切割线定理课件
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切割线定理课件
切割线定理的应用场景
解题应用
切割线定理在几何题目中应用广泛，特别是在涉及圆和圆外 一点的问题中，可以利用切割线定理来求解线段长度或角度 等问题。
实际应用
在现实生活中，切割线定理也有很多应用场景，比如建筑设 计、机械制造等领域，可以通过应用切割线定理来优化设计 或提高制造精度。
02
切割线定理的证明
切割线定理ppt课件
contents
目录
• 切割线定理的概述 • 切割线定理的证明 • 切割线定理的推论 • 切割线定理的应用实例 • 总结与思考
01
切割线定理的概述
切割线定理的定义
切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线， 切线长与割线长度的比等于圆外 一点与圆心连线的线段长度与圆 半径的比。
几何意义
03
切割线定理的推论
推论一：切线长定理
总结词
切线长定理描述了切线与割线的长度关系。
详细描述
切线长定理指出，对于圆上的任意一点P，过点P作圆的切线，则切线与割线（即 过点P的割线）的长度相等。这个定理是切割线定理的一个重要推论，它揭示了 切线和割线之间的长度关系。
推论二：切线与半径的关系
总结词
切线与半径的关系揭示了切线与半径之间的垂直关系。
。
THANKS
感谢观看
切割线定理揭示了圆外一点与圆 上两点形成的线段之间的长度关 系，是平面几何中一个重要的定 理。
切割线定理的证明
证明方法
通过相似三角形性质和勾股定理进行 证明，证明过程需要用到基本的几何 知识。
证明过程
通过构造辅助线，将问题转化为相似 三角形问题，再利用相似三角形的性 质和勾股定理推导出切割线定理。
证明的思路
切割线定理课件
推论三：切线和切平面的性质
总结词
切线和切平面的性质
详细描述
切线和切平面的性质是切割线定理的最后一个重要推论。这个定理指出，过圆外一点作圆的切线，则 该点和圆心的连线与切点的连线垂直于过该点和圆心的平面。这个性质在三维几何中尤其重要，因为 它涉及到平面和空间的关系。
04 切割线定理的应用实例
应用实例一：求圆的切线方程
证明方法三：利用向量积的性质
总结词
通过向量运算和向量的外积性质，证明切割线定理。
详细描述
第三种证明方法是利用向量运算和向量的外积性质。首 先，我们需要理解向量的外积性质，即两个向量的外积 等于它们所夹的平行四边形的面积的两倍。在切割线定 理的情境中，我们可以将切割线视为一个向量，并利用 向量的外积性质来计算它与半径之间的比例关系。通过 适当的数学推导，我们可以证明切割线定理。这种方法 基于向量运算和向量的外积性质，通过向量运算来证明 定理。
范围，我们可以发现更多有趣的应用场景。
对切割线定理的进一步研究与探索
深入研究切割线定理的细节
虽然我们已经对切割线定理有了基本的理解，但还有 很多细节值得深入研究。例如，我们可以探索不同条 件下切割线定理的表现形式，或者研究这个定理在其 他几何图形中的应用。通过深入研究，我们可以更深 入地理解这个定理的本质。
切割线定理的几何意义
证明相似三角形
通过切割线定理，可以证明两个三角形相似，从而用于解决 几何问题。
Hale Waihona Puke 计算线段长度利用切割线定理，可以计算出给定条件下某条线段的长度。
切割线定理的应用场景
建筑设计
在建筑设计领域，切割线定理常被用 于确定建筑物的位置和尺寸，以确保 建筑物的外观和结构符合设计要求。
初中数学课件《切割线定理
通过构造两个相似三角形，利用相似三角形的边长比例关系，推导出切割线定 理的结论。
证明方法二
总结词
利用勾股定理证明
详细描述
根据勾股定理，结合切割线与切线的关系，推导出切割线定理的结论。
证明方法三
总结词
利用面积法证明
详细描述
通过比较切割线与切线所围成的三角形面积，利用面积公式，推导出切割线定理的结论。
提高习题2
已知一个圆内接四边形， 其对角线互相垂直且平分 ，求该四边形的面积。
提高习题3
一个圆与两条直线相切于 两点，求这两点间的距离 。
挑战习题及答案
挑战习题1
一个圆经过圆外三点，求过这三 点的最短弦的长度。
挑战习题2
已知一个圆内接六边形，其对角 线互相平分且相等，求该六边形 的面积。
06
总结与回顾
本节课的难点解析
理解切割线定理的推导过程
பைடு நூலகம்对于一些学生来说，理解切割线定理的证明过程可能存在困 难，需要老师进行详细的解释和引导。
掌握切割线定理的应用技巧
应用切割线定理需要一定的技巧和经验，学生需要在练习中 不断摸索和总结。
下节课预告
• 下节课将学习与圆相关的另一个重要定理——相交弦定理。通 过学习相交弦定理，我们将进一步了解圆和三角形之间的关系 ，并解决更多与圆相关的问题。
本节课的重点回顾
切割线定理的定义
切割线定理是关于三角形和其外接圆 的定理，它描述了三角形的一边和其 外接圆上一点所形成的线段与另一条 切割线之间的关系。
切割线定理的证明
切割线定理的应用
通过实例演示了切割线定理在解题中 的应用，包括求角度、线段长度等问 题。
通过构造辅助线和利用相似三角形的 性质，证明了切割线定理的正确性。
证明方法二
总结词
利用勾股定理证明
详细描述
根据勾股定理，结合切割线与切线的关系，推导出切割线定理的结论。
证明方法三
总结词
利用面积法证明
详细描述
通过比较切割线与切线所围成的三角形面积，利用面积公式，推导出切割线定理的结论。
提高习题2
已知一个圆内接四边形， 其对角线互相垂直且平分 ，求该四边形的面积。
提高习题3
一个圆与两条直线相切于 两点，求这两点间的距离 。
挑战习题及答案
挑战习题1
一个圆经过圆外三点，求过这三 点的最短弦的长度。
挑战习题2
已知一个圆内接六边形，其对角 线互相平分且相等，求该六边形 的面积。
06
总结与回顾
本节课的难点解析
理解切割线定理的推导过程
பைடு நூலகம்对于一些学生来说，理解切割线定理的证明过程可能存在困 难，需要老师进行详细的解释和引导。
掌握切割线定理的应用技巧
应用切割线定理需要一定的技巧和经验，学生需要在练习中 不断摸索和总结。
下节课预告
• 下节课将学习与圆相关的另一个重要定理——相交弦定理。通 过学习相交弦定理，我们将进一步了解圆和三角形之间的关系 ，并解决更多与圆相关的问题。
本节课的重点回顾
切割线定理的定义
切割线定理是关于三角形和其外接圆 的定理，它描述了三角形的一边和其 外接圆上一点所形成的线段与另一条 切割线之间的关系。
切割线定理的证明
切割线定理的应用
通过实例演示了切割线定理在解题中 的应用，包括求角度、线段长度等问 题。
通过构造辅助线和利用相似三角形的 性质，证明了切割线定理的正确性。
《切割线定理》课件
VSΒιβλιοθήκη 详细描述切线经过切点，并且仅经过该点。这是切 线定义的基本性质，也是切割线定理的重 要推论之一。这个性质说明了切点是唯一 一个点，使得经过该点的切线与圆相切。
05
切割线定理的应用练习
练习一：求切线的长度
01
02
03
总结词
利用切割线定理计算切线 的长度
详细描述
通过已知的圆心到切点的 距离和切割线与半径的夹 角，利用切割线定理计算 切线的长度。
总结词
利用切割线定理计算切线的斜率
详细描述
通过已知的圆心到切点的距离和 切割线与半径的夹角，利用切割
线定理计算切线的斜率。
公式
切线斜率 = (圆心到切点的距离 / 半径) × cos(切割线与半径的夹
角)
06
总结与回顾
本节课的重点与难点
重点
理解切割线定理的推导过程和实际应用。
难点
掌握如何运用切割线定理解决实际问题，特 别是涉及到几何图形的问题。
03
切割线定理的证明
证明方法一：通过相似三角形证明
总结词
利用相似三角形的性质，通过比较三角形之间的边长和角度关系，证明切割线 定理。
详细描述
首先，根据题目已知信息，画出两个相似三角形。然后，根据相似三角形的性 质，证明切割线与两条割线之间的角度相等，从而得出切割线定理的结论。
证明方法二：通过面积关系证明
推论二：切线与半径的关系
总结词
切线与半径的关系描述了切线和半径之间的角度关系。
详细描述
根据切线的性质，切线和经过切点的半径是垂直的。这意味着切线和半径之间的角度是90度。这个关系是几何学 中一个重要的基础概念，用于证明和解决各种几何问题。
切割线定理PPT教学课件2
晏殊（991-1055），字同叔，北宋临川县文港乡，著名词人。 晏殊自幼聪明，七岁能文，被称为“神童”，十
四岁中进士，历任朝廷要职，五十三岁时，任枢密使 加同中书门下平章事，官居宰相位。六十四岁病逝， 宋仁宗亲临丧事，死后赠司空兼侍中，谥号“元献”。
晏殊知人善任，当世名人范仲淹、孔道辅、欧阳 修等人都出其门下，均受其提拔和重用。晏殊善长诗 词尤工小令，他的词，以情致胜。文词典丽，韵味独 特，又不失清新雅淡，含蓄委婉的艺术风格。 有“导 宋词之先路”的美誉。
问题：
你是怎样理解“无可奈何花落去，似曾相 识燕归来”这两句的? 其中蕴涵了什么样的 哲理呢？
这两句对仗工整，表现出词人的巧思深情：花 的凋落，春的消逝，时光的流逝，都是不可抗拒 的自然规律，所以说“无可奈何” ；然而在这暮 春天气中，翩翩归来的燕子也有令人欣慰的重现。
蕴涵着的某种生活哲理：一切必然要消逝的美好事物 都无法阻止其消逝，但在消逝的同时，仍会有美好的事 物出现。然而，美好的事物并不是原封不动地重现，它 只是“似曾相识”罢了。因此，在有所慰藉的同时又不 觉感到一丝惆怅。
A
由推论得 PB•PA=PD•PC
3.
例1 如图过圆外一点P作两条割线,分别交圆O于A、B和C、D.
再作圆O切线PE,E为切点,连结CE、DE.已知 AB=3cm,
PA=2cm,CD=4cm。 (1) 求PC,PE的长
解: 设PC=x
B
3 A2
Cx
4
D
E
∵CD=4cm, ∴PD=PC+CD=x+4 P ∵AB=3cm, PA=2cm ∴ PB=AB+PA=5(cm)
在壮的在 检的牛军 阅军肉营 军歌，里 队。各， 。秋种分
《切割线定理》课件
2
x
C
10
a
E
解: 由弦切角定理,得∠CEP= ∠D
又∵∠CPE=∠EPD ,∴△CPE∽△EPD
P
∴ DE PD
CE PE
∵PD=PC+CD 14 2 4 2 14 cm
DE 2 14
a
10
10 5
35
DE 1 10 35a 5
第8页/共17页
判断题
如图所示，PT切⊙O于T。下面的判断是否正确
P
（1）PT2=PE•PD （ ）
A CE
（2）PA•PB=PE•PD （ ）
T （3） PA•AB=PE•ED （ ）
.
O
B
D （4） PT2=PC•PO （ ）
第9页/共17页
在上题中，若PO=5，r=2，你能求出 P PA和PB的积吗？
AC
. O B
分析:
延长PO交⊙O于D PC=PO－CO=5－2=3 PD=PO + OD=5 + 2=7
PA•PB=PC•PD=21
D
第10页/共17页
例2 如图，A是圆O上的一点，过点A的切线交直径
CB的延长线于点P，AD⊥BC ，D为垂足。
求证： PB PO
PD PC
A
证明： 连结OA
PA切圆O于A OA⊥PA
AD⊥PC
PD•PO=PA2 P
。 B DO
C
PA切圆O于A
PB•PC=PA2
PB•PC=PD•PO PB PO PD PC
解得 x= － 2 ± 14(负数不合题意,舍去)
∴ x= ( 14－2)(cm) 答第:P7页C/长共1是7页PC=( 14－ 2)cm
x
C
10
a
E
解: 由弦切角定理,得∠CEP= ∠D
又∵∠CPE=∠EPD ,∴△CPE∽△EPD
P
∴ DE PD
CE PE
∵PD=PC+CD 14 2 4 2 14 cm
DE 2 14
a
10
10 5
35
DE 1 10 35a 5
第8页/共17页
判断题
如图所示，PT切⊙O于T。下面的判断是否正确
P
（1）PT2=PE•PD （ ）
A CE
（2）PA•PB=PE•PD （ ）
T （3） PA•AB=PE•ED （ ）
.
O
B
D （4） PT2=PC•PO （ ）
第9页/共17页
在上题中，若PO=5，r=2，你能求出 P PA和PB的积吗？
AC
. O B
分析:
延长PO交⊙O于D PC=PO－CO=5－2=3 PD=PO + OD=5 + 2=7
PA•PB=PC•PD=21
D
第10页/共17页
例2 如图，A是圆O上的一点，过点A的切线交直径
CB的延长线于点P，AD⊥BC ，D为垂足。
求证： PB PO
PD PC
A
证明： 连结OA
PA切圆O于A OA⊥PA
AD⊥PC
PD•PO=PA2 P
。 B DO
C
PA切圆O于A
PB•PC=PA2
PB•PC=PD•PO PB PO PD PC
解得 x= － 2 ± 14(负数不合题意,舍去)
∴ x= ( 14－2)(cm) 答第:P7页C/长共1是7页PC=( 14－ 2)cm
人教版九年级数学课件：切割线定理
作
业
PT2 =PA· PB 切 割 线 定 理
PT =PB· BA × PA· = PD· AB CD
2
PC· =PA· PD PB
切 割 推 线 定 论 理
×
作业 P132
11 ， P133 12 ，13．
PT2 =PA· PB
PC· =PA· PD PB
练习二：
1.
过圆O外一点P, 作两条割线PAB和PCD, 已知PA=1, PB=3, PC=0.6．则CD= ? CD = 4.4 2．
已知PT切圆O于T，PAB为圆O的割线， PA : AB =1 : 3 , PT=2 , 则PB= ？
PB = 4
法二： 连接CD ,射影定理． A D •O
BC2=BD•BA
Rt△ABC中 AC=3; BC=4. BD=3.2 (cm) AB=5 BC=4
B
C
提高题：如图，PA切圆O于A，PBC是圆O的割线，D是
PA的中点，DC交圆O于E． 求证：1）PD2=DE•DC；2） ∠1= ∠C．
分析： 1. PD=DA
PA· = PM· PB PN
P
PM· =PC2 PN
练习四：如图，圆o1和圆o2都经过点A和 B，点P在BA
的延长线上．过点P作圆O1的切线PC切圆O1于C，作 圆O2的切线PD切圆O2于D．求证：PC =PD．
B o1 • A C
o2
•
D
P
提示：PC = PD = PE …
B o1 • A D E P o2 • o3•
P P
D 1
E
A
且DA2=DE • DC 2. PD:DE=DC:PD ∠ PDE= ∠ CDP 则: △PDE∽ △CDP 从而: ∠ 1= ∠ C
人教版九年级上册数学课件：24.1切割线定理1
课题：切割线定理
问题思考：
填空：1、如图1，弦AB与CD相交于⊙O内一点P，
则有PA·PB = _________；根据是___________；
在图2中，如果AB是圆O的直径，CD⊥AB于P 则有
PC =________；PC2 =___________。
D
C
A
P
O
BA
OP B
C
图1
图2D
问题：当图1做如下变化时，请观察和猜想你能得到怎样的结论？ （将点P移到圆外，将弦CD绕点P旋转到与圆相切的位置。）
（三）巩固练习：
1、选择：如图6，⊙O的两条弦AB、CD相交于点E， AC和DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是( ) （A） PC·CA=PB·BD（B）CE·AE=BE·ED （C） CE·CD=BE·BA（D）PB·PD=PC·PA
B A
P
CO
如图5
A
CE O
P
B
D
如图6
填空： 1、如图7已知Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长 分别为3cm，4cm以AC为直径作圆与斜边AB交于点 D，则BD=________cm.
2、如图3：PF切⊙O于F，PBA是⊙O割线，且PB=BA， PF=3cm，那么BA的长为__________
3、PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B，PA=6， BC=3PB，则PC=___________F AB DBP
图3
A
图7 C
1、如图8：线段AB和⊙O交于C、D，AC=BD，AE、
BF分别切⊙O于E、F，求证：AE=BF F
猜想论证：
如图2：已知：点P是
⊙O外一点，PF是切 A
线，F是切点，PBA是
问题思考：
填空：1、如图1，弦AB与CD相交于⊙O内一点P，
则有PA·PB = _________；根据是___________；
在图2中，如果AB是圆O的直径，CD⊥AB于P 则有
PC =________；PC2 =___________。
D
C
A
P
O
BA
OP B
C
图1
图2D
问题：当图1做如下变化时，请观察和猜想你能得到怎样的结论？ （将点P移到圆外，将弦CD绕点P旋转到与圆相切的位置。）
（三）巩固练习：
1、选择：如图6，⊙O的两条弦AB、CD相交于点E， AC和DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是( ) （A） PC·CA=PB·BD（B）CE·AE=BE·ED （C） CE·CD=BE·BA（D）PB·PD=PC·PA
B A
P
CO
如图5
A
CE O
P
B
D
如图6
填空： 1、如图7已知Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长 分别为3cm，4cm以AC为直径作圆与斜边AB交于点 D，则BD=________cm.
2、如图3：PF切⊙O于F，PBA是⊙O割线，且PB=BA， PF=3cm，那么BA的长为__________
3、PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B，PA=6， BC=3PB，则PC=___________F AB DBP
图3
A
图7 C
1、如图8：线段AB和⊙O交于C、D，AC=BD，AE、
BF分别切⊙O于E、F，求证：AE=BF F
猜想论证：
如图2：已知：点P是
⊙O外一点，PF是切 A
线，F是切点，PBA是
初中数学课件《切割线定理》
切割线定理的相关概念介绍
为了帮助大家更好地理解切割线定理，我们在这里先来介绍一下它的相关概念。
扇形
扇形是圆心角对应的圆弧及其 圆心所组成的图形，它是切割 线重要概念。
弓形
弓形指的是圆上一个扇形所截 下来的圆弧部分，是能够帮助 我们理解切割线定理的重要概 念。
弦长
弦是连接圆上两点的线段，弦 长是线段长度，是切割线定理 中常用的量。
解决切割线定理中的常见错误和误区
学习切割线定理的时候，常见错误和误区包括对图形理解不够溜，计算公式没有掌握好，套路不熟练等 等，下面是一些错误率较高的问题。
• 画图不规范，不能很好地说明切线、割线、交点的位置关系 • 公式记忆不清，导致计算错误 • 理解不深刻，只会套用公式，难以发挥应有的思考能力
切割线定理在各国数学教育中的地位
切割线定理作为数学中非常重要的一个知识点，它在不同国家的数学教育中都占据着重要地位，是不容 忽视的。下面介绍几个国家中切割线定理的教学情况。
• 中国：在初中阶段的几何课程中必须学习切割线定理。 • 美国：在高中阶段的几何学里也会涉及切割线定理的知识点。 • 日本：从小学到高中，切割线定理都是几何学习的重点。
具体表述
具体来说，若AB与CD是两条割线，交于点E，那么∠AEB=∠CED，∠BEC=1/2∠BAD。
套路示范
判断两条线段是否相互垂直的时候，可以用切割线定理进行证明。
切割线定理的含义和意义
切割线定理是数学中一条很重要的定理。它在几何解题中的应用非常广泛，可以帮助我们更好地理 解和应用各种几何概念。
切割线定理的进阶应用
掌握好了切割线定理的基础知识之后，还可以进一步拓展应用，例如： • 推导出更复杂的几何公式 • 应用切割线定理解决更高级的几何问题 • 将切割线定理与其他定理的知识点相关联，挖掘其更多潜力
高中数学 1.2.4 切割线定理课件 北师大版选修41
由勾股定理，AC2＋AB2＝BC2， 即 x2＋(3x)2＝402， 得 x＝4 10，x＝－4 10(舍去)． 如图，连接 BD，在△PAB 和△ADB 中，∠PAB＝∠D， ∠P＝∠BAD， ∴△PAB∽△ADB. ∴AADP＝APBB， ∴AD＝APP·BAB＝15×54 10＝12 10.
由①知 5×12＝PC(PC＋11)， ∴PC＝4 或 PC＝－15(舍去)， ∴PD＝PC＋CD＝4＋11＝15. 由②得BADC＝155＝13， 即 AC∶BD＝1∶3.
1．本题求解的关键是证明△PAC∽△PDB，而证明的依 据是切割线定理的推论．
2．切割线定理的推论在证明、求值等方面有着广泛的应 用，在证明三角形相似以及利用相似解决问题中起重要作用．
图 1－2－64
【解析】 由切割线定理知 CD2＝BD·AD＝BD·(3＋BD)，
即(2 7)2＝BD2＋3BD，解得 BD＝4 或 BD＝－7(舍去)．
∵∠BDC＝∠ADC，∠DCB＝∠CAD，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴△CAD∽△BCD，
∴CBDD＝ABCC，即2 4 7＝A3C，
解得
AC＝32
7 .
【答案】
37 2
定理的综合应用 如图 1－2－67，P 是⊙O 的直径 CB 的延长线上 一点，PA 和⊙O 相切于 A，若 PA＝15，PB＝5. (1)求 tan∠ABC 的值； (2)弦 AD 使∠BAD＝∠P，求 AD 的长．
图 1－2－67
【思路探究】 求 tan∠ABC 可利用△ABC 中边角关系 求出；而 AD 的长，可综合利用切割线定理和图形中的相似 三角形，建立边长关系求出．
图 1－2－62
1．应用切割线定理及其推论的前提条件是什么？ 【提示】 只有从圆外一点才可能产生切割线定理或其 推论，切割线定理是指一条切线和一条割线，而其推论则是 指两条割线，只有弄清前提，才能正确运用定理．
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A O
得到∵PPP∴又CAC∠是?∠BPPP=⊙CB=∠∠O?PPCCC的BAA切，线
B
∴ P∴C△2=PPCAA?∽PB△ PBC
∴ PC ：PA=PB ：PC
切割线定理：
∴PC2= PA?PB
从圆外一点引圆的切线和条割线 切线长
是这点到割线与圆的交点的两条线段长的 比
例中项。
C
O
A
B
C
P
D
P
O
A T
1050
B
已知：（如图）点 P为⊙O外一点， PC切 ⊙O于点C，割线PBA 交⊙O于A、B
C
P
O
A
B
答：PC2=PA?PB 怎样证明结论？
已知：（如图）点P为⊙O外一点，PC切
⊙O于点C，割线PBA 交⊙O于A、B
求证：PC2=PA?PB
证明：
C
图P形这几利也何连∵用是P语接△C今A言切P后CC⊙描、A做O∽述B于题C△:点，的PC一BC个基本
B
割线PCD、PAB 交⊙O于点C、D和A、B
=> PA?PB=PC?PD
已知:PT是⊙O的切线,且 PT=500km, 直径AB=1050km,求PA=?
P
∵PＴ是⊙O 的切线
A
∴ PＴ2=PA?PB
设PA＝x，则5002=x(x+1050)
T
(x+1250)(x-200) =0
O
x=200 或x=-1250( 舍去）
B O
D
A
P
解：（1）由切割线定理，得
C
PC ? PD=PA ? PB
∵AB=3cm,PA=2cm
∴PB=AB+PA=5 （cm ） ∵CD=4cm
E
∴PD=PC+CD=PC+4
∴PC（PC+4）=2X5
化简，整理得：PC2+4PC?10=0
解得： PC ? ? 2 ? 14 （ 负数不合题意，舍去）
B A
答：PC2=PA?PB
PA?PB=PC?PD
已知：点P为⊙O外一点，割线 PBA 、PDC分别
交⊙O于A 、B 和C、 D（如下图）
求证：PA?PB=PC?PD 证明：
C
连接AC、BD，
D
几∵何四语边言形描A述B:DC 为
O
P ∵⊙∴P∠AOBP的,DPBC内=D接∠是四A⊙，边O形的割线
B
T
A
B
P
O C
D
复习：
1、如图在 ⊙O中弦AB、CD相交于点 P，则有 怎样的结论？ 答：PA ? PB=PC ? PD
怎样证明上述结论？ 答：连接 BC、AD证明
A △PBC∽ △ PDA O C
P
Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
已知:PT是⊙O的切线,且 PT=500km, 直径AB=10500km,求PA=?
P
500
P O
B A
PA?PB=PC?PD
C
思考：从这几个定理的结论里
O
大家能发现什么共同点？
PA
B
D AB 交CD于点
结论都为乘积式
C
=> PA?PB=PC?PD
P
O
A
几条线段都是从同一点出发
B
C
PC切⊙O于点C点
=> PA?PB=PC2
都是通过三角形相似来证明 （都隐含着 三角形相似）
D
O
A
P
我们学过的定理中还有结论 为乘积式的吗？
课堂小结
1、这节课我们学习了切割线定理及推论（割线定理）， 要特别注意它与相交弦定理之间的联系与区别。
2、要注意圆中的比例线段的结论的特点及实际中的用。
3、圆中的比例线段在实际应用中也非常重要，注意与 代数、几何等知识的联系及应用
A
分析：要证明 PB ：PD=PO ：PC 很明显
P证B 、明P：D、连P结O、OPAC在同一直线上无法直接
P
BDO
C 用 为 PACO相 乘=DAP似 积D??证式?BP明来PAC，证O???,明而且?由在，圆切所PD里割以的?线可P比定以O例理通?线有过段P证PAA通明22=常PPB化B?????
? PC ? ( 14 ? 2 ) cm
B O
D
(2) 由(1)得PE2=PA?PB=10
∴PE= 10
由弦切角定理,得∠CEP=∠D
A
又P∵ ∠CPE=∠EPD ∴△CPE∽△EPD
C
∴ DE ? PD
CE PE
E
∴ DE ? 14 ? 2 ? 4
a
5
∴ DE ? 1 ( 10 ? 35)a
5
例2：（如图）A是⊙O上一点，过A切线交直径CB 的延长线于点P，AD⊥BC，D为垂足。求证： PB ：PD=PO ：PC。
(1)
PA ? PC (2) PA ? PC PB PD PD PB
(3)
PA PD
?
AC BD
O
A
P
D P
B
已知：（如图）过⊙O外一点P作两条割线，分别交 ⊙O 于点A、B和C、D，再作⊙O的切线PE，E为切点， 连接CE、DE。 已知AB=3cm,PA=2cm,CD=4cm.
（1）求PC的长 （2）设CE=a,试用含a的代数式表示DE。
A B
C
2、如图：PA切⊙O于A，
A
PBC是⊙O的割线，
已知⊙O的半径为8， P
O
PB=4，PC=9求PA及点
B
到圆心的距离PO
C
3、如图： A 、B 两点在 x 轴上原 点的右边，点 A在点B的左边， 经过A 、B 两点的 ⊙C与y 轴相切 于点D（0，-3），如果 AB=4 （1）求 A 、B 两点的坐标 （2）求圆心 C的坐标
∴ 又PA?∠PPB==∠PPC?PD
A
∴ △PBD∽ △ PCA
割线定理：
∴ PD ：PA=PB ：PC
从圆外一点引圆的两 ∴ PA?PB=PC?PD
条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条
线段的乘积相等
C
B
C 点P从圆内移动到远外
P
P
O
D
O
A
A B
PA?PB=PC?PD
PC2=PA?PB
C
D
P连PC接A只P切需O圆再由证射OP影于A定2A=理P?D得?P到PBO。?，PPCA为?切P线A 所2 ??以
? PB ? PC ? PD ? PO
? PB ? PO PD PC
大展才干：
1、如图：过点 A作⊙O的两条
E
割线分别⊙O交于B、C和D、E。 D
已知AD=4 ， DE=2, CE=5，A AB=BC，求AB 、BD
B
这也是今后做题的一个基本图形
小试身手：
1.如图,割线PAB,PCD分别交圆于 A,B和C,D
T
(1)已知PB=5,PA=8,PC=4, A
PD=10 PT= 2 10
(2)已知PA=5,PB=8,PO=7
半径R= 3
B O
C
D
2.如图,割线PAB,PCD分别交圆于 A,B和C,D,
连结AC,BD,下面各比例式中成立的有 : C