北京大学2008年高等代数与解析几何试题及解答

高代与解几第二章自测题（一）——行列式一、 判断题1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ）2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ）3. 2≥n 时，n 级的奇排列共2!n 个. （ √ ） 二、填空题1. 排列)15342( 的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列 2)22)(2)(12(13 --n n n 的逆序数是 n (n －1) .2. 设行列式ijn nD a ⨯=,则n n A a A a A a 1112121111...+++= D ，n n A a A a A a 5152125111...+++= 0 .3. 行列式D ＝x x x x x x 2213321232321--的展开式中4x 的系数是 -4 ，常数项是 -18 .4. 排列821j j j 的逆序数是9，则排列 178j j j 的逆序数是 19 .5. 设82718491423123267----=D ，则14131211M M M M -+-= 240 .二、证明题3. nn D n 20012000302202002210002----=（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式）4. nD n 222232222222221=（提示：爪型行列式）高代与解几第二章自测题（二）——矩阵，线性方程组一、 判断题1. 如果矩阵A 有r 阶子式大于零,那么r A rank >)(.（ ×）2. 如果矩阵A 没有非零子式，那么0)(=A rank .（√ ）3. 如果矩阵A 的r 阶子式都等于零,那么r A rank <)(.（ √）4. 初等变换不改变矩阵的秩.（√ ）5. 若n 元线性方程组有2个解，则其增广矩阵的秩小于n .（√ ） 三、填空题1. 54⨯矩阵A 的秩为2， 则A 的标准形为___⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000000001000001____________. 2 若n 元线性齐次方程组仅有零解，则其系数矩阵的秩为 n .三、计算与证明题1. 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=-++=++++04523,05734,03,02543254321543154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一般解. 解：对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，得A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-45230573411110312111→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----45230452304523012111→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000343532103131310100000000004523012111 取543,,x x x 为自由未知量，得其一般解为：……2. 解线性方程组12341234123421,4222,2 1.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩解 方程组的增广矩阵为：B =⎢⎢⎢⎣⎡112224112--- 111- 121⎥⎥⎥⎦⎤，….……………………………….. 2分 对B 做行初等变换：B =⎢⎢⎢⎣⎡211000010000- 100⎥⎥⎥⎦⎤，…………………………….....…… 6分 从而得方程组的解为……3. 设n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数，n b b b ,,,21 是数域K 中任一组给定的数，证明：有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =,.,...,2,1n i =证明:要证有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =()n i ,,2,1 =,即要证有唯的一组数1210,...,,,-n c c c c ,使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++==++++==++++=------n n n n n n n n n n n b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f 112210212122221021111221101...)(......)(...)(1 …… (2分)即证方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++------n n n n n n n n n n b x a x a x a x b x a x a x a x b x a x a x a x 1122102112222120111122110............1 …… (4分) 有唯一一组解.而此方程组的方程个数与未知数个数相等.其系数行列式121323312222112111111----=n nn nn n n a a a a a a a a a a a a D……(5分) T D 是范德蒙德行列式,由范德蒙德行列式的结论知,∑≤<≤-==nj i i jT a aD D 1)( ……(7分)又n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数,故0≠D ,由克莱姆法则知,上述方程组有唯一一组解.得证. …… (10分)4. 设n a a a ,...,,21是互不相同的数，b 是任意数，证明线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++----11212111221121......1...n n n n n n n n n bx a x a x a b x a x a x a x x x 只有唯一解，并求出这个解.证明:观察知此方程组的未知量个数与方程个数相等，其系数行列式D =1121121111---n nn n na a a a a a是n 阶范德蒙德行列式 …… (4分) 因此，D =∏≤<≤-ni j j ia a1)(，由于n a a a ,...,,21是互不相同的数，所以0≠D ，根据克莱姆法则知此线性方程组只有唯一解, n k DD x kk ,...,2,1,==,其中k D 是将系数行列式D 的第k 列换成 T n b b b ),...,,,1(12-， …… (7分)显然k D 依然是n 阶范德蒙德行列式，且k D 的值只是将D 的值中k a 的地方换成b ，因此n k a a a a a a a a a b a b b a b a x k k k k k k n k k n k ,...,2,1,))...()()...(())...()()...((111111=--------=-+-+ (10分)5. 假设有齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,02,0321321321 x x x p x x x x x x当p 为何值时，方程组仅有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其一般解。

北京大学数学考研题目1983年 基础数学、应用数学、计算数学、概率统计专业2222022200Ax By C z D yz Ezx Fxy A B C +++++=++=一、（分）证明：在直角坐标系中，顶点在原点的二次锥面有三条互相垂直的直母线的充要条件是.1223112220...1,...2, (1)n n n n n x x x x x x xx x n ++++++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=+⎩二、（分）用导出组的基础解系表出线性方程组的一般解。

121220,,...,()()...()1n n a a a x a x a x a ----三、（分）设是相异整数。

证明：多项式在有理数域上不可约。

20000120231001011A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭四、（分）用V 表示数域P 上全部4阶矩阵所成的线性空间，A 是V 中的一个矩阵，已知－10，，及10分别是的属于特征值， ， ，－1的特征向量。

（1）求A;(2)求V 中与A 可交换的矩阵全体所成的子空间的维数及一组基。

20,A B 五、（分）设是两个n 级正定矩阵。

证明：AB 是正定矩阵的充要条件是A 与B 可交换。

1984年 数学各专业132110::23100363x y l z x y z π--==-++-=一、（分）求直线与平面的交点。

10,,,,a b c a b b c c a ⨯⨯⨯二、（分）设向量不共面。

试证：向量不共面。

15K K K K K K 三、（分）设和为平面上同心的单位（半径＝1）开圆域和闭圆域。

（1）取定适当的坐标系，写出和的解析表示式；（2）试在和的点之间建立一个一一对应关系。

{}{}{}{}23231231251,,.2,,V R V T V V T T T T T T TT T T εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε--→==+=++111212312311113四、（分）设是实数域上的三维向量空间，，，是的一组基。

1． 在直角坐标系中，求直线⎩⎨⎧=++=-+1202:z y x z y x l 到平面03:=++z By x π的正交投影轨迹的方程。

其中B 是常数2． 在直角坐标系中对于参数λ的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：0222=+++λλxy y x .对于中心型曲线，写出对称中心的坐标；对于线心型曲线，写出对称直线的方程。

3． 设数域K 上的n 级矩阵A 的),(j i 元为ji b a -（1）.求A ;(2).当2≥n 时，2121,b b a a ≠≠.求齐次线性方程组0=AX 的解空间的维数和一个基。

4．（1）设数域K 上n 级矩阵，对任意正整数m ，求mC （2）用)(K M n 表示数域K 上所有n 级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为K 上的线性空间。

数域K 上n 级矩阵1432121321a a a a a a a a a a a a A n n n-=称为循环矩阵。

用U 表示K 上所有n 级循环矩阵组成的集合。

证明：U 是)(K M n 的一个子空间，并求U 的一个基和维数。

5．（1）设实数域R 上n 级矩阵H 的),(j i 元为11-+j i （1>n ）。

在实数域上n 维线性空间n R 中，对于nR ∈βα,，令βαβαH f '=),(。

试问：f 是不是n R 上的一个内积，写出理由。

（2）设A 是n 级正定矩阵（1>n ）nR ∈α，且α是非零列向量。

令αα'=A B ，求B的最大特征值以及B 的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基6．设A 是数域R 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，用I 表示V 上的恒等变换，证明： n r a n k r a n k =+++-⇔=)()(23A A I A I I A2006年北京大学研究生考试高等代数与解析几何试题 本试卷满分150分 考试时间 3小时 日期：2006年1月15日下午高等代数部分（100分）1.(16分)(1) 设,A B 分别是数域K 上,s n s m ××矩阵，叙述矩阵方程AX B =有解的充要条件，并且给予证明。

2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（19选修4：几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲、矩阵与变换）一、几何证明选讲：1. (2008广东文、理)已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA=2. AC 是圆O 的直径, PC 与圆O 交于点B,PB=1, 则圆O 的半径R=___3____.1.解: 如图,因为PA 是圆O 的切线，PBC 是圆O 的割线，PA=2, PB=1.由切割线定理,知PC PB PA ⋅=2,所以PC=4. 在Rt △PAC 中,由购股定理AC 2=16-4=12,所以AC=23.所以, 圆O 的半径R=3.2、(2008海南、宁夏文、理)如图，过圆O 外一点M 作它的一条切线，切点为A ，过A 作直线AP垂直直线OM ，垂足为P 。

（1）证明：O M ·OP = OA 2；（2）N 为线段AP 上一点，直线NB 垂直直线ON ，且交圆O 于B 点。

过B 点的切线交直线ON 于K 。

证明：∠OKM = 90°。

2．解：（Ⅰ）证明：因为MA 是圆O 的切线，所以OA AM ⊥．又因为AP OM ⊥．在Rt OAM △中，由射影定理知，2OA OM OP =g ．（Ⅱ）证明：因为BK 是圆O 的切线，BN OK ⊥．同（Ⅰ），有2OB ON OK =g，又OB OA =， 所以OP OM ON OK =g g ，即ON OMOP OK=． 又NOP MOK =∠∠，所以ONP OMK △∽△，故90OKM OPN ==o∠∠．3．(2008江苏) 如图，设△ABC 的外接圆的切线AE 与BC 的延长线交于点E ，∠BAC 的平分线与BC 交于点D ．求证：2ED EB EC =g ． 证明：如图，因为AE 是圆的切线， 所以，ABC CAE ∠=∠,又因为AD 是BAC ∠的平分线， 所以 BAD CAD ∠=∠从而 ABC BAD CAE CAD ∠+∠=∠+∠ 因为 ADE ABC BAD ∠=∠+∠, DAE CAD CAE ∠=∠+∠ 所以 ADE DAE ∠=∠,故EA ED =.因为 EA 是圆的切线，所以由切割线定理知, 2EA EC EB =⋅,而EA ED =,所以2ED EC EB =gK BPA OMNB C ED A二、坐标系与参数方程：1．(2008重庆文)曲线C :cos 1.sin 1x y θθ=-⎧⎨=+⎩(θ为参数)的普通方程为 (C )(A)(x -1)2+(y +1)2=1 (B) (x +1)2+(y +1)2=1(C) (x -1)2+(y -1)2=1(D) (x -1)2+(y -1)2=12．. (2008湖北文)圆34cos ,()24sin x C y θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数的圆心坐标为 （3，－2），和圆C 关于直线0x y -=对称的圆C ′的普通方程是 （x ＋2）2＋（y －3）2＝16 .3．(2008福建理)若直线3x+4y+m=0与圆⎩⎨⎧+-=+=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是 (,0)(10,)-∞⋃+∞ .4．(2008广东文、理)已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（20,0πθρ<≤≥），则曲线1C 与2C 交点的极坐标为__⎪⎭⎫⎝⎛6,32π___. 4.解: 曲线21,C C 的直角坐标方程分别为4)2(,322=+-=y x x ,且0≥y ，两曲线交点的 直角坐标为（3，3）. 所以，交点的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛6,32π.5．(2008江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，求S x y =+的最大值．5．解： 因椭圆2213x y +=的参数方程为 (sin x y φφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数） 故可设动点P的坐标为,sin φφ），其中02φπ≤<.因此1sin sin )2sin()23S x y πφφφφφ=+=+=+=+ 所以。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（文科）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B 等于（ ） A ．{}|34x x x ≤>或 B ．{}|13x x -<≤ C ．{}|34x x ≤<D ．{}|21x x -≤-<解：{}|21A B x x =-≤-< ，选D2．若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>解：利用中间值0和1来比较: 372log π>1log 61log 0.80a b c =<=<=<，0，3．“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：“双曲线的方程为221916x y -=”⇒“双曲线的准线方程为95x =±” 但是“准线方程为95x =±” ⇒ “双曲线的方程221916x y -=”,反例: 2211882x y -=.4．已知ABC △中，a =b =60B = ，那么角A 等于（ ）A ．135B ．90C ．45D ．30解：由正弦定理得:,sin 60sin sin sin sin 2a b A A B A B =⇒=== 45a b A B A <⇒<∴=5．函数2()(1)1(1)f x x x =-+<的反函数为（ ）A ．1()11)f x x -=> B ．1()11)f x x -=> C ．1()11)f x x -=≥D ．1()11)f x x -=≥解：22(1)1,(1)111y x x y x x =-+∴-=-<∴-=，又 所以反函数为1()11)f x x -=>6．若实数x y ，满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤，，，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2解：可行域是以(0,0),(0,1),(0.5,0.5)A B C -为顶点的三角形（如图），200x y y +≥+≥ ，0,0x y ∴==时2z x y =+取最小值0。

2008年 北京大学研究生入学考试高等代数与解析几何试题解答说明: 本试题解答由SCIbird 提供, 继续在博士家园论坛首发. 若有转载, 请注明转载自博士家园论坛. 在看证明前, 建议读读下面一段话,将有助于对本套试题解答的理解.现在看到的这套试题的解答, 算是我本人在过去两个月学习高代的一个阶段总结. 考虑到自身水平, 我觉得十分有必要声明两点:(1). 和数分一样, 高代也是自学的. 只不过刚学不久, 但没数分学的时间长, 也没数分用的熟练. 于是我决定在这套试题解答中使用尽可能使用比较基本的方法, 这样会降低自己出错的机会. 但这样写可能在一些高手的眼里就显的太基础了, 太俗了, 甚至方法很笨拙. 可这也是没办法的事, 比如我目前还不怎么会用约当标准型.(2). 在本解答中,我尽量写的通俗些, 但为避免引起大家的困惑和不必要的争议, 需要先说明下我在这里所使用的定理和结论皆出自下面两本书:《高等代数简明教程》 蓝以中 编著, 《解析几何》尤承业 编著. 如果你对本解答中所使用的定理或结论不理解的话, 请查阅上面的两本书.高等代数部分解答1. (1) 若A 是m n ×矩阵，非齐次线性方程组Ax β=有解，且()r A r =，则方程组Ax β=的解向量中线性无关的最多有多少个? 并找出一组最多的线性无关的解向量.解: 最多有1n r −+个线性无关的解向量. 理由如下:a). 设Ax β=的一个特解为0X , 对应的齐次方程的一个基础解系为12,,,n r ηηη− . 令0k k x X η=+, 12,,,n k r =− . 则0X 与k x 都是Ax β=的解,我们断定01,,,n r X x x − 是线性无关的.令 00110n r n r k x k X k x −−+++= , 两边乘以矩阵A 得到010010()()n r n r k k AX k k k k β−−++=+++=+ .因为0β≠, 所以010()n r k k k −+++= .代回上式得 11220n r n r k k k ηηη−−+++= .考虑到基础解系是线性无关的, 故 10n r k k −=== , 进而00k =.这就证明了01,,,n r X x x − 是线性无关的.b). 往下只需证明Ax β=的任意2n r −+个解向量必线性相关. 任取2n r −+个解向量, 记为12,,,s y y y (这里2s n r =−+).其中 0i i y X α=+ , 12,,(,)i n r L αηηη−∈设11220s s y y y λλλ+++= ,即 12011220()s s s X λλλαλλαλα++++++=+两边乘以矩阵A 得到, 120()s λλλ+++= --------(1),代入上式有, 11220s s λαλααλ+++= ---------(2).下面我们证明, 确实存在一组不全为0的常数12,,,s λλλ ,使得(1)(2)均成立.注意到12,(,),i s n r L ααηηη−∈− , 2s n r =−+.则 121,,,s s s s αααααα−−−− 必定线性相关. 因此存在一组不全为0的常数 121,,,s k k k − 使得110()s i i i s k αα−=−=∑. 令11s i s i k λ−==−∑, 121,,,,i i s k i λ==−则满足(1)(2)式, 这就证明了12,,,s y y y 是线性相关的.c). 显然, 0010,,,n r X X X ηη−++ 就是一组满足要求的解向量.注: 本题按理说不难, a)也容易想到, 证明也不是很难. 到是b)的证明有些难度. 这就好像求最大值, 找到一个备选的可能最大值可能比较容易, 但要证明没有其他元素比她大可能就困难了. 本题的困难之处在于非齐次线性方程组的解集不是一个线性空间(没有0元素), 这就比较麻烦了, 需要转化一下. 下面我们来梳理一下证明思路:首先, 直观上向量个数越多, 其线性相关的可能性越大. 注意到非齐次线性方程组的解是: "特解+齐次基础解系" 的形式, 特解必须有, 而基础解系向量越少, 则线性无关的可能性就越大. 很自然的我们应该考察这样一组解向量: 0010,,,n r X X X ηη−++ . 证明它们是线性无关的, 只能用定义了. 我们知道12,,,n r ηηη− 是线性无关的. 而这个0X 有点碍事, 于是两边用A 作用把它消去.其次, 要证明最大性, 我们还得证明任意2n r −+解向量必线性相关. 这就要有一点技巧了! 如果你观察的足够仔细会发现我上面b)的证明实际上是从两边出发往中间(1)(2)夹的. 虽然把0X 消去了, 但又多了一个条件(1). 注意到我们取的2n r −+个i α中至多有n r −个是独立的, 也就是说至少有两个向量是多余的. 于是我们可这样考虑由(1), 得11s i s i λλ−==−∑. 代入(2), 发现110()s i i i s λαα−=−=∑.上面的1s −个向量是线性相关的, 因而i λ有非零解. 显然满足(1)(2).(2). 若Ax β=对所有m 维非零向量β都有解，求()r A解: ()r A m =. 理由如下:不妨A 是m s ×矩阵, 即12(,,,)s A ηηη= , 其中i η为m 维列向量.方程组有解, 意味着β可由A 的列向量线性表示, 因此12(,,,)s L βηηη∈ .显然当0β=时方程组也有解(零解). 因为对所有m 维非零向量β都有解, 也就是说 任取m K β∈, β可由A 的列向量线性表示. 因此12(,,,)m s K L ηηη⊂ .所以 12dim (,,,)s m L ηηη≤ .注意到12()dim (,,,)s r A L ηηη= 及 ()r A m ≤, 因此有()r A m =.注: 方程Ax β=有解的几何意义, 就是向量β可由矩阵A 的列向量线性表示. 即12(,,,)s L βηηη∈ . 再由β取法的任意性, 得到12(,,,)m s KL ηηη⊂ . 往下的思路就自然了.2. (1) 若A 是s n ×矩阵，B 是n m ×矩阵，()()r AB r B =.则对于所有m l ×矩阵C 是否有()()r ABC r BC =? 并给出理由。