横向风荷载作用下轴向运动弦线自激振动和稳定性分析

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轴向运动简支-固支梁的横向振动和稳定性

轴向运动简支—固支梁的横向振动和稳定性!TRANSVERSE VIBRATION AND STABI ITY OF AN A IA Y MOVING BEAM WITH PINNED AND FI ED ENDS李晓军!!陈立群（上海应用数学和力学研究所，上海大学力学系，上海200072）Ll Xiaojun CHEN Lioun（Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics，Department of Mechanics，Shanghai Uniuersity，Shanghai200072，China）摘要研究一端简支一端固支轴向运动梁的横向振动和稳定性。

提出在给定边界条件下确定一匀速运动梁固有频率和模态函数的方法。

当轴向运动速度在其常平均值附近作简谐波动时，应用多尺度法给出轴向变速运动梁参数共振时的不稳定条件。

用数值仿真说明相关参数对固有频率和不稳定边界的影响。

关键词轴向运动梁横向振动固有频率模态函数多尺度法稳定性中图分类号O326O343.9Abstract Vibration and stabiIity are investigated for an axiaIIy moving beam constrained by a pinned end and a fixed end.A scheme is proposed to derive naturaI freguencies and modaI functions of a beam under the given boundary conditions and moving axiaIIy at a constant speed.When the axiaI speed varies harmonicaIIy about a constant mean one，the method of muItipIe scaIes is appIied to the axiaIIy moving beam to determine the instabiIity boundary due to parametric resonance.NumericaI simuIations show the effects of reIated parameters on the naturaI freguencies and the instabiIity boundaries.Key words Axially moving beam；Transverse vibration；Natural freguency；Modal function；The method of multiple scales；StabilityCorresponding author：CHEN Lioun，E-mail：lgchen@，Tel：+86-21-66134972，Fax：+86-21-56553692 The project supported by the NationaI NaturaI Science Foundation of China（No.10472060），and the NaturaI Science Foundation of Shanghai City（No.04ZR14058）and Shanghai Leading DiscipIine Project（No.Y0103），China.Manuscript received20050113，in revised form20050308.1引言多种工程系统如传送带和带锯可以模型化为轴向运动梁，对于轴向运动梁横向振动的研究将有助于改进该类设备的设计与应用。

轴向运动梁横向非线性振动建模、分析和仿真

研究方法主要包括理论建模、数值模拟和实验验证。首先，基于弹性理论和运动学原理，建立轴向运动梁横向非线性振动的数学模型；其次，利用数值模拟方法求解模型的非线性方程，分析系统的动态特性和演化过程；最后，通过实验验证模型的准确性和有效性。同时，本研究还将综合运用理论分析、数值模拟和实验验证等多种手段，全面揭示轴向运动梁横向非线性振动的内在机制和规律。
数值模拟与结果分析
数值模拟流程
01
根据建立的模型，利用数值方法进行模拟计算，得到梁的振动
响应。
结果分析
02
对模拟结果进行分析，研究轴向运动梁的振动特性、模态特性
、稳定性等。
结果验证
03
将数值模拟结果与实验结果进行对比，验证模型的准确性和有
效性。
04
轴向运动梁横向非线性振动优化控制
控制策略与方法
目前，国内外学者对轴向运动梁的横向振动问题进行了广泛研究，取得了一定的研究成果。但是，由于轴向运动梁的横向振动涉及到多个物理场和复杂的非线性因素，现有的研究方法仍存在一定的局限性，无法全面揭示其内在机制和规律。因此，开展轴向运动梁横向非线性振动建模、分析和仿真研究具有重要的理论意义和实际应用价值。
分岔和混沌
分岔是指系统在某些参数变化时，其动态行为发生突然改变的现象；混沌则是指系统对初始条件极为敏感，微小的变化可能导致完全不同的结果。
轴向运动梁横向非线性振动模型建立
轴向运动梁模型
轴向运动梁是指在轴向方向上运动的梁，其横向振动受到轴向运动的影响。
非线性振动模型
建立轴向运动梁横向非线性振动模型需要考虑轴向运动、材料非线性、几何非线性和外部激励等因素。
线性化模型局限性
由于忽略了非线性效应，线性化模型在描述大振幅振动时精度较低。

振动力学(梁的横向振动)分析

EI 2 2 求出后得到固有频率 i i a i , (i 1, 2 ) A
Φ( x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x 振型为
sin l sh l C sin x sh x (cos x ch x) ch l cos l
u ( x, t ) Φ( x)q(t )
代入方程得到
a x2
2 2
d Φ( x) d q(t ) q(t ) dx2 Φ( x) dt 2
2 2
写为
2 d 2Φ( x) d 2 q(t ) 2 2 2 x dx 2 dt a 2 Φ ( x) q(t )
l
l d d 2 i d d i j EI EI dx j 2 2 0 dx dx dx dx 0
2
l
d d i d i d j j EI EI 2 2 dx 0 dx dx 0 dx
2 2
d d i EI 2 0 i dx 2 dx
l 2 2
l d i 2 dx EI dx Mi i 2 0 dx
弹性体的振动
梁在激励力作用下的响应
和一维波动方程一样，用振型叠加法求响应
u ( x, t ) qi (t )Φ ( x)
u ( x, t ) u ( x, t ) EI k0 2 x x x l
2
x l
3u ( x, t ) EI x3
ku (l , t )
x l
弹性体的振动

【word】横向流体激励下绳索的动力学分析

横向流体激励下绳索的动力学分析错,动力菩弛棱砷j,数值i氓第13卷第3期2000年9月V.I3Nr)3SeP2nU丁,/横向流体激励下绳索的动力学分析金栋平胡海岩———一————一(南京航空航天大学振动工程研究所南京.2100l6)摘要通过分析横向流体对绳索的作用力.建立了绳索的动力学方程.借助Pilil~chuk坐标变换.使具有零刖度的绳索动力学方程包含静刚度项.继而使用两变量摄动方法对绳索运动进行近似分析然后.用数值方法考核了近似分析结果的可靠性.讨论了流体速度,绳索质量,重力和初始状志等对绳索运动行为的影响关键词:绳索;流激振动:摄动方法:动力学与控制中围分类号:0353.1:TV36引言工程中的绳索经常呈现非常复杂的动力学特性.例如.环锭纱线在捻作过程中会形成气圈,影响工作效率;悬索桥的拉索和输电导线在风激励下会产生危险的振动.绳系卫星在展开,状态维持与回收过程中会表现出的复杂运动行为绳索的动力学与控制问题已得到广泛关注.现有研究主要针对不同载荷工况而进行,如单点简谐激励,流体作用等J.值得一提的是.Perkins和Mote建立了任意垂度,端部支撑非水平情形下行进绳索的三维动力学模型.然而,尚未见关于横向流体力作用下的绳索动力学研究.本研究深海电缆为背景.通过分析横向流体对绳索的作用力.建立了绳索的动力学方程.导出了其近似解,讨论了流速,绳索质量,重力和初始状态等对绳索运动的影响.1绳索受力分析图l所示的绳索长L,通过两端索眼悬挂,完全浸没于流体之中.图中表示自左端索眼沿绳索度量的弧坐标.虚线为绳的静平衡位置.设绳索受到沿方向,流速为v,的横向定第3期叠栋平等:横向流体融励下绳索的动力学分析圈1弹性绳索简图图2绳索微段的受力分析式中”?”一旦0t本文研究小垂跨比情况,即.≈筹《1和≈塞《1.根据流体动力学中的Morison公式,绳索受到的流体阻力(或流体升力)为㈨一,c.D:≈Pc¨D}(2)式中P,为流体密度～C为流体阻力系数【或升力系数),Dc为绳索横截面直径.考虑到sinf1一/v,和cosf1一(1,--’U’)/V,,计人附加流体质量,重力和惯性力,则单位长度绳索受的力为的构形,D为无重力时绳索的垂度,,为绳索的跨度.为了简化方程(4),引人参数342振动工程第】3卷l一,一,一-t~J,r—Dv’E~/p,一笔毫一一tl’.√苦.,一psC~,DcD一考虑到绳索振动以面内外一阶振’型为主,即近似有V(,r)=sLn()1(r),Wt.f)一sinUr~/)q!(r)将方程(4)简化为f+e一一.:+一{,)l目+q一一Dj(i--c+,)一-(6)(7)(8)式中”?’I一熹,一(q+qi一1)/4.当绳索在横向流体作用下处于平衡状态(鼋)时,绳索内的平均纵向动应变为零,即一(g.+.一1)/4—0.这表明:绳索平衡时,绳上的质点位于以z轴为中心的圆弧上.因此,方程(8)在绳的平衡位置iv.,q2o)处缺少静刚度项.为便于分析,以下通过坐标变换将方程【8)化为含静刚度项的动力系统.引入Pil[pchuk建议的坐标变换0q【=q-o+”【((r),q2一q]式中(r)和分别代表绳索各质点沿法矢量n的扩张和回转运动,其几何意义如图3所示.根据绳索中心质点的初始位置,定义叮1c=sin()和叮2.一c0s(),由归一化条件,法矢量沿坐标9【和q的方向余弦”【)和2()分别为l(一sin(和月2(=COS().将方程(8)沿瓿坐标{和方向投影并略去《1的高阶小量,得到f+瞄+D,一(c,D,一西一dF(/d{o=0【1.)l+D,(c,D,+2)+,’一0式中.一//2,函数F(为+2({(r)(9)圈3坐标韭换简固‘(一i4[(一,D,)sin—Dyv,c.s妇(1])由于坐标和的零点位于绳索在定常流激励下的平衡位置,当绳索偏离平衡位置时引起的非零弹性恢复力将使方程(1O)含有静剐度项.3绳索运动的简化分析现采用摄动法对横向流作用下绳索的响应作近似分析.取为小参数,并令,],一西,,,一,,=(r),一(r)+【r)和ta=r.将这些参数代人方程(10),并取的线性部分第3期盒栋平等:横向流体激励下绳索的动力学分析一s【n佩+.c0sJ;—.一z挚一Q~sin佩+Q~cos%一.西,式中一4两,,亩:一{(1一,),R.一c,(;+麓一,R一+誓+j设一.为另一无量纲时问,此时方程(12)是具有慢变时间尺度和快变时间尺度的两变量参数系统,即;一(+)和一事(,,.).基于两变量参数摄动方法,设方程(12)的近似解为f一(t,)一t,)+0(.)【一(t,t.)+L(f,c)+o()4(】)将式(14)代人方程(12),比较方程两端的各幂次系数,得到《矗)一一.,参+.】佩一佩,挚一鬻嫠_.许+.I一许峨象+】一..j舞詈:一or(一c,Ⅲ:—一z舞鲁一.警+r,cs方程(16)以快变时间变化,设其解为一0.结合消去久期项条件,可从上述方程组求出一阶近似解一一fl,~cos%r+壶警jDr誓+.lsin佩+唧]【一+箬qD,+z誓jcn.s.r—flcsine其中0】一4Dzvr/丌,0=4(.一cD,)/(20)这里‰和为任意常数.根据方程【16)+参数体满足dr丝a+力,警+.n体一Q~cos一.(21)在一阶近似的意义上+通过数值求解方程(21)可得到系统的近似解(19).由于绳索的径向振动和回转话动由二维自治系统(21)确定,因此不会出现混沌现象.振动工程4绳索运动响应分析第13卷作者采用数值方法直接对绳索的动力学方程¨∞进行积分,考核近似解(19)的可靠性.并分析系统主要参数对绳索动力学行为的影响图4～6给出了数值解(虚线)和近似解(实线)的对比,数值解与近似解具有很好的一致性.在图4和j中,绳索在起始时刻处于静平衡位置.卿和均设为零.在图6中,绳索初始状态为:忙=O和讯1.在图4(a)中,流体速度参数w值高于图4(b).其响应衰减速率大.这表明流体速度可等效于阻尼的作用在较高流速时.绳索响应能较快地趋于定常状态.在图j(a)中,与绳索密度和重力相关的参数值低于图5(b),其响应频率亦低,可见参数决定绳索的动响应频率.这预示在微重力环境中,由于绳索的重量较轻.其动响应周期相对较长.例如,在徽重力环境下或在静止流体中,可观察到绳索作低额摆动及细纱线在空间的缓慢运动.初始状态对绳索振动的影响,如图6所示其物理意义可理解为:以某一状态运动的绳索,当突然受到外部流体激扰时,在同样参数条件下.绳索的运动幅值会趋于增加,工程中应避免类似情况发生O0200300400500100200300400500r(a)”一0.2.=002(b)?一0.02一=0.05图4流体速度与阻尼的等效性(一0.2.cf=05)000234925[-1%~】00200300400500IO0200300400500,r)一0.1(b)一【).3图s参数对绳索运动频率的响应(一0l,f,=0.,-o=0.1)O020********.0,(a)固6初始状态对绳索运动的影响(:】O0瑚300400500(b)垂1.其他参数同图5)第3期金栋平等:横向流体激励下绳索的动力学分析5结论使用模态缩聚和两变量摄动方法可以将受横向流体激励的绳索动力学方程简化为二维自治系统.这一方面简化了绳索的动力学分析难度,另一方面表明绳索不会发生混沌运动研究表明:(1)对于绳的振动,流体速度的变化可等效于阻尼的变化;(2)在微重力环境中.绳索的振动周期相对较长;(3)以某状态运动的绳索突然受到外部流体激扰时,会发生高频颤动现象.参考文献1MavrakosSA.ChatjigeorgiouJDynamicbehaviourofdeep~vatermooringh neswithsubmergedputers&Struetures,1997;64(1—4):819—8352ChangWK.PihpchukV.1brahimRA.Ftuidf[owinducednonlinearvibrationofsuspendedcabiesNonlinearDynamics.1997;14(4)377—4O63PerkinsN.MoteCDJr.Three-dimensiona[vibrationoftravellingelasticcable s.Journa[ofSoundandVibration.1987:114(2):325—3404PilipchckVN.Methodofinvestigatingnonlineardynamicsproblemsofrecta ngularplateswithin:tiMimperfections.SovietAppliedMechanics,1986{22(2):1621685KevorkianJ+ColeJD.Perturbationmethodsinappliedmathematics.NewY or k:Spring—Verlagt1981 DynamicAnalysisofaSuspendedCableSubjecttoTransverse FluidExcitationJinDongpingHuttaiyn (InstituteofVibrationEngineeringResearch? NanjingUniversityofAeronauticsandAstronautics210016?Nanjing)一一一～一艚～砌一_墓_量～训搬叽一～_兰酣～一o黼一。

03-1 弦的横向振动解析

燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
2 y y 2 y dx 2 f x ,t dx T 2 dx t x x T y 2 y y 2 dx dx T x x x x
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
简单的连续系统振动演示
3.1
弦的横向振动
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
设有一根细弦张紧于两固定点之间，弦长为 L 。两固定点连线方向取为 x 轴，与 x 轴垂直的方向取为 y 轴，如图所示。弦的单位长度质量为 (x)，在横向分布力 f(x,t)作用下作横向振动，张力为 T(x,t) ，跨长为 L ，弦 x 处的横向位移函数为y=y(x,t)。
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
◆在研究连续系统的振动时，假设材料是均匀连续的和各向同性的，并在弹性范围内服从虎克 ( Ｈ ook) 定理，这些都是建立连续线性系统振动理论的前提。 ◆连续系统的偏微分振动方程只在一些比较简单的特殊情况下才能求得解析解。例如均匀的弦、杆、轴和梁等的振动问题。 ◆实际问题往往是复杂的，并不能归结为简单的连续系统情形，因而常常需要离散化成有限自由度系统进行计算或利用各种近似方法求解。 ◆实际工程中常用的有限元法是将连续系统离散化的实用有效方法之一。

输电线横风向动张力理论分析与试验研究

输电线横风向动张力理论分析与试验研究汪伟;孙成丽;汪睿【摘要】输电线路是典型的风敏感结构,强风作用下输电线产生较大抖振响应,在其端部引起的弦向动张力,是线路支撑杆塔结构设计的重要因素.文章基于随机振动理论和索结构力学,研究了架空导线风振响应的解析计算方法.将静力平衡状态的动力响应分为背景响应和共振响应,其中背景响应通过影响线函数进行计算.并通过标准气弹模型风洞试验,对上述理论模型进行了校验.结果表明:背景响应所占比例很大,而且各响应都随着风速的增大而增大,同时表明了理论模型的相对准确性.【期刊名称】《建材世界》【年(卷),期】2018(039)006【总页数】4页(P84-87)【关键词】输电线;动张力;背景响应;气弹模型风洞试验【作者】汪伟;孙成丽;汪睿【作者单位】武汉理工大学土木工程与建筑学院,武汉430070;武汉理工大学理学院,武汉430070;武汉地铁集团有限公司,武汉430035【正文语种】中文由于架空输电线缆空间跨距大、截面小、自身轻柔、且结构阻尼小，因此成为了一类典型的风敏感结构。

在风工程领域中，一般将风荷载可以看作两部分的组合，分别为平均风和脉动风，平均风周期长，而脉动风周期很短。

并且把平均风的作用看成静荷载，把脉动风的作用看成动荷载。

在各种风振响应中，由脉动风引起的导线的抖振响应是抗风设计的关键。

导线风致响应可以分为静风荷载作用下的静力响应和静平衡状态处脉动风引起的动力响应。

在较高的风速下，导线平面的静力变形和风偏非常显著，这也使得导线张力从初始状态发生了相当大的变化，从而导致了系统动力特性的变化。

Irvine[1]最先系统地开展了柔性索结构的理论分析，详细阐述了两端固定索的静、动力特征及响应的计算方法。

国内学者马星等[2]利用Irvine的理论解析解，建立起输电塔线线性体系的耦合振动方程。

Wang等[3]给出了输电线风振响应的理论计算方法，指出了平均风偏的非线性静力状态及气动阻尼对输电线三维动张力的影响尤为重要。

机械振动6连续系统的振动1弦的横向振动

15
例6.1-1 考虑两端固定的弦，求振动的前三阶固有频率和相
应的固有振型，并作出振型图。
解：弦的固有频率：
i
i
L
T
(i 1,2,)
y(x) ,T
L
x
1
L
T，
2
2
L
T
，
3
3
L
T.
弦的固有振型：
Yi (x)
sin i
a
x
sin i
L
x
(i 1,2)
Y1 ( x)
sin
L
x ， Y2 (x)
sin
x
L L/2
2 L
2hL
i2 2
sin
i
L
x
2hx cos i i L
这就是边界条件。
（6.1 3）
y( x, t )
f (x,t) T (L,t)
x
dx
x
（6.1 3）与（6.1 4）构成了偏微分方程的边界值问题。
若弦的线密度(x) 为常数，设横向位移y(x,t)为小量，
弦的张力T可以视为常数，则方程（6.1 3）简化为：
2 y t 2
T
2 y x2
f
( x, t )
至此，除了离散系统的固有频率和固有振型是有限集，而连续系统的固有频率和固有振型是无限集以外，离散系统和连续系统的相似性便完备了。
21
例6.1-3 设张紧弦在初始时刻将中点拨离h (如图) ，然后
无初速地释放，求弦的自由振动。
y(x)
解：弦的初始形状就是 y(x,0):
h
O
2hx / L (0 x L / 2) y(x,0) 2h(1 x / L) (L / 2 x L)

任意面内荷载作用下薄圆盘的自由振动与屈曲分析

任意面内荷载作用下薄圆盘的自由振动与屈曲分析作者：李国荣周叮李雪红霍瑞丽来源：《振动工程学报》2021年第05期摘要：基于單集中力作用下半无限平面的应力分布公式，利用外载荷叠加原理，得到自平衡面内集中力系作用下薄圆盘的应力分布公式，通过积分计算进一步获得自平衡面内分布力系作用下薄圆盘的应力分布表达式。

取切比雪夫多项式与边界函数的乘积作为容许函数，应用里兹法分别导出薄圆盘在任意面内静力荷载作用下的横向自由振动与屈曲的特征值方程，数值求解特征值方程得固有频率和屈曲荷载。

与取幂级数和傅里叶级数乘积作为容许函数以及有限元结果对比验证了方法的快速收敛性和高精度。

关键词：横向振动; 屈曲; 薄圆盘; 面内荷载; 里兹法中图分类号： O326; TU311.3 文献标志码： A 文章编号： 1004-4523（2021）05-1001-08DOI：10.16385/ki.issn.1004-4523.2021.05.014引言薄壁结构具有重量轻、经济性好等优点，被广泛应用于航空、桥梁、机械等领域，在使用过程中人们发现其较易发生共振。

而结构边界约束等亦会引起薄壁结构的面内初应力，导致其原有的动力特性发生改变，使得实际使用中出现的共振难以控制。

圆盘在经典边界条件下的振动研究已十分成熟，一些学者研究了圆盘在各种边界条件下的振动特性。

石先杰等[1]采用谱几何法分析了弹性边界条件下圆盘横向自由振动特性。

武兰河等[2]采用微分容积法求解任意边界条件下中厚圆盘的轴对称自由振动。

李秋红等[3]采用改进的Fourier⁃Bessel级数方法和Rayleigh⁃Ritz法对任意弹性边界条件下圆盘的自由振动进行分析。

Shi等[4]提出了一种求解任意边界条件下圆盘自由振动的统一方法，将位移解用一种简单的三角级数展开形式表示。

Zhang等[5]基于简化板理论和改进的二维傅里叶⁃里兹法，建立了圆盘在各种弹性边界条件下振动特性的统一分析模型。

轴向载荷作用下细长柔性旋转梁横向振动响应分析

轴向载荷作用下细长柔性旋转梁横向振动响应分析任福深;陈素丽;姚志刚【摘要】将水平井柔性钻柱简化为轴向载荷作用下的细长柔性梁,建立了考虑几何大变形的非线性动力学方程,并且利用多重尺度法得到了柔性梁横向振动的平均方程.因钻柱转速和轴向力是影响钻柱振动的两个主要参数,故用改变转速的方法来对平均方程进行非线性动力学响应分析,给出了一阶、二阶模态下钻柱随转速变化的分叉图和不同转速下的相图.分析结果表明,系统响应经历了从周期到混沌再到二倍周期的变化过程,振动幅值有跳变现象出现,在共振条件下,柔性旋转梁振动幅值是有限值,并非无穷大,当轴向力发生变化时,可以通过控制转速变化达到定性、定量地控制柔性钻柱横向振动的目的.【期刊名称】《中国机械工程》【年(卷),期】2013(024)024【总页数】5页(P3392-3396)【关键词】柔性旋转梁;非线性的;钻柱;振动【作者】任福深;陈素丽;姚志刚【作者单位】东北石油大学,大庆,163318;东北石油大学,大庆,163318;北京市工业技师学院,北京,100123【正文语种】中文【中图分类】O320 引言钻柱力学特性研究是现代钻井工程理论和技术的重要组成部分，其主要研究对象是底部钻柱的受力和变形，核心内容是底部钻柱的静力学和动力学特性的研究和应用［1-2］。

因此，获取钻柱底部靠近钻头处的动态力学参数有助于分析底部钻柱的动力学特性，国内外许多学者对底部钻具组合BHA(bottom hole assembly)的振动问题进行了大量理论研究，并通过建立理想模型和理论计算，取得了很多成果［3-5］。

目前，关于钻柱横向振动的研究多是利用现有的线性分析理论，而忽略了非线性因素的影响［3-7］，且考虑钻柱非线性特征的研究多集中在底部钻具组合段［8］，针对水平钻柱横向振动的非线性动力学研究鲜见报道。

随着齿轮齿条钻机等新概念石油钻机的出现［9］，水平钻柱的横向振动不仅影响钻具组合和钻柱本身，而且对钻机等地面装备也会产生很大的影响，因此研究整体的水平钻柱动力学问题具有理论和实际应用价值。

轴向运动弦线横向振动的控制_能量方法

i( ∃t- % x )
和
2
分别为张紧器两侧的弦线在
+ Bu e
i( ∃ t+ % x )
u
l1 # x # 1
+
平衡位置 X = L 1 处和张紧器间的夹角。引入无量纲变量 x = X W ,w= ,t= T L L ie = P 2, c = V L P , l1 = L1 , L
( 11)
4
最佳控制参数选择
为了抑制运动弦线受初始激励扰动而引起的横向达到控制弦线 ( 12)
I B L L 3, b = L , k = K P , me = Me P L
2
振动, 可通过调整张紧器的旋转角度振动的目的。为此, 控制力矩 m e 取为 m e = k f w t( l 1 , t ) b
[9] [ 10] [ 4] [ 8] [ 6]
轴向运动弦线的横向振动控制是多个技术领域的重要工程目标, 如动力传送带、空中缆车索道、高楼升降机缆绳、单索架空索等。尽管这些工程系统元件具有重要应用前景 , 由于轴向运动而引起的横向振动却限制了它们在一些工程领域中的应用。因此 , 有必要引进控制手段来抑制轴向运动弦线的振动
[ 12 ]
( 0) = #
其中 ! 为张紧器与铅垂线间的夹角,
为张紧器在
x = l1 处的位移。从方程 ( 3) ~ ( 5) 可知 , 弦线动力学方程 ( 3) 和张紧器的动力学方程( 4) 通过边界条件( 5) 相耦合, 形成一个耦合振动系统。
可
3
波的反射和透射分析
对于一无限长的沿轴向运动的弦线 , 其横向振动
203
图2
轴向运动弦线的纵向振动位移 ( 1) 图 ( a) 、 ( c) 、 ( e) 为末控弦线 ; ( 2) 图 ( b) 、 ( d) 、 ( f) 为已控弦线 Fig. 2 Transverse vibrat ion displacement of the axially moving string ( 1) Fig. ( a) , ( c) , ( e) for un control led st ing; ( 2) Fig. ( b) , ( d) , ( e) for controlled st ing

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δ ij 为 Kronecker 符号。
经过无量纲化。当在水平方向(即 z 方向)受到定常风荷载的作用时，弦线将产生垂直方向上的风致振动。将风荷载看成平均风速的非线性函数。不计弦线的抗扭刚度，对于小迎角情况，根据文[5]，风荷载的表达式可以写作： (η , t ) + f3 y 3 (η , t ) f (η , t ) = f1 y
Abstract: There exist axially translating string structures, e.g. string cars that operate under wind loadings in outdoor environments. The wind excitation may cause severe vibrations and jeopardize the safety of the strings. In this paper the authors investigate the nonlinear vibration of the translating strings with small sag-to-span ratios under wind excitations. The governing partial differential equation is obtained by modeling the wind excitation as a nonlinear function of the transport speed. The Galerkin approach is adopted to reduce the string to an approximate system with a few numbers of DOFs. After linearization of the system the stability of the equilibrium configuration is investigated through an eigenvalue analysis. Explicit conditions are provided for loss of stability based on the Routh-Hurwicz criterion as well as for generation of stable limit cycles via the Hopf bifurcation, both taking transport speed and wind speed as the controlling parameters. The periodic motion of the string is determined using incremental harmonic method, with stability analyses carried out by eigenvalue computation for the Floquet multipliers. Various stability conditions are presented considering the transport speed, wind speed and the viscous damping as operation parameters. Key words: nonlinear vibration; axially moving string; self-excited vibration; wind loadings; Hopf bifurcation 工程中很多的物质输送和交通运输工具可以简化成轴向运动弦线。其中的缆车索、传送带等工
ϕ + 2cξ ϕ ′ + δ cξ ϕ ′ + (c 2 − c 2 )ξ ϕ ′′ + ∑ (ξ 0 i i i i i i i i
i =1
M
ϕ ) − ( f ξ (δ − f1 )ξ ∑ 3 iϕi )3 = 0 i i
i =1
M
(5)
应用 Galerkin 法，可得到关于 ξ j (t ) 的二阶非线性常微分方程组：
，但是未见关于
轴向运动弦线在横向风荷载激励下的动力学研究的发表，可以说本领域的研究尚属空白。本文研究了垂跨比远小于 1 的运动弦线在确定性、定常风荷载作用下的非线性振动和运动的稳定性。首先建立了风激励作用的轴向运动弦线的动力学微分方程，然后用 Galerkin 方法对位移响应作近似展开，得到离散化的控制方程。按照 RouthHurwitz 判据，通过对特征值的计算，分析、判定了平衡构形的稳定性。最后，用增量谐波平衡法 IHB 法求解了弦线的周期响应和振动频率，用 Floquet 理论分析了周期运动的稳定性。
ON SELF-EXCITED VIBRATION ANALYSIS FOR AXIALLY MOVING STRINGS WITH TRANSVERSE WIND EXCITATIONS
LU Le-feng1 , *WANG Yue-fang1,2 , LIU Ying-xi1,2
(1. Department of Engineering Mechanics, Dalian University of Technology, Dalian 116023, China; 2. State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, Dalian University of Technology, Dalian 116023, China)
y (η , t ) = ∑ ξi (t )ϕi (η ), ϕi (η ) = sin iπη ,
i =1
M
(4) i = 1, 2," , M 式中： ξi (t ) 为主坐标响应； M 是所取试函数的截断项数。把式(4)代入式(3)，得到关于主坐标的非线性常微分方程：
1 动力学方程
如图 1 所示，考虑一根两端简支的、张紧的轴向运动弦线，在小变形假定下，忽略由于空间各方向振动的相互耦合引起的几何非线性项，采用文[4] 的无量纲化，得到如下方程： ′(η , t ) + δ ( y (η , t ) + cy′(η , t )) + y (η , t ) + 2cy
(2)
c
x
( x, y , z )
o
η
平衡构型
z
Fig.1 图 1 轴向运动轴线 An axially moving string
其中：f1 =
−1 0.5a ρ0 hv0 gS 0.5bρ 0 hv0 ( gS )3 , f3 = , ρ Ag ρ Ag
a 和 b 是与弦线的断截面形状有关的常数，可由试
+ k j 2 π 2ξ + (δ − f )ξ + 2 d (2cξ ξ ∑ ij i + δ cξi ) = 1 j j j
i =1
M
ϕ )3ϕ dη , 2 f 3 ∫ (∑ ξ i i j
0
i =1
1
M
j = 1," , M
(6)
2 其中： dij =ij ((−1)i + j − 1)(i 2 − j 2 ) −1 (1−δ ij ), k =(c0 − c 2 ),
[1―3]
验测得； v0 是平均风速， ρ 0 、 ρ、 S、 g、 A 和 h 分别表示空气密度、弦线的密度、跨距、重力加速度、横截面积和弦线临风的特征高度[5]。把式(2)代入式 (1)得到： 2 ′ + δ cy′ + (c 2 − c0 − f3 y 3 = 0 y + 2cy ) y′′ + (δ − f1 ) y (3) 这就是弦线垂向自激振动的动力学方程。分离变量并将垂向位移展开成试函数的级数形式：
y
动态构型
2 平衡构形及其稳定性
工程上关心运行状态下平衡构形 y (η ) = 0 的稳定性，即系统在受到小的扰动后是否会回到平衡状态。式(6)中各 ξ j (t ) 是耦合在一起的，求解起来比较困难，对于低频振动响应的情况，可以取位移的前两项展开式，即 M = 2 ，式(6)可以化简为： ⎧ 2 8 ⎪ξ1 + (δ − f1 )ξ1 − 3 (2cξ 2 + δ cξ 2 ) + π kξ1 = ⎪ 3 2 ⎪ 2 ) f3ξ1 (ξ 1 + 2ξ 2 ⎪ 4 (7) ⎨ + (δ − f )ξ + 8 (2cξ + δ cξ ) + 4π 2 kξ = ⎪ξ 1 2 1 1 2 ⎪ 2 3 ⎪ 3 2 2) ⎪ f3ξ 2 (ξ 2 + 2ξ 1 4 ⎩
2 (c 2 − c0 ) y′′(η , t ) = f (η , t ) (1) 其中：η 为空间曲线坐标； y (η , t ) 为垂向位移；t 为时间；c 为运动速度；c0 是与张力相关的轴向刚度；和 y′ 分别表示位 δ 是单位长度的粘滞阻尼系数； y 移对时间 t 和坐标 η 的导数。以上全部物理量都已
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收稿日期：2006-06-15；修改日期：2007-04-23 基金项目：国家自然科学基金项目(10472021，10421202)；教育部留学回国人员科研启动基金项目(教外司留[2004]527) 作者简介：吕乐丰(1982―)，男，山东巨野县人，博士生，主要从事非线性振动、工程力学研究(E-mail: lorrykey@)； *王跃方(1967―)，男，北京市人，副教授，博士，从事非线性振动、计算力学研究(E-mail: yfwang@)；刘迎曦(1944―)，男，重庆市人，教授，博导，中国力学学会理事，辽宁省力学学会理事长，从事工程力学、反演理论研究 (E-mail: yxliu@).