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复数的运算PPT课件

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《复数四则运算》课件

《复数四则运算》课件

复数的表示方法
总结词
复数可以用平面坐标系上的点来表示。
详细描述
每个复数$a + bi$都可以表示为平面坐标系上的一个点$(a, b)$。实部是x坐标 ，虚部是y坐标。
复数的几何意义
总结词
复数在几何上表示平面上的向量。
详细描述
实部表示向量的水平分量，虚部表示向量的垂直分量。复数的模表示向量的长度 。
减法
复数的减法通过加上相反数的 形式转化为加法。
乘法
复数的乘法通过分配律和结合 律进行计算，结果实部和虚部
分别进行计算。
除法
复数的除法通过乘以倒数的方 式进行，结果实部和虚部分别
进行计算。
运算的几何意义
加法
表示两个复数对应的向量进行向量加法。
乘法
表示一个复数对应的向量绕原点旋转或伸缩 。
减法
表示两个复数对应的向量进行向量减法。
除法运算
总结词
复数除法运算规则是将除数的共轭复数与被除数 相乘，再取结果的倒数。
举例
$frac{2+3i}{1-4i} = frac{(2+3i)(1+4i)}{(14i)(1+4i)} = frac{5i}{5} = i$。
详细描述
复数除法运算的规则是将除数的共轭复数与被除 数相乘，再取结果的倒数，即 $frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2+d^2}$。
注意事项
在进行复数除法运算时，需要注意除数为零的情 况，即分母不能为零。
03

7.2复数的四则运算PPT课件(人教版)

7.2复数的四则运算PPT课件(人教版)

解：(1)A，B，C 三点分别对应复数 1，2＋i，－1＋2i. 所以O→A，O→B，O→C对应的复数分别为 1，2＋i，－1＋2i(O 为坐 标原点)， 所以O→A＝(1，0)，O→B＝(2，1)，O→C＝(－1，2)． 所以A→B＝O→B－O→A＝(1，1)， A→C＝O→C－O→A＝(－2，2)， B→C＝O→C－O→B ＝(－3，1)． 即A→B对应的复数为 1＋i，A→C对应的复数为－2＋2i，B→C对应的 复数为－3＋i.
A．－1－1＋i z(1 ＋ i) ＝ 2i ， 得
z
＝
2i 1＋i
＝
2i（1－i） （1＋i）（1－i）
＝
2i（12－i）＝i(1－i)＝1＋i.
复数 z＝14＋ －ii的虚部为________． 解析：z＝41－ ＋ii＝（ （41－ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝3－2 5i＝32－52i. 答案：－52
z1z2＝__z_2_z1__
结合律
(z1z2)z3＝__z_1_(z_2_z_3_) ____
乘法对加法的分配律
z1(z2＋z3)＝__z_1_z2_＋__z_1_z3___
■名师点拨 对复数乘法的两点说明
(1)复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行 运算，但结果要将实部、虚部分开(i2 换成－1)． (2)多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
复数的四则运算
第七章 复 数
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
第七章 复 数
考点 复数加法、 减法的运算
复数加法 的几何意义
学习目标 掌握复数代数形式的加法、 减法运算法则 理解复数代数形式的加法、 减法运算的几何意义

复数的加、减运算及其几何意义课件共17张PPT

复数的加、减运算及其几何意义课件共17张PPT
= (5-2-3)+(-6-1-4)i = -11i.
例2 设 及 分别与复数z1=5+3i及复数z2=4+i对应，试计算
z1+z2，并在复平面内作出
.
三、复数加、减运算及其几何意义的应用
例3 求复平面内两点 Z1(x1, y1), Z2(x2, y2)之间的距离.
分析: z2 - z1 = Z1Z2, |z2 - z1|=|Z1Z2|. 解: |Z1Z2|=|Z1Z2|=|z2 - z1| =|(x2 + y2i)-(x1 + y1i)| =|(x2 - x1)+(y2 - y1)i| = (x2 - x1)2 +(y2 - y1)2 .
同理可证： (z1 + z2)+ z3 = z1 +(z2 + z3).
实数加法的交换律、结合律在复数集C中依然成立.
一、复数的加、减运算
问题 类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？
类
规定复数的减法是加法的逆运算.
比
复数的减法法则：
(a + bi)-(c + di) =(a - c)+(b - d)i.
3．若z1＝2－i，z2＝－1＋2i，z1，z2在复平面上所对应的点分别为 Z1，Z2，这两点之间的距离为__________．
的几何意义吗？ 复数减法的几何意义：
y Z2(c, d)
z = z1 - z2 OZ = OZ1 -OZ2
Z1(a, b)
O
x
复数的减法可以按照向量的减法来进行. 复数的减法符合向量减法的三角形法则.
三、复数加、减运算及其几何意义的应用
例1 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i). 解： (5-6i)&加、减运算

高中数学一轮复习《复数》课件ppt（29张PPT）

高中数学一轮复习《复数》课件ppt（29张PPT）

解析 1－1 i＝1＋2 i＝12＋12i，其共轭复数为12－12i，
∴复数1－1 i的共轭复数对应的点的坐标为12，－12，位于第四象限，故选 D.
答案 D
5.(2019·全国Ⅲ卷)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A.－1－i
B.－1＋i
C.1－i
D.1＋i
解析 由 z(1＋i)＝2i，得 z＝12＋i i＝(21i＋（i1)－ (1－i）i)＝2i（12－i）＝i(1－i)＝1＋i.
D.－
3 2i
解析 (1)∵z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，
∴mm2－＋2m≠－0，6＝0，解得 m＝－3，故选 D.
(2)∵z＝1－
3i，∴－zz＝z·－z－z2
＝（1＋|z|23i）2＝1＋2 43i－3＝－12＋
－
23i，∴zz的虚部
为 23.故选 C.
答案 (1)D (2)C
规律方法 1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该 满足的条件，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式) 组即可. 2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
建立平面直角坐标系来表示复数的 数；除了原点外，虚轴
复平面 平面叫做复平面，__x_轴___叫实轴，y 上的点都表示纯虚数，
轴叫虚轴
各象限内的点都表示
虚数
复数的 设O→Z对应的复数为 z＝a＋bi，则向量 模 O→Z的长度叫做复数 z＝a＋bi 的模
|z|＝|a＋bi|＝__a_2_＋__b_2
2.复数的几何意义
2.(新教材必修第二册 P69 例 1 改编)若复数 z＝11＋＋aii为纯虚数，则实数 a 的值为

复数的四则运算市公开课(一等奖)ppt课件

复数的四则运算市公开课(一等奖)ppt课件

的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商，
记作
a bi
（a+bi）÷ （c+di) 或
c di
a c
bi di

(a (c
bi)(c di)(c
di)
di)本质：分母实数化,OK

ac

bd (bc c2 d2
ad
)i

ac c2

bd d2
【例3】求值：i i2 i3 i2009
解：原式 （i i2 i3 i4） （i5 i6 i7 i8） ... （i2005 i2006 i2007 i2008） i2009
0 i1 i
13
3. 共轭复数的概念、性质：
(1)定义: 实部相等,虚部互为相反数的两个复数
则(a bi)2 3 4i，

a2 2ab
b
2 4
3，
解得：ba

12，或ba

-2 .
-121
例3．设关于 x 的方程
x2 (tan i)x (2 i) 0 ( R)
若方程有实数根，求锐角 的值, 并求出
方程的所有根．
1 i
④1
⑤ i 2002+( 2 + 2 i)8 ( 2 )50
1i
⑤ －1＋256 i
20
例2.
⑴、已知复数z的平方根为 3 + 4i ,求复数 z ;
⑵、求复数 z =3 + 4i 的平方根.
(1)由题意，知：z (3 4i)2，
7 24i.

复数课件ppt免费

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02
复数的应用
Chapter
电路分析中的应用
电路分析中，复数是一种常用的数学工具，用于描述交 流电路中的电压、电流和阻抗等参数。
通过使用复数表示，可以简化计算过程，方便分析和设 计电路。
复数在交流电路分析中的应用包括计算交流阻抗、交流 功率和交流电流等。
信号处理中的应用
在信号处理中，复数常用于表示和处 理信号，如频谱分析和滤波器设计等 。
复数在信号处理中的应用还包括数字 滤波器设计和数字信号处理算法的实 现等。
通过将信号表示为复数形式，可以方 便地进行信号的频域分析和处理，如 傅里叶变换和离散余弦变换等。
控制系统中的应用
在控制系统中，复数常用于描 述系统的传递函数和稳定性等 特性。
通过使用复数表示，可以方便 地分析系统的频率响应和稳定 性，以及设计控制系统的参数 。
实例
$2(cos frac{pi}{3} + i sin frac{pi}{3}) + 1(cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4}) = sqrt{3}(cos frac{7pi}{12} + i sin frac{7pi}{12})$。
指数形式的计算
定义
复数指数形式是 $re^{itheta}$，其中 $r$ 是模长，$theta$ 是辐角 。
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目录
• 复数的基本概念 • 复数的应用 • 复数的计算方法 • 复数的历史发展 • 复数的扩展知识
01
复数的基本概念
Chapter
复数的定义
总结词
复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i 是虚数单位。

《复数的四则运算》优质课PPT课件

《复数的四则运算》优质课PPT课件

复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
【变式探究】
2．(1)若 a 为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则 a＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
(2)复数 z＝3－14－i1i＋4 i2(其中 i 是虚数单位)，则 z·－z 的值为
___________.
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
解：(1)由已知得 4a＋(a2－4)i＝－4i，
(3)复数相等的充要条件：
a＋bi＝c＋di⇔__a_＝__c_且___b_＝__d___(a，b，c，d∈R)．
特别地，a＋bi＝0⇔__a_＝__b_＝___0_ (a，b∈R)．
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
2．复数的几何意义
(1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x 轴叫
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
点评：(1)本题全面考查了复数的概念，主要考查了复 数的实部、虚部，复数的模、共轭复数等概念，考查了复 数乘、除等基本运算．
(2)处理复数的基本概念问题，常常要结合复数的运算 把复数化为 a＋bi 的形式，然后从定义出发，把复数问题 转化为实数问题来处理．
复习目标
课前预习
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
解：(1)表示－z 的点与表示 z 的点关于实轴对称， 所以表示－z 的点为 B. (2)根据题意，画出示意图：
①因为 AD ＝ BC ＝ AC － AB ，所以 AD 对应的复数为 (－2＋6i)－[(3＋2i)－(1－2i)]＝－4＋2i. ②因为 OD － OA ＝ AD ，所以 OD ＝ OA ＋ AD ， 所以 D 对应的复数为(1－2i)＋(－4＋2i)＝－3.

《复数的四则运算》专题精讲课件

《复数的四则运算》专题精讲课件
+ = ,
+ = .
解得 = −, = ± .所以 = − ± ,
即方程 + + = 的根为 = − ± .
=

.③

= −.
典型例题
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
典例6 在复数范围内解方程: + + = .
思路 本题考查复数四则运算的应用,在复数范围内解方程,复数范围内,利用实系数一
元二次方程 + + = ≠ 求解方法.
(1)求根公式法
①当 ⩾ 时, =
于的周期性要记熟,即 + + + + + + = ∈ ∗ .另外记住以下结果,
可提高运算速度:① +
由于
=
−
+

= , −

= −.②
−
+
=
+
−,
−
= −,所以 = − + − + − = −.
虚部分别合并.多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数,如 +
+ = − + , +


= +
= + + + =
− + − .
解析
−
=

−


−
2.复数加、减法的几何意义
如图所示,设复数 = + , = + ∈ 对应的向量分别为
, ,四边形 为平行四边形,则与 + 对应的向量是,与

《复数基础知识》课件

《复数基础知识》课件

02
计算方法：利用三角函数的加Байду номын сангаас公式 和减法公式可以计算出复数的乘积和 商。
03
应用：复数的乘除运算是复数运算的 基本法则之一，它们在解决实际问题 中具有广泛的应用。
03
复数的应用
在电路分析中的应用
总结词
利用复数表示交流电的各种参数，如电压、电流、阻抗等，简化计算过程。
详细描述
在电路分析中，许多参数如电压、电流、阻抗等都是时间的函数，具有频率和相 位。利用复数表示这些参数，可以将实数和虚数部分合并，方便进行计算和比较 。通过复数运算，可以快速得到电路的响应，简化计算过程。
在信号处理中的应用
总结词
利用复数进行信号的频谱分析和滤波器设计。
详细描述
在信号处理中，频谱分析和滤波器设计是常见的任务。复数可以用于表示信号的频谱，使得频谱分析变得简单直 观。同时，利用复数进行滤波器设计，可以方便地实现低通、高通、带通等不同类型的滤波器。通过复数运算， 可以快速得到滤波器的响应，提高信号处理的效率。
利用复数的模和辐角，可以将任意复 数转换为三角形式。
复数的模与辐角
定义
复数的模定义为 $sqrt{a^2 + b^2}$， 辐角定义为 $arctan(frac{b}{a})$， 当$a > 0$时，辐角在 第一象限；当$a < 0$ 时，辐角在第三象限。
计算方法
利用勾股定理和反正切 函数可以计算出任意复 数的模和辐角。
控制工程
在控制工程中，系统的传递函数和 稳定性分析通常需要用到复数，以 描述系统的动态特性。
05
复数与实数的关系
复数与实数的转化关系
实数轴上每一个点都 可以对应一个复数， 反之亦然。

7.2.2复数的乘、除运算 课件(共32张PPT)

7.2.2复数的乘、除运算 课件(共32张PPT)
第七章 §7.2 复数的四则运算
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3.理解共轭复数的概念.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 复数的乘法及其运算律
12345
5.若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i(i是虚数单位)，则|z|＝___1__. 解析 因为(3－4i)z＝4＋3i， 所以 z＝43＋－34ii＝43＋ －34ii33＋ ＋44ii＝2255i＝i. 则|z|＝1.
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.复数代数形式的乘除运算 (1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律 以及乘法对加法的分配律. (2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、 分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化. 2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题. 3.复数问题实数化思想. 复 数 问 题 实 数 化 是 解 决 复 数 问 题 的 基 本 思 想 方 法 ， 其 桥 梁 是 设 复 数 z ＝ a ＋ bi(a ， b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.
(1)－4－3i； 解 －24－－i3i＝－24－－i3i－－4＋4＋3i3 i＝－8＋62i5＋4i＋3＝－52＋5 10i＝－15＋25i；
1＋2i2＋31－i
(2)
；
2＋i
解 1＋2i22＋＋i31－i＝－3＋24＋i＋i 3－3i＝2＋i i＝i25－i＝15＋25i.

《复数——复数的四则运算》数学教学PPT课件(4篇)

《复数——复数的四则运算》数学教学PPT课件(4篇)

＝(1－i)(1＋i)－12＋
3
2
i
＝(1－i2)－12＋
3
2
i
＝2－12＋ 23i＝－1＋ 3i.
第七章 复 数
栏目 导引
第七章 复 数
(2)选 D.因为 a－i 与 2＋bi 互为共轭复数， 所以 a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i. (3)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则－z ＝a－bi， 由已知得，(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等 的条件知，a2＋a－2bb＝＝43，，解得 a＝2，b＝1， 所以 z＝2＋i.
复数 z＝14＋ －ii的虚部为________． 解析：z＝41－ ＋ii＝（ （41－ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝3－2 5i＝32－52i. 答案：－52
栏目 导引
第七章 复 数
复数的乘法运算
(1)(1－i)－12＋ 23i(1＋i)＝(
)
A．1＋ 3i
B．－1＋ 3i
C． 3＋i
(2)
1＋i 1－i
2
019
＝
（1＋i）（1＋i） （1－i）（1＋i）
2
9
＝
2i
2
2
019
＝
i2
019 ＝
(i4)504·i3＝1504·(－i)＝－i.
【答案】 (1)B (2)－i
栏目 导引
第七章 复 数
(1)i 的周期性要记熟，即 in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)． (2)记住以下结果，可提高运算速度． ①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i. ②11－ ＋ii＝－i，11＋ －ii＝i. ③1i ＝－i.

《复数的四则运算》复数PPT课件(复数的乘、除运算)

《复数的四则运算》复数PPT课件(复数的乘、除运算)
答案：(1)C (2)A
必修第二册·人教数学A版
探究三 复数范围内解方程
[例 3] 在复数范围内解下列方程：
(1)2x2＋3＝0；(2)x2＋3x＋4＝0；
(3)2x2＋3x＋c＝0(c∈R)．
[解析] (1)因为 x2＝－32，所以 x＝± 26i.
(2)配方，得(x＋32)2＝－74，
即 x＋32＝± 27i，
答案：(1)D (2)A
必修第二册·人教数学A版
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探究二 复数代数表示式的除法运算
[例 2] (1)若复数 z 满足 z(2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则 z 为( )
A．3＋5i
B．3－5i
C．－3＋5i
D．－3－5i
(2)设 i 是虚数单位，复数12＋－aii为纯虚数，则实数 a 为(
4－b2 2 i.
必修第二册·人教数学A版
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形形色色的 in(n∈N*)值 [典例 1] 计算1－2－2i3i＝_______.
►逻辑推理、数学运算
[解析]
1－2－2i3i＝1－2＋2ii＝1－2＋2ii11＋＋
2i ＝ 2i
2＋2i＋i＋ 3
2i2＝33i＝i.
[答案] i
必修第二册·人教数学A版
A．2
1 B.2
C．－12
D．－2
(3)把复数 z 的共轭复数记作 z ，i 为虚数单位，若 z＝1＋i，则(1＋z)·z ＝________
必修第二册·人教数学A版
返回导航 上页 下页
[解析] (1)i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选 D. (2)(1＋ai)(2＋i)＝2－a＋(1＋2a)i，要使复数为纯虚数，所以有 2－a＝0,1＋2a≠0， 解得 a＝2. (3) z ＝1－i，(1＋z)·z ＝(1＋1＋i)(1－i)＝(2＋i)(1－i)＝3－i.

7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义PPT课件(人教版)

7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义PPT课件(人教版)

(2)对角线C→A所表示的复数； (3)对角线O→B所表示的复数及O→B的长度. 解 (2)因为C→A＝O→A－O→C， 所以C→A所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为对角线O→B＝O→A＋A→B＝O→A＋O→C， 所以O→B所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 所以|O→B|＝ 12＋62＝ 37.
【训练 2】 (1)已知复平面内的平面向量O→A，A→B表示的复数分别是－2＋i，3＋
2i，则|O→B|＝____1_0___.
(2)若 z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数 z2－z1 所对应的点在第四象限内，则实数 a 的 取值范围是__(_－__∞_，__1_)__. 解析 (1)∵O→B＝O→A＋A→B， ∴O→B表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， ∴|O→B|＝ 12＋32＝ 10. (2)z2－z1＝1＋(a－1)i， 由题意知a－1<0，即a<1.
2.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于( B )
A.8i
B.6
C.6＋8i D.6－8i
解析 根据复数的加法法则得z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝6.
3.设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( D )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
【 训 练 3 】 设 复 数 z ＝ a ＋ bi(a ， b∈R) ， 1≤|z|≤2 ， 则 |z ＋ 1| 的 取 值 范 围 是 __[0_，__3_]__. 解析 由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所 示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点 B(－1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合 时，dmin＝0，当点A与点C(2，0)重合时，dmax＝3，∴0≤|z＋1|≤3.

7.2.2 复数的乘除运算PPT课件(人教版)

7.2.2 复数的乘除运算PPT课件(人教版)
∴虚部为1.
2
课堂互动
题型剖析
题型一 复数代数情势的乘法运算
【例1】 计算下列各题： (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. 解 (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i ＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
题型三 复数范围内解方程
【例3】 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数). (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否为方程的根. 解 (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0， 即(b＋c)＋(2＋b)i＝0. ∴b2＋ ＋cb＝＝00，，得bc＝＝2－. 2，∴b＝－2，c＝2. (2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得 x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i也是方程的一个根.
A.1＋2i
B.1－2i
C.2＋i D.2－i
－
(2)若z (1＋i)＝1－i，则 z＝( D )
A.1－i
B.1＋i
C.－i D.i
解析 (1)31＋ ＋ii＝（ （31＋ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝4－2 2i＝2－i.
－
(2)由z (1＋i)＝1－i，
得－z＝11－ ＋ii＝（1＋（i1）－（i）1－2 i）＝－i，故 z＝i.
【训练 2】 (1)设 z＝11－ ＋ii＋2i，则|z|＝( C )
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那么它们的积
a bi c di (ac bd ) (ad bc )i
C 任何 z1 , z 2 , z 3 ， 交换律 z1 z2 z2 z1 结合律 ( z1 z 2 ) z 3 z1 ( z 2 z 3 )
分配律 z1 ( z 2 z 3 ) z1 z 2 z1 z 3
4、复数的除法法则 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商,
4、复数的除法法则
设 z1 a bi ， z 2 c di是任意两个复数， 那么它们的商
ac bd bc ad a bi c di 2 2 2 2 i c d c d
先把除式写成分式的形式,再把分子与分母 都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式 (分母实数化).
例5.计算
1 2 i 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (1 2i )(3 4i ) (3 4i )(3 4i ) 3 8 6 i 4 i 5 10 i 2 2 3 4 25 1 2 i 5 5
特别的当 a=0 时 纯虚数
a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 必要但不充分 条件.
显然,实数集R是复数集C的真子集,即R C.
5. 两个复数相等
a c 设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、dR),则 z1=z2 b d ,
即实部等于实部,虚部等于虚部. 特别地，a+bi=0 a=b=0 .
3、复数的乘方：
m , n N z , z , z C 对任何 1 2 及 ，有
z z z
m n
m n
mn
(z ) z n n n ( z1 z2 ) z1 z2
mn
特殊的有： i 1
3 2
i i 1
2
Z 一般地，如果 n n N ，有
i i i i
例4
已知复数 x x 2 ( x 3x 2)i
2 2
是 4 20i 的共轭复数，求x的值． 解：因为 4 20i 的共轭复数是 4 20i， 根据复数相等的定义，可得
x x 2 4, 2 x 3 x 2 20. x 3或x 2 解得 x 3或x 6
1、复数的加法与减法
a bi c di a c b d i
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与 虚部分别相加(减).
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 例1.计算 解:
1.对虚数单位i 的规定
① i 2= -1; ②i 可以与实数一起进行四则运算,并且加、 乘法运算律不变.
2. 我们把形如a+b i(其中 a、b R )的数 称为 复数,
z=a+bi ， 其中a叫做复数 z 的 实部 记作： b叫做复数 z 的 虚部 . 全体复数集记 为 C .
有时把实部记成为Re(z);虚部记成为Im(z).
、
2 3. 由于i2= (-i) = -1，知 i为-1的一个 平方根 、-1的另一个 平方根为-i
;
一般地，a(a>0)的平方根为 a 、 - a (a>0)的平方根为 a i
小数 实数 (b=0) 有理数 分数 正分数 零
负分数
无理数 不循环小数
4. 复数z=a+bi
(a、bR) 虚数 (b0)
注意:一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.
思考:对于任意的两个复数到底能否比较大小? 答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小.
即:若z1>z2 z1,z2∈R且z1>z2.
复数的四则运算
复数的加法、减法、乘法运算与实
数的运算基本上没有区别，最主要的 是在运算中将i21结合到实际运算过 程中去。
4 n1
i i i i i 1
4 3
i 1, i
4n
i , i
4 n 2
1, i
4 n 3
i
复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须 在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部合并. 两个复数的积仍然是一个复数.
例2.计算 (1 2i)(3 4i)(2 i)
共轭虚数：虚部不为0的共轭复数。
特别地，实数的共轭复数是实数本身。
在复平面内,如果点Z表示复数 z ,点 Z 表 示复数 Z ,那么点Z和 Z 关于实轴对称. 复平面内与一对共轭复数对应的点Z 和 Z 关于实轴对称. Z :a+bi y
y
Z :a+bi
b o -b x
b -b
Z :a-bi
o
x
Z :a-bi
(5 6i) (2 i) (3 4i)
(5 6 i ) (2 i ) (3 4 i ) (5 2 3) (6 1 4) i 11i
2、复数的乘法法则： 设 z1 a bi ， z 2 c di是任意两个复数，
解:
(1 2i )(3 4i )( 2 i ) (11 2i )( 2 i ) 20 15i
例3.证明: (a bi)(a bi) a 要条件是, 这两个复数互为共轭复数.
概念：共轭复数：实部相等，虚部互为相反数 的两个复数。
2
所以 x 3 ．
a bi 记做 (a bi ) (c di )或 . c di a bi (a bi)(c di) (a bi) (c di) c di (c di)(c di) ac bd (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d