2013中考总结复习冲刺练：初中数学“最值问题” 集锦

最值问题最值问题的解决方法通常有两种： 1.运用代数证法： ① 运用配方法求二次三项式的最值； ② 运用一元二次方程根的判别式。

2. 应用几何性质： ① 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ② 两点间线段最短； ③ 连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

④数轴表示两点间距离。

1）代数最值问题1设x 、y 为实数，代数式5x 2+4y 2－8xy+2x+4的最小值为2.使224(8)16x x ++-+取最小值的实数x 的值为_________。

3.|x+1|+|x-1|的最小值是|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值是多少？4.定义：对于数轴上的任意两点A ，B 分别表示数1,2x x ，用12x x -表示他们之间的距离；对于平面直角坐标系中的任意两点1122(,),(,)A x y B x y 我们把1212x x y y -+-叫做A ，B 两点之间的直角距离,记作d （A ，B ）． （1）已知O 为坐标原点，若点P 坐标为（－1，3），则d (O,P )＝_____________; （2）已知C 是直线上y ＝x ＋2的一个动点，①若D （1，0），求点C 与点D 的直角距离的最小值；②若E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，请直接写出点C 与点E 的直角距离的最小值．12-1-2-1-2123xyO5.某工厂计划为震区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m3，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m3，工厂现有库存木料302m3。

（1）有多少种生产方案？（2）现要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用。

中考数学最值问题总结（含强化训练）在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分为几何最值和代数最值两大部分。

一、解决几何最值问题的要领（1）两点之间线段最短；（2）直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；（3）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。

二、解决代数最值问题的方法要领1.二次函数的最值公式二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有 ①若a >0当x b a=-2时，y 有最小值。

y ac b a min =-442； ②若a <0当x b a=-2时，y 有最大值。

y ac b a max =-442。

2.一次函数的增减性.一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。

3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得∆≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。

4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。

5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有a b k k 22++≥，当且仅当a b ==0时，等号成立，即a b k 22++的最小值为k 。

6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。

7. 利用不等式与判别式求解.在不等式x a ≤中，x a =是最大值，在不等式x b ≥中，x b =是最小值。

8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。

精品资料内部专属请务外传2013年中考备考初中数学总复习知识点总结一、第一轮复习1、第一轮复习的形式：“梳理知识脉络，构建知识体系”----理解为主，做题为辅（1）目的：过三关①过记忆关必须做到：在准确理解的基础上，牢记所有的基本概念（定义）、公式、定理，推论（性质，法则）等。

②过基本方法关需要做到：以基本题型为纲，理解并掌握中学数学中的基本解题方法，例如：配方法，因式分解法，换元法，判别式法(韦达定理)，待定系数法，构造法，反证法等。

③过基本技能关。

应该做到：无论是对典型题、基本题，还是对综合题，应该很清楚地知道该题目所要考查的知识点，并能找到相应的解题方法。

（2）宗旨：知识系统化在这一阶段的教学把书中的内容进行归纳整理、组块，使之形成结构。

①数与代数分为3个大单元：数与式、方程与不等式、函数。

②空间和图形分为3个大单元：几何基本概念（线与角），平面图形，立体图形③统计与概率分为2个大单元：统计与概率2、第一轮复习应注意的问题（1）必须扎扎实实夯实基础中考试题按难：中：易=1：2：7的比例，基础分占总分的70%，因此必须对基础数学知识做到“准确理解”和“熟练掌握”，在应用基础知识时能做到熟练、正确和迅速。

（2）必须深钻教材，不能脱离课本按中考试卷的设计原则，基础题都是送分的题，有不少基础题都是课本上的原题或改造。

（3）掌握基础知识，一定要从理解角度出发数学知识的学习，必须要建立逻辑思维能力，基础知识只有理解透了，才可以举一反三、触类旁通。

相对而言，“题海战术”在这个阶段是不适用的。

二、第二轮复习1、第二轮复习的形式：“突出重点，综合提高”----练习专题化，专题规律化（1）目的：融会贯通考纲上的所有知识点①进行专题化训练将所有考纲上要求的知识点分为为多个专题，按专题进行复习，进行有针对性的、典型性、层次性、切中要害的强化练习。

②突出重点，难点和热点的内容在专题训练的基础上，要突出重点，抓住热点，突破难点。

最值问题是初中数学的重要内容，是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，无论是代数题还是几何题都有最值问题。

数形结合的思想贯穿始终。

一、代数中的最值问题1、代数求最值方法 ①利用一次函数的增减性一次函数(0)y kx b k =+≠的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；实际问题中，当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。

1、某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少？②配方法，利用非负数的性质2、（1）求二次三项式223x x -+的最小值（2）设a 、b 为实数，那么222a ab b a b ++--的最小值为_______。

③判别式法3、（1）求2211x x x x -+++的最大值与最小值。

（2）,x y 为实数且x y m ++=5，xy ym mx ++=3，求实数m 最大值与最小值。

④零点区间讨论法4、求函数|1||4|5y x x =--+-的最大值。

⑤基本不等式性质222()020a b a ab b -≥∴-+≥即222a b ab +≥，仅当a b =时，等号成立由此可推出222a b ab +≤(0,0)2a ba b +≤≥≥⑥夹逼法通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为夹逼法。

5、不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高h 为整数，那么此高h 的最大值可能为________。

⑦二次函数模型（中考第23题，应用题）该题基本来自课本3个探究例题不断的变化、加深：探究1：商品定价 探究2：磁盘计算（含圆） 探究3：拱桥问题 变化趋势：前几年武汉中考主要考查经济类问题，求最经济、最节约和最高效率等这种类型的考题（探究1的演变）；近2年变化为建立函数模型解决实际问题（探究2、3的演变），即利用二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值。

初三复习最值问题最值问题是初中数学的重要内容，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）以及用一次函数和二次函数的性质来求最值问题。

【利用几何变换求最值】1.1 对称变换可以把点从对称轴的一侧翻到另一侧，从而达到不改变线段的长度却改变其位置的目的．对称变换是把复杂的最值问题转化成基本问题的常用手段．例1 定义一种变换：平移抛物线1F 得到抛物线2F ，使2F 经过1F 的顶点A ．设2F 的对称轴分别交1F 、2F 于点D 、B ，点C 是点A 关于直线BD 的对称点． 如图1，若1F ：2127333y x x =-+，经过变换后，23AC =，点P 是直线AC 上的动点，求点P 到点D 的距离和到直线AD 的距离之和的最小值．图1图21.2 平移变换的特征是对应线段平行且相等，它可以改变线段的位置却不改变其方向和长度．平移变换是把复杂的最值问题转化为基本问题的重要手段．例2 （人教版七年级（下）第五章造桥选址问题）如图3，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN ，造桥在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥MN要与河岸垂直）图 3 图4（1）图4（2）1.3 旋转变换是把一个图形绕某个点旋转一个角度，其作用是不改变原有图形的性质，但改变其位置，使之组合成新的有利论证的图形．有些最值问题必须通过旋转变换才能转化成基本问题，旋转变换是解决最值难题的必不可少的手段之一．例3 如图5（1），已知正方形ABCD 内一动点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值为26 ，求此正方形的边长．DECBA图5（1） 图5（2）图5（3）练习1 平移如图1，在平面直角坐标系xOy 中，以y 轴正半轴上一点(0,)A m （m 为非零常数）为端点，作与y 轴正方向夹角为60°的射线l ，在l 上取点B ，使AB =4k (k 为正整数)，并在l 下方作∠ABC =120°，BC=2OA ，线段AB ，OC 的中点分别为D ，E ． （1）当m =4，k =1时，直接写出B ，C 两点的坐标；（2）若抛物线2123(21)23(2)k y x x mk k +=-++++的顶点恰好为D 点，且DE=27，求抛物线的解析式及此时cos ∠ODE 的值；（3）当k =1时，记线段AB ，OC 的中点分别为D 1，E 1，当k =3时，记线段AB ，OC 的中点分别为D 3，E 3，求直线13E E 的解析式及四边形1331D DEE 的面积（用含m 的代数式表示）．练习2 对称旋转组合（2009北京）如图6-1，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 三个顶点的坐标分别为()6,0A -，()6,0B ，()0,43C ，延长AC 到点D , 使CD =12AC ,过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E ．（1）求D 点的坐标；（2）作C 点关于直线DE 的对称点F ,分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式； （3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y kx b =+与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短．y xE DCBA O练习3已知：如图5，在四边形ABCD 中，AD 、BC 不平行，F 、E 分别是AB 、CD 的中点，若EF ＝m ，则A D B C的最小值是_____________。

【熟悉十二个基本问题】【问题1】作法图形原理在直线l上求一点P ，使PA +PB 值最小．连AB ，与l 交点即为P ．两点之间线段最短．PA +PB 最小值为AB ．【问题2】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PA +PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短．PA +PB 最小值为A B ＇．【问题3】作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．PM +MN +PN 的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题4】作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小．分别作点Q 、P 关于直线1l 、2l 的对称点Q ＇和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题5】“造桥选址”作法图形原理直线m ∥n ，在m 、n ，将点A 向下平移MN 的长度单位得A ＇，连A ＇B ，交n 于点N ，过N 作NM ⊥m 于M ．两点之间线段最短．AM +MN +BN 的最小值为A ＇B +MN ．上分别求点M 、N ，使MN ⊥m ，且AM +MN +BN 的值最小．【问题6】作法图形原理在直线l 上求两点M 、N （M 在左），使aMN =，并使AM +MN+NB 的值最小．将点A 向右平移a 个长度单位得A ＇，作A ＇关于l 的对称点A ＇＇，连A ＇＇B ，交直线l 于点N ，将N 点向左平移a 个单位得M ．两点之间线段最短．AM +MN +BN 的最小值为A ＇＇B +MN ．【问题7】作法图形原理在1l 上求点A ，在2l 上求点B ，使PA +AB 值最小．作点P 关于1l 的对称点P ＇，作P ＇B ⊥2l 于B ，交2l 于A ．点到直线，垂线段最短．PA +AB 的最小值为线段P ＇B 的长．【问题8】作法图形原理A 为1l 上一定点，B 为2l 上一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使AM +MN +NB 的值最小．作点A 关于2l 的对称点A ＇，作点B 关于1l 的对称点B ＇，连A ＇B ＇交2l 于M ，交1l 于N ．两点之间线段最短．AM +MN +NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【问题9】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最小．连AB ，作AB 的中垂线与直线l 的交点即为P ．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．PB PA -＝0．【问题10】作法图形原理作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ．在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．PB PA -的最大值＝AB ．【问题11】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇．PB PA -最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点”作法图形原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使PA +PB +PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE相交于P，点P 即为所求．两点之间线段最短．PA +PB +PC 最小值＝CD ．将军饮马问题耳熟能详，大家都掌握得非常熟练了，我就仅举一例说明中考的考法，并留几个习题供大家练习例题1：（广州中考题）已知平面直角坐标系中两定点(1,0)A -、(40)B ，，抛物线22(0)y ax bx a =+-≠过点A B 、，顶点为C ，点(,)(0)P m n n <为抛物线上一点.（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；（2）当APB ∠为钝角时，求m 的取值范围；（3）若3,2m >当APB ∠为直角时，将该抛物线向左或向右平移5(02t t <<个单位，点C 、P 平移后对应的点分别记为''C P 、，是否存在t ，使得首尾依次连接''A B P C 、、、所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由.【分析】：第一问考察了求二函解析式与求顶点，但由于带这分数运算，所以计算并不简单，属于中等难度题目。

2013年中考数学复习资料第一章 实数考点一、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分）1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分）1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。

一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数a 的平方根记做“a ±”。

2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a （a ≥0）0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

曲老师推荐中考数学专题之：初中数学“最值问题”集锦目录：●平面几何中的最值问题 (01)●几何的定值与最值 (07)●最短路线问题 (14)●对称问题 (18)●巧作“对称点”妙解最值题 (22)●数学最值题的常用解法 (26)●求最值问题 (29)●有理数的一题多解 (34)●4道经典题 (37)●平面几何中的最值问题在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例．在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

最值问题的解决方法通常有两种：（1）应用几何性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长。

⑵运用代数证法：①运用配方法求二次三项式的最值；②运用一元二次方程根的判别式。

例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。

分析：在直线L上任取一点P’，连结A P’，BP’，在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,则P’必在线段AB上，而线段AB与直线L无交点，所以这种思路错误。

取点A关于直线L的对称点A’，则AP’＝ AP，在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时A’P’+B’P’＝A’B，所以这时PA+PB最小。

1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可．解作DE⊥AB于E，则x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry，所以所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可．-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2，上式只有当x=R时取等号，这时有所以2y=R=x．所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D，这时，梯形的底角恰为60°和120°．2 .如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？分析与解设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有???????2x+2y+πx=8，若窗户的最大面积为S，则把①代入②有即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大．3. 已知P点是半圆上一个动点，试问P在什么位置时，PA+PB最大(图3－93)？分析与解因为P点是半圆上的动点，当P近于A或B时，显然PA+PB渐小，在极限状况(P与A重合时)等于AB．因此，猜想P在半圆弧中点时，PA+PB取最大值．设P为半圆弧中点，连PB，PA，延长AP到C，使PC=PA，连CB，则CB是切线．为了证PA+PB最大，我们在半圆弧上另取一点P′，连P′A，P′B，延长AP′到C′，使P′C′=BP′，连C′B，CC′，则∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°，所以A，B，C′，C四点共圆，所以∠CC′A=∠CBA=90°，所以在△ACC′中，AC＞AC′，即PA+PB＞P′A+P′B．4 如图3－94，在直角△ABC中，AD是斜边上的高，M，N分别是△ABD，△ACD的内心，直线MN交AB，AC于K，L．求证：S△ABC ≥2S△AKL．证连结AM，BM，DM，AN，DN，CN．因为在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，所以∠ABD=∠DAC，∠ADB=∠ADC=90°．因为M，N分别是△ABD和△ACD的内心，所以∠1=∠2=45°，∠3=∠4，所以△ADN∽△BDM，又因为∠MDN=90°=∠ADB，所以△MDN∽△BDA，所以∠BAD=∠MND．由于∠BAD=∠LCD，所以??∠MND=∠LCD，所以D，C，L，N四点共圆，所以∠ALK=∠NDC=45°．同理，∠AKL=∠1=45°，所以AK=AL．因为△AKM≌△ADM，所以AK=AD=AL．而而从而所以 S△ABC ≥S△AKL．5. 如图3－95．已知在正三角形ABC内(包括边上)有两点P，Q．求证：PQ≤AB．证设过P，Q的直线与AB，AC分别交于P1，Q1，连结P1C，显然，PQ≤P1Q1．因为∠AQ1P1+∠P1Q1C=180°，所以∠AQ1P1和∠P1Q1C中至少有一个直角或钝角．若∠AQ1P1≥90°，则 PQ≤P1Q1≤AP1≤AB；若∠P1Q1C≥90°，则 PQ≤P1Q1≤P1C．同理，∠AP1C和∠BP1C中也至少有一个直角或钝角，不妨设∠BP1C≥90°，则 P1C≤BC=AB．对于P，Q两点的其他位置也可作类似的讨论，因此，PQ≤AB．6. 设△ABC是边长为6的正三角形，过顶点A引直线l，顶点B，C到l的距离设为d1，d2，求d1+d2的最大值(1992年上海初中赛题)．解如图3－96，延长BA到B′，使AB′=AB，连B′C，则过顶点A的直线l或者与BC相交，或者与B′C相交．以下分两种情况讨论．(1)若l与BC相交于D，则所以只有当l⊥BC时，取等号．(2)若l′与B′C相交于D′，则所以上式只有l′⊥B′C时，等号成立．7. 如图3－97．已知直角△AOB中，直角顶点O在单位圆心上，斜边与单位圆相切，延长AO，BO分别与单位圆交于C，D．试求四边形ABCD面积的最小值．解设⊙O与AB相切于E，有OE=1，从而即AB≥2．当AO=BO时，AB有最小值2．从而所以，当AO=OB时，四边形ABCD面积的最小值为●几何的定值与最值几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法．【例题就解】【例1】如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB 为边作等边△APC和等边△BPD，则CD长度的最小值为．思路点拨如图，作CC′⊥AB于C，DD′⊥AB于D′，DQ⊥CC′，CD2=DQ2+CQ2，DQ=21AB一常数，当CQ越小，CD越小，本例也可设AP=x ，则PB=x -10，从代数角度探求CD 的最小值．注：从特殊位置与极端位置的研究中易得到启示，常能找到解题突破口，特殊位置与极端位置是指：(1)中点处、垂直位置关系等；(2)端点处、临界位置等．【例2】 如图，圆的半径等于正三角形ABC 的高，此圆在沿底边AB 滚动，切点为T ，圆交AC 、BC 于M 、N ，则对于所有可能的圆的位置而言， MTN 为的度数（ ）A ．从30°到60°变动B ．从60°到90°变动C ．保持30°不变D ．保持60°不变思路点拨 先考虑当圆心在正三角形的顶点C 时，其弧的度数，再证明一般情形，从而作出判断．注：几何定值与最值问题，一般都是置于动态背景下，动与静是相对的，我们可以研究问题中的变量，考虑当变化的元素运动到特定的位置，使图形变化为特殊图形时，研究的量取得定值与最值．【例3】 如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a ，BC=b (a >b )，P 为AB 边上的一动点， 直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP+BQ 的最小值．思路点拨 设AP=x ，把AP 、BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式ab b a 222≥+ (当且仅当b a =时取等号)来求最小值．【例4】 如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N ，证明：线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关．思路点拨 即要证AK ·BN 是一个定值，在图形中△ABC的边长是一个定值，说明AK ·BN 与AB 有关，从图知AB 为△ABM 与△ANB 的公共边，作一个大胆的猜想，AK ·BN=AB 2，从而我们的证明目标更加明确．注：只要探求出定值，那么解题目标明确，定值问题就转化为一般的几何证明问题．【例5】 已知△XYZ 是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三个顶点分别在等腰Rt △ABC(∠C=90°)的三边上，求△ABC 直角边长的最大可能值．思路点拨 顶点Z 在斜边上或直角边CA(或CB)上，当顶点Z 在斜边AB 上时，取xy 的中点，通过几何不等关系求出直角边的最大值，当顶点Z 在(AC 或CB)上时，设CX=x ，CZ=y ，建立x ，y 的关系式，运用代数的方法求直角边的最大值．注：数形结合法解几何最值问题，即适当地选取变量，建立几何元素间的函数、方程、不等式等关系，再运用相应的代数知识方法求解．常见的解题途径是：(1)利用一元二次方程必定有解的代数模型，运用判别式求几何最值；(2)构造二次函数求几何最值．学力训练1．如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为边BC 上任意一点（可与B 点或C 点重合），分别过B 、C 、D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B ′、C ′、D ′，则BB ′+CC ′+DD ′的最大值为 ，最小值为 ． 2．如图，∠AOB=45°，角内有一点P ，PO=10，在角的两边上有两点Q ，R(均不同于点O)，则△PQR 的周长的最小值为 ．3．如图，两点A 、B 在直线MN 外的同侧，A 到MN 的距离AC=8，B 到MN 的距离BD=5，CD=4，P 在直线MN 上运动，则PB PA -的最大值等于 ．4．如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，P 点是直径MN 上一动点， ⌒ ⌒⊙O 的半径为1，则AP+BP 的最小值为( ) A ．1 B ．22 C ．2 D ．13- 5．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为4的正方形，动点P 从A 点出发，沿看圆柱的侧面移动到BC 的中点S 的最短距离是( )A ．212π+B ．2412π+C ．214π+D ．242π+6．如图、已知矩形ABCD ，R ，P 户分别是DC 、BC 上的点，E ，F 分别是AP 、RP 的中点，当P 在BC 上从B 向C 移动而R 不动时，那么下列结论成立的是( )A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减小C ．线段EF 的长不改变D ．线段EF 的长不能确定7．如图，点C 是线段AB 上的任意一点(C 点不与A 、B 点重合)，分别以AC 、BC 为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，AE 与CD 相交于点M ，BD 与CE 相交于点N ．(1)求证：MN ∥AB ；(2)若AB 的长为l0cm ，当点C 在线段AB 上移动时，是否存在这样的一点C ，使线段MN 的长度最长?若存在，请确定C 点的位置并求出MN 的长；若不存在，请说明理由．(2002年云南省中考题)8．如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足，求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角．9．已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，BT 为⊙O 的切线，B 为切点，P 为直线AB 上一点，过点P 作BC 的平行线交直线BT 于点E ，交直线AC 于点F ．(1)当点P 在线段AB 上时(如图)，求证：PA ·PB=PE ·PF ；(2)当点P 为线段BA 延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由．10．如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE ，其中AF=2，BF=l ，在AB 上的一点P ，使矩形PNDM 有最大面积，则矩形PNDM 的面积最大值是( )A ．8B ．12C ．225D ．1411．如图，AB 是半圆的直径，线段CA 上AB 于点A ，线段DB 上AB 于点B ，AB=2；AC=1，BD=3，P 是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB 的最大面积是( )A ．22+B ．21+C ．23+D ．23+12．如图，在△ABC 中，BC=5，AC=12，AB=13，在边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使线段DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，试求这样线段的最小长度．13．如图，ABCD 是一个边长为1的正方形，U 、V 分别是AB 、CD 上的点，AV 与DU 相交于点P ，BV 与CU 相交于点Q ．求四边形PUQV 面积的最大值．14．利用两个相同的喷水器，修建一个矩形花坛，使花坛全部都能喷到水．已知每个喷水器的喷水区域是半径为l0米的圆，问如何设计(求出两喷水器之间的距离和矩形的长、宽)，才能使矩形花坛的面积最大?15．某住宅小区，为美化环境，提高居民生活质量，要建一个八边形居民广场(平面图如图所示)．其中，正方形MNPQ 与四个相同矩形(图中阴影部分)的面积的和为800平方米．(1)设矩形的边AB=x (米)，AM=y (米)，用含x 的代数式表示y 为 ．(2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元；在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩地坪，平均每平方米造价为105元；在四个三角形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元．①设该工程的总造价为S(元)，求S 关于工的函数关系式．②若该工程的银行贷款为235000元，仅靠银行贷款能否完成该工程的建设任务?若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由．③若该工程在银行贷款的基础上，又增加资金73000元，问能否完成该工程的建设任务?若能，请列出所有可能的设计方案；若不能，请说明理由．(镇江市中考题)16．某房地产公司拥有一块“缺角矩形”荒地ABCDE，边长和方向如图，欲在这块地上建一座地基为长方形东西走向的公寓，请划出这块地基，并求地基的最大面积(精确到1m2)．参考答案●最短路线问题通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的．人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题．在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段．这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的．例如，在地球（近似看成圆球）上A、B二点之间的最短路线如何求呢？我们用过A、B两点及地球球心O的平面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线，航海上叫短程线．关于这个问题本讲不做研究，以后中学会详讲．在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法．例1 如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报．在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来．解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线．作点A关于河岸的对称点 A′，即作 AA′垂直于河岸，与河岸交于点C，且使AC=A′C，连接A′B交河岸于一点P，这时 P点就是饮马的最好位置，连接 PA，此时 PA＋PB就是侦察员应选择的最短路线．证明：设河岸上还有异于P点的另一点P′，连接P′A，P′B， P′A′．∵P′A+P′B＝P′A′+P′B＞A′B=PA′+PB=PA+PB，而这里不等式 P′A′＋P′B＞A′B成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以PA+PB是最短路线．此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段A′B，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等．看下面例题．例2 如图一只壁虎要从一面墙壁α上A点，爬到邻近的另一面墙壁β上的B点捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线呢？解：我们假想把含B点的墙β顺时针旋转90°（如下页右图），使它和含A点的墙α处在同一平面上，此时β转过来的位置记为β′，B点的位置记为B′，则A、B′之间最短路线应该是线段AB′，设这条线段与墙棱线交于一点P，那么，折线4PB就是从A点沿着两扇墙面走到B点的最短路线．证明：在墙棱上任取异于P点的P′点，若沿折线AP′B走，也就是沿在墙转90°后的路线AP′B′走都比直线段APB′长，所以折线APB是壁虎捕蛾的最短路线．由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线．例3 长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB=4，A′A=2′，AD=1，有一只小虫从顶点D′出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（1））解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D′、B两点的两个相邻的面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上 D′B间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从D′点出发，到B点共有六条路线供选择．①从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在一个平面上（上页图（2）），这时在这个平面上D′、B间的最短路线距离就是连接D′、B两点的直线段，它是直角三角形ABD′的斜边，根据勾股定理，D′B2=D′A2+AB2=（1+2）2＋42=25，∴D′B=5．②容易知道，从D′出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5．③从D′点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点．将这两个面摊开在同一平面上，同理求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线（上页图（3）），有：D′B2＝22+（1+4）2=29．④容易知道，从D′出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是29．⑤从D′点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊开在同一平面上，同理可求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线（见图），D′B2=（2+4）2+12=37．⑥容易知道，从D′出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是37．比较六条路线，显然情形①、②中的路线最短，所以小虫从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点（上页图（2）），或者经过后侧面然后进入下底面到达B点的路线是最短路线，它的长度是5个单位长度．利用例2、例3中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上A和B两点之间的最短路线问题（下左图），同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面（下右图），连接A、B成线段AP1P2B，P1、P2是线段AB与两条侧棱线的交点，则折线AP1P2B就是AB间的最短路线．圆柱表面的最短路线是一条曲线，“展开”后也是直线，这条曲线称为螺旋线．因为它具有最短的性质，所以在生产和生活中有着很广泛的应用．如：螺钉上的螺纹，螺旋输粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题．例4 景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果将金线的起点固定在A点，绕一周之后终点为B点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？解：将上左图中圆柱面沿母线AB剪开，展开成平面图形如上页右图（把图中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时，A′、B′分别与A、B重合），连接AB′，再将上页右图还原成上页左图的形状，则AB′在圆柱面上形成的曲线就是连接AB且绕一周的最短线路．圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线．请看下面例题．例5 有一圆锥如下图，A、B在同一母线上，B为AO的中点，试求以A为起点，以B 为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线．解：将圆锥面沿母线AO剪开，展开如上右图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面时，A′、B′分别与A、B重合），在扇形中连AB′，则将扇形还原成圆锥之后，AB′所成的曲线为所求．例6 如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米， B点沿母线到桶口 D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15厘米．如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？分析我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于B点在里面，不便于作图，设想将BD延长到F，使DF＝BD，即以直线CD为对称轴，作出点B的对称点F，用F代替B，即可找出最短路线了．解：将圆柱面展成平面图形（上图），延长BD到F，使DF=BD，即作点B关于直线CD 的对称点F，连结AF，交桶口沿线CD于O．因为桶口沿线CD是 B、F的对称轴，所以OB＝OF，而A、F之间的最短线路是直线段AF，又AF=AO＋OF，那么A、B之间的最短距离就是AO＋OB，故蚂蚁应该在桶外爬到O点后，转向桶内B点爬去．延长AC到E，使CE=DF，易知△AEF是直角三角形，AF是斜边，EF=CD，根据勾股定理，AF2=（AC+CE）2+EF2 ＝（12＋8）2＋152＝625=252，解得AF=25．即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米．例7 A、B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸．请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A、B两个村子之间路程最短．分析因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，于是想到要把折线化为直线．由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定值．因此，从A点作河岸的垂线，并在垂线上取AC等于河宽，就相当于把河宽预先扣除，找出B、C两点之间的最短路线，问题就可以解决．解：如上图，过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长为河宽，连结BC交河岸于D点，作DE垂直于河岸，交对岸于E点，D、E两点就是使两村行程最短的架桥地点．即两村的最短路程是AE＋ED＋DB．例8 在河中有A、B两岛（如下图），六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从A岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到B岛，最后回到A岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？解：如上图，分别作A、B关于甲岸线、乙岸线的对称点A′和B′，连结A′、B′分别交甲岸线、乙岸线于E、F两点，则A→E→F→B→A是最短路线，即最短路程为：AE ＋EF＋FB＋BA．证明：由对称性可知路线A→E→F→B的长度恰等于线段A′B′的长度．而从A岛到甲岸，又到乙岸，再到B岛的任意的另一条路线，利用对称方法都可以化成一条连接A′、B′之间的折线，它们的长度都大于线段 A′B′，例如上图中用“·—·—·”表示的路线A→E′→F′→B的长度等于折线AE′F′B的长度，它大于A′B′的长度，所以A→E →F→B→A是最短路线．●对称问题教学目的：进一步理解从实际问题转化为数学问题的方法，对于轴对称问题、中心对称问题有一个比较深入的认识，可以通过对称的性质及三角形两边之和与第三边的关系找到证明的方法。

第一单元数与式第1讲实数考纲要求命题趋势1．理解有理数、无理数和实数的概念，会用数轴上的点表示有理数．2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值．3．理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会求一个数的算术平方根、平方根、立方根．4．理解科学记数法、近似数与有效数字的概念，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值，能正确识别一个数的有效数字的个数，会用科学记数法表示一个数．5．熟练掌握实数的运算，会用各种方法比较两个实数的大小.实数是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的计算题的形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．另外，命题者也会利用分析归纳、总结规律等题型考查考生发现问题、解决问题的能力.知识梳理一、实数的分类实数⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数⎩⎪⎨⎪⎧零负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧正分数负分数有限小数或无限循环小数无理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫负无理数无限不循环小数二、实数的有关概念及性质1．数轴(1)规定了______、________、____________的直线叫做数轴；(2)实数与数轴上的点是一一对应的．2．相反数(1)实数a的相反数是____，零的相反数是零；(2)a与b互为相反数⇔a＋b＝____.3．倒数(1)实数a(a≠0)的倒数是____；(2)a与b互为倒数⇔______.4．绝对值(1)数轴上表示数a的点与原点的______，叫做数a的绝对值，记作|a|.(2)|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧(a >0)， (a ＝0)， (a <0).5．平方根、算术平方根、立方根(1)平方根①定义：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个数x 叫做a 的平方根(也叫二次方根)，数a 的平方根记作______．②一个正数有两个平方根，它们互为________；0的平方根是0；负数没有平方根． (2)算术平方根①如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，a 的算术平方根记作____．零的算术平方根是零，即0＝0.②算术平方根都是非负数，即a ≥0(a ≥0)．③(a )2＝a (a ≥0)，a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).(3)立方根①定义：如果一个数x 的立方等于a ，即x 3＝a ，那么这个数x 叫做a 的立方根(也叫三次方根)，数a 的立方根记作______．②任何数都有唯一一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号相同． 6．科学记数法、近似数、有效数字 (1)科学记数法把一个数N 表示成______(1≤a ＜10，n 是整数)的形式叫做科学记数法．当N ≥1时，n 等于原数N 的整数位数减1；当N ＜1时，n 是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)．(2)近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从______第1个不为0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．三、非负数的性质 1．常见的三种非负数|a |≥0，a 2≥0，a ≥0(a ≥0)． 2．非负数的性质(1)非负数的最小值是零；(2)任意几个非负数的和仍为非负数；(3)几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0. 四、实数的运算 1．运算律(1)加法交换律：a ＋b ＝______.(2)加法结合律：(a ＋b )＋c ＝________. (3)乘法交换律：ab ＝____.(4)乘法结合律：(ab )c ＝______.(5)乘法分配律：a (b ＋c )＝__________. 2．运算顺序(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减；(2)同级运算，按照从____至____的顺序进行；(3)如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．3．零指数幂和负整数指数幂(1)零指数幂的意义为：a 0＝____(a ≠0)；(2)负整数指数幂的意义为：a －p ＝______(a ≠0，p 为正整数)． 五、实数的大小比较 1．实数的大小关系在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数____．正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小． 2．作差比较法(1)a －b ＞0⇔a ＞b ；(2)a －b ＝0⇔a ＝b ；(3)a －b ＜0⇔a ＜b . 3．倒数比较法 若1a ＞1b ，a ＞0，b ＞0，则a ＜b . 4．平方法因为由a ＞b ＞0，可得a ＞b ，所以我们可以把a 与b 的大小问题转化成比较a 和b 的大小问题．(提示：本书[知识梳理]栏目答案见第122～123页) 自主测试1．－2的倒数是( )A ．－12B ．.12C ．－2D ．22．－2的绝对值等于( )A ．2B ．－2C ．12D ．－123．下列运算正确的是( )A ．－|－3|＝3B ．⎝⎛⎭⎫13－1＝－3 C ．9＝±3 D ．3－27＝－34．2012年世界水日主题是“水与粮食安全”．若每人每天浪费水0.32 L ，那么100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为( )A ．3.2×107 LB ．3.2×106 LC ．3.2×105 LD ．3.2×104 L5．已知实数m ，n 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是( )A ．m ＞0B ．n ＜0C ．mn ＜0D ．m －n ＞0 6．计算：|－5|＋16－32.考点一、实数的分类【例1】四个数－5，－0.1，12，3中为无理数的是( )A ．－5B ．－0.1C ．12D ． 3解析：因为－5是整数属于有理数，－0.1是有限小数属于有理数，12是分数属于有理数，3开不尽方是无理数，故选D. 答案：D方法总结 一个数是不是无理数，应先计算或者化简再判断．有理数都可以化成分数的形式．常见的无理数有四种形式：(1)含有π的式子；(2)根号内含开方开不尽的式子；(3)无限且不循环的小数；(4)某些三角函数式．触类旁通1 在实数5，37，2，4中，无理数是( )A ．5B ．37C ． 2D ． 4考点二、相反数、倒数、绝对值与数轴【例2】(1)－15的倒数是__________；(2)(－3)2的相反数是( )A ．6B ．－6C ．9D ．－9(3)实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简|a ＋b |＋(b －a )2＝__________.解析：(1)－15的倒数为1－15＝－5；(2)因为(－3)2＝9,9的相反数是－9，故选D ；(3)本题考查了绝对值，平方根及数轴的有关知识． 由图可知，a ＜0，b ＞0，|a |＞|b |，所以a ＋b ＜0，b －a ＞0，原式＝－a －b ＋b －a ＝－2a . 答案：(1)－5 (2)D (3)－2a方法总结 1．求一个数的相反数，直接在这个数的前面加上负号，有时需要化简得出． 2．解有关绝对值和数轴的问题时常用到字母表示数的思想、分类讨论思想和数形结合思想．3．相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是0和正数(即非负数)；倒数是它本身的数是±1.触类旁通2 下列各数中，相反数等于5的数是( ) A ．－5 B ．5C ．－15D ．15考点三、平方根、算术平方根与立方根 【例3】(1)(－2)2的算术平方根是( )A ．2B ．±2C ．－2D ． 2 (2)实数27的立方根是__________．解析：(1)(－2)2的算术平方根，即(－2)2＝|－2|＝2； (2)27的立方根是327＝3. 答案：(1)A (2)3方法总结 1．对于算术平方根，要注意：(1)一个正数只有一个算术平方根，它是一个正数；(2)0的算术平方根是0；(3)负数没有算术平方根；(4)算术平方根a 具有双重非负性：①被开方数a 是非负数，即a ≥0；②算术平方根a 本身是非负数，即a ≥0.2．(3a )3＝a ，3a 3＝a .触类旁通3 4的平方根是( ) A ．2 B ．±2 C ．16 D ．±16考点四、科学记数法、近似数、有效数字【例4】2012年安徽省有682 000名初中毕业生参加中考，按四舍五入保留两位有效数字，682 000用科学记数法表示为( )A ．0.69×106B ．6.82×105C ．0.68×106D ．6.8×105解析：用科学记数法表示的数必须满足a ×10n (1≤|a |＜10，n 为整数)的形式；求近似数时注意看清题目要求和单位的换算；查有效数字时，要从左边第1个非零数查起，到精确到的数为止.682 000＝6.82×105≈6.8×105.答案：D方法总结 1．用科学记数法表示数，当原数的绝对值大于或等于1时，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前零的个数．2．取一个数精确到某一位的近似数时，应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入，而之后的数不予考虑．3．用科学记数法表示的近似数，乘号前面的数(即a )的有效数字即为该近似数的有效数字；而这个近似数精确到哪一位，应将用科学记数法表示的数还原成原来的数，再看最后一个有效数字处于哪一个数位上．触类旁通4 某种细胞的直径是5×10－4毫米，这个数是( ) A ．0.05毫米 B ．0.005毫米 C ．0.000 5毫米 D ．0.000 05毫米 考点五、非负数性质的应用【例5】若实数x ，y 满足x －2＋(3－y )2＝0，则代数式xy －x 2的值为__________． 解析：因为x －2≥0，(3－y )2≥0，而x －2＋(3－y )2＝0，所以x －2＝0,3－y ＝0，解得x ＝2，y ＝3，则xy －x 2＝2×3－22＝2.答案：2方法总结 常见的非负数的形式有三种：|a |，a (a ≥0)，a 2，若它们的和为零，则每一个式子都为0.触类旁通5 若|m －3|＋(n ＋2)2＝0，则m ＋2n 的值为( ) A ．－4 B ．－1 C ．0 D ．4 考点六、实数的运算【例6】计算：(1)2－1＋3cos 30°＋|－5|－(π－2 011)0.(2)(－1)2 011－⎝⎛⎭⎫12－3＋⎝⎛⎭⎫cos 68°＋5π0＋|33－8sin 60°|. (1)分析：2－1＝12，cos 30°＝32，|－5|＝5，(π－2 011)0＝1.解：原式＝12＋3×32＋5－1＝12＋32＋5－1＝6.(2)分析：⎝⎛⎭⎫12－3＝(2－1)－3＝23＝8，⎝⎛⎭⎫cos 68°＋5π0＝1，sin 60°＝32. 解：原式＝－1－8＋1＋⎪⎪⎪⎪33－8×32＝－8＋ 3.点拨：(1)根据负整数指数幂的意义可把负整数指数幂转化为正整数指数幂运算，即a －p ＝1ap (a ≠0)．(2)a 0＝1(a ≠0)． 方法总结 提高实数的运算能力，首先要认真审题，理解有关概念；其次要正确、灵活地应用零指数、负整数指数的定义、特殊角的三角函数、绝对值、相反数、倒数等相关知识及实数的六种运算法则，根据运算律及顺序，选择合理、简捷的解题途径．要特别注意把好符号关．考点七、实数的大小比较【例7】比较2.5，－3，7的大小，正确的是( ) A ．－3＜2.5＜7 B ．2.5＜－3＜7 C ．－3＜7＜2.5 D ．7＜2.5＜－3 解析：由负数小于正数可得－3最小，故只要比较2.5和7的大小即可，由2.52＜(7)2，得2.5＜7，所以－3＜2.5＜7. 答案：A方法总结 实数的各种比较方法，要明确应用条件及适用范围．如：“差值比较法”用于比较任意两数的大小，而“商值比较法”一般适用于比较符号相同的两个数的大小，还有“平方法”、“倒数法”等．要依据数值特点确定合适的方法．触类旁通6在－6,0,3,8这四个数中，最小的数是( ) A ．－6 B ．0 C ．3 D ．81．(2012湖北黄石)－13的倒数是( )A ．13B ．3C ．－3D ．－132．(2012江苏南京)下列四个数中，负数是( )A ．|－2|B ．(－2)2C ．－ 2D ．(－2)23．(2012北京)首届中国(北京)国际服务贸易交易会(京交会)于2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元．将60 110 000 000用科学记数法表示应为( )A ．6.011×109B ．60.11×109C ．6.011×1010D ．0.6011×10114．(2012四川南充)计算2－(－3)的结果是( ) A ．5 B ．1 C ．－1 D ．－55．(2012四川乐山)计算：⎪⎪⎪⎪－12＝__________. 6．(2012重庆)计算：4＋(π－2)0－|－5|＋(－1)2 012＋⎝⎛⎭⎫13－2.1．下列各数中，最小的数是( )A ．0B ．1C ．－1D ．－ 2 2．若|a |＝3，则a 的值是( )A ．－3B ．3C ．13D ．±33．下列计算正确的是( )A ．(－8)－8＝0B ．⎝⎛⎭⎫－12×(－2)＝1 C ．－(－1)0＝1 D ．|－2|＝－24．如图，数轴上A ，B 两点对应的实数分别为1和3，若点A 关于点B 的对称点为C ，则点C 所表示的实数是( )A ．23－1B ．1＋ 3C ．2＋ 3D ．23＋15．(1)实数12的倒数是____．(2)写出一个比－4大的负无理数__________．6．若将三个数－3，7，11表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________．7．定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝1a ＋1b，根据这个规则，计算2☆3的值是__________．8．如图，物体从点A 出发，按照A →B (第1步)→C (第2步)→D →A →E →F →G →A →B →…的顺序循环运动，则第2 012步到达点________处．9．计算：|－2|＋(－1)2 012－(π－4)0.参考答案导学必备知识 自主测试1．A 1－2＝－12.2．A3．D A 中－|－3|＝－3，B 中⎝⎛⎭⎫13－1＝3，C 中9＝3.4．C 0.32×100万＝320 000＝3.2×105.5．C 因为从数轴可知：m 小于0，n 大于0，则mn ＜0，m －n ＜0. 6．解：|－5|＋16－32＝5＋4－9＝0. 探究考点方法触类旁通1．C 因为5是整数，37是分数，4＝2是整数．触类旁通2．A 因为5的相反数是－5，－15的相反数是15，15的相反数是－15.触类旁通3．B触类旁通4．C 因为0.05＝5×10－2,0.005＝5×10－3,0.000 5＝5×10－4,0.000 05＝5×10－5，故选C.触类旁通5．B 因为|m －3|≥0，且(n ＋2)2≥0，又因为|m －3|＋(n ＋2)2＝0，所以m －3＝0且n ＋2＝0.所以m ＝3，n ＝－2，所以m ＋2n ＝3＋2×(－2)＝－1.触类旁通6．A 因为根据正数大于0,0大于负数，正数大于负数，解答即可． 品鉴经典考题1．C ∵－3×⎝⎛⎭⎫－13＝1，∴－13的倒数是－3. 2．C A 中，|－2|＝2，是正数，故本选项错误；B 中，(－2)2＝4，是正数，故本选项错误；C 中，－2＜0，是负数，故本选项正确；D 中，(－2)2＝4＝2，是正数，故本选项错误．3．C 因为科学记数法的形式为a ×10n ，用科学记数法表示较大的数，其规律为1≤a ＜10，n 是比原数的整数位数小1的正整数，所以60 110 000 000＝6.011×1010.4．A 原式＝2＋3＝5.5．12根据负数的绝对值是它的相反数，得⎪⎪⎪⎪－12＝12. 6．解：原式＝2＋1－5＋1＋9＝8. 研习预测试题1．D 因为正数和0都大于负数，2＞1，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以－2最小．2．D 绝对值为3的数有＋3和－3两个，且互为相反数．3．B (－8)－8＝－16，⎝⎛⎭⎫－12×(－2)＝1，－(－1)0＝－1，|－2|＝2. 4．A 因为数轴上A ，B 两点对应的实数分别为1和3， 所以OA ＝1，OB ＝ 3.所以AB ＝OB －OA ＝3－1. 由题意可知，BC ＝AB ＝3－1.所以OC ＝OB ＋BC ＝3＋(3－1)＝23－1. 5．(1)2 (2)－4＋2(答案不唯一)6．7 因为－3＜0，11＞3,1＜7＜3. 7．56 因为2☆3＝12＋13＝36＋26＝56. 8．A 由题意知，每隔8步物体到达同一点，因为2 012÷8＝251余4，所以第2 012步到达A 点．9．解：原式＝2＋1－1＝2.。

【最值问题复习】一、 将军饮马1. 如图，在矩形ABCD 中，AD=3，点E 为边AB 上一点，AE=1，平面内动点P 满足1=3PAB ABCD S S △矩形，则DP EP -的最大值为_____________.2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △P AB ＝S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和P A +PB 的最小值为 ．类型二：点到直线距离垂线段最短3.在平面直角坐标系中，原点O 到直线24y kx k =-+的最大距离为____________.4. 如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为（ ）A ．2B ．2.2C ．2.4D ．2.55. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点F 在边AC 上，并且CF ＝2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 的距离的最小值是（ ）A ．B ．1C ．D ．6. 如图，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点D为线段OB的中点，点C、P分别为线段AB、OA上的动点，当PC+PD值最小时点P的坐标为．7. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，对角线AC、BD交于点O，E是线段BO上一动点，F是射线DC上一动点，若∠AEF＝120°，则线段EF的长度的整数值的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，将直角三角板的直角顶点与AC边的中点P重合，直角三角板绕着点P旋转，两条直角边分别交AB边于M，N，则MN 的最小值是．9.如图，P是线段AB上异于端点的动点，且AB＝6，分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APM和等边△BPN，则△MNP外接圆半径的最小值为．类型三、平行线间的距离为最值10.如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，点M、N、P分别为线段AB、AD、BD上的任意一点，则PM+PN的最小值为．11. 如图，在等边△ABC中，AB＝4，P、M、N分别是BC、CA、AB边上动点，则PM+MN的最小值是．类型四、利用三角形三边关系、三点共线取最值12. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，则线段AB长度的最小值为___________.13.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为．14.如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为．类型五、构造圆球最值（圆外一点与圆上点的连线的距离最值问题）15.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为．16.在平面直角坐标系xOy中，A（3，0）、B（a，2）、C（0，m）、D（n，0），且m2+n2＝4，若E为CD中点．则AB+BE的最小值为．17.如图，半径为2的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝60°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是．18.如图，在△ABC中，∠A=60°（∠B＜∠C），E、F分别是AB、AC上的动点，以EF为边向下作等边三角形DEF，△DEF的中心为点O，连接CO.已知AC=4，则CO的最小值为___________.类型六、面积、周长最值问题19. 如图，⊙O 的半径是2，直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点，M 、N 是⊙O 上的两个动点，且在直线l 的异侧，若∠AMB ＝45°，则四边形MANB 面积的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．4D ．820. 如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝135°，AB ＝4，点P 是菱形ABCD 内或边上的一点，且∠DAP +∠CBP ＝90°，连接DP ，CP ，则△DCP 面积的最小值为 ．21. 如图，sin ∠C ＝，长度为2的线段ED 在射线CF 上滑动，点B 在射线CA 上，且BC ＝5，则△BDE 周长的最小值为 ．类型七、函数最值问题22.已知22(3)9(1)4y x x =-+--+，则y 的最大值为_____________.23.已知6213309,3b ___________.a b c b c a c =+=-+，且≥，≤则的最大值为24.如图，AB 为半圆的直径，点O 为圆心，AB=8，若P 为AB 反向延长线上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作半圆的切线，切点为C ，过点B 作BD ⊥PC 交PC 的延长线于点D ，则AC+BD 的最大值为_______________.25. 如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接P A．设P A＝x，PB＝y，则（x﹣y）的最大值是．26.如图，在正方形ABCD中，AB=4，以B为圆心，BA长为半径画弧，点M为弧上一点，MN ⊥CD于N，连接CM，则CM－MN的最大值为．27. 如图，已知AB＝8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（结果留根号）．类型八、胡不归与阿氏圆问题28. 如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x 正半轴上．以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，则OP的最小值_________.29.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则AD+BD的最小值是．30.如图，点C的坐标为（2,5），点A的坐标为（7,0），圆C的半径为10，点B在圆C上运动，则55OB AB+的最小值为_______________.31.如图，在平面直角坐标系中，点A（-1,0），B（0，22），点C是线段OB上的动点，则3AC BC+的最小值为_________,此时点C的坐标为_______________.【参考答案】1.【解答】 DP EP -≤1DE =22. 【解答】解：设△ABP 中AB 边上的高是h ．∵S △P AB ＝S 矩形ABCD ，∴AB •h ＝AB •AD ，∴h ＝AD ＝2，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 的长就是所求的最短距离． 在Rt △ABE 中，∵AB ＝5，AE ＝2+2＝4，∴BE ＝＝＝， 即P A +PB 的最小值为． 故答案为：．3.【解答】直线24y kx k =-+=24y k x =-+（）过定点（2,4）,OH ≤OA ，当OA 垂直于该直线时，距离最大，为254.【解答】解：连接AP，∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠A＝∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，要使EF最小，只要AP最小即可，过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，在Rt△BAC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝3，由勾股定理得：BC＝5，由三角形面积公式得：×4×3＝×5×AP，∴AP＝2.4，即EF＝2.4，故选：C．5.【解答】解：如图所示：当PE∥AB．由翻折的性质可知：PF＝FC＝2，∠FPE＝∠C＝90°．∵PE∥AB，∴∠PDB＝90°．由垂线段最短可知此时FD有最小值．又∵FP为定值，∴PD有最小值．又∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADF，∴△AFD∽△ABC．∴，即＝，解得：DF＝3.2．∴PD＝DF﹣FP＝3.2﹣2＝1.2．故选：D．6.【解答】解：作点D关于x轴对称点D′，过点D′作DC⊥AB于点C，与OA交于点P，则此时PC+PD值最小．当x＝0时，y＝x+4＝4，∴OB＝4；当y＝0时，x+4＝0，解得：x＝﹣4，∴OA＝4．∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形，∴∠OBA＝45°．∵D′C⊥AB，∴△BCD′为等腰直角三角形，∴∠BD′C＝45°．在△OPD′中，∠POD′＝90°，∠OD′P＝45°，∴∠OPD′＝45°，∴OP＝OD′＝OD．又∵点D为线段OB的中点，∴OD＝2，∴OP＝2，∴点P的坐标为（﹣2，0）．故答案为：（﹣2，0）．7.【解答】解：如图，连结CE，∵在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE，∴AE＝CE，设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a，∴∠DEF＝120°﹣（90°﹣a）＝30°+a，∴∠EFC＝∠CDE+∠DEF＝30°+30°+a＝60°+a，∵∠ECF＝∠DCO+∠OCE＝60°+a，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∴AE＝EF，∵AB＝4，∠ABE＝30°，∴在Rt△ABO中，AO＝2，∵OA≤AE≤AB，∴2≤AE≤4，∴AE的长的整数值可能是2，3，4，即EF的长的整数值可能是2，3，4．故选：C．8.【解答】解：取MN的中点D连接PD，∵∠MPN＝90°，∴MN＝2PD，∴当PD⊥MN时，PD值最小，此时MN的值最小，如图所示，∵∠A＝∠A，∠ADP＝∠ACB＝90°，∴△APD∽△ABC，∴，即，∴PD＝，∴MN＝2PD＝2．故答案为：2．9.【解答】解：分别作∠A与∠B角平分线，交点为O，连接OP，∵△AMP和△NPB都是等边三角形，∴AO与BO为PM、PN垂直平分线．∵圆心O在PM、PN垂直平分线上，即圆心O是一个定点，若半径OP最短，则OP⊥AB．又∵∠OAP＝∠OBP＝30°，AB＝6，∴OA＝OB，∴AP＝BP＝3，∴在直角△AOP中，OP＝AP•tan∠OAP＝3×tan30°＝，故答案为：．10.【解答】解：连接AC，过点A作AE⊥BC于点E，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，当PM⊥AB，PN⊥AD时，PM+PN的值最小，最小值＝AD边上的高，设这个高为AE，•AB•PM+•AD•PN＝AD•AE，PM+PN＝AE，∵菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝4，∴△ABC是等边三角形，∴BE＝EC＝2，∴AE＝＝2．故答案为：2．11.【解答】解：作点B关于直线AC的对称点K，连接AK、CK，作点N关于直线AC 的对称点N′，作N′P′⊥BC于P′，交AC于M′，则线段N′P′的长即为PM+MN 的最小值（垂线段最短）．∵△ABC是等边三角形，易知，四边形ABCK是菱形，N′P′是菱形的高＝×4＝2，∴PM+MN的最小值为2，故答案为2．12.【解答】线段AB长度的最小值为4，理由如下：连接OP，∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB，取AB的中点C，则AB＝2OC；当OC＝OP时，OC最短，即AB最短，此时AB＝4；13.【解答】解：作AB的中点E，连接EM、CE．在直角△ABC中，AB＝＝＝10，∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，∴CE＝AB＝5．∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴ME＝AD＝2．∵5﹣2≤CM≤5+2，即3≤CM≤7．∴最大值为7，故答案为：7．14.【解答】解：连结AE，如图1，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝，∴AB＝AC＝4，∵AD为直径，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＝90°，∴点E在以AB为直径的⊙O上，∵⊙O的半径为2，∴当点O、E、C共线时，CE最小，如图2，在Rt△AOC中，∵OA＝2，AC＝4，∴OC＝＝2，∴CE＝OC﹣OE＝2﹣2，即线段CE长度的最小值为2﹣2．故答案为2﹣2．15.【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠P AB＝∠PBC∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴OC＝＝5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值为2．故答案为2．16.【解答】解：由题意CD＝＝2，∵E为CD中点，∴OE＝CD＝1，∴点E在O为圆心，1为半径的圆上，作点A关于直线y＝2的对称点A′，连接OA′交直线y＝2于B，交⊙O于E．此时BA+BE＝BA′+BE的值最小．在Rt△OAA′中，OA′＝＝5，∴EA′＝5﹣1＝4，∴BA+BE的最小值为4，故答案为：4．17.【解答】解：连接AG并延长，交BC于点F，∵△ABC的重心为G，∴F为BC的中点，∴OF⊥BC，∵∠BAC＝60°，∴∠BOF＝60°，∴∠OBF＝30°，∴OF＝OB＝1，∵△ABC的重心为G，∴AG＝AF，在AO上取点E，使AE＝AO，连接GE，∵＝＝，∠F AO＝∠GAE，∴△AGE∽△AFO，∴＝，∴GE＝．∴G在以E为圆心，为半径的圆上运动，∴E（，0），∴DE＝＝，∴DG的最小值是﹣，故答案为：﹣．18.【解答】连接OE、OD、OA，∠DAE+∠DOE=180°，所以A、E、O、D四点共圆，所以∠EAO=∠ODE=30°，所以点O在一条直线上运动，过点C向这条直线作垂线CH,所以CO的最小值为CH，最小值为2.19.【解答】【解答】解：过点O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，∵∠AMB＝45°，∴∠AOB＝2∠AMB＝90°，∴△OAB为等腰直角三角形，∴AB＝OA＝2，∵S四边形MANB＝S△MAB+S△NAB，∴当M点到AB的距离最大，△MAB的面积最大；当N点到AB的距离最大时，△NAB 的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，此时四边形MANB面积的最大值＝S四边形DAEB＝S△DAB+S△EAB＝AB•CD+AB•CE＝AB（CD+CE）＝AB•DE＝×2×4＝4．故选：C．20.【解答】解：在菱形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵∠DAP+∠CBP＝90°，∴∠P AB+∠PBA＝90°，∴AP⊥PB，∴当△DCP面积的最小时，P到CD的距离最小，即P到AB的距离最大，∴当Rt△ABP是等腰直角三角形时，即P到AB的距离最大，∵∠CBA＝45°，∴点P在BC边上，且AP⊥BC，过C作CF⊥AB于F，PE⊥AB于E，∴CF＝BC＝4，PE＝AB＝2，∴P到CD的距离＝4﹣2，∴△DCP面积的最小值为：4×（4﹣2）＝8﹣8，故答案为：8﹣8．21.【解答】解：如图作BK∥CF，使得BK＝DE＝2，作K关于直线CF的对称点G，连接BG交CF于D′，此时△BD′E′的周长最小．在Rt△BGK中，易知BK＝2，GK＝6，∴BG＝＝2，∴△BDE周长的最小值为BE′+D′E′+BD′＝KD′+D′E′+BD′＝D′E′+BD′+GD′＝D′E′+BG＝2+2．故答案为：2+2．22.【解答】设点C（x,0），A（3,3），B（1,2）222222(3)9(1)4(3)(03)(1)(02)y x x x x=-+--+=-+---+-表示AC-BC的值，且AC-BC≤AB，当A,BC三点共线时，AC-BC取最大值AB，即5.23.【解答】13 6213309,c29,302a b c b c a b a=+===-，且≥，≤得≤≥，解得13962a ≤≤，所以393b 62a c a -+=-+的 取值范围是15133b 22a c -+-≤≤. 24. 【解答】连接BC ，易证△ABC ∽△CBD ，可得2BC AB BD =⋅，设AC=x ，在△ABC 中，22=64BC x -，所以2648x BD -=，所以288x AC BD x +=-++，所以当4x =时，取最大值4.25【解答】解：如图，作直径AC ，连接CP ，∴∠CP A ＝90°，∵AB 是切线，∴CA ⊥AB ，∵PB ⊥l ，∴AC ∥PB ，∴∠CAP ＝∠APB ，∴△APC ∽△PBA ，∴，∵P A ＝x ，PB ＝y ，半径为4，∴＝，∴y ＝x 2，∴x﹣y＝x﹣x2＝﹣x2+x＝﹣（x﹣4）2+2，当x＝4时，x﹣y有最大值是2，故答案为：2．26.【解答】过点H作BH⊥MC，易证△BHC∽△CNM，设CM=x，MN=y，由△BHC∽△CNM可得BC CHMC MN,代入可得y＝x2，所以CM-MN= x﹣y＝x﹣x2＝﹣x2+x＝﹣（x﹣4）2+2，当x＝4时，x﹣y有最大值是2.27.【解答】解：连接PM、PN．∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°，∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°，∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，∴∠CPM＝∠APC＝60°，∠EPN＝∠EPB＝30°，∴∠MPN＝60°+30°＝90°，设P A＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝（4﹣a），∴MN＝＝＝，∴a＝3时，MN有最小值，最小值为2，故答案为2．28. 【解答】如图3，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．可证得，△AEP≌△ADB，∴∠AEP ＝∠ADB ＝120°，∴∠OEF ＝60°，∴OF ＝OA ＝3，∴点P 在直线EF 上运动，当OP ⊥EF 时，OP 最小，∴OP ＝OF ＝则OP 的最小值为．29. 【解答】考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显． 当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =． M A BCD D C B A M问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，则AD +BD=DM+BD ≥BM=1030. 【解答】连接AC ，在AC 取一点M 使得2(2÷CM r BC =)，易证得 △CBM ∽CAB 5=AB BM ，所以5=OB AB BM OB OM +≥，当O 、B 、M 三点共线时取最小值，由于点M 坐标为（3,4），OM=5，所以最小值为5.31. 【解答】13=3)3AC BC AC BC ++（,构造1sin =3α，故1tan =22α，取点D （1,0），连接BD ，作CH ⊥BD ，故1=3BC CH ，所以13=3)AC CH 3AC BC AC BC ++=+（≥AH ，当AH 垂直于BD 时，取最小值，由等积法可求得垂直时，AH 的最小值为423，所以3AC BC +的最小值为42，由相似可得此时点C 的坐标为2(0,)4.。