圆锥曲线的几何性质

圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本形式。

它们在数学、物理、工程等领域均有重要应用，具有广泛的研究价值。

下面将从几何、代数、物理等多个角度对圆锥曲线进行系统介绍和分析。

一、圆锥曲线的概念圆锥曲线的定义：在平面上依旧定点F到平面上所有定点P的距离的比值（|PF|/|PM|）为常数e（e>1）的动点M所得的轨迹即为双曲线。

在平面上的直线l与定点F的距离与到定点P的距离的比值始终为常数e（0<e<1）时，动点P所得的轨迹即为椭圆。

在平面上的直线上的所有点P到定点F的距离与到直线l的距离的差始终为常数e时，点P的轨迹即为抛物线。

二、椭圆的知识点1. 定义及表示：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的所有点P的集合。

2. 几何性质：椭圆有等轴对称性、焦点F1和F2为椭圆的两个焦点、平行于长轴或短轴的弦都过椭圆的焦点、焦距等于长轴长度、离心率等于c/a（c为焦距，a为长轴半径）等。

3. 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cos(t), y = b*sin(t)，其中t为参数。

4. 离心率：离心率e的定义，离心率与长短轴的关系。

三、双曲线的知识点1. 定义及表示：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P的集合。

2. 几何性质：双曲线有两条渐近线、两个焦点F1和F2、两个顶点、离心率等于c/a（c为焦距，a为顶点到中心的距离）等。

3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a * cosh(t), y = b * sinh(t)，其中t为参数。

4. 离心率：离心率e的定义，离心率与距离关系。

四、抛物线的知识点1. 定义及表示：抛物线是平面上到定点F和直线l的距离相等的点P 的集合。

2. 几何性质：抛物线有顶点、准直线、对称轴、离心率等。

3. 参数方程：抛物线的参数方程为x = a * t^2, y = 2*a*t，其中t为参数。

椭圆的参数方程可以表示 为$x = a cos theta, y = b sin theta$，其中 $theta$是参数。
椭圆的面积是$pi ab$， 周长是$4a$。
02 抛物线
定义与方程
定义
抛物线是一种二次曲线，它是由一个定点和一条定直线所决 定的平面曲线。这个定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛 物线的准线。
常见的三种圆锥曲线的图像及几何 性质
目录
• 椭圆 • 抛物线 • 双曲线 • 三种圆锥曲线的对比与联系
01 椭圆
定义与方程
定义
椭圆是平面内与两个定点$F_1$和 $F_2$的距离之和等于常数（大于 $F_1$和$F_2$之间的距离）的点的 轨迹。
方程
对于中心在原点、焦点在x轴上的椭圆， 其标准方程为$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$ 分别是椭圆的长半轴和短半轴。
方程
对于开口向右的抛物线，其标准方程为 $y^2 = 2px$（$p > 0$）；对于开口向左的抛物线，其标准方程为 $y^2 = -2px$ （$p > 0$）。
性质与特征
性质
抛物线具有对称性，其对称轴为直线 $x = -frac{p}{2}$。
特征
抛物线在焦点处的曲率最大，而在准 线处的曲率最小。抛物线的离心率等 于1。
04 三种圆锥曲线的对比与联 系
定义与方程的对比
椭圆
抛物线
双曲线
定义为平面内与两定点F1、F2 的距离之和等于常数（大于 F1F2）的点的轨迹。标准方程 为$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$和$b$是椭圆的半轴长，$c = sqrt{a^2 - b^2}$是焦距。

高三数学圆锥曲线知识点总结大全在高三数学学习中，圆锥曲线是一个非常重要的知识点，它可以帮助我们更好地理解数学的几何性质和关系。

本文将对圆锥曲线的相关知识进行总结和归纳，希望可以帮助大家更好地掌握这一部分的内容。

一、什么是圆锥曲线圆锥曲线是以两条总称为焦点的直线为边界的平面曲线。

根据焦点的相对位置和离心率的不同，圆锥曲线可以分为四种类型：椭圆、双曲线、抛物线和圆。

二、椭圆1. 椭圆的定义：椭圆可由平面内的一动点 M 和两焦点 F1、F2的距离之和等于常数 2a 的点的轨迹定义。

2. 椭圆的性质：- 椭圆的离心率 e 小于 1，且焦点位于长轴上。

- 椭圆的长轴和短轴分别对应着两个标准方程的分子和分母。

- 椭圆的离心率越小，形状越趋于圆形。

- 椭圆的焦点到直角坐标轴的垂直距离分别为 a 和 b。

三、双曲线1. 双曲线的定义：双曲线可由平面内的一动点M 和两焦点F1、F2 的距离之差等于常数 2a 的点的轨迹定义。

2. 双曲线的性质：- 双曲线的离心率 e 大于 1，且焦点位于长轴上。

- 双曲线的长轴和短轴分别对应着两个标准方程的分子和分母。

- 双曲线的离心率越大，形状越扁平。

- 双曲线的焦点到直角坐标轴的垂直距离分别为 a 和 b。

四、抛物线1. 抛物线的定义：抛物线可由平面内的动点 M 和直线 l 的距离点 F 的距离等于焦距 PF 点的轨迹定义。

2. 抛物线的性质：- 抛物线的焦点位于焦线的中垂线上。

- 抛物线的顶点为最低点或最高点，轴称为准线，焦距 PF 的两倍称为参数。

- 抛物线的标准方程为 y² = 2px。

五、圆1. 圆的定义：圆可由平面内的一动点 M 到定点 O 的距离等于定长 r 的点的轨迹定义。

2. 圆的性质：- 圆的离心率 e 等于 0，焦距为零。

- 圆的半径为定长 r，焦距为零。

- 圆心到任意点的距离都相等，这个距离称为半径 r。

总结：通过以上对圆锥曲线的介绍，我们可以发现每一种曲线都有各自的定义和性质。

| MF | +2,即|MF|=4,所以M到直线NF的距离d=|FH|=|MF|sin 60°=4 2
3 =2 3 .故选C. 2
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考点二 圆锥曲线的几何性质(高频考点)
命题点 1.求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围; 2.由圆锥曲线的性质求圆锥曲线的标准方程;
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3.求双曲线的渐近线方程.
1 2 3 2
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方法归纳 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”. (1)定型:就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准 方程.
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(2)计算:即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法
确定时,抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a≠0),椭圆常设为mx2+ny2=1(m>0, n>0,且m≠n),双曲线常设为mx2-ny2=1(mn>0).
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跟踪集训
x2 y 2 1.(2017辽宁沈阳质量检测(二))已知双曲线C: 2 - 2 =1(a>0,b>0)的左、 a b 高考导航
右焦点分别为F1,F2,点M与双曲线C的焦点不重合,点M关于F1,F2的对称 点分别为A,B,线段MN的中点在双曲线的右支上,若|AN|-|BN|=12,则a=
(3)抛物线的标准方程为x2=±2py,y2=±2px,其中p>0.
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典型例题
x2 y 2 (1)(2017河南郑州质量预测(三))椭圆 5 + 4 =1的左焦点为F,直线x=
a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是 ( )

圆锥曲线的极点与极线问题圆锥曲线的极点与极线问题导言圆锥曲线是数学中的一个重要分支，其所涵盖的概念和性质有着深远的研究价值。

其中，圆锥曲线的极点与极线问题是一个具有特殊意义的主题。

在本文中，我将以深度和广度的方式来探讨圆锥曲线的极点与极线，希望能够使读者对这一问题有全面、深刻和灵活的理解。

一、圆锥曲线的基本定义与性质1.1 什么是圆锥曲线圆锥曲线是由一个平面与一个平行于它的不相交的直线切割圆锥所得到的曲线。

根据切割的方式和角度不同，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。

1.2 圆锥曲线的焦点与离心率圆锥曲线的焦点是指在其上的特殊点，其具有特殊的几何性质。

离心率是一个衡量圆锥曲线形状的参数，也是圆锥曲线性质的重要指标。

二、极点与极线的基本概念2.1 极点的定义与性质在平面上给定一个圆锥曲线，其直角坐标系中的原点O被称为该圆锥曲线的极点。

极点在圆锥曲线的研究中具有重要的地位，它与曲线的各种性质密切相关。

2.2 极线的定义与性质对于圆锥曲线上的任意一点P，以极点为中心，作直线OP，称为圆锥曲线的极线。

极线是一个与极点相关的直线，它与曲线的位置和特性有着密切的联系。

三、不同类型曲线的极点与极线问题3.1 椭圆的极点与极线对于椭圆，其极点为原点O，极线为过原点O的直线。

椭圆的极点处于其主轴的中点位置，其极线是关于两个焦点的对称直线。

3.2 双曲线的极点与极线对于双曲线，其极点为原点O，极线为过原点O的渐近线。

双曲线的极点处于离心率之间的位置，其极线是关于两个焦点的渐近线。

3.3 抛物线的极点与极线对于抛物线，其极点为其焦点，极线为过焦点的直线。

抛物线的极点位于抛物线的顶点位置，其极线是关于焦点的直线。

四、个人观点与理解圆锥曲线的极点与极线问题是一个十分有趣且具有挑战性的数学问题。

通过研究圆锥曲线的极点与极线，我们能够更深入地理解曲线的性质和特性。

极点是曲线的重要几何特征，它能够从不同的角度揭示出曲线的各种性质。

③2OA ON OM =⋅，即OA 是OM 、ON 的等比中项.二、双曲线1.双曲线的定义式如图，P 是双曲线上一点，1F 、2F 是焦点，AB 是实轴，则12PF PF AB -=，即双曲线定义.2.双曲线的直径与共轭直径如图，双曲线的平行弦CD 、EF 、GH 的中点M 、N 、P 在同一条直线l 上，当l 与双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的交点为A 、B 时，这条线段AB 叫做抛物线的直径.双曲线的直径有若干条，它们都过双曲线的中心O .设平行弦斜率为k ，则直径方程为220b x a ky -=，其中双曲线为22221(,0)x y a b a b-=>.平行于直径AB 的弦11C D 、11E F 、11G H 的中点1M 、1N 、1P 也在同一条直线1l 上，当1l 与双曲线22221(,0)x y a b a b -=>的共轭双曲线22221(,0)x y a b a b-=->的交点为1A 、1B 时，线段11A B 叫做直径AB 的共轭直径.397（1）双曲线直径与共轭直径的关系：直径与共轭直径的斜率之积为定值，即1122AB A B b k k a=，其中双曲线方程为22221(,0)x y a b a b-=>.（2）双曲线的任意一条直径平分平行于其共轭直径的弦.（3）如图，设双曲线22221(,0)x y a b a b-=>两共轭直径的长2AB m =、2CD n =，O 是双曲线的中心，两共轭直径与长轴的夹角（锐角）为2DOF α∠=、2BOF β∠=，且βα<，则sin()abmnαβ-=且2222m n a b -=-（定值）.（4）双曲线上任意一点P 的焦半径之积等于其对应的半共轭直径的平方.（5）如图，AB 、CD 是共轭直径，作EFGH 使其四边过共轭直径端点且与共轭直径平行，则4EFGH S ab = .3.双曲线中的弧与弓形如图A 是双曲线上的右顶点，右支上有点(,)M x y -和(,)N x y ，则398弧AN 的长度为2201x Archal ae ch tdt =+⎰；弓形MAN 的面积为ln()x y S xy ab a b=-+弓形MAN .4.双曲线的切线（1）如图，O 是双曲线的中心，M 是弦CD 的中点，AB 是直径，P 是线段AB 上一点，若AM APBM BP =，则PC 、PD 是双曲线的切线.反之，若PC 、PD 是双曲线的切线，则AM APBM BP=.（2）如图，M 是弦CD 的中点，AB 是直径，若BK CD ，则BK 是双曲线的切线.反之，若BK 是双曲线的切线，则BK CD .（3）如图，直线AB 切双曲线于点T ，交双曲线的渐近线于A 、B ，则TA TB =.且双曲线上动点的切线与渐近线形成的三角形的面积为定值OAB S ab ∆=.399更进一步，如图，直线交双曲线及其渐近线，则有AC BD =、EG FH =；以及OAC OBD S S ∆∆=、OEG OFH S S ∆∆=.（4）如图，O A 、OB 是渐近线，AB 、CD 是切线，则AD BC ，且OA OB OC OD⋅=⋅即OA OB ⋅为定值；（5）如图，两共轭双曲线中，TM 、TN 是切线，AB TM GH 、CD TN EF ，AB 、CD 交于P ，EF 、GH 交于双曲线的中心O ，则22TM OG OH TN OE OF ⋅=⋅；PA PB OG OHPC PD OE OF⋅⋅=⋅⋅.400（6）如图，AB 、AC 是焦点弦，则A 、B 处切线的交点I 在准线GH 上，即1AF B ∆的内心I 在准线上；A 、C 处切线的交点a I 在准线EF 上，即2AF C ∆的外心a I 在准线上.（7）如图，CE 、CF 是双曲线的定切线，动切线AB 交CE 、CF 于A 、B ，则2AF B ∠为定值.（8）如图，A B 是双曲线的实轴，CD 切双曲线于T ，且AC AB ⊥、BD AB ⊥，则①以CD 为直径的圆过焦点1F 、2F .②反之，以CD 为直径的圆过焦点1F 、2F ，则AC AB ⊥、BD AB ⊥.③若2CF 、1DF 交于H ，则以CH 为直径的圆过1F 、T ，以DH 为直径的圆过2F 、T .④若1F M 、2F N 垂直于切线CD ，则以AB 为直径的圆过M 、N .⑤1FT ON 、2F T OM .401⑥若11CF DF ⊥（110CF DF ⋅= ），则CD 是双曲线的切线或渐近线.另外，110CF DF ⋅<则CD 与双曲线相离；110CF DF ⋅>则CD 与双曲线相交.5.双曲线的特征三角形如图，双曲线方程为22221(,0)x y a b a b -=>，M 是准线2a x c =与渐近线by x a=的交点，A 是实轴右端点，B 是虚轴上端点，1F 、2F 是左右焦点，则（1）特征三角形2Rt AOB Rt OAN Rt OMF ∆≅∆≅∆；渐近线by x a=、直线x a =、直线y b =、圆222x y c +=四线共点N .（2）过焦点向渐近线作垂线，则垂足在准线上；反之，过准线与渐近线的交点作这条渐近线的垂线，则垂线过焦点；焦点到渐近线的距离2MF AN OB b ===.（3）以实轴、虚轴分别为长、宽的矩形DEHN 与以双曲线的中心为圆心、半焦距长为半径的圆相内接.（4）以双曲线的中心为圆心，实半轴长为半径的圆过准线与渐近线的交点，即OM OA a ==.（5）本图提供了双曲线草图的准确画法。

圆锥曲线知识点整理圆锥曲线是数学中的重要概念之一，是一个由一个动点和一个定点之间的线段所确定的曲线。

它包括椭圆、双曲线和抛物线这三种基本形式。

圆锥曲线在几何学、物理学、工程学等领域均有广泛的应用，掌握圆锥曲线的知识对于深入学习和应用这些领域的知识至关重要。

以下是圆锥曲线的一些常见知识点整理：1. 椭圆：椭圆是一个闭合的曲线，它有两个焦点和一个长轴。

定义椭圆的一个特性是到两个焦点的距离之和等于常数，这个常数被称为椭圆的短轴长度。

椭圆的方程可以表示为(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴。

2. 双曲线：双曲线是一个开放的曲线，它有两个分离的分支。

双曲线的定义也与焦点有关，但与椭圆的定义不同，双曲线的焦点之间的距离差等于常数。

双曲线的方程可以表示为(x/a)² - (y/b)² = 1，其中a和b分别代表双曲线的半长轴和半短轴。

3. 抛物线：抛物线是一个开放的曲线，它有一个焦点和一个直线称为准线。

抛物线的定义与焦点和准线之间的距离以及焦点到曲线上任意一点的距离有关。

抛物线的方程可以表示为y = ax² + bx + c，其中a、b和c分别代表抛物线的系数。

4. 圆锥曲线的性质：圆锥曲线具有许多有趣的性质和特点。

例如，椭圆的离心率小于1，而双曲线的离心率大于1。

抛物线的离心率等于1，它在焦点上有对称性。

此外，圆锥曲线还具有切线、法线、渐近线等几何性质，这些性质在解题和实际应用中非常重要。

5. 圆锥曲线的应用：圆锥曲线在许多领域都有广泛的应用。

在天文学中，行星的轨道可以用椭圆来描述；在工程学中，双曲线常用于天线的设计和无线通信的信号传播；在物理学中，抛物线可用于描述物体在重力作。

圆锥曲线是平面内到定点和定直线距离相等的点的轨迹
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圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线
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圆锥曲线的标准方程包括x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（椭圆）、 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（双曲线）和y = ax^2 + bx + c（抛 物线）
单击此处添加标题
椭圆的性质：对 称性、旋转性、 中心对称性、焦 点对称性
椭圆的应用：光 学、天体物理、 工程等领域
双曲线的标准方程
双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点 的轨迹
双曲线的标准方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（a>0,b>0）
双曲线的焦点：F1(c,0), F2(-c,0)
利用几何性质和代 数关系，求解标准 方程
验证求解结果是否 满足圆锥曲线的定 义和性质
圆锥曲线的几何性质
圆锥曲线的焦点与准线
焦点：圆锥曲线上的一个特殊 点，决定了曲线的形状和性质
准线：与焦点相对应的直线， 决定了曲线的性质和位置
椭圆的焦点与准线：椭圆的焦 点在椭圆的中心，准线是垂直 于椭圆中心的直线
圆锥曲线在工程中 的应用：如建筑设 计、机械制造等
圆锥曲线在数学中 的应用：如解析几 何、微积分等
圆锥曲线在计算机 科学中的应用：如 图形学、计算机视 觉等
解析几何问题中的应用
圆锥曲线在物理中的应用：如天体运动、电磁场等 圆锥曲线在工程中的应用：如建筑设计、机械制造等 圆锥曲线在计算机图形学中的应用：如三维建模、图像处理等 圆锥曲线在数学竞赛中的应用：如奥林匹克数学竞赛、国际数学竞赛等
圆锥曲线在实际问题中 的应用

函数思想法
将问题转化为函数问题，利用函数的性质和图像，求解相关 问题。
05
圆锥曲线的问题与挑战
圆锥曲线中的难题与挑战
圆锥曲线中的复杂计算
圆锥曲线问题往往涉及大量的计算和复杂的数学公式，需要学生 具备较高的数学计算能力和逻辑思维能力。
圆锥曲线中的抽象概念
圆锥曲线问题常常涉及到抽象的概念和性质，需要学生具备较好的 数学基础和空间想象力。
利用圆锥曲线的参数方程，将问 题转化为参数的取值范围或最值 问题，简化计算。
圆锥曲线的特殊解题方法
焦点三角形法
利用圆锥曲线的焦点三角形，结合正 弦定理、余弦定理等，求解相关问题 。
切线法
通过圆锥曲线的切线性质，结合导数 和切线斜率，求解相关问题。
圆锥曲线的综合解题方法
数形结合法
将几何性质与代数表达式相结合，通过数形结合的方法，直 观地解决问题。
作用。
光线的弯曲程度与圆锥曲线的离 心率有关，离心率越大，光线弯
曲程度越明显。
圆锥曲线的对称性质
圆锥曲线具有对称性，包括中 心对称、轴对称和面对称等。
圆具有中心对称和轴对称，椭 圆和双曲线只有中心对称，抛 物线只有轴对称。
对称性是圆锥曲线的一个重要 性质，在解决几何问题时具有 广泛应用。
03
圆锥曲线的应用
路，提高解题能力。
培养数学思维
学生应注重培养数学思维，提高 逻辑推理能力和空间想象力，以
便更好地解决圆锥曲线问题。
如何进一步深化对圆锥曲线的研究
研究圆锥曲线的性质
01
学生可以进一步研究圆锥曲线的性质和特点，探索其内在规律
和数学之美。
探索圆锥曲线与其他数学领域的联系
02
学生可以探索圆锥曲线与其他数学领域之间的联系，例如与代

方法技巧专题07圆锥曲线的概念及其几何性质圆锥曲线是平面几何中的一个重要概念，是指由一个动点P在平面上，以一个定点F为焦点和一个定直线L为准线，满足动点P到焦点F的距离与动点P到准线L的距离的比值始终保持不变的轨迹。

根据这个定义可以推导出圆锥曲线的几何性质。

一、圆锥曲线的种类根据焦点和准线的位置不同，圆锥曲线分为三种：1.当焦点F在线上准线L上时，得到的是一个圆。

2.当焦点F在准线L上方时，得到的是一个椭圆。

3.当焦点F在准线L下方时，得到的是一个双曲线。

二、圆锥曲线的性质1.定义性质：圆锥曲线上的任意一点P到焦点F的距离与点P到准线L的距离的比值始终保持不变。

这个比值称为离心率，用e表示。

2.焦点和准线之间的距离：对于椭圆和双曲线，焦点到准线的距离是有限的。

对于双曲线，焦点到准线的距离大于焦点到曲线上任意一点的距离。

对于椭圆，焦点到准线的距离小于焦点到曲线上任意一点的距离。

3.长轴和短轴：对于椭圆，长轴是两个焦点之间的距离的2倍，而短轴是两个准线之间的距离的2倍。

长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。

4.焦点和准线的关系：焦点位于准线的内部，且焦点到准线的距离等于焦点到曲线上最远的点的距离。

每条曲线上都存在两个焦点，两个焦点是关于准线的镜像。

5.对称性：圆锥曲线具有轴对称性。

对于椭圆和双曲线，轴是通过两个焦点的直线，称为主轴。

对于圆和抛物线，轴是和准线平行的直线，称为准轴。

6.双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与曲线无限延伸的两个分支趋于平行。

渐近线的斜率是曲线离心率e的倒数。

7.抛物线的焦点性质：抛物线的焦点是准线上的一个点，且抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离。

三、圆锥曲线的应用圆锥曲线广泛应用于科学和工程中的各个领域，如天文学、物理学、航天工程、建筑设计等。

其中一些应用包括：1.天体运动：天体运动中的椭圆轨道和抛物线轨道可以用圆锥曲线来描述。

2.反射器：抛物线可以用于设计反射器，如车灯和卫星碟天线。

完美版圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线（conic section）是指将圆锥面截出的几何曲线，包括圆、椭圆、双曲线
和环状曲线。

圆锥曲线特征定义为一组相关的高等几何概念，它来源于几何表示椭圆，半
直径和圆周上的某些点，以及另一些几何学概念，比如两个椭圆相交等。

圆锥曲线在椭圆定律中有重要作用，它可以帮助我们计算椭圆的长短轴，还可以用来
寻找圆锥面上指定位置上的点，或者求解和椭圆方程有关的各种参数。

圆锥曲线还可以用来解决和相关物理问题，比如光的反射和折射现象，因为光的反射
和折射都可以用椭圆方程和圆锥曲线来找出解决方案。

结合圆锥曲线的几何性质，将圆锥曲线的描述定义为：圆锥曲线的两个基本特性是椭
圆形和整体对称性，它是由圆锥面截出来的，而这些曲线的性质依赖于特定的参数，比如
切锥面圆锥上的面积、长短轴、偏离角、椭圆长宽比等。

圆锥曲线可以利用椭圆方程作出精确的数学模拟，关于不同参数的变化对椭圆的影响，进而推导出圆锥曲线的椭圆上的将要交汇的点，可以解释出椭圆形的特性和关系。

同时，圆锥曲线还可以用来发现几何学中的相关概念，像直线到椭圆交点、椭圆面上
点到椭圆上一定点的最短距离等，这些概念可以帮助我们理解圆锥曲线。

总之，圆锥曲线是圆锥及其数学特性的几何结果，它不仅能帮助我们理解光的反射和
折射，也可以用来理解几何学中的概念，具有十分重要的意义。

圆锥曲线知识要点及结论个人总结《圆锥曲线》知识要点及重要结论 一、椭圆1 定义 平面内到两定点21,F F 的距离的和等于常数)2(221F F a a >的点P 的轨迹叫做椭圆.若212F F a =，点P的轨迹是线段21F F .若2120F F a <<，点P 不存在.2 标准方程)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点为)0,(),0,(21c F c F -.)0(12222>>=+b a b x a y ，两焦点为),0(),,0(21c F c F -.其中222c b a+=.3 几何性质椭圆是轴对称图形，有两条对称轴. 椭圆是中心对称图形，对称中心是椭圆的中心.椭圆的顶点有四个，长轴长为a 2，短轴长为b 2，椭圆的焦点在长轴上. 若椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，则by b a x a ≤≤-≤≤-,；若椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a bx a y ，则ay a b x b ≤≤-≤≤-,.二、双曲线1 定义 平面内到两定点21,F F 的距离之差的绝对值等于常数)20(221F F a a <<的点的轨迹叫做双曲线.若212F F a =，点P 的轨迹是两条射线.若212F F a >，点P不存在. 2 标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x ，两焦点为)0,(),0,(21c F c F -.)0,0(12222>>=-b a b y a x ，两焦点为),0(),,0(21c F c F -.其中222b a c +=.3 几何性质双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形，对称中心是双曲线的中心. 双曲线的顶点有两个21,A A ，实轴长为a 2，虚轴长为b 2，双曲线的焦点在实轴上. 若双曲线的标准方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，则Ry a x a x ∈≥-≤,或；若双曲线的标准方程为)0,0(12222>>=-b a b x a y ，则Rx a y a y ∈≥-≤,或.4 渐近线 双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 有两条渐近线x a b y =和x aby -=.即02222=-b y a x双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 有两条渐近线x b a y =和x bay -=.即02222=-bx a y双曲线的渐进线是它的重要几何特征，每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线，但对于同一组渐进线却对应无数条双曲线. 与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 共渐进线的双曲线可表示为)0(2222≠=-λλby a x .直线与双曲线有两个交点的条件，一定要“消元后的方程的二次项系数0≠”和“0>∆”同时成立. 5 等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的标准方程为)0(12222>=-a ay a x 或)0(12222>=-a a x a y .等轴双曲线的渐近线方程为x y ±=.6 共轭双曲线：实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线.如：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的共轭双曲线为)0,0(12222>>=-b a ax b y ，它们的焦点到原点的距离相等，因而在以原点为圆心，22b a +为半径的圆上.且它们的渐近线都是x aby =和x ab y -=. 三、抛物线1 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线F l (不在l 上) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.2 标准方程 (1) )0(22>=p px y，焦点为)0,2(p ，准线方程为2px -=，抛物线张口向右. (2) )0(22>-=p px y，焦点为)0,2(p -，准线方程为2p x =，抛物线张口向左. (3) )0(22>=p py x，焦点为)2,0(p ，准线方程为2py -=，抛物线张口向上. (4) )0(22>-=p py x，焦点为)2,0(p -，准线方程为2p y =，抛物线张口向下.其中p 表示焦点到准线的距离. 3 几何性质抛物线是轴对称图形，有一条对称轴.若方程为)0(22>=p px y 或)0(22>-=p px y，则对称轴是x 轴，若方程为)0(22>=p py x或)0(22>-=p py x，则对称轴是y 轴. 若抛物线方程为)0(22>=p px y ，则R y x ∈≥,0. 若抛物线方程为)0(22>-=p px y ，则R y x ∈≤,0. 若抛物线方程为)0(22>=p py x ，则R x y ∈≥,0.若抛物线方程为)0(22>-=p py x ，则R x y ∈≤,0.圆锥曲线的一些重要结论【几个重要结论】 1 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两焦点为)0,(),0,(21c F c F -，),(00y x P 为椭圆上一点，则)1()()(22022020201a x b c x y c x PF -++=++=a a cx a a cx a cx a x c +=+=++=020202202)(2因为ax a ≤≤-0，c a a acx c a c acxc +≤+≤-<≤≤-00,， 所以a acx PF+=1. 同理，acx a PF a PF0122-=-=.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，),(0y x P 为双曲线上一点，则a acx PF+=1，a acx PF -=2.2 椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的两焦点为21,F F ，P 为椭圆上一点，若θ=∠21PFF ，则21PF F ∆的面积为2tancos 1sin 22αααb b =+.解：根据椭圆的定义可得aPF PF 221=+ ①由余弦定理可得αcos 242122212212PF PF PF PF F F c -+== ② 由①②得)cos 1(2442122α+=-PF PF c a.从而αcos 12221+=b PF PF所以，21F PF ∆的面积为2tan cos 1sin sin 212221ααααb b PF PF =+=双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点为21,F F ，P 为其上一点，若α=∠21PF F ，则21PF F ∆的面积为2cot cos 1sin sin 212221ααααb b PF PF =-=.3 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，N M ,是C 上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PNPM ,的斜率都存在，并记为PNPMk k,时，那么PMk 与PNk之积是与点P 位置无关的定值. 解：设),(),,(11y x M y x P ，则),(11y x N --.1010101,x x y y k x x y y k PN PM----=--=，从而2120212001010101x x y y x x y y x x y y k kPNPM--=----⋅--=⋅.又因为),(),,(1100y x M y x P 都在椭圆上，故1,1221221220220=+=+by a x b y a x .两式相减得，02212022120=-+-by y a x x ，因而2221202120ab x x y y -=--即22ab k k PNPM -=⋅.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x .N M ,是C 上关于原点对称的两点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PNPM ,的斜率都存在，并记为PNPMk k,时，那么PMk 与PNk之积是与点P 位置无关的定值.【常用方法】1 在求轨迹方程时，若条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以用定义求轨迹方程，这是常用求轨迹的数学方法，称为定义法. 2本章经常会碰到直线l 与圆锥曲线C 相交于两点的问题，若已知l 过定点),(0y x P ，则可设l 的方程为x x =或)(00x x k yy -=-.然后分两种情况进行研究，一般处理方法是把直线方程代入曲线C 的方程中，整理得到关于x 或y 的一元二次方程(要注意二次项系数是否为零).韦达定理和判别式经常要用到！若l 的条件不明显时，则可设l 的方程为m x =或mkx y +=.3 本章还经常用到“点差法”：设直线l 与圆锥曲线C 交于点),(),,(2211y x B y x A ,则B A ,两点坐标都满足曲线C 的方程，然后把这两个结构相同的式子相减，整理可以得到直线AB 的斜率1212x x y y--的表达式，也经常会出现2121,y y x x++，这样又可以与线段AB 的中点),(00y x P 联系起来！4 若三点),(),,(),,(02211y x P y x B y x A 满足以线段AB 为直径的圆经过点P 或BP AP ⊥时，常用处理方法有： ①根据勾股定理可得222PBPA AB+=；②根据AP 的斜率与BP 的斜率之积为1-，可得120201010-=--⋅--x x y y x x y y ；③根据),(),,(,002020101y y x x y y x x--=--==⋅可得))(())((02010201=--+--y y y y x x x x .5求轨迹方程的方法常见的有：直接法、定义法、待定系数法、代入法（也叫相关点法）.1 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.离心率c e a ==△PF 1F 2中，记12F PFα∠=, 12PF Fβ∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin c eaαβγ==+.线到中心的距离为2a c，焦点到对应准线的距离(焦准距)2b p c=。

解析几何专题03圆锥曲线的定义、方程及几何性质学习目标（1）理解圆锥曲线的定义，并能正确运用圆锥曲线的定义解决一些简单的问题； （2）掌握圆锥曲线的标准方程，并能熟练运用“待定系数法”求圆锥曲线的方程；（3）能根据圆锥曲线的方程研究圆锥曲线的一些几何性质（尤其是焦点、离心率以及双曲线的渐近线等）。

知识回顾及应用1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆(2)双曲线 (3)抛物线2．圆锥曲线的方程 (1)椭圆的标准方程(2)双曲线的标准方程 (3)抛物线的标准方程 3．圆锥曲线的几何性质 (1)椭圆的几何性质 (2)双曲线的几何性质 (3)抛物线的几何性质4．应用所学知识解决问题：【题目】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点53(,)22-，求椭圆的方程。

答案：221106x y += 【变式1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）离心率1e b ==,焦点在x 轴上；（2）4,a c ==焦点在y 轴上；（3）10,a b c +==。

答案：（1）22116x y +=；（2）22116y x +=；（3）2213616x y +=或2213616y x +=。

【变式2】写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）3a b =,且经过点(3,0)P ； （2）经过两点3(,),(1,)242-。

答案：（1）2219x y +=或221819y x +=；（2）2214x y +=。

问题探究（请先阅读课本，再完成下面例题）【类型一】圆锥曲线的方程例1．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．求这三条曲线的方程。

解：设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =24y x ∴= 抛物线方程为:由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1 对于椭圆，1222a MF MF =++(222222211321a ab ac ∴=+∴=+=+∴=-=+∴+= 椭圆方程为：对于双曲线，1222a MF MF '=-=2222221321a abc a '∴='∴=-'''∴=-=∴-= 双曲线方程为：练习：1.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2。

圆锥曲线简介圆锥曲线圆锥曲线（英语：conic section），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的曲线，包括圆，椭圆，抛物线，双曲线及一些退化类型。

圆锥曲线在约公元前200年时就已被命名和研究了，其发现者为古希腊的数学家阿波罗尼奥斯，那时阿波罗尼阿斯对它们的性质已做了系统性的研究。

圆锥曲线应用最广泛的定义为（椭圆，抛物线，双曲线的统一定义）：动点到一定点（焦点）的距离与其到一定直线（准线）的距离之比为常数（离心率e）的点的集合是圆锥曲线。

对于0 < e < 1得到椭圆，对于e = 1得到抛物线，对于e > 1得到双曲线。

圆锥曲线的类型圆锥曲线方程离心率（e）半焦距（c）半正焦弦（ℓ）焦点准线距离（p）圆椭圆抛物线双曲线圆锥曲线的类型：1.抛物线2.圆和椭圆3.双曲线椭圆，圆：当平面只与圆锥面一侧相交，交截线是闭合曲线的时候，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。

如果截面与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。

抛物线：截面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。

双曲线：截面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线。

在平面通过圆锥的顶点的时候，有一些退化情况。

交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。

几何性质椭圆（Ellipse)椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长（2a）。

抛物线（Parabola)抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

双曲线（Hyperbola)双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于贯轴长（2a）。

离心率有固定焦点F和准线的椭圆 (e=1/2)、抛物线 (e=1)和双曲线 (e=2)。

对于椭圆和双曲线，可以采用两种焦点-准线组合，每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。

从中心到准线的距离是，这里的是椭圆的半长轴，或双曲线的半实轴。

从中心到焦点的距离是。

在圆的情况下，e = 0且准线被假想为离中心无限远。

因为 cos 2θ＝1－2sin2θ，所以13＝1－21a2，得 a2＝3. 又 c2＝1，所以 b2＝a2－c2＝2，椭圆 C 的方程为x32＋y22＝1，故选 B.
2.(2018·全国Ⅱ，文，11)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2， 且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为
值范围是
√A.[ 5， 6]
C.54，32
B.
25，
6
2
D.52，3
x＋y＝1， 解析 联立ax22＋by22＝1， 得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2－a2b2＝0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， Δ＝4a4－4(a2＋b2)(a2－a2b2)>0，化为a2＋b2>1. x1＋x2＝a22＋a2b2，x1x2＝aa2－2＋ab2b2 2. ∵OP⊥OQ， ∴O→P·O→Q＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0，
∴椭圆长轴的取值范围是[ 5， 6].
跟踪演练 3 (1)(2019·合肥质检)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，
F2，右顶点为 A，上顶点为 B，以线段 F1A 为直径的圆交线段 F1B 的延长线于点 P，
若 F2B∥AP，则该椭圆的离心率是
3 A. 3
2 B. 3
当直线AB的斜率不存在时，2t1＋2t2＝0，此时t1＝－t2， 则 AB 的方程为 x＝2，焦点 F 到直线 AB 的距离为 2－12＝32， ∵kAB＝22tt112－－22tt222＝t1＋1 t2，得直线 AB 的方程为 y－2t1＝t1＋1 t2(x－2t21). 即x－(t1＋t2)y－2＝0. 令y＝0，解得x＝2. ∴直线AB恒过定点D(2，0). ∴抛物线的焦点 F 到直线 AB 的距离小于32， 综上，焦点 F 到直线 AB 距离的最大值为32.

数学圆锥曲线总结1、圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段F F，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|F F|，定义中的“绝对值”与＜|F F|不可忽视。

若＝|F F|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|F F|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。

圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

Attention：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。

4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。

（2）（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线；⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：。

（3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线；⑤离心率：，抛物线。