复数的代数形式与运算.ppt

设 OZ 1, OZ 2 分别与复数 a bi, c di对应, 则有OZ 1 a, b , OZ 2 c, d ,由平 面向量的坐标运算 ,有 OZ 1 OZ 2 a c, b d.
y
Z2 c, d
Z
Zx
这说明两个向量OZ1与OZ 2 的和就是与复数 a c b di对应的向量.因此,复数的加法 可以按照向量的加法来 进行图3.2 1, 这是 复数加法的几何意义 .
3.2 复数代数形式的四则运 算
在上一节 , 我们把实数系扩充到了 复 数系.下面 , 我们按 照那里的分析 ,进 一步讨论复数系中的运 算问题.
3.2.1 复数 代数形式的 加减运算及 其几何意义
我们规定,复数的加法法则如下: 设z1 a bi, z 2 c di是任意两个复数, 那么a bi c di a c b d i
思考 复数是否有减法 ? 如何理解复数的减法 ?
类比实数集中减法的意义, 我们规定, 复数的减 法是加法的逆运算 ,即把满足c di x yi a bi的复数x yi叫做复数a bi减去复数c di 的差, 记作a bi c di. 根据复数相等的定义 ,有c x a, d y b, 因此x a c, y b d, 所以x yi a c b di. 即a bi c di a c b di. 这就是复数的减法法则 .由此可见 ,两个复数的 差是一个确定的复数 . 探究 类比复数加法的几何意 义, 请指出复数
减法的几何意义 .
例1 计算5 6i 2 i 3 4i.
解 5 6i 2 i 3 4i 5 2 3 6 1 4 i 11i.

解：(1)A，B，C 三点分别对应复数 1，2＋i，－1＋2i. 所以O→A，O→B，O→C对应的复数分别为 1，2＋i，－1＋2i(O 为坐 标原点)， 所以O→A＝(1，0)，O→B＝(2，1)，O→C＝(－1，2)． 所以A→B＝O→B－O→A＝(1，1)， A→C＝O→C－O→A＝(－2，2)， B→C＝O→C－O→B ＝(－3，1)． 即A→B对应的复数为 1＋i，A→C对应的复数为－2＋2i，B→C对应的 复数为－3＋i.
A．－1－1＋i z(1 ＋ i) ＝ 2i ， 得
z
＝
2i 1＋i
＝
2i（1－i） （1＋i）（1－i）
＝
2i（12－i）＝i(1－i)＝1＋i.
复数 z＝14＋ －ii的虚部为________． 解析：z＝41－ ＋ii＝（ （41－ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝3－2 5i＝32－52i. 答案：－52
z1z2＝__z_2_z1__
结合律
(z1z2)z3＝__z_1_(z_2_z_3_) ____
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝__z_1_z2_＋__z_1_z3___
■名师点拨 对复数乘法的两点说明
(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行 运算，但结果要将实部、虚部分开(i2 换成－1)． (2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
复数的四则运算
第七章 复 数
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
第七章 复 数
考点 复数加法、 减法的运算
复数加法 的几何意义
学习目标 掌握复数代数形式的加法、 减法运算法则 理解复数代数形式的加法、 减法运算的几何意义

解析 1－1 i＝1＋2 i＝12＋12i，其共轭复数为12－12i，
∴复数1－1 i的共轭复数对应的点的坐标为12，－12，位于第四象限，故选 D.
答案 D
5.(2019·全国Ⅲ卷)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A.－1－i
B.－1＋i
C.1－i
D.1＋i
解析 由 z(1＋i)＝2i，得 z＝12＋i i＝(21i＋（i1)－ (1－i）i)＝2i（12－i）＝i(1－i)＝1＋i.
D.－
3 2i
解析 (1)∵z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，
∴mm2－＋2m≠－0，6＝0，解得 m＝－3，故选 D.
(2)∵z＝1－
3i，∴－zz＝z·－z－z2
＝（1＋|z|23i）2＝1＋2 43i－3＝－12＋
－
23i，∴zz的虚部
为 23.故选 C.
答案 (1)D (2)C
规律方法 1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该 满足的条件，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式) 组即可. 2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
建立平面直角坐标系来表示复数的 数；除了原点外，虚轴
复平面 平面叫做复平面，__x_轴___叫实轴，y 上的点都表示纯虚数，
轴叫虚轴
各象限内的点都表示
虚数
复数的 设O→Z对应的复数为 z＝a＋bi，则向量 模 O→Z的长度叫做复数 z＝a＋bi 的模
|z|＝|a＋bi|＝__a_2_＋__b_2
2.复数的几何意义
2.(新教材必修第二册 P69 例 1 改编)若复数 z＝11＋＋aii为纯虚数，则实数 a 的值为

跟踪训练3 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z＋1|的取值范围 是___[_0_,3_]__.
解析 由复数的模及复数加减运算的几何意义可知， 1≤|z|≤2表示如图所示的圆环，而|z＋1|表示 复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的 对应点B(－1，0)之间的距离，即圆环内 的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时，dmin＝0， 当点A与点C(2,0)重合时，dmax＝3，∴0≤|z＋1|≤3.
复数与向量的对应关系的两个关注点
①
②
复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原 点为起点，Z(a，b)为终点的向量 一一对应的.
一个向量可以平移，其对应的复数 不变，但是其起点与终点所对应的 复数发生改变.
跟踪训练 2 (1)已知复平面内的向量O→A，A→B对应的复数分别是 －2＋i,3＋2i，则|O→B|＝____1_0___.
1234
2.已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
√C.第三象限
D.第四象限
解析
解析 z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.
故z对应的点为(－1，－3)，位于第三象限.
1234
3.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且 z1－z2为纯虚数，则a＝__－__1____.
解析 ∵O→B＝O→A＋A→B， ∴O→B对应的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， ∴|O→B|＝ 12＋32＝ 10.
(2) 若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限 内，则实数a的取值范围是__(_－__∞__，__2_) __.

2．角频率ω ：
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹）
ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T
ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
单位：rad/s（弧度/秒）
T
ppt课件
10
二、正弦量的三要素
3．初相位：
ω t+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。

由
于
主
值arctan（b）〔

，
〕，
若
O
实部为负
数
，
a
22
则arctan（b）
a
才是正确的p辐pt课角件 。
F
a
+1
2
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
3．三角形式： F F（cos jsin）
4．指数形式：
由欧拉公式： e j cos jsin
F F e j
F2在第三象限，
arctan（ 40） 180 63.4 180 243.4
20
F2 44.7243.4
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4
二、复数的四则运算
1．加、减法运算：
①代数法：
F1 F2 ( a1 jb1 ) ( a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j( b1 b2 )
2
F1
O
1
+1
复数的乘法
ppt课件
6
3．除法运算：
①代数形式：
F1 F2

a1 a2

jb1 jb2
（（aa21

探究三? 探究三?
类比复数加法的几何意义,请指出复数减法的几何意义? 类比复数加法的几何意义,请指出复数减法的几何意义?
设 OZ1 及 OZ 2 分别与复数 a + bi 对应, 及复数 c + di对应,则 OZ1 ,= ( a, b) OZ 2 = (c, d ) y Z 1
Z 2 Z1 = OZ1 OZ 2 = (a, b) - (c, d) = (a - c, b - d)
意z1∈C,z2∈C,z3∈C , ,
z1+z2=z2+z1 z1+z2=z2+z1 显然 (z1 (z 3=z1+(z2+z3) 同理可得 +z2)+z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
点评:实数加法运算的交换律,结合律在复数集 中 点评:实数加法运算的交换律,结合律在复数集C中 依然成立. 依然成立.
作业:课本 作业 课本P61,第1,2,3题 课本 第 题
3.2.1复数代数形式的加减运算 复数代数形式的加减运算 及其几何意义
第二课时) (第二课时)
知识回顾: 知识回顾:
1,复数的加减法法则: ,复数的加减法法则: 是任意两个复数, 设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数, 是任意两个复数 那么(a+bi) ±(c+di)=____ 那么 ) ____ ; 两个复数的和或减是一个确定的_____; 两个复数的和或减是一个确定的 2,复数的加法在几何上可 , 以按照____来进行; 以按照____来进行; ____来进行 减法在几何上可以按 ____来进行 来进行; 照____来进行;
思考? 思考?
是共轭复数,则在复平面上, 若z1,z2是共轭复数,则在复平面上,它们 所对应的点有怎样的位置关系? 所对应的点有怎样的位置关系?

cos3
10
,
co5ssin25
sin
3
10
,
zcos3isin3
10 10

3 i
e 10
.
思考题1
复数为什么不能比较大小？
参考答案
观察复 i和 数 0, 由复数的定义i 可0, 知 (1)若i0, 则 ii0i, 即 10,矛;盾 (2)若i0, 则 ii0i, 同样 10,有 矛. 盾 由此可见, 在复数中无法定义大小关系.
小结
本课学习了复数的有关概念、性质、四种表 示形式及相关的运算. 重点掌握复数的四种表示 形式（代数形式、几何形式、三角形式、指数形 式），复数的模和辐角是表示后三种形式的重点.
例 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
( 1 )z 1 2 2 i; ( 2 )z 1 2 + 2 i;
r z 124 4,
z在 第 二 象 限 ,
arctan 122+πarctan（-
3)
3

5, 6
z4cos56isin56
5 i
4e6 .
(3) zsinicos
5
5
显r然 z1,
sin5cos25
的 观 念 ， 这 称 为 复 数 的 点 表 示 法 .
y
横 轴 即 x轴 上 的 点 对 应 复 数 的 实 部 ，
虚轴
所 以 也 称 x轴 为 实 轴 ；
y
纵 轴 即 y轴 上 的 点 对 应 复 数 的 虚 部 ，Leabharlann zxiy (x, y)
所 以 也 称 y轴 为 虚 轴 ；
oxx
由 实 轴 和 虚 轴 确 定 的 平 面 称 为 复 平 面 . 实轴

A．A C．C
B．B D．D
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
解析： (1)z＝1＋i 2i＝1＋－2ii2－i＝2－i，则复数 z ＝2＋i. (2)因为 x＋yi 的共轭复数为 x－yi，故选 B.
答案： (1)D (2)B
数学 选修2-2
＝
ac＋bd＋bc－adi
＋
bc－ad c2＋d2
i(c＋di≠0)．
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
复数代数情势的乘除法
1．运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋di) ＝__(_a_c_－__b_d_)＋__(_b_c_＋__a_d_)i__ ；
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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方法二：(技巧解法)
原式＝1＋2 i26＋
2＋ 3－
3ii 2ii
＝i6＋
2＋ 2＋
33iii＝－1＋i.
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
共轭复数
－3z1z2i＝4－6i，求z1和z2. [思路点拨]
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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2．(2014·西安五校一模)已知复数 z＝1－3＋3ii， z 是 z 的共
轭复数，则 z 的模等于( )

【即时练】
若
z＝1
i
2i
，则复数
z
等于(
)
A．－2－i
B．－2＋i
C．2－i
D．2＋i
【解析】选D.由
z＝1 2i i
(1 2i) (－i)
i －i
2－i，
故z =2＋i.
【题型示范】
类型一 复数代数情势的乘法运算
【典例1】
(1)已知x，y∈R，i为虚数单位，且xi-y=-1+i，则(1+i)x+y的
【自主解答】(1)选B.由复数的几何意义知，z1=－2－i，
z2=i，所以 z1 －2－i －1 2i，对应的点在第二象限.
z2
i
2① 1 2i2 31－i －3 4i 3－3i
2i
2i
i i2－i 1 2 i．
2i 5 5 5
②
1－
3i
2
3 i －i
2
3 i
3i
x1y2
x 2 y1 ,
的复数是( )
复数
z
3i
3 i
1
i
(i是虚数单位)对应
A. 3 1 3 1 i C. 3 1 3 1 i
B. 3 1 3 1 i D. 3 1 3 1 i
【解析】选A.由题意，得 z 3 i i 1 3 i 3 1 3 1 i.
【警示误区】注意分析新定义的运算规则中字母的顺序.
(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，பைடு நூலகம் 法公式也适用． (3)常用结论： ①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； ③(1±i)2＝±2i.

公开课复数乘除法运算课件
第 151/157页
五、【课堂小结】
复数乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac －bd)+(bc+ad)i. 复数代数式相乘，
可按多项式类似方法进行，无须去记
公式.
复数除法法则是：
i(c+di≠0).
两个复数相除较简捷方法是把它们商 写成份式形式，然后把分子与分母都 乘以分母共轭复数，再把结果化简
（１）在复平面内，它们所对应点有怎样位 置关系？
（２） z1 、z2是一个怎样数？
公开课复数乘除法运算课件
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两个互为共轭复数乘积等于这个复数（或 其共轭复数）模平方
结论： •
2
2
公开课复数乘除法运算课件
第 101/107页
练习：
求(1 i)2 (1 i)2
(a bi)2 a2 2abi b2i2
(ac
bd ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
(bc d2
ad )i
分母实数化
公开课复数乘除法运算课件
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例4.计算 (1 2i) (3 4i)
解:
公开课复数乘除法运算课件
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四、【巩固新知】
求
已知 z1 3 2i
z1 z2 , z1 z2
,
,
z2
z1
•
1
z2
4i
, z1 z2
碰到 时i，2 要把 换i成2 ，
并-把1 最终止果写成
a bi(a,b R) 形式。
公开课复数乘除法运算课件
第 3/137页
设 z1 a bi , z2 c di

2．共轭复数 (1)复数 z 的共轭复数通常用 z 表示，即当 z＝a＋bi(a，b∈R)时， z ＝a－bi. (2)两个共轭复数的乘积是一个实数，这个实数等于两个共轭复数模的平方， 即若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z·z ＝a2＋b2＝|z|2＝| z |2. (3)实数 a 的共轭复数仍是 a 本身，即 z∈C，z＝ z ⇔z∈R，这是判断一个数是 否为实数的一个准则． (4)两个共轭复数的对应点关于实轴对称．
B．3＋4i D．4＋3i
解析：∵a，b∈R，a＋i＝2－bi， ∴a＝2，b＝－1， ∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.
(2)已知 a，b∈R，i 是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则 a＋bi＝ 1＋2i .
解析：因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R， 所以aa－ ＋11＝ ＝0b， ， 解得ab＝ ＝12， ， 所以 a＋bi＝1＋2i.
2．设复数 z 满足(1－i)z＝2i，则 z＝( A )
A．－1＋i
B．－1－i
C．1＋i
D．1－i
解析：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1－i)(a＋bi)＝2i，即(a＋b)＋(b－a)i＝2i. 根据复数相等的充要条件得ab＋ －ba＝ ＝02， ， 解得ab＝ ＝－ 1，1， ∴z＝－1＋i，故选 A.
7.2.2 复数的乘、除运算
[课标解读]1.结合多项式的乘法了解复数的乘法法则.2.理解共轭复数的概念.3. 能进行复数的除法以及分母实数化．
[素养目标] 水平一：理解复数代数形式的乘、除运算法则．(逻辑推理)
水平二：1.会进行复数代数形式的乘、除运算．(数学运算)2.理解共轭复数的 概念．(数学抽象)
2．复数除法运算的技巧 (1)根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘分母的共轭复数，使“分母实 数化”，这个过程与“分母有理化”类似． (2)复数除法运算的结果要进行化简，通常要写成复数的代数形式，即实部与 虚部要完全分开的形式．