数理方程试卷A

北 京 交 通 大 学2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ）（参考答案）学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __一、 计算题（共80分，每题16分） 1． 求下列定解问题（15分）2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分）3． 设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。

初速度为零，又没有外力作用。

求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。

[ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求出波动方程的通解。

5． 用分离变量法解下列定解问题[ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。

][ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n πsin ，其解可以表示成把原问题中非齐次项t x t x f l a l ππ22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数因此有利用参数变易法，有 于是6． 用Bessel 函数法求解下面定解问题[ 解 ] 用分离变量法求解。

令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得以及 设0ρβλn n =为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为问题（I ）的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故于是最后得到原问题的解是二、 证明题（共2分，每题10分） 7． 证明平面上的Green 公式其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分。

[证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数，n 为C 的外法线方向，其方向余弦为βαcos ,cos ，则有再设u,v 在D 内有二阶连续偏导数，在D+C 上有一阶连续偏导数，令 得到交换u,v ，得到上面第二式减去第一式，得到 证毕。

200__～200__学年第___学期《数理方程》期末模拟试卷1 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分一、 选择题(每题只有一个正确答案， 每小题4分，共28分）1、34233(,,)v v v xyv g x y z x x y z ∂∂∂+++=∂∂∂∂ 是( )偏微分方程 A 、 一阶 B 、二阶 C 、 三阶 D 、 四阶 2、2(,)tt xx u a u x t ϕ-= (其中0>a ) 属于( )型偏微分方程 A 、 抛物 B 、双曲 C 、 椭圆 D 、 混合 3、在用分离变量法求解定解问题200,0,0|0,|0|()t x x x x xl t u a u x l t u u u x ϕ===⎧=<<>⎪==⎨⎪=⎩时，得到的固有函数系为( )A 、,...2,1,sin=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π B 、,...2,1,0,cos=⎭⎬⎫⎩⎨⎧n x l n π C 、(21)cos,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭D 、 (21)sin,1,2,...2n x n l π-⎧⎫=⎨⎬⎩⎭4、下列方程是非线性偏微分方程的是（ ） A 22()()sin u u x x y 抖+=抖 B (,)u u f x y x y抖+=抖 C 22(,)(,)cos u u a x t b x t x x t 抖+=抖 D 3433(,,)v v v g x y z x x y z∂∂∂++=∂∂∂∂ 5、对Laplace 变换的性质下列式子错误的是（ ） A 22[sin ](Re 0)L t p p ww w =>+B []2[][]L f g L f L g p *=?C 0[()]()(Re )p L f t e F p p tt g --=>D 0000[()]()(Re Re )p t L e f t F p p p p g =->+6、在弱相等意义下，对d 函数的说法错误的是（ ） A ()()x x d d =- B ()x x x d = C 1()()(0)||ax x a a d d =? D ()()()()x x a a x a j d j d -=-7、给出未知函数 u 在区域Ω的边界Γ上的值0,),,(|≥Γ∈=Γt M t M u μ 的边界条件，称为第( )类边界条件。

2013-20141 数学物理方程（A ）数理学院 信计101-2、应数（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一．填空题（每小题3分，共15分）1．已知非齐次波动方程22222(,)(0,0)(0,)(,)0(0)(,0)(,0)0(0)u ua f x t t x l t x u u t l t t xx u u x x x l t ⎧∂∂=+><<⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪∂⎪==<<⎪∂⎩，若);,(τt x W 是初边值问题22222(,0)(0,)(,)0()(,)0,(,)(,)(0)W W a t x l t x W W t l t t x x W W x x f x x l t τττττ⎧∂∂=><<⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪∂⎪==<<⎪∂⎩的解（其中τ为参数），则由齐次化原理可得=),(t x u 就是原问题的解；2．已知1()f x 与2()f x 的傅里叶变换存在，则12()F f f *= ；3．偏微分方程22222222u u u ut x y z ∂∂∂∂=++∂∂∂∂的特征方程为 ；4．当 时，方程22220u uy x y∂∂-=∂∂的类型为双曲型；5．作未知函数的线性变换 可将方程组u u v x t x xv u v x t x x ∂∂∂⎧=+⎪⎪∂∂∂⎨∂∂∂⎪=+⎪∂∂∂⎩化为对角型方程组。

二．单项选择题：（每小题3分，共15分）1．对于一维波动方程下列结论正确的是：（ ）)A 左端点必须是第一类边界条件； )B 两个端点必须是同类边界条件； )C 第三类非齐次边界条件表示弹性支撑端； )D 上述说法都不对。

课程考试试题学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:2．将定解问题2222212(,)(0,0)(0,)(),(,)()0(,0)(),(,0)()0u u a f x t t x l t x uu t t l t t t x x u u x x x x x l t μμϕψ⎧∂∂=+><<⎪∂∂⎪∂∂⎪==>⎨∂∂⎪∂⎪==<<⎪∂⎩的边界条件齐次化，令),(),(),(t x W t x V t x u +=，则（ ）)A x lt t t t x W )()()(),(121μμμ-+=； )B )()(),(12t x t t x W μμ+=；)C )())((),(21t l x t t x W μμ+-=； )D l xt l x t t t x W 2)(2))()((),(1212μμμ+-=。

南昌航空大学2009—2010 学年第二学期期末考试课程名称：数 理 方 程 闭 卷 A （B ）卷 分钟一、 解答题（共40 分）1、 当n 为正整数时，讨论()n J x 的收敛范围。

（5分）2、解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为：0t u x ==，0x u x=∂=∂，0x lu x=∂=∂ （10分）3、有一均匀杆，只要杆中任一小段有纵向位移或速度，必导致邻段的压缩或伸长， 这种伸缩传开去，就有纵波沿着杆传播。

试推导杆的纵振动方程。

（10分）4、写出01(),(),()n J x J x J x （n 是正整数）的级数表示式的前5项。

（15分）二、计算题（共60分）1、求方程：22,1,0ux y x y x y∂=>>∂∂，满足边界条件： 20y u x ==，1cos x u y ==的解。

（10分）2、就下列初始条件及边界条件解弦振动方程：(,0)0,0u x x l =≤≤；(,0)(),0u x x l x x l t∂=-≤≤∂； (0,)(,)0,0u t u l t t ==> （15分）3、试确定下列定解问题：22200(),0,0,,,0,(),0x x l t u ua f x x l t t x u A u B t u g x x l ===⎧∂∂=+<<>⎪∂∂⎪⎪==>⎨⎪=≤≤⎪⎪⎩（15分） 解的一般形式。

4、（20分）求下列柯西问题：22222200280,0,3,0,y y u u uy x x x y y u u x x y ==⎧∂∂∂+-=>-∞<<+∞⎪∂∂∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解。

（20分）。

数学物理方程与特殊函数09级试题选讲一、求解定解问题22200,0,(0,0)x x lt u u a t x u u x l t xx u x ===춶=ﶶﶶï==<<>í¶¶ïï=ïî)()(),(t T x X t x u =)()()()(2t T x X a t T x X ¢¢=¢22)()()()(b -=¢¢=¢x X x X t T a t T 0>b 设，代入原方程得，则)()(22=+¢t T a t T b 0)()(2=+¢¢x X x X b 则，0x x lu u xx==¶¶==¶¶'(0)'()0X X l Þ==又因为得固有值问题2()()0'(0)'()0X x X x X X l b ¢¢ì+=í==î22)(ln pb =()cos 0,1,2,n n n xX x A n lp ==则固有值固有函数，数学物理方程与特殊函数09级试题选讲)()()(2=+¢t T la n t T p 2()()n a tl n T t C ep -Þ=2()01(,)cosn a tln n n x u x t C C elp p ¥-==+å从而0t ux==有因为01cosnn n x x C C lp ¥==+å所以220022[(1)1]cos 12n ln l n x l C x dx l l nl C xdx lp p --====òò2()2212(1)1(,)cos 2n a ntln l l n xu x t enlp p p¥-=--=+å数学物理方程与特殊函数09级试题选讲二、求解定解问题2222,,0(),0(),0(0)(0)t x t x u ut x t t t x ux x u x x =-=춶=-<<>ﶶïï=F £íï=Y ³ïïF =Y î解：特征变换为x t x tx h =-ìí=+î2u x h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为00(),()()(),()()2222t xt x ux u x u u h x x h x h x h=-====F =Y +-Þ=F =F =Y =Y 又因为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲1212(0)()()2()(0)()2f f f f h h xx +=Y +=F 2112()()(0)2()()(0)2f f f f h h x x ì=Y -ïïÞíï=F -ïî12()()((0)(0))22()()(0)22u f f x t x tx h=F +Y -+-+=F +Y -F 则它的解为三、求解定解问题)0,(,0,3,03202022222>+¥<<-¥ïïïîïïíì=¶¶==¶¶-¶¶¶+¶¶==y x y ux u y uy x u x u y y 解：原方程的特征方程为22()23()0dy dydx dx --=13C x y +=2C x y +-=，则特征线为3x y x yx h =-ìí=+î特征变换20ux h¶=¶¶原方程化为12()()u f f x h =+则它的通解为数学物理方程与特殊函数09级试题选讲12(,)(3)()u x y f x y f x y =-++即203,y y u ux y==¶==¶又因为21212(3)()3(3)()0f x f x xf x f x ì+=í¢¢-+=î则可得C x x f¢-=2149)3(C x x f ¢+=2243)(C x x f¢-=2141)(222234)(34)3(),(yx y x y x y x u +=++-=22()()C Du vv u u v d v u ds n n s ¶¶Ñ-Ñ=-¶¶òòò 四、证明平面上的格林公式其中n 为曲线的外法线向量。

u = f( − 3 ) + g(x + y) (−3 ) + ( ) = 3 代入边界条件得： (−3 ) + ( ) = 0 (2)式积分得： (−3 ) + ( ) = 3 −
(−3 ) + ( ) = 0 (3)
求得： 所以：
( )= ( )= u= ( + ) + ( −3 )
14.解下列定解问题. = , > 0, − ∞ < x < +∞ (2). (0, ) = 特征方程： 特征线 f(x + at) f(x) = u=( + )
∫ ( )
[∫ ( ) +
∫ ( )
+ ]
( ) ( )
( )]
+ ( )+
(2).
+ ( , ) = ( , ) ,u = u(x, y)
直接套用公式 6. 推导杆的微小纵振动方程 解： 设细杆截面积 S，密度 ，杨氏模量 E 取一小段 dx, 用牛顿第二定律得：
E S u ( x dx, t ) u ( x, t ) 2u ES Sdx 2 x x t
数理方程 A 参考答案 中国科学技术大学
代入原方程得：
u 1, u f ( )
u xy f ( x 2 y 2 ) 15.一端固定的半无界弦的定解问题. = , > 0, >0 ( , 0) = 0 (0, ) = sin , (0, ) =
若为cos ,则 =? 解： 为满足边界条件作以下延拓： φ(x) = sin , 由达朗贝尔公式得： u(t, x) = [sin( +
d 2 R 2 dR )0 dr 2 r dr

utt a2uxx,(0 x l,t 0), u(0,t) 0,u(l,t) 0,
u(x,
0)
sin
x
l
,
ut
(x,
0)
sin
x
l
.
• 三. 求解问题
utt a2uxx,(0 x l,t 0), u(0,t) 0,u(l,t) 0,
u(x,
0)
sin
x
l
,
ut
l
0),
u(0,t) 0,u(l,t) 0,(t 0),
u(x,0) 0,ut(x,0) 0,(0 x l).
• 四. 用固有函数法求解 utt
a2uxx
tsinx,(0 x l,t
l
0),
u(0,t) 0,u(l,t) 0,(t 0),
u(x,0) 0,ut(x,0) 0,(0 x l).
固有函数 Rm(r)J0(m (0)r).
Tm(t)Cme(m (0)a)2t.
u(r,t)
Ce J( (m (0)a)2t
m
0
m (0)r).
由 m 1
u(r,0) C mJ0( m (0)r)1r2,
得 Cm0 1r(1 m 1 2 1rJ212)(J0m ((0))m (0)r)dr( m (4 0)J)2 2(J12m ((0))m (0)).
0)
u(r,0) 1 r2.
答（p122例1）：
u(r,t)R (r)T(t).
Ta2T 0.
r2RrR(r2 02)R0,
R(1) 0,| R(0)|.
R (r) C J 0 ( r) D Y 0 ( r).D 0.
固有值 m (m (0 )) 2 ,m (0 ) 为 J 0 (x ) 正 零 点 .

u x=0 = 0
t =0
=
sin
πx 10
,
0 < x < 10,t > 0
u x=10 = 0 ∂u = 0 ∂t t=0
解 设该定解问题的解为 u( x,t ) = X ( x )T( t )
则 T ′′( t ) = X ''( x ) = −λ T(t ) X( x )
T ′′( t ) + λT ( t ) = 0
cr n + dr−n
∂u

∂t
=
a2
∂2u ∂x2
+
A
7、定解问题


∂u = B ∂x x=0

u t =0
= cos π x l
0 ≤ x ≤ l,t ≥ 0
∂u = C ∂x x=l
，A, B,C 均为常数，
要想选用函数代换 u(x,t) = V (x,t) +W (x) 将方程和边界条件都化
阶贝塞尔函数
Jn (x)
=
∞
( −1)m
m=0
xn+2m 2n+2m m! Γ( n +
m +1)
，
∫R 0
rJ
n
(
µm(n R
)
r
)
J
n
(
µm(n R
)
r)dr
=
R2 2
J
( 2
n−1
µ(mn
)
)=
R2 2
J
( 2
n+1
µ(mn
)
)。
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13、勒让德方程可表示为 ( 1 −

北京交通大学硕士研究生2010-2011学年第一学期《数学物理方程》期末试题（A 卷）（参考答案）学院专业 学号 姓名题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 分值 10 15 15 20 15 15 10 100 得分 阅卷人1、 （10分）试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为：222211x u x uE x h x h t ρ⎡⎤∂∂∂⎛⎫⎛⎫-=-⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦其中E 是圆锥体的杨氏模量，ρ是质量密度，h 是圆锥的高（如下图所示）：【提示：已知振动过程中，在x 处受力大小为uESx∂∂，S 为x 处截面面积。

】 【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是1r 和2r ，如图所示。

于是，我们有2222211212(,)(,)(,)()()()d ()tan ((d ))tan u x dx t u x t u x t E r E r r xx x t r h x r h x x ππρπαα∂+∂∂-=∂∂∂=-=-+ 上式化简后可写成2222d 2(,)(,)(,)[()|()|]()d x x x x x u x t u x t u x t E h x h x h x x x x t ρ=+=∂∂∂---=-∂∂∂从而有2222(,)(,)[()]()u x t u x t E h x h x x x tρ∂∂∂-=-∂∂∂ 或成22222(,)(,)[(1)](1)x u x t x u x t a x h x h t ∂∂∂-=-∂∂∂ 其中2Ea ρ=，证明完毕。

2、 （20分）考虑横截面为矩形的散热片，它的一边y b =处于较高温度U ，其它三边0y =，0x =和x a =则处于冷却介质中，因而保持较低的温度0u 。

试求该截面上的稳定温度分布(,)u x y ，即求解以下定解问题：2222000000,0,0;|,|,0;|,|,0.x x a y y bu ux a y b x y u u u u y b u u u U x a ====⎧∂∂+=<<<<⎪∂∂⎪⎪==<<⎨⎪==<<⎪⎪⎩【提示：可以令0(,)(,)u x y u v x y =+，然后再用分离变量方法求解。

一. (10分)填空题1.初始位移为)(x ϕ,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题:2.为使定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=======0,00002t l x x x xx t u u u u u a u （0u 为常数）中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w3.方程0=xy u 的通解为4．只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题.5．方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为二. (10分)判断方程02=+yy xx u y u的类型，并化成标准形式．三. (10分)求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<∞-===x u x u t x u u t t t xx tt cos ,0,,4020四. (15分)用分离变量法解定解问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====><<=====.0,0|,00,0,0002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u五. (15分)解非齐次方程的混合问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤=≥==><<+====πππx u t u u t x x u u t x x xx t 0.00,0,00,0,00六. (15分)用积分变换法解无界杆热传导问题⎪⎩⎪⎨⎧=>+∞<<∞-==).(0,,02x u t x u a u t xx t ϕ七. (15分)用静电源像法求解上半平面0>y 的狄利克雷问题⎪⎩⎪⎨⎧=>=+=).(|0,00x f u y u u y yy xx八. (10分)证明调和方程的狄利克雷内问题的解如果存在，则必是唯一的，而且连续地依赖于所给的边界条件f ．。

数理方程试题一．判断题（每题2分）.1. 2u u x y x y x+=是非线性偏微分方程.( )2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( )3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式，则 ( )4. (,)0xy f x y =的解是调和函数.( )5. **12u u 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12u u -是0u ?= 的解.( )二．填空题（每题2分）.1. ()sin t xx yy u u u xt -+= 是____________型偏微分方程.2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________.3. 2x 的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________.4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________.5. []()____________.at m L e t s = 三．求解定解问题（12分）20sin ;0,0;0.t xx xx xx lt u a u A t u u u ω===-====四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分）（1）1,0,0;1,1.xy x y u x y uy u===>>=+=（2） 00230, 1.tt t y y y e y y =='''+-='==五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。

（12分）六．设有长为a ，宽为b 的矩形薄板，两侧面绝热，有三边的温度为零，另一边的温度分布为x ，内部没有热源，求稳定状态时板内的温度分布。

六、 （13 分）用 laplace 变换法求解定 2u 2 xy x y, u |x 1 sin y 2 u | y 0 x
y 0, x 1
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
注： 1.试题请按照模板编辑，只写试题，不留答题空白； 2.内容请勿出边框。
n 2 ) , n 0,1, 2,... l (2n 1) 2 ] , n 1, 2,... D、 [ 2l
B、 (
二、填空题(每小题 4 分，共 24 分) 1、一个定解问题，如果解存在、唯一、稳定，则此定解问题称为 ) 2、方程 uxx 4uyy 0 化标准型时，所做的两个特征变换为 3、 L [
1 ( x) |a|
(a 0)
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊
C 、弱相等意义下 －函数是偶函数 D、Green 函数具有对称性 7、设球域 B(O, R) 内一点 M 0 ，则用静电源像法求格林函数时，关于像点 M ' 的说法正确的是 （ ）
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
A、 M 0 , M ' 的关系满足
OM 0 R R ，且 M ' 处放置负电荷，带电量为 OM 0 R M 0M '
1
。
1 ] ( s 2)( s 1)
（其中 L 表示 Laplace 变换）
4、Green 第二公式为
uv ____ dV u n v n ds
S
v
u
〇
┊┊┊┊┊┊┊┊┊
w s + w2
2
(Re s > 0)
B、 L[ f g ] L[ f ] L[ g ]
┊┊┊┊┊┊┊┊┊ ┊
三、 （9 分）利用达朗贝尔公式求解半无界弦问题

第一部分分离变量法一、(1) 求解特征值问题(2) 验证函数系关于内积正交，并求范数二、用分离变量法求解定解问题的解的表达式，写出具体的分离变量过程. 进一步，当时，求和时的值.三、（方程非齐次的情形）求定解问题四、（边界非齐次的情形）求定解问题五、（Possion方程）求定解问题六、求定解问题：注意：1、考试只考四种边界条件，即还有以下三种：2)3)4)2、以上均为抛物型方程，还可以考双曲型方程（相应的初值条件变为两个）和椭圆型方程（无初值条件）；3、考试中除特别要求（如以上的第二题）外，不要求必须用分离变量法、特征函数法等方法求解，你可以自己选择方法（如上面的第三题）可以用Laplace 变换求解。

第二部分 积分变换法一、请用下面三种方法求解无穷限波动问题()()2222200,, 0,,t t u u a x t t x u x x u x x t ϕψ==⎧∂∂=-∞<<∞>⎪∂∂⎪⎪=-∞<<∞⎨⎪∂⎪=-∞<<∞∂⎪⎩ (1) 用积分变换法推导达朗贝尔公式(2) 用特征线法推导达朗贝尔公式 (3) 用降维法推导达朗贝尔公式二、用积分变换法求解定解问题22301,1, 0,1cos ,0y x u x y x y x y u x x u y y ==⎧∂=>>⎪∂∂⎪⎪=≥⎨⎪=>⎪⎪⎩注意：只考应用Fourier 变换和Laplace 变换求解方程的问题第三部分 特征线问题一、判断方程的类型.二、从达朗贝尔公式出发，证明在无界弦问题中(1) 若初始位移()x ϕ和初始速度()x ψ为奇函数，则(),00u t = (2) 若初始位移()x ϕ和初始速度()x ψ为偶函数，则(),00x u t = 三、请用下列方法求解定解问题(1) 用特征线法求解 (2) 用积分变换法求解第四部分 Legendre 多项式一、将()2f x x =在区间()1,1-内展成勒让德多项式的级数二、在半径为1的球内求调和函数，使1321cos r u θ==+（提示：边界条件仅与θ有关，解也同样）第五部分 Green 函数20、证明：()()0lim x x εεδρ→=（弱），其中 ()1,20,x x x εερεε⎧<⎪=⎨⎪≥⎩21、证明：()sin limN Nxx Nxδ→+∞=（弱） 22、证明：当时，弱收敛于23、求()()0x δξξπ-<<在()0,π上的余弦级数，并证明该级数若收敛于()x δξ- 24、求()()0x δξξπ-<<在()0,π上的正弦级数，并证明该级数若收敛于()x δξ-赠送相关资料考试答题的技巧拿到试卷之后，可以总体上浏览一下，根据以前积累的考试经验，大致估计一下试卷中每部分应该分配的时间。

一、（15分）用达朗贝尔公式求解定解问题：�ðð2uu ððtt 2=16ðð2uu ððxx 2，−∞<xx <+∞，tt >0uu |tt=0=3xx 2，ððuu ððtt |tt=0=9xx 解：∵uu (xx ,tt )=12[φφ(xx +aatt )+φφ(xx −aatt )]+12aa ∫ψψ(ξξ)ddξξxx+aatt xx−aatt∴φφ(xx )=3xx 2，ψψ(xx )=9xx , aa =4 ∴uu (xx ,tt )=12[3(xx +4tt )2+3(xx −4tt )2]+18∫9ξξddξξxx+4tt xx−4tt =3xx 2+9xxtt +48tt 2二、（15分）用分离变量法求解定解问题：⎩⎪⎨⎪⎧ðð2uu ððtt 2=aa 2ðð2uu ððxx 2，0<xx <ll ，tt >0uu |xx=0=0，uu xx |xx=ll =0uu |tt=0=5，uu tt |tt=0=3ssss ss 3ππxx 2ll 解：∵令uu (xx ,tt )=XX (xx )TT (tt )∴TT ,,(tt )aa 2TT (tt )=XX ,,(xx )XX (xx )=−λλ ∴�TT ,,(tt )+λλaa 2TT (tt )=0…①XX ,,(xx )+λλXX (xx )=0…②∵uu |xx=0=0，uu xx |xx=ll =0 ∴XX (0)=XX ,(ll )=0 （1）当λλ<0时，XX (xx )=AAee √−λλxx +BBee −√−λλxx ∵XX (0)=XX ,(ll )=0，则AA =BB =0 ∴λλ不能小于零。

精品文档第一部分分离变量法一、 (1)求解特征值问题(2)验证函数系关于内积正交，并求范数二、用分离变量法求解定解问题的解的表达式，写出具体的分离变量过程. 进一步，当时，求和时的值 .三、（方程非齐次的情形）求定解问题四、（边界非齐次的情形）求定解问题五、（ Possion方程）求定解问题六、求定解问题：注意：1、考试只考四种边界条件，即还有以下三种：2)3)4)2、以上均为抛物型方程，还可以考双曲型方程（相应的初值条件变为两个）和椭圆型方程（无初值条件）；3、考试中除特别要求（如以上的第二题）外，不要求必须用分离变量法、特征函数法等方法求解，你可以自己选择方法（如上面的第三题）可以用Laplace 变换求解。

第二部分积分变换法一、请用下面三种方法求解无穷限波动问题2 u a22u,x, t 0t2x2u t0x,xux,xt t0(1)用积分变换法推导达朗贝尔公式(2)用特征线法推导达朗贝尔公式(3)用降维法推导达朗贝尔公式二、用积分变换法求解定解问题2u x2 y,x1, y 0x yx3 ,x1uy0u x1cos y,y0注意：只考应用 Fourier 变换和 Laplace变换求解方程的问题第三部分特征线问题一、判断方程的类型 .二、从达朗贝尔公式出发，证明在无界弦问题中(1)若初始位移x 和初始速度x 为奇函数，则u t,00(2)若初始位移x 和初始速度x 为偶函数，则u x t,00三、请用下列方法求解定解问题(1) 用特征线法求解(2) 用积分变换法求解第四部分Legendre 多项式一、将 fxx 2 在区间 1,1 内展成勒让德多项式的级数二、在半径为 1的球内求调和函数，使u r 1 3cos 21（提示：边界条件仅与有关，解也同样）第五部分 Green 函数20、证明：x limx （弱），其中1, xx20,x21、证明： limsin Nxx （弱）NNx22、证明：当时，弱收敛于23、求 x在 0, 上的余弦级数，并证明该级数若收敛于 x24、求x 0 在 0,上的正弦级数，并证明该级数若收敛于x。

2.说明勒让德多项式 的奇偶性------------------------------------------------
-------------------------。
3.假设细杆两端的边界条件是： ，请给出变换： ，使 满足齐次边界条件。
4.考虑特征值问题。
其特征值__________________________,特征函数为__________________________
四域上的定解问题
六.（5分）证明下列特征值问题的特征值
课程数学物理方程卷A
题号
一
二
三
四
五
六
七
得分
一.填空(每题5分,共30分)
1.长为L的柔软细弦在力 的作用下做微小横振动，则弦振动方程为---------------------------。又若弦的左端固定，右端为自由端，则边界条件为-------------------------------------------。
5、积分 =____________________________。
6、方程 通解__________________________
二．（每题5分,共20分）（1）求解下列柯西问题
（2）计算积分
（3）将函数 按贝塞尔函数系 （ ）展成贝塞尔级数。
(4）求解无限长弦振动问题
三．(15分)求解下列定解问题

2011-2012学年第二学期《数学物理方法》试卷A 答案一、选择题1. C2. D3. C4. A5. C 二、填空题1、 ()11,:23,03535x y y x y y ⎧⎫+≤≤+>⎨⎬+-⎩⎭或过(2,0)点以35+为斜率的直线和过(3,0)点以35-为斜率的直线所围成的上开口梯形区域.2、 ()2000,0|0,|00|0t xx x x x l t u a u x l t u u t u x x l ϕ===⎧=<<>⎪==>⎨⎪=<<⎩.3、 ()()()2233y x AJ x BY x =+．4、114r r π⎛⎫ ⎪⎝⎭或，111ln ,ln 2r r π． 5、()11()n n J x J x -++=()()()212101221!mm n n m n m n n J x x x m n m ∞+-+-=⎛⎫- ⎪ ⎪Γ++⎝⎭∑或．三、（本题15分）利用分离变量法求解如下定解问题：22222000,0,0|0,|0,0|,|0,0x x l t t u u a x l t t x uut x x uu x x l t====⎧∂∂=<<>⎪∂∂⎪⎪∂∂==>⎨∂∂⎪⎪∂==<<⎪∂⎩第一步：分离变量 (5分) 设)()(),(t T x X t x u =，代入方程可得''''''2''2()()()()()()()()X x T x X x T t a X x T t X x a T x λ=⇒==-，其中λ为常数。

将)()(),(t T x X t x u =代入边界条件得,0)()()()0(''==t T l X t T X 从而可得特征值问题''''()()0(0)()0X x X x X X l λ⎧+=⎪⎨==⎪⎩ 第二步：求解特征值问题 (5分) 1) 若0<λ，方程的通解形式为：xxBe Aex X λλ---+=)(由定解条件知0,0==B A ，从而0)(≡x X ，不符合要求。