《抽象函数图象的对称四种常见类型及其证明》

函数对称性的总结函数是数学中十分重要的概念之一，它描述了两个集合之间的关系。

而在函数的定义中，有一种特殊的性质被广泛研究和应用，那就是对称性。

函数的对称性是指函数图像关于某个中心轴或中心点具有对称性。

在实际问题中，对称性可以帮助我们简化问题、提取信息，以及更好地理解函数的性质。

在本文中，将对函数对称性进行总结和阐述。

函数对称性可以分为水平对称、垂直对称、中心对称以及零对称四种类型。

水平对称是指函数图像关于x轴对称。

具体而言，若函数f(x)满足对于任意x，f(x) = f(-x)，则函数f(x)是水平对称的。

例如，函数y =x^2是一个典型的水平对称函数，其图像关于x轴对称。

水平对称函数在图像上旋转一定角度后，仍然与原图像重合，这种性质可以简化问题的解决过程。

比如在研究汽车的加速度与减速度时，我们可以利用水平对称性简化计算，因为加速度与减速度的变化规律是相似的。

垂直对称是指函数图像关于y轴对称。

具体而言，若函数f(x)满足对于任意x，f(x) = -f(-x)，则函数f(x)是垂直对称的。

例如，函数y =sin(x)是一个典型的垂直对称函数，其图像关于y轴对称。

垂直对称函数在图像上左右移动一定距离后，仍然与原图像重合。

这种性质在处理对称结构时非常有用。

例如，在纺织品设计中，我们可以利用垂直对称性确定图案的左右对称部分，以减少设计成本和提高生产效率。

中心对称是指函数图像关于某个点对称。

具体而言，若函数f(x)满足对于任意x，f(x) = f(-x + a)，其中a为常数，则函数f(x)是中心对称的。

例如，函数y = e^(-x^2)是一个典型的中心对称函数，其图像关于原点对称。

中心对称函数在图像上绕某个点旋转一定角度后，仍然与原图像重合。

这种性质在物理学中十分重要。

例如，在研究电场的分布时，我们可以利用中心对称性确定电场的中心位置和形状。

零对称是指函数图像关于原点对称。

具体而言，若函数f(x)满足对于任意x，f(x) = -f(-x)，则函数f(x)是零对称的。

抽象函数周期性对称性相关定理全总结1. Fourier级数定理：Fourier级数定理是抽象函数周期性对称性的基本理论定理之一、它表明，任何以L为周期的可积函数f(x)都可以展开成正弦函数与余弦函数的无穷级数形式，即Fourier级数。

这个级数可以表示为：f(x) = a0 + Σ(an*cos(nπx/L) + bn*sin(nπx/L))其中，L是函数周期，a0是常数项，an和bn分别是系数。

2.奇偶周期性与对称性：奇周期性与对称性是周期性对称性的两种特例。

如果一个函数满足f(x) = -f(-x)，则称其为奇函数。

奇函数可以展开成sin函数的Fourier级数形式。

如果一个函数满足f(x) = f(-x)，则称其为偶函数。

偶函数可以展开成cos函数的Fourier级数形式。

3. 对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理：对称函数的Fourier级数展开是指将一个以L为周期的对称函数展开成cos函数的Fourier级数形式。

傅里叶定理表明，对于一个以L为周期的函数f(x)，如果f(x)是一个对称函数，则其Fourier级数展开只包含cos函数；如果f(x)是一个奇函数，则其Fourier级数展开只包含sin函数。

4. 函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数：函数的周期拓展是指将一个以L为周期的函数f(x)拓展成以2L为周期的函数。

周期拓展后的函数可以用以L为周期的函数的Fourier级数展开。

具体而言，如果将f(x)的周期拓展后的函数记作F(x)，则对于周期拓展后的函数F(x)，存在一个以L为周期的函数g(x)，使得F(x) = g(x)在[-L, L]上成立。

所以，F(x)的Fourier级数展开实际上是以L为周期的函数g(x)的Fourier级数展开。

综上所述，抽象函数周期性对称性相关定理涉及四个方面：Fourier级数定理、奇偶周期性与对称性、对称函数的Fourier级数展开与傅里叶定理、函数的周期拓展与周期函数的Fourier级数。

抽象函数的对称性类型1：轴对称型1 自身对称；对称关于直线，2)()()(b a x x f x b f x a f D x +=⇒-=+∈∀ 例1：（1）)1()1(x f x f -=+，则)(x f y =的图形关于 对称（2）若)()(x c f x b f -=+，问)(x f y =的图形关于 对称；变式1：定义在数集上的函数)(x f y =，对一切实数x 都有)2()1(x f x f -=+成立，且方程0)(=x f 有101个不同的实数根，则所有实数根之和为 ；变式2：设函数)(x f y =对一切实数x 都有))(2()(R a x a f x f ∈-=，且方程0)(=x f 有k 个实根)2(≥k ，则所有实数根之和为 ；变式3：已知函数)1()(x a x x f +=。

设关于x 的不等式)()(x f a x f <+的解集为A ，若A ⊆-]21,21[，则实数a 的取值范围是（ ） A )0,251(- B )0231(，- C )2310()0,251(+-， D ），（25-1-∝ 2 两者对称例2 （1）)1()1(x f y x f y -=+=与的图像关于 对称；（2）)1()2(x f y x f y -=+=与的图像关于 对称；（3）)()(x c f y x b f y -=+=与的图像关于 对称；类型2：中心对称例3 （1）)1()2(x f x f --=+，则)(x f y =的图像关于 对称；（2）0)()(=-++x c f x a f ，则)(x f y =的图像关于 对称；（3）b x c f x a f 2)()(=-++，则)(x f y =的图像关于 对称；变式4：设函数)(x f 为实数集R 上的增函数，令)2()()(x f x f x F --=（1）求证：)(x F 为R 上的增函数；（2）若221>+x x ，求证：0)()(21>+x F x F（3）若0)()(21>+x F x F ，求证：221>+x x ；。

抽象函数图象的对称问题doc 高中数学□安徽 王平定 姚汉兵关于抽象函数图象的对称咨询题，下面给出四种常见类型及其证明。

一、设y f x =()是定义在R 上的函数，假设f a x f b x ()()+=-，那么函数y f x =()的图象关于直线x a b =+2对称。

证明：设点A 〔m ，n 〕是y f x =()图象上任一点，即f m n ()=，点A 关于直线x a b =+2的对称点为()A a b m n '+-，。

[]∵f a b m f b b m f m n ()()()+-=--== ∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于直线x a b =+2对称。

二、设y f x =()是定义在R 上的函数，那么函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2对称。

证明：设点A 〔m ，n 〕是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于直线x b a =-2的对称点为()A b a m n '--，。

∵f b b a m f a m n [()]()---=+= ∴点A'在y f b x =-()的图象上反过来，同样能够证明，函数y f b x =-()图象上任一点关于直线x b a =-2的对称点也在函数y f a x =+()的图象上，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2对称。

讲明：能够从图象变换的角度去明白得此命题。

易知，函数y f x a b =++⎛⎝ ⎫⎭⎪2与y f x a b =-++⎛⎝ ⎫⎭⎪2的图象关于直线x =0对称，由y f x a b =++⎛⎝ ⎫⎭⎪2的图象平移得到y f x b a a b f a x =--⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=+22()的图象，由y f x a b =-++⎛⎝ ⎫⎭⎪2的图象平移得到y f x b a a b f b x =---⎛⎝⎫⎭⎪++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-22()的图象，它们的平移方向和长度是相同的，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2对称。

函数图像对称性的问题一、函数自身的对称性的问题函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是一个高中数学的基础。

函数的性质是高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，也是难点，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。

本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质的一些思考。

例题1. 函数y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a－x) = 2b证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P ‘（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴2b－y = f (2a－x)即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。

（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)∵f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。

故点P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P‘关于点A (a ,b)对称，充分性得征。

例题2①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较 困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。

一、函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、函数的轴对称：推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称特殊地，函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称。

2、 函数的点对称：推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称特殊地，若()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则()x f y =的图象关于点()0,a 对称。

特殊地，若()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称。

二、函数的周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。

把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。

[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。

分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-=④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。

抽象函数图象的对称问题关于抽象函数图象的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。

一、设y f x =()是定义在R 上的函数，若f a x f b x ()()+=-，则函数y f x =()的图象关于直线x a b =+2对称。

证明：设点A （m ，n ）是y f x =()图象上任一点，即f m n ()=，点A 关于直线x a b =+2的对称点为()A a b m n '+-，。

[]∵f a b m f b b m f m n ()()()+-=--==∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于直线x a b =+2对称。

二、设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2对称。

证明：设点A （m ，n ）是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于直线x b a =-2的对称点为()A b a m n '--，。

∵f b b a m f a m n [()]()---=+=∴点A'在y f b x =-()的图象上 反过来，同样可以证明，函数y f b x =-()图象上任一点关于直线x b a =-2的对称点也在函数y f a x =+()的图象上，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2对称。

说明：可以从图象变换的角度去理解此命题。

易知，函数y f x a b =++⎛⎝ ⎫⎭⎪2与y f x a b =-++⎛⎝ ⎫⎭⎪2的图象关于直线x =0对称，由y f x a b =++⎛⎝ ⎫⎭⎪2的图象平移得到y f x b a a b f a x =--⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=+22()的图象，由y f x a b =-++⎛⎝ ⎫⎭⎪2的图象平移得到y f x b a a b f b x =---⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-22()的图象，它们的平移方向和长度是相同的，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2对称。

初中数学抽象函数的几个重要结论及其应用我们将没有给出函数具体解析式，但给出函数某些特性或相应条件的这类函数称为抽象函数。

结论1：（一点对称）若函数y=f(x)，对任意R x ∈，满足)x a (f )x a (f --=+或)x a 2(f )x (f --=，则函数y=f(x)的图象关于（a ，0）中心对称。

推论：若函数y=f(x)对任意R x ∈满足条件)x b (f )x a (f --=+，则函数y=f(x)的图象关于（2b a +，0）中心对称。

结论2：（两点对称）若函数y=f(x)的图象既关于点（a ，0）对称，又关于点（b ，0）对称（其中a ≠b ），则y=f(x)是周期函数，周期|b a |2T -=。

证明：∵函数y=f(x)既关于点（a ，0）对称，又关于点（b ，0）对称。

∴)]a b (2x [f )]x a 2(b 2[f )x a 2(f )x (f -+=--=--=。

∴y=f(x)为周期函数，周期|a b |2T -=。

推论：函数y=f(x)是奇函数，其图象关于点（a ，0）对称（a ≠0），则函数y=f(x)是T=2|a|的周期函数。

结论3：（轴对称）若函数y=f(x)对任意R x ∈满足)x a (f )x a (f -=+或)x a 2(f )x (f -=，则函数y=f(x)关于x=a 对称。

推论：函数y=f(x)对任意x 满足条件)x b (f )x a (f -=+，则函数y=f(x)的图象关于直线2b a x +=对称。

结论4：（轴轴对称）若函数y=f(x)的图象既关于直线x=a 对称，又关于直线x=b 对称（a ≠b ），则函数y=f(x)是T=2|b －a|的周期函数。

证明：∵y=f(x)关于x=a 和x=b 对称∴)]a b (2x [f )]x a 2(b 2[f )x a 2(f )x (f -+=--=-= ∴T=2|b －a|是y=f(x)的周期结论5：（点轴对称）若函数y=f(x)的图象既关于点（a ，0）对称，又关于直线x=b 对称（其中a ≠b ），则函数y=f(x)是周期T=4|b －a|的周期函数。

抽象函数的对称性的理解关于抽象函数图象的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。

一、设<!--[if !vml]--><!--[endif]-->是定义在R上的函数，若<!--[if !vml]--><!--[endif]-->，则函数<!--[if !vml]--><!--[endif]-->的图象关于直线对称。

<!--[if !vml]--><!--[endif]-->证明：设点A（m，n）是<!--[if !vml]--><!--[endif]-->图象上任一点，即<!--[if !vml]--><!--[endif]-->，点A关于直线的对称点为<!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->。

<!--[if !vml]--><!--[endif]-->∴点A'也在<!--[if !vml]--><!--[endif]-->的图象上，故<!--[if !vml]--><!--[endif]-->的图象关于直线对称。

<!--[if !vml]--><!--[endif]-->二、设<!--[if !vml]--><!--[endif]-->是定义在R上的函数，则函数<!--[if !vml]--><!--[endif]-->与函数<!--[if !vml]--><!--[endif]-->的图象关于直线对称。

<!--[if !vml]--><!--[endif]-->证明：设点A（m，n）是<!--[if !vml]--><!--[endif]-->图象上任一点，即<!--[if !vml]--><!--[endif]-->，点A关于的对称点为直线<!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]-->。

浅析抽象函数的对称与周期1 投象函数的对称定理1：定义在R上的函数y=f(x)，对于任意的x∈R，若有f(m+x)=f(n-x)成立（其中m,n为常数），则函数y=f(x)的图象关于直线x=m+n2对称。

定理2：定义在R上的函数y=f(x),对于任给的x∈R.若有f(m+x)=-f(n-x)成立（其中m,n为常数），则函数y=f(x)的图象关于点（m+n2,0)对称.以上定理证明略.推论1：定义在R上的函数y=f(x)，对于任给的x∈R，若有f(a+x)=f(a-x)成立（其中a为常数），则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.推论2：定义在R上的函数y=f(x)，对于任给的x∈R，若有f(a+x)=-f(a-x)成立（其中a为常数），则函数y=f(x)的图象关于点(a,0）对称.推论3：定义在R上的函数y=f(x)，对于任给的x∈R，若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称，则有f(a+x)=f(a-x).推论4：定义在R上的函数y=f(x),对于任给的x∈R，若函数y=f(x)的图象关于点（a,0)对称，则有f(a+x)=-f(a-x).2 抽象函数的周期周期函数的定义：一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时都有f(x+T)=f(x). 那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.定理3：定义在R上的函数y=f(x)，对于任给的x∈R,若有f(m+x)=f(n+x)成立（其中m,n为常数且m≠n)，则函数y=f(x)是周期函数.T=m-n 为函数的一个周期.定理4：定义在R上的函数y=f(x)，对于任给的x∈R，若有f(m+x)=-f(n+x)(或f(m+x)=±1f(n+x)成立（其中m,n为常且m≠n)，则函数y=f(x)是周期函数.T=2（m-n)为函数的一个周期.以上定理证明略.推论1：定义在R上的函数y=f(x)，对于任给的x∈R,若有f(x+a)=f(x-a)成立（其中a为常数且a≠0)，则函数y=f(x)是周其函数，T=2a为函数的一个周期。

()±()
∓()()
f(x±y)=
余弦函数f(x)=cos x
正切函数f(x)=tan x
常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型:
抽象函数f(x)具有的性质
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x+y)=f(x)+f(y)-b
f(xy)=f(x)f(y)

f(xy)= f(x)f(y)或者
g(x)=f′(x).若 f( -2x),g(2+x)均为偶函数,则(

A.f(0)=0
解析:法一

B.g(-)=0
C.f(-1)=f(4)
)
D.g(-1)=g(2)
不妨取 f(x)=1(x∈R),经验证满足题意,但 f(0)=1,所以选项 A 不正确.
因为 f( -2x)为偶函数,所以 f( -2x)=f( +2x), 所以 f( -2× )=f( +2× ),即 f(-1)=f(4),所以 C 正确;
()



f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y)
f(x±y)=f(x)f(y)∓g(x)g(y)
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
()±()
f(x±y)=
∓()()
正弦函数f(x)=sin x 余弦函数g(x)=cos x
余弦函数f(x)=cos x 正弦函数g(x)=sin x
f(2)=3f(2)=3,所以 f(2)=1.
因为 f(2)=f( × )=f( )+f( )=2f( ),所以 2f( )=1,


所以 f( )= .
答案:(1)

（三）抽象函数的对称性与周期性 1、抽象函数的对称性
性质 1 若函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x) 性质 2 若函数 y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝－f(a－x) （2）f(2a－x)＝－f(x) （3）f(2a＋x)＝－f(－x)
（2）例题
1、 f (x) a x 关于点（ 1 ，1）对称： f (x) f (1 x) 1;
ax a
22
f
(x)
4x 2
1（ 0，1）对称：
f
(x)
f
(x)
2
f
(x)
1 x
1
(
R, x
0)关于（1 ，1）对称：f（x) 22
f
(1) x
1
2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称： f (x) f (x) 0 。
12、 y f (x) 有两个对称中心 (a,0) 和 (b,0) (b a) y f (x) 周期T 2(b a)
推论：奇函数 y f (x) 满足 f (a x) f (a x) y f (x) 周期T 4a
13、 y f (x) 有一条对称轴 x a 和一个对称中心 (b,0) (b a) f (x) 的T 4(b a)
3、若 f (x) f (2a x)或f (a x) f (a x), 则y f (x) 的图像关于直线 x a 对
称。设 f (x) 0有n个不同的实数根，则
x1 x2 xn x1 (2a x1) x2 (2a x2 ) xn (2a xn ) na .

抽象函数周期性、对称性、奇偶性综述抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.一、基本定义1、定义1：（周期函数）对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么，函数()f x 就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.2、定义2：（同一函数图象的对称性）若函数)(x f y =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点仍在函数)(x f y =的图象上，则称函数)(x f y =的图象关于点P （或直线l ）对称.3、定义3：（两个函数图象的对称性）若函数)(x f y =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点在函数()y g x =的图象上；反过来，函数()y g x =图象上任一点关于点P （或直线l ）的对称点也在函数)(x f y =的图象上，则称函数)(x f y =与()y g x =的图象关于点P （或直线l ）对称.二、关于周期性、对称性的几个基本结论及证明1、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f x b +=-恒成立，则函数)(x f y =是以T a b =+为周期的周期函数；2、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f b x +=-恒成立，则函数)(x f y =的图象关于直线2a bx +=对称；3、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f b x +=--恒成立，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)2a b +对称；4、若函数)(x f y =的定义域为R ，且()()f a x f x b +=--恒成立，则函数)(x f y =是以2()T a b =+为周期的周期函数；5、若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称；6、若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 略证：1、 ()f x a b ++[()]f x b a =++[()]()f x b b f x =+-=，∴函数)(x f y =是以T a b =+为周期的周期函数.2、函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线2a b x +=的对称点为00(,)Q a b x y +-， 00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =--==∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于直线2a b x +=对称.3、函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点(,0)2a b +的对称点为00(,)Q a b x y +--， 00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =---=-=-∴点Q 仍在函数)(x f y =的图象上，从而函数)(x f y =的图象关于点(,0)2a b+对称. 4、 (22)[(2)]f x a b f x a b a ++=+++[(2)]()f x a b b f x a b =-++-=-++[()]{[()]}()f x b a f x b b f x =-++=--+-=,∴函数)(x f y =是以2()T a b =+为周期的周期函数.5、函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线2b a x -=的对称点为00(,)Q b a x y --， 000[()]()f b b a x f a x y ---=+=∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2b a x -=的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称.6、函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于点(,0)2b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---， 000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=-∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称.三、关于周期性、对称性的若干易混淆的常用结论1、若函数)(x f y =满足()()f x f x =-，则函数)(x f y =的图象关于y 轴对称；函数)(x f y =和函数()y f x =-的图象也关于y 轴对称.2、若函数)(x f y =满足()()f x f x =--，则函数)(x f y =的图象关于原点对称；函数)(x f y =和函数()y f x =--的图象也关于原点对称.3、若函数)(x f y =满足()()f x a f a x -=-，则函数)(x f y =的图象关于y 轴对称；而函数()y f x a =-和函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称.4、若函数)(x f y =满足()()f x a f a x -=--，则函数)(x f y =的图象关于原点对称.而函数()y f x a =-和函数()y f a x =--的图象关于点(,0)a 对称.5、若函数)(x f y =满足)()(x m f x m f +=-，则函数)(x f y =的图象关于直线m x =对称；而函数()y f m x =-和函数()y f m x =+的图象关于y 轴对称.6、若函数)(x f y =满足)()(x m f x m f +-=-，则函数)(x f y =的图象关于点)0,(m 对称；而函数()y f m x =-和函数()y f m x =-+的图象关于原点对称.7、若函数)(x f y =满足()(2)f x f b x =-，则函数)(x f y =的图象关于直线x b =对称；函数()y f x =和函数(2)y f b x =-的图象也关于直线x b =对称.8、若函数)(x f y =满足()(2)f x f b x =--，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)b 对称；函数()y f x =和函数(2)y f b x =--的图象也关于点(,0)b 对称.9、若函数)(x f y =满足()()f m x f x m +=-，则函数)(x f y =是以2T m =为周期的周期函数；若函数)(x f y =满足()()f m x f x m +=--，则函数)(x f y =是以4T m =为周期的周期函数.四、函数周期性与对称性的关系1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和()x b a b =>对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，()()f b x f b x -=+，则函数()f x 是以2()T a b =-为周期的周期函数.2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(,0)()b a b >对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，()()f b x f b x -=-+，则函数()f x 是以2()T a b =-为周期的周期函数.3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(,0)()b a b ≠对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，()()f b x f b x -=-+，则函数()f x 是以4T a b =-为周期的周期函数.略证：1、 [2()]f x a b +-[(2)]f a x a b =++-[(2)]f a x a b =-+-=(2)f b x =-[()]f b b x =+-[()]()f b b x f x =--=，∴函数)(x f y =是以2()T a b =-为周期的周期函数.2、3同理可证.五、函数周期性、对称性与奇偶性的关系1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是偶函数.2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是奇函数.3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和直线2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以4T a =为周期的周期函数，且是偶函数.4、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数，且是奇函数.5、若偶函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.6、若偶函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数.7、若奇函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数.8、若奇函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.略证：1、由上述四中的第1点即可得函数()f x 是以2T a =为周期的周期函数, 又()f x -[()]f a x a =-+[()]f a x a =++(2)f a x =+(2)f a x =-[()]f a a x =+-[()]()f a a x f x =--=∴函数)(x f y =是偶函数.2、3、4同理可证.5、6、7、8可利用上述四中的结论证得.以上各条结论均可结合正弦、余弦函数为特例来加以理解.六、其它结论1、若函数()y f x a =+为偶函数，则函数)(x f y =的图象关于直线x a =对称.2、若函数()y f x a =+为奇函数，则函数)(x f y =的图象关于点(,0)a 对称.注：上述两个结论可以通过图象的平移来理解. 3、定义在R 上的函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，且方程()0f x =恰有2n 个实根，则这2n 个实根的和为2na .4、定义在R 上的函数)(x f y =满足()()(,,)f a x f b x c a b c ++-=为常数，则函数)(x f y =的图象关于点(,)22a b c+对称. 略证；任取x R ∈，令12,x a x x b x =+=-，则12x x a b +=+，12()()f x f x c +=，由中点公式知点11(,())x f x 与点22(,())x f x 关于点(,)22a b c+对称.由x 的任意性，知函数)(x f y =的图象关于点(,)22a b c+对称. 5、能得出函数为周期函数的常见结论还有：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ③()()1f x a fx +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.注：上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.七、知识运用1、（2005·广东 19）设函数()f x 在（-∞，+∞）上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间[0，7]上，只有(1)(3)0f f ==。

抽象函数图像的对称四种常见类型及其证明关于抽象函数图像的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。

一、设()y f x =是定义在R 上的函数，则函数()y f a x =+与函数2()y c f b x =--的图像关于点,2b a c -⎛⎫ ⎪⎝⎭对称。

证明：设点(,)A m n 是()y f a x =+图像上任一点，即()f a m n +=，点A 关于点,2b a c -⎛⎫ ⎪⎝⎭的对称点为(,2)A b a m c n '--- 2[()]2()2c f b b a m c f a m c n ----=-+=-∴点A '在2()y c f b x =--的图像上。

反过来，同样可以证明，函数2()y c f b x =--图像上任一点关于点,2b a c -⎛⎫⎪⎝⎭的对称点在函数()y f a x =+图像上。

故函数()y f a x =+与函数2()y c f b x =--的图像关于点,2b a c -⎛⎫⎪⎝⎭对称。

说明：可以从图像变换的角度去理解此命题。

二、设()y f x =是定义在R 上的函数，若()2()f a x c f b x +=--，则函数()y f x =的图像关于点,2a b c +⎛⎫ ⎪⎝⎭。

证明：设点(,)A m n 是()y f x =图像上任一点，则()f m n =，点A 关于点,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭的对称点为(,2)A a b m c n '+--。

()2[()]2()2f a b m c f b b m c f m c n +-=---=-=-∴点A '在()y f x =的图像上，故()y f x =的图像关于点,2a b c +⎛⎫ ⎪⎝⎭对称。

说明：（1）当0a b c ===时，奇函数图像关于点(0,0)对称。

（2）易知此命题的逆命题也成立。

三、设()y f x =是定义在R 上的函数，则函数()y f a x =+与函数()y f b x =-的图像关于直线2b a x -=对称。

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力1、周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。

把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。

[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。

分段函数的奇偶性3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=-⑤成中心对称。

抽象函数的对称性与周期性一、抽象函数的对称性性质1 若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x)性质2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝－f(a－x) （2）f(2a－x)＝－f(x) （3）f(2a＋x)＝－f(－x)易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。

二、复合函数的奇偶性定义1 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。

定义2若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y ＝f[g(x)]为奇函数。

说明：（1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。

（2）两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)（3）y ＝f (x ＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 轴对称（或关于点（a ，0）中心对称）三、复合函数的对称性性质3 复合函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (b －x )关于直线x ＝b －a 2轴对称 性质4 复合函数y ＝f (a ＋x )与y ＝－f (b －x )关于点（b －a 2，0）中心对称 证明 性质3： 令（m ，n ）为y ＝f (a ＋x )上任一点，则n ＝f (a ＋m)令b －x ＝m ＋a ，x ＝b －m －a 则（b －m －a ，n ）为y ＝f (b －x )上相应的一点又点（m ，n ）与点（b －m －a ，n ）关于直线x ＝b －a 2轴对称 ∴y ＝f (a ＋x )与y ＝f (b －x )关于直线x ＝b －a 2轴对称 性质4 令（m ，n ）为y ＝f (a ＋x )上任一点，则n ＝f (a ＋m)则（b －m －a ，－n ）为y ＝f (b －x )上相应一点点（m ，n ）与点（b －m －a ，－n ）关于点（b －a 2，0） 即（b-a 2，0）中心对称 ∴y ＝f (a ＋x )与y ＝－f (b －x )关于点（b －a 2，0）中心对称推论1 复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称推论2复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称四、函数的周期性若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。