第五章 章末整合-(新教材)人教B版(2019)高中数学选择性必修第三册课件

对于α2、α3的判定还有另一种方法——八卦图法．
第2课时 诱导公式(二) P204
7．3 三角函数的性质与图像
7．3.1 正弦函数的性质与图像 P230 7．3.2 正弦型函数的性质与图像 P270
7．3函数的性质与图像 P376
7．3.5 已知三角函数值求角 P411
7．4 数学建模活动：周期现象的描述 P443
2．象限角 (1)使角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在 x 轴的正半轴 上，角的终边在第几象限，把这个角称为第几象限角． 如果终边在 坐标轴 上，就认为这个角不属于任何象限．
(2)①象限角的集合 第一象限角的集合{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝ β＋k·360°，0°<β<90°，k∈Z}． 第二象限角的集合 {α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝β＋k·360°，90°<β<180°，k∈Z}． 第三象限角的集合{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝β＋k·360°，180°<β<270°，k∈Z}． 第四象限角的集合 {α|270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝β＋k·360°，270°<β<360°，k∈Z}．
②终边落在坐标轴上的角的集合 终边落在 x 轴正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°，k∈Z}． 终边落在 x 轴负半轴上的角的集合为
{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} ． 终边落在 x 轴上的角的集合为{α|α＝k·180°，k∈Z}． 终边落在 y 轴正半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°＋90°，k ∈Z}． 终边落在 y 轴负半轴上的角的集合为

依次推倒的能量一个比一个大.
2.(1)数学归纳法的定义
一个与自然数有关的命题,如果
①当n=n0时,命题成立;
②在假设n=k(其中k≥n0)时命题成立的前提下,能够推出n=k+1时命题也成
立.
那么,这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立.
(2)数学归纳法的框图表示
3.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N+),第一步验证(
A.n=1
B.n=2
C.n=3
D.n=4
)
解析:由题知,n的最小值为3,因此第一步验证n=3是否成立.
答案:C
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.( × )
(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( × )
即当n=k+1时,命题也成立.
根据(1)(2),知n个符合条件的平面把空间分成f(n)=n(n-1)+2部分.
反思感悟
用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从k增加到k+1时,
所证的几何量增加多少,同时要善于利用几何图形的直观性,建立k与k+1之
间的递推关系.
【变式训练3】 在平面内有n条直线,其中每两条直线相交于一点,并且每
证明:(1)当n=1时,1个平面把空间分成2部分,
而f(1)=1×(1-1)+2=2(部分),所以命题正确.
(2)假设当n=k(k∈N+)时,命题成立,即k个符合条件的平面把空间分为
f(k)=k(k-1)+2(部分),当n=k+1时,第k+1个平面和其他每一个平面相交,使其

递推关 系数列
模型
一般地，如果问题中相邻两个量之间具有某种确定性的 关系，构建数列后，即可得到相应的递推关系式，再由 递推关系式得到通项公式，这种数列模型就是递推关系 数列模型
3.5G 是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即 所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩 展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的 变化．目前我国最高的 5G 基站海拔 6500 米．从全国范围看，中国 5G 发 展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有 8 个工程队共承建 10 万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个 工程队少16，则第一个工程队承建的基站数(单位：万)约为( )
拓展：根据现值与未来值的关系可知，第 n 期所还的现值 An＝ 1＋x rn，则现值{An}构成等比数列，根据等比数列前 n 项求和公式可 知，Sm＝A0，解得 x＝A10＋r1r＋m－rm1．根据指数函数的性质可知，每期 还款额中的本金比重逐月递增、利息比重逐月递减．
1．(对接教材 P43 例 1)自主创业的大学生张华向银行贷款 200 000 元作为创业资金，贷款的年利率为 5%，如果他按照“等额 本金还款法”分 10 年进行还款，则其第二年应还________元；如果 他按照“等额本息还款法”分 10 年进行还款，则其每年还款约 ________元．(1.0510≈1.628 89)
知识点 3 实际问题中的数列模型 等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型，实际问 题中常会包含若干个量，各量依次可以构成数列．通过构建数列模型 即可将实际问题转化为数列问题，解决数列问题即得实际问题的答 案．
一般地，如果问题中各量之间依次增加(或减少)的数值相 等差数 同，则该数列模型即等差数列模型，由其中增加(或减少) 列模型 的量即得等差数列的公差

(2)若 m+n=2p(m,n,p∈N+),则 aman=2 .
3.(1)已知在等比数列{an}中,若a1a9=9,则a4a6=(
A.3
B.±3
C.9
D.±9
(2)在等比数列{an}中,a4=4,则a2a6等于(
A.4
B.8
C.16
D.32
解析:(2)∵数列{an}是等比数列,
∴a2a6=42 =42=16.
其公式和性质解题.
(2)等差(比)数列公式和性质的灵活应用.
(3)当题中有多个数列出现时,既要研究单一数列项与项之间的关系,又要
关注各数列之间的相互联系.
2.对于存在性问题,在解答时,首先假设结论成立,然后结合已知条件运算、
2
∴这三个数为 4,8,16 或 16,8,4.
探究四
利用递推公式求通项公式
【例4】 根据下面各个数列{an}的首项和递推关系,求其通项公式:
1
(1)a1=1,an+1= an+1(n∈N+);
2
1
1
1
1
(2)数列{an}满足 a1+ 2 a2+ 3 a3+…+ an=2n+5,求数列{an}的通项公式.
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2
2(1-2 -1 )
+3=
+3=2n+1,n≥3.
1-2
1
+…+2
检验知当n=1,2时,结论也成立.
故数列{an}的通项公式为an=2n+1.
探究五

第五章
5.4 数列的应用
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
课标要求
1.能够将实际问题抽象为数列模型,提高分析问题和解决问题的能力;
2.会利用等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式解决分期付款和
政府支出的“乘数”效应等问题.
基础落实•必备知识全过关
a( ) + ×( ) >a
3
4 2
总成
立,
所以一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入.
规律方法 等比数列实际问题的求解策略
本题考查等比数列在实际问题中的应用,涉及通项的求法、基本不等式的
应用等,注意数列不等式的证明可以利用数列单调性来证明,也可以根据通
项的结构形式选择基本不等式来证明.
(3)小张采取等额本息贷款方式的总利息为3 891×240-600 000=933 840600 000=333 840(元),因为333 840>289 200,
所以从经济利益的角度来考虑,小张应选择等额本金还款方式.
规律方法 1.由题意可知,等额本金还款方式中,每月的还款额构成一个等
差数列,即可由等差数列的前n项和公式求得其还款总额,减去本金即还款
知识点 解应用题的基本步骤
1.审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系.
2.建模:利用数学知识及其他相关知识建立相应的数学模型.
3.求模:求解数学模型,得出数学结论.
4.还原:将数学结论还原为实际问题的答案.
过关自诊
某厂2020年的生产总值为x万元,预计生产总值每年以12%的速度递增,则

则看项的个数是有限还是无限.
变式训练1给出下列数列:
①2013~2020年某省高中生人数(单位:万人)构成数列
82,93,105,118,132,147,163,180;
②无穷多个 3构成数列 3, 3, 3, 3,…;
③-2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂、…,构成数列-2,4,-8,16,-32,….
题得到解决,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.
变式训练2写出下列各数列{an}的一个通项公式:
1 2 3 4
(1)1 ,2 ,3 ,4 ,…;
2 3 4 5
(2)1,11,111,1 111,….
解 (1)此数列的整数部分为 1,2,3,4,…,恰好是序号 n,分数部分与序号 n 的关
都采用了同样的办法.问:最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃
子?
【知识梳理】
一、数列
1.数列的概念
按照一定次序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数都称为这个数列
的项.
2.数列按项的个数分类
类别
含义
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
要点笔记 数列中的项与集合中的元素的对比
(1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具
其中,有穷数列是
,无穷数列是
数列是
,摆动数列是
答案 ① ②③
①
②
,递增数列是
,常
.(填序号)
③
解析 ①为有穷数列,同时①也是递增数列;②③是无穷数列,其中②为常数
列,③为摆动数列.
探究二
由数列的前几项求通项公式
例2写出数列{an}的一个通项公式,使它的前4项是下列各数:

1
1
1
a2=3S1=3a1=3,
∴3an+1=4an.∴
又
1
4
3
= .
4 n-2
,不适合
∴当 n≥2 时,an=3· 3
1, = 1,
∴an=
1 4 -2
·( ) ,
3 3
≥ 2.
n=1.
规律方法数列通项公式的求法
(1)定义法,即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法,这
种方法适用于已知数列类型的题目.
=S
-S
=4a
+2-4a -2=4a
-4a .
n+2
n+2 n+1
n+1
n
n+1
n
在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中,共涉及五个量,a1,an,n,d(或q),Sn,其中a1和d(或q)为基本量.
(1)若1,a1,a3成等比数列,求a1;
+1

-2
等差(比)数列的基本运算
= +2 +1
(2)由(1)得,a3=8,a5=32,
则b3=8,b5=32.
设{bn}的公差为 d,则有
1 + 2 = 8,
1 + 4 = 32,
1 = -16,
= 12,
所以 bn=-16+12(n-1)=12n-28.
解得
所以数列{bn}的前 n 项和
(-16+12-28)
2-22n.
=6n
等差(比)数列的判定
+1 -2

(2)已知Sn求an.
专题一
专题四
=