浅谈Cesaro算子的逼近速度【文献综述】

泰勒公式及其应用摘 要 文章主要对泰勒公式在近似计算、求极限、证明不等式、外推、求曲线的渐近线方程和判断级数收敛性，对函数凹凸性及拐点判断、广义积分敛散性中的应用关于界的估计、和泰勒公式展开的唯一性问题做了简单系统的介绍和分析，从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位.关键词 泰勒公式; 佩亚诺余项; 拉格朗日余项; 不等式; 根的唯一存在性; 极值; 近似计算.一．引言近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.我们都知道，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可缺少的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓。

在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面. 这篇主要在于探索泰勒公式及其应用的新方法，借助泰勒公式的广泛应用，将泰勒公式的知识应用到数学解题的各个方面和领域中去，得出泰勒公式在数学各方面的应用和解求方法的简便性.二．预备知识2.1泰勒公式的定义定义2.1]1[ 若函数()f x 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()00()()(),!n n n f x x x r x n +-+ （1）其中 0()()(())n n n r x r x o x x =-满足 上述公式称为()f x 在点0x x =处带有佩亚诺余项的的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n nn x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2]2[ 若函数 ()f x 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x r x n =+-+-++-+, （2）这里()n r x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f r x x x n ξ++=-+,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f f f x f f x x x r x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xn xx n e n x x x e θ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnn x x x x x o x n =-+-++-+.2311ln(1)(1)()231n nn x x x x x o x n +++=-+-+-++.)(1112n n x o x x x x+++++=- ， +-++=+2!2)1(1)1(x m m mx x m 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得00)(μ=x f .2.2泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数()f x .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()(())n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们.当n =1时，有 1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似. 当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-， 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高. 2.3泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类佩亚诺型余项0(())n o x x -，一类是拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+，它们的本质相同，但性质各异.佩亚诺型余项0(())n o x x -是定性的余项，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+是定量的余项（ξ也可以写成00()x x x θ+-）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.三．泰勒公式的应用3.1 .利用泰勒公式求极限简化极限运算,就可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限.例1. 求极限sin 2lim sin cos x x xe x xx x x →0-1--- .分析 ： 此为00型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sin x , xe 分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由1sin 2xx e x x ---=233331()())2626x x x x x o x x x o x ++++-1--(-+=34333()()6126x x x o x o x ++=+, 3233sin cos ()(1())62x x x x x x o x x o x -=-+--+=33()3x o x + 于是1sin 2lim sin cos xx x e x x x x x →0----3333()162()3x o x x o x +==+，3. 2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物,不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷.例1. 当0x ≥时,证明31sin 6x x x ≥-.证明 取31()sin 6f x x x x =-+,00x =,则'''''''''(0)0,(0)0,(0)0,()1cos ,(0)0.f f f f x x f ====-≥带入泰勒公式,其中n =3,得31cos ()0003!x f x x θ-=+++，其中10<<θ. 故当0x ≥时,31sin 6x x x ≥-.例2. 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，01lim ()1x f x ≤≤=-，试求存在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.证： 由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '=. 又21111()()()()()()2!f f x f x f x x x x x η'''=+-+- 21()1()2!f x x η''=-+-，（η介于x 与1x 之间） 由于(0)(1)0f f ==，不令0x =和1x =，有211()0(0)1(0)2f f x ξ''==-+-， 所以21112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<，当1112x <≤时，2128x -≥，而当1112x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()f ξ''中必有一个大于或等于8.3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时,就可以利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,以便利用判敛准则.在判定广义积()a f x dx +∞⎰敛散性时, 通常选取广义积分1(0)p a dx p x +∞>⎰进行比较, 在此通过研究无穷小量()()f x x →+∞的阶来有效地选1pa dx x +∞⎰中的p 值，从而简单地判定()af x dx +∞⎰的敛散性（注意到：如果()af x dx +∞⎰得收敛，则()af x dx +∞⎰得收敛）. 例 1. 研究广义积分4(332)x x x dx +∞++--⎰的敛散性. 解 ： 22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++()332f x x x x =++--112233(1)(1)2x x x=++--22223191131911(1())(1())22828x o o x x x x x x=+⋅-⋅++-⋅-⋅+-3/23/2911()4o x x=-⋅+ ，因此，3/2()9lim14x f x x →+∞=，即()0f x →是1()x x →+∞的32阶，而3/241dx x +∞⎰收敛，故4()f x dx +∞⎰收敛，从而4(332)x x x dx +∞++--⎰.例2． 讨论级数111(ln )n n n n∞=+-∑的敛散性.注意到11lnln(1)n n n+=+,若将其泰勒展开为1n 的幂的形式,开二次方后恰与1n相呼应,会使判敛易进行. 解： 因为2341111111lnln(1)234n n n n n n nn+=+=-+-+<, 所以11ln1n n<+, 所以11ln 0n n u n n+=->，故该级数是正项级数. 又因为332332322111111111111ln()()23422n o n n n n n n n n n nn n +=-++>-+=-=-, 所以3322111111ln ()22n n u n n n nn n +=-<--=.因为31212n n∞=∑收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数收敛.3.4 利用泰勒公式判断函数的凸凹性及拐点例 1. 设()f x 在[a,b]上连续在(a,b)上具有一阶和二阶导数，若在(a,b)内 ()0f x ´´>()f x 在[a,b]上是凹向的. 12x x 证明：设c <d 为[a,b]内任意两点，且[c,d]足够小.<为[c,d]中的任意两点，1202x x =+记x 由定理条件得泰勒公式： 2000000()()()()()()((-))2n x x f x f x f x x x f x o x x ´´´-=+-++!，22102012001002000()()()()()()()()()()()22x x x x f x f x f x f x x x f x x x f x f x ´´´´´´--+=2+-+-++!!221020())())o x x o x x +(-+(-212()n x x x x 因为余项为-的高阶无穷小，[，]又为足够小，202000()()())()2x x f x o x x f x ´´´´-所以泰勒公式中+(-的符号与相同。

数学中的逼近与误差分析方法数学是一门精确的学科，而逼近与误差分析是在数学中常常涉及的重要概念。

无论是求解数学问题还是在实际应用中利用数学进行计算，逼近与误差分析都扮演着至关重要的角色。

本文将介绍数学中的逼近和误差分析方法，并探讨其在实际应用中的意义和应用。

一、逼近方法逼近是指通过寻找一个趋近于所需的值的近似值来求解问题的方法。

在数学中，逼近方法被广泛应用于各个领域，如数值计算、函数逼近等。

逼近方法有很多种，其中常见的有泰勒展开、插值法和最小二乘法等。

1. 泰勒展开泰勒展开是一种将一个函数展开成无穷级数的方法，通过取有限项来逼近原函数的思想。

泰勒展开使得我们可以用一个简单的多项式函数来逼近复杂的函数，从而简化计算。

泰勒展开在数值计算中有广泛的应用，可用于计算函数的近似值和导数的值等。

2. 插值法插值法是一种在给定数据点的情况下，通过建立一个多项式函数来逼近未知函数的方法。

插值法的基本思想是通过数据点构造一个满足这些点要求的多项式函数，从而逼近原函数。

插值法可用于数据的平滑处理、曲线拟合以及信号处理等领域。

3. 最小二乘法最小二乘法是一种通过优化问题，通过对误差的平方和最小化来寻找最佳逼近解的方法。

最小二乘法可以用于任意一种函数逼近问题，例如线性回归分析、数据拟合等。

最小二乘法的基本思想是通过获取一组数据点，拟合一条曲线使得数据点和曲线之间的误差最小。

二、误差分析方法误差分析是对数学计算结果和逼近方法中所引入误差的分析与评估。

在数学计算中，由于各种因素的影响，计算结果通常会与实际值存在一定差距。

误差分析方法能够对这些误差进行量化，并评估其对计算结果的影响。

1. 绝对误差绝对误差是指计算结果与实际值之间的差距。

其计算公式为实际值减去计算结果的绝对值。

绝对误差可以直观地表达计算的精度，它越小表示计算结果越接近实际值。

2. 相对误差相对误差是指计算结果与实际值之间的相对差距。

相对误差的计算公式为绝对误差除以实际值的绝对值。

马斯京根法的文献综述马斯京根法（Marshakian法）是古地磁学中一种地磁地层学方法，广泛应用于地磁地层学的研究中。

本文将围绕马斯京根法对地磁地层学的应用展开文献综述，总结出该方法的原理、应用领域及发展现状。

马斯京根法的原理主要基于地球磁场的变化和地壳运动之间的关系。

通过对地层剖面中的磁化属性进行测量，并和古地磁数据进行比较，可以推测地壳的水平移动和地磁场的变化。

马斯京根法的核心思想是将地壳运动和地球磁场的变化联系起来，从而揭示地层剖面中不同地层之间的相对年代差异。

马斯京根法最早是由俄罗斯地球物理学家M.M.Marshak于1930年提出，用于分析地球磁场的历史变化和地壳构造的演化。

随着研究的深入，马斯京根法的应用范围也逐渐扩大到了不同地球科学领域，如古地磁学、古地磁年代学、地球演化等。

在古地磁学中，马斯京根法是一种重要的研究方法。

通过测量剖面中不同岩石的自诱磁化强度和地磁比例系数（K值），可以计算出相对磁化强度和地磁矩系数（q值），进而推测岩石颗粒的尺寸和岩石的磁化历史。

这些数据对于研究地球磁场的变化和地壳运动的速度提供了重要的线索。

在古地磁年代学中，马斯京根法可以用于确定地层的准确年代。

通过比较不同剖面中的磁化特征和古地磁脉冲，可以建立起地层剖面之间的年代关系，并推断出地层的相对年代。

通过与有年代的化石资料结合，还可以进一步确定地层的绝对年代。

在地球演化研究中，马斯京根法可以揭示地壳运动和地球磁场的演化过程。

通过对不同断裂带地磁特征的测量和比较，可以推测断裂带的活动时间和断裂的位移速度。

这些数据可以用于研究地壳运动的规律和地球磁场的变化。

马斯京根法是一种重要的地磁地层学方法，对于研究地球磁场的变化和地壳运动的演化具有重要的意义。

但是由于该方法的测量精度和理论基础的限制，目前仍然存在一定的局限性。

未来需要进一步深入研究，提高方法的可靠性和适用性，推动马斯京根法在地球科学领域的进一步发展和应用。

数学专业文献综述范文文章一：数学专业文献综述——函数逼近理论函数逼近理论是数学专业中一个重要的研究领域，它主要研究的是利用已知的函数近似地求解未知函数。

本篇文章将从函数逼近基础、线性逼近和非线性逼近三个方面探讨函数逼近理论的研究进展。

一、函数逼近基础函数逼近基础是函数逼近理论的重要组成部分，主要研究的是通过一定的逼近方法，构造近似函数，从而近似地求得未知函数。

在函数逼近基础领域，研究者主要关注的是逼近过程中的误差估计和收敛性质。

二、线性逼近线性逼近是函数逼近中的一种常见方法，它是指使用一组线性函数去近似未知函数。

在线性逼近领域，研究者主要关注的是基函数的选取和线性组合的系数计算方法。

近年来，深度学习技术的发展使得线性逼近在实际应用中得到了广泛的应用。

三、非线性逼近非线性逼近是函数逼近中的另一种常见方法，它是指使用一组非线性函数去近似未知函数。

在非线性逼近领域，研究者主要关注的是选取的非线性函数的充分性和逼近精度等问题。

近年来，机器学习技术的发展使得非线性逼近在实际应用中得到了广泛的应用。

综上所述，函数逼近理论的研究涵盖了函数逼近基础、线性逼近和非线性逼近等多个方面。

未来，基于机器学习技术的函数逼近方法将得到更加广泛的应用。

文章二：数学专业文献综述——微分几何微分几何是数学专业中一个重要的研究领域，它主要研究的是空间上的曲面和流形的性质。

本篇文章将从微分流形、黎曼度量和微分流形上的微积分三个方面探讨微分几何的研究进展。

一、微分流形微分流形是微分几何中的关键概念，它是指一个可以被局部地看做与欧几里得空间同构的空间。

在微分流形领域，研究者主要关注的是流形的切空间、切丛和余切丛等基本概念，以及它们的光滑性质。

二、黎曼度量黎曼度量是微分几何中的重要工具，它是指在微分流形上定义的一个内积和长度的概念。

在黎曼度量领域，研究者主要关注的是黎曼度量的充分性和唯一性、范数和距离的定义，以及它们在诸如广义相对论等领域的应用。

cesaro定理
Cesaro定理，又称Cesaro-Stolz定理，是数学家Francesco Paolo Cesaro于1880年提出的定理。

它是数学家们用来研究分数的精确极限的重要工具，有助于理解无穷级数的收敛性质，建立和证明诸多结论。

要明白Cesaro定理，我们首先要了解无穷级数的概念。

一个无穷级数是指包含无数项的数列，其末项无穷大，且所有项和收敛于一个实数（极限）。

例如，等差数列{1，4，7，10…}，若极限L=11/2，则被称为一个无穷级数。

现在我们来看Cesaro定理，它可以用来证明一个无穷级数的极限是否存在。

Cesaro定理宣称：若无穷级数的每一项都与它的平均数的差的绝对值的和有极限，则该无穷级数的极限也存在。

要用Cesaro定理来证明一个无穷级数的收敛性，我们需要计算该无穷级数的平均数，然后计算该无穷级数中每一项与平均数之差的绝对值，最后求出这个差值的总和，检查其是不是随着无穷级数中项数的增加而收敛于某一数。

如果这个绝对值的总和是收敛的，则可以证明该无穷级数的极限存在。

同时，Cesaro定理也可以用来验证无穷级数的极限的值的确定性。

根据Cesaro定理，如果无穷级数中每一项与平均数之差的绝对值的总和收敛于0，则说明无穷级数的极限其实是平均数。

Cesaro定理有很多应用，它能够帮助我们厘清极限的计算思路，为解决一些复杂的问题提供有效的思路和依据，也方便用来证明许多
数学结论。

总的来说，Cesaro定理是数学家们研究无穷级数收敛性质的重要工具，它的应用广泛，是当今数学研究的重要组成部分。

Toeplitz矩阵循环延拓后的特征值数值分析
梅金顺;王润秋
【期刊名称】《地球物理学进展》
【年(卷),期】2013(0)1
【摘要】本文采用数值分析的方法探讨Toeplitz矩阵延拓成ω循环矩阵时特征值的逼近程度.对于对称共轭型Toeplitz矩阵,采用ω=±i时对应的循环矩阵特征值的逼近程度较好;对于其它Toeplitz矩阵,采用共轭转置将其转化为对称共轭型矩阵后,才有利于特征值的逼近.可将本文方法广泛应用于地球物理中的数值计算(如位场计算、信号处理中的反褶积、地震资料的偏移处理等).
【总页数】5页(P265-269)
【关键词】Toeplitz矩阵;循环矩阵;特征值逼近;预条件
【作者】梅金顺;王润秋
【作者单位】中国石油大学(北京)油气资源与探测国家重点实验室
【正文语种】中文
【中图分类】P631
【相关文献】
1.对称Toeplitz矩阵特征值的快速算法 [J], 曾祝明
2.对称Toeplitz-plus-Hankel矩阵特征值的快速算法 [J], 曾祝明
3.Hermitian Toeplitz矩阵特征值反问题 [J], 李波;王金林;易福侠
4.分块r—循环Toeplitz矩阵的特征值方程 [J], 麦苗
5.基于一类Toeplitz矩阵特征值的三角恒等式 [J], 马建荣;刘三阳;张鹏鸽
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Bezier曲面的最佳逼近【一第l8卷第5期北京科技大学1996年10月JournalofUniversityofScienceandTechnologyBeijingV o1.18No.5Oct.1996Bezier曲面的最佳逼近V王兵团张志刚'王军团王萍').-......一'——————_.———?-～I)北京科技大学数力系,北京l0(10832)东风汽车公司技工学校门/0i}摘要提出一种用于计算机辅助几何设计的分片最佳逼近Bezicr曲面控制点的方法,这种方法只用有限次最小二乘计算就可以完成最佳逼近的目的.关键词Bezier曲面,逼近,外形设计中国分类号0I74.4IO1871Bezier曲线和Bezier曲面是几何造型的一种重要方法,由于它们有很好的几何性质,使得其在船舶,飞机和汽车等的外型设计中应用甚广通常在进行外型设计时,要利用一组已知数据来获得由Bezier曲线或曲面表示的参数方程.为此,人们尝试着不同的方法来达到这个目的.文献【1]中提出了用一次最/1~=-乘计算来获得Bezier曲面方程的方法.本文在该文献的基础上,提出用有限次最小二乘计算可使逼近结果达到最佳.1Bezier曲线的逼近设给定一组空间点列(Q.)i=0,1,2,…,,,求一条m次Bezier曲线,使其在离差绝对值最大者极小的意义下最佳逼近点列{Q.)(见图1).令曲线口的方程为:一∑(r)0f≤1(1):0国1量佳逼近的Bezierl~线式中(Octtl'0是Bemstein基函数,{为曲线的特征多边形顶点.对每个数据点,应该怎样选取B上的对应点≯(')?本文选取规范化的累加弦长平方作为,即f0,1∑∑,;tt=1=t:0f≠0上式中,=表示相邻两数据之间的距离.在选定f后,曲线曰逼近{Q,)的问题转化为求解包含m+1个未知向量,,+1向量方程的方程组:1995—08—01收稿第一作者男38岁副教授硕士二——————————一苎皇兰苎查兰兰堡B(')=i=0,1,…,f21由于m一般5,而r比m大得多,所以式(2)是超定线性方程组.在外形设计中,要求:=O,:O,于是式(2)成为:t.(6=O一(.(+B()Q)i=1,2,…,r一1(2)文献【1]是求式(2)的最小二乘解,而本文求它的最佳逼近解.2Be~er曲面的逼近设给定一组空问点阵{O,},i=0,1,…,=0,i,…把每相邻两点用直线连接起来.组成一个拓扑意义下的矩形网格.我们的问题是求一块m×n次Bezier曲面片S 使其能最佳逼近给定的点阵.,)设S的方程为:芦(Ⅳ,)=∑∑(Ⅳ)().w≤1(3)式中f(Ⅳ),f(w)为Bemstein基函数;是S～的特征网格的控制顶点.对每个点g,如何选取S上的点"w作为QJ的对应点是一个很敏感的问题.用文献【1]的双累加弦长参数来确定(,,)进行最佳逼近时,精度比文献[1】好,但我们采用规范化双累加弦长平方参数来确定w.,)能达到更好的效果.这种选取能保持内在不变的几何性质.这里"W,为:f,0,1∑/∑%1,2_…,rL=】;】f.1∑*:,∑':z=l,2,…,L=】=t这里l及,孑分别表示两个方向的相应弦长,即0=—Qi-v—Qq,=—Qo-—IQ,).显然0,"wi,1,令,:O可以得到+I)+1)个向量线性方程组:?∑∑t).(w=Q0,l,…,r;=0,i,…,(4)它含有(+1)(+1)个未知量,k=0,1,…,m;0,1,…,在外型设计中,通常把实测数据点分成几组,分别用每组数据进行Bezier吐面的逼近然后按某种光滑连接条件把它们拼接起来.步骤大致为:(1)令4个角点相等,即=Q..=Q.,==Q,.,::=Q(2)分别闻Bezier曲线逼近4条边界线,Ⅳ=0,"=1,w=0和W=1,从而得到Bezier曲面的边界控制点,,和V ol18No.5王兵团等:Bezier~面的最佳逼近?493(3)逼近曲面s的中间控制点.此时将(2)得到的全部边界控制点代人式(4),碍:一日(",,6,=Q,一日Q一肋(5)=if=】式中,f=1,2,…,r一1;,=1.2…,一1,以及BQ,,=Bo("日0()Q..+Bo("日(Q.4-B("日o(Q,.+日)aa(w)Q,一一一BB0日(".(6.+B(+(w0)[Bo("6.f+("6=I【这是一个包含一1)一1)个未知向量,k=l,2,…,m.1;,=l,2,…,.1,有(r-0(s.1)个方程的超定线性方程组.余下的问题是怎样去求这些方程组的最佳逼近解.对超定线性方程组的最佳逼近锵,已经有许多算法,如文献【2】中的Polya算法,上升算法等,这些算法对本文的方程都有计算量过大的缺点.本文采用文献[3】中的有限次最小二乘逼近来得到最佳逼近解的方法.用这种方法可以同时结出最小二乘解和最佳逼近解以及它们之间的若干中间解.这对Bezier曲面逼近问题是很方便的,获们可以根据问题的具体特点和精度要求来选用.由于式(5)的系数矩阵中所有行向量满足Haar条件,因此它可以满足文献【3]中的条件和结论.再者由于m通常5,这样对边界线的方程组,每组最多含4个未知向量,由文献[3】的结论,最多做5次最小二乘法就可得到边界上的最佳逼近解考虑到逼近的整体性,可以对式(5)也做5次最小二乘法求出的中间网格点.如果还想提高精度,可以继续对式(5)做最小二乘法,最多做到(m.1)(.1)次就求出(5)的最佳逼近解,从而得到最佳逼近的Bezier曲面利用有限次最小二乘法求(5)的最佳解,是通过对扰动后的剩余向量按模减少的趋势给出的,即r(6()II&lt;llr(),k=1,2,…我们可以根据要求而不一定都要进行到最佳逼近解.由于全部过程的系数矩阵都保持不变,重复求最小二乘解程序相当简单,计算量也增加不大.3算例在椭圆球面上,取一组(Q}来做数值计算:设:/9)+/4)4-:=1,取一11,01&gt;0的一片,为此在.roy面上取如下l1×11个分割节点,,:'一1+0.2if=0,12..,107,=0.J一0.1,2,…,10再由S算出u的对应值,得到原始数据点g,=,,,,),i,=0,1,2,…,10,按式(5)选用4×4Bezier曲面片,用本文的方法逼近上述11x11个数据点Q得到部分结果见表1.从上表1可以看出,最佳逼近的效果是十分满意的例如=0.4,=0.7时,逼近值与解析值是一致的.计算结果表明,解析曲面与逼近曲面之间的最大误差是3.87×10—6.文献…也用此例进行计算,但它的误差最大为2×10—4,本方法在逼近程度上提高了1个多数量级.计算是在JBMPC机上完成的494北京科技大学1996年No.5表1不同,v下的:计算结果×10'4结论本文所提的方法具有用较小的计算达到较大精度的优点,它的计算简单,数据存贮少对于实际的Bezier曲面的外形设计问题是完全可行的,可供有关部门试用.致谢:剂钦圣教授对奉文提出许多宝贵意见.在此表示感谢参考文献l刘鼎元,胡康生Bezier曲面的拟合.应用数学,1984(7):250～2562切尼Ew.逼近论导引徐献瑜等译.上海:上海科技出版社,198l3杨曙光.用有限次最小二乘法求解超定线性方程组的T解.高等学校计算数学,1986,l8(3):15～194苏步青,刘鼎元.计算几何.上海:上海科技出版社,198l BestapproximationofBezierSurfaceWangBingtuanZhangZhigan DeparlmentofMathewmiesanddfMeehanies,USTB.WangJuntuan)WangPing)BⅡg1000832)DongFengAutoCoPolytechnicABSTRACTBestapproxim~ionmohodofBezierSurfaceisposedhere.ItCallgetthe purposebydoingLeastsquarecomputationfinitetimes.TheBestapproximationof Beziercurvesisalsoincluded.KEYWORDSBeziercurvedsurface,approxmation,appearancedesign。

实变函数论文实变函数论文(设计)课程中的应用题目：各角度讨论逼近思想在实变姓名：王凯指导教师：崔亚琼完成日期： 2021 年 1 月 3 日学院：数学与计算机科学学院班级：数学与应用数学五班各角度谈论逼近思想在实变课程中的应用一、逼近思想在函数中的形成从18世纪到19世纪初期，在L. 欧拉、P.-S. 拉普拉斯、J.-B.-J. 傅里叶、J.-V. 彭赛列等数学家的研究工作中已涉及一些个别的具体函数的最佳逼近问题。

这些问题是从诸如绘图学、测地学、机械设计等方面的实际需要中提出的。

在当时没有可能形成深刻的概念和统一的方法。

切比雪夫提出了最佳逼近概念, 研究了逼近函数类是n 次多项式时最佳逼近元的性质，建立了能够据以判断多项式为最佳逼近元定理的特征。

他和他的学生们研究了与零的偏差最小的多项式的问题, 得到了许多重要结果。

已知【α, b 】区间上的连续函数ƒ(x ), 假,(n ≥0),叫做ƒ(x ) 的n 阶最佳一致逼近值, 也简称为最佳逼近值，简记为E n(ƒ) 。

能使极小值实现的多项叫做ƒ(x ) 的n 阶最佳逼近多项式。

切比雪夫证明了, 在区间【-1,1】上函数x n+1的n 阶最佳逼近多项式必满足关系式。

多项就是著名的切比雪夫多项式。

切比雪夫还证明了,…+是ƒ(x ) 在【α, b 】上的n 阶最佳逼近多项式的充分必要条件是：在【α，b 】上存在着n +2个点:α≤x 11885年德国数学家K. （T.W. ）外尔斯特拉斯在研究用多项式来一致逼近连续函数的问题时证明了一条定理，这条定理在原则上肯定了任何连续函数都可以用多项式以任何预先指定的精确度在函数的定义区间上一致地近似表示，但是没有指出应该如何选择多项式才能逼近得最好。

如果考虑后一个问题，那么自然就需要考虑在次数不超过某个固定整数 n 的一切多项式中如何来选择一个与ƒ(x ) 的一致误差最小的多项式的问题，而这正好是切比雪夫逼近的基本思想。