高职高等数学教案第四章不定积分

第四章 不定积分讲义【考试要求】1．理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理． 2．熟练掌握不定积分的基本公式．3．熟练掌握不定积分的第一类换元法，掌握第二类换元法（限于三角代换与简单的根式代换）．4．熟练掌握不定积分的分部积分法．【考试内容】一、原函数与不定积分的概念1．原函数的定义如果在区间I上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I∈，都有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，那么函数()F x 就称为()f x （或()f x dx ）在区间I 上的原函数．例如，因(sin )cos x x '=，故sin x 是cos x 的一个原函数．2．原函数存在定理如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数()F x ，使对任一x I ∈都有()()F x f x '=．简单地说就是，连续函数一定有原函数．3．不定积分的定义在区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x （或()f x dx ）在区间I 上的不定积分，记作()f x dx ⎰．其中记号⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量．如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，那么()F x C +就是()f x 的不定积分，即()()f x dx F x C =+⎰，因而不定积分()f x dx ⎰可以表示()f x 的任意一个原函数．函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线．4．不定积分的性质（1）设函数()f x 及()g x 的原函数存在，则[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰．（2）设函数()f x 的原函数存在，k 为非零常数，则()()k f x d x k f x d x=⎰⎰． 5．不定积分与导数的关系（1）由于()f x dx ⎰是()f x 的原函数，故()()d f x dx f x dx⎡⎤=⎣⎦⎰ 或 ()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰ ． （2）由于()F x 是()F x '的原函数，故()()F x d x F x C '=+⎰ 或()()dF x F x C =+⎰ ．二、基本积分公式1．kdx kx C =+⎰ （k 是常数）2．11x x dx C μμμ+=++⎰ （1μ≠-）3．1ln dx x C x =+⎰4．21arctan 1dx x C x =++⎰5．arcsin dx x C =+⎰6．cos sin xdx x C =+⎰ 7．sin cos xdx x C =-+⎰8．221sec tan cos dx xdx x C x ==+⎰⎰9．221csc cot sin dx xdx x C x ==-+⎰⎰10．sec tan sec x xdx x C =+⎰11．csc cot csc x xdx x C =-+⎰ 12．xxe dx e C =+⎰13．ln xxa a dx C a=+⎰ *14．tan ln cos xdx x C =-+⎰ *15．cot ln sin xdx x C =+⎰*16．sec ln sec tan xdx x x C =++⎰ *17．csc ln csc cot xdx x x C =-+⎰*18．2211arctan xdx C a x a a =++⎰*19．2211ln 2x adx C x a a x a-=+-+⎰*20．arcsin xC a =+*21．ln(dx x C =++ *22．ln x C =++说明：带“*”号的公式大家可以不记住，但必须会推导．三、第一类换元法（凑微分法）1．定理若()f u ，()x ϕ及()x ϕ'都是连续函数，且()()f u du F u C =+⎰，则[()]()[()]f x x dx F x C ϕϕϕ'=+⎰．2．常用凑微分公式（1）1()()dx d x b d ax b a=+=+ （a ，b 均为常数且0a ≠）（2）11()1aa xdx d x b a +=++ （a ，b 均为常数且1a ≠-）2211()()22xdx d x d x b ==+2dx d = （3）1(ln )(ln )dx d x d x b x==+ （4）()()xx x e dx d e d e b ==+（5）11()()ln ln xxx a dx d a d a b a a==+（6）sin (cos )(cos )xdx d x d x b =-=-+ （7）cos (sin )(sin )xdx d x d x b ==+（8）2sec(tan )(tan )xdx d x d x b ==+（9）2csc(cot )(cot )xdx d x d x b ==+（10(arcsin )(arcsin )dx d x d x b ==+（11）21(arctan )(arctan )1dx d x d x b x==++ （12）22211[ln(1)][ln(1)]122x dx d x d x b x =+=+++ 四、第二类换元法定理：设()f x 连续，()x t ϕ=及()t ϕ'都是连续函数，()x t ϕ=的反函数1()t x ϕ-=存在且可导，并且[()]()()f t t dt F t C ϕϕ'=+⎰，则1()[()]f x dx F x C ϕ-=+⎰．说明：第二类换元法常见是三角代换，三角代换的目的是化掉根式，一般有如下情形： （1sin x a t =； （2tan xa t =；（3sec x a t =．五、分部积分法1．公式的推导设函数()uu x =及()v v x =具有连续导数，那么两个函数乘积的导数公式为()uv u v uv '''=+，移项，得()uv uv u v '''=-，对这个等式两边求不定积分，得u v d x u v u v d ''=-⎰⎰，为简便起见，上述公式也写为udv uv vdu =-⎰⎰ ．2．注意事项（1）如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数为u ，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次（这里假定幂指数是正整数）．（2）如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设对数函数或反三角函数为u （有时也可利用变量代换）． （3）根据范围I 的边界值与()f x '的情况，导出所需要证明的不等式即可．六、简单有理函数的不定积分分子分母均为x 的多项式的分式函数称为有理函数，简单有理函数可通过适当变换如加项、减项等分解为可求不定积分的简单函数．或u ，由于这样的变换具有反函数，且反函数是u 的有理函数，因此原积分即可化为有理函数的积分．【典型例题】 【例4-1】计算下列不定积分． 1．2x xedx ⎰．解：222211()22x x x xe dx e d x e C ==+⎰⎰．2．21xdx x +⎰．解：2222111(1)ln(1)1212x dx d x x C x x =+=++++⎰⎰．3．221(1)x x dx x x +++⎰．解：2222221111(1)(1)(1)1x x x x dx dx dx dx dx x x x x x x x x +++=+=+++++⎰⎰⎰⎰⎰arctan ln x x C =++．4．ln x dx x ⎰．解：2ln 1ln (ln )ln 2x dx xd x x C x ==+⎰⎰．5．1ln dx x x ⎰．解：11(ln )ln ln ln ln dx d x x C x x x ==+⎰⎰．6．sec (sec tan )x x x dx -⎰．解： 2sec (sec tan )secsec tan x x x dx xdx x xdx -=-⎰⎰⎰t a n s e c x x C=-+． 7．2sin xdx ⎰．解：21cos211sin cos2222x xdx dx dx xdx -==-⎰⎰⎰⎰11sin 224x x C =-+． 8．2cos xdx ⎰．解：21cos211cos cos2222x xdx dx dx xdx +==+⎰⎰⎰⎰11sin 224x x C =++． 9．2tan xdx ⎰．解：222tan (sec 1)sec tan xdx x dx xdx dx x x C =-=-=-+⎰⎰⎰⎰． 10．2cot xdx ⎰．解：222cot (csc 1)csc cot xdx x dx xdx dx x x C =-=-=--+⎰⎰⎰⎰．11．11x dx e +⎰．解：11(1)1111x x x xx x x x e e e e dx dx dx dx dx e e e e +-==-=-++++⎰⎰⎰⎰⎰1(1)ln(1)1x xxdx d e x e C e=-+=-+++⎰⎰． 12．21825dx x x -+⎰．解：22211114825(4)99()13dx dx dx x x x x ==--+-++⎰⎰⎰211414()arctan 43333()13x x d C x --==+-+⎰．13．25sin cos x xdx ⎰． 解： 原式2242sincos (sin )sin (1sin )(sin )x xd x x x d x ==-⎰⎰246(sin 2sin sin )(sin )x x x d x =-+⎰357121sin sin sin 357x x x C =-++． 14．cos3cos 2x xdx ⎰．解：111cos3cos2(cos cos5)sin sin52210x xdx x x dx x x C =+=++⎰⎰．【例4-2】计算下列不定积分． 1．cos x xdx ⎰．解：cos (sin )sin sin sin cos x xdx xd x x x xdx x x x C ==-=++⎰⎰⎰．2．x xe dx ⎰．解：()(1)x x x x x x x xe dx xd e xe e dx xe e C x e C ==-=-+=-+⎰⎰⎰． 3．ln x xdx ⎰．解：222221ln ln ()ln (ln )ln 22222x x x x x x xdx xd x d x x dx x==-=-⋅⎰⎰⎰⎰ 222ln ln 2224x x x x x dx x C =-=-+⎰．说明：此题也可用变量代换解，即令ln xt =，则t x e =，t dx e dt =，故原式2222111()222t t t t t t e t e dt te dt td e te e dt =⋅⋅===-⎰⎰⎰⎰ 2222221111ln ln 242424t t x xte e C x x x C x C =-+=⋅-+=-+．4．arctan x xdx ⎰．解：222arctan arctan ()arctan (arctan )222x x x x xdx xd x d x ==-⎰⎰⎰ 22222111arctan arctan (1)221221x x x x dx x dx x x =-⋅=--++⎰⎰ 211arctan arctan 222x x x x C =-++．5．ln xdx ⎰．解：1ln ln (ln )ln ln xdx x x xd x x x x dx x x x C x=-=-⋅=-+⎰⎰⎰．6．arctan xdx ⎰．解：2arctan arctan (arctan )arctan 1x xdx x x xd x x x dx x =-=-+⎰⎰⎰ 2221(1)1a r c t a n a r c t a nl n (1)212d x x x x x x C x+=-=-+++⎰． 7．cos xe xdx ⎰．解：原式(sin )sin sin sin (cos )x x x x xe d x e x x e dx e x e d x ==-⋅=+⎰⎰⎰sin cos cos x x x e x e x x e dx =+-⋅⎰，所以1cos (sin cos )2xxe xdx e x x C =++⎰．8．sin(ln )x dx ⎰．解：1sin(ln )sin(ln )cos(ln )x dx x x x x dx x=-⋅⎰⎰sin(ln )x x =- 1cos(ln )sin(ln )cos(ln )[sin(ln )]x dx x x x x x x dx x =-+-⋅⎰⎰sin(ln )cos(ln )sin(ln )x x x x x dx =--⎰，故1sin(ln )[sin(ln )cos(ln )]2x dx x x x x C =-+⎰．说明：此题也可用变量代换法求解，即令ln t x =，则t x e =，t dx e dt =，则原式sin sin ()sin cos t t t tt e dt td e e t e tdt =⋅==-⎰⎰⎰s i n c o s ()s i n c o s(s i n t t t t te t t d e e t e t e t d t=-=-+-⎰⎰， 故原式11(sin cos )[sin(ln )cos(ln )]22t t e t e t C x x x x C =-+=-+． 【例4-3】计算下列不定积分．1．2156x dx x x +-+⎰．解：被积函数的分母分解成(2)(3)x x --，故可设215632x A Bx x x x +=+-+--， 其中A 、B 为待定系数．上式两端去分母后，得 1(2)(3)x A x B x +=-+-，即1()23x A B x A B +=+--．比较此式两端同次幂的系数，即有 1A B +=，231A B +=-，从而解得4A =，3B =-，于是2143()4ln 33ln 25632x dx dx x x C x x x x +=-=---+-+--⎰⎰．2．22(21)(1)x dx x x x ++++⎰．解：设222(21)(1)211x A Bx Cx x x x x x ++=+++++++， 则 22(1)()(21)x A x x B x C x +=+++++，即22(2)(2)x A B x A B C x A C+=++++++，有 20,21,2,A B A B C A C +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩ 解得 2,1,0.A B C =⎧⎪=-⎨⎪=⎩于是2222()(21)(1)211x xdx dx x x x x x x +=-++++++⎰⎰22221(21)11(1)1ln 21ln 211321212()24x d x x dxx dx x x x x x x +-++=+-=+-+++++++⎰⎰⎰21ln 21ln(1)2x x x C =+-++++．3．dx x⎰．u =，于是21x u =+，2dx udu =，故22221222(1)111u u dx udu du du x u u u=⋅==-+++⎰⎰⎰⎰2(arctan )arctan u u C C =-+=-+．4．．解：为了去掉根号，可以设u =，于是32x u =-，23dx u du =，故22313(1)3(ln 1)112u u du u du u u C u u ==-+=-+++++⎰⎰3ln 1C =-+++． 【例4-4】设()arcsin xf x dx x C =+⎰，求1()dx f x ⎰． 解：对等式()arcsin xf x dx x C =+⎰ 两边对 x 求导，可得()xf x =， 则()f x =故211()(1)()2dx x f x ==--⎰⎰⎰ 332222121()(1)(1)233x C x C =-⋅-+=--+．【例4-5】已知sin xx是()f x 的一个原函数，求()xf x dx '⎰．解：因为sin xx是 ()f x 的一个原函数，所以 2sin cos sin ()()x x x x f x x x -'== 且 s i n ()xf x dx C x=+⎰， 故根据不定积分的分部积分法可得2cos sin sin ()()()()x x x xxf x dx xdf x xf x f x dx x C x x-'==-=⋅-+⎰⎰⎰cos sin sin 2sin cos x x x x xC x C x x x-=-+=-+．【历年真题】一、选择题1．（2009年，1分）下列等式中，正确的一个是 （A ）()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰ （B ）()()d f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰ （C ）()()F x dx f x '=⎰ （D ）()()d f x dx f x C ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 解：选项（A ）正确；()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰，故选项（B ）和选项（D ）均不正确；()()F x dx F x C '=+⎰，故选项（C ）错误．故选（A ）． 2．（2007年，3分）设21()f x x'=（0x >），则()f x =（A ）2x C + （B ）ln x C + （C）C + （DC + 解：令2xt =，因0x >，故x =21()f x x '= 变为()f t '=，该式两边对x取不定积分得，()f t C ==+，即()f x C =+．选（C ）． 3．（2006年，2分）若11()xxf x edx e C --=+⎰，则()f x =（A ）1x （B ）1x - （C ）21x （D ）21x -解：等式11()xxf x e dx e C--=+⎰两边对x 求导得，1121()xxf x ee x --=⋅，故21()f x x =．选项（C ）正确．4．（2005年，3分）ln sin tan xd x =⎰（A ）tan lnsin x x x c -+（B ）tan lnsin x x x c ++ （C ）tan lnsin cos dx x x x -⎰ （D ）tan lnsin cos dxx x x +⎰解：ln sin tan tan ln sin tan (ln sin )xd x x x xd x =-⎰⎰cos tan lnsin tan tan lnsin sin xx x x dx x x x C x=-=-+⎰．选项（A ）正确．二、填空题1．（2010年，2分）不定积分()df x =⎰．解：根据不定积分与微分的关系可得，()()df x f x C =+⎰．2．（2009年，2分）设()xf x e-=，则(ln )f x dx x'=⎰．解：由题意，()x f x e -=，则()x f x e -'=-，那么ln 1(ln )x f x e x-'=-=-，于是2(ln )11f x dx dx C x x x'==-+⎰⎰． 三、计算题1．（2010年，5分）求不定积分2ln 1x dx x -⎰．解：2ln 11ln 11(ln 1)()()(ln 1)x x dx x d d x x x x x--=--=----⎰⎰⎰21ln 11ln 1ln x x x dx C C x x x x x --=+=-+=-+⎰．2．（2009年，5分）求不定积分．解：ln (ln )xd x x ==-⎰⎰x x C =-=-+⎰． 3．（2006年，4分）若2()f x dx x C =+⎰，求2(1)xf x dx -⎰．解：等式2()f x dx x C =+⎰两边对x 求导，可得 ()2f x x =，则22(1)2(1)f x x -=-，从而223241(1)2(1)(22)2xf x dx x x dx x x dx x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰． 4．（2005年，5分）求不定积分12cos dx x +⎰．解：2222sec 2(tan )11222cos 12cos 2sec 3tan222x xd dx dx dx x x x x ===++++⎰⎰⎰⎰令tan 2xt =，则原式22222233[1]]dt dt t t ===+++⎰⎰tan x C C ⎛⎫ ⎪=+=+⎝⎭．四、应用题或综合题 1．（2008年，8分）设()f x 的一个原函数为ln x ，求()()f x f x dx '⎰．解：因ln x 是()f x 的一个原函数，故1()(ln )f x x x '==，211()()f x x x''==-，从而2321111()()()2f x f x dx dx dx C x x x x'=⋅-=-=+⎰⎰⎰．说明：此题也可用分部积分解之，步骤如下． 因2()()()()()()()f x f x dx f x df x f x f x f x dx ''==-⎰⎰⎰，故2221111()()()222f x f x dx f x C C C x x⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰．。

140 第四章 不定积分一般来说，在数学中一种运算的出现都伴随着它的逆运算.在第二章中，我们学习了导数与微分，导数与微分运算是否有逆运算？即已知函数()f x 的导数或微分，能否求出()f x ？这是我们这一章要讨论的问题.第一节 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任意x I ∈，都有()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =，则称()F x 为()f x 在区间I 上的原函数.例如，因为,x R ∀∈(sin )cosx x '=，所以sin x 是cos x 的一个原函数；(1,1)x ∀∈-，(arcsin )x '=arcsin x(1,1)-内的一个原函数.由此可见，微分学的逆问题是：已知导函数()F x '，求原函数()F x .事实上，研究原函数需要解决下面两个问题：(1)满足何种条件的函数存在原函数？(2)如果原函数存在，它是否唯一？关于第一个问题，我们用原函数存在定理回答.(原函数存在定理） 如果函数()f x 在区间I 上连续，则()f x 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数()F x ，使得对任一x ∈I ，有()()F x f x '=.将在第五章给出此定理的证明.这个定理简单地说就是：连续函数一定有原函数. 关于第二个问题的答案是如果原函数存在则不唯一.设()F x 是函数()f x 的一个原函数，即()()F x f x '=,则[()]()F x C f x '+=，其中C 是任意常数.这就是说，原函数存在的话，则有无穷多个.不妨假设()F x 与()G x 是函数()f x 的任意两个原函数, 则有()()F x f x '=，()()G x f x '=.从而有(()())0F x G x '-=，即()()F x G x C -=.因此，()f x 的任意两个原函数之间只相差一个常数.换句话说()f x 的原函数的全体可表示为()F x C +,其中C 为任意常数.据此，我们给出下述定义.在区间I 上，()f x 的带有任意常数项的原函数，称为()f x 在区间I 上的不定积分，记作()d f x x ⎰.其中记号⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量.由不定积分的定义，如果()F x 为()f x 的一个原函数，则()d ()f x x F x C =+⎰ （C 为任意常数）.●●例1 因为 32()3x x '=，所以233d x x x C =+⎰.141●●例2 因为当0x >时，1(ln )x x '=；当0x <时，11[ln()]()x x x x ''-=-=-，所以1(ln ||)x x'=，因此有1d ln ||x x C x=+⎰.●●例3 设曲线过点2(e ,3)，且其上任一点处的斜率等于该点横坐标的倒数，求此曲线 的方程.解 设所求曲线方程为()y f x =，其上任一点(,)x y 处切线的斜率为d 1d y x x=，从而 1d ln ||y x x C x==+⎰,由2(e )3f =，得1C =，因此所求曲线方程为ln ||1y x =+.在直角坐标系中，()f x 的任意一个原函数()F x 的图形我们称为()f x 的一条积分曲线，不定积分()d f x x ⎰在几何上表示一簇积分曲线，这些积分曲线可由某一条积分曲线沿y 轴方向平移得到，它们在横坐标相同点处的切线有相同的斜率，因而切线相互平行.●●例4 一物体由静止开始作直线运动,t 秒末的速度是23t （m /s ）,问：(1)在3s 末,物体与出发点之间的距离是多少？(2)物体走完216m 需多少时间？解 设物体的位置函数为()s s t =，则d ()d s v t t =，即2d 3d st t=，从而23d s t t =⎰=3t C +，由(0)0s =，得0C =，于是有3s t =.当3t =时,物体与出发点之间的距离3(3)27s t ==(m)； 当216s =时，6t =(s).由原函数与不定积分的概念可得：d()d ()d f x x f x x =⎰或 d ()d ()d f x x f x x =⎰； ()d ()F x x F x C '=+⎰ 或 d ()()F x F x C =+⎰.由此可见，微分运算与不定积分运算互为逆运算，对函数()f x 先积分再微分，作用互相抵消；对函数()F x 先微分再积分，其结果只差一个常数.二、基本积分表因为不定积分运算是导数运算的逆运算，所以不难从导数公式得到相应的积分公式．现将一些基本积分公式罗列如下，通常称之为基本积分公式表.(1) d k x kx C =+⎰ (k 为常数),(2) 1d 1x x x C μμμ+=++⎰ (1μ≠-), (3) d ln ||xx C x =+⎰, (4) 2d arctan 1xx C x =++⎰,(5) arcsin x C =+, (6) cos d sin x x x C =+⎰, (7) sin d cos x x x C =-+⎰, (8) 22d sec d tan cos x x x x C x ==+⎰⎰, (9) 22d csc d cot sin xx x x C x==-+⎰⎰, (10)sec tan d sec x x x x C =+⎰,142 (11) csc cot d csc x x x x C =-+⎰, (12)e d e x x x C =+⎰, (13) d ln xxa a x C a=+⎰,(14)sh d ch x x x C =+⎰,(15) ch d sh x x x C =+⎰.以上公式可以联系求导公式记忆，且要求能够灵活运用.三、不定积分的性质根据不定积分的定义，可以得到下列性质. 性质1 设函数()f x 及()g x 的原函数存在，则[()()]d ()d ()d f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰.证 因为([()()]d )()()f x g x x f x g x '±=±⎰，[()d ()d ]f x x g x x '±=⎰⎰[()d ][()d ]f x x g x x ''±⎰⎰=()()f x g x ±.由不定积分及原函数的定义，性质1得证.性质1可以推广到有限个函数的情形.性质2 设函数()f x 的原函数存在，k 为非零常数，则()d ()d kf x x k f x x =⎰⎰. 证 与性质1的证明类似，从略.利用基本积分表和不定积分的两个性质，通过对被积函数作恒等变形，可以求出一些简单的不定积分，这种求积分的方法通常叫直接积分法.●●例5求解4133d 3x x xC C --=-+=+⎰.●●例6求5)d x x .解3225)d (5)d x x x x x =-⎰322d 5d x x x x =-⎰⎰532123x x C =-+3123x x C =-. 检验积分结果是否正确，只要对结果求导，看它的导数是否等于被积函数，相等时结果是正确的，否则结果是错误的.●●例7 求32(1)d x x x +⎰. 解 33222(1)331d d x x x x x x x x ++++=⎰⎰2313d x x x x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰ 211d 3d 3d d x x x x x x x=+++⎰⎰⎰⎰21133ln ||2x x x C x =++-+. ●●例8 求221d (1)x x x x x -++⎰.143解 22221(1)d d (1)(1)x x x x x x x x x x -++-=++⎰⎰211d d 1x x x x =-+⎰⎰ln||arctan x x C =-+. ●●例9 求23e d x x x ⎰.解 23e d xxx =⎰9e d xxx ⎰(9e)d xx =⎰(9e)ln(9e)x C =+23e 12ln3x xC =++. ●●例10 求2cot d x x ⎰.解 22cot d (csc 1)d x x x x =-⎰⎰2csc d d x x x =-⎰⎰cot x x C =--+.●●例11 求2cos d 2xx ⎰.解 2cos d 2x x ⎰1cos d 2x x +=⎰11d cos d 22x x x =+⎰⎰1(sin )2x x C =++.●●例12 设 1,1,()1,2,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩求()d f x x ⎰.解 因为当1x ≤时，()1f x x =+，即21()d ;2x f x x x C =++⎰当1x >时，()2f x x =，此时22()d f x x x C =+⎰.又因为()f x 的原函数在(,)-∞+∞上每一点都连续，所以211lim 2x x x C -→⎛⎫++= ⎪⎝⎭221lim()x x C +→+ 从而有121112C C ++=+，即1212C C +=.记1C C =，则 22,1,2()d 1, 1.2x x C x f x x x C x ⎧++≤⎪⎪=⎨⎪++>⎪⎩⎰由例12可知，当被积函数是一个分段连续函数时，它的原函数必定为连续函数，可以先分别求出各区间段上的不定积分，再由原函数的连续性确定各积分常数之间的关系，注意不定积分中只含有一个任意的常数.习 题 4-11.求下列不定积分：(1) 5d x -⎰； (2) 2(23)d x x x +⎰；(3) 221d (1)x x x x x +++⎰；(4) 2cot d x x ⎛⎫⎪⎭⎰；(5) 3102d x x x ⎰；(6) 2sin d 2xx ⎰；144 (7) cos2d cos sin xx x x+⎰；(8) 22cos2d cos sin xx x x⎰；(9) sec (sec tan )d x x x x -⎰； (10){}max ||,1d x x ⎰. 2.设某曲线上任意点处的切线的斜率等于该点横坐标的立方，又知该曲线通过原点，求此曲线方程.3.验证函数21sin 2x ，21cos 2x -，1cos 24x -是某同一函数的原函数.第二节 换元积分法应用不定积分的性质和基本积分公式只能计算出一些简单的函数的不定积分，对计算较复杂的函数的不定积分，根据函数的不同形式，需要一定的计算技巧.本节与下节所讲的换元积分法和分部积分法是计算不定积分最基本、最常用的两种方法.一、第一类换元积分法设函数()F u 为函数()f u 的原函数，即()()F u f u '=或()d ()f u u F u C =+⎰.如果()u x ϕ=，且()x ϕ可微，则d[()]()()()()[()]()d F x F u x f u x f x x xϕϕϕϕϕ''''===. 即[()]F x ϕ为[()]()f x x ϕϕ'的原函数，从而()()[()]()d [()][()][()d ]u x u x f x x x F x C F u C f u u ϕϕϕϕϕ=='=+=+=⎰⎰.因此有如下定理：设()f u 存在原函数，()u x ϕ=可微，则()[()]()d [()d ]u x f x x x f u u ϕϕϕ='=⎰⎰ (1) 公式(1)称为第一类换元积分公式.由此定理可见，被积表达式中的d x 也可以当作变量x 的微分来看待.如何应用公式(1)来求不定积分呢？为了求不定积分()d g x x ⎰，把它凑成如下的形式[()]()d f x x x ϕϕ'⎰，作代换()u x ϕ=，于是得()d f u u ⎰，若()d f u u ⎰=()F u C +，再代回原来的变量x ，就求得积分()d [()]g x x F x C ϕ=+⎰.由于在积分过程中，将()x ϕ'与d x 凑成d ()x ϕ，所以第一类换元积分法也叫凑微分法.●●例1 求2sin 2d x x ⎰. 解 令2u x =，有2sin 2d sin 2(2)d sin d cos x x x x x u u u C '===-+⎰⎰⎰，将2u x =回代，得2sin 2d x x ⎰cos 2x C =-+.●●例2 求1d 12x x-⎰.145解 11111d (2)d (12)d 12212212x x x x x x x '=--=-----⎰⎰⎰11d(12)212x x=---⎰， 令12u x =-，得1d 12x x =-⎰111d ln ||22u u C u -=-+⎰1ln |12|2x C --+＝. ●●例3求x . 解x =2)d x x '--2)x =-- 令21u x =-，则xu =-1122d 2u u u C -=-=-+=-⎰1222(1)x C -+. 对换元法熟练后，可直接凑微分，省去换元、还原中间变量步骤. ●●例4 求22e d x x x ⎰.解 22e d x x x ⎰=22e ()d x x x '⎰222e d()e x x x C ==+⎰. ●●例5 求tan d x x ⎰.解 tan d x x ⎰=sin 1d d(cos )ln |cos |cos cos x x x x C x x=-=-+⎰⎰. 类似可求得cot d x x =⎰ln |sin |x C +. ●●例6 求221d (0)x a a x ≠+⎰.解 22222111111d d d arctan 11x x x x C a x a a a aa x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰．类似地可求得arcsin xC a =+ (0)a >． ●●例7 求221d (0)x a x a ≠-⎰. 解 221111d d 2x x x a a x a x a ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭⎰⎰111[d()d()]2x a x a a x a x a=--+-+⎰⎰ 1[ln ||ln ||]2x a x a C a =--++ 1ln ||x a C x a -=++. ●●例8求x . 解xx =⎰2=⎰C =-.●●例9 求x .146 解xarcsin x x =⎰21arcsin d(arcsin )(arcsin )2x x x C ==+⎰.●●例10求x .解x1221d (arctan )d(arctan )1x x x x ==+⎰322(arctan )3x C =+. ●●例11 求2ed 1e x xx +⎰. 解 2e d 1exx x +⎰21e d 1e xx x =⋅+⎰21d(e )1(e )x x =+⎰arctan(e )x C =+. ●●例12 求1d ln x x x ⎰.解 1d ln x x x ⎰111d d(ln )ln |ln |ln ln x x x C x x x=⋅==+⎰⎰.下面积分的过程中，往往要用到一些三角恒等式.●●例13 求csc d x x ⎰.解 11csc d d d sin 2sin cos 22x x x x x x x ==⎰⎰⎰=21d 2tan cos 22x x x ⎰1d tan 2tan 2x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰=ln |tan |2x C +，因为tan 2x =2sin 2sin 1cos 22csc cot sin sin cos 2x x x x x x x -===-，所以 csc d x x =⎰ln |csc cot |x x C -+.●●例14 求sec d x x ⎰.解 sec d x x ⎰ππcsc()d()22x x =++⎰ππln csc()cot()22x x C =+-++ln |sec tan |x x C =++.●●例15 求5cos d x x ⎰.解 5cos d x x ⎰=4cos cos d x x x ⋅=⎰4cos d(sin )x x =⎰22(1sin )d(sin )x x -⎰=24(12sin sin )d(sin )x x x -+⎰=3521sin sin sin 35x x x C -++.●●例16 求33tan sec d x x x ⎰.解 33tan sec d x x x ⎰22tan sec tan sec d x x x x x =⋅⎰22tan sec d(sec )x x x =⎰22(sec 1)sec d(sec )x x x =-⎰42(sec sec )d(sec )x x x =-⎰5311sec sec 53x x C =-+.147●●例17 求2cos d x x ⎰.解 21cos21cos d d [d cos2d ]22x x x x x x x +==+⎰⎰⎰⎰ 11cos2d(2)sin 22424x x x x x C =+=++⎰. ●●例18 求4sec d x x ⎰. 解 4sec d x x ⎰=2222sec sec d sec d(tan )(tan 1)d(tan )x x x x x x x ⋅==+⎰⎰⎰31tan tan 3x x C =++. ●●例19 求24tan sec d x x x ⎰.解 24tan sec d x x x ⎰=222tan sec sec d x x x x ⋅⎰22tan sec d(tan )x x x =⎰22tan (tan 1)d(tan )x x x =+⎰42(tan tan )d(tan )x x x =+⎰5311tan tan 53x x C =++. ●●例20 求sin sin3d x x x ⎰.解 利用积化和差公式：1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--，sin sin3d x x x ⎰1[cos4cos(2)]d 2x x x =---⎰11cos4d cos2d 22x x x x =-+⎰⎰ 11cos4d(4)cos2d(2)84x x x x =-+⎰⎰ 11sin 4sin 284x x C =-++. 二、第二类换元积分法有些积分采用前面所学的积分方法来计算很困难甚至无法计算，而要采用下面将要介绍的所谓第二类换元积分法来求积分.设()x t ϕ=是单调的可导函数，且()0t ϕ'≠.又设[()]()f t t ϕϕ'具有原函数，则有换元公式()d f x x ⎰1()[[()]()d ]t x f t t t ϕϕϕ-='=⎰， (2) 其中1()t x ϕ-=为()x t ϕ=的反函数.证 设[()]()f t t ϕϕ'的原函数为()t Φ，记1[()]()x F x ϕ-Φ=，利用复合函数及反函数的求导法则，得d d ()d d tF x t xΦ'=⋅=1[()]()()f t t t ϕϕϕ'⋅'[()]()f t f x ϕ==， 即()F x 是()f x 的一个原函数.所以有()d ()f x x F x C =+=⎰1[()]x C ϕ-Φ+1()[[()]()d ]t x f t t t ϕϕϕ-='=⎰公式(2)称为第二类换元积分公式. ●●例21求x (0)a >.148 解 令sin x a t =，ππ()22t -<<cos a t =，d cos d x a t t =，因此有cos cos d x a t a t t =⎰22cos d a t t =⎰21cos2d 2t a t +=⎰22sin 224a a t t C =++22sin cos 22a a t t t C =++ . 因为sin x a t =，ππ()22t -<<，所以sin x t a=，arcsin ,xt a =cos t =于是x21arcsin 22a x C a =+.●●例22求 (0)a >.解 令tan x a t =，ππ22t -<<sec a t =，2d sec d x a t t =，因此有2111sec d sec d sec ln |sec tan |a t t t t a txt t C C a===++=+⎰⎰ln |x C =+其中1ln C C a =-.为了把新变量t 还原为x 的函数，可以根据tan xt a=作辅助三角形，俗称小三角形还原法，如图4-1所示.●●例23求（0a >）.解 被积函数的定义域为x a >和x a <-两个区间，故在两个区间分别求不定积分.(1) 当x a >时，设πsec (0)2x a t t =<<，则tan a t ,且d sec tan d x a t t t =.故sec tan d sec d tan a t tt t ta t==⎰⎰ln(sec tan ).t t C =++为了把sec t 及tan t 换成x 的函数，依据sec xt a=作辅助三角形(图4-2)，得tan t =，所以，1ln x C a ⎛=+ ⎝⎭ln(,x C =+其中1ln .C C a =- (2)当x a <-时，令x u =-,那么u a >，由以上分析有(1ln u C=-=-++1ln(x C=--+1C=+(ln x C=-+，其中12ln.C C a=-综合以上(1)与(2)两种分析情况，把以上两个结果合起来，可写成ln|x C=+.sinx a t=去根号；当被积时，作代换secx a t=换tanx a t=去根号.时，为了去根号，还可用公式22ch sh1t t-=，采用双曲代换sh,chx a t x a t==来去根号.如例22中，可设shx a t=，==cha t，即可去根号.有些积分的计算可采用所谓的倒代换.●●例24求.解设1,xt=那么21d dx tt=-，于是21d t-==-(arcsin)t C=-±+1arcsin||Cx=-+.在本节的几个例题中，有几个积分是以后经常会遇到的，所以它们也常被当作公式来使用，现罗列如下：（16）tan d ln|cos|x x x C=-+⎰, （17）cot d ln|sin|x x x C=+⎰, （18）sec d ln|sec tan|x x x x C=++⎰, （19）csc d ln|csc cot|x x x x C=-+⎰,（20）22d1arctanx xCa x a a=++⎰, （21）22d1ln2x x aCx a a x a-=+-+⎰, （22）arcsinxCa=+, （23）ln(x C=++, （24）ln x C=+.●●例25 求2d23xx x++⎰.解22d1d23212xxx x x x=+++++⎰⎰1)x=+，利用公式（20）便得2d23xCx x=++⎰.149150 ●●例26求解==利用公式（23）便得ln(1x C =+++ln(1x C =++.●●例27求解1d x ⎛⎫- ⎪=利用公式（22）便得21arcsin 3x C -=+. 习 题 4-21.填空：(1) 21d d()x x=;(2) 1d d()x x=;(3) e d d()x x =; (4) 2sec d d()x x =; (5) sin d d()x x =;(6) cos d d()x x =;d()x =;d()x =; (9) tan sec d d()x x x =;(10) 21d d()1x x =+;d()x =;(12) d d()x x =.2.求下列不定积分：(1) x ; (2)4ln d x x x⎰;(3) 12ed xx x ⎰;(4)23(e 2e 2)e d x x x x ++⎰;(5) ;(6)21ln d (ln )xx x x +⎰;(7) 1d ln lnln x x x x ⎰;(8)1d e ex xx -+⎰;(9) x ; (10) 32d 3x x x+⎰;151(11) x ;(12) 21d 2x x x --⎰;(13) 2sin ()d t t ωϕ+⎰;(14) x ;(15) ln cot d sin 2xx x⎰;(16) x ;(17) 4cos d x x ⎰;(18)x ; (19)3cos d x x ⎰(20)arccos xx ;(21)x(22)x ; (23)35sin cos d x x x ⎰ (24)35tan sec d x x x ⎰; (25)cos5sin 4d x x x ⎰; (26)34tan sec d x x x ⎰;(27)x; (28)x(29)；(30)x ;(31)2x ; (32)21d 323x x x ++⎰(33)x ;(34)x第三节 分部积分法前面一节我们利用复合函数的求导法则得到了换元积分法，利用它可以求出一些函数的积分，但是对于形如e d x x x ⎰、ln d x x x ⎰、sin d x x x ⎰等的积分，用直接积分法或换元积分法都无法计算. 这些积分的被积函数都有共同的特点，即都是两种不同类型函数的乘积，这就启发我们把两个函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，这就是另一个基本的积分方法：分部积分法.设函数()u u x =、()v v x =具有连续导数，则有[()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+， 两端求不定积分，得()()()()d ()()d u x v x u x v x x u x v x x ''=+⎰⎰，移项得 ()()d ()()()()d u x v x x u x v x u x v x x ''=-⎰⎰， 或()d ()()()()d ()u x v x u x v x v x u x =-⎰⎰，152 为方便起见，简记为d d u v x u v vu x ''=-⎰⎰ (1) 或d d u v u v v u =-⎰⎰ (2) 公式(1)或(2)称为不定积分的分部积分公式.当()()d u x v x x '⎰不容易积分，但()()d u x v x x '⎰容易积分时，我们就可以用分部积分把不容易积分的()()d u x v x x '⎰计算出来. ●●例1 求sin d x x x ⎰.解 令u x =，sin (cos )v x x ''==-，代入分部积分公式得sin d d(cos )x x x x x =-⎰⎰cos cos d x x x x =---⎰cos sin x x x C =-++.值得注意，如在例1中，若是令sin u x =，22x v x '⎛⎫'== ⎪⎝⎭，代入分部积分公式得2sin d sin d()2x x x x x =⎰⎰22sin d(sin )22x x x x =-⎰22sin cos d 22x x x x x =-⎰.上式最后一个积分比原来的积分还复杂，由此可知，若u v 、的选取不当，可能使积分计算很复杂甚至计算不出来. ●●例2 求2e d x x x ⎰.解 22222e d d(e )e e d()e 2e d x x x x x x x x x x x x x x ==-=-⎰⎰⎰⎰22e 2de e 2(e e d )x x x x x x x x x x =-=--⎰⎰2e 2e 2e .x x x x x C =-++从例1和例2可以看出，当被积函数是幂函数与正弦（余弦）函数乘积或是幂函数与指数函数乘积，分部积分时，取幂函数为u ，其余部分凑为d v . ●●例3 求ln d x x x ⎰.解 22211ln d ln d()ln d(ln )22x x x x x x x x x ⎡⎤==-⎣⎦⎰⎰⎰()22222111ln d ln 22211ln .24x x x x x x x C x x x C ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭=-+⎰ ●●例4 求arctan d x x x ⎰.解 22211arctan d arctan d()arctan d(arctan )22x x x x x x x x x ⎡⎤==-⎣⎦⎰⎰⎰ 222221arctan d 2111arctan 1d 21x x x x x x x x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎰⎰153()21arctan arctan 2x x x x C =-++. 从例3和例4可以看出，当被积函数是幂函数与对数函数乘积或是幂函数与反三角函数函数乘积，分部积分时，取对数函数或反三角函数为u ，其余部分凑为d v . ●●例5 求arcsin d x x ⎰.解 arcsin d x x ⎰arcsin d(arcsin )x x x x =-⎰arcsin x x x =-21arcsin )2x x x =+-arcsin x x C =.●●例6 求ln d x x ⎰.解 ln d x x ⎰ln d(ln )x x x x =-⎰1ln d x x x x x=-⋅⎰ln d x x x =-⎰ln x x x C =-+.从例5和例6可以看出，当某些被积函数（如对数函数、反三角函数）是单个函数时，可选v x =直接用分部积分法求积分. ●●例7 求e sin d x x x ⎰.解 e sin d sin de e sin e d(sin )x x x x x x x x x ==-⎰⎰⎰e sin e cos d e sin cos d(e )e sin [e cos e d(cos )]e sin e cos e sin d ,x x x x xxxx x x x x x x x x x x x x x x =-=-=--=--⎰⎰⎰⎰因此得 1e sin d e (sin cos )2x x x x x x C =-+⎰.●●例8 求3sec d x x ⎰.解 3sec d sec d tan sec tan tan d(sec )x x x x x x x x ==-⎰⎰⎰2233s e c t a n t a n s e c d s e c t a n (s e c 1)s e c d s e c t a n s e c ds e c ds e c t a n l n |s e ct a n |s e cd ,x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-=--=-+=++-⎰⎰⎰⎰⎰因此得()31sec d sec tan ln |sec tan |2x x x x x x C =+++⎰ ●●例9 求22d ()n nxI x a =+⎰（n 为正整数）.解 用分部积分法，当1n >时，有154 222122122d 2(1)d ()()()n n n x x x n x x a x a x a --=+-+++⎰⎰22212212212(1)d ()()()n n n x a n x x a x a x a --⎛⎫=+-- ⎪+++⎝⎭⎰， 即2112212(1)()()n n n n xI n I a I x a ---=+--+, 于是122211(23)2(1)()n n n xI n I a n x a --⎡⎤=+-⎢⎥-+⎣⎦. 以此作递推公式，并由11arctan xI C a a=+，即可得n I .在积分过程中，有时分部积分法与其他方法结合使用，会更加容易积分. ●●例10求x ⎰.解 令t =，则 2x t =，d 2d x t t =，因此e 2d 2e d 2de 2(e e )t t t t t x t t t t t t C ====-+⎰⎰⎰⎰1)C =+.习 题 4-3求下列积分： （1） sin 2d x x x ⎰； （2） e d x x x -⎰； （3） 2ln d x x x ⎰； （4） arccos d x x ⎰； （5） 2cos d x x x ⎰； （6） e sin 2d x x x -⎰； （7） 2arctan d x x x ⎰；（8） 2cos d x x x ⎰； （9）x ；（10）23e d x x x ⎰； （11）cosln d x x ⎰；（12）()d xf x x ''⎰.第四节 几种特殊类型函数的积分我们已知道，任何一个初等函数的导数仍为初等函数，而相当多的初等函数虽然也存在原函数，但它们的原函数却不是初等函数，也就是通常说的“这个不定积分积不出来”.例如，sin d x x x ⎰， 2sin d x x ⎰，2e d x x -⎰.这些不定积分都积不出来.下面再举几个著名的积不出来的不定积分：x ，2d (1sin )x k x +⎰(01)k <<.155分别称为第一、二、三种椭圆积分.它们是在计算椭圆弧长时碰到的，故由此而得名.法国数学家刘维尔(Liouville)曾证明了它们的积分不能用初等函数表示，故积不出来.下面介绍几类特殊类型函数的不定积分.一、有理函数的积分形如10111011()()n n n nm m m ma x a x a x a P x Q xb x b x b x b ----++++=++++ （1）的函数称为有理函数.其中012,,,,n a a a a 及012,,,,m b b b b 为常数，且00a ≠，00b ≠.如果（1）式中多项式()P x 的次数n 小于多项式()Q x 的次数m ，则称此分式为真分式；如果多项式()P x 的次数n 大于或等于多项式()Q x 的次数m ，称分式为假分式.利用综合除法（带余除法）可得，任意一个假分式可转化为多项式与真分式之和.例如：422212111x x x x x x +++=-+++, 因此，我们只需研究真分式的积分.根据多项式理论，任一多项式()Q x 在实数范围内能分解为一次质因式和二次质因式的乘积，即220()()()()()Q x b x a x b x px q x rx s αβλμ=--++++(2)其中2240,,40p q r s -<-<.如果(1)的分母多项式分解为(2)式，则(1)式可分解为如下部分分式之和：121211()()()()()()()()B A A A B B P x Q x x a x a x a x b x b x b βαααββ--=+++++++++------11222212()()()M x N M x N M x N x p x q x p x q x p x qλλλλ-++++++++++++++ 11222212()()()R x S R x S R x S x rx s x rx s x rx s μμμμ-+++++++++++++(3)其中,,,,,i i i i i A B M N ,R 及i S 均为常数.例如 22221(1)(1)(1)x x x x x ++++1A x =+21A x +32(1)A x +++1121M x N x ++2221M x N x x ++++3322(1)M x N x x ++++. 把真分式写成部分分式的代数和时，每个k 重因子（一次或二次）一定要有k 项；每个一次因子所对应的部分分式分子是常数，每个二次质因式所对应的分式的分子是一次因式，含两个常数，分式中的常数可以用“待定系数法”或“赋值法”来确定.我们用具体例子来说明.●●例1 将真分式232(1)(2)x x x ++-分解为最简分式.解 设 231213232(1)(2)1(1)(1)2A A AB x x x x x x x +=++++-+++-,通分整理后，有156 ********(2)(1)(2)(1)(2)(1)x A x A x x A x x B x +=-++-++-++(4)3211213211()(3)(33)A B x A B x A A A B x =++++--+3211(222)A A A B +---+比较两端同类项系数，得方程组1121321132110313302222A B A B A A A B A A A B +=⎧⎪+=⎪⎨--+=⎪⎪---+=⎩解得 129A =-, 213A =, 31A =-, 129B =.或者在（4）式中应用赋值法，更简单些. 令1x =-，得 333A =-，31A =-.令2x =, 得 1627B =，129B =.令0x =, 得 32112222A A A B =---+.(5) 令1x =, 得 32113248A A A B =---+.(6)联立(5)与(6)式, 得129A =-，213A =，于是232322112(1)(2)9(1)3(1)(1)9(2)x x x x x x x +=-+-++-+++-.●●例2 求22d 23x x x x -++⎰.解 由于分母已为二次质因式，而且分子可写为12(22)32x x -=+-21(23)32x x '=++-，于是22222221(22)322d d 23231(23)d d 3223231d(23) 3223x x x xx x x x x x xx x x x x x x x x +--=++++'++=-++++++=-++⎰⎰⎰⎰⎰21ln(23)2x x C =+++. ●●例3 求44d 1x x -⎰.解 因为4241121111x x x x =----++，所以 424112d d 1111x x x x x x =----++⎰⎰2112d d d 111x x x x x x=---++⎰⎰⎰1572112d(1)d(1)d 111x x x x x x=--+--++⎰⎰⎰1ln 2arctan 1x x C x -=-++. 由上面的例子可知，把真分式分解为部分分式的代数和，并用待定系数法或赋值法求出分解式中的常数后，求有理函数的不定积分，可归结为求下列部分分式的不定积分A x a -，()kA x a -，2()k Mx N x px q +++ 前两类函数的不定积分我们都能求.关键是第三类函数的不定积分，下面讨论它的计算.把分母中的二次质因式配方，得22224p p x px q x q ⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭，令2p x t +=，则d d x t =，并记222x px q t a ++=+，Mx N Mt b +=+，其中224p a q =-，2Mpb N =-，于是有 22222d d d ()()()n n n Mx N Mt t b tx x px q t a t a +=+++++⎰⎰⎰，当1n =时，有222222d d d 2ln()arctan .2Mx N Mt t b tx xpx q t a t a px M bx px q C aa +=++++++=++++⎰⎰⎰ 当1n >时，有222122d d ()2(1)()()n n n Mx N M tx b x px q n t a t a -+=-+++-++⎰⎰， 上式最后一个积分的求法见本章第三节例9.总之，有理函数的积分，理论上总可以积出来，它的原函数是初等函数，即有理函数的积分是初等函数.●●例4 求2221d (22)x x x x +-+⎰. 解 在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分解能被简化为2222221(22)(21)(22)(22)x x x x x x x x +-++-=-+-+222121.22(22)x x x x x -=+-+-+ 现分别计算部分分式的不定积分如下：122d d(1)arctan(1).22(1)1x x x C x x x -==-+-+-+⎰⎰158222221(22)1d d (22)(22)x x x x x x x x --+=-+-+⎰⎰222d(22)(22)x x x x -+=+-+⎰22d(1)(1)1x x -⎡⎤-+⎣⎦⎰2221d(1)22(1)1x x x x --=+-+⎡⎤-+⎣⎦⎰， 令1x t -=, 由递推公式,求得22d(1)(1)1x x -=⎡⎤-+⎣⎦⎰2222d 1d (1)2(1)21t t t t t t =++++⎰⎰ 2211arctan(1).2(22)2x x C x x -=+-+-+ 于是得到2222133d arctan(1)(22)2(22)2x x x x C x x x x +-=+-+-+-+⎰，其中12C C C =+. 二、可化为有理函数的积分举例由函数()u x 、()v x 及常数经过有限次四则运算所得的函数称为关于()u x 、()v x 的有理式，并用((),())R u x v x 来表示. 例如，(sin ,cos )d R x x x ⎰是关于sin x 、cos x 的有理式的不定积分.通过代换tan 2xu =（ππx -<<），可把这种类型的积分化为以u 为变量的有理函数的积分，因为22222sin cos 2tan2222sin 2sin cos ,221sin cos 1tan 222x x x x x u x x x x u ====+++ 2222222222cos sin 1tan 1222cos cos sin ,221sin cos 1tan 222x x x x x u x u ---=-===+++22d d(2arctan )d 1x u u u==+. 所以 2222212d (sin ,cos )d (,)111u u uR x x x R u u u -=+++⎰⎰. ●●例5 求1sin d sin (1cos )xx x x ++⎰. 解 作变量代换 tan 2xu =，可得22sin 1u x u =+，221cos 1u x u -=+，22d d 1x u u =+，159因此得22222211sin 2111d d (2)d sin (1cos )1221111ux u x u u u x x uu u u u u +++=⋅=++++⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰ 21(2ln ||)22u u u C =+++211tan tan ln |tan |42222x x xC =+++.●●例6 求cot d sin cos 1xx x x ++⎰.解 作变量代换 tan 2xu =，可得22sin 1u x u =+，221cos 1u x u -=+，22d d 1x u u =+， 因此得2221cot 22d d 21sin cos 11111u x u x u u u x x u u u -=⋅-+++++++⎰⎰1111d (d d )(ln ||)222u u u u u u C u u -==-=-+⎰⎰⎰1(ln tan tan )222x xC =-+. 一些简单的无理函数的积分可以通过变量代换化为有理函数的积分. ●●例7求解u =，得 32x u =-，2d 3d x u u =，代入得2223111d 3d 31d 111 3(ln |1|)2u u u u u u u u u uu u C-+⎛⎫===-+ ⎪+++⎝⎭=-+++⎰⎰⎰3ln |1C =+. ●●例8 求.解令16t x =，得5d 6d x t t =，代入得2563226d 1116d 6d ()1t t t t t tt t t t t t ⋅⎛⎫===-⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰6[ln ln(1)]ln 1)t t C x C =-++=-+.●●例9 求x .解 t =，则2211t x t-=+,224d d (1)t x t t -=+；代入得160 x 2224d (1)(1)t t t t -=-+⎰2222d 11t t t ⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭⎰1ln2arctan 1t t C t -=+++C =+.例8、例9式为u ，这样的变换具有反函数，且反函数为有理函数，从而可将原积分化为有理函数的积分.习 题 4-4求下列不定积分：（1）3d 1x x x -⎰；（2）5438d x x x x x +--⎰； （3）2222213d (2)(1)x x x x x ++-+⎰； （4）226114d (1)x x x x x -+-⎰； （5）32d 1xx x x x -+-⎰； （6）2dx⎰；（7）x ； （8）x . 第五节 积分表的使用通过前面的讨论可以看出，积分的计算要比导数的计算显得更加灵活、复杂，我们会遇到更多不同类型的不定积分的计算问题，为了应用上的方便，把常用的积分公式汇集成表，这种表叫做积分表.积分表是按照被积函数的类型来排列的，求积分时，可根据被积函数的类型直接或经过简单的变形后，在表内查得所需的结果. 本书末附录4是一份简单的积分表，可供查阅.●●例1 求2d (1)xx x +⎰. 解 被积函数含有a bx +，在积分表（二）中查得公式（4）()221d ln x a x a bx C b a bxa bx ⎛⎫=+++ ⎪+⎝⎭+⎰， 现在1a =，1b =，于是21d ln 1(1)1x x x C x x =+++++⎰.●●例2求.解这个积分不能在表中直接查到，需要先进行变量代换.令2x u=2ux=，dd2ux=，于是1d2u==⎰34）1Ca=-+，现在2a=，x相当于u，于是有12C=-，再把2u x=代入，最后得到12C=.●●例3 求4sin d x x⎰.解在积分表（八）中查到公式（50）12sin cos1sin d sin dnn nx x nx x x xn n---=-+⎰⎰，现在4n=，于是有342sin cos3sin d sin d44x xx x x x=-+⎰⎰，对积分2sin d x x⎰，利用公式（48），得21sin d sin224xx x x C=-+⎰，从而所求积分为34sin cos31sin d sin24424x x xx x x C⎛⎫=-+-+⎪⎝⎭⎰.一般说来，查积分表可以节省计算积分的时间，但只有掌握了前面学习过的基本积分公式才能灵活地使用积分表，而且对一些比较简单的积分，应用基本积分法来计算比查表更快些，例如23sin cos dx x x⎰，用变换sinu x=很快就可得到结果，所以求积分时，究竟是直接计算，还是查表，或两者结合使用，应该具体问题具体分析，从而选择一个更快捷的方式.习题4-5利用积分表计算下列不定积分：（1）；（2）3ln d x x⎰；（3）221d(1)xx+⎰；（4）；161162 （5）x x ⎰； （6）（7） 6cos d x x ⎰；（8）2e sin3d x x x -⎰.第六节 数学模型●●例 (石油的消耗量)近年来，世界范围内每年的石油消耗率呈指数增长，增长指数大约为0.07. 1970年初，消耗率大约为每年161亿桶.设()R t 表示从1970年起第t 年的石油消耗率，则0.07()161e t R t =(亿桶).试用此式估算从1970年到1990年间石油消耗的总量.解 设()T t 表示从1970年起(0t =)直到第t 年的石油消耗总量.我们要求从1970年到1990间石油消耗的总量，即求(20)T .由于()T t 是石油消耗的总量，所以()T t '就是石油消耗率()R t ,即()()T t R t '=，那么()T t 就是()R t 的一个原函数.0.070.070.07161()()d 161e d e 2 300e 0.07t tt T t R t t t C C ===+=+⎰⎰. 因为 (0)0T =，所以， 2 300C =-，得 0.07() 2 300(e 1)t T t =-.从1970年到1990年间石油的消耗总量为：0.0720(20) 2 300(e 1)7 027T ⨯=-≈（亿桶）.第七节 数学实验利用Matlab 软件中的函数int 可以对不定积分进行符号计算，其调用格式和功能如下说明：在初等函数范围内，不定积分有时是不存在的，也就是说，即使()f x 是初等函数，但是不定积分()d f x x ⎰却不一定是初等函数.例如，2e x -，sin xx ，e x x，1log a x 是初等函数，而2ed x x -⎰，sin d x x x ⎰，e d xx x⎰，1d log a x x ⎰却不能用初等函数表示出来.比如，输入程序： >> syms x>> F=int(sin(x)/x) 运行后屏幕显示：F =sinint(x)其中sinint(x)是非初等函数，称作积分正弦函数.在使用int 函数求不定积分时，读者要注意这种情况.●●例1 求2sin dx x x⎰.解用符号积分命令int计算此积分，Matlab程序为>> syms x；>> int(x^2*sin(x))结果为ans =-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x) 如果用微分命令diff验证积分正确性，Matlab程序为>> diff(-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x))结果为ans =x^2*sin(x)●●例2 求下列函数的一个原函数：（1）；（2）sec(sec tan)x x x-；（3）11cos2x+；（4（5）2arctanx x；（6）223310xx x++-解（1）相应的Matlab程序为>> clear all；>> syms x；>> f=x*sqrt(x)；>> int(f,x)结果为ans =2/5*x^(5/2)；（2）相应的Matlab程序为>> clear all>> syms x；>> f=sec(x)*(sec(x)-tan(x))；>> int(f,x)结果为ans =sin(x)/cos(x)-1/cos(x)；（3）相应的Matlab程序为>> clear all>> syms x；>> f=1/(1+cos(2*x))；>> int(f,x)结果为ans =1/2*tan(x)；（4）相应的Matlab程序为>> clear all>> syms x；>> f=log(x+1)/sqrt(x+1)；>> int(f,x)结果为ans =2*log(x+1)*(x+1)^(1/2)-4*(x+1)^(1/2)；（5）相应的Matlab程序为163164 >> clear all >> syms x ；>> f=x^2*atan(x)； >> int(f,x)结果为ans =1/3*x^3*atan(x)-1/6*x^2+1/6*log(x^2+1)；（6）相应的Matlab 程序为 >> clear all >> syms x ；>> f=(2*x+3)/(x^2+3*x-10)； >> int(f,x)结果为ans =log(x^2+3*x-10).●●例3 设曲线通过点(1,2)，且其切线的斜率为2329x x +-，求此曲线的方程并绘制其图像.解 设所求的曲线方程为()y f x =，根据题意，2329y x x '=+-，所以2d (329)d y y x x x x '==+-⎰⎰相应的Matlab 程序为 >> syms x C ；>> f=3*x^2+2*x-9； >> F=int(f)+C ； >> y=simple(F)结果为y =x^3+x^2-9*x+C.即斜率为2329x x +-的曲线方程为329y x x x C =+-+.又因为曲线通过点(1,2)，代入曲线方程，得9C =.于是，所求曲线方程为3299y x x x =+-+. 作曲线图，输入程序 >> clear>> x=-5:0.1:5； f=3*x.^2+2*x-9；y=x.^2+x.^3-9*x+9； >> x0=1；y0=2；>> plot(x0,y0,'ro',x,f,'g*',x,y,'b-') >> grid>> legend('点(1,2)','函数f=3x^2+2x-9的曲线','函数f=3x^2+2x-9过点(1,2)的积分曲线')运行结果如图4-3.函数2329f x x =+-过点(1,2)的积分曲线图4-3165本章复习题A一、填空1. 已知()F x 是sin xx的一个原函数，则2d[()]F x = . 2. 已知函数()y f x =的导数为2y x '=，且1x =时2y =，则此函数为 . 3. 如果()d ln f x x x x C =+⎰，则()f x = .4.已知()d sin f x x x x C =++⎰，则e (e 1)d xxf x +⎰= . 5.如果 2(sin )cos d sin f x x x x C =+⎰，则()f x = .二、求下列不定积分1. 21cos d 1cos2x x x ++⎰；2.d 1e xx+⎰； 3.2352d 4x xx x ⋅-⋅⎰；4.2(arcsin )d x x ⎰；5.；6.322d (1)x x x +⎰；7.8.x ； 9.54tan sec d x x x ⎰；10.；11.23e d x x x ⎰；12.ln ln d x x x⎰.三、设 1,0,()1,01,1,2,x f x x x x x <⎧⎪=+≤≤⎨⎪>⎩求()d f x x ⎰.四、若I tan d ,n n x x =⎰,,3,2 =n 证明121I tan I 1n n n x n --=--. 本章复习题B一、填空1.已知()F x 是2e x -= . 2.若22(sin )cos f x x '=，则()f x = .3.设()f x '=，则(1)d f x x -⎰= .4.已知()f x 的一个原函数是2e x -，则()d xf x x '⎰= . 二、求下列不定积分1.2arctan e d e xxx ⎰；2.d sin 22sin xx x+⎰；。

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5．“备注”填写历年更新的内容（手写）。

6．教案可带附件（课程内容补充材料）。

第四章 不定积分知识结构图： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧分部积分法第二换元积分法第一换元积分法直接积分法求不定积分基本公式性质几何意义定义不定积分原函数教学目的要求：1．理解原函数与不定积分的概念，理解两者的关系，理解不定积分与导数的关系；掌握不定积分的几何意义与基本性质。

2．理解与掌握积分的基本公式，掌握不定积分的基本运算，会熟练地用直接积分法、第一类换元积分法、第二换元积分法（代数换元）、分部积分法求不定积分。

3．了解不定积分在经济问题中的应用。

教学重点：1．原函数与不定积分的概念2．不定积分的性质与基本积分公式 3．直接积分法 4．换元积分法 5．分部积分法 教学难点：1．不定积分的几何意义2．凑微分法、分部积分法求不定积分第一节 不定积分的概念与基本公式【教学内容】原函数与不定积分的概念、不定积分的几何意义、不定积分的基本性质、不定积分的基本公式。

直接积分法求函数的不定积分。

【教学目的】理解原函数与不定积分的概念，理解不定积分的几何意义；理解并掌握不定积分的基本性质；熟练掌握用直接积分法计算一些简单函数的不定积分。

【教学重点】1．；；4.不定积分的基本性质；5.不定积分的基本公式；6.直接积分法计算不定积分。

【教学难点】1．理解不定积分的几何意义；2．记忆不定积分公式。

【教学时数】2学时 【教学进程】一、原函数与不定积分的概念(一)原函数的概念前面我们所学的知识是：已知一个函数，求这个函数的导数；在现实生活中往往有：已知一个函数的导数，求原来这个函数的问题，如：①已知曲线上任意一点p(x,y)处的切线斜率为x k 2=,求此曲线的方程。

②已知某产品的边际成本MC ，要求该产品总成本的变化规律()C C q =． １．原函数定义定义4．1 设)(x f 是定义在区间I 内的已知函数．如果存在可导函数)(x F ，使对于任意的I x ∈，都有)()(x f x F ='或dx x f x dF )()(=则称函数)(x F 是函数)(x f 的一个原函数。

第四章不定积分§ 4.1不定积分概念微分学的基本问题是：已知一个函数，求它的导数。

但是，在科学技术领域中往往还会遇到与此相反的问题:已知一个函数的导数，求原来的函数，由此产生了积分学。

''积分'是•微分、旳逆运算一、原函数1、原函数定义我们在讨论导数的槪念时，解决了这样一个问题：已知某物体作直线运动时，路程随时间/变化的规律为S = s(t),那么，在任意时刻/物体运动的速度为V(r) = s\t)。

现在提岀相反的问题：例1 已知某物体运动的速度随时间/变化的规律为V = V(r),要求该物体运动的路程随时间变化的规律S = s(0。

显然，这个问题就是在关系式V(r) = S f(t)中，当W/)为已知时，要求$(/)的问题。

例2 已知曲线y = /(x)上任意点(x,y)处的切线的斜率为2x,要求此曲线方程，这个问题就是要根拯关系式y = 2x ,求出曲线y = /(A)。

从数学的角度来说，这类问题是在关系式F\x) = /(x)中，当函数/(x)已知时，求出函数F(x) o由此引岀原函数的槪念。

定义4.1 :设f(x)是左义在某区间/内的已知函数,如果存在一个函数F(x),对于每一点xe/,都有：F3 = f(x)或dFg = f\x) • dx则称函数F(x)为已知函数f(x)在区间/内的一个原函数例如，由于(sinx)' = cosx,所以在(YO,+S)内，sinx是cosx的一个原函数：又因为(sinx + 2)'= cosx ,所以在(Y>,+s)内，sinx+2是cosx的一个原函数：更进一步，对任意常数C,有(sinx + C)'= cosx,所以Id在(Y\+8)内，sinx+C都是cosx的原函数。

2、原函数性质(1)如果函数/(x)在区间/内连续，则/(兀)在区间/内一定有原函数；(2)若F f(x) = /(x),则对于任意常数C, F(A)+C都是/(X)的原函数“即如果/(X)在/上有原函数，则它有无穷多个原函数；(3)若F(x)和G(x)都是/(X)的原函数，则F(x) - G(x) = C，(C为任意常数)。

第四章 不定积分一、 基本要求：1、 理解原函数与不定积分的概念；2、 掌握不定积分的性质和了解不定积分的几何意义。

二、 授课内容：§4-1 原函数与不定积分一、 原函数定义1 如果对任一I x ∈，都有)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。

例如：x x cos )(sin ='，即x sin 是x cos 的原函数。

2211)1l n ([xx x+='++，即)1ln(2x x ++是211x+的原函数。

原函数存在定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任一I x ∈，有)()(x f x F ='。

注1：如果)(x f 有一个原函数，则)(x f 就有无穷多个原函数。

设)(x F 是)(x f 的原函数，则)(])([x f C x F ='+，即C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。

注2：如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则)(x F 与)(x G 之差为常数，即C x G x F =-)()( （C 为常数）注3：如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数，则C x F +)(（C 为任意常数）可表达)(x f 的任意一个原函数。

二、不定积分定义2 在区间I 上，)(x f 的带有任意常数项的原函数，成为)(x f 在区间I 上的不定积分，记为⎰dx x f )(。

如果)(x F 为)(x f 的一个原函数，则C x F dx x f +=⎰)()(，（C 为任意常数） 例1． 因为 23)3(x x ='， 得⎰+=C x ds x 332例2． 因为，0>x 时，xx 1)(l n ='；0<x 时，xx x x 1)(1])[l n (='--='-，得 xx 1)||(l n ='，因此有⎰+=C x dx x ||ln 1例3． 设曲线过点)2,1(，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。

高等数学教案第四章不定积分教学目的：第四章不定积分1、理解原函数概念、不定积分的概念。

2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。

3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

教学重点：1、不定积分的概念；2、不定积分的性质及基本公式；3、换元积分法与分部积分法。

教学难点：1、换元积分法；2、分部积分法；3、三角函数有理式的积分。

§4. 1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义1 如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对任一x∈I, 都有F '(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数.例如因为(sin x)'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数.又如当x ∈(1, +∞)时,因为(x)'=1, 所以x是1的原函数. 2x2x提问:cos x和1还有其它原函数吗？ 2x原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数F(x), 使对任一x ∈I 都有F '(x)=f(x).简单地说就是: 连续函数一定有原函数.两点说明:第一, 如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x), 那么f(x)就有无限多个原函数,F(x)+C都是f(x)的原函数, 其中C是任意常数.第二, f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x)和F(x)都是f(x)的原函数, 则Φ(x)-F(x)=C (C为某个常数).高等数学课程建设组1高等数学教案第四章不定积分定义2 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作⎰f(x)dx.其中记号⎰称为积分号, f(x)称为被积函数, f(x)dx称为被积表达式, x 称为积分变量. 根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么F(x)+C就是f(x)的不定积分, 即⎰f(x)dx=F(x)+C.因而不定积分⎰f(x)dx可以表示f(x)的任意一个原函数.例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以⎰cosxdx=sinx+C.因为x是1的原函数, 所以 2x例2. 求函数f(x)=1的不定积分. x解：当x>0时, (ln x)'=1, x⎰1dx=lnx+C(x>0); x当x<0时, [ln(-x)]'=1⋅(-1)=1, -xx⎰1dx=ln(-x)+C(x<0). x合并上面两式, 得到⎰1dx=ln|x|+C(x≠0). x例3 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解设所求的曲线方程为y=f(x), 按题设, 曲线上任一点(x, y)处的切线斜率为y'=f'(x)=2x,,即f(x)是2x 的一个原函数.因为⎰2xdx=x2+C,高等数学课程建设组2 ⎰1dx=x+C. x高等数学教案第四章不定积分故必有某个常数C使f(x)=x 2+C, 即曲线方程为y=x 2+C.因所求曲线通过点(1, 2), 故2=1+C, C=1.于是所求曲线方程为y=x2+1.积分曲线: 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线.从不定积分的定义, 即可知下述关系: d[⎰f(x)dx]=f(x), dx或 d[⎰f(x)dx]=f(x)dx;又由于F(x)是F '(x)的原函数, 所以⎰F'(x)dx=F(x)+C,或记作⎰dF(x)=F(x)+C.由此可见, 微分运算（以记号d表示）与求不定积分的运算（简称积分运算, 以记号⎰表示）是互逆的. 当记号⎰与d 连在一起时, 或者抵消, 或者抵消后差一个常数.二、基本积分表(1)⎰kdx=kx+C(k是常数), (2)⎰xμdx=1xμ+1+C, +1(3)⎰1dx=ln|x|+C, x(4)⎰exdx=ex+C, x(5)⎰axdx=a+C, lna(6)⎰cosxdx=sinx+C,(7)⎰sinxdx=-cosx+C, (8)⎰1dx=sec2xdx=tanx+C, ⎰cos2x(9)⎰12=⎰csc2xdx=-cotx+C, sinx高等数学课程建设组3高等数学教案第四章不定积分(10)⎰1=arctanx+C, 1+x(11)⎰1=arcsinx+C, -x2(12)⎰secxtanxdx=secx+C,(13)⎰cscxcotdx=-cscx+C,(14)⎰sh x dx=ch x+C,(15)⎰ch x dx=sh x+C.例4例5 ⎰xdx=⎰x-3dx=-3+1x-3+1+C=-2x+C.111⎰x2xdx=⎰5x2dx7+1122=x+C=x2+C=2x3+C. +17725例6 ⎰dx=⎰xx-4x3dx=-4+1x3-+13+C-1=-3x3+C=-3+C. 三、不定积分的性质性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和, 即⎰[f(x)+g(x)]dx=⎰f(x)dx+⎰g(x)dx.这是因为, [⎰f(x)dx+⎰g(x)dx]'=[⎰f(x)dx]'+[⎰g(x)dx]'=f(x)+g(x).性质2 求不定积分时, 被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来, 即⎰kf(x)dx=k⎰f(x)dx(k是常数, k ≠0).例7. ⎰x(x-5)dx=⎰5x2dx-725(x21-5x2)dx 5x2dx-51x2dx =⎰⎰15x2dx3=⎰⎰22 =x2-5⋅x2+C. 7332(x-1)3x-3x+3x-1=(x-3+3-1)dx 例8 ⎰dx=⎰⎰22xx2xx=⎰xdx-3⎰dx+3⎰1dx-⎰1=1x2-3x+3ln|x|+1+C. x2xx高等数学课程建设组4高等数学教案第四章不定积分例9 ⎰(ex-3cosx)dx=⎰exdx-3⎰cosxdx=ex-3sinx+C. 例10 ⎰2xexdx=⎰(2e)xdx=xx(2e)x+C=2e+C. ln(2e)1+ln22x+(1+x2)1+x+x 例11 ⎰=⎰=⎰(12+1)dx 22x(1+x)x(1+x)1+xx=⎰12dx+⎰1dx=arctanx+ln|x|+C. x1+x44(x2+1)(x2-1)+1xx-1+1 例12 ⎰=⎰=⎰dx 1+x21+x21+x2=⎰(x2-1+1dx=⎰x2dx-⎰dx+⎰11+x1+x=1x3-x+arctanx+C. 3例13 ⎰tan2xdx=⎰(sec2x-1)dx=⎰sec2xdx-⎰dx= tan x - x + C .例14 ⎰sin2x dx=⎰1-cosxdx=1⎰(1-cosx)dx 222=例15 1(x-sinx)+C. 2⎰1=4⎰12=-4cotx+C. sinxsin2cos222高等数学课程建设组5高等数学教案第四章不定积分 §4. 2 换元积分法一、第一类换元法设f(u)有原函数F(u), u=ϕ(x), 且ϕ(x)可微, 那么, 根据复合函数微分法, 有d F[ϕ(x) ]=d F(u)=F '(u)d u= F' [ϕ(x) ] dϕ(x)= F '[ϕ(x) ]ϕ'(x)d x ,所以 F '[ϕ(x)]ϕ'(x)dx= F '[ϕ(x)] dϕ(x)= F '(u)d u= d F(u)=d F[ϕ(x) ],因此⎰F'[ϕ(x)]ϕ'(x)dx=⎰F'[ϕ(x)]dϕ(x)=⎰F'(u)du=⎰dF(u)=⎰dF[ϕ(x)]=F[ϕ(x)]+C.即⎰f[ϕ(x)]ϕ'(x)dx=⎰f[ϕ(x)]dϕ(x)=[⎰f(u)du]u=ϕ(x)=[F(u) +C] u = ϕ(x) = F[ϕ(x)]+C.定理1 设f(u)具有原函数, u=ϕ(x)可导, 则有换元公式⎰f[ϕ(x)]ϕ'(x)dx=⎰f[ϕ(x)]dϕ(x)=⎰f(u)du=F(u)+C=F[ϕ(x)]+C .被积表达式中的dx 可当作变量x的微分来对待, 从而微分等式ϕ'(x)dx =du可以应用到被积表达式中.在求积分⎰g(x)dx时, 如果函数g(x)可以化为g(x)= f[ϕ(x)]ϕ'(x)的形式, 那么⎰g(x)dx=⎰f[ϕ(x)]ϕ'(x)dx=[⎰f(u)du]u=ϕ(x).例1. ⎰2cos2xdx=⎰cos2x⋅(2x)'dx=⎰cos2xd(2x)=⎰cosudu=sinu+C=sin 2x+C .例2. ⎰3+2x=2⎰3+2x(3+2x)'dx=2⎰3+2xd(3+2x) 11111=1⎰1dx=1ln|u|+C=1ln|3+2x|+C. 2u22例3. ⎰2xexdx=⎰ex(x2)'dx=⎰exd(x2)=⎰eudu=eu+C=ex+C.例4. ⎰x-x2dx=1⎰-x2(x2)'dx=1⎰-x2dx2 22=-1⎰-x2d(1-x2)=-1⎰u2du=-1u2+C 223=-1(1-x2)2+C. 3高等数学课程建设组6 3132222高等数学教案第四章不定积分例5. ⎰tanxdx=⎰sinxdx=-⎰1dcosx cosxcosx =-⎰1du=-ln|u|+C u=-ln|cos x|+C .=-ln|coxs|+C. 即⎰tanxdx类似地可得⎰cotxdx=ln|sinx|+C.熟练之后, 变量代换就不必再写出了.例6. ⎰a+xdx=a⎰111dx1+(2a=1⎰1x=1arctanx+C. a1+()2aaaa即 n+C. ⎰a2+x2=aarcta11x例7. ⎰chx=a⎰chxx=a shx+C. aaaa例8. 当a>0时,1=111xdx=⎰dx=arcs+C. ⎰aaaxxa2-x222-(-(aa⎰即⎰1=arcsx+C. 22a-x例9. ⎰x2-a2dx=2a⎰x-a-x+a)dx=2a[⎰x-adx-⎰x+adx] 1111111=1[⎰1d(x-a)-⎰1(x+a)] 2ax-ax+a=1[ln|x-a|-ln|x+a|]+C=1ln|x-a|+C. 2a2ax+a即⎰x-a=2aln|x+a|+C.⎰x(1+2lnx)=⎰1+2lnx=2⎰dxdlnx1d(1+2lnx) 1+2lnx11x-a 例10.=1ln|1+2lnx|+C. 2高等数学课程建设组7高等数学教案第四章不定积分例11. ⎰e=2⎰ed=2⎰e3xdx 3x=2e+C. 3含三角函数的积分:例12. ⎰sin3xdx=⎰sin2x⋅sinxdx=-⎰(1-cos2x)dcosx=-⎰dcosx+⎰cos2xdcosx=-cosx+1cos3x+C. 3例13. ⎰sin2xcos5xdx=⎰sin2xcos4xdsinx=⎰sin2x(1-sin2x)2dsinx=⎰(sin2x-2sin4x+sin6x)dsinx=1sin3x-2sin5x+1sin7x+C. 357例14. ⎰cos2xdx=⎰1+cos2xdx=1(⎰dx+⎰cos2xdx) 22=1⎰dx+1⎰cos2xd2x=1x+1sin2x+C. 2424例15. ⎰cos4xdx=⎰(cos2x)2dx=⎰[1(1+cos2x)]2dx 2=1⎰(1+2cos2x+cos22x)dx 4=1⎰3+2cos2x+1cos4x)dx 422=1(3x+sin2x+1sin4x)+C 428=3x+1sin2x+1sin4x+C. 8432例16. ⎰cos3xcos2xdx=1⎰(cosx+cos5x)dx 2=1sinx+1sin5x+C. 2101dx 例17. ⎰cscxdx=⎰1dx=⎰sinx2sincos22高等数学课程建设组8高等数学教案第四章不定积分dxdtanx=ln|tanx|+C=ln |csc x -cot x |+C . =⎰=⎰2tancos2tan222xdx 即⎰csc=ln |csc x -cot x |+C .例18. ⎰secxdx=⎰csc(x+πdx=ln|csc(x+ π)-cot(x+ π)|+C 222=ln |sec x + tan x | + C.xdx 即⎰sec=ln |sec x + tan x | + C.二、第二类换元法定理2 设x =ϕ(t)是单调的、可导的函数, 并且ϕ'(t)≠0. 又设f [ϕ(t)]ϕ'(t)具有原函数F(t), 则有换元公式⎰f(x)dx=⎰f[ϕ(t)]ϕ'(t)dt=F(t)=F[ϕ-1(x)]+C.其中t=ϕ-1(x)是x=ϕ(t)的反函数.这是因为{F[ϕ-1(x)]}'=F'(t)dt=f[ϕ(t)]ϕ'(t)1=f[ϕ(t)]=f(x). dxdt例19. 求⎰2-x2dx(a>0).解: 设x=a sin t , - π<t< π, 那么a2-x2=2-a2sin2t=acost, 22dx =a cos t d t , 于是⎰a2-x2dx=⎰acost⋅acostdt=a2⎰cos2tdt=a21t+1sin2t)+C. 24因为t=arcsin22x, sin2t=2sintcost=2x⋅a-x, 所以 aaa⎰2a11a-xdx=a(t+sin2t)+C=arcsinx+1xa2-x2+C. 2a224222解: 设x=a sin t , - π<t< π, 那么 22高等数学课程建设组9高等数学教案第四章不定积分⎰a2-x2dx=⎰acost⋅acostdt2 =a2⎰cos2tdt=a21t+1sin2t)+C=aarcsinx+1xa2-x2+C. 2a224提示:2-x2=a2-a2sin2t=acost, dx=acos tdt .22提示: t=arcsinx, sin2t=2sintcost=2x⋅-x. aaa例20. 求⎰dx(a>0). x2+a2解法一: 设x=a tan t, - π<t< π, 那么 22x2+a2=2+a2tan2t=a+tan2t=a sec t , dx=a sec 2t d t , 于是⎰2dxasect=sectdt= ln |sec t + tan t |+C . =⎰⎰asectx2+a222因为sect=x+a, tant=x, 所以 aa⎰dx= ln |sec t + tan t |+C=ln(x+x2+a2)+C=ln(x+x2+a2)+C, 1aax2+a2其中C 1=C-ln a .解法一: 设x=a tan t, - π<t< π, 那么 22⎰dx=asec2tdt=sectdt=ln|sect+tant|+C ⎰asect⎰x2+a222xx+a =+)+C=ln(x+x2+a2)+C1, aa其中C 1=C-ln a .提示:x2+a2=2+a2tan2t=asect , dx=a sec 2t dt ,22提示:sect=x+a, tant=x. aa解法二: 设x=a sh t , 那么高等数学课程建设组10高等数学教案第四章不定积分⎰dx=⎰ach t=⎰dt=t+C=arshx+C ach tax2+a2 ⎛⎫ =ln x+(x)2+1⎪+C=ln(x+x2+a2)+C1, a⎝a⎭其中C 1=C-ln a .提示: x2+a2=2sh2t+a2=a ch t , dx =a ch t d t .例23. 求⎰dx(a>0). x2-a2解: 当x>a 时, 设x=a sec t (0<t< π), 那么 2x2-a2=a2sec2t-a2=a2t-1=a tan t ,于是⎰dx=⎰asecttant=⎰sectdt= ln |sec t + tan t |+C . atantx2-a222因为tant=x-a, sect=x, 所以 aa⎰dx= ln |sec t + tan t |+C =ln|x+x2-a2|+C=ln(x+x2-a2)+C, 1aax2-a2其中C 1=C-ln a .当x<a 时, 令x=-u , 则u>a, 于是⎰dx=-⎰du=-ln(u+2-a2)+C x2-a22-a2=-ln(-x+x2-a2)+C=ln(-x-x2-a2)+C1,22-x-x-a=ln+C=ln(-x-x2-a2)+C1, a其中C 1=C-2ln a .综合起来有⎰dx=ln|x+x2-a2|+C. x2-a2解: 当x>a 时, 设x=a sec t (0<t< π), 那么 2高等数学课程建设组11高等数学教案第四章不定积分⎰dx =⎰asecttant=⎰sectdt22atantx-a22 =ln|sect+tatn|+C=lnx+x-a)+C aa(+x2-a2)+C, =lnx其中C 1=C-ln a .当x<-a 时, 令x=-u , 则u>a, 于是⎰dx=-⎰du=-ln(u+2-a2)+C x2-a22-a22222-x-x-a =-ln(-x+x-a)+C=ln+C a =ln(-x-x2-a2)+C1,其中C 1=C-2ln a .提示:x2-a2=2sec2t-a2=a2t-1=atant .22x-a提示:tant=, sect=x. aa综合起来有⎰dx=ln|x+x2-a2|+C. x2-a2补充公式:(16)⎰tanxdx=-ln|cosx|+C,(17)⎰cotxdx=ln|sinx|+C,(18)⎰secxdx=ln|secx+tanx|+C,(19)⎰cscxdx=ln|cscx-cotx|+C, (20)⎰(21)⎰(22)⎰(23)⎰1=1x+C, aaa+x221=1ln|x-a|+C,2ax+ax-a1=arcsinx+C, aa2-x2 dx=ln(x+x2+a2)+C, x2+a2高等数学课程建设组12高等数学教案第四章不定积分(24)⎰dx=ln|x+x2-a2|+C. x2-a2§4. 3 分部积分法设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数. 那么, 两个函数乘积的导数公式为(uv)'=u'v+uv',移项得 uv'=(uv)'-u'v.对这个等式两边求不定积分, 得⎰uv'dx=uv-⎰u'vdx, 或⎰udv=uv-⎰vdu,这个公式称为分部积分公式.分部积分过程:⎰uv'dx=⎰udv=uv-⎰vdu=uv-⎰u'vdx= ⋅⋅⋅.例1 ⎰xcosxdx=⎰xdsinx=xsinx-⎰sinxdx=x sin x-cos x+C .例2 ⎰xexdx=⎰xdex=xex-⎰exdx=xex-ex+C.例3 ⎰x2exdx=⎰x2dex=x2ex-⎰exdx2=x2ex-2⎰xexdx=x2ex-2⎰xdex=x2ex-2xex+2⎰exdx=x2ex-2xex+2ex+C =ex(x2-2x+2 )+C.例4 ⎰xlnxdx=1⎰lnxdx2=1x2lnx-1⎰x2⋅1dx 222x=1x2lnx-1⎰xdx=1x2lnx-1x2+C. 2224例5 ⎰arccosxdx=xarccosx-⎰xdarccosx=xarccosx+⎰x1 -x21- =xarccosx-1⎰(1-x2)d(1-x2)=xarccosx--x2+C. 2例6 ⎰xarctanxdx=1⎰arctanxdx2=1x2arctanx-1⎰x2⋅1dx 2221+x=1x2arctanx-1⎰(1-1dx 221+x高等数学课程建设组13高等数学教案第四章不定积分 =1x2arctanx-1x+1arctanx+C. 222例7 求⎰exsinxdx.解因为⎰exsinxdx=⎰sinxdex=exsinx-⎰exdsinx=exsinx-⎰excosxdx=exsinx-⎰cosxdex=exsinx-excosx+⎰exdcosx=exsinx-excosx+⎰exdcosx=exsinx-excosx-⎰exsinxdx,所以⎰exsinxdx=1ex(sinx-cosx)+C. 2例8 求⎰sec3xdx.解因为⎰sec3xdx=⎰secx⋅sec2xdx=⎰secxdtanx=secxtanx-⎰secxtan2xdx=secxtanx-⎰secx(sec2x-1)dx=secxtanx-⎰sec3xdx+⎰secxdx=secxtanx+ln|secx+tanx|-⎰sec3xdx,cxdx=1(secxtanx+ln|secx+tanx|)+C. 所以⎰se32例9 求In=⎰dx, 其中n为正整数. (x+a) 解 I1=⎰2dx2=1x+C; ax+aa当n>1时，用分部积分法, 有2dxxx ⎰=+2(n-1)⎰ (x+a)(x+a)(x+a)高等数学课程建设组14高等数学教案第四章不定积分 =x1a2dx, +2(n-1)[-⎰(x+a)(x+a)(x+a)x+2(n-1)(In-1-a2In), 22n-1(x+a)即 In-1=于是 In=1[x+(2n-3)In-1]. 2a(n-1)(x+a)以此作为递推公式, 并由I1=例10 求⎰edx. 1xarctan+C即可得In. aa解令x =t 2 , 则 , dx=2tdt. 于⎰edx=2⎰tetdt=2et(t-1)+C=2e(x-1)+C.⎰edx=⎰ed(x)2=2⎰xed=2⎰xdex=2xex-2⎰exdx=2xe-2e+C=2e(x-1)+C.第一换元法与分部积分法的比较:共同点是第一步都是凑微分⎰f[ϕ(x)]ϕ'(x)dx=⎰f[ϕ(x)]dϕ(x)令ϕ(x)=u⎰f(u)du,⎰u(x)v'(x)dx=⎰u(x)dv(x) =u(x)v(x)-⎰v(x)du(x).哪些积分可以用分部积分法？⎰xcosxdx, ⎰xexdx, ⎰x2exdx;⎰xlnxdx, ⎰arccosxdx, ⎰xarctanxdx;⎰exsinxdx, ⎰sec3xdx.⎰2xexdx=⎰exdx2=⎰eudu= ⋅⋅⋅ ,⎰x2exdx=⎰x2dex=x2ex-⎰exdx2= ⋅⋅⋅ .高等数学课程建设组15 22高等数学教案第四章不定积分 §4. 4 几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分有理函数的形式:有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数:P(x)a0xn+a1xn-1+⋅⋅⋅+an-1x+an , =Q(x)b0xm+b1xm-1+⋅⋅⋅+bm-1x+bm其中m和n都是非负整数; a0, a1, a2, ⋅⋅⋅ , an及b0, b1, b2, ⋅⋅⋅ , bm都是实数, 并且a0≠0, b0≠0. 当n<m时, 称这有理函数是真分式; 而当n≥m时, 称这有理函数是假分式.假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式. 例如x3+x+1=x(x2+1)+1=x+1. x2+1x2+1x2+1真分式的不定积分:求真分式的不定积分时, 如果分母可因式分解, 则先因式分解, 然后化成部分分式再积分. 例1 求⎰解 x+3dx. x2-5x+6x+3⎰x-5x+6dx=⎰(x-2)(x-3)dx=⎰(x-3-x-2)dx x+365=⎰6dx-⎰5dx=6ln|x-3|-5ln|x-2|+C. x-3x-2提示: (A+B)x+(-2A-3B)x+3, =A+B=(x-2)(x-3)x-3x-2(x-2)(x-3)A+B=1, -3A-2B=3, A=6, B=-5.分母是二次质因式的真分式的不定积分:例2 求⎰解 x-2dx. x+2x+32⎰x2+2x+3dx=⎰2x2+2x+3-3x2+2x+3)dx x-212x+21=1⎰22x+2-3⎰21 2x+2x+3x+2x+3d(x2+2x+3)d(x+1)1 =⎰2 -3⎰2x+2x+3(x+1)2+()2=1ln(x2+2x+3)-3arctanx+1+C. 21(2x+2)-3x-2=1⋅x-2-3⋅1=提示: .x+2x+3x+2x+32x+2x+3x+2x+3例3 求⎰1dx. x(x-1)2高等数学课程建设组16高等数学教案第四章不定积分解⎰x(x-1)2dx=⎰[x-x-1+(x-1)2dx 1111=⎰1dx-⎰1dx+⎰12dx=ln|x|-ln|x-1|-1+C. xx-1x-1(x-1)提示: 1=1-x+x=-1+1 x(x-1)(x-1)2x(x-1)2x(x-1)2=-1-x+x+12=1-1+12. x(x-1)(x-1)xx-1(x-1)二、三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数, 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算. 由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示, 故三角函数有理式也就是sin x 、cos x 的有理式.用于三角函数有理式积分的变换:把sin x、cos x表成tanx的函数, 然后作变换u=tanx: 222tanx2tanx==2u, sinx=2sinxcosx=22sec21+tan21+u2221-tan2x=1-u2. cosx=cos2x-sin2x=22sec21+u2变换后原积分变成了有理函数的积分.例4 求⎰1+sinxdx. sinx(1+cosx)2x2u2du. 1-u 解令u=tan, 则sinx=, cosx=, x=2arctan u , dx=2221+u1+u1+u2(1+2u)2du=1(u+2+1)du 于是⎰1+sinxdx=⎰sinx(1+cosx)2⎰u2u(1+1-u1+u1+u1+u21u=(+2u+ln|u|)+C=1tan2x+tanx+1ln|tanx|+C. 2242222解令u=tanx, 则 2高等数学课程建设组17高等数学教案第四章不定积分(1+2u2 ⎰1+sinxdx=⎰⋅22du 2sinx(1+cosx)2u(1+1-u1+u1+u21+u22 =1u+2u+ln|u|)+C=1⎰(u+2+1du 222u=1tan2x+tanx+1ln|tanx|+C. 42222说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分. 例如, 三、简单无理函数的积分无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去.例5 求⎰x-1dx. x解设x-1=u, 即x=u2+1, 则⎰1+sinxdx=⎰1+sinxd(1+sinx)=ln(1+sinx)+C. cosx1⎰x-1dx=u⋅2udu=2u2⎰u2+1⎰u2+1x=2⎰(1-1)du=2(u-arctanu)+C 1+u=2(x-1-arctanx-1)+C.例6 求⎰dx. 1+x+2 解设x+2=u. 即x=u3-2, 则dx=1⋅3u2du=3u2-1+1du ⎰1++2⎰1+u⎰1+u2 =3⎰(u-1+1du=3(u-u+ln|1+u|)+C 1+u2=3x+2)2-x+2+ln|1+x+2|+C. 2例7 求⎰dx. (1+x)x 解设x=t 6, 于是dx =6t 5d t , 从而高等数学课程建设组18高等数学教案第四章不定积分 dx6t5dt=6t2=6(1-1)dt=6(t-arctant)+C=⎰(1+x)x⎰(1+t2)t3⎰1+t2⎰1+t2=6(x-arctanx)+C.例8 求⎰1+xdx. xx解设+x=t, 即x=21, 于是 xt-1-2t ⎰1+xdx=⎰(t2-1)t⋅xx(t-1)2 =-2⎰tdt=-2⎰(1+1)dt t-1t-1=-2t-ln|t-1|+C t+1=-2+x-ln+x-x+C. x+x+练习1. 求⎰dx. 2+cosx1-t2x2 解: 作变换t=tan, 则有dx=, x=dt, cos1+t221+t22dt221tdx1=⎰1+t2=2⎰⎰ =ddt⎰2t1-t2+cosx3+t31+()22+1+t23=2arctant3+C=231xtan)+C. 232. 求⎰sin5xdx. 4cosx4(1-co2sx)2sin5xsinx 解: ⎰dx=-⎰dcosx=-⎰dcosx cos4xco4sxco4sx21 =-⎰(1-+)dcosx cos2xcos4x=-cosx-3. 求⎰3x+1dx. x2-3x+221++C. 3cosx3cosx高等数学课程建设组19高等数学教案第四章不定积分解: ⎰3x+13x+174=dxdx=(-⎰(x-2)(x-1)⎰x-2x-1)dx x2-3x+211dx-4⎰dx x-2x-1=7ln|x-2|-4ln|x-1|+C.§4.5积分表的使用积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂. 为了实用的方便, 往往把常用的积分公式汇集成表, 这种表叫做积分表. 求积分时, 可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后, 在表内查得所需的结果.积分表一、含有ax+b的积分 =7⎰1．⎰dx=1ln|ax+b|+C ax+ba2．⎰(ax+b)μdx=3．⎰1(ax+b)μ+1+C(μ≠-1) a(μ+1)xdx=1(ax+b-bln|ax+b|)+C ax+ba224．⎰xdx=13[1(ax+b)2-2b(ax+b)+b2ln|ax+b|]+C ax+ba25．⎰6．⎰7．⎰8．⎰9．⎰dx=-1lnax+b+C x(ax+b)bxdx1+alnax+b+C =-x2(ax+b)bxb2xx1(ln|ax+b|+b)+C dx=(ax+b)2a2ax+bx2dx=1ax+b-2bln|ax+b|-b2)+C (ax+b)2a3ax+bdx11lnax+b+C =-x(ax+b)2b(ax+b)b2xxdx. (3x+4)2例1求⎰解: 这是含有3x+4的积分, 在积分表中查得公式x1b⎰(ax+b)2dx=a2(ln|ax+b|+ax+b)+C.高等数学课程建设组20高等数学教案第四章不定积分现在a=3、b=4, 于是x14⎰(3x+4)2dx=9ln|3x+4|+3x+4)+C. 二、含有+b的积分1．⎰ax+bdx=2ax+b)3+C 3a2．⎰x+bdx=22(3ax-2b)ax+b)3+C 15a3．⎰x2+bdx=4．⎰5．⎰2(15a2x2-12abx+8b2)ax+b)3+C 105a3xdx=2(ax-2b)+b+C 3a2+bx2dx=2(3a2x2-4abx+8b2)+b+C 15a3+b1ln+b-+C (b>0)ax+b+ 2arctanax+b+C (b<0)-b-b⎧⎪6．⎰dx=⎨x+b⎪⎩7．⎰dx=-+b-a⎰dx bx2bx+bx2+b8．⎰+bdx=+b+b⎰dx xx+b9．⎰2+bdx=-+b+a⎰dx xx2x+b三、含x2±a2的积分1．⎰2．⎰3．⎰x2+a2dx=1arctanx+C aadxx2n-3dx =+⎰(x2+a2)n2(n-1)a2(x2+a2)n-12(n-1)a2(x2+a2)n-1dx=1lnx-a+C x2-a22ax+aax+C (b>0)b x-b+C (b<0)x+b四、含有ax2+b(a>0)的积分⎧1arctandx=⎪1．⎰2⎨ax+b⎪1ln⎩2ab2．⎰xdx=1ln|ax2+b|+C ax2+b2a高等数学课程建设组21高等数学教案第四章不定积分 3．⎰4．⎰5．⎰6．⎰7．⎰x2dx=x-bdx ⎰2ax+baaax2+bdx1lnx2+C =x(ax2+b)2b|ax2+b|dxx2(ax2+b)1dx =-1-a⎰2bxbax+bdxaln|ax2+b|-1+C =x3(ax2+b)2b2x22bx2dx=x11dx+⎰(ax2+b)22b(ax2+b)2bax2+b五、含有ax2+bx+c (a>0)的积分六、含有x2+a2 (a>0)的积分1．⎰2．⎰3．⎰4．⎰5．⎰6．⎰7．⎰8．⎰dx=arshx+C=ln(x+x2+a2)+C a1x2+a2dxx+C x2+a2)3a2x2+a2x=x2+a2+Cx2+a2x1dx=-+C x2+a2)3x2+a2x2=xx2+a2-a2ln(x+x2+a2)+C 22x2+a2x2xdx=-+ln(x+x2+a2)+C 22322x+a)x+a22dx=1lnx+a-a+C |x|xx2+a2ax22+a2dx=-x2+C ax2+a2 9．⎰x2+a2dx=xx2+a2+aln(x+x2+a2)+C 222例3求⎰dx. xx2+9dxdx=1⎰, xx2+92xx2+(322解: 因为⎰所以这是含有x2+a2的积分, 这里a=3. 在积分表中查得公式 2高等数学课程建设组22高等数学教案第四章不定积分 dx1ln2+a2-a+C. =⎰xx2+a2a|x|x2+(3)2-3dx+C=1lnx2+9-3+C. 于是⎰=1⋅2ln|x|32|x|xx2+923七、含有x2-a2(a>0)的积分1．⎰2．⎰3．⎰4．⎰5．⎰6．⎰7．⎰8．⎰dx=xarch|x|+C=ln|x+x2-a2|+C 1ax2-a2|x|dxx=-+C x2-a2)3a2x2-a2xdx=x2-a2+C 22x-ax1dx=-+C x2-a2)3x2-a2x2dx=xx2-a2+a2ln|x+2-a2|+C 22x2-a2x2xdx=-+ln|x+x2-a2|+C x2-a2)3x2-a2dx=1arccosa+C |x|xx2-a2ax222dx=x2-a+C ax2-a29．⎰2-a2dx=xx2-a2-aln|x+x2-a2|+C 222八、含有2-x2(a>0)的积分1．⎰2．⎰3．⎰4．⎰5．⎰6．⎰dx=arcsinx+C a2-x2dxx=-+C a2-x2)3a22-x2xdx=2-x2+C 22-xx1dx=+C a2-x2)32-x2x2dx=-x2-x2+a2arcsinx+C 22a2-x2x2xdx=-arcsinx+C aa2-x2)32-x2高等数学课程建设组23高等数学教案第四章不定积分 7．⎰8．⎰22dx=1lna--x+C |x|x2-x2ax222dx=-2-x+C ax2-x229．⎰a2-x2dx=x2-x2-aarcsinx+C 22a九、含有ax2+bx+c(a>0)的积分十、含有±x-a或x-a)(x-b)的积分 x-b十一、含有三角函数的积分1．⎰secxdx=ln|secx+tanx|+C2．⎰cscxdx=ln|cscx-cotx|+C3．⎰secxtanxdx=secx+C4．⎰cscxcotxdx=-cscx+C5．⎰sin2xdx=x-1sin2x+C 246．⎰cos2xdx=x+1sin2x+C 247．⎰sinnxdx=-1sinn-1xcosx+n-1⎰sinn-2xdx nn8．⎰cosnxdx=1cosn-1xsinx+n-1⎰cosn-2xdx nn9．⎰sinaxcosbxdx=-1cos(a+b)x-1cos(a-b)x+C 2(a+b)2(a-b)1sin(a+b)x+1sin(a-b)x+C 2(a+b)2(a-b)10．⎰sinaxsinbxdx=-11．⎰cosaxcosbxdx=1sin(a+b)x+1sin(a-b)x+C 2(a+b)2(a-b)atanx+bdx2=arctan+C (a2>b2) 12．⎰2222a+bsinxa-b-b高等数学课程建设组24高等数学教案第四章不定积分atanx+b-2-a2dx=213．⎰ln+C (a2<b2) a+bsinx2-a2atan+b+2-a2214．⎰dxa+barctan(a-btanx)+C (a2>b2) =2a+bcosxa+ba-ba+b2a+b+C (a2<b2) a+bb-atanx+dxa+bln14．⎰=2a+bcosxa+bb-atanx-2例2求⎰dx. 5-4cosxdx2a+barct(a-btax)+C (a2>b2). a-ba+b25+(-4)5-(-4)x)+C arct(ta5-(-4)5+(-4)2解: 这是含三角函数的积分. 在积分表中查得公式 =⎰a+bcoxsa+bdx2这里a=5、b=-4, a 2>b2, 于是 =⎰5-4coxs5+(-4)=2arctan(3tanx)+C. 32例4 求⎰sin4xdx.解: 这是含三角函数的积分. 在积分表中查得公式⎰sinnxdx=-1sinn-1xcosx+n-1⎰sinn-2xdx, ⎰sin2xdx=x-1sin2x+C. nn24这里n=4, 于是⎰sin4xdx=-1sin3xcosx+3⎰sin2xdx=-1sin3xcosx+3x-1sin2x)+C. 444424高等数学课程建设组25。

高等数学教学教案第四章一元函数积分学及其应用授课序号01例6求下列不定积分:(1) ；(2)；（3）; （4）；（5）；（6）；（7）；（8）.授课序号02是()f x 的原函数，即有换元公式()()()()()()()11d d f x x x C f t t t t x ϕϕϕϕ--⎡⎤'=Φ+=⎣⎦=⎰⎰.三、主要例题：例1 求5(32)d x x +⎰.例2 求不定积分1d 12x x +⎰.例3 求不定积分：(1)ln d xx x ⎰; (2)1d ln x x x⎰. 例4 求求.例5 求下列不定积分:(1)1d 1e x x +⎰; (2)21sind .x x x ⎰*例6 求 (1)()⎰>+0d 122a x x a ； (2)()⎰>-0d 122a x x a . 例7 求()0d 122>-⎰a x a x .例8 求下列不定积分: (1)3e d ;xx x⎰(2)tan d .x x x ⎰例9 求()⎰+x x x x d 1arctan .例10 求不定积分sin 2d x x ⎰.例11 求 (1)⎰x x d tan ； (2)⎰x x d cot . 例12 (1)⎰x x d sin3； (2)2sin cos d x x x ⎰；授课序号031i i n x x x b -<<<<=，]1x , []12,x x , …, []1,i i x x -, …对应的区间长度分别为),n上任取一点),2,,n，作如何选取，总有为常数），授课序号05教 学 基 本 内 容一、基本概念：1、设函数()f x 在区间[,]a b 内连续，x 为[,]a b 上的任意一点(见图（1）)，则积分()d xaf t t ⎰存在，故()d xaf t t ⎰为[,]a b 上变量x 的函数，称为()f x 的积分上限的函数.同理()d bxf t t ⎰也是x 的函数()a x b ≤≤，称为()f x 的积分下限的函数.二、定理与性质：定理1 若函数()f x 在[],a b 上连续，则()()d xax f t t Φ=⎰在[],a b 上可导，且()()()d d d xax f t t f x x 'Φ==⎰. 定理2 若函数()f x 在[],a b 上连续，则()()d xax f t t Φ=⎰是()f x 在[],a b 上的一个原函数, 即()()x f x 'Φ=，[],x a b ∈.推论 若函数在上连续，，，在上可导，则.定理3 （牛顿—莱布尼兹公式）若函数()F x 是连续函数()f x 在[],a b 上的一个原函数，则授课序号06例4 求定积分11d 54x x x--⎰. 例5 当)(x f 在],[a a -上连续, 则（1）若()f x 是区间[](),0a a a ->上的连续且为奇函数，则()d 0aa f x x -=⎰；（2）若()f x 是区间[](),0a a a ->上的连续且为偶函数，则()()0d 2d a a a f x x f x x -=⎰⎰; 例6 计算121(||sin )d x x x x -+⎰. 例7 求10ln(1)d x x x +⎰.例8 求.例9 求. 例10 计算12112e d x x --⎰.授课序号06,n M B =的极限存在，则称此极限为曲线弧例1 求椭圆22221x y a b+=的面积. 例2 求由两条曲线2y ax =和2ay x =（0a >）围成的平面图形的面积.例3 求抛物线22y x =与直线4y x =-所围成的平面图形的面积.例4 用极坐标表示下列曲线： （1）； （2）； （3）； (4) .例 5 计算阿基米德螺线()0r a a θ=>上相应于θ从0到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积. 例6 计算心形线()1cos r a θ=+()0a >所围成的图形的面积.例7求由围成的平面图形绕轴旋转而得的旋转体的体积.例8 求曲线4=xy ,1,2y y ==所围成的图形(见图（25）)绕y 轴旋转构成旋转体的体积. 例9求椭圆分别绕轴与轴旋转而得的旋转体的体积.例10 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心并与底面交成角α，计算这平面截圆柱体所得的立体的体积.例11 求曲线3223y x =上相应于x 从1 到2的一段弧的长度. 例12 求圆222R y x =+的周长.。