1.1正弦定理和余弦定理第二课时精品教案

§6.4.3余弦定理、正弦定理(第2课时）一、内容和内容解析内容：正弦定理．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第4节的内容．本节课主要学习正弦定理，用正弦定理来解三角形.《正弦定理》是三角形理论中的一个重要内容,与初中学习的三角形的边和角的基本关系有密切的联系.在此之前,学生已经学习过了正弦函数和余弦函数、余弦定理,知识储备已足够.它是后续课程中解三角形的理论依据,也是解决实际生活中许多测量问题的工具.因此熟练掌握正弦定理能为接下来学习解三角形打下坚实基础,并能在实际应用中灵活变通.二、目标和目标解析目标：（1）能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理，培养数学抽象的核心素养．（2）能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题，培养逻辑推理和数学运算的核心素养．目标解析：（1）用向量的方法证明正弦定理，或者其他方法证明，在证明中培养学生的逻辑思维能力，特别是外接圆法和分类讨论的方法，推导出比值为外接圆直径和三角形的面积公式．（2）结合正弦定理的结构特点可以发现正弦定理的变形形式比较多，拆分式、连比式、分体式，每种形式都有着广泛的应用，这也为学生选择合适的形式解决问题增加了难度．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在正弦定理的教学中，从特殊的三角形的边角特点即勾股定理归纳概括一般三角形的特点是进行数学抽象教学的很好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：怎样证明正弦定理是本节课的第一个教学问题．是本节课的重点．解决方案：利用向量法证明，体现向量的工具作用，关键在于阐明“过点A作与AC垂直的单位向量j”的思维过程．2．教学问题二：利用正弦定理解决解三角形的问题是本节的第二个教学问题．．解决方案：类比全等三角形的证明条件，说明方程解得个数，根据大边对大角或内角和为π进行解得个数的取舍，从而解决问题．基于上述情况，本节课的教学难点定为：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到正弦定理，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中通过学生分组探究，合作交流的教学方式，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视正弦定理的发现与证明，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程，同时，定理的证明与定理的应用其实就是数学模型的建立与应用的典范．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境生成问题古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律，准备测量各种数据.当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的宽度CD.古埃及人是如何利用这些数据计算的呢？通过实际问题，激发学生的研究兴趣探索交流获得结论[问题1]如图，在Rt△ABC中，asin A，bsin B，csin C各自等于什么？[问题2]对于一般的三角形，CcBbAasinsinsin==仍然成立吗？教师1：提出问题1．学生1：asin A＝bsin B＝csin C＝c．教师2：提出问题2．学生2：分锐角三角形、钝角三角形证明.（1）在锐角三角形ABC∆中.过点A 作单位向量j垂直于AC.由ABCBAC=+，两边同乘以单位向量j得，通过探究，由直角三角形得一结论，提高学生的解决问题、分析问题的能力.通过思考，分析在锐角三[问题3]这个比值是多少？如何求解？ABjCBACj⋅=+⋅)(，则ABjCBjACj⋅=⋅+⋅，所以||||cos90||||cos(90)j AC j CB C︒︒+-||||cos(90)j AB A︒=-整理得CcAaAcaisnCsinsinsin=∴=同理，过点C作与CB垂直的单位向量j，可得CcBbsinsin=所以CcBbAasinsinsin==.（2）在钝角三角形ABC∆中，不妨设A为钝角，如图.过点A作与AC垂直的单位向量j.同理可得CcBbAasinsinsin==.教师3：总结正弦定理．(1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，（2）符号语言：asin A＝bsin B＝csin C.教师4：提出问题3.学生3：该比值为该三角形外接圆的直径.作锐角三角形ABC的外接圆直径CD，连结DB．根据同弧所对的圆周角相等及直径所对的圆周角是直角得，∠A=∠D, ∠DBC=90°,2CD R=（R为⊿ABC的角形、钝角三角形该式子成立，得正弦定理.提高学生分析问题、概括能力.[问题4]利用正弦定理可以解决一些怎么样的解三角形问题呢？[问题5]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么a∶b∶c＝A∶B∶C对吗？外接圆半径）．所以sin sin2CB aA DCD R===，所以2sinaRA=．同理2,sinbRB=2sincRC=．因此2sin sin sina b cRA B C===．师生共同总结：正弦定理的变形形式设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形：(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C.(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R.(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.(4)asin A＝bsin B＝csin C＝a＋b＋csin A＋sin B＋sin C.教师5：提出问题4．学生4：正弦定理可用于两类：（1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边与另一角；（2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角，计算其他的角与边.教师6：提出问题5．学生5：不对.根据正弦定理，a＝2R sin A，b＝2R sinB，c＝2R sin C.所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.通过思考，进一步理解正弦定理的运用，提高学生分析问题的能力.1.已知两角及一边解三角形例1.已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B. 教师7：完成例1.学生6：根据正弦定理，得a＝c sin Asin C＝10×sin 45°sin 30°＝10 2.又B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.所以b＝c sin Bsin C＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75°＝20×6＋24＝5(6＋2).通过例题的讲解，让典例分析巩固落实2.已知两边及一边的对角解三角形例2.在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，求A，C和c.3.判断三角形形状例3.已知在△ABC中，b sin B＝c sin C，且sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，试判断△ABC的形状．[课堂练习]1.已知在△ABC中，A＝45°，c＝6，a＝2，解此三角形.2. (1)若a cos B＝b cos A，则△ABC是________三角形；(2)若a cos A＝b cos B，则△ABC是________三角形.教师8：完成例2．学生7：由正弦定理asin A＝bsin B，知sin A＝a sin Bb＝32，∵b<a，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－A－B＝75°，∴c＝b sin Csin B＝2sin 75°sin 45°＝6＋22；当A＝120°时，C＝180°－A－B＝15°，∴c＝b sin Csin B＝2sin 15°sin 45°＝6－22.故当A＝60°时，C＝75°，c＝6＋22；当A＝120°时，C＝15°，c＝6－22.教师9：完成例3．学生8：由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R得sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R.∵b sin B＝c sin C，∴b·b2R＝c·c2R，∴b2＝c2，∴b＝c.∵sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，∴(a2R)2＝(b2R)2＋(c2R)2，∴a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形．教师10：布置课堂练习1、2．学生9：完成课堂练习，并核对答案．学生进一步理解正弦定理，提高学生解决与分析问题的能力.课堂小结升华认知[问题6]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝13，则sin B＝()A.15 B.59 C.53 D.12.在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝()A.43B.2 3C. 3D.323.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶4∶5，则△ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形4.在△ABC中，a＝5，b＝53，A＝30°，则B＝________.教师11：提出问题6．学生10：学生11：学生课后进行思考，并完成课后练习．1.B；2.B；3. A ；4.60°或120°.师生共同回顾总结：引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习：是对定理巩固，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。

正弦定理与余弦定理 教案教学目标 正弦定理与余弦定理重点难点理解定理证明过程，能够灵活运用【命题规律】1.考查本节内容时多数与其他三角函数知识相结合，题目多为容易题，主要考查正余弦定理、三角形面积公式及利用三角公式进行恒等变形的技能、运算，以化简、求值或判断三角形的形状为主；2.从能力要求上看，主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转化思想的应用能力；3. 在未来的高考中会以正弦定理、余弦定理为框架，以三角形为主要依据，来综合考查三角知识，同时我们也要关注应用两定理解决实际问题.【要点回顾】1、内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++= ；sin()A B += ；cos()A B += cos2A B +=2．正弦定理：形式一： (解三角形的重要工具)形式二：(边角转化的重要工具)4.余弦定理：形式一： ； ； (解三角形的重要工具)形式二：cos A = ； cos B = ； cos C = 注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②CB A c b a Cc Bb Aa sin sin sin sin sin sin ++++===。

Ⅱ。

几个公式:⑴三角形面积公式：))(21(,))()((sin 2121c b a p c p b p a p p C ab ah S ABC ++=---===∆；⑵内切圆半径r=cb a S ABC ++∆2；外接圆直径2R=;sin sin sin Cc Bb Aa ==⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：⊿ABC 中，sin sin A B A B >⇔> Ⅲ．已知A b a ,,时三角形解的个数的判定： 其中h=bsinA, ⑴A 为锐角时：①a<h 时，无解；②a=h 时，一解（直角）；③h<a<b 时，两解（一锐角，一钝角）；④a ≥ b 时，一解（一锐角）。

⑵A 为直角或钝角时：①a ≤ b 时，无解；②a>b 时，一解（锐角）。

余弦定理与正弦定理【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题： 1．余弦定理的内容是什么？ 2．余弦定理有哪些推论？ 二、新知探究1.已知两边及一角解三角形例1：（1）（2018·高考全国卷Ⅱ）在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝（） A ．42 B ．30 C ．29D ．25（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝（）A ．2B ．3C ．2D ．3 解析：（1）因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝42，故选A ．（2）由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ，因为cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0，所以b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＝－13舍去．故选D ． 答案：（1）A （2）D互动探究：变条件：将本例（2）中的条件“a＝5，c＝2，cos A＝23”改为“a＝2，c＝23，cos A＝32”，求b为何值？解：由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以22＝b2＋（23）2－2×b×23×3 2，即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4．【规律方法】解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤（1）用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．（2）再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．2.已知三边（三边关系）解三角形例2：（1）在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝19，则最大角与最小角的和为（）A．90°B．120°C．135°D．150°（2）在△ABC中，若（a＋c）（a－c）＝b（b－c），则A等于（）A．90°B．60°C．120°D．150°解析：（1）在△ABC中，因为a＝3，b＝5，c＝19，所以最大角为B，最小角为A，所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝9＋25－192×3×5＝12，所以C＝60°，所以A＋B＝120°，所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°．故选B．（2）因为（a＋c）（a－c）＝b（b－c），所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝12．因为A∈（0°，180°），所以A＝60°．答案：（1）B（2）B【规律方法】已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．注意：若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边求解．3.判断三角形的形状例3：在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状． 解：将已知等式变形为b 2（1－cos 2C ）＋c 2（1－cos 2B ）＝2bc cos B cos C ．由余弦定理并整理，得b 2＋c 2－b 2⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2 ＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c 22ab ，所以b 2＋c 2＝[（a 2＋b 2－c 2）＋（a 2＋c 2－b 2）]24a 2＝4a 44a 2＝a 2．所以A ＝90°．所以△ABC 是直角三角形． 规律方法：（1）利用余弦定理判断三角形形状的两种途径①化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断． ②化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断． （2）判断三角形时经常用到以下结论①△ABC 为直角三角形⇔a 2＝b 2＋c 2或c 2＝a 2＋b 2或b 2＝a 2＋c 2． ②△ABC 为锐角三角形⇔a 2＋b 2＞c 2，且b 2＋c 2＞a 2，且c 2＋a 2＞b 2． ③△ABC 为钝角三角形⇔a 2＋b 2＜c 2或b 2＋c 2＜a 2或c 2＋a 2＜b 2．④若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2． 三、课堂总结2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ． 3．三角形的元素与解三角形 （1）三角形的元素三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素． （2）解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 四、课堂检测1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝（） A ．90° B ．120°C ．135°D ．150°解析：选B ．cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋64－492×5×8＝12． 所以B ＝60°，所以A ＋C ＝120°．2．在△ABC 中，已知（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）＝3bc ，则角A 等于（） A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选B ．因为（b ＋c ）2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°．3．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足（a ＋b ）2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab ＝________．解析：因为C ＝60°，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°， 即c 2＝a 2＋b 2－ab ．① 又因为（a ＋b ）2－c 2＝4， 所以c 2＝a 2＋b 2＋2ab －4．②由①②知－ab ＝2ab －4，所以ab ＝43． 答案：434．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca＋c ·c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2（b 2＋c 2－a 2）＋b 2（a 2＋c 2－b 2）＋c 2（c 2－a 2－b 2）＝0， 展开整理得（a 2－b 2）2＝c 4．所以a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2． 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？ 2．正弦定理的内容是什么？ 二、新知探究1.已知两角及一边解三角形例1：在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形． 【解】因为A ＝45°，C ＝30°，所以B ＝180°－（A ＋C ）＝105°．由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝102．因为sin 75°＝sin （30°＋45°）＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，所以b ＝c sin Bsin C＝10×sin （A ＋C ）sin 30°＝20×2＋64＝52＋56． 【规律方法】已知三角形的两角和任一边解三角形的思路（1）若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角．（2）若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．2.已知两边及其中一边的对角解三角形例2：已知△ABC中的下列条件，解三角形：（1）a＝10，b＝20，A＝60°；（2）a＝2，c＝6，C＝π3．解：（1）因为bsin B＝asin A，所以sin B＝b sin Aa＝20sin 60°10＝3>1，所以三角形无解．（2）因为asin A＝csin C，所以sin A＝a sin Cc＝22．因为c＞a，所以C＞A．所以A＝π4．所以B＝5π12，b＝c sin Bsin C＝6·sin5π12sinπ3＝3＋1．互动探究：变条件：若本例（2）中C＝π3改为A＝π4，其他条件不变，求C，B, b．解：因为asin A＝csin C，所以sin C＝c sin Aa＝32．所以C＝π3或2π3．当C＝π3时，B＝5π12，b＝a sin Bsin A＝3＋1．当C＝2π3时，B＝π12，b＝a sin Bsin A＝3－1．【规律方法】（1）已知两边及其中一边的对角解三角形的思路①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．（2）已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；②在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点3.判断三角形的形状例3：已知在△ABC 中，角A ，B 所对的边分别是a 和b ，若a cos B ＝b cos A ，则△ABC 一定是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：由正弦定理得：a cos B ＝b cos A ⇒sin A cos B ＝sin B cos A ⇒sin （A －B ）＝0，由于－π＜A －B ＜π，故必有A －B ＝0，A ＝B ，即△ABC 为等腰三角形．答案：A 互动探究：变条件：若把本例条件变为“b sin B ＝c sin C ”，试判断△ABC 的形状． 解：由b sin B ＝c sin C 可得sin 2B ＝sin 2C ，因为三角形内角和为180°， 所以sin B ＝sin C ．所以B ＝C ．故△ABC 为等腰三角形． 【规律方法】判断三角形形状的两种途径注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 三、课堂总结■名师点拨对正弦定理的理解（1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．（2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．（3）揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．2．正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径，则（1）a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；（2）sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；（3）sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；（4）a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R．四、课堂检测1．（2019·辽宁沈阳铁路实验中学期中考试）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝（）A．33B．63C．32D．62解析：选B．由正弦定理，得ABsin C＝ACsin B，即2sin C＝3sin 60°，解得sin C＝33．因为AB＜AC，所以C＜B，所以cos C＝1－sin2C＝6 3．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c ＝（）A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．2∶3∶1D．1∶3∶2解析：选D．在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C ＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶3∶2．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－a cos B＝（2a－b）cos A，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D．已知c－a cos B＝（2a－b）cos A，由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以sin（A＋B）－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，化简得cos A（sin B－sin A）＝0，所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．。

1.1.2 正弦定理利用正弦定理解三角形时，解的问题的探讨：已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinAasin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a【变式练习】1根据下列已知条件，判定有没有解，若有解，判断解的个数：⑴5=a ，4=b ，120=A ，求B⑵5=a ，4=b ，90=A ，求B⑶5=a ，3310=b ，60=A ，求B ⑷20=a ，28=b ，40=A ，求B⑸60=a ，50=b ，38=A ，求B⑹4=a ，3310=b ，60=A ，求B(⑴120=A ,B 只能为锐角,因此仅有一解.图示 ⑵ 90=A ,B 只能为锐角,因此仅有一解.图示⑶∵1sin =B ,即90=B ,∴仅有一解. 图示⑷即例2，先让学生判断，然后回忆对照。

再次理解本题有两解。

⑸即例3，先让学生判断，然后回忆对照。

再次理解本题仅有一解。

⑹由⑶改编，∵60sin 4b a <=，由图知，本题无解)2．已知A,B,C 是ABC ∆的三个内角，求证：cos cos a b C c B =+3．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，求sin sin sin a b cA B C++++的值（*）4. 在ABC ∆中，求证tan2tan 2A Ba b A Ba b --=++作业：1. 在ABC ∆中,已知210=c ,︒=∠45A ,在a 分别为20, ,3320,和5的情况下,求相应的角C.2．在ABC ∆中，b=2a, B=A 60+︒,求A3.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、．若()C a c b +︒=-60cos 2，求角A ．(*)4..课本11页B 组 1。

正弦定理、余弦定理（2）教学目的：1．掌握正弦定理、余弦定理；2．使学生能初步运用它们解斜三角形，并会解决斜三角形的计算问题 教学重点：正弦定理、余弦定理的运用 教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 2正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinA asin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)(b a 锐角一解无解b a3．在Rt △ABC 中(若C=90︒)有：222b ac += 在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？ 二、讲解新课：1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即 A bc c b a cos 2222-+=⇔bca cb A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=[问题] 对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？ [推导] 如图在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ∵BC AB AC +=∴)()(BC AB BC AB AC AC +•+=•222BC BC AB AB +•+=22)180cos(||||2BC B BC AB AB +-•+=22cos2a B ac c +-=即B ac a c b cos 2222-+=同理可证 A bc c b a cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+= 2．余弦定理可以解决的问题利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角B三、讲解范例：例1在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求A 、B 和C 解：∵ bcac b A 2cos 222-+=＝0725， ∴ A ≈44°∵ abc b a C 2cos 222-+=＝08071， ∴ C ≈36°,∴ B ＝180°－(A ＋C)≈100°(∵sinC ＝ aAc sin ≈05954,∴ C ≈ 36°或144°(舍))例2在ΔABC 中，已知a ＝2730，b ＝3696，C ＝82°28′，解这个三角形 解：由 C ab b a c cos 2222-+=，得 c ≈4297∵ bca cb A 2cos 222-+=≈07767， ∴ A ≈39°2′,∴ B ＝180°－(A ＋C)＝58°30′ (∵sinA ＝cCa sin ≈06299，∴ A=39°或141°(舍)) 例 3 ΔABC 三个顶点坐标为(6，5)、(－2，8)、(4，1)，求A 解法一：∵ |AB| ＝73)85()]2(6[22=-+--|BC| ＝85)18()42(22=-+-- |AC| ＝52)15()46(22=-+-ACAB BCAC AB A ⋅-+=2cos 222=3652∴ A ≈84°解法二：∵ AB ＝(–8，3)，AC ＝(–2，–4) ∴ cosA ＝AC AB AC AB ⋅•=36525273)4(3)2()8(=⨯-⨯+-⨯-,∴ A ≈84°例4 设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2) a 与b的夹角为θ （0≤θ≤π），求证：x 1x 2+ y 1y 2=|a ||b|cos θ证明：如图，设a , b起点在原点，终点为A ，B则A=(x 1, y 1) B=(x 2, y 2) AB =b -a在△ABC 中，由余弦定理|b -a |2=|a |2+|b |2-2|a ||b| cos θ∵|b -a |2=|AB |2=|(x 2-x 1, y 2-y 1)|2=(x 2-x 1)2+( y 2-y 1)2|a |2=x 12+y 12 ，|b |2= x 22+y 22∴(x 2-x 1)2+( y 2-y 1)2= x 12+y 12+ x 22+y 22-2|a ||b| cos θ∴x 1x 2+ y 1y 2=|a ||b |cos θ 即有a •b = x 1x 2+ y 1y 2=|a ||b|cos θ四、课堂练习：1在△ABC 中，b Cos A =a cos B ，则三角形为( ) A 直角三角形 B 锐角三角形C 等腰三角形D 等边三角形2在△ABC 中，若a 2＞b 2+c 2，则△ABC 为；若a 2=b 2+c 2，则△ABC 为 ；若a 2＜b 2+c 2且b 2＜a 2+c 2且c 2＜a 2+b 2，则△ABC 为3在△ABC 中，sin A =2cos B sin C ，则三角形为4在△ABC 中，BC =3，AB =2，且)16(52sin sin +=B C ，A = 参考答案： 1C 2钝角三角形，直角三角形，锐角三角形3等腰三角形 4120° 五、小结 余弦定理及其应用 六、课后作业：1在△ABC 中，证明下列各式：（1）（a 2－b 2－c 2）tan A ＋（a 2－b 2＋c 2）tan B ＝0(2).112cos 2cos 2222b a b B a A -=- 证明：(1)左边＝（a 2－b 2－c 2）BB c b a A A cos sin )(cos sin 222+-+ 87654321-4-22468CBA右边==+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++-+-+-=-+⋅⋅+-+-+⋅⋅--=0)11()(2222)(22)(222222222222222222222222Rabcb c a b c a a c b a c b R abc b c a ac R b c b a a c b bc R a c b a 故原命题得证右边左边=-=+--=+--=---=22222222222222222211)2(2)2(211sin )2(sin 2sin )2(sin 2)11(sin 21sin 21)2(ba R Rb a B R BA R A b a b Ba A 故原命题得证2在△ABC 中，已知sin B ·sin C ＝cos22A，试判断此三角形的类型 解：∵sin B ·sin C ＝cos 22A , ∴sinB ·sinC ＝2cos 1A +∴2sin B ·sin C ＝1＋cos ［180°－（B ＋C ）］ 将cos （B ＋C ）＝cos B cos C －sin B sin C 代入上式得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1, ∴cos （B －C ）＝1又0＜B ，C ＜π，∴－π＜B －C ＜π∴B －C ＝0 ∴B ＝C 故此三角形是等腰三角形3在△ABC 中，b cos A ＝a cos B 试判断三角形的形状 解法一：利用余弦定理将角化为边 ∵b cos A ＝a cos B,∴b ·acb c a a bc a c b 22222222-+⋅=-+∴b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2,∴a 2＝b2,∴a ＝b ，故此三角形是等腰三角形解法二：利用正弦定理将边转化为角∵b cos A ＝a cos B又b ＝2Ｒsin B ，a ＝2Ｒsin A ，∴2Ｒsin B cos A ＝2Ｒsin A cos B∴sin A cos B －cos A sin B ＝0∴sin （A －B ）＝0∵0＜A ，B ＜π，∴－π＜A －B ＜π，∴A －B ＝0 即A ＝B故此三角形是等腰三角形 七、板书设计（略） 八、课后记：。

专题22正弦定理和余弦定理1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；1．正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R a 2＝b 2＋c 22bc cos__A ；b 2＝c 2＋a 22ca cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin_C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C ；(4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .高频考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1、(1)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个D ．无法确定(2)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是________．(3)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.答案 (1)B (2)45°，30°，105° (3)1 解析 (1)∵b sin A ＝6×22＝3，∴b sin A <a <b .解得b ＝1.【感悟提升】(1)判断三角形解的个数的两种方法①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断． ②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数． 【变式探究】(1)已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x ＞2 B ．x ＜2 C ．2＜x ＜2 2D ．2＜x ＜2 3(2)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB ＝________. 答案 (1)C (2)1解析 (1)若三角形有两解，则必有a ＞b ，∴x ＞2，又由sin A ＝a b sin B ＝x 2×22＜1，可得x ＜22，∴x 的取值范围是2＜x ＜2 2. (2)∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3， 设AB ＝x ，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，化简得x 2－2x ＋1＝0， ∴x ＝1，即AB ＝1.高频考点二 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例2、(2015·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a2＝12c 2. (1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得 sin C ＝255，cos C ＝55，因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010，由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3. 【感悟提升】(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 【变式探究】四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解 (1)由题设A 与C 互补及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，BD ＝7，因为C 为三角形内角，故C ＝60°. (2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2＋12×3×2sin60° ＝2 3.高频考点三 正弦、余弦定理的简单应用例3、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案 B【感悟提升】(1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． (2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．【变式探究】(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形(2)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为______．答案 (1)D (2) 3∴△ABC 为等腰或直角三角形．(2)sin∠BAC ＝sin(π2＋∠BAD )＝cos∠BAD ，∴cos∠BAD ＝223.BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos∠BAD＝(32)2＋32－2×32×3×223，即BD 2＝3，BD ＝ 3.高频考点三 和三角形面积有关的问题【例3】 (2016·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cosB ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长. 解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B ·cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sinC ，故2sin C cos C ＝sin C . 由C ∈(0，π)知sin C ≠0， 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332，又C ＝π3，所以ab ＝6，由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13， 从而(a ＋b )2＝25.所以△ABC 的周长为5＋7. 【方法规律】三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【变式探究】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(2a －b )cos C －c cos B ＝0.(1)求角C 的值；(2)若三边a ，b ，c 满足a ＋b ＝13，c ＝7，求△ABC 的面积.1.【2016高考新课标3理数】在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ） （A ）310 （B ）10 （C ）10- （D ）310-【答案】C【解析】设BC 边上的高为AD ，则3BC AD =，所以225AC AD DC AD =+=，2AB AD=．由余弦定理，知22222210cos 210225AB AC BC A AB AC AD AD+-===-⋅⨯⨯，故选C ． 2.【2016高考新课标2理数】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【答案】21133.【2016高考天津理数】在△ABC 中，若AB ，120C ∠=o ,则AC = （ ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【答案】A【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++⇒=,选A.4.【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 ▲ . 【答案】8. 【解析】sin sin()2sin sin tan tan 2tan tan A B+C B C B C B C==⇒+=，又tan tan tan tan tan 1B+CA=B C -，因tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8,A B C A B C A B C A B C =++=+≥≥即最小值为8.5.(2016·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sinA )，则A ＝( )A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6解析 在△ABC 中，由b ＝c ，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－a 22b 2，又a 2＝2b 2(1－sin A )，所以cos A ＝sin A ，即tan A ＝1，又知A ∈(0，π)，所以A ＝π4，故选C.答案 C【2015高考天津，理13】在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 . 【答案】【解析】因为0A π<<，所以sin 4A ==，又1sin 242ABC S bc A bc ∆===∴=，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =.【2015高考北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1【解析】222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc +-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是 . 【答案】（62-，6+2）AB 的取值范围为（62-，6+2）.【2015江苏高考，15】（本小题满分14分） 在ABC ∆中，已知ο60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值 【答案】（17（243【2015高考湖南，理17】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2B A π-=；（2）求sin sin A C +的取值范围. 【答案】（1）详见解析；（2）29,]28. 【解析】（1）由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA bB ==，∴sin cos B A =，即sin sin()2B A π=+，又B 为钝角，因此(,)22A πππ+∈，故2B A π=+，即2B A π-=； （2）由（1）知，()C A B π=-+(2)2022A A πππ-+=->，∴(0,)4A π∈，于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-2219sin cos 22sin sin 12(sin )48A A A A A =+=-++=--+，∵04A π<<，∴20sin A <<221992(sin )488A <--+≤，由此可知sin sin A C +的取值范围是29]28.（2014·湖北卷）某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差．(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．（2014·江西卷）已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．【解析】(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4，故f (x )在区间[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f （π）＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ（1－2a sin θ）＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1. 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，知cos θ≠0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－2a sin θ＝0，（2a sin θ－1）sin θ－a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.（2014·四川卷）已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. （2013·北京卷）在△ABC 中，a ＝3，b ＝2 6，∠B＝2∠A. (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．【解析】(1)因为a ＝3，b ＝2 6，∠B＝2∠A， 所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝2 6sin 2A .所以2sin Acos A sin A ＝2 63.故cos A ＝63. (2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B＝2∠A，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝2 23.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B) ＝sin AcosB ＋cos Asin B ＝5 39. 所以c ＝a sin Csin A＝5.（2013·全国卷）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c)(a －b ＋c)＝ac. (1)求B ； (2)若sin Asin C ＝3－14，求C.＝32， 故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°. （2013·浙江卷）已知α∈R，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43 【答案】C【解析】由(sin α＋2cos α)2＝1022'得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝104＝52，4sin αcos α＋1＋3cos 2α＝52，2sin 2α＋1＋3×1＋cos 2α2＝52，故2sin 2α＝－3cos 2α2，所以tan2α＝－34，选择C.（2013·重庆卷）4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．2 2－1 【答案】C1.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则C ＝( ) A.30° B.45°C.60°D.75°解析 法一 ∵S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝32，即12×3×1×sin A ＝32，∴sin A ＝1， 由A ∈(0°，180°)，∴A ＝90°，∴C ＝60°.故选C. 法二 由正弦定理，得sin B AC ＝sin C AB ，即12＝sin C 3，sin C ＝32，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝34≠32(舍去).而当C ＝60°时，A ＝90°， S △ABC ＝32，符合条件，故C ＝60°.故选C. 答案 C2.在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，则B 等于( )A.π3B.5π6C.π6或5π6D.π6解析∵A＝2π3，a＝2，b＝233，∴由正弦定理asin A＝bsin B可得，sin B＝basin A＝2332×32＝12.∵A＝2π3，∴B＝π6.答案 D3.在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( ) A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形答案 B4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＞b”是“cos 2A＜cos 2B”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析因为在△ABC中，a＞b⇔sin A＞sin B⇔sin2A＞sin2B⇔2sin2A＞2sin2B⇔1－2sin2A＜1－2sin2B⇔cos 2A＜cos 2B.所以“a＞b”是“cos 2A＜cos 2B”的充分必要条件.答案 C5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c－bc－a＝sin Asin C＋sin B，则B等于( ) A.π6B.π4C.π3D.3π4答案 C解析 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝ac ＋b， 即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为________． 答案π3或2π3解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32， ∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 7．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则a ＝______.答案 2108．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________． 答案3解析 由正弦定理，可得(2＋b )(a －b )＝(c －b )·c . ∵a ＝2，∴a 2－b 2＝c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∴sin A ＝32. 由b 2＋c 2－bc ＝4，得b 2＋c 2＝4＋bc . ∵b 2＋c 2≥2bc ，即4＋bc ≥2bc ，∴bc ≤4. ∴S △ABC ＝12bc ·sin A ≤3，即(S △ABC )max ＝ 3.9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A －3sin B cos B . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．由a ＜c ，得A ＜C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C＝4＋3310， 所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825.10.如图，在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos∠ADC ＝17.(1)求sin∠BAD ； (2)求BD 、AC 的长．在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin∠BADsin∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋(2＋3)2－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ， 得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，(2)由(1)知，a ＝b ，由余弦定理得AM 2＝b 2＋(a2)2－2b ·a2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.12.设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；精品文档. (2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z, 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ； 由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z, 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )； 单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ). (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立. 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.。

《正弦定理、余弦定理》教课设计教课目标：进一步熟习正、余弦定理内容；可以应用正、余弦定理进行边角关系的互相转变； 可以利用正、余弦定理判断三角形的形状；可以利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式教课要点： 利用正、余弦定理进行边角交换时的转变方向 教课难点 :三角函数公式变形与正、余弦定理的联系 讲课种类： 新讲课 课时安排： 课时 教具：多媒体、实物投影仪教课方法 ：启迪指引式启迪学生在证明三角形问题或许三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的合用题型与所证结论的联系，并注意特别正、余弦关系的应用，比方互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；指引学生总结三角恒等式的证明或许三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角交换作用 教课过程 ： 一、复习引入：ab c R正弦定理：sin Asin B2sin C余弦定理： a 2b 2c 22bc cos A,cos Ab 2c 2 a 22bcb 2c 2a 22ca cos B,cos Bc 2a 2b 22cac 2a 2b22ab cosC ，cosCa 2b 2c 22ab二、解说典范：例在任一△中求证：a(sin B sin C ) b(sin C sin A) c(sin A sin B) 0证：左侧 2Rsin A(sin B sinC) 2RsinB(sinC sinA) 2RsinC(sin A sin B)2R[sin AsinB sin AsinC sin BsinC sinBsin A sinC sin A sinC sin B] 右侧例在△中，已知 a3 ， b 2 ， 求、及解一：由正弦定理得：sin A asin B 3 sin 453 b22∵<即<∴或当时b sin C 2 sin 7562 csin B sin 452当时b sin C 2 sin 1562 csin B sin 452解二：设由余弦定理 b 2a2c22ac cos B 将已知条件代入，整理：x26x10解之： x 622当 c 62时2b 2c2 a 22(62 2 )2313cos A2bc622(31)2222进而，当 c 62时同理可求得：，2例在△中， , , ,是方程 x 223x20 的两个根，且()求（）角的度数（）的长度（）△的面积解：（） [()]() 1 ∴2（）由题设：a b 2 3a b2∴ ?? a 2b22ab cos120a 2b 2ab(a b) 2ab(2 3)2210即 10（） △ 1ab sin C1ab sin 1201 23 322222比如图，在四边形中，已知, , ,,求的长解：在△中，设则 BA 2BD 2 AD 22BD AD cos BDA即142x 2 10 22 10 x cos 60整理得： x 2 10x 96解之： x 116 x 26 （舍去）由余弦定理：BCBD ∴ BC16 sin 308 2sinCDBsinsin135BCD例 △中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角， 求最大角 ;求以此最大角为内角，夹此角两边之和为的平行四边形的最大面积解： 设三边 ak 1, b k, c k 1 kN 且 k 1∵为钝角∴ cosCa 2b 2c 2k4 0 解得 1 k42ac2(k1)∵ k N ∴ k 2 或但 k2 时不可以组成三角形应舍去当 k3 时 a2,b 3,c4,cosC1, C1094设夹角的两边为x, y xy 4xy sin Cx( 4 x)15 15 ( x 2 4x)44当 x2 时最大15例 在△中，＝，＝，为中点，且＝，求边长剖析：本题所给题设条件只有边长，应试虑在假定为ｘ后，成立对于 ｘ的方程 而正弦定理波及到两个角，故不行用 此时应注意余弦定理在成立方程时所发挥的作用因为为中点，所以、可表示为x，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质成立方程2解：设边为 ｘ ，则由为中点，可得＝＝x，22x2 2在△中，＝AD 2 BD 2 AB 24( 2)52ADBD,2 4 x2x2 22在△中，＝AD 2 DC 2 AC 24 (2)32ADDC.2 4 x2又∠＋∠＝°∴＝（°－∠）＝－4 2 ( x) 25242 ( x) 232∴ 2 x 2 x 2 42 422 解得， ｘ＝, 所以，边长为评论：本题要启迪学生注意余弦定理成立方程的功能，领会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的合用题型此外，对于本节的例，也可考虑上述性质的应用来求解，思路以下： 由三角形内角均分线性质可得AB BD 5，设＝ ｋ，＝ ｋ ，则由互补角∠、∠的余ACDC3弦值互为相反数成立方程，求出后，再联合余弦定理求出，再由同角平方关系求出三、讲堂练习 ：半径为的圆内接三角形的面积为．，求此三角形三边长的乘积解：设△三边为，，则Ｓ ＝ 1 acsin B△2SABCac sin B sin B∴2abc2babcb 又2R ，此中为三角形外接圆半径sin B∴SABC1 , ∴＝ △ ＝××．＝abc4R所以三角形三边长的乘积为评论：因为题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：a b c Ｓ△sin Asin B2R ，此中为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式sin C＝ 1acsin B 发生联系，对进行整体求解2在△中，已知角＝°，是边上一点，＝，＝，＝，求解：在△中，＝ AC2DC 2 AD 2 72 32 52 11 , 2 AC DC2 73 14又＜＜°，∴＝ 5 314在△中，ACABsin B sin C∴＝sin CAC 5 32 7 5 6 .sin B 142评论：本题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要修业生注意正、余弦定理的综合运用 在△中，已知＝3，＝5，求的值513解：∵＝3＜2 ＝°，＜＜ π52∴°＜＜° , ∴＝45∵＝5＜1＝°，＜＜ π132∴°＜＜°或°＜＜°若＞°，则＋＞°与题意不符∴°＜＜°＝12133 1245 16 ∴（＋）＝·－·＝5 13 5 13 65又＝°－（＋）16 ∴＝［°－（＋）］＝－（＋）＝－65评论：本题要修业生在利用同角的正、余弦平方关系时，应依据已知的三角函数值详细确立角的范围，以便对正负进行弃取，在确立角的范围时，往常是与已知角靠近的特别角的三角函数值进行比较四、小结 经过本节学习，我们进一步熟习了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常看法题方法与解题技巧的总结，不停提高三角形问题的求解能力五、课后作业 ：六、板书设计 （略）七、课后记及备用资料：正、余弦定理的综合运用余弦定理是解斜三角形顶用到的主要定理，若将正弦定理代入得： ＝＋－这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这必定理解题，简捷明快，下边举例说明之［例］在△中，已知－－＝3 ，求的度数解：由定理得＝＋－，∴－＝3∵≠ ∴Β＝－3∴＝°2［例］求°＋°＋°°的值 解：原式＝°＋°＋°° 在＝＋－中，令＝°，＝°， 则＝°°＝°＋°－°°°＝°＋°＋°°＝（3）＝ 324［例］在△中，已知＝，试判断△的形状 解：在原等式两边同乘以得：＝， 由定理得＋－ Β＝， ∴＝ ∴＝故△是等腰三角形 一题多证［例］在△中已知＝，求证：△为等腰三角形证法一：欲证△为等腰三角形可证明此中有两角相等，因此在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数 由正弦定理得＝∴＝b sin A，即·＝＝（＋）＝＋sin Bb sin Asin B∴－＝即（－）＝，∴－＝ ｎπ （ ｎ∈ Ｚ）∵、是三角形的内角，∴＝，即三角形为等腰三角形证法二：依据射影定理，有＝＋， 又∵＝∴＝＋∴＝，即bcosB .ccosC又∵bsin B . ∴ sin B cos B , 即＝ csin C sin C cosC∵、在△中，∴＝ ∴△为等腰三角形证法三：∵＝ a2b 2c 2及 cosCa , ∴ a 2b 2c 2 a ,2ba2b2ab2b化简后得＝ ∴＝∴△是等腰三角形学习是一件增加知识的工作，在茫茫的学海中，也许我们困苦过，在困难的竞争中，也许我们疲惫过，在失败的暗影中，也许我们绝望过。

课题：正弦定理和余弦定理及应用（教案）教学目标：1、知识与能力：掌握正、余弦定理公式的灵活运用2、过程与方法：能用正、余弦定理，结合三角恒等变换的相关知识，解决一些三角函数的边角函数转化关系的实际应用问题。

3、情感态度与价值观：通过正、余弦定理的灵活运用领会数学知识解决问题的实用性。

教学重点、难点：正、余弦定理公式的灵活运用学法指导1、利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用；2、利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数有关公式，得出角的大小或边的关系。

课前准备：多媒体课件，导学案教学过程：知识点复习：1、正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 三角形外接圆半径） 变式公式：A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=. R a A 2sin =，R b B 2sin =，Rc C 2sin =. C B A c b a sin :sin :sin ::=2、余弦定理：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 变形公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 222222222 3、三角形面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 4、边角关系（1）角的关系： 180=++C B A（2）边的关系：c b a >+，c b a <-（3）边角关系：大角对大边，大边对大角课前练习：1、在ABC ∆中， 45=A ， 60=B ，4=b ，求a . （）2、已知 30=A ，4=a ，5=b ，则=B sin . （）3、已知8=b ，3=c ， 60=A ，则=a . （ 7 ）4、已知5=a ，13=b ，12=c ，求角B . （ 90 ）5、在ABC ∆中，1=AB ，4=BC ， 30=B ，则ABC ∆的面积等于 . （ 1 ） 归纳：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角，常用 正弦 定理；（2）已知两边和一边的对角，求第三边和其他两角，常用 正弦 定理或余弦定理（方程思想）；（3）已知三边求三角，常用 余弦 定理；（4）已知两边和它的夹角，求第三边和其他两个角，常用 余弦 定理.要数形结合，画图分析边角关系，合理使用公式.题型一：探究三角形中的边角运算例1 在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ， 45=B ，求角A . 解：由B b A a sin sin =得21sin sin ==b B a A 在ABC ∆中，b a <∴ B A <， ∴ 45<A ， ∴ 30=A .变式：1、在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ， 30=A ，求角B 2、在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ， 150=A ，求角B . （无解） 题型二：探究三角形的面积求解例2 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且1=a ，3=b ，求ABC S ∆.解：由角A 、B 、C 依次成等差数列∴ C A B +=2 又 π=++C B A∴ 3π=B 由正弦定理B b A a sin sin =得2133sin 1sin sin =⨯==πb B a A b a < ∴6π=A ∴2π=C ∴ 2313121sin 21=⨯⨯⨯==∆C ab S ABC 变式：在ABC ∆中， 120=A ，5=AB ，7=BC ，求ABC ∆的面积.题型三：探究三角形的形状判断例3 在ABC ∆中，已知A b B a cos cos =，判断ABC ∆的形状.解：由A b B a cos cos =得A B R B A R cos sin 2cos sin 2=∴0sin cos cos sin =-B A B A即()0sin =-B A ，∴B A =，即ABC ∆为等腰三角形变式：1、在ABC ∆中，已知C c B b A a cos cos cos ==，判断ABC ∆的形状. （等边三角形） 2、已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 成等差数列，而A 、B 、C 三内角的对边a 、b 、c 成等比数列，试证明：ABC ∆为正三角形.1、解：由Bb A a cos cos =得A b B a cos cos =，由上例可知B A =， 由Cc B b cos cos =得B c C b cos cos =，同理可得C B =， ∴C B A ==，即ABC ∆为等边三角形2、证明： A 、B 、C 成等差数列，∴C A B +=2，又 180=++C B A ，∴ 60=B ， 120=+C Aa 、b 、c 成等比数列，∴ac b =2，又由余弦定理得：acc a ac c a Bac c a b -+=-+=-+=222222260cos 2cos 2∴ac c a ac -+=22，即()02=-c a ，∴c a =又 60=B ，∴ABC ∆为正三角形.高考真题体验：（2008年高考）在ABC ∆中，B ∠，C ∠的对边分别为b ，c ，且 45=∠B ，2=b ，3=c .（1）求C ∠；（2）求ABC S ∆.课堂小结：1、解斜三角形求边角有四种可解类型：已知两角一边和两边及一边的对角时，用正弦定理；已知两边夹角和已知三边时，用余弦定理。

1.1.2余弦定理一、教学目标：1、能力要求：①掌握余弦定理，能初步运用余弦定理解一些斜三角形。

②明确余弦定理可解决哪种类型的三角形问题。

2、过程与方法：①探究式教学使学生明确余弦定理的用途。

②在探究学习中，认识到余弦定理可以解决某些与几何计算和测量有关的实际问题。

二、教学重点、难点：重点：余弦定理公式及其推论的应用；难点：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解斜三角形三、预习问题处理：1、余弦定理：三角形中 平方等于 减去 的两倍，即=2a ；=2b ；=2c 。

2、从余弦定理，可以得到它的推论：=A cos ；=B cos ；=C cos 。

3、从余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是 ；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是 ；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是 。

4、只利用余弦定理，我们可以解决何种类型的问题？四、新课讲解：通过上一节课的学习我们知道，利用正弦定理可以解决两类三角形问题：①已知三角形两角和任一边解三角形；②已知两边和其中一边的对角解三角形。

那么其它类型的解三角形问题是否就没有办法解决了呢？下面我们由正弦定理出发，进行一下探索。

正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ∆外接圆半径） 由正弦定理可知：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===()()[]C B C B C B R AC B C B R A bc c b +++=-+=-+∴cos sin sin 2sin sin 4cos sin sin 2sin sin 4cos 222222222[]()()[][]()()()22222222222222222222222sin 2sin 4sin 4cos sin cos sin 4cos cos sin sin 2cos sin cos sin 4cos cos sin sin 2sin 1sin sin 1sin 4cos cos sin sin 2sin sin 2sin sin 4a A R A R C B R B C C B R C B C B B C C B R C B C B B C C B R C B C B C B C B R ===+=+=++=+-+-=+-+=即A bc c b a cos 2222-+=。

人教版高中必修5-1.1 正弦定理和余弦定理课程设计一、引言正弦定理和余弦定理是高中数学中的基础概念，在解决三角形相关问题时经常会用到。

本课程设计将围绕正弦定理和余弦定理展开，旨在通过讲解和丰富的实例，帮助学生深入理解这两个概念，提高学生解决实际问题的能力。

二、教学目标本课程设计主要的教学目标包括：1.理解正弦定理和余弦定理的定义和含义，并能运用正确公式计算相关量；2.能解决使用正弦定理和余弦定理求解三角形中各角度和边长的问题，并能熟练运用所学知识解决类似问题；3.培养学生对数学概念的深刻理解，提高数学分析、解题和推理的能力。

三、教学重点和难点1. 教学重点•正弦定理和余弦定理的定义和含义；•正弦定理和余弦定理的公式和运用；•求解三角形相关问题的思路和方法。

2. 教学难点•正弦定理和余弦定理的理解与运用；•正弦定理和余弦定理的推导过程说明；•如何分析实际问题，确定合适的求解方法。

四、教学内容和方法1. 教学内容1) 正弦定理•正弦定理的概念和含义；•正弦定理的公式和运用；•正弦定理的推导过程说明；•正弦定理的实际应用。

2) 余弦定理•余弦定理的概念和含义；•余弦定理的公式和运用；•余弦定理的推导过程说明；•余弦定理的实际应用。

2. 教学方法本课程设计将采用以下教学方法：•讲授法：通过对正弦定理和余弦定理的原理、公式和运用的讲解，向学生阐述相关概念并理解其原理；•实例分析法：通过较为典型的实例分析、讨论问题，帮助学生理解正弦定理和余弦定理的实际应用；•独立思考法：通过举例让学生通过自己的思考和分析实际问题，确定求解方法解决问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。

五、教学评价教学评价主要从以下方面进行：•学生课堂发言和问题讨论表现；•学生课后作业完成情况；•学生课后课程练习题完成情况以及参与竞赛、奥数活动表现；•学生在考试中的表现。

六、教学资源为了更好地实行授课过程中，需要准备以下资源：•课程讲义；•课件尠存储设备：如电脑、U盘等；•相关参考资料：如教材、习题集等。

2、利用正、余弦定理求解平面图形中线段长
[典例] 如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求出BC的长．
[活学活用]
如图所示，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB.
课堂总结
1．辨明两个易误点
(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要注意分类讨论．
(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解
2．三角形解的判断
3．特别强调：把a＝2Rsin A，b＝2Rsin B代入已知等式，可将边角关系全部转化为三角函数关系．
4. 已知两边及其中一边所对角用余弦定理时可能有两个解，注意用三边长度关系特点进行取舍．课后作业。

第2课时 正弦定理和余弦定理学习目标 1.熟练掌握正弦、余弦定理及其变形形式.2.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题．知识点一 正弦定理、余弦定理及常见变形 1．正弦定理及常见变形(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径)； (2)a ＝b sin A sin B ＝c sin A sin C ＝2R sin A ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .2．余弦定理及常见变形 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ； (2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.知识点二 有关三角形的隐含条件 (1)由A ＋B ＋C ＝180°可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， (2)由大边对大角可得sin A ＞sin B ⇔A ＞B .(3)由锐角△ABC 可得任意两内角之和大于π2，进而可得sin A ＞cos B .1．当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形．( × ) 2．△ABC 中，若cos 2A ＝cos 2B ，则A ＝B .( √ ) 3．在△ABC 中，恒有a 2＝(b －c )2＋2bc (1－cos A )．( √ )4．△ABC 中，若c 2－a 2－b 2>0，则角C 为钝角．( √ )题型一 利用正弦、余弦定理解三角形例1 在△ABC 中，若c cos B ＝b cos C ，cos A ＝23，求sin B 的值．解 由c cos B ＝b cos C ，结合正弦定理， 得sin C cos B ＝sin B cos C ，故sin(B －C )＝0，∵0<B <π，0<C <π， ∴－π<B －C <π，∴B －C ＝0，B ＝C ，故b ＝c .∵cos A ＝23，∴由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2－2b 2·23＝23b 2，得3a 2＝2b 2，再由余弦定理，得cos B ＝66，故sin B ＝306. 引申探究1．对于本例中的条件，c cos B ＝b cos C ，能否使用余弦定理？ 解 由余弦定理，得c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab .化简得a 2＋c 2－b 2＝a 2＋b 2－c 2， ∴c 2＝b 2，从而c ＝b .2．本例中的条件c cos B ＝b cos C 的几何意义是什么？ 解 如图，作AD ⊥BC ，垂足为D . 则c cos B ＝BD ，b cos C ＝CD .∴c cos B ＝b cos C 的几何意义为边AB ，AC 在BC 边上的射影相等． 反思感悟 (1)边、角互化是处理三角形边、角混合条件的常用手段． (2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式．跟踪训练1 在△ABC 中，已知b 2＝ac ，a 2－c 2＝ac －bc . (1)求A 的大小； (2)求b sin B c的值．解 (1)由题意及余弦定理知， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝ac ＋bc －ac 2bc ＝12，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)由b 2＝ac ，得b c ＝ab ，∴b sin Bc ＝sin B ·a b ＝sin B ·sin A sin B ＝sin A ＝32. 题型二 判断三角形形状例2 在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ＋b a ＝cos B ＋cos A cos B ，试判断三角形的形状．解 方法一 由正弦定理知，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，R 为△ABC 外接圆半径． ∵a ＋b a ＝cos B ＋cos Acos B ， ∴sin A ＋sin B sin A ＝cos B ＋cos Acos B，∴sin A cos B ＋sin B cos B ＝sin A cos B ＋sin A cos A ， ∴sin B cos B ＝sin A cos A ， ∴sin 2B ＝sin 2A ， ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．方法二 由a ＋b a ＝cos B ＋cos A cos B ，得1＋b a ＝1＋cos Acos B ，b a ＝cos Acos B，由余弦定理，得cos A cos B ＝b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22ac＝a b ·b 2＋c 2－a2a 2＋c 2－b 2，∴b a ＝a (b 2＋c 2－a 2)b (a 2＋c 2－b 2). a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， a 2c 2－a 4＝b 2c 2－b 4， c 2(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2)． ∴a 2＝b 2或c 2＝a 2＋b 2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．反思感悟 (1)要结合题目特征灵活选择使用正弦定理还是使用余弦定理． (2)变形要注意等价性，如sin 2A ＝sin 2B ⇏2A ＝2B . c 2(a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋b 2) ⇏c 2＝a 2＋b 2.跟踪训练2 在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定答案 C解析 由正弦定理知，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∴sin 2A ＋sin 2B <sin 2C 可化为 a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2<0. ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0.∴角C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．题型三 利用正弦、余弦定理进行求值、化简和证明 例3 在△ABC 中，有 (1)a ＝b cos C ＋c cos B ； (2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A ，这三个关系式也称为射影定理，请给出证明．证明 方法一 (1)由正弦定理，得 b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴b cos C ＋c cos B ＝2R sin B cos C ＋2R sin C cos B ＝2R (sin B cos C ＋cos B sin C ) ＝2R sin(B ＋C ) ＝2R sin A ＝a . 即a ＝b cos C ＋c cos B .同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A . 方法二 (1)由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋b 2－c 22a ＋a 2＋c 2－b 22a ＝2a 22a ＝a .∴a ＝b cos C ＋c cos B .同理可证(2)b ＝c cos A ＋a cos C ； (3)c ＝a cos B ＋b cos A .反思感悟 证明三角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系．跟踪训练3 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝ . 答案 1解析 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a cos A c ＝4cos A 3＝1.求三角形一角的值典例 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3或2π3C.π3D.π6或5π6 答案 B解析 ∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，代入已知等式得2ac ·cos B tan B ＝3ac ， 即sin B ＝32，则B ＝π3或2π3. [素养评析] 选择运算方法是数学运算素养的内涵之一．运算从一点出发可以有无限个方向．一个式子也可以有无限个变形，逐个试探肯定不现实．那么如何选择运算方向才能算得出，算得快？要点有3个：①公式要熟，如本例至少应知道cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，tan B ＝sin Bcos B .②观察联想，如看到a 2＋c 2－b 2应联想到a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B .③权衡选择，如本例也可把所有的边都化为相应角的正弦，但权衡运算繁简，不如整体把a 2＋c 2－b 2化为2ac cos B 简单.1．在△ABC 中，若b 2＝a 2＋c 2＋ac ，则B 等于( ) A ．60° B ．45°或135° C ．120° D ．30°答案 C解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2＋ac ， ∴ac ＝－2ac cos B ，cos B ＝－12，又0°<B <180°， ∴B ＝120°.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B <c sin C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定答案 C解析 根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，故C 是钝角，△ABC 是钝角三角形．3．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶3∶2，则cos B 等于( ) A.1116 B.79 C.2116 D.2916 答案 A解析 依题意设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝2k (k >0)，则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16k 2＋4k 2－9k 22×4k ×2k ＝1116.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c cos A ＋a cos C ＝2c ，若a ＝b ，则sin B 等于( ) A.154 B.14 C.34D.32答案 A解析 ∵c cos A ＋a cos C ＝2c ，∴由正弦定理可得sin C cos A ＋sin A cos C ＝2sin C ， ∴sin(A ＋C )＝2sin C ， ∴sin B ＝2sin C ，∴b ＝2c ， 又a ＝b ，∴a ＝2c .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4c 2＋c 2－4c 22×2c 2＝14，∵B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝154.1．熟悉正弦、余弦定理的各种变形，注意观察题目条件的结构特征，根据这些特征尽量使用正弦、余弦定理各种变形整体代换，可以有效减少计算量． 2．对所给条件进行变形，主要有两种方向 (1)化边为角． (2)化角为边．一、选择题1．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段( ) A ．能组成直角三角形 B ．能组成锐角三角形 C ．能组成钝角三角形 D ．不能组成三角形答案 B解析 设最大角为θ，则最大边对应的角的余弦值为 cos θ＝52＋62－722×5×6＝15>0，所以能组成锐角三角形．2．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，则sin B 等于( ) A.154 B.14 C.32 D.12答案 A解析 由2b 2－2a 2＝ac ＋2c 2，得2(a 2＋c 2－b 2)＋ac ＝0. 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ， ∴4ac cos B ＋ac ＝0.∵ac ≠0，∴4cos B ＋1＝0，cos B ＝－14，又B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝154. 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 C解析 ∵a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ， ∴13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°， 即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23 答案 A解析 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C ， ∴(a ＋b )2－c 2＝2ab (1＋cos C ) ＝2ab (1＋cos 60°)＝3ab ＝4， ∴ab ＝43.5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2－b 2＝ab ，C ＝π3，则sin Asin B 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 由余弦定理得c 2－b 2＝a 2－2ab cos C ＝a 2－ab ＝ab ，所以a ＝2b ，所以由正弦定理得sin Asin B ＝a b＝2. 6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则C 等于( )A.π3B.3π4C.2π3D.5π6 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B 和3sin A ＝5sin B ，得3a ＝5b ，即b ＝35a ，又b ＋c ＝2a ，∴c ＝75a ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝2π3.7．若△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的直径为( )A.922B.924C.928 D ．9 2答案 B解析 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，θ为长度为2,3的两边的夹角，则sin θ＝1－cos 2θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924.8．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( )A.1010 B.105 C.31010 D.55答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理，得 AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC ·cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3×cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC ，得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC ＝3×sinπ45＝3×225＝31010.二、填空题9．在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，c ＝2，则csin C ＝ .答案 2解析 ∵由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝3，∴b ＝3，∴由正弦定理得，c sin C ＝b sin B ＝332＝2. 10．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ，则B ＝ .答案 45°解析 由正弦定理，得a 2＋c 2－2ac ＝b 2，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22. 又因为B 为三角形的内角，所以B ＝45°.11．在△ABC 中，a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ .答案 30°解析 由sin C ＝23sin B 及正弦定理，得c ＝23b ，把它代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32， 又0°<A <180°，所以A ＝30°.三、解答题12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，a 2＋c 2－b 2＝65ac . 求2sin 2A ＋C 2＋sin 2B 的值． 考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合题点 正弦、余弦定理与三角变换的综合解 由已知得a 2＋c 2－b 22ac ＝35， 所以cos B ＝35， 又因为角B 为△ABC 的内角，所以sin B >0，所以sin B ＝1－cos 2B ＝45，所以2sin 2A ＋C 2＋sin 2B ＝2cos 2B 2＋sin 2B ＝1＋cos B ＋2sin B cos B＝1＋35＋2×45×35＝6425. 13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ,C 的对边,且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．解 (1)∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，∴2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. ∵0°<A <180°，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°，由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3，∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝3，∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. 又∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°，∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°，∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为正三角形．14．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定答案 A解析 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc＝⎝⎛⎭⎫b －c 22＋3c 242bc >0，∴0°<A <90°，即角A 是锐角．15．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A a ＝3cos C c. (1)求C 的大小；(2)如果a ＋b ＝6，CA →·CB →＝4，求c 的值．考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合题点 正弦、余弦定理与平面向量的综合解 (1)由正弦定理，sin A a ＝3cos C c 可化为sin A 2R sin A ＝3cos C 2R sin C，即tan C ＝ 3.又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3. (2)CA →·CB →＝|C A →||CB →|cos C ＝ab cos C ＝4， 且cos C ＝cos π3＝12.∴ab ＝8. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab ＝62－3×8＝12.∴c ＝2 3.。

正余弦定理完美教案第一章：正弦定理简介1.1 学习目标了解正弦定理的定义和基本性质学会运用正弦定理解决实际问题1.2 教学内容正弦定理的定义及公式正弦定理与三角形内角和的关系正弦定理在实际问题中的应用1.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现正弦定理的规律1.4 教学步骤1. 引入正弦定理的概念，引导学生了解正弦定理的定义和公式2. 通过示例，讲解正弦定理在解决实际问题中的应用3. 安排练习题，巩固学生对正弦定理的理解和应用能力第二章：余弦定理简介2.1 学习目标了解余弦定理的定义和基本性质学会运用余弦定理解决实际问题2.2 教学内容余弦定理的定义及公式余弦定理与三角形内角和的关系余弦定理在实际问题中的应用2.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现余弦定理的规律2.4 教学步骤1. 引入余弦定理的概念，引导学生了解余弦定理的定义和公式2. 通过示例，讲解余弦定理在解决实际问题中的应用3. 安排练习题，巩固学生对余弦定理的理解和应用能力第三章：正弦定理与余弦定理的综合应用3.1 学习目标学会运用正弦定理和余弦定理解决综合问题理解正弦定理和余弦定理之间的关系3.2 教学内容正弦定理和余弦定理的综合应用正弦定理和余弦定理之间的关系3.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现正弦定理和余弦定理之间的关系3.4 教学步骤1. 通过示例，讲解正弦定理和余弦定理在解决综合问题中的应用2. 引导学生发现正弦定理和余弦定理之间的关系3. 安排练习题，巩固学生对正弦定理和余弦定理的综合应用能力第四章：正弦定理和余弦定理在几何中的应用4.1 学习目标学会运用正弦定理和余弦定理解决几何问题理解正弦定理和余弦定理在几何中的重要性4.2 教学内容正弦定理和余弦定理在几何中的应用正弦定理和余弦定理在几何中的重要性4.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现正弦定理和余弦定理在几何中的重要性4.4 教学步骤1. 通过示例，讲解正弦定理和余弦定理在几何问题中的应用2. 引导学生理解正弦定理和余弦定理在几何中的重要性3. 安排练习题，巩固学生对正弦定理和余弦定理在几何中的应用能力第五章：正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用5.1 学习目标学会运用正弦定理和余弦定理解决实际问题理解正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义5.2 教学内容正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义5.3 教学方法采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学引导学生通过观察、思考、讨论，发现正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义5.4 教学步骤1. 通过示例，讲解正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用2. 引导学生理解正弦定理和余弦定理在实际问题中的意义3. 安排练习题，巩固学生对正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用第六章：正弦定理和余弦定理的综合练习6.1 学习目标巩固正弦定理和余弦定理的基本概念提高运用正弦定理和余弦定理解决综合问题的能力6.2 教学内容综合练习题，涵盖正弦定理和余弦定理的应用分析解题思路和方法6.3 教学方法提供综合练习题，引导学生独立解答分析解题思路，讨论解题方法6.4 教学步骤1. 提供综合练习题，要求学生独立解答2. 分析解题思路，引导学生运用正弦定理和余弦定理解决问题3. 讨论解题方法，总结正弦定理和余弦定理的应用技巧第七章：正弦定理和余弦定理在三角形中的应用7.1 学习目标深入学习正弦定理和余弦定理在三角形中的应用掌握正弦定理和余弦定理在解决三角形问题时的灵活运用7.2 教学内容正弦定理和余弦定理在三角形中的应用案例三角形特殊角度时的定理特殊性质7.3 教学方法采用案例教学，通过具体三角形问题讲解定理的应用引导学生通过几何画图工具直观理解定理的应用7.4 教学步骤1. 通过具体三角形问题，展示正弦定理和余弦定理的应用2. 引导学生利用几何画图工具，直观理解定理的应用过程3. 安排练习题，巩固学生对定理在三角形中应用的理解第八章：正弦定理和余弦定理在复杂三角形中的应用8.1 学习目标学习正弦定理和余弦定理在复杂三角形中的应用培养学生解决复杂三角形问题的能力8.2 教学内容复杂三角形问题中正弦定理和余弦定理的运用练习题及解题策略8.3 教学方法采用问题解决法，引导学生思考和探讨提供练习题，让学生通过实际操作解决问题8.4 教学步骤1. 引入复杂三角形问题，引导学生思考如何应用定理2. 提供练习题，让学生独立解决3. 讨论解题策略，引导学生总结解题技巧第九章：正弦定理和余弦定理在实际工程中的应用9.1 学习目标学习正弦定理和余弦定理在实际工程中的应用培养学生解决实际工程问题的能力9.2 教学内容正弦定理和余弦定理在工程测量、建筑等方面的应用案例实际工程问题中的解题方法9.3 教学方法采用案例教学，通过实际工程案例讲解定理的应用引导学生通过实际操作，理解定理在工程中的应用9.4 教学步骤1. 通过实际工程案例，展示正弦定理和余弦定理的应用2. 引导学生参与实际操作，理解定理在工程中的应用过程3. 安排练习题，巩固学生对定理在实际工程中应用的理解第十章：总结与复习10.1 学习目标总结正弦定理和余弦定理的主要内容和应用复习本门课程的知识点，为考试做好准备10.2 教学内容复习正弦定理和余弦定理的基本概念、性质和应用总结解题方法和技巧10.3 教学方法通过复习讲义和练习题，引导学生复习和巩固知识点组织复习课堂，鼓励学生提问和讨论10.4 教学步骤1. 发放复习讲义，让学生提前预习2. 组织复习课堂，引导学生复习重点知识点3. 提供练习题，让学生通过实际操作巩固知识点重点和难点解析第六章：正弦定理和余弦定理的综合练习环节：分析解题思路和方法重点和难点解析：此环节需要重点关注解题思路的培养和方法的多样性。

正弦定理和余弦定理安勤辉一。

教学目标:1知识与技能:认识正弦、余弦定理,了解三角形中的边与角的关系2过程与方法：通过具体的探究活动,了解正弦、余弦定理的内容，并从具体的实例掌握正弦、余弦定理的应用情感态度与价值观:通过对实例的探究,体会到三角形的和谐美,学会稳定性的重要二. 教学重、难点：1. 重点:正弦、余弦定理应用以及公式的变形2。

难点：运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题。

知识梳理1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b,c,则(1)S＝错误!ah(h表示边a上的高)．(2）S＝错误!bc sin A＝错误!ab sin C＝错误!ac sin B。

(3)S＝错误!r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径）问题1:在△ABC中,a＝错误!，b＝错误!，A＝60°求c及B C问题2在△ABC中，c=6 A=30° B=120°求a b及C问题3在△ABC中,a＝5，c＝4，cos A＝错误!，则b＝通过对上述三个较简单问题的解答指导学生总结正余弦定理的应用;正弦定理可以解决(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角余弦定理可以解决（1）已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角我们不难发现利用正余弦定理可以解决三角形中“知三求三”知三中必须要有一边应用举例【例1】(1)(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a,b。

若2a sin B＝错误! b，则角A等于 ( ）．A.错误! B。

错误! C。

错误! D.错误!(2)（2014·杭州模拟）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a，b，c,若a＝1，c＝4错误!，B ＝45°,则sin C＝______.解析(1）在△ABC中,由正弦定理及已知得2sin A·sin B＝错误!sin B，∵B为△ABC的内角，∴sin B≠0。

正弦定理与余弦定理教案-------鄂伦春中学 祁永臣教学要求：第一课时 1.1.1 正弦定理教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程：一、复习准备：1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理 二、讲授新课：1. 教学正弦定理的推导：①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sin A =c a sin B =cbsin C =1 即c =sin sin sin a b cA B C==. ② 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a bA B=. 同理，sin sin a c A C =（思考如何作高？），从而sin sin sin a b cA B C==. ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC =111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==. 两边同除以12abc 即得：sin a A =sin b B =sin c C.证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a aCD R A D===， 同理 sin b B =2R ，sin cC ＝2R .证明三：（向量法）过A 作单位向量j 垂直于AC ，由AC +CB =AB 边同乘以单位向量j 得…..④ 正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值. 2. 教学例题：① 出示例1：在∆ABC 中，已知045A =，060B =，42a =cm ，解三角形.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两角一边 ② 出示例2：045,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结：已知两边及一边对角 ③练习：060,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和.在∆ABC 中，已知10a =cm ，14b =cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）④ 讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？3. 小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论. 三、巩固练习：1.已知∆ABC 中，∠A =60°，a =，求sin sin sin a b cA B C++++.2. 作业：教材P5 练习1 (2)，2题. 第二课时 1.1.2 余弦定理（一） 教学要求：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用. 教学难点：向量方法证明余弦定理. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：正弦定理的文字语言？ 符号语言？基本应用？2. 练习：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形. →变式3. 讨论：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？ 二、讲授新课：1. 教学余弦定理的推导：① 如图在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b . ∵AC AB BC =+，∴()()AC AC AB BC AB BC •=+•+222AB AB BC BC =+•+222||||cos(180)AB AB BC B BC =+•-+222cos c ac B a =-+.即2222cos b c a ac B =+-，→② 试证：2222cos a b c bc A =+-，2222cos c a b ab C =+-.③ 提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.用符号语言表示2222cos a b c bc A =+-，…等； → 基本应用：已知两边及夹角 ④ 讨论：已知三边，如何求三角？→ 余弦定理的推论：222cos 2b c a A bc+-=，…等.⑤ 思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？ 2. 教学例题：① 出示例1：在∆ABC中，已知=ac 060=B ，求b 及A . 分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范求b→ 讨论：如何求A ？（两种方法）（答案：b =060A =） → 小结：已知两边及夹角②在∆ABC 中，已知13a cm =，8b cm =，16c cm =，解三角形.分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 分三组练习 → 小结：已知两角一边 3. 练习：① 在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，求A 、B 和C . ② 在ΔABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝82°，解这个三角形.4. 小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边. 三、巩固练习：1. 在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A . （答案：A =1200）2. 三角形ABC 中，A ＝120°，b ＝3，c ＝5，解三角形. → 变式：求sin B sin C ；sin B ＋sin C .3. 作业：教材P8 练习1、2（1）题.第三课时 1.1 正弦定理和余弦定理（练习）教学要求：进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式. 教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化. 教学过程：一、复习准备：1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2. 讨论各公式所求解的三角形类型. 二、讲授新课：1. 教学三角形的解的讨论：① 出示例1：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.(i ) A ＝6π，a ＝25，b ＝； (ii ) A ＝6π，a ＝，b ＝； (iii ) A ＝6π，ab ＝； (iiii ) A ＝6π，a ＝50，b ＝.分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化？② 用如下图示分析解的情况. （A 为锐角时）已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinAa<CH=bsinA② 练习：在△ABC 中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.(i ) A ＝23π，a ＝25，b ＝； (ii ) A ＝23π，a ＝25，b ＝ 2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：① 出示例2：在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C =6∶5∶4，求最大角的余弦. 分析：已知条件可以如何转化？→ 引入参数k ，设三边后利用余弦定理求角. ② 出示例3：在ΔABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别？ → 求最大角余弦，由符号进行判断结论：活用余弦定理，得到：=+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A ABC a b c A ABC a b c A ∆是锐角三角形ABC③ 出示例4：已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角？ → 再思考：又如何将角化为边？ 3. 小结：三角形解的情况的讨论；判断三角形类型；边角关系如何互化. 三、巩固练习：1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，求a bb+的值 2. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos A :cos B :cos C ＝ . 3. 作业：教材P11 B 组1、2题.。