向量的概念
一、高考要求：
理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.
二、知识要点：
1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,注意:始点一定要写在前面,已知AB ,线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长(或模),AB 的长度记作AB ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.
2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.与向量有关的概念有:
(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作a =b .
(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.
(3) 位置向量:任给一定点O 和向量a ,过点O 作有向线段OA a =,则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定,这时向量a 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量.
(4) 相反向量:与向量a 等长且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量,记作a -.显然,
()0a a +-=.
(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记
作0a ,容易看出:0a a a =│ │
. (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行).
三、典型例题：
例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且
AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结：
1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.
2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.
五、基础知识训练：
（一）选择题：
1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA . 正确的个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC 是( )
A.有相同起点的向量
B.平行向量
C.模相等的向量
D.相等向量
3. a b =的充要条件是( )
A.
a b =│ │ │ │ B.a b =│ │ │ │ 且a b ∥[]l C.a b ∥ D.a b =│ │ │ │ 且a 与b 同向 4. AA BB ''=是四边形ABB A ''是平行四边形的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD 是菱形的是( )
A.AD BC =
B.AD BC ∥且AB CD ∥
C.AB DC =且
AB AD =│ │ │ │ D.AB DC =且AD BC = 6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )
A.零向量没有方向
B.零向量的长度为0
C.零向量与任一向量平行
D.零向量的方向任意
7. 设与已知向量a 等长且方向相反的向量为b ,则它们的和向量a b +等于( )
A.0
B.0
C.2a
D.2b
（二）填空题：
8. 下列说法中: (1)AB 与BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。错误的说法有.
9. 下列命题中: (1)单位向量都相等 (2)单位向量都共线 (3)共线的单位向量必相等
(4)与一非零向量共线的单位向量有且只有一个.中正确的命题的个数有个.
10. 下列命题中: (1)若a ∣∣=0,则a =0. (2)若a b ∣∣=∣∣,则a b =或a b =-.(3)若a 与b 是平行向量,则
a b ∣∣=∣∣. (4)若0a =,则0a -=.其中正确的命题是(只填序号). （三）解答题：
11. 如图,四边形ABCD 于ABDE 都是平行四边形.
(1) 若AE a =,求DB ;
(2) 若CE b =,求AB ;
(3) 写出和AB 相等的所有向量;
(4) 写出和AB 共线的所有向量.
向量的加法与减法运算
一、高考要求：
掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则.掌握向量加法的交换律与结合律.
二、知识要点：
1. 已知向量a 、b ,在平面上任取一点A,作AB a =,BC b =,作向量AC ,则向量AC
叫做向量a 与b 的和(或和向量),记作a +b ,即a b AB BC AC +=+=.这种求两个
向量和的作图法则,叫做向量求和的三角形法则.
2. 已知向量a 、b ,在平面上任取一点A,作AB a =,AD b =,如果A 、B 、D 不共线,
则以AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD,则对角线上的向量AC =a +b =AB +AD .这种求两个向量和的作图法则,叫做向量求和的平行四
边形法则.
3. 已知向量a 、b ,在平面上任取一点O,作OA a =,OB b =,则b +BA =a ,向量BA
叫做向量a 与b 的差,并记作a -b ,即BA =a b OA OB -=-.由此推知:
(1) 如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是减向量的终点
到被减向量的终点的向量;
