第二章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为错误!（）A．5B．4C．9D．1［答案] D[解析］由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．2．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线错误!（)A．平行B．垂直C．相交D．异面[答案] B[解析］当直尺垂直于地面时，A不对;当直尺平行于地面时,C不对；当直尺位于地面上时，D不对．3．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是错误!(）A．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行C．若α、β不平行．．．与β平行的直线．．．,则在α内不存在D．若m、n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能[答案］ D［解析]A项，α、β可能相交，故错误；B项，直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面,故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n,m∥n，则m∥β，故错误;D项，假设m、n垂直于同一平面,则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．4．已知α、β是两个平面,直线l⊄α，l⊄β,若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件,另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有错误!（)A．①③⇒②；①②⇒③B．①③⇒②；②③⇒①C．①②⇒③；②③⇒①D．①③⇒②；①②⇒③;②③⇒①［答案] A［解析]因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，又因为l⊥α,所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β,即①③⇒②；因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，又因为l⊥α，所以n⊥α，又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③.5．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，若过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H一定在导学号 92180601（)A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC的内部[答案] B[解析］∵∠BAC＝90°,∴BA⊥AC．又∵BC1⊥AC,∴AC⊥平面ABC1，∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴C1在面ABC上的射影在直线AB上．6．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有错误!（) A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] B［解析］如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线,当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．7．（2016·浙江文）已知互相垂直的平面α、β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则错误!(）A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n[答案］ C[解析]选项A，只有当m∥β或m⊂β时,m∥l；选项B,只有当m⊥β时,m∥n；选项C,由于l⊂β,∴n⊥l；选项D，只有当m∥β或m⊂β时，m⊥n,故选C．8．（2016·南安一中高一检测)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱BC 和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为错误!（）A．30°B．45°C．60°D．90°[答案] C[解析］如图，连接A1C1、BC1、A1B．∵M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，∴MN∥BC1。
A BCDEFGHI J2022－2022学年度上学期高中学生学科素质练习高三数学第一轮复习单元测试〔8〕— ?立体几何?一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的) 1．给出以下四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行.②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③假设直线12,l l 与同一平面所成的角相等,那么12,l l 互相平行.④假设直线12,l l 是异面直线,那么与12,l l 都相交的两条直线是异面直线.其中假．命题的个数是 〔 〕 A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个120°的二面角,点C 到达点C 1,这时异面直线AD与BC 1所成角的余弦值是 〔 〕A ．22 B ．21 C ．43 D ．433．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6,这个长方体对角线的长为〔 〕A ．23B ．32C ．6D ．64．二面角α－l －β的大小为600,m 、n 为异面直线,且m ⊥α,n ⊥β,那么m 、n 所成的角为 〔 〕A ．300B ．600C ．900D ．12005．如图,在正三角形ABC 中,D 、E 、F 分别为各边的中点,G 、H 、I 、J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点.将△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥以后,GH 与IJ 所成角的度 数为 〔 〕 A ．90° B ．60° C ．45° D ．0° 6．两相同的正四棱锥组成如下图的几何体,可放棱长为1的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD 与正方 体的某一个平面平行,且各顶点．．．均在正方体的面上, 那么这样的几何体体积的可能值有 〔 〕A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个7．正方体A ′B ′C ′D ′—ABCD 的棱长为a ,EF 在AB 上滑动,且|EF |=b 〔b ＜a ＝,Q 点在D ′C ′上滑动,那么四面体A ′—EFQ 的体积为 〔 〕A ．与E 、F 位置有关B ．与Q 位置有关C ．与E 、F 、Q 位置都有关D ．与E 、F 、Q 位置均无关,是定值8．〔理〕高为5,底面边长为43的正三棱柱形容器〔下有底〕,可放置最大球的半径是〔 〕A ．23B ．2C ．223D ．2〔文〕三个两两垂直的平面,它们的三条交线交于一点O,点P 到三个平面的距离比为1∶2∶3,PO=214,那么P 到这三个平面的距离分别是〔 〕A ．1,2,3B ．2,4,6C ．1,4,6D ．3,6,99．如图,在四面体ABCD 中,截面AEF 经过四 面体的内切球〔与四个面都相切的球〕球心O , 且与BC ,DC 分别截于E 、F ,如果截面将四 面体分成体积相等的两局部,设四棱锥A － BEFD 与三棱锥A －EFC 的外表积分别是S 1, S 2,那么必有 〔 〕A ．S 1<S 2B ．S 1>S 2C ．S 1=S 2D ．S 1,S 2的大小关系不能确定10．球o 的半径是1,ABC 三点都在球面上,AB 两点和AC 两点的球面距离都是4,BC 两点的球面距离是3,那么二面角B －OA －C 的大小是〔 〕A．4B ．3C ．2D ．2311．条件甲：四棱锥的所有侧面都是全等三角形,条件乙：这个四棱锥是正四棱锥,那么条件甲是条件乙的 〔 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件12．棱锥的顶点为P,P 在底面上的射影为O,PO=a,现用平行于底面的平面去截这个棱锥,截面交PO 于点M,并使截得的两局部侧面积相等,设OM=b,那么a 与b 的关系是 〔 〕A ．b =〔2－1〕aB ．b =〔2+1〕aC ．b =222a - D ．b =222a+ 二、填空题(本大题共4小题,每题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13．正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为,那么侧面与底面所成的二面角等于_______________.CA B C DA 1B 1C 1D 1 第16题图 α14．假设一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为α,那么cos α=______．15．假设棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,那么该球的外表积为___________. 16．多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点A 在平面α内,其余顶 点在α的同侧,正方体上与顶点A 相邻的三个顶 点到α的距离分别为1,2和4,P 是正方体的其余四个顶点中的一个,那么P 到平面α的距离可能是： 〔 〕①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7 以上结论正确的为______________．〔写出所有正确结论的编号．．〕 三、解做题(本大题共6小题, 共74分,解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤)17．〔本小题总分值12分〕在长方体1111D C B A ABCD -中,3,41===DD DC DA ,求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕.18．〔本小题总分值12分〕如图,1l 、2l 是互相垂直的异面直线,MN 是它们的公垂线段.点A 、B 在1l 上,C 在2l 上,AM MB MN ==. 〔1〕证实AB ⊥NB ；〔2〕假设60OACB ∠=,求NB 与平面ABC 所成角的余弦值.19．〔本小题总分值12分〕如图,在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,p 是侧棱1CC 上的一点,m CP =.〔1〕试确定m ,使得直线AP 与平面11B BDD 所成角的正切值为23；〔2〕在线段11C A 上是否存在一个定点Q ,使得对任意的m ,Q D 1在平面1APD 上的射影垂直于AP .并证实你的结论.20．〔本小题总分值12分〕〔理〕如图,矩形ABCD ,P A ⊥平面ABCD ,M 、N 分别是AB 、PC 的中点,设AB =a ,BC =b ,P A =c .〔1〕建立适当的空间直角坐标系,写出A 、B 、M 、N 点的坐标,并证实MN ⊥AB ；〔2〕平面PDC 和平面ABCD 所成的二面角为θ,当θ为何值时〔与a 、b 、c 无关〕,MN是直线AB 和PC 的公垂线段.〔文〕正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 、N 、P 分别为棱AB 、BC 、DD 1的中点. 〔1〕求证：PB ⊥平面MNB 1；〔2〕设二面角M —B 1N —B 为α,求cos α的值.21．〔本小题总分值12分〕正方形ABCD .E 、F 分别是AB 、CD 的中点,将ADE 沿DE 折起,如下图,记二面角A DE C --的大小为(0)θθπ<<. 〔1〕证实//BF 平面ADE ;〔2〕假设ACD 为正三角形,试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上,证实你的结论,并求角θ的余弦值.22．〔本小题总分值14分〕如图,在长方体ABCD ─A 1B 1C 1D 1中,E 、P 分别是BC 、A 1D 1的中点,M 、N 分别是AE 、CD 1的中点,AD=AA 1=a ,AB =2a . 〔1〕求证:MN ∥面ADD 1A 1;〔2〕求二面角P ─AE ─D 的大小; 〔3〕求三棱锥P ─DEN 的体积.A A CBDE FBCEF参考答案〔8〕1. D ．利用特殊图形正方体我们不难发现①、②、③、④均不正确,应选择答案D.2. D ．由题意易知∠ABC 1是AD 与BC 1所成的角,解△ABC 1,得余弦为43.答案：D ． 3. D ．设长宽高为a 、b 、c,那么⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===312632222c b a ac bc ab l=6,答案：D ．4. B. 作图可知满足条件的m 、n 所成的角1200为故应选B.5. B ．平面图形折叠后为正三棱锥.如图,取EF 的中点M,连结IM 、MJ,那么MJ21FD,GH 21FD,∴MJ ∥GH ,∠IJM 为异面直线GH 与JI 所成的角. D MH IJEG ()A ,B ,C F由条件易证△MJI 为正三角形.∴∠IJM =60°.答案：B ． 6. D ． 法一：此题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形,显然有无穷多个 法二：通过计算,显然两个正四棱锥的高均为12,考查放入正方体后,面ABCD 所在的截面,显然其面积是不固定的,取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭,所以该几何体的体积取值范围是11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭7. D ．V A ′－EFQ =V Q －A ′EF .8.〔理〕B ．过球心作平行于底的截面,R =23tan30°=2.〔文〕B ．9. C ．连OA 、OB 、OC 、OD 那么V A －BEFD ＝V O －ABD ＋V O －ABE ＋V O －BEFDV A －EFC ＝V O －ADC ＋V O －AEC ＋V O －EFC 又V A －BEFD ＝V A －EFC 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故S ABD ＋S ABE ＋S BEFD ＝S ADC ＋S AEC ＋S EFC 又面AEF 公共,应选C 10. 如图,由题可知∠AOB =∠AOC =4,而∠BOC =3,由于OA =OB =OC =1,所以BC =1,且分别过B C 作OA 的垂线,垂足为同一点M ,于是∠BMC 为二面角B －OA －C 的平面角,所以BM =CM =22,从而∠BMC=2,应选C.11. B ．乙⇒甲,但甲乙,例如四棱锥S —ABCD的底面ABCD 为菱形,但它不是正四棱锥.12. C ．由平行锥体底面的截面性质,知PO PM =22,∴PO OM =222-.∴ab = 222-.∴A D B BDE F''''R23DSb=222- a.答案：C ． 13. 3πθ=．底面正方形面积12)62(212==S ,底面边长a S =,高SVh 3=,二面角的余切值2/tan a h=θ.代入数据,得：3121212662//3tan =⨯⨯===S S V S S V θ.又θ必为锐角,所以 3πθ=.14.63．不妨认为一个正四棱柱为正方体,与正方体的所有面成角相等时,为与相交于同一顶点的三个相互垂直的平面所成角相等,即为体对角线与该正方体所成角.故26cos 33α==. 15.27π．ππ274233332==⇒=⇒=R S R d 16. ①③④⑤． 如图,B 、D 、A 1到平面α的距离分别为1、2、4,那么D 、A 1的中点到平面α的距离为3,所 以D 1到平面α的距离为6；B 、A 1的中点到平面α的距离为52,所以B 1到平面α的距离为5；那么D 、B的中点到平面α的距离为32,所以C 到平面α的距离 为3；C 、A 1的中点到平面α的距离为72,所以C 1到平面α的距离为7；而P 为C 、C 1、B 1、D 1中的一点,所以填①③④⑤． 17.法一：连接D A 1,D BA C B D A 111,//∠∴ 为异面直线B A 1与C B 1所成的角.连接BD ,在△DB A 1中,24,511===BD D A B A ,那么DA B A BD D A B A D BA 112212112cos ⋅⋅-+=∠259552322525=⋅⋅-+=. ∴异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为259arccos. ABCDA 1B 1C 1D 1第16题图α法二：以D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系.那么 )0,4,0()3,4,4()0,4,4()3,0,4(11C B B A 、、、, 得 )3,0,4(),3,4,0(11--=-=C B B A .设B A 1与C B 1的夹角为θ, 那么259cos 1111=⋅=CB B A θ, ∴ B A 1与C B 1的夹角大小为259arccos, 即异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为259arccos .18.〔１〕AM = MB = MN ,说明NM 是△ANB 的中线且为边AB 的一半,所以△ANB 是直 角三角形,其中∠ANB 为直角.所以BN ⊥NA .①12l l ⊥且MN ⊥2l ⇒2l ⊥面ABN ⇒2l ⊥BN .②由①、②可推出BN ⊥面NAC .所以AC ⊥BN . 〔２〕MN ⊥AB 且M 为AB 中点⇒AN = MN ③ 由〔１〕知,AN 、BN 、CN 两两垂直 ④由③、④ ⇒AC = BC,又∠ACB = 60︒,所以△ABC 是等边三角形.设BN 长度为1,那么AB =2,2332ABC S ∆=三棱锥C ABN -的体积为：61； 三棱锥N ABC -的体积为：h S ABC ∆31由C ABN A ABC V V --=可得 点N 到面ABC 的距离33=h 记NB 与平面ABC 所成角为θ,那么33sin ==NB h θ. 从而36cos =θ实际上,这个题的命题背景是N ABC -是正方体的一个“角〞.如图3. 19. 法一：〔１〕连AC ,设AC 与BD 相交于点O ,AP 与平面11BDD B 相交于点,,连结OG ,由于PC ∥平面11BDD B ,图 3M CAOD 1C1CDABA1B1PG平面11BDD B ∩平面APC ＝OG , 故OG ∥PC ,所以,OG ＝21PC ＝2m . 又AO ⊥BD ,AO ⊥BB 1,所以AO ⊥平面11BDD B , 故∠AGO 是AP 与平面11BDD B 所成的角.在Rt △AOG 中,tan ∠AGO ＝23222==m GOOA ,即m ＝31.所以,当m ＝31时,直线AP 与平面11BDD B所成的角的正切值为〔２〕可以推测,点Q 应当是A I C I 的中点O 1,由于D 1O 1⊥A 1C 1, 且 D 1O 1⊥A 1A ,所以 D 1O 1⊥平面ACC 1A 1, 又AP ⊂平面ACC 1A 1,故 D 1O 1⊥AP .那么根据三垂线定理知,D 1O 1在平面APD 1的射影与AP 垂直.法二：(１)建立如下图的空间直角坐标系,那么A (1,0,0),B (1,1,0),P (0,1,m),C (0,1,0),D (0,0,0),B 1(1,1,1),D 1(0,0,1) 所以1(1,1,0),(0,0,1),(1,1,),(1,1,0).BD BB AP m AC =--==-=- 又由10,0AC BD AC BB ⋅=⋅=知,AC 为平面11BB D D 的一个法向量.设AP 与平面11BB D D 所成的角为θ,那么sin cos()22AP ACAP AC πθθ⋅=-==⋅依题意有=解得yx13m =．故当13m =时,直线AP 与平面11BB D D所成的角的正切值为 〔２〕假设在A 1C 1上存在这样的点Q ,设此点的横坐标为x ,那么Q (x ,1－x ,1),1(,1,0)DQ x x =-.依题意,对任意的m 要使D 1Q 在平面APD 1上的射影垂直于AP,等价于D 1Q ⊥AP 110(1)0.2AP D Q x x x ⇔⋅=⇔-+-=⇔=即Q 为A 1C 1的中点时,满足题设要求.20. 〔理〕〔1〕证实：以A 为原点,分别以AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系.那么A 〔0,0,0〕,B 〔a ,0,0〕,M 〔2a ,0,0〕,N 〔2a ,2b ,2c 〕. AB =〔a,0,0〕,MN =〔0,2b ,2c〕.AB ·MN =0⇒AB ⊥MN.〔2〕P 〔0,0,c 〕,C 〔a,b,0〕,PC =〔a ,b,－c 〕,假设MN 是PC 、AB 的公垂线段,那么PC ·MN =0,即－22b +22c =0⇒b=c.又∵AP ⊥面ABCDCD ⊥DA∴∠PDA 是二面角P —CD —A 的平面角.∴∠PDA =45°,即二面角P —CD —A 是45°. 〔文〕〔1〕如图,以D 为原点,DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,取正方体棱长为2,那么P 〔0,0,1〕、M 〔2,1,0〕、B 〔2,2,0〕、B 1〔2,2,2〕.A A x y1∵PB ·1MB=〔2,2,－1〕·〔0,1,2〕=0, ∴MB 1⊥PB ,同理,知NB 1⊥PB .∵MB 1∩NB 1=B 1,∴PB ⊥平面MNB 1.〔2〕∵PB ⊥平面MNB 1,BA ⊥平面B 1BN ,∴PB =〔2,2,－1〕与BA =〔0,2,0〕所夹的角即⇒CD ⊥PD ,为α,cos α||||BA PB =32. 21. (１)EF 分别为正方形ABCD 得边AB 、CD 的中点,∴EB //FD,且EB =FD ,∴ 四边形EB FD 为平行四边形.∴BF//ED,EF AED BF AED ⊂⊄平面而平面∴//BF 平面ADE .〔2〕法一:如右图,点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上, 过点A 作AG 垂直于平面BCDE ,垂足为G ,连结GC ,GD .∆ACD 为正三角形,∴ AC =AD ∴CG =GD G 在CD 的垂直平分线上,∴ 点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上,过G 作GH 垂直于ED 于H ,连结AH ,那么AH DE ⊥,所以AHD ∠为二面角A -DE -C 的平面角.即G AH θ∠=设原正方体的边长为2a ,连结AF在折后图的∆AEF 中,AF ,EF =2AE =2a ,即∆AEF 为直角三角形, AG EF AE AF ⋅=⋅2AG a ∴=在Rt ∆ADE 中, AH DE AE AD ⋅=⋅AH ∴=GH ∴=1cos 4GH AH θ==. 法二:点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上 连结AF,在平面AEF 内过点作AG EF '⊥,垂足为G '. ∆ACD 为正三角形,F 为CD 的中点, AF CD ∴⊥又因EF CD ⊥, 所以CD AEF ⊥平面AG AEF '⊂平面 AG CD '∴⊥又AG EF '⊥且,,BCDE CD EF F CD BCDE EF ⋂=⊂⊂平面平面AG BCDE '∴⊥平面 G '∴为A 在平面BCDE 内的射影G .即点A 在平面BCDE 内的射影在直线EF 上过G 作GH 垂直于ED 于H ,连结AH ,那么AH DE ⊥,所以AHD ∠为二面角A -DE -C 的平面角.即G AH θ∠= 设原正方体的边长为2a ,连结AF在折后图的∆AEF 中, AF ,EF =2AE =2a ,即∆AEF 为直角三角形, AG EF AE AF ⋅=⋅ 32AG a ∴=在Rt ∆ADE 中, AH DE AE AD ⋅=⋅ 25AH a ∴=25a GH ∴=1cos 4GH AH θ==. 法三: 点A 在平面BCDE 内的射影G 在直线EF 上 连结AF ,在平面AEF 内过点作AG EF '⊥,垂足为G '. ∆ACD 为正三角形, F 为CD 的中点,AF CD ∴⊥ 又因EF CD ⊥, 所以CD AEF ⊥平面CD BCDE ∴⊂平面 AEF BCDE ∴⊥平面平面又AEF =EF,BCDE AG EF '⋂⊥平面平面 AG EF '⊥AG BCDE '∴⊥平面 G '∴为A 在平面BCDE 内的射影G .即点A 在平面BCDE 内的射影在直线EF 上过G 作GH 垂直于ED 于H ,连结AH ,那么AH DE ⊥,所以AHD ∠为二面角A -DE -C 的平面角.即G AH θ∠= 设原正方体的边长为2a,连结AF 在折后图的∆AEF 中,AF =3a ,EF =2AE =2a ,即∆AEF 为直角三角形, AG EF AE AF ⋅=⋅ 32AG a ∴=在Rt ∆ADE 中, AH DE AE AD ⋅=⋅ 25AH a ∴=25a GH ∴=, 1cos 4GH AH θ==. 22. 法一：以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系D ─xyz , 那么A (a ,0,0)、B (a ,2a ,0)、C (0,2a ,0)、A 1(a ,0,a )、 D 1(0,0,a ) ∵E 、P 分别是BC 、A 1D 1的中点,M 、 N 分别是AE 、CD 1的中点,∴E (0,2,2a a ),P (a a ,0,2),M (0,,43a a ) ,N (2,,0a a )(1) 3(,0,)42a aMN ,取)0,1,0( n ,显然n ⊥面ADD 1A 1而0MN n ,∴n MN ⊥.又∴MN面ADD 1A 1, ∴MN ∥面ADD 1A 1;(2)过P 作PH ⊥AE ,交AE 于H .取AD 的中点F ,那么F (,0,0)2a,设H (x ,y ,0), 那么(,,)2a HPx y a ,(,,0)2a HFx y .又(,2,0)2aAE a ,由0HP AE 以及H 在直线AE 上可得:⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+-.44,02242a y x ay x aa 解得x =3334a ,y =217a .∴82(,,)1717a a HP a 82(,,0)1717a a HF , 所以0HF AE 即AE HF ⊥,∴HP 与HF 所夹的角等于二面角P ─AE ─D 的大小.2cos,21HP HF HP HFHP HF, 所以二面角P ─AE ─D 的大小221. (３)设1111(,,)n x y z 为平面DEN 的法向量, DN n DE n ⊥⊥11,又(,2,0)2aDEa ,(0,,)2aDN a ,(,0,)2aDPa )2,1,4(.2,4.02,022*********-=⎩⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∴n DEN y z ay x z a ay qy x a的一个法向量所以面即∴P 点到平面DEN 的距离为d =11224161421aaDP n a n∵8cos ,85DE DN DE DNDE DN,21sin ,85DE DN DE DNDE DN,2121sin ,28DENSDE DN DE DNa . 所以3136PDENDENa V S d.法二: (１)证实:取CD 的中点K ,连结,MK NK ∵,,M N K 分别为1,,AK CD CD 的中点∵1//,//MK AD NK DD ∴//MK 面11ADD A ,//NK 面11ADD A ∴面//MNK 面11ADD A∴//MN 面11ADD A (2)设F 为AD 的中点∵P 为11A D 的中点 ∴1//PF DD∴PF ⊥面ABCD作FH AE ⊥,交AE 于H ,连结PH ,那么由三垂线定理得AE PH ⊥ 从而PHF ∠为二面角P AE D --的平面角. 在Rt AEF ∆中,,2,2a AF EF a AE ==,从而2a aAF EF FH AE ⋅⋅== 在Rt PFH ∆中,1tan DD PF PFH FHFH∠==故:二面角P AE D --的大小为〔3〕121111244NEP ECD P S S BC CD a ∆==⋅=⋅矩形.作1DQ CD ⊥,交1CD 于Q ,由1111A D CDD C ⊥面,得11A D DQ ⊥,∴11DQ BCD A ⊥面.在1Rt CDD ∆中,11CD DD DQ CD ⋅===,∴3211336P DEN D NEPNEP a V V S DQ --∆==⋅==. 欢送访问 :// k12zy。
立体几何多选题达标综合模拟测评学能测试试题一、立体几何多选题1．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =12AD AA ==，P 、Q 、R 分别是AB 、1BB 、1A C 上的动点，下列结论正确的是（ ）A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥C ．当1AR A C ⊥时，1ARD R ⊥D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABCD 【分析】本题先建立空间直角坐标系，再运用空间向量在立体几何中的应用逐一判断即可. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设(2,,0)P a，0a ⎡∈⎣，(2,)Q b ，[]0,2b ∈，设11A R AC λ=，得到(22,,22)R λλ--，[]0,1λ∈. 1(2,,2)D P a =-，(2,0,)CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确；1(22,2)D R λλ=--，12(22)2D R CQ b λλ⋅=--，取22bλ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确；1AR A C ⊥，则1(2,22)(2)412440AR AC λλλλλ⋅=--⋅--=+-+=，解得：15λ=，此时12282()()05555AR D R ---⋅=⋅=，1AR D R ⊥，C 正确；113AC A R =，则44()33R，142()33D R =-，设平面1BDC 的法向量为(,,)n x y z =，则100n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(3,n =-，故10n D R ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，是偏难题.2．如图，线段AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，//EF AB ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，且2AB =，1EF AD ==，则下述正确的是（ ）A ．//OF 平面BCEB ．BF ⊥平面ADFC ．点A 到平面CDFE 的距离为217D ．三棱锥C BEF -5π 【答案】ABC 【分析】由1EF OB ==，//EF OB ，易证//OF 平面BCE ，A 正确；B ， 由所矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直， 易证AD ⊥平面ABEF ，所以AD BF ⊥，由线段AB 为圆O 的直径，所以BF FA ⊥，易证故B 正确.C ，由C DAF A CDF V V --=可求点A 到平面CDFE 21，C 正确. D ，确定线段DB 的中点M 是三棱锥C BEF -外接球心，进一步可求其体积，可判断D 错误. 【详解】解：1EF OB ==，//EF OB ，四边形OFEB 为平行四边形，所以//OF BE ，OF ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以//OF 平面BCE ，故A 正确.线段AB 为圆O 的直径，所以BF FA ⊥，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，平面ABCD 平面ABEF AB =，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面ABEF ，BF ⊂平面ABEF ，所以AD BF ⊥ AD ⊂平面ADF ，AF ⊂平面ADF ，AD AF A =， 所以BF ⊥平面ADF ，故B 正确.1OF OE EF ===，OFE △是正三角形，所以1EF BE AF ===， //DA BC ，所以BC ⊥平面ABEF ，BC BF ⊥，3BF =，22312CF CB BF =+=+=，22112DF DA AF =+=+=，2AB CD ==，CDF 是等腰三角形，CDF 的边DF 上的高22222142222DF CF ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11472222CDF S =⨯⨯=△， //DA BC ，AD ⊂平面ADF ，BC ⊄平面ADF ， //BC 平面ADF ，点C 到平面ADF 的距离为3BF =， 111122DAF S =⨯⨯=△，C DAF A CDF V V --=，设点A 到平面CDFE 的距离为h ，1133ADF CFD S FB S h ⨯⨯=⨯⨯△△，111733232h ⨯⨯=⨯⨯， 所以217h =，故C 正确. 取DB 的中点M ，则//MO AD ，12MO =，所以MO ⊥平面CDFE ，所以21512ME MF MB MC ⎛⎫====+= ⎪⎝⎭所以M 是三棱锥C BEF -5，三棱锥C BEF -外接球的体积为334455533V r πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故D 错误， 故选：ABC. 【点睛】综合考查线面平行与垂直的判断，求点面距离以及三棱锥的外接球的体积求法，难题.3．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，以下结论正确的是（ ） A ．四边形1BFD E 不一定是平行四边形 B ．平面α分正方体所得两部分的体积相等 C ．平面α与平面1DBB 不可能垂直 D ．四边形1BFD E 面积的最大值为2 【答案】BD 【分析】由平行平面的性质可判断A 错误;利用正方体的对称性可判断B 正确;当E ､F 为棱中点时,通过线面垂直可得面面垂直,可判断C 错误;当E 与A 重合,F 与1C 重合时,四边形1BFD E 的面积最大,且最大值为2,可判断D 正确. 【详解】 如图所示,对于选项A,因为平面1111//ABB A CC D D ,平面1BFD E 平面11ABB A BE =,平面1BFD E平面111CC D D D F =,所以1//BE D F ,同理可证1//D E BF ,所以四边形1BFD E 是平行四边形,故A 错误; 对于选项B,由正方体的对称性可知,平面α分正方体所得两部分的体积相等,故B 正确; 对于选项C,在正方体1111ABCD A B C D -中,有1,AC BD AC BB ⊥⊥, 又1BD BB B ⋂=,所以AC ⊥平面1BB D , 当E ､F 分别为棱11,AA CC 的中点时, 有//AC EF ,则EF ⊥平面1BB D , 又因为EF ⊂平面1BFD E ,所以平面1BFD E ⊥平面1BB D ,故C 错误;对于选项D,四边形1BFD E 在平面ABCD 内的投影是正方形ABCD , 当E 与A 重合,F 与1C 重合时,四边形1BFD E 的面积有最大值, 此时1212S D E BE =⋅=⋅=,故D 正确; 故选:BD. 【点睛】本题考查了正方体的几何性质与应用问题,也考查了点线面的位置关系应用问题,属于中档题.4．如图，点O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，S 是棱PC 上的点，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ，则（ ）A ．若//MN 平面PAB ，则//AB RQ B ．存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQC ．存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+= D ．111PQPRPS++是常数【答案】ABD 【分析】对于选项A ，根据线面平行的性质定理，进行推理判断即可；对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ， 13SC PC =时，通过线面垂直的判定定理，证明此时PC ⊥平面SRQ ，即可证明，存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ；对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=，利用线面垂直的判定定理可证得PC ⊥平面PAB ，此时通过反证法说明矛盾性，即可判断； 对于选项D ，利用S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V ----=++，即可求得111PQPRPS++是常数.【详解】 对于选项A ， 若//MN 平面PAB ，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ,∴平面SMN 平面PAB =RQ ，又MN ⊂平面SMN ，//MN 平面PAB ，∴//MN RQ ，点O 在面ABC 上，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，∴MN ⊂平面ABC ，又//MN 平面PAB ，平面ABC平面PAB AB =，∴//MN AB ， ∴//AB RQ ，故A 正确； 对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ，S 为线段PC 上靠近C 的三等分点，即13SC PC =， 此时PC ⊥平面SRQ ，以下给出证明： 在正四面体P ABC -中，设各棱长为a ，∴ABC ，PBC ，PAC △，PAB △均为正三角形，点O 为ABC 的中心，//MN AB ，∴由正三角形中的性质，易得23CN CM a ==， 在CNS 中，23CN a =，13SC a =，3SCN π∠=，∴由余弦定理得，SN a ==， ∴222249SC SN a CN +==，则SN PC ⊥， 同理，SM PC ⊥，又SM SN S =，SM ⊂平面SRQ ，SN ⊂平面SRQ ，∴PC ⊥平面SRQ ，∴存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ，故B 正确； 对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=， 设QR 中点为K ，则2PQ PR PK +=，∴PS PK ⊥，即PC PK ⊥，()cos cos 0PC AB PC PB PA PC PB CPB PC PA CPA ⋅=⋅-=⋅∠-⋅∠=，∴PC AB ⊥，又易知AB 与PK 为相交直线，AB 与PK 均在平面PQR 上，∴PC ⊥平面PQR ，即PC ⊥平面PAB ，与正四面体P ABC -相矛盾，所以假设不成立， 故C 错误； 对于选项D ，易知点O 到面PBC ，面PAC ，面PAB 的距离相等，记为d ， 记PC 与平面PAB 所处角的平面角为α，α为常数，则sin α也为常数， 则点S 到PQR 的距离为sin PS α， 又13sin23PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅ ∴()()1133sin sin sin33S PQR PQRV PS S PS PQ PR PQ PR PS ααα-=⋅=⋅⋅=⋅⋅， 又13sin 234PSRSPS PR PS PR π=⋅=⋅， 13sin 234PSQS PS PQ PS PQ π=⋅=⋅， 13sin 234PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅，()12S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V d PS PR PS PQ PQ PR ----=++=⋅+⋅+⋅，∴()3sin PQ PR PS d PS PR PS PQ PQ PR α⋅⋅=⋅+⋅+⋅， ∴111sin d PQPRPSα++=为常数，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了三棱锥体积的计算，考查了向量的运算，考查了转化能力与探究能力，属于较难题.5．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB BC AA P ===是1A B 上的一动点，则下列选项正确的是( )A ．DP 35B ．DP 5C ．1AP PC +6D ．1AP PC +的最小值为1705【答案】AD 【分析】DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高即可；旋转11A BC 所在平面到平面11ABB A ，1AP PC +的最小值转化为求AC '即可.【详解】求DP 的最小值，即求1DA B △底边1A B 上的高，易知115,2A B A D BD ===，所以1A B 边上的高为355h =111,AC BC ，得11A BC ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则AC '即为所求的最小值，易知11122,2,cos 10AA AC AAC ''==∠=-， 所以217042222()105AC '=+-⨯⨯⨯-=. 故选：AD. 【点睛】本题考查利用旋转求解线段最小值问题.求解翻折、旋转问题的关键是弄清原有的性质变化与否， (1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，翻折、旋转前后应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱11AA =，P 为上底面1111D C B A 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）A ．若3PD =，则满足条件的P 点有且只有一个B ．若3PD =，则点P 的轨迹是一段圆弧C ．若PD ∥平面1ACB ，则DP 长的最小值为2D ．若PD ∥平面1ACB ，且3PD =，则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形的面积为94π 【答案】ABD 【分析】若3PD =，由于P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一；()313PD =∈，，则12PD =，即点P 的轨迹是一段圆弧；当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为3=，可判断C ；平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为32=，可得D . 【详解】 如图：∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2， ∴1122B D =11AA =， ∴()2212213DB =+=，则P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一，故A 正确；∵()313PD =，，11DD =，则12PD P 的轨迹是一段圆弧，故B 正确； 连接1DA ，1DC ，可得平面11//A DC 平面1ACB ，则当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为()22213+=C 错误；由C 知，平面BDP 即为平面11BDD B ，平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接2221322122++=，面积为94π，故D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.7．如图，正三棱柱11ABC A B C -中，11BC AB ⊥、点D 为AC 中点，点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点则以下结论正确的是（ ）A ．()1112DA A A B A BC =-+ B ．若//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于22AC C ．异面直线AD 与1BC 6D ．若点E 到平面11ACC A 的距离等于32EB ，则动点E 的轨迹为抛物线的一部分 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解，逐项判断，进而可得到本题答案. 【详解】解析：对于选项A ，()1112AD A A B A BC =-+，选项A 错误； 对于选项B ，过点D 作1AA 的平行线交11A C 于点1D ．以D 为坐标原点，1DA DB DD ,,分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ．设棱柱底面边长为a ，侧棱长为b ，则002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,，3002B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，1302B a b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，102a C b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,，所以1322a BC a b ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,,，1322a AB a b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,． ∵11BC AB ⊥，∴110BC AB ⋅=，即222302a b ⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得22b a =． 因为//DE 平面11ABB A ，则动点E 的轨迹的长度等于122BB =．选项B 正确． 对于选项C ，在选项A 的基础上，002a A ⎛⎫⎪⎝⎭,,，3002B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,,，()0,0,0D ，1202a C a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,,，所以002a DA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,,，1322a BC a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,-,， 因为211162cos ,||||622a BC DA BC DA BC DA a a ⎛⎫- ⎪⋅⎝⎭<>===-，所以异面直线1,BC DA 所成角的余弦值为66，选项C 正确． 对于选项D ，设点E 在底面ABC 的射影为1E ，作1E F 垂直于AC ，垂足为F ，若点E 到平面11ACC A 的距离等于3EB ，即有31E F EB =，又因为在1CE F ∆中，3112E F E C =，得1EB E C =，其中1E C 等于点E 到直线1CC 的距离，故点E 满足抛物线的定义，另外点E 为四边形11BCC B 内（包含边界）的动点，所以动点E 的轨迹为抛物线的一部分,故D 正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应用.8．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段B 1C 上运动，则（ ）A ．直线BD 1⊥平面A 1C 1DB ．三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值C ．异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[45°，90°]D ．直线C 1P 与平面A 1C 1D【答案】ABD【分析】在A 中，推导出A 1C 1⊥BD 1，DC 1⊥BD 1，从而直线BD 1⊥平面A 1C 1D ；在B 中，由B 1C ∥平面 A 1C 1D ，得到P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，再由△A 1C 1D 的面积是定值，从而三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C 1P 与平面A 1C 1D． 【详解】解：在A 中，∵A 1C 1⊥B 1D 1，A 1C 1⊥BB 1，B 1D 1∩BB 1＝B 1，∴A 1C 1⊥平面BB 1D 1，∴A 1C 1⊥BD 1，同理，DC 1⊥BD 1，∵A 1C 1∩DC 1＝C 1，∴直线BD 1⊥平面A 1C 1D ，故A 正确；在B 中，∵A 1D ∥B 1C ，A 1D ⊂平面A 1C 1D ，B 1C ⊄平面A 1C 1D ，∴B 1C ∥平面 A 1C 1D ，∵点P 在线段B 1C 上运动，∴P 到平面A 1C 1D 的距离为定值，又△A 1C 1D 的面积是定值，∴三棱锥P ﹣A 1C 1D 的体积为定值，故B 正确；在C 中，异面直线AP 与A 1D 所成角的取值范用是[60°，90°]，故C 错误；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中棱长为1，P （a ，1，a ），则D （0，0，0），A 1（1，0，1），C 1（0，1，1），1DA ＝（1，0，1），1DC ＝（0，1，1），1C P ＝（a ，0，a ﹣1），设平面A 1C 1D 的法向量(),,n x y z =， 则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取x ＝1，得1,1,1n ，∴直线C 1P 与平面A 1C 1D 所成角的正弦值为： 11||||||C P n CP n ⋅⋅＝∴当a ＝12时，直线C 1P 与平面A 1C 1D ，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】求直线与平面所成的角的一般步骤：（1）、①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解；（2）、用空间向量坐标公式求解.。
人教版立体几何多选题测试综合卷检测试题一、立体几何多选题1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中的正四面体11A BDC -的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）A ．异面直线1AB 与1AD 所成的角是3πB ．1BD ⊥平面11AC DC ．平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为3D ．正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23【答案】ABD 【分析】选项A ，利用正方体的结构特征找到异面直线所成的角；选项B ，根据正方体和正四面体的结构特征以及线面垂直的判定定理容易得证；选项C ，由图得平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为1ACB 面积的四分之一；选项D ，分别求出正方体的体对角线长和正四面体11A BDC -的高，然后判断数量关系即可得解. 【详解】A ：正方体1111ABCD ABCD -中，易知11//AD BC ，异面直线1A B 与1AD 所成的角即直线1A B 与1BC 所成的角，即11A BC ∠，11A BC 为等边三角形，113A BC π∠=，正确；B ：连接11B D ，1B B ⊥平面1111DC B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，即111AC B B ⊥，又1111AC B D ⊥，1111B B B D B ⋂=，有11A C ⊥平面11BDD B ，1BD ⊂平面11BDD B ，所以111BD AC ⊥，同理可证：11BD A D ⊥，1111AC A D A ⋂=，所以1BD ⊥平面11AC D ，正确；C ：易知平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为134ACB S=，错误；D ：易得正方体1111ABCD A B C D -()()()2222226++=2的正四面体11A BDC -的高为22222262213⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭，故正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23，正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：利用正方体的性质，找异面直线所成角的平面角求其大小，根据线面垂直的判定证明1BD ⊥平面11AC D ，由正四面体的性质，结合几何图形确定截面的面积，并求高，即可判断C 、D 的正误.2．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，090B F ∠=∠=，060,45,A D BC DE ∠=∠==，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F CAB -，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是（ ）A ．BC FM ⊥B ．AC 与平面MOF 所成的角的余弦值为32C ．平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角为45°D ．设平面ABF 平面MOF l =，则有//l AB【答案】AD 【分析】证明BC ⊥面FOM 可判断A ；根据AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=判断B ；利用特殊位置判断C ；先证明//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可判断D ； 【详解】由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得,,BC OF BC OM OM OF O ⊥⊥=，所以BC ⊥面FOM BC FM ⇒⊥，故A 正确；因为BC ⊥面FOM ，所以AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=，所以余弦值为12，故B 错误； 对于C 选项可以考虑特殊位置法，由BC ⊥面FOM 得面ABC ⊥面FOM ，所以点F 在平面ABC 内的射影在直线OM 上，不妨设点F 平面ABC 内的射影为M ，过点M 作//BC MN ，连结NF .易证AB ⊥面MNF ，则l ⊥面MNF ，所以MFN ∠为平面MOF与平面AFB 所成的二面角的平面角，不妨设2AB =，因为060A，所以23BC =，则13,12OF BC OM ===，显然MFN ∠不等于45°，故C 错误. 设面MOF 与平面ABF 的交线为l ，又因为//,AB OM AB ⊄面MOF ，OM ⊂面MOF ，所以//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可得：//l AB ，故D 正确； 故选：AD.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.3．如图，已知正方体1ABCD ABC D -的棱长为a ，E 是棱CD 上的动点.则下列结论中正确的有（ ）A ．11EB AD ⊥B ．二面角11E A B A --的大小为4π C ．三棱锥11A B D E -体积的最小值为313a D ．1//D E 平面11A B BA 【答案】ABD 【分析】连接1A D 、1B C ，则易证1AD ⊥平面11A DCB ，1EB ⊂平面11A DCB ，则由线面垂直的性质定理可以判断选项A 正确；二面角11E A B A --的平面角为1DA A ∠，易知14DA A π∠=，则可判断选项B 正确；用等体积法，将求三棱锥11A B D E -的体积转化为求三棱锥11E AB D -的体积，当点E 与D 重合时，三棱锥11E AB D -的体积最小，此时的值为316a ，则选项C 错误；易知平面11//D DCC 平面11A B BA ，而1D E ⊂平面11D DCC ，则根据面面平行的性质定理可得1//D E 平面11A B BA ，可判断选项D 正确. 【详解】选项A ，连接1A D 、1B C ，则由正方体1ABCD ABC D -可知，11A D AD ⊥，111A B AD ⊥，1111A DA B A =，则1AD ⊥平面11A DCB ，又因为1EB ⊂平面11A DCB ，所以11EB AD ⊥，选项A 正确； 选项B ，因为11//DE A B ，则二面角11E A B A --即为二面角11D A B A --， 由正方体1ABCD ABC D -可知，11A B ⊥平面1DA A ， 则1DA A ∠为二面角11D A B A --的平面角，且14DA A π∠=，所以选项B 正确；选项C ，设点E 到平面11AB D 的距离为d ， 则11111113A B D E E AB D AB D V V S d --==⋅，连接1C D 、1C B ，易证平面1//BDC 平面11AB D ，则在棱CD 上，点D 到平面11AB D 的距离最短， 即点E 与D 重合时，三棱锥11A B D E -的体积最小， 由正方体1ABCD ABC D -知11A B ⊥平面1ADD ，所以1111123111113326D AB D B ADDADD a V V S A B a a --==⋅=⋅⋅=， 则选项C 错误；选项D ，由正方体1ABCD ABC D -知，平面11//CC D D 平面11A B BA ，且1D E ⊂平面11CC D D ， 则由面面平行的性质定理可知1//D E 平面11A B BA ，则选项D 正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题对于选项C 的判断中，利用等体积法求三棱锥的体积是解题的关键.4．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E ，F 分别在1CC ，1BB 上，12C E EC →→=，12BF FB →→=.动点M 在侧面11ADD A 内(包含边界)运动，且满足直线//BM 平面1D EF ，则（ ）A ．过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为等腰梯形B ．三棱锥1D EFM -的体积为定值C ．动点M 10D ．过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面面积的最小值为10【答案】BCD 【分析】由题做出过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，进而计算即可排除A 选项；根据//BM平面1D EF ，由等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEFV V V V ----===即可得B 选项正确；取1AA 靠近1A 点的三等分点H ， 1DD 靠近D 点的三等分点I ，易知M 的轨迹为线段HI 10，故C 选项正确；过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ，交1DD 于O ，连接,BP OE ，易知过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，进而得当H 位于点I 时，截面面积最小，为四边形ABEI 的面积，且面积为310S AB BE =⋅=. 【详解】解：对于A 选项，如图，取BF 中点G ，连接1A G ，由点E ，F 分别在1CC ，1BB 上，12C E EC →→=，12BF FB →→=，故四边形11A D EG 为平行四边形，故11//AGD E ，由于在11A B G △，F 为1B G 中点，当N 为11A B 中点时，有11////NF A G D E ，故过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，此时22133532D N ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，223110EF =+=，故梯形1D EFN 不是等腰梯形，故A 选项错误；对于B 选项，三棱锥1D EFM -的体积等于三棱锥1M D EF -的体积，由于//BM平面1D EF ，故三棱锥1M D EF -的体积等于三棱锥1B D EF -的体积，三棱锥1B D EF -的体积等于三棱锥1D BEF -的体积，而三棱锥1D BEF -的体积为定值，故B 选项正确； 对于C 选项，取1AA 靠近1A 点的三等分点H ， 1DD 靠近D 点的三等分点I ，易知1////HB AG NF ，1//BI D F ，由于1,HI BI I NFD F F ==，故平面//BHI 平面1D EF ，故M 的轨迹为线段HI ，其长度为10，故C 选项正确；对于D 选项，过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ，交1DD 于O ，连接,BP OE ，则过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，易知当H 位于点I 时，平行四边形BPOE 边BP 最小，且为AB ，此时截面平行四边形BPOE 的面积最小，为四边形ABEI 的面积，且面积为310S AB BE =⋅=，故D 选项正确； 故选：BCD【点睛】本题解题的关键在于根据题意，依次做出过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，进而讨论AD选项，通过//BM平面1D EF ，并结合等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEF V V V V ----===知B 选项正确，通过构造面面平行得M 的轨迹为线段HI ，进而讨论C 选项，考查回归转化思想和空间思维能力，是中档题.5．如图，已知四棱锥P ABCD -所有棱长均为4，点M 是侧棱PC 上的一个动点（不与点,P C 重合），若过点M 且垂直于PC 的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（ ）A ．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形B ．截面和底面ABCD 所成的锐二面角为4π C ．当1PM =时，截面的面积为52D ．当2PM =时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为()1212,>V V V V ，则123=V V 【答案】BCD 【分析】点M 是侧棱PC 上的一个动点，根据其不同位置，对选项逐一进行判断即可. 【详解】A 选项中，如图，连接BD ，当M 是PC 中点时，2MC =，由题意知三角形PDC 与三角形PBC 都是边长为4的正三角形，所以DM PC ⊥,BM BC ⊥，又DM ，BM 在面MBD 内，且相交，所以PC ⊥平面PBD ，三角形MBD 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是三角形，点M 向下移动时，2MC <，如图，仍是三角形；若点M 由中点位置向上移动，2MC >，在平面PDC 内作EM PC ⊥，交PD 于E ，在平面PBC 内作FM PC ⊥交PB 于F ，平面MEF 交平面PAD 于EG ，交PAB 于FH ，即交平面ABCD 于GH ，则五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，此时是五边形； 故截面的形状可能为三角形、五边形，A 错误；B 选项中，因为截面总与PC 垂直，所以不同位置的截面均平行，截面与平面ABCD 所成的锐角为定值，不妨取M 是中点，连接AC ，BD ，MB ，MD ，设AC ，BD 交点是N ，连接PN ，由题意知，四边形ABCD 是边长为4的菱形，BD AC ⊥，因为MB =MD ，所以MN BD ⊥，故MNC ∠是截面与平面ABCD 所成的锐角，过点M 作MQ AC ⊥，垂足Q.在三角形PAC中，MN =2，2，故在直角三角形MNQ 中，2cos NQ MNC MN ∠==，故4MNC π∠=，故B 正确；C 选项中，当PM =1时，M 是PC 中点，如图，五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，依题意，直角三角形PME 中，2cos PMPE EPM==∠，故E 为PD 的中点，同理，F是PB 的中点，则EF 是三角形PBD 的中位线，1222EF BD ==G ，H 分别在,AD AB的中点上，证明如下，当G ，H ，也是中点时，1//,2GH BD GH BD =，有//,22GH EF GH EF ==，四边形EFHG 是平行四边形.依题意，三角形PAC 中4,42PA PC AC ===，故PA PC ⊥，故PC GE ⊥，易见，正四棱锥中BD ⊥平面PAC ，故BD PC ⊥，GH PC ∴⊥，因为 ,GE GH 均在平面EFHG 内，且相交，所以PC ⊥平面EFHG ，故此时平面EFHG 和平面MEF 即同一平面.又BD ⊥平面PAC ，有GH ⊥面平面PAC ，GH GM ⊥，根据对称性有GH GE ⊥，四边形EFHG 是矩形. 即五边形MEGHF 即为过点M 且垂直于PC 的截面，平面图如下:依题意，22GH EF ==2EG FG ==，三角形高为()()22321h =-=，面积是122122⨯=，四边形面积是22242=，故截面面积是52 故C 正确；D 选项中，若PM =2，看B 选项中的图可知，21124M BCD P BCD P ABCD V V V V ---===，故剩余部分134P ABCD V V -=，所以123=V V ，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了棱锥的截面问题，考查了二面角、体积等计算问题，属于难题.6．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为△ABC 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC =，0PC AB =，则0PB AC =D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M N ，分别为,PA BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC 【分析】作出四面体P ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+，22AD AB AC AD ∴-=- ， 2BD DC ∴=，3BD BD DC BC ∴=+=即3BD BC ∴=，故A 正确；对于B ，Q 为△ABC 的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ ∴+++=()()()3PQ QA PQ QB PQ QC PQ ∴+++++=,3PA PB PC PQ ∴++=即111333PQ PA PB PC ∴=++，故B 正确； 对于C ，若0PA BC =，0PC AB =，则0PA BC PC AB +=，()0PA BC PC AC CB ∴++=,0PA BC PC AC PC CB ∴++=0PA BC PC AC PC BC ∴+-=,()0PA PC BC PC AC ∴-+= 0CA BC PC AC ∴+=,0AC CB PC AC ∴+=()0AC PC CB ∴+=，0AC PB ∴=，故C 正确；对于D ，111()()222MN PN PM PB PC PA PB PC PA ∴=-=+-=+-1122MN PB PC PA PA PB PC ∴=+-=-- 222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PC PB --=++--+22211122222222222222222=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=2MN ∴=，故D 错误.故选：ABC 【点睛】用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．7．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB '，DD '交于点M ，N ，以下四个命题中正确的是（ ）A ．0MN EF ⋅=B ．ME NE =C ．四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:3D ．四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3 【答案】ABD 【分析】证明EF ⊥平面BDD B ''，进而得EF MN ⊥，即可得A 选项正确；证明四边形MENF 为菱形即可得B 选项正确；由菱形性质得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅，再分别讨论MN 的最大值与最小值即可；根据割补法求解体积即可. 【详解】对于A 选项，如图，连接BD ，B D ''，MN ．由题易得EF BD ⊥，EFBB '⊥，BD BB B '⋂=，所以EF ⊥平面BDD B ''，又MN ⊂平面BDD B ''，所以EF MN ⊥，因此0MN EF ⋅=，故A 正确．对于B 选项，由正方体性质得：平面''//BCC B 平面''ADD A ，平面''BCC B 平面EMFN MF =，平面''ADD A 平面EMFN EN =， 所以//MF EN ，同理得//ME NF ，又EF MN ⊥，所以四边形MENF 为菱形， 因此ME NE =，故B 正确．对于C 选项，由B 易得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅， 所以当点M ，N 分别为BB '，DD '的中点时，四边形MENF 的面积S 最小，此时MN EF ==，即面积S 的最小值为1；当点M ，N 分别与点B （或点B '），D （或D ）重合时，四边形MENF 的面积S 最大，此时MN =，即面积S所以四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2C 不正确． 对于D 选项，四棱锥A MENF -的体积11113346M AEF N AEF AEF V V V DB S --=+=⋅==△； 因为E ，F 分别是AA '，CC '的中点，所以BM D N '=，DN B M '=，于是被截面MENF 平分的两个多面体是完全相同的，则它们的体积也是相同的，因此多面体ABCD EMFN -的体积21122ABCD A B C D V V ''''-==正方体，所以四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明四边形MENF 为菱形，利用割补法将四棱锥A MENF -的体积转化为三棱锥M AEF - 和N AEF -的体积之和，将多面体ABCD EMFN -的体积转化为正方体的体积的一半求解.8．如图，正四棱锥S －BCDE 底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥A －SBE 底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是（ ）A ．AS ⊥CDB ．正四棱锥S －BCDE 的外接球半径为22C ．正四棱锥S －BCDE 的内切球半径为212a ⎛- ⎝⎭ D ．由正四棱锥S －BCDE 与正三棱锥A －SBE 拼成的多面体是一个三棱柱 【答案】ABD【分析】取BE 中点H ，证明BE ⊥平面SAH 即可证AS CD ⊥；设底面中心为1O ，有112O B O S a ==，可求得球半径为2a ；用等体积法求内切球半径即可判断；由////SA DE BC 且==SA DE BC 可知多面体是一个三棱柱.【详解】 如图所示：A 选项：取BE 中点H 连接,AH SH ，正三棱锥A SBE -中，,AH BE SH BE ⊥⊥ 又AHSH H =，所以BE ⊥平面SAH ，则BE AS ⊥，又//BE CD 所以AS CD ⊥ ，故A 正确；B 选项：设底面中心为1O ，球心为O 半径为R ，因为正四棱锥S －BCDE 外接球球心在1O S 上，所以OS OB R ==，因为，正四棱锥S －BCDE 底面边长与侧棱长均为a所以112O B O S ==，由()22211OB O B O S OS =+- 得2222222R a R ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得22R =，故B 正确； C 选项：设内切球半径为r ，易求得侧面面积为2213sin 234S a a π=⋅=， 由等体积法得222121134333a a r r =⋅+⋅⋅ 解得624a r = ，故C 错；D 选项：取SE 中点F ，连结AF ，DF ，BF ，则BFD ∠和BFA ∠分别是D SE B --和A SE B --的二面角的平面角，由)22222221cos2322BF DF BDBFDBF DFa⎫⎫+-⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===-⋅⎛⎫⎪⎝⎭22222221cos2322aAF BF BAAFDAF BFa⎫⎫+-⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⋅⎛⎫⎪⎝⎭，故BFD∠与BFA∠互补，所以ASDE共面，又因为AS AE ED SD===，则ASDE为平行四边形，故////AS ED BC故正四棱锥S－BCDE与正三棱锥A－SBE拼成的多面体是一个三棱柱，所以D正确故选：ABD【点睛】求外接球半径的常用方法：（1）补形法：侧面为直角三角形或正四面体或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；（2）利用球的性质：几何体在不同面均对直角的棱必然是球的直径；（3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.。
