调减小(C) 保持不变(D) 增减不定5、设 (X 1,X 2,, X n ) 是来自总体 X ~ N ( ,2) 的一个样本， X 与 S 2 分别为样本均值与样本方差，则下列结果错误的是（ ）。

．．n2X i2n 1 S222（ A ）EX；（ B ）；（ ）； （D ）i 1。

DXC2~( n 1)2~ (n)三、（本题满分 12 分） 试卷中有一道选择题，共有４个答案可供选择，其中只有１个答案是正确的。