构造向量巧解有关不等式问题

基本不等式与向量结合不等式与向量之间的联系是一个值得深入探讨的课题。

基本的不等式原理与向量理论在许多科学领域中都有广泛的应用，从物理学到计算机科学，甚至到经济学，这些原理都起着至关重要的作用。

在不等式中，我们最常见的是如：如果A > B，那么A+C > B+C。

这一原理在向量情况下也是完全适用的。

例如，如果向量A大于向量B，那么向量A加上向量C将会大于向量B加上向量C。

这是因为向量的大小是由其各个分量决定的，如果一个向量在某个方向上的分量比另一个向量大，那么无论加上什么向量，这个大小的关系不会改变。

另外，基本不等式原理在向量的模长中也有重要应用。

如若向量A的模长大于向量B的模长，那么我们可以肯定，无论向量A与哪个向量相加，其结果的模长总是大于向量B与该向量相加的结果的模长。

同时，基本不等式原理也可以应用在向量的内积和外积中，这是线性代数中经常遇到的场景。

基本的不等式原理和向量之间的联系并非只是在数学中的应用，对于复杂的物理问题或计算问题，它们也提供了非常有价值的思考角度和解决方法。

理解并娴熟运用这些基本原理，可以有效地解决许多实际问题，是数学与实际生活紧密联系的一个重要例证。

同时，基本的不等式原理和向量之间的联系也揭示出数学的内在美。

它们体现出的那种规律性、逻辑性和严谨性，是数学的精髓所在。

探索和理解这些联系，就是理解和掌握数学的一种重要方式。

总的来说，基本的不等式原理与向量之间的联系，不仅在数学理论中占有重要地位，对于解决实际问题和理解数学的内在美也具有非常大的价值。

因此，这是一个值得我们深入研究和探讨的课题。

构造向量巧解有关不等式问题付明慧有关不等式这一知识点，是教师招聘考试的常考考点之一，这一部分的考察题型一部分是选择题，另一部分就是在解答有关函数大题的时候会应用不等式的相关性质进行解题。

在这里，主要是向大家介绍一种应用向量性质的解题技巧。

向量的性质其中两个向量的数量积有一个性质：a b a b ⋅=⋅||||cos θ（其中θ为向量a 与b 的夹角），则|||||||cos |a b a b ⋅=⋅θ，又-≤≤11cos θ，则易得到以下推论：a b a b ⋅≤⋅||||；||||||a b a b ⋅≤⋅；当a 与b 同向时，a b a b ⋅=⋅||||；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-⋅||||；当a 与b 共线时，||||||a b a b ⋅=⋅。

下面通过几道例题向大家详解以上性质及推论在解不等式问题中的应用。

一、证明不等式例1、已知a b R a b a b 、，，求证：∈+=+++≤+1212122。

证明：设m=（1，1），n a b =++()2121，，则m n a b ⋅=+++2121||||m n a b ==+++=221212，由性质m n m n ⋅≤⋅||||，得212122a b +++≤例2、已知x y z x y z ++=++≥113222，求证：。

证明：设m=（1，1，1），n=（x ，y ，z ），则 m n x y z m n x y z⋅=++===++13222||||， 由性质||||||m n m n x y z ⋅≤++≥22222213，得 例3、已知a ，b ，c ∈+R ，求证：a b c b c a c a b a b c 2222+++++≥++。

证明：设m a b c b c a c a b=+++()222，，，n b c a c a b =+++()，，，则m n a b c ⋅=++ ||||()m a b c b a c c a bn a b c =+++++=++2222，由性质||||||m n m n ⋅≤222，得a b c b c a c a b a b c 2222+++++≥++ 例4、已知,a b 为正数，求证：()()()a b a b a b 4422332++≥+。

构造向量巧解有关不等式问题新教材中新增了向量的内容，其中两个向量的数量积有一个性质：a b a b ⋅=⋅||||cos θ（其中θ为向量a 与b 的夹角），则|||||||cos |a b a b ⋅=⋅θ，又-≤≤11cos θ，则易得到以下推论：（1）a b a b ⋅≤⋅||||；（2）||||||a b a b ⋅≤⋅；（3）当a 与b 同向时，a b a b ⋅=⋅||||；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-⋅||||； （4）当a 与b 共线时，||||||a b a b ⋅=⋅。

下面例析以上推论在解不等式问题中的应用。

一、证明不等式例1 已知a b R a b a b 、，，求证：∈+=+++≤+1212122。

证明：设m=（1，1），n a b =++()2121，，则m n a b ⋅=+++2121||||m n a b ==+++=221212，由性质m n m n ⋅≤⋅||||，得212122a b +++≤ 例2 已知x y z x y z ++=++≥113222，求证：。

证明：设m=（1，1，1），n=（x ，y ，z ），则 m n x y z m n x y z ⋅=++===++13222||||， 由性质||||||m n m n x y z ⋅≤++≥22222213，得 例3 已知a ，b ，c ∈+R ，求证：a b c b c a c a b a b c 2222+++++≥++。

证明：设m a b c b c a c a b=+++()222，，，n b c a c a b =+++()，，， 则m n a b c ⋅=++||||()m a b c b a c c a bn a b c =+++++=++2222，由性质||||||m n m n ⋅≤222，得a b c b c a c a b a b c 2222+++++≥++ 例4 已知a,b 为正数，求证：()()()a b a b a b 4422332++≥+。

【标题】浅谈在中学数学解题中柯西不等式的运用【作者】徐跃【关键词】柯西不等式中学数学应用证明【指导老师】刘春花【专业】数学教育【正文】1引言许多学生对不等式证明、求最值、求参数等题型感到困难，其原因有以下几方面：一是数学基础知识不扎实，二是识别数学模型和组织信息的能力训练不够，三是在思考和解决问题中缺乏理念、方向、方法和技能，四是在探索隐蔽模式显现化过程中缺乏必要的心理素质和技能.我们在解决数学问题时不必拘泥于某种单一的方法，可根据具体情况灵活选择最简单、最优化的方法，从而达到最佳的解题效果.经典的柯西不等式就能给我们解决许多数学问题带来很多的方便，关于柯西不等式的研究一直受到人们的关注，在高中数学新教材中也有选学内容.本文就是应用柯西不等式解决中学数学问题，在解题时将柯西不等式的解题思想渗透给学生，深刻论述柯西不等式在中学数学解题中的优越性.1.1问题的提出及研究意义1.1.1问题的提出柯西不等式是一个重要的不等式，它能够解决数学中很多问题.那么它的应用到底表现在哪些方面？对我们在中学数学解题中有什么好处？1.1.2研究的意义灵活巧妙地应用柯西不等式，可以使一些较为困难的问题迎刃而解.柯西不等式是解决许多数学问题的有力工具，既符合学生可接受性原则，又充分体现了数学知识的应用价值.研究柯西不等式在中学解题中的应用有利于培养学生思维，提高学生兴趣，能够引导学生去认识数学知识之间的联系.1.2本文研究的目的和内容1.2.1本文研究的目的柯西不等式有着广泛的应用，有许多中学数学问题都可用柯西不等式来求解.为了使柯西不等式解题思想在中学广泛应用，使学生能够熟练掌握运用柯西不等式进行解题，并将柯西不等式解题思路渗透给中学教师和学生，研究柯西不等式在中学解题中的应用具有实用价值.1.2.2本文研究的内容首先简单阐述柯西不等式的基本形式、向量形式及推论形式，然后用具体的例题论述柯西不等式在以下几方面的应用：(1) 柯西不等式在解方程中的应用;(2) 柯西不等式在求参数范围时的应用;(3) 柯西不等式在不等式证明中的应用;(4) 柯西不等式在求函数最值问题中的应用;(5) 柯西不等式在平面几何中的应用.2柯西不等式的一些形式我们知道，柯西不等式在数学的各个分支里都有着极其广泛的应用，它在不同的领域有着不同的表现形式，对它的应用可谓灵活多样.柯西不等式在初等数学和高等数学中有着不菲的价值，它的应用充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性.对柯西不等式本身的证明涉及有关不等式的一些基本方法和技巧.因此，熟练掌握此不等式的证明对提高我们解决一些数学问题有很大帮助.下面我们给出柯西不等式的基本形式、向量形式和部分推论形式.2.1柯西不等式的基本形式设、，则×，设、不全为零，当且仅当= ( 为实常数， 1,2, , )时不等式取等号[1] .证明:若 0，则 0，此时不等式显然成立.若 0，构造二次函数：2 0.对一切恒成立，所以二次函数的判别式：4 4 0，即..当时，显然不等式取等号；.当不等式取等号时 0，二次函数有唯一实根设为，则 0，即，所以柯西不等式×得证.2.2柯西不等式的向量形式设维向量，，则有，当且仅当时取等号[2] .2.3柯西不等式的推论形式推论[3]1：若令，， 0，,代入得到以下推论：.推论2[4]：设,则.当且仅当时，不等式取等号.证明：,即.从而得.3柯西不等式在解方程中的应用在以前我们见到的方程通常是个未知数和个方程的问题.很少看到方程个数多于未知数个数的问题，如果遇到这样的方程，它的解一般不唯一，但是也有可能是唯一解，在中学时很难解决这类方程，有时利用柯西不等式解决这类方程就相当简单.我们不妨来看一看.例1：在实数集内解方程分析：本题看似代数题实际是一个立体几何问题，它是关于一个球体（圆心在原点，半径为）与一个平面的交点问题.首先判断球与平面的位置关系，也就是圆心到该平面的距离，根据公式[5] ，容易得出，所以，即球体与面相切有且只有一个交点.然后求出通过圆心且垂直平面的直线.直线必然与球有两个交点，这两个交点中只有一个点在平面上，在平面上的点为所求点.但是应用这种方法时在求直线时比较麻烦，学生也很难理解，并且在求直线与球相交时也很复杂，计算量也大，所以这种方法不是解决本题最好方法.实际上本题可以构造柯西不等式来求解，以下是运用柯西不等式解决此题的全过程.解：由柯西不等式得,所以.又,,即不等式中只有等号成立.从而，柯西不等式中等号成立的条件，得.与式联立得、、.容易得到运用柯西不等式解决上题比传统方法简单，利用柯西不等式解决此题只要构建合理的柯西不等式模型即可，而传统方法步骤复杂，要进行多次问题转化.另外，我们在运用中学传统方法解此题时，已经将本题转化几何问题，所以我们还能得到：柯西不等式不但能解决代数问题，还能解决部分几何问题，足以见得，柯西不等式在中学解题中应用之广泛.4柯西不等式在求参数范围时的应用在中学求参数问题既是一个重点又是一个难点问题，在求参数时通常不能直接求解，都要经过多次问题转化，有时还要利用题设中的限制条件进行讨论，步骤相当复杂，稍不注意将会出错.例2[6]：已知对于满足等式 3的任意实数对恒有 2，求实数的取值范围.分析：首先用中学传统的方法去分析， 3是一个椭圆方程.再将条件 2转化为，于是原题转化为：“已知椭圆 3与直线相交，求的取值.”这样就将问题转化为中学的数形结合题.现在只要将椭圆方程和直线方程联立求解再结合的取值范围便可求解，但是在用这种方法求解时显得相当麻烦，首先要正确的转化问题，另外在联立求解时还要考虑的取值，在解答时还有可能分步讨论，这样如果分析不完全，将会出错.让我们想一想能否用更简单的方法来解此题，使之没有这么麻烦.仔细观察容易得到可以构造为柯西不等式模型：.解：由= . ,所以,要使对恒有.即所以, .容易看出：运用中学传统方法解答时进行了多次问题转化，步骤复杂，计算量也相当的大，所以学生吸收起来比较困难.然而运用柯西不等式解答时问题就迎刃而解，直接运用公式就可得到结论，相当方便，学生很容易吸收.5柯西不等式在不等式证明中的应用中学证明不等式的传统方法有比较法、综合法、换元法、放缩法等，方法相当多，但很少用柯西不等式证明不等式.例3[7]：设, , 1, 求证 4.分析：构建柯西不等式，通过观察，由于 1,所以,然而等式的右边恰好是柯西不等式的右边.证明：,4 .例4[8]：如果都是正数,且，求证+ .分析：由于可以构造为柯西不等式推论1的形式,然而等式的右边为推论1中不等式的左边形式.证明：由推论1可知,例5：设都是正实数，试证.分析：通过观察，可以看作是两向量相乘. 可以看作是一向量的模, 也可以看作是一向量的模,所以不等式的右边就是两向量模的乘积.然后结合，就可以解此题.证明：设向量，.则= ,.由柯西不等式向量形式得：,我们可以看到：运用柯西不等式证明不等式只要合理构造柯西不等式的模型就能使问题迎刃而解，绝大多数问题都可一步到位，也不用太多计算.利用这种方法解中学数学问题时能让学生领悟到数学的思想方法，还能提高学生的思维水平.6柯西不等式在求函数最值问题中的应用用导数法解决一类函数的最值问题，可谓方法绝妙，用这种方法求解，对一般学生难度不大，但是相当复杂.我们不妨利用柯西不等式来求解最值问题，有时要简单一些.例6[9]:求函数 2 的最大值.导数法：分析：先求出函数 2 的定义域为.再求出,再令 0，求出当 0时的值，找到函数的稳定点.最后将所有稳定点、不可导点与端点值比较大小，最大的值便是所求函数的最大值.柯西不等式法：解：函数 2 的定义域为.由柯西不等式推论2有：= ,所以 2 .通过以上例题我们不难发现：应用中学所学的导数法求解时，虽然思路清晰，学生也易吸收，但是步骤复杂，计算量也相当大，一不小心就会计算错误，特别是在求函数稳定点时更加明显.然而运用柯西不等式的方法求解时只要合理地构建柯西不等式的模型即可，这种方法不但思路清晰，而且步骤相当简单，也不用太多的计算. 7柯西不等式在平面几何中的应用柯西不等式不仅在代数方面能够帮助我们解决问题，在解决几何问题上也给我们带来了方便.例7[10]：为内一点，分别为到各边所引垂线的垂足，求所有使为最小的点.解：如图，设的三边长，，，面积为，记，，，则由柯西不等式，得即.即,当且仅当（即，也就是）时等号成立，因而使为最小的点是的内心. 由此可见:柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解.8主要结论柯西不等式可以直接运用到其它很多数学问题中，由此我们可以看到它的应用相当广泛，本文主要研究了柯西不等式在以下几方面的应用：(1) 解方程中的应用；(2) 求参数范围；(3) 不等式证明；(4) 求函数最值问题；(5) 平面几何中的应用.运用柯西不等式解决数学问题时的关键是“构造两组数”，并按照柯西不等式的形式进行探索.然而柯西不等式的形式有基本形式、向量形式还有推论形式以及向量形式，我们要合理选择.所以这两组数的构造需要一定的技巧.柯西不等式充分体现了数学的几个分支之间相互渗透、相互促进的内在联系.正如希尔伯特所说：“数学是一个有机整体，它的生命力依赖于各部分的联系.”上述利用柯西不等式解决的一系列数学问题是我们进行“数学探究”的极好的材料，对于培养学生的思维品质，使他们领悟数学思想方法，认识知识间的联系，促进创造性思维很有帮助.教师应该在具体的教学实践中鼓励和引导学生综合运用柯西不等式解决有关数学问题.在教学中教师应引导学生多思考，利用所学的知识将一些不等式进行推广,这样可以提高学生的学习兴趣，开阔他们的视野，培养他们的思维.从柯西不等式的应用可以看到，熟练应用柯西不等式是非常有意义的,我们应该多鼓励学生将柯西不等式应用到中学解题中.。

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巧用向量解决不等式问题
作者：陈庆山
来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2007年第02期
自从向量知识进入中学数学教材以来，由于向量融数、形于一体，使向量知识渗透到代数、几何、三角等各大章节的定理推导与解题方法中，因而成为中学数学知识的一个交汇点．它的加入不但使教材内容更加丰富，更为学生解决数学问题提供了新思路、新方法，开阔了学生的思维。

向量在几何中的应用，有许多老师已作了深入研究，本文着重谈谈向量在代数中解决与不等式有关问题中的妙用。

向量模长不等式向量是数学中的一个基本概念，它是带有大小和方向的量。

在研究向量的性质中，向量模长不等式是一项重要的内容。

本文将详细介绍向量模长不等式的定义、性质以及在数学和实际问题中的应用。

首先，我们来了解向量模长不等式的定义。

对于一个向量a=(a1,a2,...,an)，它的模长表示为|a|，即向量a的长度。

向量模长不等式是指对于任意两个向量a和b，有下列不等式成立：1. 三角不等式：|a+b|≤|a|+|b|2. 反三角不等式：|a-b|≥||a|-|b||接下来，我们将讨论向量模长不等式的一些性质。

首先是三角不等式的性质，它表明两个向量的和的模长一定小于等于两个向量模长的和。

这个不等式可以直观地理解为，无论两个向量的方向如何，它们相加后的总长度都不会超过它们各自的长度之和。

反三角不等式则说明两个向量的差的模长一定大于等于两个向量模长之差的绝对值。

这个不等式告诉我们，无论两个向量的方向如何，它们相减后的长度总是比它们各自的长度差要大或相等。

除了这些基本的性质外，向量模长不等式还有一些其他的性质。

比如，如果两个向量的模长相等，那么它们的和的模长一定等于它们各自的模长。

另外，如果一个向量和另一个向量的相反向量的模长相等，那么这个向量一定是零向量。

那么，向量模长不等式在数学和实际问题中有哪些应用呢？首先，在代数、几何和物理学中，我们经常需要研究向量的性质和变换。

向量模长不等式提供了一种有效的方法来比较和估计向量的大小，这对解决各种问题非常有帮助。

比如，在几何中，通过利用向量的模长不等式可以证明三角形的两边之和大于第三边，或者两个向量的夹角的余弦值小于等于它们的模长之积。

在应用数学中，向量模长不等式也有广泛的应用。

比如，在优化问题中，我们经常需要求解最大值或最小值。

通过利用向量模长不等式，我们可以对目标函数进行估计和优化，从而得到更好的结果。

此外，向量模长不等式还在信号处理、图像处理和机器学习等领域有重要的应用。

柯西-许瓦兹不等式的证明方法及应用张二艳;张永明【摘要】Cauchy-Schwartz inequality in mathematics competition and mathematical analysis of the inequality proof method has wide application which is very flexible. Using discriminate of quadratic function method makes difference comparison method, vector method and the quadratic form the given method and it is the four kind of proof method and applications. In different teaching situations, according to different needs and may, the flexible use of appropriate methods is proven inequality, soas to enhance the understanding and teaching.%柯西-许瓦兹不等式在数学竞赛和数学分析的不等式证明中具有广泛应用，证明方法也非常灵活。

利用判别式、作差比较、向量和二次型等方法给出4种证明方法及应用。

在不同的教学场合，根据不同的需要和可能，灵活地使用合适的证明方法，从而加深对该不等式的理解，利于教学。

【期刊名称】《北京印刷学院学报》【年(卷),期】2012(020)002【总页数】3页(P71-73)【关键词】柯西-许瓦兹不等式;判别式;作差比较;向量;二次型;证明【作者】张二艳;张永明【作者单位】北京印刷学院基础部,北京102600;北京印刷学院基础部,北京102600【正文语种】中文【中图分类】O17柯西-许瓦兹不等式是高等数学中经常要用到的一个不等式。

不等式的几种证明方法及其应用不等式的证明方法多种多样，常用的证法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法等，高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、凹凸性等方法．本文将对其中一些典型证法给出系统的归纳与总结，并以例题的形式展示这些方法的应用．1 利用构造法证明不等式“所谓构造思想方法就是指在解决数学问题的过程中，为完成从条件向结论的转化，利用数学问题的特殊性设计一个新的关系结构系统，找到解决原问题的具体方法．利用构造思想方法不是直接解决原问题，而是构造与原问题相关或等价的新问题．”)52](1[P 在证明不等式的问题中，构造思想方法常有以下几种形式：1.1 构造函数证明不等式构造函数指根据所给不等式的特征，巧妙地构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式或函数的有界性、单调性、奇偶性等来证明不等式．1.1.1 利用判别式在含有两个或两个以上字母的不等式中，若根据题中所给的条件，能与一元二次函数有关或能通过等价形式转化为一元二次函数的，都可考虑使用判别式法．例1 设R z y x ∈,,，证明0)(322≥+++++z y x z y xy x 成立． 解 令22233)3()(z yz y x z y x x f +++++=为x 的二次函数． 由2222)(3)33(4)3(z y z yz y z y +-=++-+=∆知0≤∆，所以0)(≥x f ． 故0)(322≥+++++z y x z y xy x 恒成立．对于某些不等式，若能根据题设条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数)(x f =(11b x a -)2＋(x a 2－22)b ＋…＋2)(n n b x a -，由0)(≥x f 得出0≤∆，从而即可得出所需证的不等式．例2 设+∈R d c b a ,,,，且1=+++d c b a ，求证614141414<+++++++d c b a )18](2[P ．证明 令)(x f =(x a 14+－1)2＋(114-+x b )2＋)114(-+x c 2＋)114(-+x d 2=4)14141414(282++++++++-x d c b a x (因为1=+++d c b a )．由0)(≥x f 得0≤∆ 即0128)14141414(42≤-+++++++d c b a ．所以62414141414<≤+++++++d c b a ．1.1.2 利用函数有界性若题设中给出了所证不等式中各个变量的变化范围，可考虑利用函数的有界性来证明，具体做法是将所证不等式视为某个变量的函数．例3 设,1,1,1<<<c b a 求证1->++ca bc ab )18](2[P ． 证明 令1)()(+++=ac x c a x f 为x 的一次函数． 因为,1,1<<c a 所以0)1)(1(1)1(>++=+++=c a ac c a f ，0)1)(1(1)()1(>--=+++-=-c a ac c a f ．即∀)1,1(-∈x ，恒有0)(>x f ．又因为)1,1(-∈b ，所以0)(>b f ， 即01>+++ca bc ab ． 1.1.3 利用函数单调性在某些问题中，若各种式子出现统一的结构，这时可根据这种结构构造函数，把各种式子看作同一函数在不同点的函数值，再由函数的单调性使问题得到解决．例４ 求证121212121111n n n na a a a aa a a a a a a +++≤++++++++++)53](1[P ．分析 通过观察可发现式中各项的结构均相似于式子M M +1，于是构造函数xxx f +=1)()0(≥x ．证明 构造函数xxx f +=1)( )0(≥x ． 因为0)1(1)(2'>+=x x f ， 所以)(x f 在),0[+∞上严格递增．令n a a a x +++= 211，n a a a x +++= 212． 因为21x x ≤，所以)()(21x f x f ≤． 所以≤+++++++nn a a a a a a 21211nn a a a a a a +++++++ 21211=+++++na a a a 2111++++++ n a a a a 2121nna a a a ++++ 211nna a a a a a ++++++≤1112211 ．1.1.4 利用函数奇偶性 例５ 求证221xx x <-)0(≠x ．证明 设)(x f 221x x x --=，对)(x f 进行整理得)(x f )21(2)21(xx x -+=， )(x f -＝)21(2)21(xx x ---+-＝)12(2)12(-+-x x x ＝)21(2)21(x x x -+＝)(x f ， 所以)(x f 是偶函数．当0>x 时，12>x ，所以021<-x，所以0)(<x f ． 由偶函数的图象关于y 轴对称知，当0<x 时，0)(<x f ． 即 当0≠x 时，恒有0)(<x f ，即221xx x <- )0(≠x ． 注意 由以上几种情况可以看出，如何构造适当的函数并利用函数的性质来证明不等式是解题的关键．1.2 构造几何图形证明不等式构造几何图形，就是把题中的元素用一些点或线来取代，使题中的各种数量关系得以在图中表现出来，然后借助几何图形的直观性或几何知识来寻求问题的解答．一般是在问题的条件中数量关系有明显的几何意义，或可以通过某种方式与几何形（体）建立联系时宜采用此方法.)52](1[P 这种方法十分巧妙且有效，它体现了数形结合的优越性．下面将具体介绍用几何法证明不等式的几种途径：1.2.1 构造三角形)1](3[P例６ 已知z y x ,,为正数，求证22y xy x ++＋22z xz x ++＞22z yz y ++．分析 注意到︒-+=++120cos 22222xy y x y xy x ，于是22y xy x ++可看作是以y x ,为两边，夹角为︒120的三角形的第三边，由此，易得出下面的证明:证 如图1 ，在BC A ∆内取一点O ，分别连接OC OB OA ,,，使图1B︒=∠=∠=∠120COA BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,则22y xy x AB ++=，22z xz x AC ++=，22z yz y BC ++=．由BC AC AB >+， 即得所要证明的不等式．注 该题可做如下推广:已知z y x ,,为正数，πα<<0，πβ<<0，πγ<<0，且πγβα2=++，求证++-22cos 2y xy x α>+-22cos 2z xz x β22cos 2z yz y +-γ，令γβα,,为满足条件的特殊角可设计出一系列的不等式．例7 已知正数k n m c b a ,,,,,满足p k c n b m a =+=+=+,求证2p cm bk an <++． 证明 如图2，构造边长为p 的正三角形ABC ，在边BC AB ,,上依次截取 n FA b CF k EC c BE m DB a AD ======,,,,,．因为ABC FEC DBE ADF S S S S ∆∆∆∆<++所以243434343p bk cm an <++， 即2p cm bk an <++． 1.2.2 构造正方形)1](3[P例8 已知+∈R x ,d c b a ,,,均是小于x 的正数，求证+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c x a x d 4)(22<-+．分析 观察不等式的左边各式，易联想到用勾股定理，每个式子代表一直角三角形的一斜边，且)()()()(d x d c x c b x b a x a -+=-+=-+=-+，所以可构造边长为x 的正方形．证明 如图3，构造边长为x 的正方形ABCD ，在边DA CD BC AB ,,,上 依次截取,a AE =,a x EB -=,d BF =c CG d x FC =-=,，b DHc x GD =-=,，b x HA -=．则四边形EFGH 的周长为+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c 22)(a x d -+．由三角形两边之和大于第三边知，四边形EFGH 的周长小于正方形ABCD 的周长， 从而命题得证．1.2.3 构造矩形图2x-c 图3例9 已知z y x ,,为正数，证明))((z y y x yz xy ++≤+．分析 两个数的乘积，可看作以这两个数为边长的矩形的面积，也可以看成以这两个数为直角边长的三角形面积的两倍．证明 如图4 ，造矩形ABCD ，使,y CD AB ==,x BE =,z EC =设α=∠AED ．由AED ECD ABE ABCD S S S S ∆∆∆++=矩形知 =+)(z x y ++yz xy 2121αsin ))((21z y y x ++． 化简得αsin ))((z y y x yz xy ++=+．因为1sin 0≤<α，所以))((z y y x yz xy ++≤+(当且仅当︒=90α时，等号成立)．1.2.4 构造三棱锥例10 设,0,0,0>>>z y x 求证22y xy x +->+-+22z yz y 22x zx z +-)129](4[P ．分析 注意到22y xy x +-︒-+=60cos 222xy y x ，可以表示以y x ,为边， 夹角为︒60的三角形的第三边，同理22z yz y +-，22x zx z +-也有类似意义．证明 如图5，构造顶点为O 的四面体ABC O -，使︒=∠=∠=∠60AOC BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,，则有22y xy x AB +-=，22z yz y BC +-=，22x xz z AC +-=．在ABC ∆中AC BC AB >+，即得原不等式成立．注 该题还可做如下推广:已知z y x ,,为正数，,0πα<<,0πβ<<πγ<<0时πγβα20<++<且,βαγβα+<<-求证22cos 2y xy x +-α+22cos 2z xz x +-β>22cos 2z yz y +-γ.例10便是当︒===60γβα时的特殊情况．1.3 构造对偶式证明不等式对偶思想是根据矛盾双方既对立又统一的二重性，巧妙地构造对偶数列，从而将问题解决的一种思想．⌒ADCBE y x +图4图5OAC例11 求证1212124321+<-⨯⨯⨯n nn ．分析 令=P nn 2124321-⨯⨯⨯ ，由于P 中分子为奇数、分母为偶数，则由奇数的对偶数为偶数可构造出关于P 的一个对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．证明 设=P n n 2124321-⨯⨯⨯ ，构造P 的对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．因为Q P <<0，所以=<PQ P 2)2124321(n n -⨯⨯⨯ 121)1225432(+=+⨯⨯⨯n n n ．所以121+<n P ，即原不等式成立．注 构造对偶式的途径很多，本题是利用奇偶性来构造对偶式，此外，还可利用倒数关系、相反关系、对称性关系等来构造对偶式．1.4 构造数列证明不等式这种方法一般用于与自然数有关的不等式证明，当问题无法从正面入手时，可考虑将它转化为数列，然后利用数列的单调性来证明．例12 求证:不等式!21n n ≤-，对任何正整数n 都成立)55](1[P ．分析 不等式可变形为,1!21≤-n n n 是正整数，所以可构造数列{},n a 其中1,!211==-a n a n n ，则只需证1a a n ≤即可．对于任意正整数n ，=-+=--+!2)!1(211n n a a n n n n 0)!1(2)1()!1()1(2211≤+-=++---n n n n n n n ， 所以{}n a 是递减数列．所以1a a n ≤，即原命题成立．1.5 构造向量证明不等式向量由于其自身的形与数兼备的特性，使得它成了数形结合的桥梁，也是解决一些问题的有利工具．对于某些不等式的证明，若能借助向量模的意义、数量积的性质等，可使不等式得到较易的证明．1.5.1 利用向量模的性质 例13 已知,,,,R d c b a ∈求证++++2222c b b a 2222a d d c +++)(2d c b a +++≥．证明 在原点为O 的直角坐标系内取四个点：()(),,,,c b b a B b a A ++(),,d c b c b a C ++++(),,a d c b d c b a D ++++++则原问题可转化为+，该不等式显然成立．1.5.2 利用向量的几何特征例14 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和，求证)31](5[12.022.02.0log 2log log P n n n S S S ++>+． 分析 可将上述不等式转化为,212++<⋅n n n S S S 构造向量，用平行四边形的几何特征来证明．证明 设该等比数列的公比为q ，如图6，构造向量(),,11a a OA =(),,1n n qS qS OB +=()()12111,,+++=++=n n n n S S qS a qS a OC ，则OB OA OC +=，故B C A O ,,,构成平行四边形．由于OB OA ,在对角线OC 的两侧，所以斜率OB OA k k ,中必有一个大于OC k ，另一个小于OC k ．因为{}n a 是由正数组成的等比数列，所以OA n n OC k S S k =<=++121， 所以OC OB k k <， 即<+1n n S S 21++n n S S ． 所以212++<⋅n n n S S S ． 此外，还可以利用向量的数量积证明不等式，一般是根据向量的数量积公式θb a =⋅找出不等关系，如b a ≤⋅≤等，然后利用不等关系证明不等式，在此对这种方法不再举例说明．综上所述，利用构造思想证明不等式时，需对题目进行全面分析，抓住可构造的因素，并借助于与之相关的知识，构造出所求问题的具体形式或是与之等价的新问题，通过解决所构造的问题使原问题获得解决．就构造的对象来说它的表现形式是多样的，这就需要我们牢固的掌握基础知识和解题技巧，综合运用所学知识将问题解决．2 利用换元法证明不等式换元法是数学解题中的一种重要方法，换元的目的是通过换元达到减元，或通过换元得到熟悉的问题形式．换元法主要有以下几种形式：图6O xyABC2.1 三角换元法例15 已知,122≤+y x 求证2222≤-+y xy x ．证明 设θθsin ,cos r y r x ==()10≤≤r ，则=-+222y xy x θθθθ22222sin sin cos 2cos r r r -+θθθ222sin 2sin cos -+=r224sin 22sin 2cos 222≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=r r r πθθθ．注 这种方法一般是已知条件在结构上与三角公式相似时宜采用．若题设为,12=+y x 可设;sin 2,cos θθ==y x 题设为,122=-y x 可设θθtan ,sec ==y x 等．2.2 均值换元法例16 设,1,,,=++∈z y x R z y x 求证31222≥++z y x )12](2[P ．证明 设,31α+=x ,31β+=y ,31γ+=z 其中0=++γβα 则 =++222z y x ++2)31(α++2)31(β=+2)31(γ31)(231222≥++++++γβαγβα(当且仅当γβα==时取等号)．2.3 增量换元法这种方法一般用于对称式(任意互换两个字母顺序，代数式不变)和给定字母顺序的不等式的证明．例17 已知,0>>y x 求证 yx y x -<-)55](6[P ．证明 由,0>>y x 可令t y x += )0(>t ． 因为2)(2t y yt t y t y +=++<+， 所以t y t y +<+， 即y x y x -<-．总之，证明不等式时适当的引进换元，可以比较容易的找到解题思路，但具体使用何种代换，则因题而异，总的目的是化繁为简．3 利用概率方法证明不等式)51](7[P利用概率方法证明不等式，主要是根据实际问题，构造适当的概率模型，然后利用有关结论解决实际问题．3.1利用概率的性质：对任意事件A ，1)(0≤≤A P ，证明不等式例18 证明若,10,10≤≤≤≤b a 则1+≤+≤ab b a ab ．分析 由,10,10≤≤≤≤b a 可把a 看做事件A 发生的概率，b 看做事件B 发生的概率． 证明 设事件A 与B 相互独立，且,)(,)(b B P a A P ==则ab b a B A P B P A P B A P -+=-+=)()()()( ．因为,1)(0≤≤B A P 所以10≤-+≤ab b a ，所以1+≤+≤ab b a ab ．3.2 利用Cauchy-Schwarz 不等式：2))((ξηE ≤22ηξE E 例19 设0>i a ，0>i b ，,2,1=i …n ,， 则 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．证明 设随机变量ξηηξ,,满足下列要求ξ概率分布:P (ξ=i a )=n 1(n i ,,2,1 =)，η概率分布:P (η=i b )=n1(n i ,,2,1 =)，ξη概率分布:⎪⎩⎪⎨⎧≠=== )(0)(1)(j i j i nb a P j i ξη， 则 2ξE ＝∑=n i i a n 121，2ηE ＝∑=n i i b n 121，)(ξηE ＝∑=n i i i b a n 11．由2))((ξηE ≤22ηξE E 得 212)(1∑=n i i i b a n ≤)1)(1(1212∑∑==n i i n i i b n a n ．即 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．用概率证明不等式比较新颖，开辟了证明不等式的又一途径．但该法用起来不太容易，因为读者必须对概率这部分知识熟悉掌握，才能选择适当的结论加以利用，因此对这种方法只做简单了解即可．4 用微分方法证明不等式在高等数学中我们接触了微分, 用微分方法讨论不等式,为不等式证明方法开辟了新的视野． 4.1利用微分中值定理微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，下面仅给出拉格朗日中值定理、泰勒定理的应用：拉格朗日中值定理)120](8[P 若函数)(x f 在[]b a ,上连续，()b a ,内可导，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得)('ξf ＝ab a f b f --)()(．例20 已知0>b ,求证b b bb<<+arctan 12． 证明 函数x arctan 在[]b ,0上满足拉格朗日中值定理的条件，所以有b arctan －0arctan ＝)0()(arctan '-=b x x ξ＝21ξ+b，),0(b ∈ξ． 而b bx b <+<+2211ξ， 故原不等式成立．泰勒定理)138](8[P 若函数)(x f 在[]b a , 上有直至n 阶的连续导数，在()b a ,内存在()1+n 阶导函数，则对任意给定的0,x x ()b a ,∈，使得10)1(00)(200''00'0)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-+-+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 该式又称为带有拉格朗日余项的泰勒公式．例21 设函数)(x f 在[]b a ,上二阶可导，且M x f ≤)(''，,1,0)2(=-=+a b ba f 试证 4)()(M b f a f ≤+)69](9[P ．证明 将函数)(x f 在点20ba x +=展成二阶泰勒公式 ++-+++=)2)(2()2()('b a x b a f b a f x f 2'')2)((21b a x f +-ξ＝)2)(2('ba xb a f +-+＋2'')2)((21b a x f +-ξ． 将b a x ,=代入上式得)21)(2()('b a f a f +-=＋)(811''ξf ，)(81)21)(2(')(2''ξf b a f b f ++=． 相加得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +=+． 取绝对值得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +≤+≤4M ．4.2 利用极值例22 设12ln ->a 为任一常数，求证xeax x <+-122()0>x )188](10[P ．证明 原问题可转化为求证012)(2>-+-=ax x e x f x)0(>x ．因为0)0(=f ,所以只需证022)('>+-=a x e x f x．由02)(''=-=xe xf 得)('x f 的稳定点2ln =x ．当2ln <x 时，0)(''<x f ． 当2ln >x 时，0)(''>x f ． 所以 02)2ln 1(222ln 22)2(ln )(min ''>+-=+-==>a a f x f x ．所以原不等式成立．4.3 利用函数的凹凸性定义)193](10[P )(x f 在区间I 上有定义，)(x f 称为I 上的凸（凹）函数，当且仅当：21,x x ∀∈I ，有)2(21x x f +≤2)()(21x f x f + （)2(21x x f +≥2)()(21x f x f +）． 推论)201](10[P 若)(x f 在区间I 上有二阶导数，则)(x f 在I 上为凸（凹）函数的充要条件是：0)(''≥x f （0)(''≤x f ）．例23 证明na a a n +++ 21≥n n a a a 21 ),,2,1,0(n i a i =>)125](11[P ．证明 令,ln )(x x f =则01)(,1)(2'''<-==xx f x x f ，所以 x x f ln )(=在()+∞,0上是凹函数，对),0(,,,21+∞∈n a a a 有)ln ln (ln 1ln 2121n n a a a nn a a a +++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ ，所以na a a n +++ 21≥nn a a a 21．例24 对任意实数,,b a 有)(212b ab a e e e+≤+)80](12[P ．证明 设xe xf =)(，则),(,0)(''+∞-∞∈>=x e x f x，所以)(x f 为),(+∞-∞上凸函数．从而对b x a x ==21,有2)()()2(b f a f b a f +≤+． 即)(212b ab a e e e+≤+． 5 利用几个著名的不等式来证明不等式5.1 均值不等式)133](4[P定理 1 设n a a a ,,,21 是n 个正数，则)()()()(n Q n A n G n H ≤≤≤称为均值不等式，其中,111)(21na a a nn H +++=,)(21n n a a a n G =,)(21na a a n A n+++=na a a n Q n22221)(+++=分别称为n a a a ,,,21 的调和平均值，几何平均值，算术平均值，均方根平均值．例25 已知,10<<a ,02=+y x 求证812log )(log +≤+a yx a a a ． 证明 由,10<<a ,0,0>>yxa a 有y x y x y x a a a a a +=⋅≥+22，从而得22log )2(log )(log yx a a a a y x a y x a ++=≤++， 故现在只需证812≤+y x 或 41≤+y x 即可． 而4141)21(22≤+--=-=+x x x y x (当21=x 时取等号)，所以812log )(log +≤+a yx a a a ．5.2 Cauchy 不等式 定理2)135](4[P 设),,2,1(,n i R b a i i =∈，则∑∑∑===≥⋅n i ni i i ni ii b a ba 121122,)(当且仅当nn a b a b a b === 2211时等号成立. 例26 证明三角不等式 2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ≤2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i a ＋2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i b )33](12[P ．证明 因为∑=+ni i ib a12)(＝∑=+ni i i i a b a 1)(＋∑=+ni i i i b b a 1)(根据Cauchy 不等式，可得∑=+ni i i ia b a1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i n i i i a b a ． （1）∑=+ni i i i b b a 1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i ni i ib b a ． （2） 把（1）（2）两个式子相加，再除以2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ，即得原式成立．5.3 Schwarz 不等式Cauchy 不等式的积分形式称为Schwarz 不等式． 定理3)271](10[P )(),(x g x f 在[]b a ,上可积，则⎰⎰⎰≤b ababadx x g dx x f dx x g x f .)()())()((222若)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，其中等号当且仅当存在常数βα,，使得)()(x g x f βα≡时成立(βα,不同时为零)．例27 已知)(x f 在[]b a ,上连续，,1)(=⎰badx x f k 为任意实数，求证2)cos )((⎰bakxdx x f 1)sin )((2≤+⎰b akxdx x f )272](10[P ．证明 上式左端应用Schwarz 不等式得2)cos )((⎰bakxdx x f 2)cos )(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰badx kx x f x f⎰⎰⋅≤babakxdx x f dx x f 2cos )()(⎰=bakxdx x f 2cos )(． (1)同理2)sin )((⎰bakxdx x f ⎰≤bakxdx x f 2sin )(． (2)由(1)+(2)即得原不等式成立． 5.4 利用W.H.Young 不等式 定理4)288](10[P 设)(x f 单调递增，在),0[+∞上连续，,0)0(=f )(,0,1x fb a ->表示)(x f 的反函数，则⎰⎰-+≤bady y f dx x f ab 010,)()(其中等号当且仅当b a f =)(时成立．例28 设,0,>b a ,1>p ,111=+qp 试证q b p a ab q p +≤)290](10[P ．证明 因为,1>p 所以1)(-=p xx f 单调递增且连续 (当0≥x 时)，1111)(---==q p y yy f )111(-=-q p ． 应用W.H.Young 不等式有 qb p a dy y f dx x f ab qp ba+=+≤⎰⎰-01)()(．。