江苏省专转本高等数学模拟测试题一．选择题(每小题4分,共24分) 1.当 0x→时, 1cos 2x -与2ln(1)ax +是等价无穷小,则常数a 地值为( )A. 1B. 2C.3D. 4解：本题考查无穷小阶地比较,就是求两个函数比值地极限,条件说是等价无穷小,那么比值地极限是1,即有222001(2)1cos 222lim lim 1ln(1)x x x x ax ax a→→-===+ 则2a=,选B.2.曲线2(1)(2)x xy x x x -=--地垂直渐近线是( )A.0x = B. 1x = C. 2x = D. 没有垂直渐近线解：所谓垂直渐近线就是若0lim ()x xf x →=∞（也可以是单侧极限,即左极限或右极限为无穷大）,则称0x x =为垂直渐近线.一般拿来讨论极限地0x 为函数中无定义地点,本题有三个无定义地点,即0x =,1x =,2x =,但是在求极限时函数经过化简后变成12y x =-,因此只有21lim2x x →=∞-,所以选C. 3. 设sin 0()ln(1)xx t t dt ϕ=+⎰,则()x ϕ'=( )A. sin cos ln(1sin )x x x +B. sin ln(1sin )x x +C. sin cos ln(1sin )x x x -+D. sin ln(1sin )x x -+ 解：本题考查变上限积分函数求导公式,选A. 4. 下列级数中条件收敛地是( )A.21(1)nn n∞=-∑ B.1(1)1nn n ∞=-+∑ C.11(1)21nn n n ∞=+-+∑ D.1(1)2nnn ∞=-∑解：本题考查绝对收敛与条件收敛地概念,首先要知道无论是绝对收敛还是条件收敛都是满足收敛,只是收敛地“强度”不同罢了.选项A 与D 都是满足绝对收敛地,选项C 一般项地极限不是零,显然发散,只有选项B 满足条件收敛. 5.将二重积分D,{(,)|1}D x y x y x =≤≤≤化成极坐标下地二次积分,则得( )A.224d r drπθ⎰⎰B.240d dr πθ⎰C. 2224d r dr ππθ⎰⎰D. 2204d dr ππθ⎰解： 本题考查二重积分地极坐标变换,首先关键是画出积分区域来,作图如下： 本题积分区域形如右图阴影部分,显然答案选D. 6.函数x y xe -=单调递减且其图形为凸地区间是( )A ．(,2)-∞ B. (1,)+∞ C. (2,1)- D. (1,2) 解： 单调减就是一阶导数小于零,凸就是二阶导数小于零,于是(1),(2)x x y x e y x e --'''=-=-(1)0112(2)02x xx e x x x e x --⎧-<⇒>⇒<<⎨-<⇒<⎩,选D. 二．填空题（每小题4分,共24分）7.221lim()21xx x x →∞-=+解：本题考查“1∞”型地幂指函数求极限,利用“重要极限地推广公式”24lim 2lim 22222121212122lim()lim()lim(1)212121x x x x x x x x x x x x x x e e e x x x →∞→∞--⋅-++→∞→∞→∞-+--==+===+++ 8.已知()2f x '=,则0(2)(22)limx f x f x x→+--=_______________解：本题考查导数地定义,极限中地x 只是一个字母,一个无穷小而已,如同原始定义中地x ∆一样,从极限分子中可以看出自变量改变了(2)(22)3x x x +--=,于是0(2)(22)(2)(22)lim3lim 3(2)63x x f x f x f x f x f x x→→+--+--'===9.定积分2424sin sin cos x xdx x ππ-+=⎰___________. 解：本题考查定积分化简计算,即利用函数奇偶性2222444442200444240sin sin sin tan 2tan 2(sec 1)cos cos 2(tan )22x x x dx dx xdx xdx x dx x x x x ππππππππππ---+=+==-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰10.设(1,2,0),(1,2,1)ab ==-则()()a b a b +⨯-=_________.解：本题考查向量坐标地加法、减法以及叉乘运算 由已知可得()(0,4,1),()(2,0,1)a b a b +=-=-,则()()041(4,2,8)201i j ka b a b +⨯-==---11.设函数(,)zz x y =由方程1z xe yz +=所确定,则zy∂=∂_______. 解：本题考查多元隐函数求偏导,可以选择地方法有很多,比如“公式法”、“全微分法”、“两边求法”,这里我们采用两边求地方法,即对原方程两边同时关于x 求偏导得0zzz z e xe y x x ∂∂++=∂∂,解得z zz e x xe y∂=-∂+.当然本题用公式法做也很简单.12.幂级数2)nn x -地收敛域为__________. 解：本题考查利用系数模比值法求幂级数地收敛域因为1n x ρ===,所以1R =于是121x -<-<,所以13x <<；当1x=时,2)1)n n nn x -=-=（发散-P-级数）； 当3x=时,2)n n n nn x -==（收敛-莱布尼茨判别法）； 综上,收敛域为(1,3] 三．计算题（每题8分,共64分）13.求极限30sin lim arcsin x x x x→-解：原式=3220000233lim lim lim 6arcsin 12x x x x x x x x x x→→→→====---- 注：在本题地求解过程中使用了直接代入,即1x →=；并且利用(1)1x x μμ+-(0)x →,则12222111(1())1()22x x x =+---=- 14. 设函数()y y x =由方程1x y e xy +-=所确定,求(0),(0)y y '''解：本题考查隐函数求导,而且是求具体点地导数值当0=x时,代入原方程得0=y方程两边同时关于x 求导得 (1)()0x ye y y xy +''+-+= （*）代入0=x,0=y 得 1)0(-='y再对（*）式两边同时关于x 求导得 2[(1)][()]0x yx y e y e y y y xy ++'''''''++-++=整理得 2(1)()20x yx y e y e x y y ++''''+++-=代入0=x,0=y 及1)0(-='y 得 2)0(-=''y15.求不定积分⎰t =,则21,2x t dx tdt =+=,代入得22()2()t t t t te dt td e te e dt ===-⎰⎰⎰⎰2(1)1)t t e C C=-+=+16.求定积分4⎰t =,则242,33t x dx tdt -==；当0x =时2t =,当4x =时4t =； 代入得2344424222412221003(1)()399327t t tdt t dt t t -+==-=-=⎰⎰⎰ 17. 设(23,)xz f x y ye =+,其中f 有二阶连续偏导数,求2zx y∂∂∂ 解：121222x x zf f ye f ye f x∂''''=⋅+⋅=+∂2121112221222211122121222221112122(2)2(3)[1(3)]6236(23)x x x x x x x x x x x z f ye f f f e e f y f f e x y ye f f e f ye f ye f e f f y e f ye f f f ∂∂'''''''''''=+=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅∂∂∂'''''''''=+++⋅+'''''''=+++''''+=（ ）18. 设直线通过点(-1,2,0),垂直于直线12231x ty t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=--⎩又与平面231x y z -+=平行,求其方程解：设直线12231x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=--⎩地方向向量为0s ,平面231x y z -+=地法向量为0n ,则0(2,3,1),(1,2,3)s n =--=-,设所求直线地方向向量为s ,则00123(11,7,1)231i j ks n s =⨯=-=--于是所求直线方程为121171x y z+-==19.计算二重积分,{(,)|1}Dxdxdy D x y x y =≤≤≤≤⎰⎰解：由已知条件可知积分区域D 是由曲线222,2y x x y =+=所围成,在第一象限中地交点坐标为（1,1）,形如右图阴影部分,所以21112001((2)22Dx xdxdy dy y y dy ===--⎰⎰⎰⎰⎰ 321011117(2)(2)23223212y y y =--=⋅--= 注：本题有些同学可能会错误地认为阴影部分应该是,这是不正确地这是因为{(,)|1}D x y x y =≤≤≤≤若2{(,)|1}D x y x y x =≤≤≤≤,则就是第二个图中地阴影部分了.20.求微分方程32x y y y e '''-+=地通解解：原方程对应齐次线性微分方程地特征方程为2320rr -+=,解得121,2r r ==所以对应齐次线性微分方程地通解为212x x Y C e C e =+；又1λ=为其中地一个特征根,所以原方程地一个特解为*x y Axe =,则*(1)x y A x e '=+,*(2)x y A x e ''=+,代入原方程得(2)3(1)2x x x x A x e A x e Axe e +-++=,化简得1A =-所以*x y xe =-,所以通解为212x x x y C e C e xe =+-四．证明题（每小题9分,共18分）21.证明：当01x <<时,2sin 12xx e x -+<+证明：令2()sin 12xx f x e x -=+--,则()cos x f x e x x -'=-+-()sin 1x f x e x -''=--,()cos 0(01)x f x e x x -'''=--<<<,所以()f x ''单调递减,又(0)0f ''=,所以()0f x ''<,所以()f x '单调递减,又(0)0f '=,所以()0f x '<,所以()f x 单调递减,又(0)0f =,所以()0f x <,即当01x <<时,2sin 12xx e x -+<+注：本题是利用三阶导数相关信息一次次反推到原来地函数,即连续使用了三次利用导数证明不等式地方法,具体地关系图如下：()0()()0()()(0)0()0(0)0(0)0f x f x f x f x f x f f x f f ⎫⎫'''''⎫<⇒'''⇒<⇒⎪⎬⎪⇒''=⎬⎪⎭⇒<⎬⎪'=⎭⎪⎪=⎭ 22.设函数1,0()32,0x e x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩,证明()f x 在0x =处连续但不可导 证明：显然()f x 在0x =地函数值为(0)2f =因为lim ()lim(1)2,lim ()lim(32)2x x x x x f x e f x x --+-→→→→=+==+=,所以0lim ()2x f x →= 所以0lim ()(0)x f x f →=,即()f x 在0x =处连续因为0000000()(0)121lim lim lim lim 10()(0)3223lim lim lim 30x x x x x x x x x f x f e e xx x x x f x f x x x xx ----+--→→→→→→→-+--====--+-===-所以(0)(0)f f -+''≠,即左导数不等于右导数,所以()f x 在0x =处不可导综上所述()f x 在0x =处连续但不可导五．综合题（每题10分,共20分） 23.设函数3233y x ax bx c =+++在1x =-处取得极大值,且点(0,3)是其图形地拐点,求常数,,a b c 地值解：因为函数3233y x ax bx c =+++显然满足一阶和二阶可导,所以它地极值点1x =-是驻点（一阶导数等于零地点）,它地拐点(0,3)是二阶导数等于零地点 因为2363,66y x ax b y x a '''=++=+,且(0,3)在曲线上,所以综上可得(0)33(1)03630(0)060f c f a b f a ==⎧⎧⎪⎪'-=⇒-+=⎨⎨⎪⎪''==⎩⎩,解得013a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩24.求微分方程(2)0xdy x y dx +-=地一个解()y y x =,使曲线()y y x =于直线1,2x x ==及x 轴所围成地平面图形绕x 轴旋转一周所得地旋转体体积最小解：将上述微分方程变形为2220101dy dy dy xx y y y dx dx x dx x+-=⇒+-=⇒-=- 即21y y x '-=-,这是一个一阶非齐次线性微分方程,其中2(),()1P x Q x x=-=-通解为22()()222211[](())()dxdx xx y ee dx C x dx C x C Cx x x x---⎰⎰=-+=-+=+=+⎰⎰2543222224322111()(2)()523x C x Cx x V Cx x dx C x Cx x dx πππ=+=++=++⎰⎰231157()523C C π=++ 即231157()523V C C π=++,显然此时地体积V是一个关于参数C 地一元二次函数,是一条抛物线,由中学数学可知抛物线地顶点是最小值点,顶点坐标公式为24(,)24b ac ba a --,即当1575231212425b C a =-=-=-⋅时取得最小值因此所求函数为275124y x x =-+ 注：本题涉及到画图地问题,对于抛物线2y Cx x =+,我们知道它一定过原点（0,0）,但是常数C 地正负性不知道,也就是不知道抛物线开口向上还是向下.由于本题只是求旋转体体积,所以只要画出大致图形即可.不过,光知道经过原点是不够地,会有很多种情况,从而围成地图形也不一样.我们做如下地讨论当0C>时,对称轴为1022b x a C =-=-<,即此时抛物线开口向上且对称轴在y 轴地左边； 当0C <时,对称轴为1022b x a C=-=->,即此时抛物线开口向下且对称轴在y 轴地右边边 因此就是下面这两种图形：由旋转体体积公式可知,不管是哪种图形,其体积公式都是2221()x V Cx x dx π=+⎰。
