第九讲 协整与误差修正模型一、协整的定义假设时间序列12,,...,t t ktxx x 都属于d 阶单整序列I(d)，即各时间序列在差分d 次后将变为平稳序列。
如果一非零的常数向量12)(,,...,k a a a '使得：1212(),0...t t kt k x x x I d b b d a a a -<≤+++则称12,,...,t t ktxx x 之间存在阶数为（d,b ）的协整关系，i a 是协整参数。
经济变量的单整阶数往往不会超过2。
在实践中经常出现的情况是，12,,...,t t ktx x x 都是一阶单整的，因此，如果12,,...,t t ktxx x 协整，则：1212(0)...t t kt k x x x I a a a +++二、关于协整的经济学含义当很多变量都含有单位根时，除非有一种机制把这些变量联系在一起，否则这些变量会不受约束的各自漫游。
问题是存在这种机制吗？经济学理论经常表明变量间存在某种长期均衡关系。
如果情况确实如此，那么各变量对这种长期均衡关系的偏离不会持久。
因此，经济学理论所表明的长期均衡关系往往暗示了一种把各变量联系在一起的内在机制。
这种机制就是变量间的协整关系。
例一：期货价格是对未来现货价格的预期。
在理性预期假设下，期货价格不会系统性地偏离未来现货价格，因此，期货价格与未来现货价格是协整的。
例二：购买力平价理论认为，本国物价p 与外国物价p *之比决定了名义汇率的均衡值。
名义汇率不应该长期偏离其均衡值，因此，e 与p/p *是协整的。
例三：按照定义，名义利率=实际利率+预期通胀率。
在长期均衡中，按照理性预期假设，预期通胀率将等于通胀率；按照费雪假设（Fisher hypothesis ），实际利率等于自然利率。
假定自然利率为一常数，则名义利率与通胀率的长期均衡关系是名义利率=常数+通胀率。
因此，名义利率与通胀率是协整的。
三、协整检验（一）协整参数已知例如，如果(1),(1)tt x I y I ，现在假设两变量协整，且协整参数为θ。
为了检验上述假设，可以对t t y x θ-进行单位根检验。
如果拒绝t t y x θ-具有单位根的原假设，则不拒绝y t 与x t 具有协整关系的原假设。
（二）协整参数未知：EG 两步法经常的情况是协整参数未知，例如在上例中θ未知。
按照Engle & Granger(1987)提出的EG 两步法，我们首先利用OLS 法估计模型t t t y x αβε=++并得到残差ˆt ε；接下来对残差序列进行单位根检验：11ˆˆˆpiti t t i t γνεεβε=--=++∆∆∑应该注意到，由于残差均值为零，因此对残差序列进行单位根检验时我们并没有加入截距项。
在进行上述检验时特别值得注意的是，由于我们利用ˆt ε来近似t ε（误差项观测不到），故单位根检验所用的临界值表不同于通常的单位根检验临界值。
事实上，此时的临界值还取决于第一步回归方程的形式。
Hamilton(1994,p.766)给出了临界值表：问题是我们在第一步如何选择回归模型呢？一般的准则是，如果各变量并没有表现出明显的确定性趋势，则选择回归模型（2）；如果有变量表现出明显的确定性趋势，则选择回归模型（3）；一般不选择模型（1）。
前面的例子是两变量情形，如果涉及到多变量，我们仍然可以利用EG 两步法，但要参照不同的临界值表，可参见Stock & Watson(Second Edition,p659-651)。
然而在多变量情形下一个问题是，可能存在多个协整关系，但EG 两步法并没有考虑到这一点，因此，利用EG 两步法检验多变量协整检验是有缺陷的，而此时标准的检验方法是Johansen(1995)法，可参见较高级的教科书。
笔记：如果有m 个I(1)变量，那么最多可能有m-1个独立的协整关系。
为了理解这一点，我们假设m 个I(1)变量有m 个独立的协整关系，则这m 个I(1)变量必定分别可以表示成m 个平稳误差项的线性函数。
显然m 个平稳误差项的线性函数是平稳的，而这将使m 个变量都是I(1)变量的前提条件不成立。
四、协整参数估计与推断对于两变量情形，当变量间具有协整关系时，建立模型：t t t y x αβε=++并利用OLS 法进行估计获得协整参数估计ˆβ。
ˆβ随着样本容量的增加会比通常的收敛速度更快地收敛于β，此即所谓的ˆβ估计量具有超一致性。
问题是，获得ˆβ仅仅是一方面，我们还需要对ˆβ进行假设检验。
然而，棘手之处在于，ˆβ的分布是非标准的。
因此，通常的t 检验在这里是不适用的。
事实上，我们在利用EG 两步法时甚至不给出参数估计量的标准误，因为给出标准误也没有多大用处！我们能不能既获得协整向量的估计同时又能够利用通常的t 检验或者F 检验？回答是肯定的。
按照动态OLS （DOLS ）法，我们可以对模型：pt t t j t j j px y x u λαβ-=-∆+=++∑进行OLS 估计。
我们不但获得ˆβ，而且此时对任意系数参数的假设检验都可以利用t 检验或者F 检验。
关于p 值的选择，标准的实践是p=2。
关于DOLS 参见Stock & Watson(SecondEdition,p660)。
关于多变量协整系数的估计与推断，标准的方法是Johansen(1995)法，可参见较高级的教科书。
五、误差修正模型 （一）一个故事一个喝醉了酒的女孩从酒吧出来随意行走。
女孩的男朋友一直在她身边照顾她。
因此，如果单独观察男孩子的行走路线，我们将发现他也是在随意行走。
然而，男孩与女孩各自的行走路线显然具有稳定的关系。
男孩喜欢抽烟，但不幸的是他没有打火机。
因此，在行走过程中，男孩不时离开女孩去向其他人借打火机。
不过在点好香烟后，男孩会跟上女孩。
（二）Granger 表示定理：当变量间存在协整关系，必存在误差修正机制。
回到刚才的故事。
女孩的位移与男孩的位移都是随机游走过程，但两者存在协整关系。
当男孩的位移偏离了女孩的位移，则均衡误差出现了，接下来男孩的位移将作出调整，试图继续维持均衡关系。
应该注意到，当均衡误差出现时，女孩由于喝醉了，她不会作出调整，作出调整的是男孩；然而，如果女孩半醉半醒，她或许也将作出调整。
但无论如何，总是存在一种调整机制。
（三）误差修正模型（ECM ）以两变量为例。
假设,t t y x 都是一阶单整的，但两者具有协整关系：y x θ=。
根据Granger 表示定理，此时应该存在误差修正模型：11112112()()t t t t t t t t y y x x y x λθελθε⎧⎪⎨⎪⎩----∆=-+∆=-+ 其中12t t εε、为白噪声。
思考题：（1）1λ、2λ被称为调整速度。
1λ与2λ会同时为零吗？（2）当1λ不为零时，其符号是正还是负？当2λ不为零时，其符号是正还是负？（3）1λ与2λ其绝对值会大于1吗？笔记：1、当120,0λλ=≠时，则称y t是弱外生变量。
2、尽管误差修正模型表现为联立方程形式，但我们可以对每一个方程分别进行OLS估计。
由于11()t t y x θ---平稳，故针对ˆiλ可以利用通常的t 检验。
3、如果12t t εε、并不是白噪声，那么可以引入众多t i t i x y --∆∆、项，以使新的误差项是白噪声。
4、如果有变量表现出明显的确定性趋势，则在模型中增加截距项。
5、当协整参数θ未知时，对ECM 的估计可以采用两步法：首先利用OLS 估计获得协整参数的超一致估计ˆθ，然后用ˆθ代替θ，对ECM 进行估计。
在多变量情况下，由于可能存在多个独立的协整关系，则ECM 中将存在多个误差修正项。
对这种情形，Johansen(1995)提出了基于极大似然估计法的系统估计方法。
笔记：扩展上面的故事。
假定女孩还养了一只狗，在女孩行走过程中，这只狗不时受到气味的诱惑而离开主人，但它马上又会跑到主人身边。
男孩非常讨厌这只狗，如果他看见这只狗离自己太近，他甚至踢它一脚。
从理论上看，现在存在两个独立的协整关系：男孩位移与女孩位移的协整关系（A ）；狗的位移与女孩位移的协整关系（B ）。
不过表面看来，似乎存在四个协整关系，即上面的两个协整关系再加上三者位移的协整关系（C ）和狗的位移与男孩位移的协整关系（D ），但事实上C 不是独立于A 和B 的，而D 是虚假的。
由此可以看出多变量协整检验的复杂性。
例如，基于EG 两步法针对上例进行三变量协整检验，我们将得到结果C ，但我们知道C 并未反映事情的本质。
要得到结果A 与B ，同时又需要拒绝结果D ，此时利用三变量ECM 模型来进行协整检验是一个好办法。
显然，如果男孩与狗都不对基于协整关系D 所产生的均衡误差作出调整，那么我们将拒绝结果D 。
六、补充知识点：Granger 因果关系检验 （一）定义与检验方法在预测t Y 时，如果利用t X 的过去值与t Y 的过去值比仅仅利用t Y 的过去值能取得更好的预测效果，那么称t X 为t Y 的格兰杰原因。
注意，格兰杰因果关系是预测意义上的。
笔记：1、我们先观察到A ，接着才观察到B ，则可以初步认为A 是B 的格兰杰原因。
格兰杰因果关系与逻辑上的因果关系是两回事，A 是B 的格兰杰原因并不意味着在逻辑上A 是B 的原因。
例如，冬天将来临，大雁南飞，在这里，大雁南飞是冬天到来的格兰杰原因，而在逻辑上，冬天到来是大雁南飞的原因。
2、在现实经济中，我们经常发现，在货币扩张之后经济开始复苏。
一些研究者凭此认为，货币是非中性的。
现在我们已知道，这最多意味着货币量是实际GDP 的格兰杰原因，而这并不构成货币扩张是经济复苏逻辑上的原因的证据。
从逻辑上看，经济复苏或许是货币扩张的原因。
例如，厂商预期到经济复苏从而为预期的产出增加做准备，开始购买原材料，这导致货币需求增加，央行为稳定物价，从而投放更多的货币。
Eviews 软件在检验格兰杰因果关系时所默认的的模型是：11112211p p t j t j j t j t j j p p t j t j j t j tj j X c X Y Y c Y X αβεγσε--==--==⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩=+++=+++∑∑∑∑12t t εε、为白噪声。
（1）当约束条件1...0p ββ===成立时，y 不是x 的格兰杰原因，反之则相反； （2）当约束条件1...0p σσ===成立时，x 不是y 的格兰杰原因，反之则相反；（3）当上述两个约束条件皆不成立时，则x 与y 互为格兰杰原因。
为了检验这些原假设，我们首先利用OLS 法估计模型：1111ppt j t j j t j t j j X c X Y αβε--===+++∑∑并进行F 检验，其原假设是01:...0p Hββ===。
