第12课时 一元一次不等式的应用

一元一次不等式(组)在生活中的应用
一元一次不等式(组)是小学数学中的一个重要内容，它在我们的日常生活中有很多应用。

以下是一些关于一元一次不等式(组)在生活中的应用：
购物打折：很多商场会举办打折活动，例如：打五折、打八折等。

我们可以用一元一次不等式来计算打折后商品的价格，帮助我们做出更明智的购物决策。

制定家庭预算：家庭预算可以帮助我们合理规划家庭收支，避免浪费。

在制定家庭预算时，我们可以使用一元一次不等式来计算各种开支和收入之间的关系，以及如何分配家庭预算。

健身计划：健身计划可以帮助我们制定科学合理的健身计划，达到健身的目的。

在健身计划中，我们可以用一元一次不等式来计算身体指标和目标之间的关系，例如：BMI指数和体重、身高之间的关系。

公交出行：公交车站的到达时间通常是不确定的，我们可以使用一元一次不等式来计算公交车的到达时间和出发时间之间的关系，以便更好地安排出行时间。

总之，一元一次不等式(组)在我们的日常生活中有很多应用。

它可以帮助我们计算各种事物之间的关系，从而更好地规划生活和工作。

人教版初中数学一元一次不等式教案范文优秀7篇一元一次不等式教案篇一一、教学目标：(一)知识与能力目标：(课件第2张)1.体会解不等式的步骤，体会比较、转化的作用。

2.学生理解、巩固一元一次不等式的解法。

3.用数轴表示解集，加深对数形结合思想的进一步理解和掌握。

4.在解决实际问题中能够体会将文字语言转化成数学语言，学会用数学语言表示实际的数量关系。

(二)过程与方法目标：1.介绍一元一次不等式的概念。

2.通过对一元一次方程的解法的复习和对不等式性质的利用，导入对解不等式的讨论。

3.学生体会通过综合利用不等式的概念和基本性质解不等式的方法。

4.学生将文字表达转化为数学语言，从而解决实际问题。

5.练习巩固，将本节和上节内容联系起来。

(三)情感、态度与价值目标：(课件第3张)1.在教学过程中，学生体会数学中的比较和转化思想。

2.通过类比一元一次方程的解法，从而更好的掌握一元一次不等式的解法，树立辩证统一思想。

3.通过学生的讨论，学生进一步体会集体的作用，培养其集体合作的精神。

4.通过本节的学习，学生体会不等式解集的奇异的数学美。

二、教学重、难点：1.掌握一元一次不等式的`解法。

2.掌握解一元一次不等式的阶梯步骤，并能准确求出解集。

3.能将文字叙述转化为数学语言，从而完成对应用问题的解决。

三、教学突破：教材中没有给出解法的一般步骤，所以在教学中要注意让学生经历将所给的不等式转化为简单不等式的过程，并通过学生的讨论交流使学生经历知识的形成和巩固过程。

在解不等式的过程中，与上节课联系起来，重视将解集表示在数轴上，从而指导学生体会用数形结合的方法解决问题。

在研究中，鼓励学生用多种方法求解，从而锻炼他们活跃的思维。

四、教具：计算机辅助教学。

五、教学流程：(一)、复习：教学环节教师活动学生活动设计意图一元一次不等式教案篇二师：下面我们先看一下购物金额对选择哪家超市有何影响？请同学们根据老师给出的学习目标和问题，自学课文一三1页至一三2页例1上边的内容，要求独立或者小组合作，完成书上的问题(1)、(2)，时间是10分钟。

一元一次不等式的实际应用一元一次不等式是初中数学中的重要内容，它是解决实际问题的基础。

在生活中，我们经常会遇到一些与一元一次不等式相关的问题，比如购物打折、工资收入等等。

下面，我们将从这些实际问题入手，探讨一元一次不等式的实际应用。

一、购物打折在购物时，商家常常会推出打折活动，比如“买一送一”、“满100元减20元”等等。

这些活动都可以用一元一次不等式来表示。

例如，某商场推出了“满200元减50元”的活动，那么我们可以用以下不等式来表示：x≥200，其中x表示购物金额。

这个不等式的意思是，只有当购物金额不小于200元时，才能享受减50元的优惠。

如果购物金额小于200元，就不能享受优惠。

二、工资收入在工作中，我们的收入往往与工作时间和工作量有关。

如果我们知道了每小时的工资和工作时间，就可以用一元一次不等式来计算收入。

例如，某人每小时的工资为10元，他一天工作8小时，那么他一天的收入可以用以下不等式来表示：y≥80，其中y表示一天的收入。

这个不等式的意思是，他一天的收入不会小于80元。

如果他加班或者工作时间更长，他的收入会更高。

三、运动健身运动健身是现代人追求健康生活的一种方式。

在运动时，我们需要控制自己的心率和呼吸频率，以达到最佳的锻炼效果。

这个过程可以用一元一次不等式来表示。

例如，某人的最大心率为220减去他的年龄，他希望在锻炼时保持心率在最大心率的70%到85%之间，那么他的心率应该满足以下不等式：126≤x≤153，其中x表示他的心率。

这个不等式的意思是，他的心率应该在126到153之间，才能达到最佳的锻炼效果。

四、旅游出行旅游出行是人们放松身心、开阔眼界的一种方式。

在旅游时，我们需要控制自己的预算，以避免超支。

这个过程也可以用一元一次不等式来表示。

例如，某人计划去旅游，他的预算为1000元，他希望在旅游中尽可能多地体验当地的美食和文化，那么他的花费应该满足以下不等式：x≤1000，其中x表示他的花费。

一元一次不等式（组）在数学中的应用(一)北京市十七中 宋月娟研究课题：教学设计的有效性研究教学目标：经历与已有知识的沟通整合过程，归纳应用一元一次不等式（组）解决数学问题的方法。

通过一元一次不等式（组）应用的学习，体验不等式的应用价值。

通过本节课知识的整合，让学生逐步体会数学知识间的内在联系，逐步学会整合的学习方法教学重点：在不同知识内，列出一元一次不等式（组）解决问题。

教学难点：根据数学问题，列出不等式。

教学工具：多媒体教学方法：引导探究式教学过程：学生课前收集，目标中的综合性问题，准备课前展示，教师梳理 一、探究一: 不等式（组）在坐标系中的应用1、若点P （3x –9，1–x ）是x 轴上的点，求点P 的坐标。

2、若点P （3x –9，1–x ）是第三象限的点，求x 的范围。

3、若点P （3x –9，1–x ）是第三象限的整数点，求点P 的坐标。

4、若点P （3x –9，1–x ）在x 轴下方，y 轴右侧的点，求x 的范围。

说明：以题组让学生感悟坐标系中的相等关系和不等关系，引发学生用一元一次不等式组解决问题，体会学了不等式后数学知识的不断丰富。

二、探究二：不等式(组)在方程(组)中的应用5、已知关于x 的方程x －2k =0的解是非负数,求k 的取值范围;6、在关于x ，y 的方程组中,若方程组的解满足 x > y ,求m 的取值范围?说明：将方程（组）的解的不等关系情况呈现出来，启发学生将方程（组）适当变形，根据解的不等关系情况，列不等式（组）解决问题，培养学生的逻辑思维能力。

进一步体会学了不等式后数学知识的不断丰富。

三、探究三:不等式（组）在三角形中的应用7、三角形的三边长分别为5、a 、2,求a 的取值范围。

⎩⎨⎧-=+=+62y x 3m y 2x8、三角形的三边长分别为5、a 、2，当a 为奇数时，求三角形的周长.9、若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a 的取值范围是________10、已知等腰三角形的周长为15, 腰长为x（1)它的腰长的取值范围?（2)若它的边长都是整数,则不同的等腰三角形有几个?11、在三角形A B C 中，D 是B C 边上一动点，若∠B =80°，∠B A C =60°，∠A D C =X °, 则x 的取值范围是多少？说明：请学生列不等式（组）解决三角形的边角的不等关系， 问题11用几何画板课件辅助学生思考。

本讲在上一讲学习了一元一次不等式（组）的基础上，讲解一元一次不等式（组）的相关应用，以及含字母系数的不等式（组）和含绝对值的不等式．重点是灵活运用不等式的思想解决相关的实际问题，难点是掌握分类讨论的数学思想，用以解决含字母系数的不等式（组）和含绝对值的不等式的问题．1、 一元一次不等式及其解法只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式． 解一元一次不等式的一般步骤： （1）去分母； （2）去括号； （3）移项；（4）化成ax b >（或ax b <等）的形式（其中0a ≠）；（5）两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集．一元一次不等式（组）的应用与提高内容分析知识结构模块一：一元一次不等式的解法及应用知识精讲【例1】()5134y y--≥-的最大整数解是__________．【难度】★【答案】4．【解析】原不等式化为：28y≤，即：4y≤，所以最大整数解是4．【总结】考查不等式的解法，注意题目中求的是最大整数解．【例2】解下列不等式．（1）7341112536x x x x-++--≥-+；（2）()()112335123x x⎡⎤----≥⎢⎥⎣⎦．【难度】★★【答案】（1）3617x≤；（2）23x≤-．【解析】（1）去分母得：15(7)6(34)3010(1)5(1)x x x x--+≥-++-去括号得：10515182430101055x x x x---≥--+-合并同类项得：3472x≤解得：3617x≤；（2）化简得：5(23)23x x---+≥，4(23x--≥，423x-≤-即原不等式的解为：23x≤-．【总结】考查不等式的解法，注意去分母时每一项都要乘以最简公分母．【例3】当a为何值时，不等式31324x a x-->的解集是x > 2．【难度】★★【答案】16．【解析】去分母得：2(31)3x a x->-，去括号化简得：92x a>+所以原不等式的解为：29ax+>，即229a+=，解得：16a=．【总结】本题主要考查对不等式的解集的理解及运用．例题解析【例4】m为何正整数时，关于x的方程5315424x m m-=-的解是非正数？【难度】★★【答案】m为1或2或3．【解析】去分母得：53215x m m-=-，化简得：3x m=-．因为方程的解是非正数，所以30m-≤，解得：3m≤，所以正整数m的值为1、2、3．【总结】考查解一元一次方程与解不等式的综合运用，注意对非正数的理解．【例5】有一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，且这个两位数不大于63，求这个两位数．【难度】★★【答案】63或54或45或36或27或18．【解析】设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为(9)x-，则有：10963x x+-≤，解得：6x≤，所以这个两位数可能为：63、54、45、36、27、18．【总结】考查不等式的简单应用．【例6】10名菜农，每人可种甲种蔬菜3亩或种乙种蔬菜2亩，已知甲种蔬菜每亩可收入0．5万元，乙种蔬菜可收入0．8万元，要使总收入不低于15．6万元，则最多能安排几个人种甲种蔬菜？【难度】★★【答案】4人．【解析】设安排x人种甲种蔬菜，则种乙种蔬菜的人数为（10x-）人，则0.530.82(10)15.6x x⨯+⨯-≥，解得：4x≤，故最多安排4人种甲种蔬菜．【总结】考查不等式在实际生活中的简单应用．【例7】 用含药率15%与40%的同种农药混合成含药率不小于30%的农药100千克，那么含药率40%的农药应不少于多少千克？ 【难度】★★【答案】不少于60千克．【解析】设需含药率15%的农药x 千克，则需含药率40%的农药（100x -）千克， 可列方程：15%40%(100)30x x +-=，解得：40x =，故10060x -=千克． 【总结】考查不等式在实际生活中的简单应用．【例8】 某单位组织旅游，定了若干条游船（不超过10条），如每条游船坐4人，则还余19人没安排；如每条游船坐6人，则有一条船人没坐满．问：该单位定了多少条游船？ 【难度】★★ 【答案】10条．【解析】设该单位定了x 条游船(010)x x <≤，为整数，则0(419)6(1)6x x <+--<，解得：9.510x <≤， 所以10x =，即该单位定了10条游船． 【总结】考查不等式的简单应用．【例9】 某班班主任组织优秀班干部去旅游，甲旅行社说：“如果班主任买全票一张，则其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括班主任在内全部按全票价的6折优惠．”全票价为24元/张，就学生数讨论哪家旅行社更优惠． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】设旅行社收的费用为y 元，学生数有x 人，根据题意得：24024050%120240(1)24060%144144y x x y x x =+⨯⨯=+=+⨯⨯=+甲乙，当y y =甲乙时，解得4x =，即当学生数为4时，两家旅行社收费一样多； 所以可得：当4x >时，y y <甲乙；当4x <时，y y >甲乙．因此学生数多于4人时，选甲旅行社；当学生数少于4人时，选乙旅行社． 【总结】考查不等式的应用，注意对两种方案的选择．【例10】 已知A 市和B 市库存某种机器12台和6台，现决定支援C 市10台，D 市8台，已知从A 市调运一台机器到C 市、D 市的运费分别为400元和800元；从B 市调运一台机器到C 市、D 市运费分别300元和500元，要求运费不超过9000元，问共有几种调运方案． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】设B 市到C 市运x 台，则B 市到D 市运（6x -）台，A 市到C 市运（10x -）台， A 市到D 市运（12(10)x --）台，总运费为ω元，则 300500(6)400(10)800[12(10)]x x x x xω=+-+-+--=+，令9000ω≤，即20086009000+≤，解得：2x ≤． 所以共有三种调运方案：①B 市往C 市运0台，B 市往D 市运6台，A 市往C 市运10台，A 市往D 市运2台； ②B 市往C 市运1台，B 市往D 市运5台，A 市往C 市运9台，A 市往D 市运3台； ③B 市往C 市运2台，B 市往D 市运4台，A 市往C 市运8台，A 市往D 市运4台． 【总结】考查不等式的应用，注意对方案的选择．【例11】 解不等式：34312xx->-． 【难度】★★★【答案】102x <<．【解析】移项得：343012x x -->-，通分得：343(12)012x x x --->-，即2012xx>-． 1． 当0120x x >->，且时，解得：102x <<； 2．当0120x x <-<且时，不等式无解． 综上原不等式的解集为：102x <<． 【总结】本题综合性较强，注意分类讨论，切忌直接去分母．1、 解一元一次不等式组的一般步骤（1）求出不等式组中各个不等式的解集； （2）在数轴上表示各个不等式的解集；（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集．【例12】 不等式3941x -<-<的解集是__________． 【难度】★ 【答案】23x <<．【解析】移项：39419x --<-<-，两边同时除以-4：1248x -<-<-，解得：23x <<． 【总结】考查不等式组的解法．【例13】 同时满足不等式23104x-+≥和()225x -≥-的整数解是______________． 【难度】★★ 【答案】0、1、2．【解析】由第一个不等式可得：2340x -+≥，解得：2x ≤，由第二个不等式可得：245x -≥-，解得：12x ≥-，所以：122x -≤≤，故满足不等式组的整数解是：0、1、2．【总结】考查不等式组的解法及应用，注意对整数解的确定．模块二：一元一次不等式组的解法与应用知识精讲例题解析【例14】 x 的2倍与5的和的一半大于3-且不大于7，列出不等式（组）为____________，x 的取值范围为__________________． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】根据题意得：25372x +-<≤，解得：11922x -<≤． 【总结】考查不等式组的应用及解法．【例15】 不等式组()12143x ax x +<⎧⎪⎨->-⎪⎩的解集为一切负数，求a 的值．【难度】★★ 【答案】1．【解析】由①得：1x a <-，由②得：112x <，因为不等式组的解集为一切负数， 所以1x a <-，且101a a -==，解得：． 【总结】考查对不等式组的解集的理解及简单应用．【例16】 解下列不等式组： （1）1032752532x x x x x --⎧+-<-⎪⎪⎨⎪+>+⎪⎩；（2）()()22132237223x x x x x x ⎧+≤+⎪->+⎨⎪-≥+⎩．【难度】★★． 【答案】见解析【解析】（1）由①得：10(2)2(10)705(3)x x x +--<--，化简得：1345x <，解得：4513x <，由②得：4x >-， 所以原不等式组的解集为：45413x -<<； （2）由①得：1x ≥，由②得：5x >，由③得：4x ≥，所以原不等式组的解为：5x >．【总结】考查不等式组的解法：同大取大，同小取小，小大大小取中间，大大小小是空集．【例17】 一件商品售价为120元，若按售价九折出售，获利不超过20%；若按售价七折出售，则出现亏本．求商品成本价的范围．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】设商品成本价为x 元，由题意可得：12090%120%12070%x x ⨯≤+⎧⎨⨯<⎩，解得：9084x x ≥⎧⎨>⎩， 所以原不等式组的解集为：90x ≥．【总结】考查不等式组在实际问题中的简单应用．【例18】 一种灭虫药粉40千克，含药率是15%，现在要用含药率较高的同样的灭虫药粉50千克与它混合，使混合后的含药率在25%与30%之间（不包括25%和30%），求所用药粉的含药率的范围． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】设所用药粉的含药率为x ，由题意可得：4015%5025%30%4050x ⨯+<<+，解得：33%42%x <<， 即所用药粉的含药率在33%到42%之间．【总结】考查不等式组的简单应用，注意对含药率的准确理解．【例19】 某初三毕业班若干名同学合影留念，需交照相费40元（含两张照片），若另外加洗一张照片收费5元，预定平均每人交钱大于6元而少于8元，问：至少有多少学生参加照相，才能保证一人一张照片？ 【难度】★★ 【答案】11．【解析】设有x 名学生参加照相，由题意可得：6405(2)8x x x <+-<，解得：1030x <<，因为学生数为整数，所以至少有11名同学．【总结】考查不等式组在实际问题中的简单应用，注意学生数只能取整数．【例20】 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A 、B 两种产品共50件，已知生产一件A 种产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克，出售后可获利700元；生产一件B 种产品需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，出售后可获利1200元．按要求安排A 、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？ 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】设生产A 种产品x 件，则有：94(50)360310(50)290x x x x +-≤⎧⎨+-≤⎩，解得：3032x ≤≤，所以有三种方案：①生产A 种产品30件，B 种产品20件；此时获利：7003012002045000⨯+⨯=元； ②生产A 种产品31件，B 种产品19件；此时获利：7003112001944500⨯+⨯=元； ③生产A 种产品32件，B 种产品18件；此时获利：7003212001844000⨯+⨯=元， 所以采用方案①所获利润最大，为45000元．【总结】本题综合性较强，主要考查不等式组在实际问题中的应用．【例21】 某厂2016年12月在制定2017年某种化肥的生产计划时，收集到了如下信息： 生产该化肥的工人数不能超过200人；每个工人全年工时数不得多于2100个；预计2017 年该化肥至少可销售80000袋；每生产一袋该化肥需要4个工时；每袋该化肥需要原料 20千克；现库存原料800吨，本月还需要200吨，2017年可补充1200吨． 请你根据以上数据确定2017年该种化肥的生产袋数的范围． 【难度】★★★【答案】8000090000x ≤≤．【解析】设2017年该种化肥的生产袋数为x ，则根据题意，可得：4210020020(8002001200)10008000x x x ≤⨯⎧⎪≤-+⨯⎨⎪≥⎩由①得：105000x ≤， 由②得：90000x ≤所以8000090000x ≤≤，即2017年生产袋数范围是8000090000x ≤≤． 【总结】本题综合性较强，主要考查不等式组在实际问题中的应用．【例22】甲、乙两人到某折扣店买商品，商店的商品只剩两种，单价为32元和36，已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了688元，求两人共购买两种商品各多少件？【难度】★★★【答案】8、12．【解析】设单价为32元的购买x件，36元的y件，则3236688x y+=，化简得：8()172x y y++=，因为x、y均为整数，所以解得812xy=⎧⎨=⎩，即两人共购买甲商品8件，乙商品12件．【总结】本题综合性较强，主要考查不等式组在实际问题中的应用．【例23】已知a、b、c为三个非负数，且满足325a b c++=，231a b c+-=，若39S a b c=+-，则S的最大值与最小值为多少？【难度】★★★【答案】见解析．【解析】由325231a b ca b c++=⎧⎨+-=⎩①②，得73711a cb c=-⎧⎨=-⎩③④，所以393(73)71192 s a b c c c c c=+-=-+--=-．因为a、b、c为三个非负数，故由③得：730a c=-≥，37c≥，由④得：7110b c=-≥，711c≤，所以37711c≤≤，则当711c=时，s值最大，为1511-；当37c=时，s值最小，为137-．【总结】本题较复杂，主要考查不等式组的应用，注意用一个未知量去表示另一个未知量．1、 含字母系数的不等式根据不等式的性质3可知：对于不等式1ax >，若0a >，则1x a >；若0a <，则1x a<．【例24】 解关于x 的不等式()120a x a --+>（其中a > 1）． 【难度】★ 【答案】21a x a ->-． 【解析】由题意可得：(1)2a x a ->-，因为a > 1，所以10a ->，所以21a x a ->-． 【总结】考查不等式的解法，注意对字母系数的正负的判定．【例25】 讨论关于x 的不等式ax < b （0a ≠）的解的情况． 【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】当0a >时，b x a <； 当0a <时，bx a>． 【总结】考查解含字母系数的不等式，注意分类讨论．【例26】 设a < 1，解不等式1ax a x +-<． 【难度】★★ 【答案】1x >-．【解析】由题意可得：(1)1a x a -<-，因为a < 1，所以10a -<， 所以原不等式的解为1x >-．【总结】考查不等式的解法，注意对字母系数的正负的判定．模块三：含字母系数的不等式（组）知识精讲例题解析【例27】 解关于x 的不等式2m x n x ->+． 【难度】★★ 【答案】21nx m <-+． 【解析】由题意可得：2m x x n -->，即2(1)m x n -+>， 因为2(1)0m x -+<，所以原不等式的解为21nx m <-+． 【总结】考查不等式的解法，注意对字母系数的正负的判定．【例28】 已知关于x 的不等式()3223a x a -<-的解集是1x >-，求a 的取值范围． 【难度】★★★【答案】23a <．【解析】由题意可得：320a -<，解得：23a <． 【总结】考查对不等式的解集的理解及应用．【例29】 设不等式()()230a b x a b ++-<的解集是13x <-，解关于x 的不等式()32a b x a b ->-．【难度】★★★ 【答案】3x <-．【解析】由题意可得：不等式的解集为：32b ax a b-<+， 3213b a a b -∴=-+，解得2a b =，代入()32a b x a b ->-，得：3bx b ->． 0320200a b b a a b a b +>-<=∴>>，且，，，()323x a b x a b x ∴->-<-的解集的式为：关于不等．【总结】本题综合性较强，要先根据第一个不等式的解集，求出a 、b 之间的关系，从而再求出第二个不等式的解集，注意要根据已知条件判断系数的符号．1、 ax b c +>（0c >）的解法是：先化为不等式组ax b c +>或ax b c +<-，再由不等式的性质求出原不等式的解集． 2、 ax b c +<（0c >）的解法是：先化为不等式c ax b c -<+<，再由不等式的性质求出原不等式的解集．【例30】 下列不等式中，解集为一切实数的是（ ）A ．21x +>B ．211x ++>C ．()2781x ->-D ．()27810x -->【难度】★ 【答案】C【解析】A 、B 选项当x 取-2时不成立； C 选项()2780x -≥所以不论取何值时都是成立的； D 选项当x 取78时不成立． 【总结】考查绝对值的非负性的运用．【例31】 解绝对值不等式． （1）23x -≤；（2）23x ->．【难度】★★【答案】（1）15x -≤≤；（2）51x x ><-或． 【解析】（1）323x -≤-≤，解得：15x -≤≤； （2）23x ->或23x -<-，解得：51x x ><-或． 【总结】考查含绝对值符号的不等式的解法．模块四：含绝对值符号的不等式知识精讲例题解析【例32】 解不等式125x -<． 【难度】★★ 【答案】23x -<<．【解析】由题意得：5125x -<-<，即：624x -<-<，解得：23x -<<． 【总结】考查含绝对值符号的不等式的解法．【例33】 不等式组1122210x x ⎧-≥⎪⎨⎪-<⎩的解集为____________．【难度】★★ 【答案】82x -<≤-．【解析】由题意：由①得：2x ≤-；由②得：812x -<<，所以不等式组的解集为：82x -<≤-． 【总结】考查含绝对值符号的不等式的解法．【例34】 解不等式组：431013x ≤-<． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】由题意可得：1331013x -<-<、31043104x x -≥-≤-或，解得：2313x -<<；1423x x ≤≥或，所以原不等式组的解为：14231233x x -<≤≤<或． 【总结】考查含绝对值符号的不等式的解法，注意解集取公共部分．【例35】 解不等式：211x x +>+． 【难度】★★★【答案】23x <-或0x >．【解析】①若210x +≥，即12x ≥-时，有211x x +>+，解得：0x >，②若210x +<，即12x <-时，有211x x -->+，解得：23x <-，综上，不等式的解集为：23x <-或0x >．【总结】考查含绝对值符号的不等式的解法，注意分类讨论．【例36】 解不等式：211x x -+>． 【难度】★★★ 【答案】203x x ><-或． 【解析】由题意，不等式可化为：211211x x x x -+>-+<-或， 整理得：211211x x x x +<-+>+或，由①可得：210210211211x x x x x x +>+<⎧⎧⎨⎨+<---<+⎩⎩或，此时无解，由②得：210210211211x x x x x x +>+<⎧⎧⎨⎨+>+-->+⎩⎩或，解得：203x x ><-或，综上原不等式的解集为：203x x ><-或． 【总结】考查含绝对值符号的不等式的解法，注意分类讨论．【习题1】 解下列不等式．（1）14153328x x ++≥--； （2）0.30.20.050.010.70.120.40.020.3x x x ++--≤-． 【难度】★★ 【答案】（1）394x ≥-；（2）4x ≤． 【解析】（1）由题意，去分母得：120884123x x -≥--，整理得：439x ≥-，解得：394x ≥-； （2）由题意化简得：3251712423x x x ++--≤-， 去分母得：9630624-284x x x +--≤+，整理得：728x ≤， 解得：4x ≤．【总结】考查不等式的解法，注意去分母时每一项都要乘以最简公分母．随堂检测【习题2】 解不等式组：（1）()()11373113365221038127x x x xx x x ⎧----<-⎪⎪⎨--⎪-<-⎪⎩；（2）342534127232310.54x xx x x x x x +<+⎧⎪-<-⎪⎪+⎨+<--⎪⎪-->⎪⎩．【难度】★★ 【答案】（1）613x >；（2）11x -<<． 【解析】（1）由①得：7055(3)18615(13)x x x x --<---， 整理得：18366x >，解得：613x >； 由②得：147(38)4(10)14x x x --<--，整理得：756264x x -+<-，解得：10x >， 所以原不等式组的解集是：613x >； （2）由①得：1x >-；由②得：2x <；由③得：1x <；由④得：2x >-， 所以原不等式组的解集是：11x -<<． 【总结】考查解不等式组的简单应用．【习题3】 若代数式32353x x -+-的值是非负数，则x 的取值范围是_______． 【难度】★★【答案】214x ≥．【解析】由题意可得：323053x x -+-≥，化简得：965150x x ---≥，解得：214x ≥． 【总结】考查不等式的简单应用，注意对非负数的准确理解．【习题4】 三个连续的正偶数的和不超过30，求这三个数． 【难度】★★． 【答案】见解析．【解析】由题意得：2222230n n n -+++≤，即6305n n ≤≤，，所以2345n =、、、， 所以这三个数为2、4、6或4、6、8或6、8、10或8、10、12． 【总结】考查不等式在实际问题中的简单应用．【习题5】公园门票，普通票每位10元，如买20人以上（含20人）的团体票则可8折优惠．现有18位游客买了20人的团体票，问比买普通票省了多少钱？如果不足20人，至少多少人买20人的团体票比买普通票省钱？【难度】★★【答案】省了20元；至少17人．【解析】（1）18位游客买20人的团体票所需费用为：20×10×80%=160元，这18为游客若买普通票则需要费用为18×10=180元，所以便宜180-160=20元；（2）设至少有x人，则：20 1020100.8xx<⎧⎨>⨯⨯⎩解得：1620x<<，所以至少17人．【总结】考查不等式的简单应用，解题时注意认真分析题意．【习题6】在爆破时，如果导火线燃烧的速度是0.8厘米/秒，人跑开的速度是5米每秒，那么点燃导火线的人要在爆破时能跑到100米以外的安全区域，导火线的长度应不小于多少米？【难度】★★【答案】0.16米．【解析】设导火线应该是x厘米．由题意得：0.81005x÷≥÷，解得：16x≥经检验符合题意，所以导火线的长度至少16厘米，即0.16米．【总结】考查不等式的简单应用，注意单位的统一．【习题7】某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两种机器供选择，其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，（1）按该公司要求可以有几种购买方案？（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？【难度】★★【答案】见解析．【解析】设购买甲种机器x 台（0x ≥），则购买乙种机器(6)x -台，由题意得：75(6)34x x +-≤，解得：2x ≤，即可以取0、1、2三个值．所以有以下方案：方案①：不买甲，买乙6台，需资金6×5=30万元，日生产能力为6×60-360个， 方案②：买甲1台，买乙5台，需资金1×7+5×5=32万元， 生产能力为100+5×60=400个，方案③：买甲2台，买乙4台，需资金2×7+4×5=34万元，生产能力为2×100+4×60=440， 因此，选择方案②，既能达到生产能力又比方案③节约． 【总结】考查不等式的简单应用，注意对最优方案的选择．【习题8】 今有浓度5%、8%、9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克，现要配制7%的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？【难度】★★★【答案】甲种盐水最多取49克，最少取35克．【解析】设甲乙丙盐水分别各取x 克、y 克、z 克，配成浓度为7%的盐水100克， 则有1005897%100x y z x y z ++=⎧⎨++=⨯⎩①②，其中060060047x y z ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩③④⑤由①②得：20043100y x z x =-=-，，于是由④有：0200460x ≤-≤，解得：3550x ≤≤， 由⑤得：0310047x ≤-≤，解得：100493x ≤≤， 综上：3549x ≤≤，所以甲种盐水最多取49克，最少取35克． 【总结】考查不等式在实际问题中的应用，综合性较强，注意进行分析．【习题9】 解不等式：3315x -≥． 【难度】★★【答案】64x x ≥≤-或．【解析】由题意得：33153315x x -≥-≤-或，解得：64x x ≥≤-或． 【总结】考查含绝对值的不等式的解法．【习题10】 解关于x 的不等式ax b cx d +>+． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】由题意得：()a c x d b ->-，分类讨论如下：①当0a c ->时，原不等式的解为：d bx a c ->-； ②当0a c -<时，原不等式的解为：d bx a c-<-； ③当0a c -=，0d b -<时，原不等式有无数解； ④当0a c -=，0d b -≥时，原不等式无解．【总结】考查含字母系数的不等式的解法，注意分类讨论．【习题11】 如果不等式()312x a --≤的正整数解是1、2，求a 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】14a ≤<．【解析】由题意整理得：31x a ≤-，解得：13ax -≤， 因为原不等式的正整数解是1、2，则1233a-≤<，解得：14a ≤<． 【总结】考查不等式的应用，注意对解得取值范围的准确判定．【习题12】 已知关于x 的不等式()432a b x b a ->-的解集是49x <，求ax b >的解集． 【难度】★★★【答案】56x <．【解析】由题意得：430a b -<，24439b a x a b -<=-，得56b a =，即56ab =， 代入430a b -<，得0a <， 所以不等式ax b >的解集为：b x a<，即56x <．【总结】考查不等式的简单应用，注意对字母的正负进行判定．【作业1】 解下列不等式（组）．（1）31362232x x xx +--+≤-； （2）()()3116.5 5.52184y y y +--<-++； （3）427336452335x x x x x x +≥+⎧⎪+>+⎨⎪-≤-⎩．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）化简得：31226(2x x x x ++-≤--，整理得31452x x x +-≤+， 解得原不等式的解集为：2513x ≥； （2）去分母得：523(1)442(1)16(1)y y y -+<--++，整理得：1713y >-， 解得原不等式的解集为：1317y >-； （3）由①得：15x ≤；由②得：592x >-；由③得：2x ≥， 可画图发现原不等式组无解． 【总结】考查解不等式的简单应用．【作业2】 下面四个结论中，正确的个数有（ ）（1）ax b =，当0a ≠时，解为b x a =； （2）ax b <，当0a ≠时，解集为bx a<；（3）ax b ->，当0a <，解集为b x a >-； （4）()21a x b +>-的解集为21bx a <-+．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】★★ 【答案】B【解析】（1）正确；（2）错误，本题需分类讨论；（3）正确；（4）错误，21bx a >-+，综上可得只有（1）、（3）正确，故选B ．【总结】考查不等式的解法，注意对字母系数的正负进行判定．课后作业【作业3】 已知不等式组212x a x a >+⎧⎨<-⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤-B ．3a <-C ．3a ≥-D ．3a >-【难度】★★【答案】C 【解析】由题意可得212a a +≥-，即3a ≥-，故选C ．【总结】考查不等式组的解法：大大小小是空集．【作业4】 a 的3倍与5的和不大于16与a 的差，求正整数a ．【难度】★★【答案】1或2．【解析】根据题意可得：3516a a +≤-，解得：114a ≤，所以正整数a 可能是1或2． 【总结】考查不等式的应用及解法．【作业5】 求使代数式23375x x ---的值不大于1的最大整数x ． 【难度】★★【答案】9．【解析】由题意可得：233175x x ---≤，去分母得5(23)7(3)35x x ---≤， 化简得：329x ≤，解得：293x ≤，所以x 的最大整数解为9． 【总结】考查不等式的简单应用．【作业6】 如果方程组42533x y k y x +=-⎧⎨-=⎩的解同号，求k 的取值范围． 【难度】★★【答案】732k k <->或． 【解析】由题意可得方程组的解为：618132713k x k y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，因为方程组的解同号， 得：6182701313k k -+⋅>，即(3)(27)0k k -+>，解得732k k <->或 【总结】本题主要考查不等式组与方程组的综合应用，注意“同号得正”的运用．【作业7】 把一箱苹果分给若干个小孩，如果每人分2个，还剩37个；如果每人分6个，那么最后一个小孩少于6个，求共有多少个小孩？【难度】★★【答案】10个．【解析】设有x 个小孩，由题意可得：662376x x x -<+<，解得：374344x <<，因为人数为整数，所以有10个小孩． 【总结】考查不等式在实际生活中的的简单应用．【作业8】 工程队原计划6天内完成300土方工程，第一天完成60土方，现决定比原计划提前2天超额完成，问后几天每天平均至少完成多少土方？【难度】★★【答案】80．【解析】设后几天平均每天完成x 土方．具根据题意有：60(612)30x +--≥，解得：80x ≥，即后几天平均每天至少完成80土方．【总结】考查不等式在实际生活中的的简单应用．【作业9】 某童装加工企业今年五月份，工人每人平均加工童装300套，最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%．为了提高工人的劳动积极性，按照完成完成外商订货任务，企业计划从六月份起进行工资改革．改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资900元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元．（1）为了保证所有工人的每月工资收入不低于1260元，按五月份工人加工的童装套数计算，工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元？（2）根据经营情况，企业决定每加工1套童装奖励5元．工人小张争取六月份工资不少于2000元，问小张在六月份应至少加工多少套童装？【难度】★★★【答案】（1）2元；（2）220套．【解析】（1）设企业每套奖励x 元，则90060%3001260x +⋅≥，解得：2x ≥；（2）设小张在六月份加工y 套，则90052000y +≥，解得：220y ≥，故工人每加工1套童装企业至少应奖励2元；小张在六月份应至少加工220套童装．【总结】考查不等式在实际问题中的简单应用，注意认真分析题目中的条件．【作业10】 解关于x 的不等式()()11ax x a a >++-．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】由题意可得：(1)(1)(1)a x a a ->+-当10a ->时，解得：1x a >+；当10a -<时，解得：1x a <+．【总结】考查解含字母系数的不等式，注意分类讨论．【作业11】 解不等式组：2539x ≤-<． 【难度】★★★【答案】413x -<≤或71433x ≤<． 【解析】由题意：539532x x ⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩①②，由①得：9539x -<-<，解得：41433x -<<； 由②得：532532x x -≥-≤-或，解得：713x x ≤≥或； 综上，原不等式组的解为413x -<≤或71433x ≤<． 【总结】本题综合性较强，主要考查含绝对值的不等式组的解法，最后注意引导学生用画图的方法帮助确定不等式组的取值范围．。

类型十二、一元一次不等式与二元一次方程结合应用【解惑】某商店欲购进A 、B 两种商品．若购进A 种商品5件和B 种商品4件需300元；购进A 种商品6件和B 种商品8件需440元．(1)求A 、B 两种商品每件的进价分别为多少元？(2)若该商店每销售1件A 种商品可获利8元，每销售1件B 种商品可获利6元，该商店准备购进A 、B 两种商品共50件，且这两种商品全部售出后总获利不低于344元，则至少购进多少件A 商品？方法：（1）分别设A 、B 两种商品进价为x 、y 元，由题意可列出方程组，求解即可．（2）设A 种商品x 件，则B 种商品为()50x -件，根据题意列出不等式求解即可．【融会贯通】1．哈美佳外校为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和象棋供兴趣小组活动使用，若购买4副围棋5副象棋的价钱为114元，购买8副围棋3副象棋的价钱为158元．(1)求每副围棋和每副象棋各多少元?(2)学校决定购买围棋和象棋共40副，总费用不超过550元，那么哈美佳外校最多可以购买多少副围棋? 2．美佳学校为参加“体育节”的获胜班级购买奖品，第一次用440元同时购进A 、B 两种型号篮球各8个，其中购进一个A 型号篮球比购进一个B 型号篮球少5元．(1)求A 、B 两种型号篮球的进货单价各为多少元？(2)学校第二次共购进A 、B 两种型号篮球50个做为奖品，若总金额不高于1450元，最少应购进A 型号篮球多少个？ 3．在哈尔滨疫情中，某蔬菜公司要将本公司物资，紧急运往香坊区进行物资援助，经与运输部门协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车，已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2900元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2800元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同．(1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？(2)若蔬菜公司决定租用6辆运输车，且此次租车费用不超过5700元，那么该公司至少租用几辆甲型汽车？【知不足】1．哈美佳外校为迎接“2023年元旦雪地足球赛”，计划购买A品牌、B品牌两种品牌号的足球．已知A品牌足球比B 品牌足球单价多10元，若购买20个A品牌足球和15个B品牌足球需用3350元．(1)求每个A品牌足球和每个B品牌足球各多少元；(2)哈美佳外校决定购买A品牌足球和B品牌足球共50个，总费用不超过4650元，那么最多可以购买多少个A品牌足球？2．娄底吾悦广场将于2023年底投入使用，计划在广场内种植A、B两种花木共340棵，若A花木数量是B花木数量的2倍多10棵．(1)A、B两种花木的数量分别是多少棵？(2)如果A花木的单价是每棵30元，B花木的单价是每20元，为节约资金园林处计划种植花木的费用不超过9000元，那么种植A花木最多多少棵？3．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，为了感受大自然，描绘大自然的美景，陈同学和李同学打算购买画笔与画板两种写生工具数量若干，已知购买2盒画笔和4个画板共需94元，购买4盒画笔和2个画板共需98元．(1)购买一盒画笔和一个画板各需要多少元？(2)陈同学和李同学商量，需要画笔盒数和画板个数总共为10，且购买这些写生工具的总费用不超过157元，请问最少购买画板多少个？4．某工厂有甲，乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品．如果销售A产品30件，B产品20件，共收入680元；如果销售A产品50件，B产品40件，共收入1240元．(1)求A、B两种产品每件销售各多少元；(2)现要销售A、B两种产品共300件，总费用不超过4000元，那么A产品最少销售多少件？【一览众山小】1．哈市某小区为了营造节日氛围，改善小区环境，准备从灯具商店购进A、B两种型号的灯笼，经调查得知，若购进1个A型灯笼和3个B型灯笼共需140元，若购进2个A型灯笼和1个B型灯笼共需130元．(1)求每个A型灯笼和每个B型灯笼各需多少元？(2)若该小区准备一次性购买两种灯笼共80个，且总费用不超过3000元，则该小区最多可购买A型灯笼多少个？2．2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共200个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．(1)若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了12700元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量；(2)该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的200个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利3000元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？3．某校近期举办了一年一度的戏剧节比赛．某班级因节目需要，须购买A、B两种道具．已知购买1件A道具比购买1件B道具多10元，购买2件A道具和3件B道具共需要45元．(1)购买一件A道具和一件B道具各需要多少元？(2)根据班级情况，需要这两种道具共60件，且购买两种道具的总费用不超过615元．求道具A最多购买多少件？4．在“抗击疫情”期间，我县教育局工会号召广大师生积极开展“献爱心捐款”活动，某学校拟用这笔捐款购买A、B 两种防疫物品．如果购买A种物品120件、B种物品90件，共需2280元；如果购买A种物品90件、B种物品60件，共需1680元．(1)求A、B两种防疫物品每件各多少元？(2)现要购买A、B两种防疫物品共1200件，总费用不超过14000元，那么A种防疫物品最多能购买多少件？5．为迎接哈尔滨冰雪节，某商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品3件，B种纪念品5件，需要2100元；若购进A种纪念品4件，B种纪念品10件，需要3800元．(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？(2)若该商店决定购进这两种纪念品共30件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这30件纪念品的资金不超过8000元，那么该商店最少可购进A种纪念品多少件？【温故为师】1．某电机厂计划生产批电机设备，其中这批设备包括A型、B型两种型号，如果生产2件A型产品和3件B型产品需成本21万元，如果生产5件A型产品和4件B型产品需成本35万元．(1)求生产一件A型产品和一件B型产品各需成本多少万元；(2)经市场调查，一件A型产品售价为5万元，一件B型产品售价为8万元，若工厂生产这批设备中B型产品的件数是A型产品的件数2倍还多6件，销售这批设备共获利不少于58万元，那么工厂生产A型产品至少多少件？2．为了养成学生良好的卫生习惯，学校决定采购一批某品牌A、B两种型号洗手液，经市场调查发现，若购买1个A型号的洗手液和2个B型号的洗手液共需40元，若购买2个A型号的洗手液和2个B型号的洗手液共需50元．(1)求A、B两种型号的洗手液的单价各是多少元；(2)学校购买两种品牌的洗手液共350瓶，总费用不超过4000元，那么至少需要购买A型号的洗手液多少瓶？3．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；(2)学校计划采购篮球、足球共50个，且总费用不超过5500元．那么最多采购篮球多少个？4．某校为增加学生的体育课活动，决定购买一批体育用品，若购买10个足球和4个篮球需要400元，购买5个足球和9个篮球需要550元.(1)求篮球、足球的单价；(2)如果需要购买篮球、足球共20个，且费用不超过880元，则最多可以购买多少个篮球？5．某文教用品商店欲购进A B、两种文具盒，若购买20个A种文具盒和30个B种文具盒共需1300元，买30个A 种文具盒和20个B种文具盒共需1200元．(1)求A B、两种文具盒的进价分别为多少元？(2)若该商店A种文具盒每个售价24元，B种文具盒每个售价35元，准备购进A B、两种文具盒共100个，且这两种文具盒全部售出后总获利不小于480元，则最多购进A种文具盒多少个？6．疫情期间某药店购进一批N95口罩，其中10只/包与20只/包的口罩共有500包，已知10只/包的N95口罩进价为30元/包，20只/包的N95口罩进价为55元/包．(1)若购进这两种规格的N95口罩共花了2万元，请分别求出购进10只/包与20只/包口罩的包数．(2)该药店计划将10只/包的口罩销售价定为45元/包，20只/包的口罩销售价定为85元/包，若购进的500包这两种规格的N95口罩全部售完，且至少盈利9000元，求购进的20只/包的口罩至少多少包?7．2020年9月6日，国家“东数西算”产业联盟在甘肃省兰州市成立．这个产业联盟将搭建东西部算力供需对接平台，优化我国东中西部算力资源协同发展格局，有助于形成自由流通、按需配置、有效共享的数据要素市场．为增强体验感，产业联盟计划投资打造小米产品展厅和金山云智慧体验馆．展厅和体验馆共占地9万平方米，其中展厅每万平方米造价480万元，体验馆每万平方米造价560万元，共用去资金4720万元．(1)求小米产品展厅和金山云智慧体验馆各多少万平方米？(2)开工后发现展厅造价每万平方米上涨了a％，体验馆造价每万平方米下降了0.4%a，且总费用不超过4800万元，求a的最大值．答案与解析【融会贯通】1．哈美佳外校为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和象棋供兴趣小组活动使用，若购买4副围棋5副象棋的价钱为114元，购买8副围棋3副象棋的价钱为158元．(1)求每副围棋和每副象棋各多少元?(2)学校决定购买围棋和象棋共40副，总费用不超过550元，那么哈美佳外校最多可以购买多少副围棋? 【答案】(1)每副围棋16元，每副象棋10元(2)哈美佳外校最多可以购买25副围棋【详解】（1）解：设每副围棋x 元，每副象棋y 元，根据题意得，4511483158x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：1610x y =⎧⎨=⎩，答：每副围棋16元，每副象棋10元；（2）解：设哈美佳外校购买z 副围棋，则购买()40z -副象棋，依题意得，()161040550z z +-≤解得： 25z ≤，∵z 为正整数，∴25z =，答：哈美佳外校最多可以购买25副围棋．2．美佳学校为参加“体育节”的获胜班级购买奖品，第一次用440元同时购进A 、B 两种型号篮球各8个，其中购进一个A 型号篮球比购进一个B 型号篮球少5元．(1)求A 、B 两种型号篮球的进货单价各为多少元？(2)学校第二次共购进A 、B 两种型号篮球50个做为奖品，若总金额不高于1450元，最少应购进A 型号篮球多少个？【答案】(1)A 型号篮球的进货单价为25元，B 型号篮球的进货单价为30元(2)最少应购进A 型号篮球10个【详解】（1）解：设A 型号篮球的进货单价为x 元，则B 型号篮球的进货单价为()5+x 元，由题意知()858440x x ++=，解得25x =，530x +=，即A 型号篮球的进货单价为25元，B 型号篮球的进货单价为30元．（2）解：设购进A 型号篮球m 个，则()2530501450m m +-≤，解得10m ≥，即最少应购进A 型号篮球10个．3．在哈尔滨疫情中，某蔬菜公司要将本公司物资，紧急运往香坊区进行物资援助，经与运输部门协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车，已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2900元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2800元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同．(1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？(2)若蔬菜公司决定租用6辆运输车，且此次租车费用不超过5700元，那么该公司至少租用几辆甲型汽车？【答案】(1)租用一辆甲型汽车费用是900元，租用一辆乙型汽车的费用是1000元(2)该公司至少租用3辆甲型汽车【详解】（1）解：设租用一辆甲型汽车费用是x 元，一辆乙型汽车的费用是y 元，得2290022800x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得9001000x y =⎧⎨=⎩，答：租用一辆甲型汽车费用是900元，租用一辆乙型汽车的费用是1000元；（2）解：设租用甲型汽车a 辆，则租用乙型汽车()6a -辆，由题意得：()900100065700a a +-≤，解得3a ≥，答：那么该公司至少租用3辆甲型汽车．【知不足】1．哈美佳外校为迎接“2023年元旦雪地足球赛”，计划购买A 品牌、B 品牌两种品牌号的足球．已知A 品牌足球比B 品牌足球单价多10元，若购买20个A 品牌足球和15个B 品牌足球需用3350元．(1)求每个A 品牌足球和每个B 品牌足球各多少元；(2)哈美佳外校决定购买A 品牌足球和B 品牌足球共50个，总费用不超过4650元，那么最多可以购买多少个A 品牌足球？【答案】(1)每个A 品牌足球100元，每个B 品牌足球90元(2)15个【详解】（1）解：设每个A 品牌足球单价为x 元，则每个B 品牌足球为10x -元， 根据题意可得：()2015103350x x +-=，解得：100x =，1090x -=，答：每个A 品牌足球100元，每个B 品牌足球90元；（2）解：设购买m 个A 品牌足球，则购买(30)m -个B 品牌足球，依题意得：()10090504650m m +-≤，解得：15m ≤，答：最多可以购买15个A 品牌足球．2．娄底吾悦广场将于2023年底投入使用，计划在广场内种植A 、B 两种花木共340棵，若A 花木数量是B 花木数量的2倍多10棵．(1)A 、B 两种花木的数量分别是多少棵？(2)如果A 花木的单价是每棵30元，B 花木的单价是每20元，为节约资金园林处计划种植花木的费用不超过9000元，那么种植A 花木最多多少棵？【答案】(1)A 花木的数量是230棵，B 花木的数量是110棵(2)最多220棵【详解】（1）解：设在广场内种植A 花木的数量是x 棵，B 花木的数量是y 棵，根据题意得：210340x y x y =+⎧⎨+=⎩， 解得：230110x y =⎧⎨=⎩．答：在广场内种植A 花木的数量是230棵，B 花木的数量是110棵； （2）设种植A 花木m 棵，则种植B 花木()340m -棵，根据题意得：()30203409000m m +-≤，解得：220m ≤，∴m 的最大值为220．答：种植A 花木最多220棵．3．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，为了感受大自然，描绘大自然的美景，陈同学和李同学打算购买画笔与画板两种写生工具数量若干，已知购买2盒画笔和4个画板共需94元，购买4盒画笔和2个画板共需98元．(1)购买一盒画笔和一个画板各需要多少元？(2)陈同学和李同学商量，需要画笔盒数和画板个数总共为10，且购买这些写生工具的总费用不超过157元，请问最少购买画板多少个？ 【答案】(1)购买一盒画笔需要17元，一个画板需要15元(2)最少购买画板7个【详解】（1）解：设购买一盒画笔需要x 元，一个画板需要y 元，根据题意有24944298x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：1715x y =⎧⎨=⎩． 答：购买一盒画笔需要17元，一个画板需要15元；（2）解：设最少购买画板a 个，则购买画笔(10)a -个，根据题意有17(10)15157a a -+≤，解得： 6.5a ≥，∵根据题意可知a 为整数，∴最少购买画板7个．4．某工厂有甲，乙两个车间，甲车间生产A 产品，乙车间生产B 产品．如果销售A 产品30件，B 产品20件，共收入680元；如果销售A 产品50件，B 产品40件，共收入1240元．(1)求A 、B 两种产品每件销售各多少元；(2)现要销售A 、B 两种产品共300件，总费用不超过4000元，那么A 产品最少销售多少件？ 【答案】(1)A 产品每件销售12元，B 产品每件销售16元(2)A 产品最少销售200件【详解】（1）解：设A 产品每件销售x 元，B 产品每件销售y 元，根据题意得：302068050401240x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：1216x y =⎧⎨=⎩，答：A 产品每件销售12元，B 产品每件销售16元．（2）解：设销售A 产品m 件，则销售B 产品()300m -件，根据题意得：()12163004000m m +-≤，解得：200m ≥， 答：A 产品最少销售200件．【一览众山小】1．哈市某小区为了营造节日氛围，改善小区环境，准备从灯具商店购进A 、B 两种型号的灯笼，经调查得知，若购进1个A 型灯笼和3个B 型灯笼共需140元，若购进2个A 型灯笼和1个B 型灯笼共需130元．(1)求每个A 型灯笼和每个B 型灯笼各需多少元？(2)若该小区准备一次性购买两种灯笼共80个，且总费用不超过3000元，则该小区最多可购买A 型灯笼多少个？【答案】(1)每个A 型灯笼需50元，每个B 型灯笼需30元(2)30个【详解】（1）解：设每个A 型灯笼需x 元，每个B 型灯笼需y 元，根据题意得31402130x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得5030x y =⎧⎨=⎩，∴每个A 型灯笼需50元，每个B 型灯笼需30元，答：每个A 型灯笼需50元，每个B 型灯笼需30元；（2）解：设该小区可购买A 型灯笼m 个，根据题意得：()5030803000m m +-≤，解得30m ≤，∵m 为整数，∴m 的最大值为30．答：该小区最多可购买A 型灯笼30个．2．2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共200个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．(1)若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了12700元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量；(2)该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的200个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利3000元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？ 【答案】(1)购进摆件90个，挂件110个(2)购进挂件不能超过100个【详解】（1）解：设购进“冰墩墩”摆件x 件，“冰墩墩”挂件的y 件，依题意得：200805012700x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：90110x y =⎧⎨=⎩， 答：购进“冰墩墩”摆件90件，“冰墩墩”挂件的110件；（2）解：设购买“冰墩墩”挂件m 个，则购买“冰墩墩”摆件()180m -个，依题意得：()()()1008020060503000m m --+-≥，解得：100m ≤，答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过100个． 3．某校近期举办了一年一度的戏剧节比赛．某班级因节目需要，须购买A 、B 两种道具．已知购买1件A 道具比购买1件B 道具多10元，购买2件A 道具和3件B 道具共需要45元．(1)购买一件A 道具和一件B 道具各需要多少元？(2)根据班级情况，需要这两种道具共60件，且购买两种道具的总费用不超过615元．求道具A 最多购买多少件？ 【答案】(1)购买1件A 道具需要15元，1件B 道具需要5元(2)道具A 最多购买31件【详解】（1）设购买1件A 道具需要x 元，1件B 道具需要y 元，依题意得：102345x y x y -⎧⎨+⎩＝＝， 解得：155x y ⎧⎨⎩＝＝．答：购买1件A 道具需要15元，1件B 道具需要5元．（2）设购买A 道具m 件，则购买B 道具()60m -件，依题意得：()15560615m m +-≤，解得：31.5m ≤．答：道具A 最多购买31件．4．在“抗击疫情”期间，我县教育局工会号召广大师生积极开展“献爱心捐款”活动，某学校拟用这笔捐款购买A 、B 两种防疫物品．如果购买A 种物品120件、B 种物品90件，共需2280元；如果购买A 种物品90件、B 种物品60件，共需1680元．(1)求A 、B 两种防疫物品每件各多少元？(2)现要购买A 、B 两种防疫物品共1200件，总费用不超过14000元，那么A 种防疫物品最多能购买多少件？【答案】(1)A 、B 两种防疫物品每件分别为16元、4元(2)766件【详解】（1）解：设A 、B 两种防疫物品每件分别5．为迎接哈尔滨冰雪节，某商店决定购进A 、B 两种纪念品．若购进A 种纪念品3件，B 种纪念品5件，需要2100元；若购进A 种纪念品4件，B 种纪念品10件，需要3800元．(1)求购进A 、B 两种纪念品每件各需多少元？(2)若该商店决定购进这两种纪念品共30件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这30件纪念品的资金不超过8000元，那么该商店最少可购进A 种纪念品多少件？ 【答案】(1)购进A 纪念品每件需200元，B 纪念品每件需300元．(2)最少可购进A 种纪念品10件．【详解】（1）解：设购进A 纪念品每件需x 元，B 纪念品每件需y 元，根据题意得：3521004103800x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得200300x y =⎧⎨=⎩，答：购进A 纪念品每件需200元，B 纪念品每件需300元．（2）解：设购进A 纪念品m 件，则购进B 纪念品()30m -件，根据题意得：()200300308000m m +-≤，解得：10m ≥；答：最少可购进A 种纪念品10件．【温故为师】1．某电机厂计划生产批电机设备，其中这批设备包括A 型、B 型两种型号，如果生产2件A 型产品和3件B 型产品需成本21万元，如果生产5件A 型产品和4件B 型产品需成本35万元．(1)求生产一件A 型产品和一件B 型产品各需成本多少万元；(2)经市场调查，一件A 型产品售价为5万元，一件B 型产品售价为8万元，若工厂生产这批设备中B 型产品的件数是A 型产品的件数2倍还多6件，销售这批设备共获利不少于58万元，那么工厂生产A 型产品至少多少件？ 【答案】(1)生产一件A 型产品3万元，生产一件B 型产品5万元(2)5件【详解】（1）解：设生产一件A 型产品需成本x 万元，一件B 型产品需成本y 万元，根据题意，得23215435x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：35x y =⎧⎨=⎩，答：生产一件A 型产品和一件B 型产品各需成本3万元、5万元；（2）解：设工厂生产A 型产品m 件，则工厂生产B 型产品()26m +件，根据题意，得()()()53852658m m -+-+≥解得：5m ≥，答：工厂生产A 型产品至少5件．2．为了养成学生良好的卫生习惯，学校决定采购一批某品牌A 、B 两种型号洗手液，经市场调查发现，若购买1个A 型号的洗手液和2个B 型号的洗手液共需40元，若购买2个A 型号的洗手液和2个B 型号的洗手液共需50元．(1)求A 、B 两种型号的洗手液的单价各是多少元；(2)学校购买两种品牌的洗手液共350瓶，总费用不超过4000元，那么至少需要购买A 型号的洗手液多少瓶？ 【答案】(1)A 型号洗手液的单价是10元，B 型号洗手液的单价是15元．(2)至少需要购买A 型号的洗手液250瓶【详解】（1）设A 型号洗手液的单价是x 元，B 型号洗手液的单价是y 元，依题意得：2402250x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：1015x y =⎧⎨=⎩．答：A 型号洗手液的单价是10元，B 型号洗手液的单价是15元．（2）设购买A 型号的洗手液m 瓶，则购买B 型号的洗手液350m 瓶，依题意得：10153504000m m ，解得：250m ≥．答：至少需要购买A 型号的洗手液250瓶．3．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；(2)学校计划采购篮球、足球共50个，且总费用不超过5500元．那么最多采购篮球多少个？4．某校为增加学生的体育课活动，决定购买一批体育用品，若购买10个足球和4个篮球需要400元，购买5个足球和9个篮球需要550元.(1)求篮球、足球的单价；(2)如果需要购买篮球、足球共20个，且费用不超过880元，则最多可以购买多少个篮球？【答案】(1)每个篮球的售价为50元，每个足球的售价为20元(2)该校最多可以购买16个篮球【详解】（1）解：设每个篮球的售价为x 元，每个足球的售价为y 元，依题意，得：41040095550x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：5020x y =⎧⎨=⎩．答：每个篮球的售价为50元，每个足球的售价为20元；（2）解：设购买m 个篮球，则购买(20)m -个足球，根据题意，得()502020880m m +⨯-≤，解得：16m ≤，m 为正整数，m ∴最大为16，答：该校最多可以购买16个篮球．5．某文教用品商店欲购进A B 、两种文具盒，若购买20个A 种文具盒和30个B 种文具盒共需1300元，买30个A 种文具盒和20个B 种文具盒共需1200元．(1)求A B 、两种文具盒的进价分别为多少元？(2)若该商店A 种文具盒每个售价24元，B 种文具盒每个售价35元，准备购进A B 、两种文具盒共100个，且这两种文具盒全部售出后总获利不小于480元，则最多购进A 种文具盒多少个？ 【答案】(1)每本A 种笔记本的进价为20元，每本B 种笔记本的进价为30元(2)最多购进A 种笔记本20本【详解】（1）解：设每个A 种文具盒的进价为x 元，每个B 种文具盒的进价为y 元，依题意得：2030130030201200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2030x y =⎧⎨=⎩，答：每个A 种文具盒的进价为20元，每个B 种文具盒的进价为30元；（2）解：设购进A 种文具盒m 个，则购进B 种文具盒（100m -）个，依题意得：()()()24203530100480m m -+--≥，解得：20m ≤，∵m 为正整数， ∴m 的最大值为20．答：最多购进A 种笔记本20本．6．疫情期间某药店购进一批N95口罩，其中10只/包与20只/包的口罩共有500包，已知10只/包的N95口罩进价为30元/包，20只/包的N95口罩进价为55元/包．(1)若购进这两种规格的N95口罩共花了2万元，请分别求出购进10只/包与20只/包口罩的包数．(2)该药店计划将10只/包的口罩销售价定为45元/包，20只/包的口罩销售价定为85元/包，若购进的500包这两种规格的N95口罩全部售完，且至少盈利9000元，求购进的20只/包的口罩至少多少包? 【答案】(1)购进10只/包N95口罩300只，购进20只/包N95口罩200只(2)购进的20只/包的口罩至少100包【详解】（1）解：设购进10只/包N95口罩x 只，则购进20只/包N95口罩()500x -只，则()305550020000x x +-=，即257500x =，解得300x =，∴购进20只/包N95口罩500200x -=只，答：购进10只/包N95口罩300只，购进20只/包N95口罩200只；（2）解：设购进20只/包N95口罩m 只，则购进10只/包N95口罩()500m -只，则 ()()()453050085559000m m --+-≥，即151500m ≥，解得100m ≥，答：购进的20只/包的口罩至少100包． 7．2020年9月6日，国家“东数西算”产业联盟在甘肃省兰州市成立．这个产业联盟将搭建东西部算力供需对接平台，优化我国东中西部算力资源协同发展格局，有助于形成自由流通、按需配置、有效共享的数据要素市场．为增强体验感，产业联盟计划投资打造小米产品展厅和金山云智慧体验馆．展厅和体验馆共占地9万平方米，其中展厅每万平方米造价480万元，体验馆每万平方米造价560万元，共用去资金4720万元．(1)求小米产品展厅和金山云智慧体验馆各多少万平方米？(2)开工后发现展厅造价每万平方米上涨了a ％，体验馆造价每万平方米下降了0.4%a ，且总费用不超过4800万元，求a 的最大值．。