小行星轨道模型(论文)

《基于光学与雷达数据的小行星精密定轨》篇一一、引言小行星的精密定轨是行星防御和空间科学研究的重要领域。

随着科技的发展，光学与雷达数据在定轨过程中发挥着越来越重要的作用。

本文将探讨基于光学与雷达数据的小行星精密定轨的原理、方法及其实践应用。

二、光学与雷达数据在小行星定轨中的应用1. 光学数据定轨光学数据定轨是通过望远镜观测小行星的轨迹，获取其位置信息，进而推算出其轨道参数。

光学观测具有精度高、连续性强等优点，可以长时间、大范围地监测小行星的轨迹。

2. 雷达数据定轨雷达数据定轨则是利用雷达设备对小行星进行观测，通过分析反射回来的电磁波信号，获取小行星的位置、速度等信息。

雷达观测具有全天候、全天时等特点，对于小行星的精密定轨具有重要意义。

三、基于光学与雷达数据的小行星精密定轨方法1. 数据融合为了充分利用光学与雷达数据的优势，需要实现两种数据的融合。

通过数据预处理、配准、关联等步骤，将光学和雷达观测到的位置信息进行统一坐标系下的比较和分析，为后续的定轨工作提供数据基础。

2. 精密定轨算法在完成数据融合的基础上，采用高精度的轨道确定算法，如卡尔曼滤波器、牛顿迭代法等，结合动力学模型和小行星的运动特性，精确计算小行星的轨道参数。

这些算法可以根据不同的小行星和观测条件进行优化和调整，以实现更精确的定轨。

四、实践应用基于光学与雷达数据的小行星精密定轨技术已广泛应用于空间科学研究、行星防御等领域。

例如，通过对近地小行星的精密定轨，可以预测其轨道变化趋势，及时发现潜在威胁；通过对小行星的长期监测和轨道分析，可以了解其物理特性和来源等信息，为太阳系的形成和演化提供重要线索。

此外，该技术还具有军事价值，可以用于卫星防御和反导系统等。

五、结论基于光学与雷达数据的小行星精密定轨技术是空间科学研究、行星防御等领域的重要技术手段。

通过数据融合和高精度定轨算法的应用，可以实现小行星的精确定轨和长期监测。

未来，随着科技的不断进步和观测设备的不断完善，该技术将进一步提高定轨精度和效率，为人类探索宇宙提供更多有价值的信息。

小行星运动的Runge-Kutta 法模拟一、背景介绍由于两个恒星作用下行星运动问题没有解析解，只能用数值方法求解微分方程。

但是在用一阶近似求解微分方程的时候存在严重的误差累积。

当只考虑一个恒星引力影响时的模型如下： (1)当初始值是00001,0,'0,'1x y x y ====时，行星做圆周运动。

此时，微分方程的解是cos()sin()x t y t =⎧⎨=⎩。

在后面的讨论中，用这个初始条件的方程作为测试方程。

如果采用一阶近似，(1)()'(),'(1)'()''()(1)()'(),'(1)'()''()x n x n hx n x n x n hx n y n y n hy n y n y n hy n +=++=+⎧⎨+=++=+⎩，就会有严重的误差累积。

如下图所示当行星偏离理想轨道很小的量以后，之后的偏差就会越来越大，直至脱离恒星的束缚。

在离散化以后，原来临界稳定的系统变得发散了。

二、用高阶系统去求解单恒星问题当用高于一阶的方法近似求解以上方程时，会取得较好一些的近似。

把二阶常微分方程组(1)转化为一阶常微分方程组：3222322200000000''()''(),'',''x x x y y y x y x x x x y y y y -⎧=⎪⎪+⎪-⎪=⎨⎪+⎪==⎪⎪==⎩32223222''()''()x x y y x v x v x y y v y v x y =⎧⎪-⎪=⎪+⎪⎨=⎪⎪-=⎪⎪+⎩,初始条件是00001001x y x y v v =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 一阶常微分方程组00'(,)()x x =⎧⎨=⎩Y F Y Y Y 的经典4阶RK 法的公式是112341213243()6(,)(,)22(,)22(,)n n n n n n n n n n h x h h x h h x x h h +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎪=++⎪⎩Y Y K K K K K F Y K F Y K K F Y K K F Y K 当0.01h =时，迭代100000次，模拟行星绕行星100000*0.011592π≈圈的轨迹图如下：从上图中可以看出，当模拟绕中心159圈后，轨道的偏移依然很小。

（数学建模）⼩⾏星的轨迹问题问题15 ⼩⾏星的轨迹问题⼀、问题⼀天⽂学家要确定⼀颗⼩⾏星绕太阳运⾏的轨道，他在轨道平⾯内建⽴以太阳为远点的直⾓坐标系，在两坐标轴上取天⽂测量单位（⼀天⽂单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787*10^11m ），在5个不同的时间对⼩⾏星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表2.15.1. 表2.15.1由开普勒第⼀定律知，⼩⾏星轨道为⼀椭圆，现需要建⽴椭圆的⽅程以供研究。

（注：椭圆的⼀般⽅程可表⽰为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a ）。

⼆、实验⽬的利⽤5个点确定⼆次曲线的⼀般⽅程，并求出椭圆的重要参数。

三、预备知识线性代数⽅程组理论，椭圆的有关概念及性质。

四、实验内容与要求1.⽤表中5个点的坐标数据分别代⼊椭圆的⼀般⽅程可建⽴5个⽅程的线性代数⽅程组，该⽅程组的系数矩阵为A ，右端项为b ，这⾥，21x 112y x 21y 12x 12y -122x222y x 22y 22x22y -1A= 23x 332y x23y32x 32y b= -124x 442y x24y 42x 42y -1 25x 552y x 25y 52x52y -1试依据题⽬所给的5个点的坐标，⽤计算机计算出矩阵的A 的5*5个数据。

2.利⽤Matalb 指令A\b 求解5元线性代数⽅程组，写出椭圆⽅程012225423221=+++++y a x a y a xy a x a 中的5个待定系数54321,,,,a a a a a 及⼩⾏星多所对应的曲线⽅程。

3.写出曲线表达式中系数所对应的⼆阶矩阵和三阶矩阵：1a2a 1a 2a 3aC= D= 2a 3a 5a2a 3a 4a 5a 1并利⽤Matlab 指令eig （C ）求出矩阵C 的特征值，记录数据=1λ（），=2λ（）利⽤Matlab 指令det （D ）计算⼆阶导数和三阶⾏列式的值；=C （）， =D （）4.利⽤公式计算椭圆的下列参数：长半轴：a=CD1λ=（），短半轴：b=CD2λ=（），办焦距：c=22b a -=（），写出椭圆标准⽅程（），5：利⽤上⾯的椭圆有关数据求出⼩⾏星轨道的参数：⼩⾏星的近⽇点距离：h=a-c=（），⼩⾏星的远⽇点距离：H=2c+h=（），椭圆轨道周长近似值：L ≈π-+ab b a )(23=（）6．*试在Matlab 环境下利⽤参数⽅程： x=acos(t) (t ∈[0, 2π]) y=bsin(t)绘制出以椭圆中⼼为原点的椭圆图形（图2.15.1）图2.15.1五．思考问题你能否利⽤定积分求弧长公式推导出椭圆的周长公式？如果你所得到的是⼀个定积分表达式，利⽤这⼀表达式计算⼩⾏星轨道的椭圆周长。

模型组合讲解——行星模型［模型概述］所谓“行星”模型指卫星绕中心天体，或核外电子绕原子旋转。

它们隶属圆周运动，但涉及到力、电、能知识，属于每年高考必考内容。

［模型讲解］例1. 已知氢原子处于基态时，核外电子绕核运动的轨道半径m r 101105.0-⨯=，则氢原子处于量子数=n 1、2、3，核外电子绕核运动的速度之比和周期之比为：（ ）A. 3:2:1::321=v v v ；3333211:2:3::=T T T B. 333213213:2:1::;31:21:1::==T T T v v vC. 3332132131:21:1::;2:3:6::==T T T v v vD. 以上答案均不对。

解析：根据经典理论，氢原子核外电子绕核作匀速率圆周运动时，由库仑力提供向心力。

即rvmrke 222=，从而得线速度为mrk ev =周期为vr T π2=又根据玻尔理论，对应于不同量子数的轨道半径n r 与基态时轨道半径r 1有下述关系式：12r n r n =。

由以上几式可得v 的通式为：nv mr kn e v n 11==所以电子在第1、2、3不同轨道上运动速度之比为：2:3:631:21:1::321==v v v 而周期的通式为：131131122/22T n v r n n v r n v r T ====πππ 所以，电子在第1、2、3不同轨道上运动周期之比为： 3333213:2:1::=T T T 由此可知，只有选项B 是正确的。

例2. 卫星做圆周运动，由于大气阻力的作用，其轨道的高度将逐渐变化（由于高度变化很缓慢，变化过程中的任一时刻，仍可认为卫星满足匀速圆周运动的规律），下述关于卫星运动的一些物理量的变化情况正确的是：（ ）A. 线速度减小；B. 轨道半径增大；C. 向心加速度增大；D. 周期增大。

解析：假设轨道半径不变，由于大气阻力使线速度减小，因而需要的向心力减小，而提供向心力的万有引力不变，故提供的向心力大于需要的向心力，卫星将做向心运动而使轨道半径减小，由于卫星在变轨后的轨道上运动时，满足32r T rGM v ∝=和，故v 增大而T 减小，又2rGMmF a ==引，故a 增大，则选项C 正确。

同步双小行星系统共振轨道设计杨雅迪; 陈奇; 李翔宇; 乔栋【期刊名称】《《宇航学报》》【年(卷),期】2019(040)009【总页数】9页(P987-995)【关键词】同步双小行星系统; 共振轨道; 延拓法; 分岔【作者】杨雅迪; 陈奇; 李翔宇; 乔栋【作者单位】北京理工大学宇航学院北京100081; 深空探测自主导航与控制工信部重点实验室北京100081【正文语种】中文【中图分类】V412.40 引言自20世纪90年代以来，小行星探测成为深空探测的热点。

在小行星探测任务中，具有独特动力学特性的双小行星系统引起了科学家的关注[1]。

通过对双小行星系统展开实地探测与采样，可获取小行星内部构造、物质组成和动力学演化等方面的重要信息，能得到对单颗小行星探测时无法获得的独特科学回报。

目前各国提出了多项针对双小行星系统的探测计划。

美国NASA与欧洲ESA联合提出了小行星撞击和偏转评估(AIDA)任务[2]，计划对双小行星65803 Didymos进行撞击，评估验证近地小行星防御的可行性；美国JPL同时提出双小行星定位探测(BASiX)任务[3]，以双小行星65803 Didymos为目标，研究微重力环境中瓦砾堆小行星的起源及演化。

在双小行星系统的探测任务中，复杂探测任务的开展首先需要获得系统动力学环境相关的先验信息，而系统完整的引力场模型必须在探测器靠近探测目标，并展开长时间观测与绕飞后才能获得[4-5]。

同时通过环绕探测，也将为着陆点选择和着陆轨迹设计提供参考[6-7]。

因此选择合适的环绕探测轨道对探测任务的成功开展具有举足轻重的作用。

为了满足小行星附近尤其是双小行星系统中的探测任务需求，需要多样性丰富、燃料消耗少且可保持长期稳定的探测轨道。

共振轨道可以较好地满足这几大特性，因此研究小行星附近的共振轨道对未来探测任务具有较大的参考价值。

在对共振轨道的研究中，2013和2014年，Vaquero和Howell[8-9] 对地月系统共振轨道的动力学结构进行了深入细致的分析，借助庞加莱截面设计了二维及三维共振轨道，并提出利用共振轨道实现低能量转移的轨道设计方法。

题目：小行星轨道问题姓名：刘天华班级：车辆工程1106班学号：0121102910819任课老师：陈建业题目：小行星轨道问题摘要本文针对小行星轨道问题提出合理假设，利用开普勒定律和二次曲线理论对模型进行优化，将复杂的方程式用矩阵表示并使用Matlab软件进行求解的出小行星轨道的椭圆标准方程，有利于进一步分析小行星的轨道特征。

关键词：开普勒定律二次曲线理论矩阵 Matlab一、问题重述2013年2月16日，一颗直径大约50米的小行星与地球擦肩而过，小行星撞击地球危险可能再度引起公众的关注。

已知：要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，需要在轨道平面内建立以太阳为原点的空间直角坐标系，然后在不同时刻对小行星进行观测，以确定其轨道。

现在已经在5个不同时刻对某颗小行星进行了5次观测，表1给出了相应的观测数据。

表1：某小行星的5次观测数据（单位：天文单位）其中一个天文单位等于地球到太阳的平均距离，即11101.4959787 米。

要求确定这颗小行星的轨道，如椭圆的半长轴、半短轴、半焦距、近日点、远日点，以及椭圆轨道的周长等。

二、模型的基本假设1：小行星稳定绕太阳运行，不会因为撞击改变轨道。

2：小行星运行符合开普勒第一定律，即为一椭圆。

三、问题的分析及模型的建立由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程，椭圆的一般方程为：012225423221=+++++y a x a y a xy a x a现在已经由上述表格知道轨道上五个点的坐标数据：（x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5） 分别对应坐标数据：（5.764，0.648），（6.286 ，1.202），（6.759，1.832），（7.168，2.526），（7.480，3.360）问题就变成了球方程的五个待定系数a1,a2,a3,a4,a5。

为了确定方程中的五个待定系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=++++-=++++-=++++-=++++-=++++.1222122212221222122255542535522514544243442241353423333223125242232222211514213112211y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a由于直接求解需要大量的计算工作，我们可以利用矩阵这一数学工具来优化模型：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111222222222222222543215525552544244424332333232222222211211121a a a a a y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x y x y y x x求解这一线性方程组，所得的是一个二次曲线方程.为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:12222=+bY a X 由于太阳的位置是小行星轨道的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴a 和短半轴b 计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长L .根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:[].02221=++C DY X λλ 所以,椭圆的长半轴:C D a 1λ=;椭圆的短半轴: CDb 2λ=;椭圆的半焦矩:22b ac -=.所以只要求出参数a1,a2,a3,a4,a5，并应用二次曲线理论，即可求出小行星轨道椭圆的半长轴、半短轴、半焦距、近日点、远日点，以及椭圆轨道的周长等数据。

《基于光学与雷达数据的小行星精密定轨》篇一一、引言小行星定轨研究对于理解太阳系的形成与演化，以及预防潜在的天体威胁具有重要意义。

随着科技的进步，基于光学与雷达数据的小行星精密定轨技术得到了快速发展。

本文将探讨光学与雷达数据在小行星精密定轨中的应用，并分析其优势与挑战。

二、光学数据在小行星定轨中的应用光学观测是小行星研究中最常用的方法之一。

通过望远镜对小行星进行光学观测，可以获取其位置、形状、亮度等信息。

这些数据对于小行星的精密定轨具有重要意义。

首先，光学观测可以提供高精度的位置信息。

通过多个望远镜对小行星进行同步观测，可以获得小行星的相对位置。

利用三角测量法，可以进一步提高定轨精度。

此外，光学观测还可以获取小行星的形状信息，有助于更准确地描述其轨道特性。

然而，光学观测也存在一些局限性。

由于太阳光照射的影响，小行星的亮度会发生变化，导致观测难度增大。

此外，光学观测受天气条件影响较大，如云雾、光照条件等。

三、雷达数据在小行星定轨中的应用与光学观测相比，雷达观测具有全天候、全天时的特点。

通过雷达对小行星进行观测，可以获取其精确的位置、速度以及形状信息。

雷达观测可以提供高精度的距离和速度信息，这对于小行星的定轨非常重要。

此外，雷达观测还可以通过多普勒效应测量小行星的旋转速度和自转轴方向。

这些信息有助于更全面地了解小行星的物理特性。

然而，雷达观测也需要克服一些挑战。

首先，雷达设备的建设与维护成本较高。

其次，雷达信号的传输需要较长时间，导致数据获取周期较长。

此外，雷达定轨需要与其他观测手段相结合，以提高定轨精度。

四、光学与雷达数据的融合应用光学与雷达数据在小行星定轨中具有互补优势。

将二者结合起来，可以提高定轨精度和可靠性。

首先，可以通过光学观测获取小行星的位置和形状信息，再利用雷达数据进行验证和补充。

雷达数据可以提供更精确的距离和速度信息，有助于修正光学观测中的误差。

此外，结合光学和雷达数据可以更全面地了解小行星的物理特性，如大小、密度、表面反射率等。

小行星形成与演化的数值模拟研究随着现代天文技术的不断发展，人们对宇宙中各种天体的形成与演化过程也有了更深入的了解。

其中，小行星作为太阳系中极不引人注目的一类天体，在近几十年的研究中逐渐成为了研究太阳系演化历史和行星系统形成的重要领域。

通过对小行星形成与演化的数值模拟研究，我们能够更加深入地了解小行星的基本特征以及整个太阳系的演化史。

一、小行星的基本特征小行星是指存在于太阳系内，轨道在行星与彗星之间的物体，它们的尺寸通常只有数百公里甚至更小。

目前已知的小行星数量超过60万颗，其中一些已经被确定了尺寸、形态、重力和轨道参数等基本特征。

这些基本特征的研究发现，小行星是由曾经存在于太阳系早期的各种物质凝聚而成的，可以是由尘埃颗粒聚集而成的碎石堆、也可以是由巨大行星碰撞后残留的碎块堆积而成。

二、小行星的演化过程小行星的演化过程通常被视为是太阳系行星形成的一个缩影，因为小行星的形成和演化过程与行星的形成和演化过程有着相似性。

一般来说，小行星的演化可以分为以下几个阶段：第一阶段是原初的凝聚阶段，当太阳系形成之初，各种物质开始聚集形成小行星原料。

这个阶段的影响因素主要有太阳和气体星云的引力以及运动速度等。

第二阶段是碎石聚合阶段，当小行星原料充分聚集形成碎石堆后，它们之间开始发生碰撞和相互作用，形成更大的小行星。

这一阶段需要考虑碰撞的角度、速度、几率，以及物理条件对小行星形成的影响。

第三阶段是重力作用下的动力学演化阶段，当小行星达到一定尺寸后，受到其他天体的引力作用，它们之间开始发生运动位置的变化。

这个阶段需要考虑小行星的形状、轨道参数、质量、引力作用和涨潮等因素。

第四阶段是小行星的特殊演化阶段，当小行星遭受到彗星或大行星的撞击或引力作用时，它们的形态和结构可能会发生较大的变化。

这个阶段需要考虑撞击过程中的物理规律、能量传递等因素。

通过数值模拟的方法，我们可以模拟不同阶段的小行星演化过程，从而更加深入地了解小行星的基本特征与形成演化过程。

第五章 小行星轨道方程计算问题——线性方程组求解的直接法5.1 小行星轨道方程问题 5.1.1 问题的引入一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，其单位为天文测量单位，在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上的5个点的坐标数据如下表：5.1.2 模型的分析由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆，设椭圆的一般方程为：221234522210a x a xy a y a x a y +++++=，需要确定系数,1,2,3,4,5;i a i =利用已知的数据，不妨设()1,2,3,4,5;i i x y i =欲确定系数i a 等价于求解一个线性方程组：221121131415122122223242522213233334353221424434445422152553545552221022210222102221022210a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y a x a x y a y a x a y ⎧+++++=⎪+++++=⎪⎪+++++=⎨⎪+++++=⎪⎪+++++=⎩ 可写成矩阵的形式：AX b = 其中，2211111122222222223333332244444422555555222222222222222x x y y x y x x y y x y A x x y y x y x x y y x y x x y y x y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12345a a X a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，11111b -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 5.1.3 模型的假设假设：(1)小行星轨道方程满足开普勒第一定律；(2)以上所测得数据真实有效。