第5章 5 分布积分法

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注2:分部积分法是基本积分法之一,常用于被积函数是两 种不同类型函数乘积的积分
f(x)g(x)dx.
这类积分在具体计算过程中,如何正确地选定u和v却显得 非常重要.一般说来要考虑以下两点:
(1). V要容易求得;
(2). v d u 要比 u d v 容易积出.
udvuvvdu
证 由 d(uv)=vdu+udv, 得 udv= d(uv)–vdu ,
对此式两边同时求不定积分, 得
大学数学教研室 2019年6月17日1时5分
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udvuvvdu uvdxuvvudx
注1:不定积分 u d v 不易计算, 而不定积分 v d u 易于计算,
则可采用分部积分公式,使计算大为简化.
例1 求 xcos xdx
解 令 ux, cx o d d s s x i x d nv
xcosxdxxdsinxxsix nsix ndx
x sx ic n x o C . s
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5-5 分部积分法
一.分部积分法 二、小结
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一.分部积分法
直接积分和换元积分法可以解决大量的不定积分的计算问
题;但对形如ln x d x ,a rc ta n x d x ,e xs in x d x等类型的不定积分,
采用这两种方法却无法.换元积分法是在复合函数求导法则 的基础上得到的,下面利用两个函数乘积的求导法则来推得 分部积分法. 定理 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续的导数,则

【例 1】
=
【例 2】 【解 】
1 a
∫
f ′( ax + b )d ( ax + b ) =
1 f ( ax + b ) + c a
∫ xf ′′( x )dx ∫ xf ′′( x )dx = ∫ xdf ′( x ) = xf ′( x ) − ∫ f ′( x )dx
= xf ′( x ) − f ( x ) + c
∫
【注意】 把 注意】
∫
f ( x )dx = x 2 + c 的 x 同时更换为 1 − x 2
得
∫
f (1 − x 2 )d (1 − x 2 ) = (1 − x 2 ) 2 + c
11 30
【练习 1】设
【解 】
∫ f ( x )dx = x + c ，则 ∫ f (1 − x )dx = （
13 30
教材习题中较难的积分题目解答
[1]
∫
a+ x dx a− x
【解】 原式 =
∫
∫
a+ x a −x dx
2 2
dx
+ 1 2
=a
a2 − x2
∫
2 xdx a2 − x2
【相关题】经过四则运算或利用恒等式可积出来的题目有： 相关题】经过四则运算或利用恒等式可积出来的题目有：
x 1 d (a 2 − x 2 ) = a arcsin − a 2 a2 − x2 x = a arcsin − a 2 − x 2 + c a
= −(1 − x ) + c = x + c1
）
∫ f (1 − x )dx = − ∫ f (1 − x )d (1 − x ) ∫

n 102 sin n2xdx n 102 sin n xdx
n 1In2 n 1In
In
n
n
1
I
n2
,
积分递推公式.
预科部：melinda
In2
n n
3 2
In4
,
,
直到
In
的下标 n 递减
到0或1为止.于是
I2m
2m 1 2m
2m 2m
3 2
2m 2m
5 4
...5 6
3 4
1 2
I0
I 2 m1
2m 2m
1
2m 2 2m 1
2m 2m
4 3
... 6 7
4 5
2 3
I1
m 1,2,3,...
预科部：melinda
I0
2
0
sin
0
xdx
2
, I1
2
0
sin
xdx
1
In
2
0
sin
n
xdx
n
n
1 n 1
n n n
3 2 3
... ...
3 4 4
1 2 2
，n为正偶数，
定积分的分部积分法
一、分部积分法 二、例题
预科部：melinda
一、分部积分法
1.分部积分公式 设函数 u ux,v vx
在a,b 上具有连续导数 u,v, 则
b
a
uvdx
uv
b a
b
a
uvdx；
或
b
a
udv
uv
b a
b
a
vdu
2.说明

x e sin xdx.
x x e sin x d x sin x d e
e x sin x - e x d(sin x)
x x e sin x cos x d e e sin x - e cos xdx x x
e x sin x - (e x cos x - e x d cos x )
这两个公式称为分部积分公式.
•分部积分过程
,
uv vdx dx udv uv- vdu uv d uv uv u vdx vdx .. uv vu x udv u vdu u
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - vu dx = 例1 求 x cos xdx. 解
例5 (3) 求 arccos xdx x arccos x - xd arccos x
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - uv dx =
1 1 1 2 2 2 1 例3 求 x ln xdx ln xdx x ln x - x dx 例4 2 2 2 x 1 ln xdx 2 1 x 2 ln x - 1 x 2 1 dx x ln xdx 例 4 解：原式 = 2 2 2 x
内容小结
1、分部积分公式：
u v dx u dv u v - v du
2 、分部积分： uvdx uv - vudx中u, v的确定原则：
“反对幂指三” , 前 u 后
1 x 2 arctan x - 1 x 1 arctan x C . 2 2 2
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - uv dx =