一种Bernstein-Stancu算子的 Kantorovich型变形算子的逼近

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第 ６期
杨少卿等：Ｓａｃ— ａｔ ｏ ｉ 算子在 Ｏ・ ｚ ｔ ｕＫ ｎ ｒｖ ｈ ｎ ｏ ｃ ｌｃ 空间的逼近阶 ｌ ｉ
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西南 民族 大学学报 ・ 自然科 学版
第３ ３卷
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关键词： ｔｎ ｕ Ｋａｔｒｖｃ Ｓａ ｃ － ｎｏｏ ｉｈ算子： ｒｃ Ｏ ｌ ｚ空间： ｉ 逼近 中图分类号： ２ １ ０ ４． ５ 文献标识码： Ａ

第 ３ 卷 第 ２期 ｌ
２１ ００年 ３月
闽பைடு நூலகம்江学 院学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ Ｏ ＮＪＡＮＧ ＵＮＩ ＲＳＴＹ Ｆ ＭＩ Ｉ ＶＥ Ｉ
Ｖｏ ． １ Ｎ ． １３ ｏ ２
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一
类 Ｋ ｎ ｒｖ ｈ型算 逼 近 阶 的另 一 种 估 计 ａｔ ｏｉ ｏ ｃ 子
计式也具有相应 的精 确度 ．
关键词 ：Ｂｅ ｎ —ｕ ｅ． ａｎ算子 ；局部有界 函数 ； ｌｍａｎＢ ｙ ｒＨ ｈ ｉ 逼近 阶；估计 式 中图分类号 ：Ｏ ２ １４ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ：１０ ０ ９～７２ （０ ０ ０ ８ １ ２ １ ）２—０ ２ ０ ０ ７— ４
Ｋｅ ｒ ｓ ｙ ｗｏ ｄ ：Ｂ ｅｍａ ｎ Ｂ ｔｅ— ｈ ｐ ｒｔｒ ；Ｌ ｃ ｌ ｏ ｎ ｅ ｕ ｃｉｎ；ｒｔ ｆ ｏ ｖ ｒｅ ｃ ｌｉ ｎ — ｕｚ ｒＨａ ｎ ｏ ｅａｏｓ ｏ ａｌ ｂ ｕ ｄ ｄ ｆｎ ｔ ｙ ｏ ａｅｏ ｎ ｅｇ ｎ ｅ；ｅ ｆ ｔ ｅ ｃ ｓ ｍａｉ ｉ ｖ
其中 Ｅ，，＝［ ， ， ０ ＋∞） ｎ∈Ⅳ ， 是属于 ， 上的实 函数．
在该文章中， 作者证明了， 对 ＥＣ［］（ ， 区间， 上连续有界函数空间）当 一 ∞时 ， 一 ． ，
Ｂｅｍ ｎ—ｕｚｒＨ ｈ 子受 到许 多 逼 近论 专 家 的 注意 和 重 视 ， 于它 有许 多 后 续研 究 ， Ａｔ ｒ ｌｉａｎＢ ｔ — ａｎ算 ｅ 关 如 ｌｍａ ｏ ｅ和 Ｃ ｅｇＦ ， ｕ ｈｎ Ｇ ｏ和 Ｋ ｎ引， ｅｇ Ｐｒ ｕ 等 ． ａ Ｚｎ 和 ｉｏ ｉ 最 近 ， 文作 者 与 Ｚ ｎ 引 入 了一种 新型 的 Ｂｅｍ ｎ —ｕｚｒＨ ｈ 本 ｅｇＸＭ ｌｉａｎＢ ｔ — ａｎ算 子 的 Ｋ ｎｏｏｉ ｅ ａｔｒｖ ｈ型算 子 列 ， ｅ 定

一类推广的Bernstein-Kantorovich算子的点态逼近刘国芬【摘要】讨论Bernstein-Kantorovich 算子的一种推广形式的逼近性质，运用插项的方法证明了逼近正定理，并证明了逆定理，得到了逼近等价定理。

完善了算子在逼近性质方面的结果。

%We study the properties of approximation for a generalization of Bernstein-Kantorovich operators and prove the direct approximation theorem by the means of inserting term and the inverse theorem, namely the equivalence theorem. The results of the properties of approximation for this kind of operators are perfected.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2014(000)001【总页数】8页(P32-39)【关键词】Bernstein-Kantorovich型算子;光滑模;K-泛函;逼近正逆定理【作者】刘国芬【作者单位】河北师范大学数学与信息科学学院，河北石家庄 050024; 河北省计算数学与应用重点实验室，河北石家庄 050024【正文语种】中文【中图分类】O174.41对于f∈C[0,1],Bn(f,x)表示Bernstein-Kantorovich算子,定义[1]其中文献[2]中讨论了这类算子线性组合的逼近性质.而它的Sikkema-B´ezier变形为:这里,是B´ezier基算子,sn是一个自然数序列并且对于Sikkema算子[3]和B´ezier算子[4-7]许多学者都有一定的研究,对Bernstein-Sikkema-B´ezier算子的点态逼近性质进行了讨论[8],证明了其逼近的等价定理.本文将对Bernstein-Kantorovich的Sikkema-B´ezier变形算子的逼近性进行讨论,给出并证明该算子逼近的正逆定理和等价定理,其中主要结论叙述如下.定理1设则下面两个陈述是等价的:文中用到光滑模和K-泛函的等价性,它们的定义分别为:这里,其中a～b表示存在一个常数c>0,使得文中C表示与n和x都无关的常数,不同位置的数值可能是不一样的.为了证明定理1,需要几个引理.为了利用插项的方法,首先给出Bernstein-Kantorovich-B´ezier算子的逼近度,定义为引理2.1设证明由与光滑模之间的等价关系,对于固定的n,x和λ,可以选择适当的g=gn,x,λ,使得注意到|Bn,α(f)|≤α∥f∥,只需估计上式中的第二项.利用g(t)得到利用不等式,就有当−u≤2(0≤u≤1)时,和|.结合注意到0<Jn,k(x)≤1,再利用可推出[1]:利用(2.2)-(2.4)和(2.7)式,引理2.1得证.引理2.2下面关于Sn,1(f,x)的矩的估计:证明经过简单的计算就可得到Sn,1(1,x)=1,利用题设中的对于固定的x,只要取充分大的n,使得成立.于是(2.8)式得证.引理2.3设则有进一步,当f∈Wλ时,证明首先证明(2.9)式.这里利用1=Jn,0>Jn,1>···>Jn,n>0和当x∈注意到pn,n+1(x)=0,pn,−1(x)=0,结合,有由于=0,当x∈时,当x∈En时,δn(x)～φ(x),和于是当x∈En时,结合(2.11)和(2.12)式,证明了(2.9)式.下面证明(2.10)式. 由于Sn,α(1,x)=1,显然f(x)S′n,α(1,x)=0.当f∈Wλ时,有于是由(2.6)式,可得注意到pn,−1(x)=0,当时,这里对于K1,有(当x=0时,K1=0),另一方面,如果有|t−x|≤1,(1−x)n−1≤n1−n,K2≤C,于是K1+K2≤C.类似地,当x∈时,I2≤C.下面考虑I1,当x∈时,当x∈时,对于x∈En,δn(x)～φ(x),显然对于x∈En(2.14)式的推导过程也是适用的,I1≤C.于是当x∈En时,有由(2.15)和(2.16),(2.10)式成立.这样引理2.3得证.引理2.4当0时,不等式证明对于(2.17),利用H¨older不等式只需证明:借用(2.5)式的推导过程易得上面的不等式.结合(2.18)式成立.这一部分将对定理1进行证明.对于(1.2)⇒(1.1)式,由引理2.1,再由文献[1]中的(3.1.5)得到,于是(1.1)式成立.另一方面,利用引理2.3和引理2.4并借助文献[9]中定理1关于“⇒”的方法就可以证明(1.1)⇒(1.2)式,这里不再叙述细节.【相关文献】[1]Ditzian Z,Totik V.Moduli of Smoothness[M].New York:Springer-Verlag,1987.[2]程丽.Bernstein-Kantorovich算子线性组合同时逼近的正逆定理[J].纯粹数学与应用数学,2011,27(1):56-62.[3]Cao J D.A Generalization of the Bernstein polynomials[J].J.Math.Anal.andAppl.,1997,209:140-146.[4]Chang G Z.Generalized Bernstein-B´ezier polynomial[J]put.Math.,1983,1(4):322-327.[5]Liu Z X.Approximation of continuous by the generalized Bernstein-B´ezier polynomials[J].Approx.Theory Appl.,1986,4(2):105-130.[6]Zeng X M,Piriou A.On the rate of convergence of two Bernstein-B´ezier type operators for bounded variation functions[J].J.Approx.Theory,1998,95:369-387.[7]Guo S S,Qi Q L,Liu G F.The central approximation theorem for Baskakov-B´ezier operators[J].J.Approx Theory,2007,147:112-124.[8]刘国芬.Bernstein-Sikkema-B´ezier算子的点态逼近[J].数学的实践与认识,2013,43(1):199-204.[9]Guo S S,Liu L X,Qi Q L.Pointwise estimate for linear combinations of Bernstein-Kantorovich operators[J]. J.Math.Anal.Appl.,2002,265:135-147.。

cantor bernstein定理证明Cantor-Bernstein Theorem, also known as the Schröder-Bernstein Theorem, is a fundamental result in set theory. It states that if there exist injective mappings from a set A to a set B and vice versa, then there exists a bijective mapping between A and B. In essence, if A can be mapped injectively into B and B can be mapped injectively into A, then A and B must have the same cardinality.Cantor-Bernstein定理，也被称为Schröder-Bernstein定理，是集合论中的一个基本原理。

它表明，如果存在从集合A到集合B的单射映射，以及从集合B到集合A的单射映射，那么一定存在一个从A到B的双射映射。

简而言之，如果A可以单射地映射到B，同时B也可以单射地映射到A，那么A和B必定具有相同的势（即元素个数）。

The proof of the Cantor-Bernstein Theorem involves constructing a specific bijective mapping between A and B. One approach is to define a sequence of sets based on the given injective mappings, and then use these sets to define the desired bijection. This proof technique demonstrates the elegance and power of set theory in establishing the existence of bijections between sets.Cantor-Bernstein定理的证明的关键在于构造一个从A到B的具体双射映射。