[精品推荐]一道有详解特色的高考试题与解题

数学2024高考试卷解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合A = {xx^2-3x + 2 = 0}，B={xx>1}，则A∩ B = ( )A. {1}B. {2}C. {1,2}D. varnothing解析：先求解集合A，对于方程x^2-3x + 2 = 0，分解因式得(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2，所以A={1,2}。

又因为B = {xx>1}，所以A∩ B={2}，答案为B。

2. 复数z=(1 + i)/(1 - i)，则z的共轭复数¯z=( )A. -iB. iC. 1 - iD. 1 + i解析：对z=(1 + i)/(1 - i)进行化简，分子分母同时乘以1 + i，得到z=frac{(1 +i)^2}{(1 - i)(1 + i)}=frac{1 + 2i+i^2}{2}=i，共轭复数实部相同，虚部相反，所以¯z=-i，答案为A。

3. 已知向量→a=(1,2)，→b=(m, - 1)，若→a⊥→b，则m = ( )A. 2C. (1)/(2)D. -(1)/(2)解析：因为→a⊥→b，根据向量垂直的性质→a·→b=0，即1× m+2×(- 1)=0，解得m = 2，答案为A。

4. 函数y=sin(2x+(π)/(3))的最小正周期是(\space)A. πB. 2πC. (π)/(2)D. (2π)/(3)解析：对于函数y = Asin(ω x+φ)，其最小正周期T=(2π)/(ω)，这里ω = 2，所以T=π，答案为A。

5. 在等差数列{a_n}中，a_1=1，公差d = 2，则a_5=( )A. 9B. 11C. 13D. 15解析：根据等差数列通项公式a_n=a_1+(n - 1)d，当n = 5时，a_5=1+(5 - 1)×2=1 + 8 = 9，答案为A。

数学例题及答案解析高考真题数学是一门需要逻辑思维和推理能力的学科，也是许多学生头疼的科目之一。

每年高考数学的难度都非常高，许多学生在备考过程中都会遇到各种难题。

为了帮助大家更好地应对高考数学，下面我将给大家提供一些高考数学的例题和详细解析。

希望对大家备考有所帮助。

一、函数与导数1.已知函数f(x)=x^3-6x^2+9x-2，求f(x)在点x=-2处的导数。

解析：先求函数f(x)的导函数，然后代入x=-2即可得到结果。

对函数f(x)进行求导运算，得到f'(x)=3x^2-12x+9。

将x=-2代入导函数，得到f'(-2)=3*(-2)^2-12*(-2)+9=33。

2.已知函数y=ln(1+x)，求y在点x=0处的极限。

解析：求极限的过程就是将x的值无限接近给定的数值，然后求函数的数值。

将x=0代入函数y=ln(1+x)，得到y=ln(1+0)=0。

所以，y在x=0处的极限是0。

二、平面几何1.在直角坐标系中，已知直线l1的方程为2x-y=3，直线l2过点(-2,1)并且与l1垂直，求直线l2的方程。

解析：由直线l1的方程可知，l1的斜率为2。

由于l2与l1垂直，则l2的斜率为直线l1斜率的负倒数，即斜率为-1/2。

又给定了直线l2过点(-2,1)，根据点斜式方程可以得到直线l2的方程为(y-1)=-1/2(x+2)。

2.已知抛物线y=x^2-4x+3，求其与x轴交点和顶点的坐标。

解析：与x轴交点对应的y值为0，所以需要解方程x^2-4x+3=0。

将方程进行因式分解，得到(x-1)(x-3)=0，所以x=1或者x=3。

将x值代入抛物线方程，可以得到与x轴交点的坐标分别为(1, 0)和(3, 0)。

抛物线的顶点坐标可以通过求取x的值来得到，顶点的x值为抛物线对称轴的横坐标，即x=-(b/2a)，代入方程可得x=-(4/(2*1))=-2。

将x 值代入抛物线方程，得到顶点的坐标为(-2, 7)。

2024年高考新课标全国1卷15题精细化解析记ABC V 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC V的面积为3c ．本题考查利用正余弦定理解三角形问题.第一问求角，观察题干条件涉及三边平方关系，可想到利用余弦定理化边为角得C ，再由角C 与角B 的关系即可得B ；第二问知面积求边长，从第一问可确定三角形三个角大小，利用正弦定理可得三角形三边关系，再利用三角形面积公式消元转化解方程即可.思路：余弦定理化边为角→正弦定理计算三边关系→三角形面积公式计算边长1.观察到条件222a b c +-=涉及三边平方关系，可利用余弦定理化边为角得cos C ；2.由三角形中角的范围结合同角三角函数的平方关系可得sin C ，再利用条件sin C B 计算即可得B ；3.根据三角形内角和可得A ，此时知三角形面积及三角大小，但边的元素都不确定，可利用正弦定理确定三边关系；4.利用三角形面积公式消元转化即可得c .1．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足：2cos cos cos b B C Aac c a=+.（1）求B ；（2）若ABC V 面积为S =，外接圆直径为4，求ABC V 的周长.2．在锐角ABC V 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且2sin a B =.(1)求角A 的大小；(2)若3a =，ABC V ABC V 的周长.3．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222sin b A c a +=.（1）求角A ；（2）若a =2tan tan tan a b cA B C=+，求ABC V 的面积.4．已知ABC V 的内角，,,A B C 所对的边分别是,,a b c sin cos 2B b A b +=.（1）求角A 的大小；（2）若6b c +=，且ABC V 的面积S =，求a .5．已知锐角ABC D 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin A B C =，4bc =，a =.（1）求角A 的大小；（2）求ABC D 的周长.6．法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222cos cos b A ab B b c a +-=-.以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3O .(1)求角A ；(2)若3a =，123O O O V ABC V 的周长.参考答案：1．（1）3p；（2）6+.【分析】（1）首先将已知等式化简，再利用正弦定理将边化角，即可求出结果；（2）根据三角形面积公式可得ac ， 再正弦定理可求b ，再利用余弦定理可求a c +，由此即可求出结果.【详解】（1）2cos cos cos 2cos cos cos b B C Ab B a Cc A ac c a=+Þ=+，得2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+sin B =，1sin 0cos 2B B ¹\=Q ()0,B p ÎQ∴3B p=.（2）ABC V 的面积1sin 82S ac B ac ==Þ=，由正弦定理可知4sin bb B=Þ=由222222cos 12b a c ac B a c ac =+-Þ+-=2()12336a c ac Þ+=+=，则6a c +=，∴ABC V 的周长为6+【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.2．(1)π3(2)8【分析】（1）由正弦定理化边为角，可得sin A =，根据特殊角的三角函数值即可求解；（2）由面积公式求得bc ，再由余弦定理求出b c +，从而可得周长.【详解】（1）因为2sin a B =，所以由正弦定理得2sin sin A B B ，因为sin 0B ¹，所以sin A =，又因为π02A <<，所以π3A =；（2）因为11sin 22ABCS bc A bc ==V ，所以163bc =，又3a =及余弦定理2222cos a b c bc A =+-得，221619232b c =+-´´，所以22433b c +=，则5b c +==，所以358a b c ++=+=，即ABC V 的周长为8.3．（1）3p；（2）【分析】（1）由题意及余弦定理得cos A A =，由此即可求出结果；（2）由正切公式对2tan tan tan a b cA B C=+化简，再结合正弦定理得cos cos 2cos 1B C A +==，再根据23B C p +=，可得2cos cos 13B B p æö+-=ç÷èø，可得3B C p ==，由此即可求出结果.【详解】（1）由题意及余弦定理得2222cos sin b c a bc A A +-==，所以cos A A =，从而tan A ，因为(0,)A p Î，所以3A p=.（2）由2tan tan tan a b c A B C =+，得2cos cos cos sin sin sin a A b B c CA B C=+，所以由正弦定理得cos cos 2cos 1B C A +==又因为23B C p+=，所以2cos cos 13B B p æö+-=ç÷èø，1cos 12B B =，所以sin 16B p æö+=ç÷èø又()0,B p Î，所以3B p =，所以3C p=.从而ABC V 是等边三角形.因为a =，所以1sin 2ABC S ab C ==V4．（1）3p；（2）【分析】（1）由正弦定理结合辅助角公式得出角A 的大小；（2）利用面积公式以及余弦定理，解出a 的值．【详解】（1sin cos 2B b A b +=，由正弦定理得；sin sin cos 2sin sin 0A B B A B B +=>（）cos 2A A +=得sin 16A p æö+=ç÷èø因0A p <<故3A p=（2）1si n 2S bc A ===得8bc =2222cos a b c bc A=+-2()3b c bc =+-362412=-=所以a =5．（1）3A p=；（2）【分析】（1）结合正弦定理，处理题目所给信息，结合A 角的范围，计算，即可．（2）结合余弦定理，得到22b c +的值，计算周长，即可．【详解】（1）因为sin sin A B C =，显然sin 0A ¹，所以2sin sin sin A A B C =，由正弦定理，得2sin a A =，又因为4bc =，a =，所以12A =，解得sin A =又0,2A p æöÎç÷èø，所以3A p =（2）由（1）知3A p=，即1cos 2A =，由余弦定理，得22222121cos 282b c a b c A bc +-+-===所以2216b c +=，所以()222224b c b c bc +=++=，解得：b c +=所以ABC D 的周长a b c =++=+【点睛】考查了正弦定理，考查了余弦定理，关键结合题意，利用正余弦定理，计算相关量，即可，难度中等．6．(1)3A p=(2)3+【分析】（1）依题意结合余弦定理可得cos cos 2cos b A a B c A +=，再利用正弦定理及两角和差的正弦公式得到()sin 2sin cos A B C A +=，即可得解.（2）连接1AO ､3AO ，再利用面积公式得到13O O ，在13O AO V 和ABC V 中分别利用余弦定理，即可得到bc ，22b c +，从而求出b c +，即可得解.【详解】（1）因为2222cos cos b A ab B b c a +-=-，有余弦定理可得2222cos cos 2cos b A ab B b c a bc A +=+-=，即cos cos 2cos b A a B c A +=，由正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=，即()sin 2sin cos A B C A +=，即sin 2sin cos C C A =，因为sin 0C >，所以1cos 2A =，因为()0,A p Î，所以3A p=.（2）如图，连接1AO ，3AO ，正123O O O V 面积221331sin 602S O O O =××°==，∴2137O O =，而60BAC Ð=°，则13120O AO Ð=°，在13O AO V 中，由余弦定理得：22131313132cos O O AO AO AO AO O AO =+-××Ð，即221723332b c bc æö=+-××-ç÷èø，则2221b c bc ++=，在ABC V 中，60A =°，3a =，由余弦定理得2222cos a b c bc BAC =+-Ð，则229b c bc +-=，∴6bc =，2215b c +=，V的周长为3+∴b c+==，所以ABC。

高考真题数学试题答案解析在高考中，数学科目一直是考生们最重要的科目之一。

而为了顺利通过高考，破解数学试题的答案是必不可少的。

本文将为大家详细解析一道高考真题数学试题的答案，帮助大家更好地应对考试。

下面，我们来看这道数学试题：【题目】已知函数 f(x) 在区间 [0,4] 上的单调递增，在点x=1 处取得极值 f(1)=2，点 M(x,y) 是曲线 y=f(x) 上的动点，若线段 OM 的长为 3，则动点 M 的坐标为（）。

A. (1,2)B. (1,5)C. (4,8)D. (3,6)这是一道较为典型的解析几何题目。

我们先来了解一下题意和所给条件。

题目中已经给出了函数 f(x) 的单调递增性和极值 f(1)=2，同时告知了点 O 的坐标是 (0,0)，且 OM 的长为 3。

首先，我们需要求出曲线 y=f(x) 的方程。

由于题目中告知 f(x) 在区间 [0,4] 上是单调递增的，我们可以确定 f(x) 是一次函数。

由于点 M 在曲线上，因此我们可以用点斜式得到方程的一般形式 y=kx。

接下来，我们需要确定 k 的值。

根据题目中的条件，我们可以得到两个重要信息：首先，极值f(1)=2 对应着点 (1,2)；其次，线段 OM 的长为 3，也就是说点 M到原点 (0,0) 的距离是 3。

利用点到直线的距离公式，我们可以得到如下的等式：√((1-0)^2+(2-0)^2)=√(1+k^2)将其化简，得到√5=√(1+k^2)解方程得到 k 的值为±2。

由于题目中已经告知 f(x) 在区间[0,4] 上是单调递增的，因此 k 只能取正值 k=2。

因此，曲线 y=f(x) 的方程为 y=2x。

接下来，我们需要求出动点 M 的坐标。

根据题目中的条件，点M 的坐标可以用函数 f(x) 和点 M 的横坐标 x 表示。

将 y=2x 代入，得到 x=3/2。

因此，动点 M 的坐标为 (3/2,3)。

综上所述，我们可以得出：【答案】D. (3,6)在解析这道数学试题的过程中，我们充分运用了数学函数的知识，包括函数的单调性和极值，以及点到直线的距离公式。

一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列函数中，在定义域内是奇函数的是（）A. f(x) = x^2 - 1B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = 2x答案：C解析：奇函数满足f(-x) = -f(x)。

对于选项C，f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)，符合奇函数的定义。

2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 15，S9 = 27，则该数列的公差d是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 (a1 + an)。

对于S5 = 15，有5/2 (a1 + a5) = 15，同理S9 = 9/2 (a1 + a9) = 27。

由a5 = a1 + 4d，a9 = a1 + 8d，代入得：5/2 (a1 + a1 + 4d) = 15，9/2 (a1 + a1 + 8d) = 27解得d = 2。

3. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则复数z的实部是（）A. 0B. 1C. -1D. 不确定答案：A解析：复数z在复平面上的几何意义是z对应的点到点(1, 0)和(-1, 0)的距离相等，即z位于这两点连线的垂直平分线上。

因此，z的实部为0。

4. 下列命题中，正确的是（）A. 若a > b，则a^2 > b^2B. 若a > b，则log_a b < 0C. 若a > b，则a + c > b + cD. 若a > b，则ac > bc答案：C解析：选项A、B、D均存在反例，只有选项C是正确的，因为对于任意的实数c，加上相同的数不会改变不等式的方向。

5. 函数y = 2^x + 1在定义域内的单调性是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 不单调D. 不确定答案：A解析：指数函数y = 2^x是单调递增的，因此其加上常数1后，函数y = 2^x + 1仍然保持单调递增。

高考数学试题及答案详解一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，则f(1)的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：B解析：将x=1代入函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1中，得到f(1) =2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1。

因此，正确答案为B。

2. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，求第10项a10的值：A. 23B. 25C. 27D. 29答案：A解析：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，将n=10，a1=3，d=2代入公式，得到a10 = 3 + (10-1)×2 = 3 + 18 = 21。

因此，正确答案为A。

...20. 已知函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，求g(x)的导数g'(x)：A. 3x^2 - 12x + 9B. x^3 - 6x^2 + 9C. 3x^2 - 12x + 1D. 3x^2 - 6x + 9答案：A解析：根据导数的定义，对函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1求导，得到g'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

因此，正确答案为A。

二、填空题（每题5分，共30分）1. 若复数z满足|z| = √2，且z的实部为1，则z的虚部为____。

答案：±1解析：设复数z = 1 + bi，其中b为虚部。

根据复数的模长公式，|z| = √(1^2 + b^2) = √2，解得b^2 = 1，因此b = ±1。

...5. 已知直线l的方程为y = 2x + 3，求直线l与x轴的交点坐标。

答案：(-3/2, 0)解析：令y=0，代入直线方程y = 2x + 3，得到0 = 2x + 3，解得x = -3/2。

因此，直线l与x轴的交点坐标为(-3/2, 0)。

河北省邢台市高考数学经典解答题解答题含答案有解析1．在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足32sin 0a b A -=． （1）求角B 的大小； （2）若5a c +=，7b =，求ABC ∆的面积．2．已知：ABC 的顶点()2,4A ，()0,2B -，()2,3C -． （1）求AB 边上的中线CD 所在直线的方程； （2）求ABC 的面积．3．底面半径为3，高为62的圆锥有一个内接的正四棱柱（底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱）．（1）设正四棱柱的底面边长为x ，试将棱柱的高h 表示成x 的函数； （2）当x 取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值．4．某市食品药品监督管理局开展2019年春季校园餐饮安全检查，对本市的8所中学食堂进行了原料采购加工标准和卫生标准的检查和评分，其评分情况如下表所示： 中学编号12345678原料采购加工标准评分x10095938382757066卫生标准评分y87 84 83 82 81 79 77 75（1）已知x 与y 之间具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；（精确到0.1）（2）现从8个被检查的中学食堂中任意抽取两个组成一组，若两个中学食堂的原料采购加工标准和卫生标准的评分均超过80分，则组成“对比标兵食堂”，求该组被评为“对比标兵食堂”的概率.参考公式：1221ˆni i i nii x y nx y bx nx==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx=-； 参考数据：8154112i ii x y==∑，82156168i i x ==∑.5．已知函数2()2sin 32,4f x x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ．（I ）求()f x 的最小正周期； （II ）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值． 6．已知函数()()2=log 21,0x f x x +> （1）求函数()f x 的反函数()1fx -；（2）解方程：()()123f x f x --=.7．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[)100,150，[)150,200，[)200,250，[)250,300，[)300,350，[]350,400（单位：克）中，经统计的频率分布直方图如图所示．（1）估计这组数据的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；（2）现按分层抽样从质量为[200，250)，[250，300)的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；（3）某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出以下两种收购方案： 方案①：所有芒果以9元/千克收购；方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购． 通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多．参考数据：712515175202253027525325337525500⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 8．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos cos cos 2ca B Cb A C +=. （1）求角C ； （2）若7,5c a b =+=，求ABC ∆的面积.9．已知非零数列{}n a 满足11a =，112N n n n n a a a a n *++=-∈（）. （1）求证：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）若关于n 的不等式222121113111log (1)log (1)log (1)nm n n n a a a ++⋅⋅⋅+<-++++++有解，求整数m的最小值； （3）在数列11(1)n n a ⎧⎫+--⎨⎬⎩⎭中，是否存在首项、第r 项、第s 项(16r s <<≤)，使得这三项依次构成等差数列？若存在，求出所有的,r s ；若不存在，请说明理由.10．在平面直角坐标系xOy 中，点O 是坐标原点，已知点()531,0,,,22A B P ⎛⎫⎪⎝⎭为线段AB 上靠近A 点的三等分点．()1求点P 的坐标：()2若点Q 在y 轴上，且直线AB 与直线PQ 垂直，求点Q 的坐标．11．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且(23)cos 2cos 0b c A a B -+=. （1）求cos A 的值；（2）若3,5a b c =+=，求ABC ∆的面积. 12．已知tan 2α=，求 （1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+（2）22sin sin cos cos αααα++13．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222sin sin sin sin sin .B C A B C +=-． （1）求角A 的大小；（2）若4a b c =+=，求ABC ∆的面积. 14．化简： （1）1tan 211tan 21-+；（2）sin347cos148sin 77cos58+. 15．已知ABC 中23ACB π∠=，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ． （1）若,,a b c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值； （2）若ABC 的外接圆面积为π，求ABC 周长的最大值．16．随着高校自主招生活动的持续开展，我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各自随机抽取了40名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了6个区间：(0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如下频率分布直方图：（1）试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数m 甲（精确到0.01）；（2）判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值X 甲与X乙及方差2S 甲与2S 乙的大小关系（只需写出结论），并计算其中的X 甲、2S 甲（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.17．在ABC 中，sin 62b c a B π+⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且BC 边上的中线长为13，3AB =(1)求角A 的大小； (2)求ABC 的面积.18．已知函数233()cos cos()3sin 6f x x x x π=-+-，x ∈R . （1）将()f x 化为sin()A x B ωϕ++的形式（0A >，0>ω，||2ϕπ<）并求()f x 的最小正周期T ； （2）设()()g x af x b =+，若()g x 在[,]44ππ-上的值域为[0,3]，求实数a 、b 的值； （3）若()1(1)0n f x m ++-⋅>对任意的[,]44x ππ∈-和*n ∈N 恒成立，求实数m 取值范围. 19．（6分）如图，求阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．20．（6分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，AB CD ∥，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.（1）证明:BE CD ⊥；（2）求三棱锥P BDE -的体积．21．（6分）如图所示，经过村庄A 有两条夹角为60的公路,AB AC ，根据规划要在两条公路之间的区域内修建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库,M N （异于村庄A ），要求2PM PN MN ===（单位：千米），记AMN θ∠=.（1）将,AN AM 用含θ的关系式表示出来；（2）如何设计（即,AN AM 为多长时），使得工厂产生的噪声对居民影响最小（即工厂与村庄的距离AP 最大）？22．（8分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥底面 ABCD ，侧棱PA=PD ＝2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD=2AB=2BC=2,O 为AD 中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）线段AD 上是否存在点，使得它到平面PCD 3AQQD值；若不存在，请说明理由．23．（8分）已知点(3,5)M ，圆()()22124x y -+-=． （1）求过点M 的圆的切线方程；（2）若直线40ax y -+=与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值．24．（10分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222sin sin 3sin sin sin A C A C B +-=. （1）求角B 的大小；（2）若2b =，求a c +的最大值.25．（10分）锐角ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若23cos cos sin 3b Cc B a A +=. （1）求A ；（2）若53ABC S ∆=，21a =，求ABC 的周长.26．（12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)A ωϕπ>><，它的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 27．（12分）已知数列{}n a 满足：14n n a a n ++=． （1）若{}n a 为等差数列，求{}n a 的通项公式； （2）若{}n a 单调递增，求1a 的取值范围； 28．已知直线:330l x y -=（1）若直线1l 过点(0,1)，且1//l l .求直线1l 的方程.（2）若直线2l 过点A(2,0)，且2l l ⊥，求直线2l 的方程及直线2l ,l ,x 轴围成的三角形的面积. 29．已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量， 其中a =（1，2），b =（﹣2，3），c =（﹣2，m ） （1）若a ⊥（b +c ），求|c |；（2）若k a +b 与2a ﹣b 共线，求k 的值．30．某生产厂家生产一种产品的固定成本为4万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.8万元.已知销售收入()R x （万元）满足20.610.4(010)(),44(10)x x x R x x ⎧-+≤≤=⎨>⎩（其中x 是该产品的月产量，单位：百台），假定生产的产品都能卖掉，请完成下列问题： （1）将利润表示为月产量x 的函数()y f x =；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？参考答案解答题含答案有解析1． (1)3π；（2）2. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知的等式，根据sinA 不为0，可得出sinB 的值，由B 为锐角，利用特殊角的三角函数值，即可求出B 的度数；（2）由b 及cosB 的值，利用余弦定理列出关于a 与c 的关系式，利用完全平方公式变形后，将a+c 的值代入，求出ac 的值，将a+c=5与ac=6联立，并根据a 大于c ，求出a 与c 的值，再由a ，b 及c 的值，利用余弦定理求出cosA 的值，将b ，c 及cosA 的值代入即可求出值． 【详解】 (1)32sin a b A =,2sin sin A B A =，所以sin B =， 因为三角形ABC 为锐角三角形，所以3B π∠=.（2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得227a c ac +-=，5a c +=，所以6ac =所以1sin 2ABCSac B ==2．（1）2350x y +-=；（2）11. 【解析】 【分析】（1）直接利用已知条件求出AB 边上的中点，即可求直线的方程．（2）利用所求出的直线方程利用分割法求出三角形的面积，或者求出||AB 及直线AB 的方程，可得点C 到直线AB 的距离，求出三角形的面积. 【详解】（1）∵线段AB 的中点D 的坐标为()1,1， 所以，由两点式方程可得， AB 边上的中线CD 所在直线的方程为113121y x --=---， 即2350x y +-=．（2）法1：因为22||(21)(31)13CD =--+-= 点A 到直线CD 的距离是221332d ==+， 所以ABC 的面积是112||213112213S CD d =⨯⋅=⨯=． 法2：因为22||(02)(24)210AB =-+--=， 由两点式得直线AB 的方程为：320x y --=， 点C 到直线AB 的距离是221031d ==+， 所以ABC 的面积是1||112S AB d =⋅=． 【点睛】本题考查直线方程求法与点到直线距离公式应用，属于基础题.3． (1) 622(032)h x x =<，;(2) 正四棱柱的底面边长为2248. 【解析】试题分析：（1）根据比例关系式求出h 关于x 的解析式即可；（2）设该正四棱柱的表面积为y ，得到关系式224y x xh =+，根据二次函数的性质求出y 的最大值即可.试题解析：（1）根据相似性可得：6=，解得：(20h x x =<<； （2）设该正四棱柱的表面积为y ．则有关系式()(2222242426648y x xh x x x x x =+=+=-+=--+，因为0x <<x =48max y =，故当正四棱柱的底面边长为48.点睛：本题考查了数形结合思想，考查二次函数的性质以及求函数的最值问题，是一道中档题；该题中的难点在于必须注意圆锥轴截面图时，三角形内的矩形的宽为正四棱柱的底面对角线的长度，除了二次函数求最值以外还有基本不等式法、转化法：如求53x x -+-的最小值，那么可以看成是数轴上的点到5x =和3x =的距离之和，易知最小值为2、求导法等. 4．（1）0.356.1y x =+；（2）514【解析】 【分析】（1）由题意计算x 、y ，求出回归系数，写出线性回归方程； （2）用列举法写出基本事件数，计算所求的概率值． 【详解】（1）由题意得：83x =，81y =，8182221854112883810.3561688838ˆi i i i i x y xy b x x ==--⨯⨯==≈-⨯-∑∑， 81ˆˆ0.38356.1ay bx =-=-⨯=. 故所求的线性回归方程为：0.3561ˆ.yx =+. （2）从8个中学食堂中任选两个，共有共28种结果：()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()1,7，()1,8，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()2,7，()2,8，()3,4，()3,5，()3,6，()3,7，()3,8，()4,5，()4,6，()4,7，()4,8，()5,6，()5,7，()5,8，()6,7，()6,8，()7,8.其中原料采购加工标准的评分和卫生标准的评分均超过80分的有10种结果：()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5，所以该组被评为“对比标兵食堂”的概率为1052814=. 【点睛】本题考查了线性回归方程的求解，考查了利用列举法求古典概型的概率问题，是基础题．5．（I ）π；（II ）3，1【解析】 【分析】（I ）利用降次公式和辅助角公式化简()f x 解析式，由此求得()f x 的最小正周期.（II ）根据函数()f x 的解析式，以及x 的取值范围，结合三角函数值域的求法，求得()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 【详解】（I ）2()2sin 21cos 2242f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin2212sin 213x x x π⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭()f x 的最小正周期T π=．（Ⅱ）20,,2,,sin 223333x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫∈∴-∈-∴-∈⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦()max 3f x =，min ()1f x =【点睛】本小题主要考查降次公式和辅助角公式，考查三角函数在闭区间上的最值的求法，属于中档题. 6．（1）()()()12=log 211x f x x -->；（2）2{log 3}【解析】 【分析】（1）反解x ，然后交换,x y 的位置，写出原函数的值域即可得到结果； （2）代入原函数与反函数的解析式，解方程即可得到答案. 【详解】（1）由2log (21)(0)x y x =+>得212x y +=，得2log (21)yx =-，因为0x >，所以1y >，所以12()log (21)(1)xf x x -=->.（2）由()()123f x f x --=得222log (21)log (21)3x x +--=(1)x >，所以23(21)221x x+=-，即2(2)6290x x -⨯+=，解得23x =，所以2log 3x = 1>，所以原方程的解集为2{log 3}. 【点睛】本题考查了求反函数的解析式，考查了指数式与对数式的互化，属于中档题. 7．（1）255；（2）25；（3）选择方案②获利多 【解析】 【分析】1）由频率分布直方图能求出这组数据的平均数．（2）利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250）内的芒果有2个，记为a 1，a 2，质量在[250，300）内的芒果有3个，记为b 1，b 2，b 3，从抽取的5个芒果中抽取2个，利用列举法能求出这2个芒果都来自同一个质量区间的概率．（3）方案①收入11000091000xy =⨯⨯=22950元，方案②：低于250克的芒果的收入为8400元，不低于250克的芒果的收入为17400元，由此能求出选择方案②获利多． 【详解】（1）由频率分布直方图知，各区间频率为0.07，0.15，0.20，0.30，0.25，0.03 这组数据的平均数007125015175020225030275025325003375255x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．（2）利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250)内的芒果有2个，记为1a ，2a ，质量在[250，300)内的芒果有3个，记为1b ，2b ，3b ；从抽取的5个芒果中抽取2个共有10种不同情况：()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()23,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b ．记事件A 为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则A 有4种不同组合：()12,a a ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b从而()42105P A ==，故这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为25. （3）方案①收入：12551000091000092295010001000x y =⨯⨯=⨯⨯=（元）； 方案②：低于250克的芒果收入为()0.070.150.21000028400++⨯⨯=（元）； 不低于250克的芒果收入为()0.250.30.0310000317400++⨯⨯=（元）； 故方案②的收入为284001740025800y =+=（元）． 由于2295025800<，所以选择方案②获利多． 【点睛】本题考查平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 8． (1)3C π= ；(2)【解析】 【分析】（1）首先利用正弦定理的边角互化，可将等式化简为()1sin cos sin 2A B C C +=，再利用A B C π++=，可知()sin sin A B C +=，最后化简求值； （2）利用余弦定理可求得ab ，代入求面积. 【详解】（1）由已知以及余弦定理得：1sin cos cos sin cos cos sin 2A B C B A C C += 所以1sin()cos sin 2A B C C +=sin()sin 0A B C +=≠,1cos 2C ∴=(0,),3C C ππ∈∴=（2）由题知2275a b ab a b ⎧+-=⎨+=⎩，6ab ∴=1sin 22ABC S ab C ∆∴==【点睛】本题第一问考查了正弦定理，第二问考查了余弦定理和面积公式，当一个式子有边也有角时，一般可通过正弦定理边角互化转化为三角函数恒等变形问题，而对于余弦定理与三角形面积的关系时，需重视()2222a b a b ab +=++的变形使用.9．（1）证明见解析；（2）4；（3）存在，4,3s r ==或6,5s r ==.【解析】 【分析】 （1）由条件可得1121n n a a +=+，即111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再由等比数列的定义即可得证； （2）由等比数列的通项公式求得，112n na +=，再由数列的单调性的判断，可得最小值，解不等式即可得到所求最小值；（3）假设存在首项、第r 项、第s 项(16r s <<≤)，使得这三项依次构成等差数列，由等差数列的中项的性质和恒等式的性质，可得s ，r 的方程，解方程可得所求值. 【详解】解：（1）证明：由112n n n n a a a a ++=-，得1121n n a a +=+，即111121n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）可得，112n na +=，则221log 1log 2nn n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭=+ 故111312m n n n n++⋯+<-+++， 设111()12f n n n n n=++⋯++++， 则1111111(1)()23212212f n f n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-=++⋯++-++⋯+ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭11111021*******n n n n n =+-=->+++++， 所以()f n 单调递增，则min 1()(1)2f n f ==，于是132m <-，即 72m >， 故整数m 的最小值为4； （3）由上面得，121n n a =-， 设11(1)2(1)n n n n nb a =+--=--， 要使得1,,r s b b b 成等差数列，即12s r b b b +=， 即132(1)22(1)ssr r ++--=--，得122(1)2()31sr s r +=-----，1,230(1)(1)s r s r ≥+∴----≥， 1(1)1(1)1s r s r =+⎧⎪∴-=⎨⎪-=-⎩， 故s 为偶数，r 为奇数，36,4,3s s r ≤<∴==或6,5s r ==.【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性求得最值，考查存在性问题的解法，注意运用恒等式的性质，是一道难度较大的题目. 10．（1）31.22P ⎛⎫⎪⎝⎭（2）()0,2Q 【解析】 【分析】（1）由题意利用线段的定比分点坐标公式，两个向量坐标形式的运算法则，求出点P 的坐标． （2）由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求出点Q 的坐标． 【详解】()1设(),P a b ，因为()531,0,,22A B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1,AP a b =-，53,22PB a b ⎛⎫=--⎪⎝⎭ 又12AP PB =，所以()5212322a a b b⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得31,22a b ==，从而31.22P ⎛⎫⎪⎝⎭．()2设()0,Q c ，所以3331,,,2222AB PQ c ⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由已知直线AB 与直线PQ 垂直，所以AB PQ ⊥则333102222c ⎛⎫⎛⎫⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2c =，所以()0,2Q ． 【点睛】本题主要考查了线段的定比分点坐标公式，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题，着重考查了推理与运算能力． 11．（1）23；（2. 【解析】 【分析】（1）首先利用正弦定理边化角，再利用sin()sin 0A B C +=≠即可得到答案； （2）利用余弦定理和面积公式即可得到答案. 【详解】（1）(23)cos 2cos 0b c A a B -+=，所以2sin cos 3sin cos 2sin cos 0B A C A A B -+=， 所以2(sin cos sin cos )3sin cos A B B A C A +=，即2sin()3sin cos A B C A += 因为A B C π++=，所以sin()sin 0A B C +=≠，所以3cos 2A =，即2cos 3A =.（2）因为2cos 3A =，所以sin A =. 由余弦定理可得2222102cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-， 因为3,5a b c =+=，所以2210353bc =-，解得245bc =.故ABC ∆的面积为1124sin 225bc A =⨯=【点睛】本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大. 12．（1）611（2）75【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系式化弦为切，即可求解（1）（2）的值，得到答案． 【详解】（1）由题意，知tan 2α=，则4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+4tan 2422653tan 53211αα-⨯-===++⨯；（2）由22sin sin cos cos αααα++2222sin sin cos cos sin cos αααααα++=+ ＝22tan tan 1tan 1ααα+++＝75． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，以及同角三角函数基本关系式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．13．（1）A=23π；（2【解析】 【分析】（1）由正弦定理将角关系转化为变关系，再利用余弦定理得到答案. （2）利用余弦定理得到4bc =，代入面积公式得到答案. 【详解】解：（1）因为222sin sin sin sin sin .B C A B C +=-所以由正弦定理可得222.b c a bc +=-整理可得222.b c a bc +-=-左右同除以2bc 得到1cos 2A =-,即A=23π(2) 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得()22212b c bc b c bc =++=+-，故4bc =，所以三角形的面积1sin 2S bc A ==【点睛】本题考查了是正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力.14．（1）tan 24︒（2）2【解析】 【分析】（1）中可将“1”转化成tan 45，即可求解； （2）结合诱导公式化简，再结合和角公式化简 【详解】 （1）()1tan 21tan 45tan 21tan 4521tan 241tan 211tan 45tan 21--==-︒=︒++（2）()()sin347cos148sin 77cos58sin 347360cos 18032cos13sin32+=--+()()sin 13cos3213323213sin 45cos13sin32sin cos sin cos =-︒-︒+︒︒︒︒=︒=︒=︒+ 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，合理运用公式化简，熟悉基本的和差角公式和诱导公式是解题关键，属于中档题15．（1）7c =；（2）2. 【解析】 【分析】（1）由,,a b c 成等差数列，且公差为2，可得2b a c b -=-=，利用余弦定理可构造关于c 的方程，解方程求得结果；（2）设B θ=，利用外接圆面积为π，求得外接圆的半径R ．根据正弦定理，利用θ表示出三边，将周长表示为关于θ的函数()f θ，利用三角函数的值域求解方法求得最大值.【详解】（1）,,a b c 依次成等差数列，且公差为2 2b a c b ∴-=-=2b c ∴=-，4a c =- 23ACB π∠=，由余弦定理得： ()()()()2222224221cos 322242c c c a b c ab c c π-+--+-===---整理得：29140c c -+=，解得：7c =或2c = 又40a c =->，则4c >7c ∴=（2）设B θ=，外接圆的半径为R ，则2R ππ=，解得：1R = 由正弦定理可得：22sin sin sin a b cR A B C==== 22sin sinsin 33ba cππθθ∴===⎛⎫- ⎪⎝⎭可得：2sin b θ=，2sin 3a θπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，c =ABC ∆∴的周长()2sin 2sin 3f a b c πθθθ⎛⎫=++=+-+ ⎪⎝⎭2sin 2sincos 2cossin sin 2sin 333πππθθθθθθ⎛⎫=+-+=++=++ ⎪⎝⎭又πθ0,3 2333πππθ∴<+< ∴当32ππθ+=，即：6πθ=时，()fθ取得最大值2+【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形、三角形周长最值的求解.求解周长的最值的关键是能够将周长构造为关于角的函数，从而利用三角函数的知识来进行求解.考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16．（1）26.67；（2）X 甲X <乙，2S 甲2S >乙，X 甲=27.5，2S 甲=178.75【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积确定中位数所在区间，即可求解； （2）根据直方图特征即可判定X 甲X <乙，2S 甲2S >乙，根据平均数和方差的公式分别计算求值.【详解】（1）由甲高中频率分布直方图可得：第一组频率0.1，第二组频率0.2，第三组频率0.3，所以中位数在第三组，m 甲0.50.10.2201026.670.3--=+⨯≈；（2）根据两个频率分布直方图可得：X 甲X <乙，2S 甲2S >乙X 甲=50.1150.2250.3350.2450.15550.0527.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2S 甲=()()()()()()()2222221527.541527.582527.5123527.584527.565527.52178.7540⨯-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=【点睛】此题考查频率分布直方图，根据两组直方图特征判断中位数和方差的大小关系，求中位数，平均数和方差，关键在于熟练掌握相关数据的求法，准确计算得解.17．（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ. 【解析】 【分析】(1)本题可根据三角函数相关公式将sin 62b c a B π+⎛⎫+= ⎪⎝⎭化简为1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，然后根据()0,A π∈即可求出角A 的大小；(2)本题首先可设BC 的中点为D ，然后根据向量的平行四边形法则得到()224AB AC AD +=，再然后通过化简计算即可求得1b =，最后通过三角形面积公式即可得出结果． 【详解】(1)由正弦定理边角互换可得sin sin sin sin 62B C A B π+⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以1sin sin sin cos 22B C A B B ⎫++=⎪⎪⎝⎭. 因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以31sin sin cos cos sin sin sin cos 22B A B A BAB B ，sin sin cos sin sin cos cos sin A B A B B A B A B ，sin sin cos sin A B B A B ，整理得)sin cos 10B A A --=.因为()0,B π∈，所以sin 0B ≠，cos 10A A ，cos 2sin 16A A A π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.因为()0,A π∈，所以66A ππ-=，即3A π=．(2)设BC 的中点为D ，根据向量的平行四边形法则可知2AB AC AD += 所以()224AB ACAD +=，即2222cos 4AB AC AB AC A AD ++=，因为3AB c ==，3A π=，所以223313b b ++=，解得1b =（负值舍去）.所以1sin 2ABCSbc A ==【点睛】本题考查三角恒等变换公式及解三角形相关公式的应用，考查了向量的平行四边形法则以及向量的运算，考查了化归与转化思想，体现了综合性，是难题． 18．（1）1()sin(2)23f x x π=-，T π=；（2）4a =，2b =，或4a =-，1b =；（3）11(,)22-.【解析】 【分析】(1)由三角函数的恒等变换公式和正弦函数的周期的公式，即可求解；(2)由正弦函数的图象与性质，讨论a 的范围，得到,a b 的方程组，即可求得,a b 的值； （3）对n 讨论奇数和偶数，由参数分离和函数的最值，即可求得m 的范围. 【详解】(1)由题意，函数2()cos cos()64f x x x x π=-+-1cos sin )cos 2)2x x x x =+-11sin 2)cos 2sin(2)4423x x x π=-=- 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）由（1）知()1sin(2)23f x x π=-， 当[,]44x ππ∈-时，则52[,]366x πππ-∈-，所以111sin(2)2234x π-≤-≤， 即()1124f x -≤≤，令()t f x =，则11[,]24t ∈-，函数()()g x af x b =+，即()g x at b =+，11[,]24t ∈-，当0a >时，()g x 在11[,]24t ∈-为单调递增函数，可得1()02g -=且1()34g =，即102134a b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得4,2a b ==；当0a >时，()g x 在11[,]24t ∈-为单调递减函数，可得1()32g -=且1()04g =，即132104a b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得4,1a b =-=；综上可得4a =，2b =或4a =-，1b =； （3）由（2）可知，当[,]44x ππ∈-时，()1124f x -≤≤， 当n 为奇数时，()1(1)0n f x m ++-⋅>，即为()10f x m +->，即()1m f x <+恒成立，又由min 11[()1]122f x +=-+=，即12m <；当n 为偶数时，()1(1)0n f x m ++-⋅>，即为()10f x m ++>，即()1m f x >--恒成立，又由max 11[()1]122f x --=-=-，即12m >-；综上可得，实数m 满足1122m -<<，即实数m 取值范围11(,)22-.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解中熟练化简函数的解析式，合理应用三角函数的图象与性质，以及利用分类讨论和分离参数求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，分离参数，以及推理与运算能力，属于中档试题. 19．68S π=表，1403V π= 【解析】 【分析】由图形知旋转后的几何体是一个圆台,从上面挖去一个半球后剩余部分,根据图形中的数据可求出其表面积和体积. 【详解】由题意知,所求旋转体的表面积由三部分组成:圆台下底面、侧面和一个半球面， 而半球面的表面积1S 214282ππ=⨯⨯= ， 圆台的底面积22525S ππ=⨯=，圆台的侧面积()325535S ππ=+⨯=，所以所求几何体的表面积1238253568S S S S ππππ=++=++=；圆台的体积()()22221122554523V πππππ⎡⎤=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦，半球的体积3241162323V ππ=⨯⨯=， 所以,旋转体的体积为12161405233V V V πππ=-=-=， 故得解. 【点睛】本题考查组合体的表面积、体积,还考查了空间想象能力,能想象出旋转后的旋转体的构成是本题的关键，属于中档题.20．（1）见解析；（2）23【解析】 【分析】（1）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE ，DC 的方向向量，根据BE •DC ＝0，可得BE ⊥DC ；（2）由点E 为棱PC 的中点，且PA ⊥底面ABCD ，利用等体积法得P BDE V -． 【详解】（1）∵PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ∵2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点．∴B （1，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2），E （1，1，1） ∴BE ＝（0，1，1），DC ＝（2，0，0）,∵BE •DC ＝0，可得BE ⊥DC ；（2）由点E 为棱PC 的中点，且PA ⊥底面ABCD ，利用等体积法得11122263P BDE B PDE B PDC P BDC BDC V V V V S PA ----∆====⋅=.【点睛】本题考查了空间线面垂直的判定，利用了向量法，也考查了等体积法求体积，属于中档题．21．（1）43sin θ=AN ，()43sin 120θ︒=-AM ；（2）2==AN AM . 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，得到()sin 60sin sin 120θθ︒︒==-MN AN AM ，进而可求出结果；（2）由余弦定理，得到2222cos =+-⋅⋅∠AP AM MP AM MP AMP ，结合题中数据，得到()22016sin 215033θ︒=-+AP ， 2AP 取最大值时，噪声对居民影响最小，即可得出结果. 【详解】（1）因为AMN θ∠=，在AMN ∆中，由正弦定理可得：()sin 60sin sin 120θθ︒︒==-MN AN AM，所以43sin θ=AN ，()43sin 120θ︒=-AM ； （2）由题意60θ︒∠=+AMP ，由余弦定理可得： ()()()2222161632cos sin 1204sin 120cos 603θθθ︒︒=+-⋅⋅∠=-+--+AP AM MP AM MP AMP ()()()()()216163883sin 604sin 60cos 601cos 21204sin 212033θθθθθ︒︒︒︒⎡⎤=++-++=-++-+⎣⎦()()()82020163sin 2120cos 2120sin 21503333θθθ︒︒︒⎡⎤=-++++=-+⎣⎦， 又由（1）可得0120θ︒︒<<，所以()2150150,390θ︒︒︒+∈，当且仅当2150270θ︒︒+=，即60θ︒=时，2AP 取得最大值，工厂产生的噪声对居民影响最小，此时2==AN AM .【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型. 22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）13． 【解析】试题分析：（Ⅰ）只需证明PO AD ⊥，又由面面垂直的性质定理知PO ⊥平面ABCD ； （Ⅱ）连接AC 、BO ，假设存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为，设QD x =，由P DQC Q PCD V V --=，求得x 的值即可．试题解析：（Ⅰ）证明：在PAD ∆中PA PD =，O 为AD 中点，所以PO AD ⊥． 又侧面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD ． （Ⅱ）连接AC 、BO假设存在点Q ，使得它到平面PCD 的距离为．设QD x =，则12DQC S x ∆=因为//BC AD ，O 为AD 的中点，2AD BC = 所以//BC OD ，且BC OD = 所以CD OB =因为AB AD ⊥，且1AB AO == 所以222CD OB AB AO ==+在Rt POC ∆中，2PC =所以2PC CD DP ===所以233(2)42PCD S ∆=⨯=由P DQC Q PCD V V --=，即111331323x ⋅⋅= 解得32x =所以存在点Q 满足题意，此时13AQ QD =． 考点：1．平面与平面垂直的性质；2．几何体的体积． 23．（1）3x =或512450x y -+=．（2）34a =- 【解析】 【分析】(1)分切线的斜率不存在与存在两种情况分析.当斜率存在时设方程为5(3)y k x -=-,再根据圆心到直线的距离等于半径求解k 即可.(2)利用垂径定理根据圆心到直线的距离列出等式求解即可. 【详解】解：（1）由题意知圆心的坐标为()1,2,半径2r,当过点M 的直线的斜率不存在时,方程为3x =．由圆心()1,2到直线3x =的距离312r -==知,此时,直线与圆相切． 当过点M 的直线的斜率存在时,设方程为5(3)y k x -=-, 即530kx y k -+-=2=,解得512k =,∴方程为512450x y -+=． 故过点M 的圆的切线方程为3x =或512450x y -+=．（2）∵圆心到直线40axy +﹣＝=∴224+=,解得34a =-．【点睛】本题主要考查了直线与圆相切与相交时的求解.注意直线过定点时分析斜率不存在与存在两种情况.直线与圆相切用圆心到直线的距离等于半径列式,直线与圆相交用垂径定理列式.属于中档题. 24． (1) 30B =︒．(2) 【解析】 【分析】（1）先利用正弦定理角化边，然后根据余弦定理求角；（2）利用余弦定理以及基本不等式求解最值，注意取等号的条件. 【详解】解：（1）由正弦定理得222a c b +=， 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，∴cos 2B =．又∵0180B ︒<<︒，∴30B =︒． （2）由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=，即()22422a c ac ac+--=，化简得())242a c ac +-=，())()22424a c a c ++-≤⨯，即()(2162a c +≤+， 当且仅当a c =时，取等号．∴()max a c += 【点睛】在三角形中，已知一角及其对边，求解周长或者面积的最值的方法：未给定三角形形状时，直接利用余弦定理和基本不等式求解最值；给定三角形形状时，先求解角的范围，然后根据正弦定理进行转化求解.25．（1）3A π=；（2）9+【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角互化思想，结合两角和的正弦公式可计算出sin A 的值，结合A 为锐角，可得出角A 的值；（2）利用三角形的面积公式可求出20bc =，利用余弦定理得出9b c +=，由此可得出ABC ∆的周长. 【详解】（1）依据题设条件的特点，由正弦定理，得2sin cos cos sin B C B C A +=，有()2sin B C A +=，从而()2sin sin B C A A +==，解得sin 2A =，A 为锐角，因此，3A π=；（2）1sin 2ABCSbc A ==，故20bc =， 由余弦定理2222cos 21a b c bc A =+-=，即()222212b c bc b c bc bc =+-=+--，()22132132081b c bc ∴+=+=+⨯=，9b c ∴+=，故ABC ∆的周长为9a b c ++= 【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查余弦定理和三角形面积公式解三角形，要熟悉正弦定理和余弦定理解三角形所适用的基本类型，同时在解题时充分利用边角互化思想，可以简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.26． (1) ()2sin(2)6f x x π=-;(2) 2⎡⎤⎣⎦. 【解析】 试题分析：（1）依题意，2,,A T π==则2ω=，将点,23π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入函数的解析式可得()26k k Z πϕπ=-∈，故=6πϕ-，函数解析式为()226f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（2）由题意可得22363x πππ-≤-≤， 结合三角函数的性质可得函数()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦. 试题解析：（1）依题意，22,4,2312A T ππππωω⎛⎫==-=== ⎪⎝⎭， 故()()22f x sin x ϕ=+.将点,23π⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入函数的解析式可得213sin πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭， 则()26k k Z πϕπ=-∈，πϕ<又，故=6πϕ-，故函数解析式为()226f x sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. （2）当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22363x πππ-≤-≤ ，则216sin x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，2226sin x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦.点睛：求函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)在区间[a ，b]上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式或y ＝Acos(ωx ＋φ)＋k 的形式． 第二步：由x 的取值范围确定ωx ＋φ的取值范围，再确定sin(ωx ＋φ)(或cos(ωx ＋φ))的取值范围． 第三步：求出所求函数的值域(或最值)． 27．（1）21n a n =- （2）()10,2a ∈【解析】 【分析】（1）设出{}n a 的通项公式，根据14n n a a n ++=计算出对应的首项和公差，即可求解出通项公式； （2）根据条件得到24n na a +-=，得到{}n a 的奇数项成等差数列，{}n a 的偶数项也成等差数列，根据{}n a 单调递增列出关于1a 的不等式，求解出范围即可. 【详解】（1）设()11n a a n d +-=，所以()112214n n a a a n d n ++=+-=，所以12024a d d -=⎧⎨=⎩，所以112a d =⎧⎨=⎩，所以21n a n =-；（2）因为14n n a a n ++=，所以2144n n a a n +++=+，所以24n n a a +-=，又因为124a a +=，所以214a a =-，当n 为奇数时，11114222n n a a n a +⎛⎫=+-⋅=-+⎪⎝⎭， 当n 为偶数时，221142422n n a a n a n a ⎛⎫=+-⋅=-+=-⎪⎝⎭， 因为{}n a 单调递增，所以21221k k k a a a -+<<，所以1114a a a -<-<，所以()10,2a ∈.【点睛】本题考查等差数列的基本量求解以及根据数列的单调性求解参数范围，难度一般.(1)已知数列的类型和数列的递推公式求解数列通项公式时，可采用设出数列通项公式的形式，然后根据递推关系求解出数列通项公式中的基本量；(2)数列的单调性可通过1n a +与n a 的大小关系来判断.28． (1) 330y -+=； (2) +0y =；2【解析】 【分析】（1）根据已知求得1l 的斜率，由点斜式求出直线1l 的方程.（2）根据已知求得2l 的斜率，由点斜式写出直线2l 的方程，联立12,l l 的方程，求得两条直线交点的坐标，再由三角形面积公式求得三角形面积. 【详解】解：（1）∵1l ∥l ，∴直线1l 又直线1l 过点()0,1，∴直线1l 的方程为13y x =+330y -+=（2）∵2l l ⊥，∴直线2l 的斜率是又直线2l 过点(2,0)A ，∴直线2l 的方程为)2y x =-+0y =。

专题7解三角形一、解答题1．（2022·全国·高考真题（理））记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A ．(1)证明：2222a b c ；(2)若255,cos 31a A ，求ABC 的周长．【答案】(1)见解析(2)14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c ，即可得解.(1)证明：因为 sin sin sin sin C A B B C A ，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C ，所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab，即22222222222a c b a b c b c a ，所以2222a b c ；(2)解：因为255,cos 31a A，由（1）得2250b c ，由余弦定理可得2222cos a b c bc A ，则50502531bc ，所以312bc，故 2222503181b c b c bc ，所以9b c ，所以ABC 的周长为14a b c .2．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos 2A B A B．(1)若23C ，求B ；(2)求222a b c 的最小值．【答案】(1)π6；(2)5．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos 2A B A B 化成 cos sin A B B ，再结合π02B ，即可求出；（2）由（1）知，π2C B ，π22A B ，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c 化成2224cos 5cos B B ，然后利用基本不等式即可解出．(1)因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B ，即 1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC ，而π02B ，所以π6B ；(2)由（1）知，sin cos 0BC ，所以πππ,022C B ，而πsin cos sin 2B C C，所以π2C B ，即有π22A B ．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B B c C B2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B B B BB ．当且仅当22cos 2B 时取等号，所以222a b c的最小值为5．3．（2022·浙江·高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．已知34,cos 5a C ．(1)求sin A 的值；(2)若11b ，求ABC 的面积．【答案】(2)22．【解析】【分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab以及4a 可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C 求出面积．(1)由于3cos 5C ，0πC ，则4sin 5C．因为4a ，由正弦定理知4sin A C，则sin 45A C ．(2)因为4a ，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a a abc C ab a a ，即26550a a ，解得5a ，而4sin 5C ，11b ，所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ．4．（2022·北京·高考真题）在ABC 中，sin 2C C．(1)求C ；(2)若6b ，且ABC 的面积为ABC 的周长．【答案】(1)6 (2)6+【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.(1)解：因为 0,C ，则sin 0C2sin cos C C C ，可得cos 2C ，因此，6C .(2)解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a，解得a .由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C ，c所以，ABC 的周长为6a b c .5．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin A C，求b ．【答案】(2)12【解析】【分析】（1）先表示出123,,S S S ，再由123S S S2222a c b ，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b ac B A C，即可求解.(1)由题意得22221231,,2S a S S，则222123S S S a b c 即2222a c b ，由余弦定理得222cos 2a c b B ac ，整理得cos 1ac B ，则cos 0B ，又1sin 3B ，则22cos 3B ，1cos 4ac B ，则12sin 28ABC S ac B ；(2)由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C，则229sin sin sin sin sin 423b a c ac B A C A C ，则3sin 2b B ，31sin 22b B .6．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知 sin sin sin sin C A B B C A ．(1)若2A B ，求C ；(2)证明：2222a b c 【答案】(1)5π8；(2)证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得， sin sin C C A ，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得 sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A ，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．(1)由2A B ， sin sin sin sin C A B B C A 可得， sin sin sin sin C B B C A ，而π02B ，所以 sin 0,1B ，即有 sin sin 0C C A ，而0π,0πC C A ，显然C C A ，所以，πC C A ，而2A B ，πA B C ，所以5π8C．(2)由 sin sin sin sin C A B B C A 可得，sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A ，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C ，然后根据余弦定理可知，22222222222211112222a cb bc a b c a a b c ，化简得：2222a b c ，故原等式成立．7．（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB m ，15AD m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.(1)若∠ADE 20 ，求EF 的长；(2)当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m²）【答案】(1)23.3m(2)当8.7AE 时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.14【解析】【分析】（1）设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ，15DH AD ，在直角HED △和直角FHD △中分别求出,EH HF ,从而得出答案.（2）先求出梯形AEFD 的面积的最小值，从而得出梯形FEBC 的面积的最大值.(1)设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ，15DH AD 则AE EH ，所以直角ADE 与直角HED △全等所以20ADE HDE在直角HED △中，tan 2015tan 20EH DH90250HDF ADE在直角FHD △中，tan 5015tan 50HF ADsin 20sin 5015tan 20tan 5015cos 20cos50EF EH HFsin 2050sin 20cos50cos 20sin 501515cos 20cos50cos 20cos50sin 70151523.3cos 20cos50cos50(2)设ADE ,902HDF ，则15tan AE ，15tan 902FH 115151515tan 15tan 90215tan 222tan 2EFD S EF DHV 11515tan 22ADE S AD AE V 所以梯形AEFD 的面积为215152251tan 30tan 2tan 2tan 222tan ADE DEF S S S22512253tan 4tan 42当且当13tan tan ，即tan 时取得等号，此时15tan 158.73AE即当tan 3 时，梯形AEFD 的面积取得最小值2则此时梯形FEBC 的面积有最大值1530255.142所以当8.7AE 时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.148．（2022·全国·模拟预测）在 ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，且 sin sin sin 6b a b c A B C S .(1)求角B 的大小；(2)若1a b ，2c b ，求cos A ，cos C 的值.【答案】(1)3(2)17，1114【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式结合正弦余弦定理化简即可得到答案;（2）由余弦定理计算即可.(1)由in 12s S ab C ，又 sin sin sin 3sin b a b c A B C ab C ，由0b ，则 sin sin sin 3sin a b c A B C a C .由正弦定理得 3a b c a b c ac ，所以222a c b ac .由余弦定理得2221cos 222a cb ac B ac ac ，因为0B ，所以3B .(2)因为222a c b ac ，1a b ，2c b ，所以 2221212b b b b b ，解得7b ，所以8a ，5c .所以2222227581cos 2707b c a A bc ，22222287511cos 211214a b c C ab .9．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A B C ，，的对边长分别为a b c ，，，ABC 的面积为S ，且24cos cos tan S a B ab A B．(1)求角B 的大小；(2)若322AB BC ，，点D 在边AC 上，______，求BD 的长．请在①AD DC ；②DBC DBA ；③BD AC 这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)π3B (2)答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）根据面积公式可得2cos cos cos c B a B b A ，利用正弦定理以及和角关系可得1cos 2B ，进而可求.（2）根据余弦定理可求出AC ，然后在ABD △和在DBC △中分别用余弦定理即可求①.根据面积公式即可求解②③.(1)因为24cos cos tan S a B ab A B ，所以214sin 2cos cos sin cos ac B a B ab A B B，所以22cos cos cos ac B a B ab A ，即2cos cos cos c B a B b A ．由正弦定理，得2sin cos sin cos sin cos C B A B B A ，所以 2sin cos sin sin C B A B C ．因为 0,πC ，所以sin 0C ，所以1cos 2B．又 0,πB ，所以π3B．(2)若选①．法一：在ABC 中，由余弦定理，得2222233π132cos 222cos 2234AC AB BC AB BC B ，所以ACAD DC 在ABD △中，由余弦定理，得2222cos AB BD DA BD DA ADB ，即2134cos 16BD BD ADB ．在DBC △中，由余弦定理，得2222cos BC BD DC BD DC CDB ，即2913cos 416BD CDB ．又πADB CDB ，所以cos cos 0ADB CDB ．所以29134248BD ，所以374BD ．法二：因为AD DC ，所以D 为AC 的中点，所以 12BD BA BC ，所以222124BD BA BC BA BC 19337422cos6044216．所以BD BD 若选②．在ABC 中，ABC ABD CBD S S S ，即1π1π1πsin sin sin 232626BA BC BA BD BD BC ，即1311131222222222BD BD ，解得BD 若选③．在ABC 中，由余弦定理，得2222cos AC AB BC AB BC B2233π13222cos 2234 ，所以AC ．因为1sin 2ABC S BA BC B △12ABC S BD AC △，BD 10．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2cos tan sin C A B C ，a b ．(1)求角B ；(2)若3a ，7b ，D 为AC 边的中点，求BCD △的面积．【答案】(1)23B (2)1538【解析】【分析】（1）根据同角三角函数的关系，结合两角和差的正余弦公式化简即可（2）由余弦定理可得5c ，再根据BCD △的面积为ABC 面积的一半，结合三角形的面积公式求解即可(1)由cos 2cos tan sin C A B C，有tan sin cos 2cos B C C A ，两边同乘cos B 得sin sin cos cos 2cos cos B C B C A B ，故 cos 2cos cos B C A B ，即cos 2cos cos A A B ．因为a b ，所以A 为锐角，cos 0A ，所以1cos 2B ．又因为 0,B ，所以23B ．(2)在ABC 中，由余弦定理2221cos 22a c b B ac ，即2949162c c ，故23400c c ，解得5c 或8c 舍）．故11235sin 223BCD ABC S S △△11．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos c b a C ．(1)求角A ；(2)若M 为BC 的中点，AM ABC 面积的最大值．【答案】(1)π3A 【解析】【分析】（1）解法一：根据正弦定理边化角求解即可；解法二：利用余弦定理将cos C 用边表示再化简即可；（2）解法一：根据基底向量的方法得1()2AM AB AC ，两边平方化简后可得2212b c bc ，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可；解法二：设BM MC m ，再分别在ABM ，ACM △和ABC 中用余弦定理，结合cos cos 0AMB AMC 可得2212b c bc ，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可(1)解法一：因为22cos c b a C ，由正弦定理得：sin 2sin 2sin cos C B A C ，所以sin 2sin()2sin cos C A C A C 2sin cos 2cos sin 2sin cos 2cos sin A C A C A C A C ，因为sin 0C ，所以12cos 1,cos 2A A，为0πA ，所以π3A ．解法二：因为22cos c b a C ，由余弦定理得：222222a b c c b a ab，整理得222bc b c a ，即222a b c bc ，又由余弦定理得2222cos a b c bc A所以12cos 1,cos 2A A，因为0πA ，所以π3A ．(2)解法一：因为M 为BC 的中点，所以1()2AM AB AC ，所以222124AM AB AB AC AC ，即22132cos 43c b bc ，即2212b c bc ，而222b c bc ，所以122bc bc 即4bc ，当且仅当2b c 时等号成立所以ABC 的面积为113sin 4222ABC S bc A △即ABC 解法二：设BM MC m ，在ABM 中，由余弦定理得2232cos c m AMB ，①在ACM △中，由余弦定理得2232cos b m AMC ，②因为πAMB AMC ，所以cos cos 0AMB AMC 所以①+②式得22262b c m ．③在ABC 中，由余弦定理得22242cos m b c bc A ，而π3A ，所以2224m b c bc ，④联立③④得：22222212b c b c bc ，即2212b c bc ，而222b c bc ，所以122bc bc ，即4bc ，当且仅当2b c 时等号成立．所以ABC 的面积为11sin 4222ABC S bc A △ABC 12．（2022·北京市第十二中学三模）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos sin a B A .(1)求角B 的大小；(2)从以下4个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求ABC 的面积.条件①：3a ；条件②：b ；条件③：2cos 3C ；条件④：2c .【答案】(1)6B(2)答案不唯一，见解析【解析】【分析】（1）由正弦定理化简可得出tan B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）选①②，利用余弦定理可判断ABC 不唯一；选①③或②③或③④，利用三角形的内角和定理可判断ABC 唯一，利用正弦定理结合三角形的面积可判断ABC 的面积；选①④，直接判断ABC 唯一，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积；选②④，利用余弦定理可判断ABC 唯一，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积.(1)解：由cos sin a B A 及正弦定理可得sin cos sin A B A B ，A ∵、 0,B ，则sin 0A ，cos 0 B B ，tanB 6B .(2)解：若选①②，由余弦定理可得2222cos b a c ac B ，即210c ，解得 c ，此时，ABC 不唯一；若选①③，已知3a ，6B，21cos 32C ，且 0,C ，则25,36C ，所以，5,6B C，则ABC 唯一，sin C， sin sin sin cos cos sin 66A C B C C由正弦定理sin sin b a B A 可得 92sin sin 11a B b A，所以， 9211sin 32211ABC S ab C △；若选①④，已知3a ，6B，2c ，此时ABC 唯一，1322sin ABC S ac B；若选②③，已知b 6B ，21cos 32C，且 0,C ，则25,36C ，所以，5,6B C，则ABC 唯一，sin C， sin sin sin cos cos sin 66A CBC C 由正弦定理sin sin b c B C 可得sin 410sin 3b C c B ，所以，120385sin 29ABC S bc A △；若选②④，已知b 6B，2c ，由余弦定理可得2222cos b a c ac B ，可得240a ，0a ∵，解得a ABC 唯一，1sin2ABC S ac B △若选③④，已知6B ，2c ，231cos 322C，且 0,C ，则25,36C ，所以，5,6B C，则ABC 唯一，5sin 3C， 152sin sin sin cos cos sin 666A CBC C ，由正弦定理sin sin b c B C 可得sin sin 5c B b C ，1sin 210ABC S bc A △.13．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos (cos )sin .232B BC C (1)当π3B，求sin sin C A 的值(2)求B 的最大值.【答案】(1)sin C +sin A =1(2)2π3【解析】【分析】（1）代入π3B ，解得313sin cos 223C C ，对sin sin C A 变形得到1sin sin sin cos 12C A C C ，求出答案；（2）对题干条件两边同乘以2cos2B ，变形得到sin sin sin C A B ，利用正弦定理得到a c ，利用余弦定理和基本不等式求出B 的最大值.(1)由题意得：ππsin coscos )sin 66C C ，1cos 2C C则π31sin sin sin sin sin cos sin cos 1322C A C C C C C C(2)sin cos cos )sin 22B B C C ，两边同乘以2cos 2B 得：22sin cos cos )2sin cos 222B B B C C ，即 sin 1cos cos )sin C B C B ，整理得：sin sin sin C A B ，由正弦定理得：3a cb ，由余弦定理得： 2222222cos 1226ac b ac a c b b B ac ac ac，因为 22143a c acb ，当且仅当ac 时等号成立，此时21cos 162b B ac ，由于 0,πB ，而cos y x 在 0,π上单调递减，故B 的最大值为2π314．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222ab a b c ．(1)求角C ；(2)若△ABC 的面积534S ，且c △ABC 的周长．【答案】(1)π3(2)6【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得cos C 的值，进而求得角C 的值；（2）依据题给条件得到关于a b ，的方程组，求得+a b 的值，进而求得△ABC 的周长．(1)因为222ab a b c ，由余弦定理，得到2221cos 22a b c C ab ，又0πC ，所以π3C ；(2)因为△ABC 的面积4S ，且c π3C所以有221sin 212S ab C ab a b ，联立22526ab a b ，则6a b ，所以△ABC 的周长为6a b c 15．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan tan tan 0B C B C ．(1)求角A 的大小；(2)若2B D D C ，2AD ，且AD 平分BAC ，求ABC 的面积．【答案】(1)60A (2)332【解析】【分析】（1）由两角和的正切公式化简后求解（2）由AD 是角平分线得到2c b ，再利用面积公式求解(1)tan tantan tan tan tan 0tan()1tan tan B C B C B C B C B C故tan A 60A ；(2)设BC 边的高为h ，所以11sin 22ABD S AB AD BAD BD h ，11sin 22ABC S AC AD DAC CD h 又AD 是角平分线，所以BAD DAC所以AB BD AC DC，即2c b ，又ABC ABD ACD S S S ，则111sin 602sin 302sin 30222bc c b ，解得b c ，133sin 6022ABC S bc △．16．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，3a ，2b ，sin A m ．(1)若ABC 唯一确定，求m 的值；(2)设I 是ABC 的内切圆圆心，r 是ABC 内切圆半径，证明：当21c r 时，IC IA IB ．【答案】(1)1(2)证明见解析【解析】【分析】（1）若01m ，根据sin A m ，b a ，可知A 可以为锐角，也可以为钝角，ABC 有两种情况，若1m ，则三角形为直角三角形，ABC 有唯一解.（2）由21c r 可推导出ABC 为直角三角形，故可计算出,,IC IA IB 的值，即得证.(1)设AB 边上的高为c h ，则sin 20c h b A m ．当1m 时，由勾股定理，若A 为锐角，则c A 为钝角，则c ABC 存在两种情况，不能被唯一确定．当1m 时，ABC 为直角三角形，其中A 为直角顶点，c 可以唯一确定，即ABC 唯一确定，故m 的值为1．(2)当21c r 时，由余弦定理，22223cos 23a b c r r C ab ，故由同角三角函数的关系可得sin C所以ABC 的面积1sin 2S ab C另一方面， 132S a b c r r r3r r ，两边平方可得 213r r r r ，解得r ，21c r ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．因此有222112922IC，IC22211322IA 2IA ；22211322IB ，IB 所以有IC IA IB 成立．17．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知在三角形ABC 中，2a b ，三角形的面积12S ．(1)若4b ，求 tan A B ；(2)若3sin 5C ，求sin sin A B ，．【答案】(1)(2)25sin 5A ，sin B 或6205sin 205A ，sin B 【解析】【分析】（1）根据面积公式及4b ，得到3sin 4C ，分C 为锐角和C 为钝角时，求出cos C ，进而求出tan C ，求出 tan A B ；（2）由面积公式求出b a ，分C 为锐角和C 为钝角，由余弦定理和正弦定理求出答案.(1)∵2113sin 2sin 16sin 12sin 224S ab C b C C C 而sin tan()tan(π)tan cos CA B C C C分情况讨论，当C 为锐角时，cos 0cos C C∴tan()A B当C 为钝角时，cos 0cos C Ctan()A B (2)22113sin 2sin 12225S ab C b C b ,因为0b ，所以b a分情况讨论，当C 为锐角时，4cos 0cos 5C C由余弦定理，222cos 366c a b ab C c由正弦定理，10sin sin sin sin sin sin 5a b c A A B C A B ，sin 5B当C 为钝角时，4cos 0cos 5C C ，由余弦定理，222cos 164c a b ab C c由正弦定理，sin sin sin sin a b c A A B C，sin B 18．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c，已知cos sin B b C ．(1)求C 的大小；(2)若ABC为锐角三角形且c 22a b 的取值范围．【答案】(1)3C(2)(5,6]【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再分析求解即可；（2）22224sin 4sin 3a b A A，再利用三角函数求值域即可.(1)cos sin B b C及正弦定理可得sin sin sin )B C B C A B Ccos sin B C B C ，所以sin sin cos B C B C ，因为B 、(0,)C ，则sin 0Bsin 0C C，则tan C 3C．(2)依题意，ABC为锐角三角形且c2sin sin sin a b c A B C ，所以2sin a A ，2sin 2sin()2sin 3b B A C A，所以222221cos 21cos 234sin 4sin 44322A A a b A A142cos 2222cos 222c 2cos 2222os 23A A A A A2c 42co os 242sin 246s 2cos 2sin 2A A A A A A，由于23A B ，所以022032A A，解得62A ，所以23A ，52666A ，所以푠� 2�∈12,1，所以2sin 2(1,2]6A ，所以2sin 24(5,6]6A．所以22a b 的取值范围是(5,6]．19．（2022·辽宁实验中学模拟预测）在① sin sin sin sin A C a b c B C ，② 2222cos 2a b c a c B a，③ sin cos 6a B C B b这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且__________．(1)求B(2)若b ABC 的平分线交AC 于点D ，且5BD，求ABC 的面积．【答案】(1)=3B【解析】【分析】（1）若选条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；若选条件②，先用余弦定理将边转化为角的关系，再利用正弦定理即可；若选条件③，先用三角形的内角之和为 ，再利用正弦定理即可；（2）利用角平分线的性质得到ABC ABD BCD S S S △△△，结合余弦定理和三角形的面积公式即可(1)选择条件①：根据正弦定理，可得：a c abc b c 可得：222a c b ac 根据余弦定理，可得：2221cos 22a cb B ac 0,,=3B B 选择条件②：根据余弦定理，可得：2cos (2)cos =cos 2abC a c B b C a根据正弦定理，可得：(2sin sin )cos sin cos A C B B C整理可得：2sin cos sin()sin A B B C A可得：1cos 2B 0,,=3B B选择条件③：易知：A B C可得：sin cos()6a A B b根据正弦定理，可得：sin sin cos(sin 6A A B B可得：1sin cos()sin 62B B B B整理可得：tan B 0,,=3B B(2)根据题意，可得：ABC ABD BCDS S S △△△可得：1143143sin sin sin 23256256ac a 整理可得：54a c ac 根据余弦定理，可得：2222cosb ac ac ABC可得：2213=a c ac ，即2()313a c ac 可得：225()482080ac ac 解得：4ac 或5225ac （舍）故1=sin 23ABC S ac △20．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且5sin sin 35cos cos cos 2B C B C A ．(1)求角A 的大小；(2)若a 2bc 的最大值．【答案】(1)3A (2)【解析】【分析】（1）利用两角和的余弦公式、二倍角的余弦公式可得出关于cos A 的方程，结合1cos 1A 可求得cos A 的值，再结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）由正弦定理结合三角恒等变换化简得出 2b c B ，结合正弦型函数的有界性可求得2b c 的最大值.(1)解：由已知可得 cos 25cos cos sin sin cos 25cos A B C B C A B C 2cos 25cos 2cos 5cos 13A A A A ，即22cos 5cos 20A A ，0A ∵，则1cos 1A ，解得1cos 2A ，因此，3A .(2)解：由正弦定理可得2sin sin sin b c aBC A，所以， 24sin 2sin 4sin 2sin 4sin 2sin 3b c B C B B A B B 4sin sin 5sin B B B B B B，其中 为锐角，且tan，因为3A ，则203B ，23B ，所以，当2B 时，即当2B 时，2b c 取得最大值。

江苏省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．若A∩B={1}, 则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i）, 其中i是虚数单位, 则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品, 产量分别为200, 400, 300, 100件．为检验产品的质量, 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验, 则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为, 则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图, 在圆柱O1O2内有一个球O, 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切, 记圆柱O1O2的体积为V1, 球O的体积为V2, 则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中, 双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P, Q, 其焦点是F1, F2, 则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数, 其前n项为S n, 已知S3=, S6=, 则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨, 每次购买x吨, 运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则x的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣, 其中e是自然对数的底数．若f （a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图, 在同一个平面内, 向量, , 的模分别为1, 1, , 与的夹角为α, 且tanα=7, 与的夹角为45°．若=m+n（m, n ∈R）, 则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中, A（﹣12, 0）, B（0, 6）, 点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20, 则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f （x）=, 其中集合D={x|x=, n∈N*}, 则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图, 在三棱锥A﹣BCD中, AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD, BD上, 且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）, x∈[0, π]．（1）若∥, 求x的值；（2）记f（x）=, 求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1, F2, 离心率为, 两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上, 且位于第一象限, 过点F1作直线PF1的垂线l1, 过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1, l2的交点Q在椭圆E上, 求点P的坐标．18．（16分）如图, 水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm, 容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm, 容器Ⅱ的两底面对角线EG, E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水, 水深均为12cm．现有一根玻璃棒l, 其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中, l的一端置于点A处, 另一端置于侧棱CC1上, 求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中, l 的一端置于点E 处, 另一端置于侧棱GG 1上, 求l 没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k, 若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立, 则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”, 又是“P （3）数列”, 证明：{a n }是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值, 且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式, 并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣, 求a的取值范围．二.非选择题, 附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图, AB为半圆O的直径, 直线PC切半圆O于点C, AP⊥PC, P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=, B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2, 求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中, 已知直线l的参数方程为（t为参数）, 曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点, 求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a, b, c, d为实数, 且a2+b2=4, c2+d2=16, 证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图, 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中, AA1⊥平面ABCD, 且AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球, n个黑球（m, n∈N*, n≥2）, 这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出, 并放入如图所示的编号为1, 2, 3, …, m+n的抽屉内, 其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1, 2, 3, …, m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数, E（X）是X的数学期望, 证明E（X）＜．江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）（2020•江苏）已知集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．若A∩B={1}, 则实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1, 2}, B={a, a2+3}．A∩B={1},∴a=1或a2+3=1,解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）（2020•江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i）, 其中i是虚数单位, 则z 的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i,∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题．3．（5分）（2020•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品, 产量分别为200, 400, 300, 100件．为检验产品的质量, 现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验, 则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为, 再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件, 而抽取60辆进行检验, 抽样比例为=,则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件,故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致, 按照一定的比例, 即样本容量和总体容量的比值, 在各层中进行抽取．4．（5分）（2020•江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为, 则输出y 的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=, 不满足x≥1,所以y=2+log2=2﹣=﹣2,故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图, 模拟程序是解决此类问题的常用方法, 注意解题方法的积累, 属于基础题．5．（5分）（2020•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1,解得tanα=,故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式, 属于基础题6．（5分）（2020•江苏）如图, 在圆柱O1O2内有一个球O, 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切, 记圆柱O1O2的体积为V1, 球O的体积为V2, 则的值是．【分析】设出球的半径, 求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R, 则球的体积为：R3,圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法, 考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）（2020•江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域, 结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0, 得﹣2≤x≤3,则D=[﹣2, 3],则在区间[﹣4, 5]上随机取一个数x, 则x∈D的概率P==,故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算, 结合函数的定义域求出D, 以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, 双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P, Q, 其焦点是F1, F2, 则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程, 得到P, Q坐标, 求出焦点坐标, 然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=, 双曲线渐近线方程为：y=x, 所以P（, ）, Q（, ﹣）, F1（﹣2, 0）．F2（2, 0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用, 考查计算能力．9．（5分）（2020•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数, 其前n项为S n, 已知S3=, S6=, 则a8=32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1, S3=, S6=, 可得=,=, 联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1,∵S3=, S6=, ∴=, =,解得a1=, q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．10．（5分）（2020•江苏）某公司一年购买某种货物600吨, 每次购买x吨, 运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则x的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x, 利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用, 考查了推理能力与计算能力, 属于基础题．11．（5分）（2020•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣, 其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1, ] ．【分析】求出f（x）的导数, 由基本不等式和二次函数的性质, 可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义, 可得f（x）为奇函数, 原不等式即为2a2≤1﹣a, 运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0,可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0,可得f（x）为奇函数,则f（a﹣1）+f（2a2）≤0,即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a）,即有2a2≤1﹣a,解得﹣1≤a≤,故答案为：[﹣1, ]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用, 注意运用导数和定义法, 考查转化思想的运用和二次不等式的解法, 考查运算能力, 属于中档题．12．（5分）（2020•江苏）如图, 在同一个平面内, 向量, , 的模分别为1, 1, , 与的夹角为α, 且tanα=7, 与的夹角为45°．若=m+n（m, n∈R）, 则m+n=3．【分析】如图所示, 建立直角坐标系．A（1, 0）．由与的夹角为α, 且tanα=7．可得cosα=, sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin （α+45°）=．B．利用=m+n（m, n∈R）, 即可得出．【解答】解：如图所示, 建立直角坐标系．A（1, 0）．由与的夹角为α, 且tanα=7．∴cosα=, sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m, n∈R）,∴=m﹣n, =0+n,解得n=, m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．13．（5分）（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, A（﹣12, 0）, B（0, 6）, 点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20, 则点P的横坐标的取值范围是[﹣5, 1] ．【分析】根据题意, 设P（x0, y0）, 由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0, 分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域, 联立直线与圆的方程可得交点的横坐标, 结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意, 设P（x0, y0）, 则有x02+y02=50,=（﹣12﹣x0, ﹣y0）•（﹣x0, 6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20,化为：12x0﹣6y0+30≤0,即2x0﹣y0+5≤0, 表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域,联立, 解可得x0=﹣5或x0=1,结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5, 1],故答案为：[﹣5, 1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系, 关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．14．（5分）（2020•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f（x）=, 其中集合D={x|x=, n∈N*}, 则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数, 在区间[0, 1）上, f （x）=, 其中集合D={x|x=, n∈N*}, 分析f（x）的图象与y=lgx 图象交点的个数, 进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0, 1）上, f（x）=,第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数,又f（x）是定义在R上且周期为1的函数,∴在区间[1, 2）上, f（x）=, 此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2, 3）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3, 4）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4, 5）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5, 6）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6, 7）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7, 8）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8, 9）上, f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9, +∞）上, f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8,故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断, 函数的图象和性质, 转化思想, 难度中档．二.解答题15．（14分）（2020•江苏）如图, 在三棱锥A﹣BCD中, AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD, BD上, 且EF ⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G, 连结FG、EG使得FG∥BC, 则EG∥AC, 利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD, 结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG, 从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD, EF⊥AD, 且A、B、E、F四点共面,所以AB∥EF,又因为EF⊊平面ABC, AB⊆平面ABC,所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G, 连结FG、EG使得FG∥BC, 则EG∥AC,因为BC⊥BD, 所以FG∥BC,又因为平面ABD⊥平面BCD,所以FG⊥平面ABD, 所以FG⊥AD,又因为AD⊥EF, 且EF∩FG=F,所以AD⊥平面EFG, 所以AD⊥EG,故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定, 考查空间想象能力, 考查转化思想, 涉及线面平行判定定理, 线面垂直的性质及判定定理, 注意解题方法的积累, 属于中档题．16．（14分）（2020•江苏）已知向量=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）, x∈[0, π]．（1）若∥, 求x的值；（2）记f（x）=, 求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣, 问题得以解决,（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx, sinx）, =（3, ﹣）, ∥,∴﹣cosx=3sinx,∴tanx=﹣,∵x∈[0, π],∴x=,（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+）,∵x∈[0, π],∴x+∈[, ],∴﹣1≤cos（x+）≤,当x=0时, f（x）有最大值, 最大值3,当x=时, f（x）有最小值, 最大值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质, 属于基础题17．（14分）（2020•江苏）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1, F2, 离心率为, 两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上, 且位于第一象限, 过点F1作直线PF1的垂线l1, 过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1, l2的交点Q在椭圆E上, 求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c, 由椭圆的准线方程x=±, 则2×=8, 即可求得a和c的值, 则b2=a2﹣c2=3, 即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标, 分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率, 则即可求得l2及l1的斜率及方程, 联立求得Q点坐标, 由Q在椭圆方程, 求得y02=x02﹣1, 联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m, n）, 当m≠1时, =, =, 求得直线l1及l1的方程, 联立求得Q点坐标, 根据对称性可得=±n2, 联立椭圆方程, 即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==, 则a=2c, ①椭圆的准线方程x=±, 由2×=8, ②由①②解得：a=2, c=1,则b2=a2﹣c2=3,∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x0, y0）, 则直线PF2的斜率=,则直线l2的斜率k2=﹣, 直线l2的方程y=﹣（x﹣1）,直线PF1的斜率=,则直线l2的斜率k2=﹣, 直线l2的方程y=﹣（x+1）,联立, 解得：, 则Q（﹣x0, ）,由P, Q在椭圆上, P, Q的横坐标互为相反数, 纵坐标应相等, 则y0=, ∴y02=x02﹣1,则, 解得：, 则,又P在第一象限, 所以P的坐标为：P（, ）．方法二：设P（m, n）, 由P在第一象限, 则m＞0, n＞0,当m=1时, 不存在, 解得：Q与F1重合, 不满足题意,当m≠1时, =, =,由l1⊥PF1, l2⊥PF2, 则=﹣, =﹣,直线l1的方程y=﹣（x+1）, ①直线l2的方程y=﹣（x﹣1）, ②联立解得：x=﹣m, 则Q（﹣m, ）,由Q在椭圆方程, 由对称性可得：=±n2,即m2﹣n2=1, 或m2+n2=1,由P（m, n）, 在椭圆方程, , 解得：, 或,无解,又P在第一象限, 所以P的坐标为：P（, ）．【点评】本题考查椭圆的标准方程, 直线与椭圆的位置关系, 考查直线的斜率公式, 考查数形结合思想, 考查计算能力, 属于中档题．18．（16分）（2020•江苏）如图, 水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm, 容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm, 容器Ⅱ的两底面对角线EG, E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水, 水深均为12cm．现有一根玻璃棒l, 其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中, l的一端置于点A处, 另一端置于侧棱CC1上, 求l 没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中, l的一端置于点E处, 另一端置于侧棱GG1上, 求l 没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N, 过N作NP∥MC, 交AC于点P, 推导出CC1⊥平面ABCD, CC1⊥AC, NP⊥AC, 求出MC=30cm, 推导出△ANP∽△AMC, 由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N, 过点N作NP⊥EG, 交EG于点P, 过点E作EQ⊥E1G1, 交E1G1于点Q, 推导出EE1G1G为等腰梯形, 求出E1Q=24cm, E1E=40cm, 由正弦定理求出sin∠GEM=, 由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N,在平面ACM中, 过N作NP∥MC, 交AC于点P,∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱, ∴CC1⊥平面ABCD,又∵AC⊂平面ABCD, ∴CC1⊥AC, ∴NP⊥AC,∴NP=12cm, 且AM2=AC2+MC2, 解得MC=30cm,∵NP∥MC, ∴△ANP∽△AMC,∴=, , 得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M, 玻璃棒与水面的交点为N,在平面E1EGG1中, 过点N作NP⊥EG, 交EG于点P,过点E作EQ⊥E1G1, 交E1G1于点Q,∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台, ∴EE1=GG1, EG∥E1G1,EG≠E1G1,∴EE1G1G为等腰梯形, 画出平面E1EGG1的平面图,∵E1G1=62cm, EG=14cm, EQ=32cm, NP=12cm,∴E1Q=24cm,由勾股定理得：E1E=40cm,∴sin∠EE1G1=, sin∠EGM=sin∠EE1G1=, cos,根据正弦定理得：=, ∴sin, cos,∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=, ∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【点评】本题考查玻璃棒l 没入水中部分的长度的求法, 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力, 考查数形结合思想、化归与转化思想, 是中档题．19．（16分）（2020•江苏）对于给定的正整数k, 若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立, 则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”, 又是“P （3）数列”, 证明：{a n }是等差数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质, a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）═2×3a n , 根据“P （k ）数列”的定义, 可得数列{a n }是“P （3）数列”；（2）由“P （k ）数列”的定义, 则a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2=4a n , a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n , 变形整理即可求得2a n =a n ﹣1+a n +1, 即可证明数列{a n }是等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n }首项为a 1, 公差为d, 则a n =a 1+（n ﹣1）d,则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3,=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1）,=2a n+2a n+2a n,=2×3a n,∴等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）证明：由数列{a n}是“P（2）数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n, ①数列{a n}是“P（3）数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n, ②+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1, ③由①可知：a n﹣3a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1, ④由②﹣（③+④）：﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1,整理得：2a n=a n﹣1+a n+1,∴数列{a n}是等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质, 考查数列的新定义的性质, 考查数列的运算, 考查转化思想, 属于中档题．20．（16分）（2020•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值, 且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式, 并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣, 求a的取值范围．【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b, 进而再求导可知g′（x）=6x+2a, 通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣, 从而f（﹣）=0, 整理可知b=+（a＞0）, 结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根, 进而可知a＞3．（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27）, 结合a＞3可知h（a）＞0, 从而可得结论；（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣, 利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2, 进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣, 因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1,所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b, g′（x）=6x+2a,令g′（x）=0, 解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0, g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0, g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣,由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点,所以f（﹣）=0, 即﹣+﹣+1=0,所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0, b∈R）有极值,所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根,所以4a2﹣12b＞0, 即a2﹣+＞0, 解得a＞3,所以b=+（a＞3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27）,由于a＞3, 所以h（a）＞0, 即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣,设x1, x2是y=f（x）的两个极值点, 则x1+x2=, x1x2=,所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2,又因为f（x）, f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣,所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,因为a＞3, 所以2a3﹣63a﹣54≤0,所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0,所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0,由于a＞3时2a2+12a+9＞0,所以a﹣6≤0, 解得a≤6,所以a的取值范围是（3, 6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值, 考查运算求解能力, 考查转化思想, 注意解题方法的积累, 属于难题．二.非选择题, 附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．（2020•江苏）如图, AB为半圆O的直径, 直线PC切半圆O于点C, AP ⊥PC, P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB, 即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C, ∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径, ∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC, ∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP, ∠CAB=90°﹣∠ABC,∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB,∴=．∴AC2 =AP•AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2020•江苏）已知矩阵A=, B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2, 求C2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律, 代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==,（2）设点P（x, y）为曲线C1的任意一点,点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0, y0）,则=, 即x0=2y, y0=x,∴x=y0, y=,∴, 即x02+y02=8,∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换, 属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2020•江苏）在平面直角坐标系xOy中, 已知直线l的参数方程为（t为参数）, 曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点, 求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程, 代入距离公式化简得出距离d关于参数s 的函数, 从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0,∴P到直线l的距离d==,∴当s=时, d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用, 属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］24．（2020•江苏）已知a, b, c, d为实数, 且a2+b2=4, c2+d2=16, 证明ac+bd ≤8．【分析】a2+b2=4, c2+d2=16, 令a=2cosα, b=2sinα, c=4cosβ, d=4sinβ．代入ac+bd化简, 利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）, 即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4, c2+d2=16,令a=2cosα, b=2sinα, c=4cosβ, d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64, 当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题．【必做题】26．（2020•江苏）已知一个口袋有m个白球, n个黑球（m, n∈N*, n≥2）, 这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出, 并放入如图所示的编号为1, 2, 3, …, m+n的抽屉内, 其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1, 2, 3, …, m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数, E（X）是X的数学期望, 证明E（X）＜．【分析】（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球, 则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）, 由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（2）X的所有可能取值为, …, , P（x=）=, k=n, n+1, n+2, …, n+m, 从而E（X）=（）=, 由此能证明E （X）＜．【解答】解：（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球,则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）===．证明：（2）∵X的所有可能取值为, …, ,P（x=）=, k=n, n+1, n+2, …, n+m,∴E（X）=（）==＜==•（）==,∴E（X）＜．【点评】本题考查概率的求法, 考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力, 考查数形结合思想、化归与转化思想, 是中档题．25．（2020•江苏）如图, 在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中, AA1⊥平面ABCD, 且AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD内, 过A作Ax⊥AD, 由AA1⊥平面ABCD, 可得AA1⊥Ax, AA1⊥AD, 以A为坐标原点, 分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A, B, C, D, A1, C1的坐标, 进一步求出, , , 的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量, 再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值, 进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内, 过A作Ax⊥AD,∵AA1⊥平面ABCD, AD、Ax⊂平面ABCD,∴AA1⊥Ax, AA1⊥AD,以A为坐标原点, 分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2, AA1=, ∠BAD=120°,∴A（0, 0, 0）, B（）, C（, 1, 0）,D（0, 2, 0）,A1（0, 0, ）, C1（）．=（）, =（）, , ．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为,由, 得, 取x=, 得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为, 则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角, 训练了利用空间向量求空间角, 是中档题．。

高考题数学真题及答案解析高考是每个学生都不容忽视的一场考试，尤其是数学科目更是被认为是一个难关。

在备考过程中，不仅要熟悉各种数学知识点，还要掌握解题的方法和技巧。

本文将针对近几年的高考数学真题，进行一些题目和答案的解析，帮助考生更好地备考和应对高考。

第一题：（2018年高考真题）已知集合A={1,2,3,4,5}，集合B={2,4,6,8}，则A∩B=？解析：集合的交集是指同时属于两个集合的元素所组成的集合。

根据题目给出的两个集合A和B，我们可以看出它们的交集元素是2和4。

因此，A∩B={2,4}。

第二题：（2017年高考真题）设函数f(x)=|2x+1|-|x-2|，则f(x)在R上的图像是？解析：题目中给出的函数f(x)是一个绝对值函数的差。

我们可以分别考虑x≤-1，-1<x≤2和x>2三个区间，将f(x)的表达式转化为不同形式。

当x≤-1时，f(x)=-2x-1-x+2=-3x+1；当-1<x≤2时，f(x)=2x+1-x+2=3x+3；当x>2时，f(x)=2x+1+x-2=3x-1。

因此，在图像上可以分别画出三条直线，代表不同区间上的函数值，并根据函数的定义域和值的范围进行连线，最终形成图像。

第三题：（2016年高考真题）已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c满足条件f(1)=8，f(2)=17，f'(1)=2，则a、b、c的值分别为？解析：题目给出了函数f(x)的三个条件，分别为函数的两个取值和导数值。

根据函数的定义，我们可以将这三个条件代入函数中得到三个方程式：a+b+c=6，8a+4b+2c=9，3a+2b+c=2。

解这个方程组可以得到a=1，b=1，c=4。

以上是针对近几年高考数学真题的部分解析，通过这些解析，我们可以看出高考数学题目的难度和要求都较高。

因此，考生在备考中要广泛复习不同知识点，并结合解题技巧进行练习。

除了熟悉解题方法，考生还要注重对数学知识的深入理解和应用能力的培养。