抛物线中的定值、定点问题

最全总结之抛物线曲线定值问题
抛物线曲线定值问题是高等数学中重要的一节内容。

下面将从以下四个方面对此问题进行全面总结：
抛物线的基本概念
抛物线是一条平面曲线，其形状如同一个开口朝上或朝下的弯弓。

它可以用方程 $y=ax^2+bx+c$ 来表示。

抛物线的定点问题
当抛物线经过给定的点 $(x_0,y_0)$ 时，可以通过对抛物线方程进行替换和求导等计算得到关于曲线参数 $a,b,c$ 的表达式，进而解出曲线的定值。

抛物线切线问题
抛物线上任一点的切线斜率为该点横坐标下的导数值
$y'=2ax+b$。

因此可以根据给定的点求出曲线斜率，并结合该点坐标得到切线方程。

特别地，当点为顶点时，切线是水平的。

抛物线焦点问题
抛物线焦点是指到该曲线上任意一点距离等于该点到直线 $y=-\infty$ 的垂线距离的点。

使用 $F(x_F,y_F)$ 表示焦点，通过对抛物线方程进行平移和旋转后，可以求得焦距 $FV=\frac{1}{4a}$ 和焦点坐标。

总之，只要掌握了抛物线的基本概念和相关计算方法，抛物线曲线定值问题就不是难题。

抛物线中的定值、定点问题抛物线中的定值、定点问题 例1 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的一条直线和此抛物线交于),(11y x A ，),(22y x B 两点，求证：221p y y -=.【规范解答】证法一：因直线AB 过焦点)0,2(p F ，可设其方程为2p my x +=，代入px y 22= 得)2(22p my p y +=，即.0222=--p pmy y 该方程的两根就2p my x +=是两个交点B A ,的纵坐标21,y y ，由韦达定理：221p y y -=.证法二：因B A ,在抛物线上，故可设).,2(),,2(222121y py B y p y A 又)0,2(p F ，故),,22(121y p p y FA -=),,22(222y p p y FB -=因B F A ,,三点共线，所以 122221)22()22(y p p y y p p y ⋅-=⋅- 移项分解因式得：0))((21221=-+y y p y y ，其中,21y y ≠故221p y y -=.证法三：如图1，过点F B A ,,分别作准线的垂线，垂足为.,,111F B A 要证明221p y y -=，只要证明.211111F F F B F A =⋅ 21,1∠=∠∴=AA AF ；同理.43∠=∠而011180=∠+∠BF B AF A （A A 1∥B B 1），故01804321=∠+∠+∠+∠，所以.90310=∠+∠01190=∠FB A .由直角三角形的性质得：.211111F F F B F A =⋅【回顾】（1）从解题方法来看，对于直线与圆锥曲线相交的问题，一般有“设线”（证法一）和“设点”（证法二）两种选择，但也可考虑通过定义用“几何方法”来解答（证法三）（特别是与焦点有关的问题）；（2）从解题细节来看，证法一选择设直线方程为2p my x +=而非)2(p x k y -=，为什么？首先，这样代入可消去x 直达目标221p y y -=，运算便捷；其次，本题中直线可能与y 轴平行而斜率不存在，但不可能与y 轴垂直，设2p my x +=省去了讨论的麻烦；证法二中用向量表达三点共线而没有使用斜率也有同样的考虑；（3）从知识内容来看，抛物线的方程和定义是解题的依据，韦达定理及三角形和向量的有关知识是解析几何的常用工具，而所证明的结论表明：对于抛物线而言，虽然过焦点的弦有无数条，但每一条焦点弦的两端到对称轴的距离之积总等于.2p “寓定于变”展示了几何图形的美妙和谐！借题发挥在证法一中若改变AB 直线的预设并在联立方程中消去y 后,观察21,x x 之积得：变式1 条件同例1，则4221p x x ==定值。

专题27：抛物线的定点问题1．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与C 交于A ，B 两点，AOB (点O 为坐标原点)的面积为2. （1）求抛物线C 的方程；（2）设不经过原点O 的直线l 与抛物线交于P ､Q 两点，设直线OP ､OQ 的倾斜角分别为α和β，证明：当4παβ+=时，直线l 恒过定点.2．已知点()0,1A -，()0,1B ，动点P 满足PB AB PA BA =⋅．记点P 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）设D 为直线2y =-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别是E ，F ．证明：直线EF 过定点．3．设抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，已知直线1l ：20mx y m --=，圆E ：222440x y x y +---=.（1）设直线1l 与圆E 的交点分别为P ，Q ，求当PQ 取得最小值时，直线1l 的方程；（2）若抛物线过圆E 的圆心，直线1l ，2l 过同一定点且与抛物线相交于A ，B 和C ，D 点，12l l ⊥，设M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，证明：直线MN 恒过定点.4．已知抛物线()21:20C y px p =>的焦点F 是椭圆222:21C x y +=的一个顶点.（1）求抛物线1C 的方程；（2）若点()1,2P ，M 、N 为抛物线1C 上的不同两点，且PM PN ⊥，问：直线MN 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y x =被抛物线2:2(0)C y px p =>截得的弦长为直线l 与抛物线C 相交于点M ，N ，点()1,2A ，且直线AM ，AN 的斜率之和为4.（1）求抛物线C 的方程；（2）求证：直线l 过定点，并求出定点坐标.6．已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，()02,A y 是E 上一点，且2AF =.（1）求抛物线E 的方程；（2）设点B 是E 上异于点A 的一点，直线AB 与直线3y x =-交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交抛物线E 于点M，证明：直线BM 过定点，并求出该定点坐标.7．在平面直角坐标系xOy 中，M 为直线3y x =-上的动点，过点M 作抛物线2:2C x y =的两条切线,MA MB ，切点分别为,,A B N 为AB 的中点.（1）证明MN x ⊥轴；（2）直线AB 是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.8．已知点1,0A ，E ，F 为直线1x =-上的两个动点，且AE AF ⊥，动点P 满足//EP OA ，//FO OP （其中O 为坐标原点）. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若直线l 与轨迹C 相交于两不同点M 、N ，如果4OM ON ⋅=-，证明直线l 必过一定点，并求出该定点的坐标.9．平面上动点M 到定点()1,0F 的距离比M 到直线2x =-的距离小1．（1）求动点M 满足的轨迹方程C ﹔（2）若A ，B 是（1）中方程C 表示的曲线上的两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点）．试问直线AB 是否经过定点，并说明理由． 10．设抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点()4,P m 是抛物线C 上一点，且5PF=．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若6AF BF +=，求证：线段AB 的垂直平分线过定点．11．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，()1,M t 是抛物线上一点，且32MF. （1）求抛物线C 的方程；（2）已知斜率存在的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若直线AF ，BF 的倾斜角互补，则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.12．在直角坐标系xOy 中，已知一动圆经过点()3,0，且在y 轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点3(,0)2作相互垂直的两条直线1l ，2l ，直线1l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线2l 与曲线C 相交于E ，F 两点，线段AB ，EF 的中点分别为M 、N ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.参考答案1．（1）24y x =；（2）证明见解析.【分析】（1）根据焦点,02pF ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求得点A ，B 的坐标，然后由1222AOB pS AB =⋅⋅=△求解；（2）易知直线l 的斜率存在，记为k ，设直线:l y kx m =+，与24y x =联立， 由tan OP k α=，tan OQ k β=，结合4παβ+=，由()tan tan tan 1tan tan 1OQ Q O P P O O k k B k k ααβαβ+++==-⋅⋅-14tan π== 求解.【解析】（1）因为焦点,02pF ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以点A ，B 的坐标分别为,2pp ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2p p ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以12222AOBpS p =⋅⋅=△， 故2p =.故抛物线C 的方程为24y x =. （2）由题设()11,P x y ，()22,Q x y ， 易知直线l 的斜率存在，记为k ，则设直线:l y kx m =+，与24y x =联立得2440ky y m -+=， 得124y y k+=，124my y k⋅=， 则()2221212121221422444y y m x x y y y y k k ⎡⎤+=+=⨯+-=-⎣⎦， 2221212244y y m x x k⋅=⋅=，121212164OP OQ y y k k k x x y y m ⋅=⋅==⋅，()()2112121112OP OQ x kx m x kx m y y k k x x x x +++=+=+ ()12121224k x m x x x x m++==.又知tan OP k α=，tan OQ k β=，()tan tan tan 1tan tan 1OQ Q O P P O O k k Bk k ααβαβ+++==-⋅⋅-， 41441m tan k mπ===-，解得44m k =+，所以直线():4444l y kx k k x =++=++，恒过定点()4,4-.【点评】 定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意． 2．（1）24x y =；（2）证明见解析.【分析】（1）把已知条件用坐标表示，并化简即得C 的方程； （2）设(),2D t -，()11,E x y ，()22,F x y ，利用导数得出切线,DE DF 的方程，由D 在切线上，从而可得直线EF 的方程，由直线方程可得定点坐标．【解析】（1）设(),P x y ，则(),1PA x y =---，(),1PB x y =--，()0,2AB =，()0,2BA =-，所以，PB AB PA BA =⋅()10,2y AB =+=，化简得24x y =．所以，C 的方程为24x y =．（2）由题设可设(),2D t -，()11,E x y ，()22,F x y ， 由题意知切线DE ，DF 的斜率都存在，由24x y =，得24x y =，则2y x '=， 所以12DE x k =， 直线DE 的方程为()1112x y y x x -=-，即211122x x y y x -=-，①因为()11,E x y 在24x y =上，所以2114x y =，即21122x y =，②将②代入①得11220x x y y --=， 所以直线DE 的方程为11220x x y y --= 同理可得直线DF 的方程为22220x x y y --=． 因为(),2D t -在直线DE 上，所以11240tx y -+=， 又(),2D t -在直线DF 上，所以22240tx y -+=， 所以直线EF 的方程为240tx y -+=， 故直线EF 过定点()0,2．【点评】 本题考查直接法求动点轨迹方程，考查抛物线中的直线过定点问题，解题方法是设出切线坐标，由导数的几何意义写出切线方程，再由D 在切线上，根据直线方程的意义得出直线EF 方程，然后得定点坐标．3．（1）220x y --=；（2）证明见解析.【分析】（1）先判断直线1l ：20mx y m --=过定点()2,0T ，由垂径定理表示出PQ =PQ ET ⊥时，当d 最大时，PQ 最小，求出PQ斜率m ，得到直线方程；（2）联立方程组表示出点M 、N ，进而表示出直线MN 的方程，利用点斜式方程说明直线过定点.【解析】 （1）由题意得直线1l ：20mx y m --=过定点()2,0T ， 由222440x y x y +---=得()()22129x y -+-=. 因为()()2221029-+-<，所以点()2,0T 在圆E 内.设圆心()1,2到直线1l 的距离为d ，PQ =d 最大时，PQ 最小，此时PQ ET ⊥，所以112PQ ETm k k ==-=，此时直线1l 的方程为220x y --=.（2）证明：因为抛物线过圆E 的圆心()1,2， 所以222p =，解得2p =， 所以抛物线的方程为24y x =.由直线1l 的方程为20mx y m --=，可得直线1l ：12x y m=+，且过定点()2,0T ，由12l l ⊥可得直线2l ：2x my =-+，联立24,2,y x x my ⎧=⎨=-+⎩，消x 整理得2480y my +-=.设点()11,C x y ，()22,D x y ，则124y y m +=-， 所以2Ny m =-，则222Nx m =+，即点()222,2N m m+-，同理得点2222,M m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 当1m ≠时， 直线MN 的斜率2222212112MNmm m k m m mm m +===---，则直线MN 的方程为222221m y x m m m ⎛⎫-=-- ⎪-⎝⎭， 即22222121m m y x m m m m-=--+⋅-，所以直线MN 的方程为()241my x m =--， 即直线MN 恒过定点()4,0；当1m =时，()4,2N -，()4,2M ，直线MN 的方程为4x =，也过定点()4,0. 综上，直线MN 恒过定点()4,0.【点评】证明直线过定点，通常有两类：（1）直线方程整理为斜截式y=kx+b ，过定点(0,b )； （2）直线方程整理为点斜式y - y o =k (x- x 0)，过定点(x 0,y 0) ． 4．（1）24y x =；（2）过定点()5,2-.【分析】（1）根据已知条件求出p 的值，可得出抛物线1C 的方程； （2）设直线MN 的方程x my n =+，设点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线MN 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由PM PN ⊥得出0PM PN ⋅=，代入韦达定理可得出m 、n 所满足的关系式，由此可得出直线MN 所过定点的坐标.【解析】（1）把椭圆2C 的方程化为标准方程是221112x y +=，椭圆的左、右顶点分别为()1,0-、()1,0， 依题意12p=，解得2p =，所以抛物线1C 的方程为24y x =； （2）若直线MN 与y 轴垂直，则直线MN 与抛物线1C 只有一个交点，不合乎题意.设直线MN 的方程为x my n =+，与抛物线方程联立并化简得2440y my n --=.则216160m n ∆=+>，可得20m n +>，设()11,M x y 、()22,N x y ，则124y y m +=，124y y n =-.因为PM PN ⊥，()()()21111111221,21,2,244y y y PM x y y y -+⎛⎫⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理可得()()22222,24y y PN y -+⎛⎫=-⎪⎝⎭， 所以，()()()()()()121212222222016y y y y PM PN y y --++⋅=+--=，所以，()()()()12122222160y y y y --+++=⎡⎤⎣⎦， 显然12y ≠且22y ≠，所以，()()()121212221622048200y y y y y y n m +++=+++=-++=，所以，25n m =+，所以，直线MN 的方程为25x my m =++，即()250x m y -+-=，因此，直线MN 过定点()5,2-.【点评】 求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.5．（1）24y x =；（2）直线l 过定点，定点坐标为()0,1-，证明见解析. 【分析】（1）联立直线方程和抛物线方程，求出交点的坐标后利用弦长公式可求p 的值，从而可求抛物线的方程.（2）设直线l 的方程为x my b =+，联立直线方程和抛物线方程，消去x 后利用韦达定理化简斜率之和，从而可得b m =，故可求定点坐标.我们也可以设211,4y M y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，222,4y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，用坐标表示斜率之和，再用该两点的坐标表示直线l ，化简后可得直线过定点.【解析】（1）由2,2,y x y px =⎧⎨=⎩解得10x =，22x p =，因为直线y x =被抛物线()2:20C y px p =>截得的弦长为0p -=，0p >，解得2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =.（2）法一： 设直线l 的方程为x my b =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由2,4,x my b y x =+⎧⎨=⎩得2440y my b --=， 所以124y y m +=，124y y b =-，因为点()1,2A ，且直线AM ，AN 的斜率之和为4，所以121222411y y x x --+=--，而2114y x =，2224y x =，化简得12120y y y y ++=， 所以440m b -=，即b m =， 所以直线l 的方程为()1x m y =+， 所以直线l 过定点，定点坐标为()0,1-. 法二：设211,4y M y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，222,4y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为点()1,2A ，且直线AM ，AN 的斜率之和为4，所以1222122241144y y y y --+=--，即12120y y y y ++=，①当210y y +≠时，直线l 的方程为221112221444y yy y y x y y ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭- 即2141y x y y =--， 所以直线l 过定点，定点坐标为()0,1-；②当210y y +=时，120y y =，所以120y y ==，不满足题意. 所以直线l 过定点，定点坐标为()0,1-.【点评】直线与抛物线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题，也可以设出交点坐标，用交点坐标表示目标代数式，从而解决定点、定值、最值问题.6．（1）24x y =；（2）证明见解析，定点为()2,3. 【分析】（1）根据抛物线的性质即可得到042py =，022py +=，解得即可；（2）设1(B x ，1)y ，2(M x ，2)y ．由题意，可设直线BM 的方程为y kx b =+，由根与系数的关系．得124x x k +=，124x x b =-，再根据A ，P ，B 三点共线，化简整理可得(2)3y k x =-+．即可求出直线BM 过定点． 【解析】（1） 根据题意知，042py =，① 因为||2AF =，所以022py +=．②． 联立①②解的01y =，2p =． 所以E 的方程为24x y =．（2）证明：设1(B x ，1)y ，2(M x ，2)y ．由题意，可设直线BM 的方程为y kx b =+，代入24x y =，得2440x kx b --=．由根与系数的关系．得124x x k +=，124x x b =-．③ 由MP x ⊥轴及点P 在直线3y x =-上，得2(P x ，23)x -，则由A ，P ，B 三点共线，得21214122x kx b x x -+-=--，整理，得1212(k 1)(24)(1)260x x k x b x b ---++--=． 将③代入上式并整理，得1(2)(23)0x k b -+-=．由点B 的任意性，得230k b +-=，所以32(2)3y kx k k x =+-=-+． 即直线BM 恒过定点(2,3)．【点评】 证明直线过定点，一般有两种方法.（1）特殊探求，一般证明：即可以先考虑动直线或曲线的特殊情况，找出定点的位置，然后证明该定点在该直线或该曲线上（定点的坐标直线或曲线的方程后等式恒成立）.（2）分离参数法：一般可以根据需要选定参数R λ∈，结合已知条件求出直线或曲线的方程，分离参数得到等式2123(,)(,)(,)0f x y f x y f x y λλ++=，（一般地，(,)(1,2,3)i f x y i =为关于,x y 的二元一次关系式）由上述原理可得方程组123(,)0(,)0(,)0f x y f x y f x y =⎧⎪=⎨⎪=⎩，从而求得该定点.7．（1）证明见解析；（2）直线AB 恒过定点(1,3)．【分析】（1）设切点211,2x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出导数y x '=，由此可得切线斜率，得切线MA 方程()21112x y x x x -=-，同时设(,3)M t t -，代入切线方程并整理，同理得MB 方程，从而可得12,x x 是方程22360x tx t -+-=的两根，利用韦达定理得1212,x x x x +，求出N 点横坐标可证得结论； （2）利用（1）再求得N 点纵坐标，由,A B 两点坐标求得直线AB 的斜率，然后得出直线AB 方程后可得定点坐标．【解析】（1）设切点211,2x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，y x '=，∴切线MA 的斜率为1x ，切线()2111:2x MA y x x x -=-，设(,3)M t t -，则有()211132x t x t x --=-，化简得2112360x tx t -+-=，同理可的2222260x tx t -+-=∴1x ，2x 是方程22360x tx t -+-=的两根，∴122x x t +=，1226x x t =-，122N M x x x t x +===，∴MN x ⊥轴. （2）∵()()22221212121113442N y x x x x x x t t =+=+-=-+，∴()2,3N t t t -+. .()221212121122ABx x k x x t x x -=⋅=+=-， ∴直线()2:3()AB y t t t x t --+=-，即3(1)y t x -=-， ∴直线AB 过定点(1,3).【点评】本题考查直线与抛物线相交问题，考查导数的几何意义，方法是设切点211,2x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设动点坐标(,3)M t t -，把M 点坐标代入两切线方程得出12,x x 是一元二次方程的根，利用韦达定理得出1212,x x x x +，这样可得中点N 坐标，由中点N 坐标写出直线AB 方程可得定点坐标．是设而不求思想的运用．8．（1）()240y x x =≠；（2）证明见解析，定点为()2,0.【分析】（1）设点(),P x y ，()1,E a -，()1,F b -，由AE AF ⊥可得出4ab =-，由//EP OA ，//FO OP 可得出y a =，y bx =-，代入4ab =-化间可得出动点P 的轨迹C 的方程；（2）设直线l 的方程为()0x ty n n =+≠，设点()11,M x y 、()22,N x y ，联立直线l 与曲线C 的方程，列出韦达定理，由4OM ON ⋅=-可求得n 的值，可得出直线l 的方程，进而可得出直线l 所过定点的坐标. 【解析】（1）设(),P x y 、()1,E a -、()1,F b -，则()2,AE a =-，()2,AF b =-，()1,EP x y a =+-，()1,0OA =，()1,FO b =-，(),OP x y =.由AE AF ⊥，得40AE AF ab ⋅=+=，且点E 、F 均不在x 轴上，故4ab =-，且0a ≠，0b ≠. 由//EP OA ，得0y a -=，即y a =. 由//FO OP ，得0bx y +=，即y bx =-.所以24y abx x =-=，所以动点P 的轨迹C 的方程为：()240y x x =≠；（2）若直线l 的斜率为零时，则直线l 与曲线C 至多只有一个公共点，不合乎题意.可设直线l 的方程为()0x ty n n =+≠.由24y ty n y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ty n --=. 设()11,M x y 、()22,N x y ，则124y y t +=，124y y n =-.()21221212124416y y OM ON x x y y y y n n ∴⋅=+=+=-=-，0n ≠，解得2n =，所以，直线l 的方程为2x ty =+，即直线l 恒过定点()2,0.【点评】 直线过定点：根据题中条件确定直线方程y kx m =+中的k 与、所满足的等量关系或等式，然后再代入直线方程，即可确定直线所过定点的坐标9．（1）24y x =；（2）直线AB 经过定点()4,0，证明见解析. 【分析】（1）利用抛物线的定义可得动点M 满足的轨迹方程C ﹔ （2）设直线OA 的方程为：y kx =，则直线OB 的方程为：1=-y x k，联立直线与抛物线方程解出交点坐标，进而可得直线AB 的方程，可得直线AB 经过的定点坐标．【解析】（1）由题意易得：点M 到定点()1,0F 的距离等于点M 到直线1x =-的距离由抛物线定义可得：动点M 满足的轨迹方程C 为24y x =．（2）设直线OA 的方程为：y kx =，则直线OB 的方程为：1=-y x k．联立方程24y kx y x =⎧⎨=⎩可得244(,)A k k ，同理可得：24,4()B k k -．∴()222441414kk k k k k k k+===±-- 直线AB 的方程为224(4)1k y k x k k +=--即2(4)1ky x k =--． 特别的，当1k =或1-时，点A 与点B 的横坐标都是4． 综上可知，直线AB 经过定点()4,0．【点评】 本题考查抛物线的定义的应用，考查直线与抛物线的位置关系，解决本题的关键点是设出直线OA 和OB 的方程，分别与抛物线联立解出交点坐标，即可写出直线AB 的方程，进而得出定点坐标，考查了学生计算能力，属于中档题． 10．（1）24y x =；（2）证明见解析. 【分析】（1）由条件可得542pPF==+，解出即可； （2）当直线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与抛物线的方程联立消元，然后韦达定理可得12242kmx x k -+=，由6AF BF +=可得12242242km x m k k kx -+==⇒=-，然后表示出线段AB 的垂直平分线方程可得答案.【解析】（1）由抛物线的焦半径公式可得542pPF ==+，解得2p = 即抛物线C 的方程为24y x =（2）当直线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y由24y x y kx m⎧=⎨=+⎩可得()222240k x km x m +-+= 所以0k ≠，()2222440km k m ∆=-->，即1km <12242kmx x k -+=因为6AF BF +=，所以1226x x ++=，所以12242242km x m k k kx -+==⇒=- 所以线段AB 的中点坐标为()2,2k m +所以线段AB 的垂直平分线方程为()122x ky k m ---=-， 即()1214124x k m x x k k k k ky +++=+=--=--，所以过定点()4,0 当直线l 的斜率不存在时也满足综上：线段AB 的垂直平分线过定点()4,0【点评】 定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.11．（1）22y x =；（2）过定点，定点为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.【分析】(1)根据抛物线的定义可知3122p MF =+=,求出p 后可得抛物线方程.(2) 设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由条件可得0AF BF k k +=，化简即得()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理代入可得2k m =，从而得出答案. 【解析】（1）根据抛物线的定义，31122p MF p =+=⇒=， 抛物线的方程为22y x =，（2）设直线l 的方程为y kx m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 与抛物线的方程联立得()22222202y kx mk x km x m y x =+⎧⇒+-+=⎨=⎩， 12222km x x k -+=，2122m x x k =,则122y y k +=，122m y y k =， 又0AF BF k k +=，即12121122y y x x --+=--，()122112102x y x y y y +-+=，()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，即22222120m km k m k k k-⋅+⋅-=，整理得：2k m =， 所以直线的方程为()21y m x =+， 即直线经过定点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点评】关键点睛：本题考查求抛物线的方程和直线与抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，解答本题的关键是由0AF BF k k +=，得到()()1212121202kx x m x x y y ++-+=，然后由方程联立韦达定理代入，属于中档题.12．（1）26y x =；（2）证明见解析，9(,0)2.【分析】（1）设圆心(),C x y ，然后根据条件建立方程求解即可；（2）设直线1l 的方程为3()2y k x =-，然后算出22363(,)2k M k k+，236(,3)2k N k +-，然后表示出直线MN 的方程即可.【解析】（1）设圆心(),C x y ，由题意得2229(3)x x y =-++，即26y x = 所以曲线C 的方程为26y x =（2）由题意可知，直线12,l l 的斜率均存在，设直线1l 的方程为3()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y 联立方程组2632y x y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得22224(1224)90k x k x k -++=， 所以212236k x x k ++=，12126(3)y y k x x k +=+-= 因为点M 是线段AB 的中点，所以22363(,)2k M k k + 同理，将k 换成1k -得236(,3)2k N k +-， 当222363622k k k ++≠，即1k ≠±时 2222333636122MNkk k k k k k k +-==++-- 所以直线MN 的方程为22363()12k k y k x k -++=-- 即29()12k y x k -=--， 所以直线MN 恒过定点9(,0)2当1k =±时，直线MN 的方程为92x =，也过点9(,0)2所以直线MN 恒过定点9(,0)2【点评】 定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.。

例说抛物线中的定点问题浙江奉化奉港中学 罗永高 315500近几年，抛物线中的定点问题频繁出现在各类考试试题中，这类问题条件隐晦，变量较多，计算量大.因而许多同学感觉到困难.其解决问题的关键是合理使用参数，巧妙地消去参数，找出与参数无关的点.下面给出几个定点问题一般形式. 1 线段的中垂线问题已知抛物线)(22o p px y >=上两动点),,(),,(2211y x B y x A 且a a x x ,21=+为常数，求证：线段AB 的垂直平分线过定点.证明 设).,2(),,2(222121y py B y p y A 则 AB 中点.2),2,2(2121y y p k y y a M AB +=+ AB ∴的垂直平分线方程为 ).2(222121a x p y y y y y -+-=+-即 .02)2)((21=+--+py P a x y y ∴ ,02=--p a x 且0=y . ∴ AB 的垂直平分线过定点).0,2(p a + 2 切点弦所在直线问题直线n my x l +=:与抛物线)0(2:2>=p px y C 相离，动点P 在直线l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线,,PB PA 切点分别为B A ,两点，求证:直线AB 过定点.证明 设).,(),,(),,(002211y x P y x B y x A则切线PA 方程为);(11x x p y y +=切线PB 方程为 ).(22x x p y y += 把,(0x P )0y 代入得 ).(),(20021001x x p y y x x p y y +=+=∴直线AB 方程为 ).(00x x p yy += 把n my x +=00代入得 ,0)(0=---px pn mp y y.,mp y n x =-=∴∴直线AB 过定点).,(mp n -3 抛物线内接三角形一边直线问题点),(00y x M 是抛物线px y 22=上一个定点，过点M 作两弦,,MB MA （1） 若MA k m m k MB,.=为非零常数，求证直线AB 过定点； （2） 若n n k k MB MA ,=+为非零常数，求证直线AB 过定点；（3） 若MB MA ,倾斜角分别为βα,，当βα,变化时；且βα+为定值)0(πθθ<<，求证直线AB 过定点.证明 设).,2(),,2(),,2(020222121y py M y p y B y p y A 则 .2,2,2212010y y p k y y p k y y p k AB MB MA +=+=+= 直线AB 的方程为 ).2(2)(21211py x y y p y y -+=- 即 .02)(2121=--+px y y y y y)1( 1 ,2.22010m y y p y y p =++ .)(4.20210221y y y y mp y y -+-=∴ )2( 把)2(代入)1(得,024))((22021=--+++px m p y y y y y.020,22y y m p p y x -=-=∴ 即直线AB 过定点),22(020y mp p y --。

初中数学定值定点最值问题初中数学定值定点和最值问题是中考数学压轴题常考考点，对于定值定点问题可以采用特殊点，特殊值和特殊位置确定其值是多少，然后采用一般法去证明，最值问题一般是线段的和与差，最常用的方法是“化折为直”比如常见的“将军饮马问题”、“胡不归问题”、“阿氏圆问题”、“隐圆问题”。

例1.对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣6a总不经过点P（m+1，4﹣2m），则符合条件的点P的坐标为．变式1.若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则写出符合条件的点P的坐标：．变式2.若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣6a总不经过点P（m﹣2，m2﹣9），写出符合条件的点P的坐标：．变式3.若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0，2x0﹣6），写出符合条件的点P的坐标：．变式4.若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（m﹣3，m2﹣16），写出符合条件的点P的坐标：．变式5.若对于任意非零实数a，抛物线y＝a（x+2）（x﹣1）总不经过点P（x0﹣3，x0﹣5）写出符合条件的点P的坐标：．变式6.若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），写出符合条件的点P的坐标：．例2.已知抛物线y＝ax2﹣2anx+an2+n+3的顶点P在一条定直线l上．求直线l的解析式；例3.我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1﹣x1）﹣1+x2＝1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．例4.如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧上任意一点，求证：为定值．例5.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sin A＝，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PC+PB的最小值为．例6.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG ∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，求四边形ACGH周长的最小值例7如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0）．若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．例8.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．例9.如图，A，B两点的坐标分别为A（4，3），B（0，﹣3），在x轴上找一点P，使线段P A+PB的值最小，则点P的坐标是．例10.如图，已知抛物线过点O（0，0），A（5，5），且它的对称轴为x＝2，点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限．当△OAB的面积为15时，P是抛物线上的动点，当P A﹣PB的值最大时，求P的坐标以及P A﹣PB的最大值．例11.如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．点E是线段AD上的动点（点E不与点A，D重合），连接CE，过点E作EF⊥CE，交AB于点F．连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为G，连接AG．点M是线段BC的中点，连接GM．①求AG+GM的最小值；②当AG+GM取最小值时，求线段DE的长．例12.如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE ⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．。

课题：抛物线中的定值定点问题定点定值问题在圆锥曲线中,有一类曲线系方程，对其参数取不同值时，曲线本身的性质不变；或形态发生某些变化,但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是我们所指的定值问题。

圆锥曲线中的几何量，有些与参数无关，这就构成了定值问题.它涵盖两类问题，一是动曲线经过定点问题；二是动曲线的某些几何量的斜率、长度、角度、距离、面积等为常数问题。

引例：设A 、B 为抛物线22y px =上的点,且0OA OB ⋅=(O 为原点)，则直线AB 必过的定点坐标为__________。

变式1：（将条件一般化）设A 、B 为抛物线22y px =上的点,且(0)OA OB a a ⋅=>(O 为原点），则直线AB 是否也过某个定点呢？学以致用1：（2014 四川）已知F 为抛物线2y x =的焦点,点A ，B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点)，则三角形ABO 与三角形AFO 面积之和的最小值是（ ) A 。

2 B.3 C.8D思考1：若将O 点改为抛物线上任意点200(,)2y M y p ，仍有0MA MB ⋅=，AB 直线是否仍过定点？ （答案：过定点200(2,)2y p y p+-）学以致用2：（2014重庆模拟）已知(1,0),(1,0)B C -,P 是平面内一动点，且满足PC BC PB CB ⋅=⋅。

（1）求点P 的轨迹C 的方程;(2）已知点(,2)A m 在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论。

思考2：引例中，OA OB ⊥,即表示OA 、OB 斜率之积为-1，若OA OB k k a ⋅= (a 为不为零的常数),直线AB 是否过定点?若OA OB k k a +=呢？(答案：OA OB k k a ⋅=⇒过定点2(,0)p a -；OA OB k k a +=⇒过定点2(0,)p a) 变式2：（在思考2的基础上稍作改变）将O 点改为过抛物线上一点200(,)2y M y p 作两条斜率之和为0的弦MA,MB(即0MA MB k k +=）分别交抛物线于A 、B 两点，证明：直线AB 的斜率为定值。