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反比例函数知识点知识点总结反比例函数知识点总结一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。
其中，x 是自变量，y 是因变量，k 叫做比例系数。
需要注意的是，反比例函数中自变量 x 的取值范围是x≠0，因为在分母中，分母不能为 0。
二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式：1、 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0），这是最基本的形式。
2、 xy ＝ k（k 为常数，k≠0），通过对 y ＝ k/x 两边同时乘以 x 得到。
3、 y ＝ kx^（－1)（k 为常数，k≠0），这是用幂的形式表示。
三、反比例函数的图像反比例函数的图像属于双曲线。
当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小。
当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。
反比例函数的图像是以原点为对称中心的中心对称的两条曲线。
四、反比例函数的性质1、单调性当 k＞0 时，函数在区间（∞，0）和（0，＋∞）上分别单调递减；当 k＜0 时，函数在区间（∞，0）和（0，＋∞）上分别单调递增。
2、对称性反比例函数的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形。
它有两条对称轴，分别是直线 y ＝ x 和 y ＝ x；对称中心是原点（0，0）。
3、渐近线当 x 趋近于正无穷或负无穷时，曲线无限接近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。
4、取值范围当 k＞0 时，y＞0 或 y＜0；当 k＜0 时，y＜0 或 y＞0。
五、反比例函数中 k 的几何意义1、过反比例函数 y ＝ k/x（k≠0）图像上任意一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线 PM、PN，垂足分别为 M、N，则矩形 PMON 的面积 S ＝PM×PN ＝｜y|×｜x| ＝｜xy| ＝｜k|。
反比例函数是什么？反比例函数相关知识1：反比例函数是什么？反比例函数的定义域和值域因为x在分母上，所以x≠0，即自变量X的取值范围为非零实数。
而且常数k≠0，因此y≠0，即因变量y的`取值范围为非零实数。
反比例函数的图像及其性质形状：反比例函数的图象是两条双曲线，每一条曲线都无限向X轴Y轴延伸但不与坐标轴相交。
增减性：当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。
对称性：反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x和y=-x，对称中心是坐标原点。
2：反比例函数知识点1、反比例函数的表达式X是自变量，Y是X的函数y=k/x=k?1/xxy=ky=k?x^(-1)(即：y等于x的负一次方，此处X必须为一次方)y=kx(k为常数且k≠0，x≠0)若y=k/nx此时比例系数为：k/n2、函数式中自变量取值的范围①k≠0;②在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数y的取值范围也是任意非零实数。
解析式y=k/x其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于0的一切实数y=k/x=k?1/xxy=ky=k?x^(-1)y=kx(k为常数(k≠0)，x不等于0)3、反比例函数图象反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线(hyperbola)，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交(K≠0)。
4、反比例函数中k的几何意义是什么?有哪些应用?过反比例函数y=k/x(k≠0)，图像上一点P(x，y)，作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=x的绝对值_y的.绝对值=(x_y)的绝对值=|k|研究函数问题要透视函数的本质特征。
反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM?PN=|y|?|x|=|xy|=|k|。
新人教版九年数学下第二十六章 反比例函数知识点总结26.1知识点1 反比例函数的定义 一般地，形如xky =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①xky =（0k ≠）， ②1kx y -=（0k ≠），③k y x =⋅（定值）（0k ≠）；⑸函数x k y =（0k ≠）与ykx =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x 也是y 的反比例函数。
（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，xky =，就不是反比例函数了，由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
26.2知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数xky =（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。
26.3知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量0x ≠，函数值0y ≠，所以它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
26.4知识点4反比例函数的性质☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：反比例函数xky =（0k ≠） k 的符号0k >0k <图像性质①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是0y ≠②当0k >时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小。
九年级数学反比例函数知识点数学属于形式科学，而不是自然科学。
不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。
下面是整理的九年级数学反比例函数知识点，仅供参考希望能够帮助到大家。
九年级数学反比例函数知识点(1)反比例函数：如果(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的反比例函数。
(2)反比例函数的图象：反比例函数的图象是双曲线。
(3)反比例函数的性质①当k0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y随x的增大而减小。
②当k0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y随x的增大而增大。
③反比例函数图象关于直线y=±x对称，关于原点对称。
(4)k的两种求法①若点(x0，y0)在双曲线上，则k=x0y0。
②k的几何意义：若双曲线上任一点A(x，y)，AB⊥x轴于B，则S⊥AOB。
(5)正比例函数和反比例函数的交点问题若正比例函数y=k1x(k1≠0)，反比例函数，则当k1k20时，两函数图象无交点;当k1k20时，两函数图象有两个交点，由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称。
初中数学有理数知识点1、正整数、负整数和零统称整数;正分数和负分数统称分数;整数和分数统称有理数。
2、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
在数轴上的数，左边的比右边的大，从左到右分别为负数、零、正数。
3、正负号不同，值相同的数叫相反数，零的相反数是零。
4、数轴上表示的数a到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值零。
5、两个负数比较，绝对值大的反而小。
6、有理数加减法法则：①同号两数相加，取相同符号，绝对值相加。
②绝对值不同的异号两数相加，取绝对值大的数的符号，并用较大数绝对值减去较小数绝对值。
③互为相反数的两个数相加得零。
④一个数与零相加，仍得这个数。
7、有理数加法运算律：①交换律：a+b=b+a②结合律：(a+b)+c=a+(b+c)8、有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
中考复习反比例函数根底知识〔一〕反比例函数的概念1．〔〕可以写成〔〕的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．〔〕也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．〔二〕反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点〔关于原点对称〕．〔三〕反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：〔〕2．自变量的取值范围：3．图象：〔1〕图象的形状：双曲线．（越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．图像越远离坐标轴越小，图象的弯曲度越大．图像越靠近坐标轴2〕图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．〔3〕对称性：图象关于原点对称，即假设〔a，b〕在双曲线的一支上，那么〔，〕在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即假设〔a，b〕在双曲线的一支上，那么〔，〕和〔，〕在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P〔a，b〕是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，那么矩形PBOA的面积是〔三角形PAO和三角形PBO的面积都是〕．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，那么有三角形PQC 的面积为．图1图25．说明：1〕双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．〔2〕直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．〔四〕实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：〔1〕待定系数法；〔2〕根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．〔五〕充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析1．反比例函数的概念〔1〕以下函数中，y是x的反比例函数的是〔〕．A．y=3x B．C．3xy=1D．〔2〕以下函数中，y是x的反比例函数的是〔〕．A．B．C．D．2．图象和性质〔1〕函数是反比例函数，①假设它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②假设y随x的增大而减小，那么k=___________．〔2〕一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，那么函数的图象位于第______象限．〔3〕假设反比例函数经过点〔，2〕，那么一次函数的图象一定不经过第_____象限．〔4〕a·b＜0，点P〔a，b〕在反比例函数的图象上，那么直线不经过的象限是〔〕．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限〔5〕假设P〔2，2〕和Q〔m，〕是反比例函数图象上的两点，那么一次函数y=kx+m的图象经过〔〕．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限〔6〕函数和〔k≠0〕，它们在同一坐标系内的图象大致是〔〕．A．B．C．D．3．函数的增减性〔1〕在反比例函数的图象上有两点，，且，那么的值为〔〕．A．正数B．负数C．非正数D．非负数〔2〕在函数〔a为常数〕的图象上有三个点，，，那么函数值、、的大小关系是〔〕．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜〔3〕以下四个函数中：①；②；③；④．y随A．0个x的增大而减小的函数有〔B．1个〕．C．2个D．3个〔4〕反比例函数时，这个反比例函数的函数值的图象与直线y随x的增大而y=2x和y=x+1的图象过同一点，那么当〔填“增大〞或“减小〞〕．x＞04．解析式确实定〔1〕假设与A．正比例函数成反比例，与成正比例，那么B．反比例函数y是z的〔〕．C．一次函数D．不能确定〔2〕假设正比例函数y=2x 与反比例函数的图象有一个交点为〔2，m〕，那么m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．〔3〕反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．〔4〕一次函数y=x+m与反比例函数〔〕的图象在第一象限内的交点为P〔x，3〕．①求x的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．。
初三反比例函数知识点反比例函数知识点概述一、反比例函数的定义反比例函数是形如y = k/x (k ≠ 0，x ≠ 0) 的函数，其中 k 为常数，称为比例常数，x 为自变量，y 为因变量。
二、反比例函数的图象1. 形状：反比例函数的图象是一组双曲线。
2. 位置：当 k > 0 时，图象位于第一和第三象限；当 k < 0 0 时，图象位于第二和第四象限。
3. 对称性：反比例函数的图象关于原点对称。
三、反比例函数的性质1. 单调性：在每一象限内，随着 x 的增大，y 也增大；随着 x 的减小，y 也减小。
2. 无界性：当 x 趋向于 0 时，y 趋向于无穷大；当 x 趋向于无穷大时，y 趋向于 0。
3. 交点：反比例函数的图象不与 x 轴和 y 轴相交。
四、反比例函数的应用反比例函数常用于描述两个变量间的反比关系，如物理中的压力与体积的关系（波义耳定律），化学中的浓度与体积的关系等。
五、反比例函数的运算1. 复合函数：若有两个反比例函数 y = k1/x 和 w = k2/z，它们的复合函数为 v = (k1/x) / (k2/z) = (k1/k2) * z/x。
2. 反函数：反比例函数的反函数仍然是一个反比例函数，形式为 x =k/y。
六、反比例函数的图像变换1. 平移：若原函数为 y = k/x，将其向右平移 a 个单位，向上平移b 个单位，新函数为 y = k/(x-a) + b。
2. 伸缩：若原函数为 y = k/x，将其横向伸缩 m 倍，纵向伸缩 n 倍，新函数为 y = k/(m*x)。
七、反比例函数的极值问题反比例函数没有最大值和最小值，但可以通过求导数来分析函数的增减性。
八、反比例函数的积分与微分1. 微分：对于函数 y = k/x，其导数为 dy/dx = -k/x^2。
2. 积分：对于函数 y = k/x，其不定积分为∫(k/x)dx = k*ln|x| + C。
九、反比例函数的方程求解1. 解析解：通过交叉相乘法等代数方法求解。
反比例函数知识点k k 1. 定义：一般地，形如y （k为常数，k o）的函数称为反比例函数。
y 还可x x 以写成y kx 1，xy=k, （k为常数，k o）.2. 反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数y，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k），分母中含有自变量x,且指数为1.⑵比例系数k 0 ⑶自变量x的取值为一切非零实数。
⑷函数y的取值是一切非零实数。
3. 反比例函数的图像⑴图像的画法：描点法①列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）②描点（有小到大的顺序③连线（从左到右光滑的曲线）k⑵反比例函数的图像是双曲线，y （k为常数，k 0 ）中自变量x 0，函数值xy 0，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是y x或y x ）。
k k⑷反比例函数y （k 0）中比例系数k的几何意义是：过双曲线y （k 0）x x 上任意引x轴y轴的垂线，所得矩形面积为k。
4. 反比例函数性质与k的符号有关:5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一组对应值或图像上一个点的坐标即可求出k）6•“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数，但是反比k例函数y 中的两个变量必成反比例关系。
X反比例函数练习选择题1.函数y(m 2)x m2m 9是反比例函数，贝U m的值是（）A.m4或m 2B.m 4 C.m 2 D. m 12.下列函数中，是反比例函数的是( )A .yX2B. y1 C.2x1 D 1 y 1 D. yXX3.函数y kx与y k /(kX0）的图象的交点个数是/ ）A.0 B. 1 C. 2 D.不确定4.函数y kx b 与yk—(kb0）的图象可能是（）Xy iyA B C DA . 4 二.填空题1. _________________________ 已知y 是x 的反比例函数，当 件的函数表达式 _________________________2. 已知反比例函数 y 2，当y 6时，X __________________ 。
九年级数学讲义（反比例函数）I 、知识点讲解知识点一：反比例函数的概念一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成ky x=（k 为常数，）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 注：（1）反比例函数k y x =中的k x 是一个分式,自变量x ≠0, ky x=也可写成1y kx -=或xy k =，其中k ≠0；（2）在反比例函数1y kx -=（k ≠0）中，x 的指数是－1。
如，5y x=也写成：15y x -=； （3）在反比例函数k y x =（k ≠0）中要注意分母x 的指数为1，如21y x=就不是反比例函数。
知识点二：反比例函数的图象 反比例函数(0)ky k x=≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 注：（1）观察反比例函数(0)ky k x=≠的图象可得：x 和y 的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点． （2）用描点法画反比例函数y= kx的图象时，应注意自变量x 的取值不能为0，一般应从1或-1开始对称取点.（3）在一个反比例函数图象上任取两点P ，Q ，过点P ，Q 分别作x 轴，y 轴的平行线，与两坐标轴分别围成的矩形面积为S 1，S 2 则S 1＝S 2． 知识点三：反比例函数的性质 1．图象位置与函数性质当k>0时，x 、y 同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小； 当k<0时，x 、y 异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大. 2．若点(a,b)在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上，则点（-a,-b ）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称；3．正比例函数与反比例函数的性质比较。
人教版九年级数学反比例函数知识点归纳一、知识结构二、研究目标1.理解和掌握反比例函数的概念，能根据实际问题确定反比例函数的解析式，以及判断一个函数是否为反比例函数。
2.能够描点画出反比例函数的图像，使用代入系数法求解反比例函数的解析式，并进一步理解函数的三种表示方法：列表法、解析式法和图像法的特点。
3.能够分析反比例函数的函数关系和性质，以及利用这些性质解决一些简单的实际问题。
4.能够在实际问题中找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，并解决实际问题，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型。
5.进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，以及认识数形结合的思想方法。
三、重点难点1.重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图像及其性质的理解、掌握和运用。
2.难点是反比例函数及其图像的性质的理解和掌握。
二、基础知识一、反比例函数的概念1.y=k/x，其中k为常数，x≠0.2.xy=k，可以迅速求出反比例函数的解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。
3.反比例函数的图像与x轴、y轴无交点，因为x≠0.二、反比例函数的图像1.在使用描点法画反比例函数的图像时，应注意自变量x 的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）。
2.自变量的取值范围为x≠0.3.反比例函数的图像为双曲线。
三、反比例函数及其图像的性质1.函数解析式为y=k/x。
2.反比例函数的图像的两支分别位于一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。
3.反比例函数的图像的两支分别位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
4.反比例函数的图像关于原点对称。
5.反比例函数的图像与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线。
6.k的几何意义为反比例函数的图像与y=kx的直线的交点的y坐标。
反比例函数知识点归纳和典型例题一、知识结构二、研究目标1.理解和掌握反比例函数的概念，能根据实际问题确定反比例函数的解析式，以及判断一个函数是否为反比例函数。
一、反比例函数的定义：
反比例函数是指其表达式可以表示为y=k/x（k≠0），其中k为常数，x≠0。
二、反比例函数的一般式：
1.y=k/x
2.k为比例系数，表示常数项。
三、反比例函数的图像特点：
1.垂直于y轴；
2.不过原点，但会经过x轴的正半轴和y轴的正半轴；
3.上升（k>0）或下降（k<0）。
四、反比例函数的性质：
1.定义域：x≠0，值域：y≠0
2.渐近线：x轴和y轴是反比例函数的渐近线。
3.对称性：关于y轴对称。
4.单调性：k>0时，单调递减；k<0时，单调递增。
五、反比例函数图像的平移：
1.y=k/(x-h)：左右平移h个单位；
2.y=k/(x)+v：上下平移v个单位。
六、反比例函数与直线的关系：
1. 反比例函数与直线y=kx的图像在一起；
2. 直线y=kx可以看做反比例函数的简化形式，即k=1
七、反比例函数的应用：
1.反比例函数在实际中常用于描述两个变量之间的比例关系，如一方
的量增大，另一方的量就会减小的规律。
2.可以用反比例函数解决实际问题，如物品的价格与销量之间的关系、速度与时间之间的关系等。
人教版九年级数学下册知识点总结第二十六章、反比例函数知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下2种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.。
新人教版初中数学——反比例函数知识点归纳及典型题解析一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念一般地，函数kyx=（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx-=的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2．反比例函数kyx=（k是常数，k≠0）中x，y的取值范围反比例函数kyx=（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数．二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．表达式kyx=（k是常数，k≠0）k k>0 k<0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数kyx=中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x 的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数kyx=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k |；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+； （3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-． 五、反比例函数与一次函数的综合 1．涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对12y y >时自变量x 的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x 的范围.例如，如下图，当12y y >时，x 的取值范围为A x x >或0B x x <<；同理，当12y y <时，x 的取值范围为0A x x <<或B x x <．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．六、反比例函数的实际应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．考向一反比例函数的定义1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x的指数为1．典例1 下列函数中，y与x之间是反比例函数关系的是A．xy2B．3x+2y=0C．y=kxD．y=21x【答案】A【解析】A、xy=2属于反比例函数，故此选项正确；B、3x+2y=0是一次函数，故此选项错误；C、y=kx（k≠0），不属于反比例函数，故此选项错误；D 、y =21x +，是y 与x +1成反比例，故此选项错误． 故选A ．1．下列函数：①2x y =；②2y x =；③12y x=-；④12y x -=中，是反比例函数的有 A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个考向二 反比例函数的图象和性质当k >0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k <0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y 随x 的增大而增大．双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．典例2 在同一平面直角坐标系中，函数y =﹣x +k 与y =kx（k 为常数，且k ≠0）的图象大致是 A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵函数y =﹣x +k 与y =kx（k 为常数，且k ≠0），∴当k >0时，y =﹣x +k 经过第一、二、四象限，y =k x 经过第一、三象限，故选项D 错误，当k <0时，y =﹣x +k 经过第二、三、四象限，y =kx经过第二、四象限，故选项C 正确，选项A 、B 错误，故选C ． 典例3 反比例函数3y x=-的图象在 A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、三象限D ．第二、四象限【答案】D【解析】因为30k =-<，故图象在第二、四象限，故选D ． 典例4 已知点A （1，m ），B （2，n ）在反比例函数(0)ky k x=<的图象上，则 A ．0m n << B ．0n m << C ．0m n >>D ．0n m >>【答案】A【解析】∵反比例函数(0)k y k x =<，它的图象经过A （1，m ），B （2，n ）两点，∴m =k <0，n =2k<0，∴0m n <<，故选A ．2．对于函数4y x=，下列说法错误的是 A ．这个函数的图象位于第一、第三象限B ．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C ．当x >0时，y 随x 的增大而增大D ．当x <0时，y 随x 的增大而减小3．下列函数中，当x <0时，y 随x 的增大而减小的是 A ．y =x B ．y =2x –1 C ．y =3x D ．y =–1x4．如图是三个反比例函数y =1k x ，y =2kx ，y =3k x在x 轴上方的图象，由此观察得到k 1，k 2，k 3的大小关系为A ．k 1>k 2>k 3B ．k 3>k 2>k 1C ．k 2>k 3>k 1D ．k 3>k 1>k 2考向三 反比例函数解析式的确定1．反比例函数的解析式ky x=（k ≠0）中，只有一个待定系数k ，确定了k 值，也就确定了反比例函数，因此要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x ，y 的对应值或图象上一个点的坐标，代入k y x=中即可．2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y 的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k ，则点在图象上，若乘积不等于k ，则点不在图象上．典例5 若反比例函数的图象经过点()32，-，则该反比例函数的表达式为 A ．6y x = B ．6y x =-C ．3y x=D ．3y x=-【答案】B【解析】设反比例函数为：ky x=．∵反比例函数的图象经过点（3，-2），∴k =3×（-2）=-6．故反比例函数为：6y x=-，故选B ． 典例6 如图，某反比例函数的图象过点M （-2，1），则此反比例函数表达式为A．y=2xB．y=-2xC．y=12xD．y=-12x【答案】B【解析】设反比例函数表达式为y=kx，把M（2-，1）代入y=kx得，k=（-2）×1=-2，∴2yx=-，故选B．典例7 如图，C1是反比例函数y=kx在第一象限内的图象，且过点A（2，1），C2与C1关于x轴对称，那么图象C2对应的函数的表达式为__________（x>0）．【答案】y=–2 x【解析】∵C2与C1关于x轴对称，∴点A关于x轴的对称点A′在C2上，∵点A（2，1），∴A′坐标（2，–1），∴C2对应的函数的表达式为y=–2x，故答案为y=–2x．5．已知反比例函数y=-6x，下列各点中，在其图象上的有A．（-2，-3）B．（2，3）C．（2，-3）D．（1，6）6．点A为反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5，则x轴的距离为3，若点A在第二象限内，则这个函数的解析式为A．y=12xB．y=-12xC．y=112xD．y=-112x7．在平面直角坐标系中，点P（2，a）在反比例函数y=2x的图象上，把点P向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到点Q，则经过点Q的反比例函数的表达式为__________．考向四反比例函数中k的几何意义三角形的面积与k的关系（1）因为反比例函数kyx中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为12|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．典例8 如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴，y轴上，顶点A在第二象限，点B的坐标为（﹣2，0）．将线段OC绕点O逆时针旋转60°至线段OD，若反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过A、D两点，则k值为__________．163【解析】如图，过点D作DE⊥x轴于点E，∵点B 的坐标为（﹣2，0），∴AB =﹣2k ，∴OC =﹣2k ， 由旋转性质知OD =OC =﹣2k，∠COD =60°，∴∠DOE =30°， ∴DE =12OD =﹣14k ，OE =OD ·cos30°=32×（﹣2k ）=﹣34k ， 即D （﹣34k ，﹣14k ），∵反比例函数y =kx（k ≠0）的图象经过D 点， ∴k =（﹣34k ）（﹣14k ）=316k 2，解得：k =0（舍）或k =﹣1633，故答案为：﹣1633． 典例9 如图，已知双曲线ky x经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ，若 △OBC 的面积为9，则k =__________．【答案】6【解析】如图，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，∵△ODE的面积和△OAC的面积相等．∴△OBC的面积和四边形DEAB的面积相等且为9．设点D的横坐标为x，纵坐标就为kx，∵D为OB的中点．∴EA=x，AB=2kx，∴四边形DEAB的面积可表示为：12（kx+2kx）x=9；k=6．故答案为：6．【名师点睛】过反比例函数图象上的任一点分别向两坐标轴作垂线段，垂线段与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|，结合函数图象所在的象限可以确定k的值，反过来，根据k的值，可以确定此矩形的面积．在解决反比例函数与几何图形综合题时，常常需要考虑是否能用到k的几何意义，以简化运算．8．如图，A、B两点在双曲线4yx=的图象上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知1S=阴影，则12S S+=A．8 B．6 C．5 D．49．如图，点A，B是反比例函数y=kx（x>0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA、BC，已知点C（2，0），BD=3，S△BCD=3，则S△AOC为A．2 B．3 C．4 D．610．如图，等腰三角形ABC的顶点A在原点，顶点B在x轴的正半轴上，顶点C在函数y=kx（x>0）的图象上运动，且AC=BC，则△ABC的面积大小变化情况是A．一直不变B．先增大后减小C．先减小后增大D．先增大后不变考向五反比例函数与一次函数的综合反比例函数与一次函数综合的主要题型：（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．典例10 在同一平面直角坐标系中，函数1yx=-与函数y=x的图象交点个数是A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】∵y=x的图象是过原点经过一、三象限，1yx=-的图象在第二、四象限内，但不过原点，∴两个函数图象不可能相交，故选A．典例11 已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=kx在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当y1<y2时，x的取值范围是A．x<-1或0<x<3 B．-1<x<0或x>3 C．-1<x<0 D．x>3【答案】B【解析】根据图象知，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=kx的交点是（-1，3），（3，-1），∴当y1<y2时，-1<x<0或x>3，故选B．【名师点睛】本题主要考查函数图象的交点，把不等式转化为函数图象的高低是解题的关键，注意数形结合思想的应用．典例12 如图，已知直线y=–13x+10与双曲线y=kx（x>0）交于A、B两点，连接OA，若OA⊥AB，则k的值为A．910B．2710C 910D2710【答案】B【解析】如图，过A 作AE ⊥OD 于E ，∵直线解析式为y =–13x +10，∴C （0，10），D （310，0）， ∴OC =10，OD =310，∴Rt △COD 中，CD =22 O C OD +=10， ∵OA ⊥AB ，∴12CO ×DO =12CD ×AO ， ∴AO =3，∴AD =22OD OA -=9， ∵12OD ×AE =12AO ×AD ，∴AE =91010， ∴Rt △AOE 中，OE =22AO AE -=229103()10-=31010，∴A （31010，91010）， ∴代入双曲线y =k x ，可得k =31010×91010=2710，故选B ．11．已知反比例函数y =kx（k ≠0），当x >0时，y 随x 的增大而增大，那么一次函数y =kx -k 的图象经过 A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限12．如图，已知A （–4，n ），B （2，–4）是一次函数y =kx +b 和反比例函数y =mx的图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△AOB 的面积．考向六反比例函数的应用用反比例函数解决实际问题的步骤（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；（5）解：用函数解析式去解决实际问题．典例13 某化工车间发生有害气体泄漏，自泄漏开始到完全控制利用了40min，之后将对泄漏有害气体进行清理，线段DE表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（0≤x≤40），反比例函数y=kx对应曲线EF表示气体泄漏控制之后车间危险检测表显示数据y与时间x（min）之间的函数关系（40≤x≤？）．根据图象解答下列问题：（1）危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是__________；（2）求反比例函数y =__________的表达式，并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x 的值．【解析】（1）当0≤x ≤40时，设y 与x 之间的函数关系式为y =ax +b ， （10，35）和（30，65）在y =ax +b 的图象上， 把（10，35）和（30，65）代入y =ax +b ，得10353065a b a b +=+=⎧⎨⎩，得 1.520a b ==⎧⎨⎩， ∴y =1.5x +20，当x =0时，y =1.5×0+20=20， 故答案为：20；（2）将x =40代入y =1.5x +20，得y =80，∴点E （40，80）， ∵点E 在反比例函数y =kx的图象上， ∴80=40k，得k =3200， 即反比例函数y =3200x ，当y =20时，20=3200x，得x =160，即车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x 的值是160．13．如图为某种材料温度y （℃）随时间x （min ）变化的函数图象．已知该材料初始温度为15℃，温度上升阶段y 与时间x 成一次函数关系，且在第5分钟温度达到最大值60℃后开始下降；温度下降阶段，温度y 与时间x 成反比例关系．（1）分别求该材料温度上升和下降阶段，y 与x 间的函数关系式；（2）根据工艺要求，当材料的温度高于30℃时，可以进行产品加工，问可加工多长时间？1．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是 A ．x (y –1)=1B ．15y x =- 1C 3y x=． 21D y x=．2．已知反比例函数y =8k x-的图象位于第一、三象限，则k 的取值范围是 A ．k >8 B ．k ≥8 C ．k ≤8D ．k <83．如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 1=1k x（x >0）及y 2=2k x （x >0）的图象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为2，则k 1-k 2的值为A ．2B ．3C ．4D ．-44．若点A （–5，y 1），B （–3，y 2），C （2，y 3）在反比例函数3y x=的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 A ．y 1<y 3<y 2 B ．y 2<y 1<y 3 C ．y 3<y 2<y 1D ．y 1<y 2<y 35．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y 1=kx +b （k 、b 是常数，且k ≠0）与反比例函数y 2=cx（c 是常数，且c ≠0）的图象相交于A （-3，-2），B （2，3）两点，则不等式y 1>y 2的解集是A ．-3<x <2B ．x <-3或x >2C ．-3<x <0或x >2D ．0<x <26．一次函数y =ax +b 与反比例函数a by x-=，其中ab <0，a 、b 为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是 A ． B ．C．D．7．反比例函数y=ax(a>0，a为常数)和y=2x在第一象限内的图象如图所示，点M在y=ax的图象上，MC⊥x轴于点C，交y=2x的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y=2x的图象于点B．当点M在y=ax的图象上运动时，以下结论：①S△ODB=S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，则点B 是MD的中点．其中正确结论的个数是A．0个B．1个C．2个D．3个8．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x、y轴上，点B坐标为（6，4），反比例函数y=6x的图象与AB边交于点D，与BC边交于点E，连接DE，将△BDE沿DE翻折至△B'DE处，点B'恰好落在正比例函数y=kx图象上，则k的值是A．-25B．-121C．-15D．-1249．已知(),3A m、()2,B n-在同一个反比例函数图像上，则mn=__________．10．如图，直线分别与反比例函数2yx=-和3yx=的图象交于点A和点B，与y轴交于点P，且P为线段AB的中点，作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴交于点D，则四边形ABCD的面积是__________．11．如图，正方形ABCD的边长为2，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y=kx（x<0）的图象经过点B和CD边中点E，则k的值为__________．12．如图，点A，B在反比例函数kyx=（k>0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是__________．13．如图，已知反比例函数kyx=与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，-k+4）．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．14．如图，已知A （-4，n ），B （2，-4）是一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数my x=的图象的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； （3）求方程0x xk b m+-<的解集（请直接写出答案）．15．一般情况下，中学生完成数学家庭作业时，注意力指数随时间x （分钟）的变化规律如图所示（其中AB 、BC 为线段，CD 为双曲线的一部分）． （1）分别求出线段AB 和双曲线CD 的函数关系式；（2）若学生的注意力指数不低于40为高效时间，根据图中信息，求出一般情况下，完成一份数学家庭作业的高效时间是多少分钟？1．已知点A （1，–3）关于x轴的对称点A'在反比例函数y=kx的图象上，则实数k的值为A．3 B．1 3C．–3 D．–1 32．若点（–1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y=kx（k<0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是A．y1>y2>y3B．y3>y2>y1 C．y1>y3>y2D．y2>y3>y13．在同一平面直角坐标系中，函数y=﹣x+k与y=kx（k为常数，且k≠0）的图象大致是A．B．C．D．4．如图，函数y=1(0)1(0)xxxx⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩的图象所在坐标系的原点是A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q5．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，平行四边形OABC 的顶点A 在反比例函数y =1x上，顶点B 在反比例函数y =5x上，点C 在x 轴的正半轴上，则平行四边形OABC 的面积是A ．32B ．52C ．4D ．66．在平面直角坐标系xOy 中，点A （a ，b ）（a >0，b >0）在双曲线y =1k x上，点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线y =2k x，则k 1+k 2的值为__________． 7．如图，在平面直角坐标中，点O 为坐标原点，菱形ABCD 的顶点B 在x 轴的正半轴上，点A 坐标为（–4，0），点D 的坐标为（–1，4），反比例函数y =k x（x >0）的图象恰好经过点C ，则k 的值为__________．8．如图，菱形ABCD 顶点A 在函数y =3x （x >0）的图象上，函数y =kx（k >3，x >0）的图象关于直线AC 对称，且经过点B 、D 两点，若AB =2，∠BAD =30°，则k =__________．9．已知y 是x 的反比例函数，并且当x =2时，y =6． （1）求y 关于x 的函数解析式； （2）当x =4时，求y 的值．10．如图，一次函数y =k 1x +b 的图象与反比例函数y =2k x的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（–1，4），点B 的坐标为（4，n ）． （1）根据图象，直接写出满足k 1x +b >2k x的x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式；（3）点P 在线段AB 上，且S △AOP ∶S △BOP =1∶2，求点P 的坐标．1．【答案】C【解析】①不是正比例函数，②③④是反比例函数，故选C ． 2．【答案】C【解析】根据反比例函数的图象与性质，可由题意知k =4>0，其图象在一三象限，且在每个象限内y 随x 增大而减小，它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故选C ． 3．【答案】C【解析】A 、为一次函数，k 的值大于0，y 随x 的增大而增大，不符合题意； B 、为一次函数，k 的值大于0，y 随x 的增大而增大，不符合题意； C 、为反比例函数，k 的值大于0，x <0时，y 随x 的增大而减小，符合题意；变式拓展D、为反比例函数，k的值小于0，x<0时，y随x的增大而增大，不符合题意；故选C．4．【答案】B【解析】由图知，y y y k1<0，k2>0，k3>0，又当x=1时，有k2<k3，∴k3>k2>k1，故选B．5．【答案】C【解析】∵反比例函数y=-6x中，k=-6，∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为-6的点在函数图象上，四个选项中只有C选项符合，故选C．6．【答案】B【解析】设A点坐标为（x，y）．∵A点到x轴的距离为3，∴|y|=3，y=±3．∵A点到原点的距离为5，∴x2＋y2=52，解得x=±4，∵点A在第二象限，∴x=-4，y=3，∴点A的坐标为（-4，3），设反比例函数的解析式为y=kx，∴k=-4×3=-12，∴反比例函数的解析式为y=12x，故选B．7．【答案】y=15 x【解析】∵点P（2，a）在反比例函数y=2x的图象上，∴代入得：a=22=1，即P点的坐标为（2，1），∵把点P向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到点Q，∴Q的坐标是（5，3），设经过点Q的反比例函数的解析式是y=cx，把Q点的坐标代入得：c=15，即y=15x，故答案为：y=15x．8．【答案】B【解析】∵点A、B是双曲线y=4x上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S1+S2=4+4-1×2=6，故选B．9．【答案】D【解析】在Rt △BCD 中， ∵12×CD ×BD =3，∴12×CD ×3=3，∴CD =2， ∵C （2，0），∴OC =2，∴OD =4，∴B （4，3）， ∵点B 是反比例函数y =kx（x >0）图象上的点，∴k =12， ∵AC ⊥x 轴，∴S △AOC =2k=6，故选D ． 10．【答案】A【解析】如图，作CD ⊥AB 交AB 于点D ，则S △ACD =2k，∵AC =BC ，∴AD =BD ，∴S △ACD =S △BCD ， ∴S △ABC =2S △ACD =2×2k =k ，∴△ABC 的面积不变，故选A ．11．【答案】B【解析】∵当x >0时，y 随x 的增大而增大，∴反比例函数ky x=（k ≠0）的图象在二、四象限，∴k <0，∴一次函数y =kx -k 的图象经过第一、二、四象限，故选B ． 12．【解析】（1）∵B （2，–4）在y =mx图象上， ∴m =–8．∴反比例函数的解析式为y =–8x． ∵点A （–4，n ）在y =–8x图象上， ∴n =2，∴A （–4，2）．∵一次函数y =kx +b 图象经过A （–4，2），B （2，–4），∴4224k b k b -+=+=-⎧⎨⎩，解得12k b =-=-⎧⎨⎩．∴一次函数的解析式为y =–x –2；（2）如图，令一次函数y =–x –2的图象与y 轴交于C 点，当x=0时，y=–2，∴点C（0，–2）．∴OC=2，∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=12×2×4+12×2×2=6．13．【解析】（1）当0≤x<5时，为一次函数，设一次函数表达式为y=kx+b，由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），所以15560bk b=+=⎧⎨⎩，解得：159bk==⎧⎨⎩，所以y=9x+15，当x≥15时，为反比例函数，设函数关系式为：y=mx，由于图象过点（5，60），所以m=300．则y=300x；（2）当0≤x<5时，y=9x+15=30，得x=53，因为y随x的增大而增大，所以x>53，当x≥5时，y=300x=30，得x=10，因为y随x的增大而减小，所以x<10，10–53=253．答：可加工253min．1．【答案】C考点冲关【解析】由反比例函数的定义知，13y x=是y 关于x 的反比例函数，其余的不是y 关于x 的反比例函数.故选C ． 2．【答案】A【解析】∵反比例函数y =8k x-的图象位于第一、三象限，∴k –8>0，解得k >8，故选A ． 3．【答案】C【解析】根据反比例函数k 的几何意义可知：△AOP 的面积为12k ，△BOP 的面积为22k， ∴△AOB 的面积为12k −22k ， ∴12k −22k =2，∴k 1–k 2=4，故选C ． 4．【答案】B【解析】∵点（–5，y 1）、（–3，y 2）、（2，y 3）都在反比例函数y =3x上， ∴y 1=–35，y 2=–1，y 3=32． ∵–35<–1<32，∴y 2<y 1<y 3，故选B ．5．【答案】C【解析】∵一次函数y 1=kx +b （k 、b 是常数，且k ≠0）与反比例函数y 2=cx（c 是常数，且c ≠0）的图象相交于A （-3，-2），B （2，3）两点， ∴不等式y 1>y 2的解集是-3<x <0或x >2， 故选C ． 6．【答案】C【解析】A ．由一次函数图象过一、三象限，得a >0，交y 轴负半轴，则b <0，满足ab <0， ∴a −b >0，∴反比例函数y =a bx-的图象过一、三象限，所以此选项不正确； B ．由一次函数图象过二、四象限，得a <0，交y 轴正半轴，则b >0，满足ab <0， ∴a −b <0，∴反比例函数y =a bx-的图象过二、四象限，所以此选项不正确； C ．由一次函数图象过一、三象限，得a >0，交y 轴负半轴，则b <0，满足ab <0， ∴a −b >0，∴反比例函数y =a bx-的图象过一、三象限，所以此选项正确； D ．由一次函数图象过二、四象限，得a <0，交y 轴负半轴，则b <0，满足ab >0，与已知相矛盾，所以此选项不正确，故选C ． 7．【答案】D【解析】根据反比例函数的图象与系数k 的意义，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x 1y 1=x 2y 2=2可知S △ODB =S △OCA =1，故①正确；同样可知四边形OCMD 的面积为a ，因此四边形OAMB 的面积为a –2，故不会发生变化，故②正确；当点A 是MC 的中点时，y 2=2y 1，代入x 1y 2=a 中，得2x 1y 1=a ，a =4，由题得1242x x =，整理得x 1=2x 2，因此B 为MD 的中点，故③正确，故选D ． 8．【答案】B【解析】∵矩形OABC ，∴CB ∥x 轴，AB ∥y 轴，∵点B 坐标为（6，4），∴D 的横坐标为6，E 的纵坐标为4，∵D ，E 在反比例函数y =6x 的图象上，∴D （6，1），E （32，4），∴BE =6-32=92，BD =4-1=3，∴ED =22BE BD +=3213，连接BB ′，交ED 于F ，过B ′作B ′G ⊥BC 于G ，∵B ，B ′关于ED 对称，∴BF =B ′F ，BB ′⊥ED ，∴BF •ED =BE •BD ，即3213BF =3×92，∴BF =913，∴BB ′=1813，设EG =x ，则BG =92-x ，∵BB ′2-BG 2=B ′G 2=EB ′2-GE 2，∴（1813）2-（92-x ）2=（92）2-x 2，∴x =4526，∴EG =4526，∴CG =4213，∴B ′G =5413，∴B ′（4213，-213），∴k =-121，故选B ．9．【答案】23-【解析】设反比例函数解析式为()0ky k x=≠，将(),3A m 、()2,B n -分别代入，得 3k m =，2k n =-，∴2332k m k n ==--， 故答案为：23-． 10．【答案】5【解析】如图，过点A 作AF y ⊥轴，垂足于点F ；过点B 作BE y ⊥轴，垂足为点E ．∵点P 是AB 中点，∴PA PB =．易得△APF ≌△BPE ， ∴APFBPESS=,∴ABCDACOFEODBSSS=+23=-+5=，故答案为5．11．【答案】-4【解析】∵正方形ABCD 的边长为2，∴AB =AD =2，设B （2k ，2），∵E 是CD 边中点，∴E （2k-2，1），∴2k-2=k ，解得k =-4，故答案为：-4． 12．【答案】372【解析】如图，过点B 作直线AC 的垂线交直线AC 于点F ，∵△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍，E 是AB 的中点， ∴S △ABC =2S △BCE ，S △ABD =2S △ADE ，∴S △ABC =2S △ABD ，且△ABC 和△ABD 的高均为BF ， ∴AC =2BD ，∴OD =2O C ． ∵CD =k ， ∴点A 的坐标为（3k ，3），点B 的坐标为（–23k ，–32）， ∴AC =3，BD =32， ∴AB =2AC =6，AF =AC +BD =92， ∴CD =k2==13．【解析】（1）∵已知反比例函数ky x=经过点A （1，-k +4）， ∴41kk -+=，即-k +4=k ， ∴k =2，∴A （1，2）．∵一次函数y =x +b 的图象经过点A （1，2）， ∴2=1+b ，∴b =1，∴反比例函数的表达式为2y x=， 一次函数的表达式为y =x +1．（2）由12y x y x ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，消去y ，得x 2+x -2=0， 即（x +2）（x -1）=0， ∴x =-2或x =1． ∴y =-1或y =2． ∴21x y ⎧=-⎨=-⎩或12x y ⎧=⎨=⎩．∵点B 在第三象限， ∴点B 的坐标为（-2，-1），由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，x 的取值范围是x <-2或0<x <1．14．【解析】（1）∵B （2，-4）在y =mx上， ∴m =-8．∴反比例函数的解析式为y =-8x． ∵点A （-4，n ）在y =-8x上， ∴n =2． ∴A （-4，2）．∵y =kx +b 经过A （-4，2），B （2，-4），∴4224k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， 解之得12k b =-⎧⎨=-⎩．∴一次函数的解析式为y =-x -2． （2）∵C 是直线AB 与x 轴的交点， ∴当y =0时，x =-2． ∴点C （-2，0）．∴OC =2． ∴S △AOB =S △ACO +S △BCO =12×2×2+12×2×4=6． （3）不等式0mkx b x+-<的解集为：-4<x <0或x >2． 15．【解析】（1）设线段AB 所在的直线的解析式为y 1=k 1x +30，把B （10，50）代入得，k 1=2， ∴AB 解析式为：y 1=2x +30（0≤x ≤10）． 设C 、D 所在双曲线的解析式为22k y x=， 把C （44，50）代入得，k 2=2200， ∴曲线CD 的解析式为：y 2=2200x（x ≥44）； （2）将y =40代入y 1=2x +30得：2x +30=40，解得：x =5，将y=40代入y2=2200x得：x=55．55-5=50．所以完成一份数学家庭作业的高效时间是50分钟．1．【答案】A【解析】点A（1，–3）关于x轴的对称点A'的坐标为（1，3），把A'（1，3）代入y=kx得k=1×3=3．故选A．2．【答案】C【解析】∵k<0，∴在每个象限内，y随x值的增大而增大，∴当x=–1时，y1>0，∵2<3，∴y2<y3<y1，故选C．3．【答案】C【解析】∵函数y=﹣x+k与y=kx（k为常数，且k≠0），∴当k>0时，y=﹣x+k经过第一、二、四象限，y=kx经过第一、三象限，故选项D错误，当k<0时，y=﹣x+k经过第二、三、四象限，y=kx经过第二、四象限，故选项C正确，选项A、B错误，故选C．4．【答案】A【解析】由已知可知函数y=1(0)1(0)xxxx⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩关于y轴对称，所以点M是原点，故选A．5．【答案】C【解析】如图，过点B作BD⊥x轴于D，延长BA交y轴于E，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥OC，OA=BC，∴BE⊥y轴，∴OE=BD，∴Rt△AOE≌Rt△CBD（HL），直通中考。
初三数学：?反比例函数?知识点归纳
反比例函数的定义
定义：形如函数y=k/x(k为常数且k0)叫做反比例函数 ,其中k叫做比例系数 ,x是自变量 ,y是自变量x的函数 ,x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数的性质
函数y=k/x称为反比例函数 ,其中k0 ,其中X是自变量 ,
1.当k0时 ,图象分别位于第一、三象限 ,同一个象限内 ,y随x的增大而减小;当k0时 ,图象分别位于二、四象限 ,同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k0时 ,函数在x0上同为减函数、在x0上同为减函数;k0时 ,函数在x0上为增函数、在x0上同为增函数。
3.x的取值范围是：x
y的取值范围是：y0。
4..因为在y=k/x(k0)中 ,x不能为0 ,y也不能为0 ,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交 ,也不可能与y轴相交。
但随着x无限增大或是无限减少 ,函数值无限趋近于0 ,故图像无限接近于x轴
5.反比例函数的图象既是轴对称图形 ,又是中心对称图形 ,它有两条对称轴y=x y=-x(即第一三 ,二四象限角平分线) ,对称中心是坐标原点。
反比例函数的一般形式
一般地 ,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成
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新人教版九年级数学下册第26章反比例函数知识点归纳和典型例题（一）知识结构（二）学习目标1．理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式（k为常数，），能判断一个给定函数是否为反比例函数．2．能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点．3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（k为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题．4．对于实际问题，能“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型．5．进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法．（三）重点难点1．重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用．2．难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握．二、基础知识（一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．（三）反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1 图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．（四）实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．（五）充分利用数形结合的思想解决问题．三、例题分析1☆．反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．C．3xy=1 D．（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．B．C．D．答案：（1）C；（2）A．2．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B．C．D．答案：（1）①②1；（2）一、三；（3）四；（4）C；（5）C；（6）B．3．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数C．非正数D．非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y随x的增大而减小的函数有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．答案：（1）A；（2）D；（3）B．注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．4．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．（5）☆为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案：（1）B；（2）4，8，（，）；（3）依题意，且，解得．（4）①依题意，解得②一次函数解析式为，反比例函数解析式为．（5）①，，；②30；③消毒时间为（分钟），所以消毒有效．5．面积计算（1）☆如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（1）题图第（2）题图（2）☆如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积S，则（）．A．S=1 B．1＜S＜2 C．S=2 D．S＞2（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．第（3）题图第（4）题图（4）☆已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．第（5）题图第（6）题图（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．① 求B点坐标和k的值；② 当时，求点P的坐标；③ 写出S关于m的函数关系式．答案：（1）D；（2）C；（3）6；（4），，矩形O Q 1P1 R 1的周长为8，O Q 2P2 R 2的周长为，前者大．（5）1．（6）①双曲线为，直线为；②直线与两轴的交点分别为（0，）和（，0），且A（1，）和C（，1），因此面积为4．（7）①B（3，3），；②时，E（6，0），；③．6．综合应用（1）若函数y=k1x（k1≠0）和函数（k2 ≠0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1和k2（）．A．互为倒数B．符号相同C．绝对值相等D．符号相反（2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点：A（，1），B（1，n）．① 求反比例函数和一次函数的解析式；② 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．（3）如图所示，已知一次函数（k≠0）的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1．① 求点A、B、D的坐标；② 求一次函数和反比例函数的解析式．（4）☆如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．① 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；② 双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（5）不解方程，判断下列方程解的个数．①；②．答案：（1）D．（2）① 反比例函数为，一次函数为；②范围是或．（3）①A（0，），B（0，1），D（1，0）；②一次函数为，反比例函数为．（4）①反比例函数为，；②存在（2，2）．（5）①构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；②构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解．。
