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函数的综合应用【考点精讲】1. 复合函数y ＝()f x a 单调性的确定：当a ＞1时，y 的单调区间与f （x ）的单调区间一致；当0＜a ＜1时，f （x ）的单调增区间是y 的单调减区间；f （x ）的单调减区间是y 的单调增区间。
例如：xx y 222-=与x x y 2221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=的单调增减区间就是不同的。
x x y 222-=的增区间是),1(+∞，减区间是)1,(-∞。
x x y 2221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=的增区间是)1,(-∞，减区间是),1(+∞。
2. 对于y ＝()f x a 值域问题，应分以下两步求解：①由定义域求出u ＝f （x ）的值域；②利用指数函数y ＝u a 的单调性求得此函数的值域。
【典例精析】例题1 求下列函数的值域。
（1）y ＝a x （a ＞1）；（2）f （x ）＝x 2＋2x ＋2（x ＞0）；（3）f （x ）＝（a x ）2＋2a x ＋2（a ＞0，且a ≠1）。
思路导航：一个函数的解析式中若含有指数式，即这个指数式为中间变量，这类题通常的解法是用换元法作变量替换。
如y ＝4x ＋1，设4x ＝t ，则y ＝t ＋1，容易出错和忽略的是t 的范围应该是4x 的值域，而不是t ∈R ，应该是t ＞0。
此题（3）的解题关键是设a x ＝t （t ＞0），换元后变为f （t ）＝t 2＋2t ＋2，转化成求二次函数的值域。
答案：（1）y ＝a x （a ＞1）的值域为（0，＋∞）；（2）)(x f ＝x 2＋2x ＋2＝（x ＋1）2＋1，对称轴为x ＝－1。
函数在（0，＋∞）上为增函数，x ＝0时，)(x f min ＝2（此处取不到）。
∴)(x f ＝x 2＋2x ＋2（0>x ）的值域为（2，＋∞）。
（3）设a x ＝t （t ＞0），换元后变为f （t ）＝t 2＋2t ＋2＝（t ＋1）2＋1，f （t ）＞2，∴f （x ）＝（a x ）2＋2a x ＋2（1a ,0≠>且a ）的值域为（2，＋∞）。
3.2 函数模型及其应用[教学目标]1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．通过收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用．[教学要求]对于函数增长的比较，教科书分了三个层次：首先以实例为载体让学生切实感受不同函数模型间的增长差异，然后采用图、表两种方法比较三个函数（2x y =，x y 2=，x y 2log =）的增长差异，最后将结论推广到一般的指数函数、对数函数、幂函数间的增长差异．函数基本模型的应用是本章的重点内容之一．教科书用4个例题作示范，并配备了较多的实际问题让学生进行练习．在4个例题中，分别介绍了分段函数、指数型函数、二次函数的应用．在例4和例6中还渗透了函数拟合的基本思想．本章安排的实习作业主要是让学生收集现实生活中的一些函数实例，并运用已学习的函数知识解决一些问题，感受函数的广泛应用．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的．这是因为函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题．同时，这样做还能给学生提供更多的机会从实际问题中发现或建立数学模型，并体会数学在实际问题中的应用价值．[教学重点]认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长，应用函数模型解决简单问题．将实际问题转化为数学模型．[教学难点]学生对指数函数、对数函数、幂函数等的增长速度的认识还很少，因此让学生比较这几种函数的增长差异会有一定困难．如何选择适当的函数模型分析和解决实际问题是另一个困难．[教学时数]4课时[教学过程]第一课时3.2.1几类不同增长的函数模型（1）新课进展一、实例分析投资回报和选择奖励模型两个实例，让学生对直线上升、指数爆炸与对数增长有一个感性的认识，初步发现当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快．（底数0 a ）例1（课本第95页例1）分析与解：课本第95——96页．关键：阅读、理解、审题重点：让学生体会指数爆炸问：在例1中，涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？根据例1表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？你能借助计算器做出函数图象，并通过图象描述一下三个方案的特点吗？由以上的分析，你认为应当如何做出选择？例2（课本第97页例2）本例将三个函数增长模型同时呈现给学生，主要目的是让学生感受它们增长速度的差异．教学时，除了用函数的图象直观展示这种增长差异外，还可以通过以下的表格让学生从另一个角度去认识．问：例2涉及了哪几类函数模型？本例的本质是什么？你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？通过对三个函数模型增长差异的比较，你能写出例2的解答吗？本课小结通过师生交流进行小结：确定函数的模型——利用数据表格、函数图象讨论模型——体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．第二课时3.2.1几类不同增长的函数模型（2）新课进展二、三类函数增长差异的比较1．通过图、表比较2x y =，xy 2=两个函数的增长速度．2．探究2x y =，x y 2log =两个函数的增长速度．3．说说函数x y 2=，2x y =，x y 2log =的增长差异．在区间),0(+∞上，总有x x 22log >；当4>x 时，总有22x x >． 所以当4>x 时，总有x x x 22log 2>>．4．一般的，在区间),0(+∞上，尽管函数)1(>=a a y x ，)1(log >=a x y a 和)0(>=n x y n 都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个‘档次’上，随着x 的增大，)1(>=a a y x 的增长速度越来越快，会超过并远远大于)0(>=n x y n的增长速度，而)1(log >=a x y a 的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，就有x n a a x x <<log ． 探究（课本101页）：x y x y y x 2121log ,,)21(===-的衰减情况． 通过观察获得这三个具体的函数的衰减情况，然后得出结论并推广到一般情况：存在一个0x ，当0x x >时，)10,0(log <<<>>a n x a x a x n ．第三课时3.2.2函数模型的应用实例（1）复习导入问：对幂函数、指数函数、对数函数，你是否注意到函数变化的速度有什么不同？ 结合上节课学习内容或者课本进行回答．新课进展一、例题及分析例3（课本第102页例3）本例所涉及的数学模型是确定的，需要我们利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型．此题的主要意图是让学生用函数模型（分段函数）刻画实际问题．（1）获得路程关于时间变化的函数解析式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤+-<≤+-<≤+-<≤+-<≤+=.54,2299)4(6543,2224)3(7532,2134)2(9021,2054)1(8010,200450t t t t t t t t t t s（2）根据解析式画出汽车行驶路程关于时间变化的图象．例4（课本第103页例4）本例中，数学模型n e y y 0=是指数型函数模型，它由0y 与r 两个参数决定，而0y 与r 的值不难得到．本题意在让学生验证问题中的数据与所提供的数学模型是否吻合，并用数学模型解释实际问题，并利用模型进行预测，这也是此题的难点．借助计算器做出函数图象，比较与实际的吻合度．课堂练习课本第98页练习第1、2题．布置作业课本第107页习题3.2A 组第1、2、3题第四课时3.2.2函数模型的应用举例（2）新课进展一、例题及分析续例5（课本第104页例5）课本第104页表3-9中数据的变化是有特定规律的，教学时应注意引导学生分析问题所提供的数据特点，由数据特点抽象出函数模型．同时，应注意变量的变化范围，并以此检验结果的合理性．例6（课本第105页例6）只给出了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的．思考：散点图与已知的哪个函数图象最接近，从而选择这个函数模型．课堂练习课本第106页练习第1、2题．二、例题的回顾与总结4个例题各有特点，例3、5是一类变量之间具有确定关系的问题，根据这个关系就可以建立函数模型解决问题；与例2、5不同的是，例4、6都是需要判断所选择的函数模型与问题所给数据的吻合程度，像例6用“当取表中不同的两组数据时，得到的函数解析式可能会不一样”这句话体现了这点不同；例4、6略有不同的是例4给出了函数模型，例6需要自己根据数据特点选择函数模型，这反映了一个较为完整的建立函数模型解决问题的过程，要让学生逐渐明确和感受这一点．例7 教师用书第107页第4题布置作业课本第107页习题3.2A组第4、5、6题．。
函数模型及其应用教学目标：（1）根据给出函数模型的图像或数据进行分析，会验证问题中的数据与所提供的函数模型是否相符。
（2）根据例题的解决方法总结出“根据收集到的数据特点建立函数模型，解决实际问题”的基本方法教学重点：1.实际问题数学化（建模），2.对函数模型进行解答，得出数学问题的解. 教学难点： 实际问题数学化教学过程：一。
先知先觉：1.预习课本P 97例2、P 102例3、P 104例52.三个例题中已知条件有什么异同？分别解决的是什么问题？每个题解决的关键是什么？你有什么疑问？3.练习：P 104练习2. P 106练习1.二．重难点突破：梳理例题2：三个函数哪个比较好排除？用的什么方法？哪个不好排除？用的什么方法比较的？是否符合实际问题检验过程可以省略吗？。
梳理例题3：采用什么样的数学模型？梳理例题5：采用的什么模型？小结：常用的函数模型有哪些？例1：某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4t 时每吨1.80元,当用水超过4t 时超过部分每吨3.00元。
某月甲乙两户共交水费y 元，，已知甲乙两户该月用水量分别为5xt,3xt 。
（1）求y 关于x 的函数，（2）若甲乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲乙两户该月的用水量和水费。
小结：例2：某城市现有人口数为100万人，如果年自然增长率为2.1％，回答下列问题：（1） 写出该城市的人口总数y （万人）与年份x （年）的函数关系式（2） 计算10年以后该城市的人口总数（精确到0.1万人）（3） 计算大约多少年以后该城市的人口总数将达到120万人（精确到0.1万人） 参考数据()127.12.111000≈+，()196.12.111500≈+，()21.12.111600≈+总结解应用题的策略：一般思路可表示如下：解决应用题的一般程序步骤：①审题：②建模：③解模：④还原：注：1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．2．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图，建立坐标系等，以使实际问题数学符号化．3．对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及的函数模型有：一次函数、二次函数、分段函数及较简单的指数函数和对数函数．其中，最重要的是二次函数模型．练习：1. 一根均匀的轻质弹簧，已知在600 N的拉力范围内，其长度与所受拉力成一次函数关系，现测得当它在100 N的拉力作用下，长度为0.55 m ,在300 N拉力作用下长度为0.65，那么弹簧在不受拉力作用时，其自然长度是多少？2.将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个多少元？三．轻松小测：(一)．P107 A组3、4、6。
