鲁教版2019八年级数学下册第六章第三节正方形的性质与判定课堂基础达标测试题一(基础部分含答案)

鲁教版2019八年级数学下册第六章第三节正方形的性质与判定课堂基础达标测试题二（拔高部分含答案）1．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且BE=CF ．连接AE ，BF ，AE 与BF 交于点G ．下列结论错误的是（ ）A ．AE=BFB ．∠DAE=∠BFCC ．∠AEB+∠BFC=90°D ．AE ⊥BF2．如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ，过A 作AE 的垂线交ED 于点P ，若AE=AP=1，PB=，下列结论：①△APD ≌△AEB ；②EB ⊥ED ；③PD=，其中正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3．下列对正方形的描述错误的是（ ）A ．正方形的四个角都是直角B ．正方形的对角线互相垂直C ．邻边相等的矩形是正方形D ．对角线相等的平行四边形是正方形4．如图，矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝8，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP (点A 落在点E 处)，PE 与CD 相交于点O ，且OE ＝OD ，则DP 的长为( )A ．B ．C ．1D ．5．已知正方形的边长为，则它的对角线的长为（ ）A ．2B ．C ．4D ．．6．如图，第1个正方形(设边长为2)的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边……依此不断连接下去．通过观察与研究，写出第2008个正方形的边长a 2008为（ ）A ．a 2008＝4200712⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．a 2008＝22007⎝⎭C ．a 2008＝4200812⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．a 2008＝22008⎝⎭7．如图，正方形ABCD 中，AB=12，点E 在边CD 上，且BG=CG ，将△ADE 沿AE 对折至△AFE，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG=450；③CE=2DE；④AG∥CF；⑤S △FGC =.其中正确结论的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．如图，E ，F ，G ，H 分别是BD ，BC ，AC ，AD 的中点，且AB=CD ，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是菱形；③HF平分∠EHG；④EG=（BC﹣AD），其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，是正方形内任意一点，与的面积之和为，则________．10．如图，将边长为1的正方形的四条边分别向外延长一倍，得到第二个正方形，将第二个正方形的四条边分别向外延长一倍得到第三个正方形，…，则第2018个正方形的面积为_____．11．如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，折痕DE分别交AB，AC于点E，G，若AB=2，则AG的长为______．12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线折叠得到△GEF，连接GC，则GC长度的最小值是_____．13．如果一个正方形的面积等于两个边长分别是3cm和4cm的正方形的面积的和，则这个正方形的边长为_____cm．14．如图，已知正方形ABCD 与正方形AEFG 的边长分别为4cm，1cm，若将正方形AEFG 绕点A旋转，则在旋转过程中，点C、F 之间的最小距离为_______.15．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝EC.其中正确结论的序号是____________．16．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4=________. 17．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,过点D 作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为F,连接CD,BE（1）求证:CE=AD（2）若D为AB的中点,则∠A的度数满足什么条件时,四边形BECD是正方形？请说明理由.18．如图，已知直线AQ与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点Q，∠QAO=45°，直线AQ在y轴上的截距为2，直线BE：y=-2x+8与直线AQ交于点P．（1）求直线AQ的解析式；（2）在y轴正半轴上取一点F，当四边形BPFO是梯形时，求点F的坐标．（3）若点C在y轴负半轴上，点M在直线P A上，点N在直线PB上，是否存在以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在请求出点C的坐标；若不存在请说明理由．19．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；（2）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．20．如图，在▱ABCD中，以点4为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；再分别以点B、F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并廷长交BC于点E，连接EF（1）根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝2，AE＝2，求∠BAD的大小．21．为了增强学生体质，学校鼓励学生多参加体育锻炼，小华同学马上行动，每天围绕小区进行晨跑锻炼.该小区外围道路近似为如图所示四边形ABCD，已知四边形ABED为正方形，∠DCE＝45°，AB=100米.小华某天绕该道路晨跑5圈，求小华该天晨跑的路程是多少？（结果保留整数，）22．如图，矩形中，，，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，，连结．若，求证：四边形为正方形；若，求的面积．答案1．C解:∵AD//BC，∴∠DAE=∠AEB，∵BE=CF，AB=BC，∠ABE=∠BCF，∴△ABE ≌△BCF，∴AE=BF，∠DAE=∠BFC，∵∠FBC+∠BFC=90°，∠AEB=∠BFC，∴∠FBC+ AEB=90°，∴AE⊥BF，所以A、B、D三个选项正确，∠AEB=∠BFC，故C选项错误，故选C2．A解:①∵∠EAB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠EAB=∠PAD，又∵AE=AP，AB=AD，∴△APD≌△AEB，故①正确；②∵△APD≌△AEB，∴∠APD=∠AEB，又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，∴∠BEP=∠PAE=90°，∴EB⊥ED，故②正确；③在Rt△AEP中，∵AE=AP=1，∴EP=，又∵PB=，∴BE=，∵△APD≌△AEB，∴PD=BE=，故③错误，故选A.3．D解:∵正方形的四个角都是直角，对角线互相垂直，∴A、B正确；∵邻边相等的矩形是正方形，∴C正确；∵对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，∴D不正确；故选：D．4．A解:如图所示，由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=10，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=8-x，DG=PE=x，求出GC=10-x、BG=10-（8-x），根据勾股定理BC2+CG2=BG2,得出方程82+(10-x)2=(x+2)2，解方程即可得到x=，即AP的长为.所以，PD=AD-AP=8-=.故选：A5．D解:∵正方形的边长为2，∴它的对角线的长为2，即．故选：D．6．B解:设第1个正方形的边长a1=2，根据题意得，第2个正方形的边长为a2=a1，2第3个正方形的边长为a321）=2a1，第4个正方形的边长为a432a1=）3a1，…，第2008个正方形的边长a2008=（）2007a1，2∵a 1=2，∴a 2008=2）2007．故选：B ． 7．D解:①正确．理由： ∵AB =AD =AF ，AG =AG ，∠B =∠AFG =90°，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ）；②正确．理由：∵∠BAG =∠F AG ，∠DAE =∠F AE ．又∵∠BAD =90°，∴∠EAG =45°；③正确．理由：设DE =x ，则EF =x ，EC =12-x ．在直角△ECG 中，根据勾股定理，得：（12﹣x ）2+62=（x +6）2，解得：x =4，∴DE =x =4，CE =12-x =8，∴CE =2DE ；④正确．理由：∵CG =BG ，BG =GF ，∴CG =GF ，∴∠GFC =∠GCF ．又∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ，∴∠AGB =∠AGF ，∠AGB +∠AGF =2∠AGB =∠GFC +∠GCF =2∠GFC =2∠GCF，∴∠AGB =∠AGF =∠GFC =∠GCF ，∴AG ∥CF ；⑤正确．理由：∵S △ECG =GC •CE =×6×8=24．∵S △FCG ===．故选D ．8．C 解:∵E、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点，∴EF=CD，FG=AB，GH=CD，HE=AB，∵AB=CD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形，∴①EG⊥FH，正确；②四边形EFGH是菱形，正确；③HF平分∠EHG，正确；④当AD∥BC，如图所示：E，G分别为BD，AC中点，∴连接CD，延长EG到CD上一点N，如下图所示：∴EN=BC，GN=AD，∴EG=(BC-AD)，只有AD∥BC时才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误；故①②③对.故选C.9．4解:如图，过点作，，则正方形被分成四个小矩形，所以，，，，，，与的面积之和为，正方形的面积为，.故答案为：.10．52018解:：∵第1个正方形的面积为：1+4××2×1=5=51；第2个正方形的面积为：5+4××2×=25=52；第3个正方形的面积为：25+4××2×=125=53；…∴第n个正方形的面积为：5n；∴第2018个正方形的面积为：52018．故答案为52018．11．解:∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD=∠ADO=∠ABD=45°，由折叠的性质可得：∠ADG=∠EDF=∠ADO=22.5°，EF=AE，∴∠AGE=∠GAD+∠ADG=67.5°，∠AEG=90°-∠ADG=67.5°，∠DEF=67.5°，∴∠AGE=∠AEG，∠BEF=180°-∠AEG-∠DEF=45°，∴AE=AG，∠BEF=∠ABD=45°，在△BEF中，∠BEF=∠ABD=45°，∴∠BFE=180°-∠BEF-∠ABD=90°，BF=EF，∴BE2=BF2+EF2=2EF2，∵AE+BE=AB=2，∴BE=2-AE=2-AG，∴（2-AG）2=2AG2，∴AG=，故答案为：.12．﹣1．解：如图，当点G在CE上时，此时CG的值最小，∵将△AEF沿EF所在直线折叠得到△GEF，∴AE=GE，∵E是AB边的中点，AB=2，∴AE=BE=GE=1，∵BC=AB=2，∴CE===∴GC=CE-GE=-1.13．5．解：根据题意可知：这个正方形的面积是32+42=25，所以这个正方形的边长为=5cm．故答案为：5.14．cm解:连接AF、AC、CF，如图，正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4cm，1cm，CF≥AC-AF（当点A、F、C共线时，取等号），CF的最小值为，故答案为：cm.15．①②④⑤解:连接PC，（1）∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，∠C=90°可得四边形PECF是矩形，∴CP=EF，∵正方形ABCD关于BD对称，点P在BD上，∴AP=CP，∴AP=EF，故①正确；（2）延长AP交EF于点H，过点P作PM⊥AB于点M，则由已知易得PM=PE，∠PMA=∠EPF=90°，结合AP=EF，可得△APM≌△FEP，∴∠EFP=∠PAM，∵∠PAM+∠APM=90°，∠APM=∠FPH，∴∠FPH+∠EFP=90°，∴∠PHF=90°，∴AP⊥EF，即②正确；（3）∵当点P在BD上不同的位置时，△APD的形状不一样，∴△APD不一定是等腰三角形，故③错误；（4）由（2）可知△APM≌△FEP,∴∠BAP=∠PFE，故④正确；（5）如图，由已知易得∠BDF=45°，∠DFP=90°，∴PD=PF，又∵PF=CE，∴PD=CE，故⑤正确.综上所述，上述5个结论中，正确的是①②④⑤.16．解：如图，∵图中的四边形为正方形，∴∠ABD=90°，AB=DB，∴∠ABC+∠DBE=90°．∵∠ABC+∠CAB=90°，∴∠CAB=∠DBE．在△ABC和△BDE中，∵∠ACB=∠BED，∠CAB=∠EBD，AB=BD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴AC=BE．∵DE2+BE2=BD2，∴ED2+AC2=BD2．∵S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，∴S1+S2=1，同理可得S2+S3=2，S3+S4=3，∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．故答案为：6．17．(1);(2) 当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由.（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE=AD；（2）解：当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由如下：∵∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠ABC=∠A=45°，∴AC=BC，∵D为BA中点，∴CD⊥AB，AD=BD∴∠CDB=90°，∵CE=AD，∴BD=CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=BD，∴四边形BECD是菱形；∴四边形BECD是正方形，即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．18．（1）直线AQ的解析式为y=x+2；（2）F（0，4）；（3）存在，C（0，）或C（0，-10）解：（1）设直线AQ的解析式为y=kx+b，∵直线AQ在y轴上的截距为2，∴b=2，∴直线AQ的解析式为y=kx+2，∴OQ=2，在Rt△AOQ中，∠OAQ=45°，∴OA=OQ=2，∴A（-2，0），∴-2k+2=0，∴k=1，∴直线AQ的解析式为y=x+2；（2）由（1）知，直线AQ的解析式为y=x+2①，∵直线BE：y=-2x+8②，联立①②解得，∴P（2，4），∵四边形BPFO是梯形，∴PF∥x轴，∴F（0，4）；（3）设C（0，c），∵以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，①当CQ是对角线时，CQ与MN互相垂直平分，设C（0，c），∵CQ的中点坐标为（0，），∴点M，N的纵坐标都是，∴M（，），N（，），∴+=0，∴c=-10，∴C（0，-10），②当CQ为边时，CQ∥MN，CQ=MN=QM，设M（m，m+2），∴N（m，-2m+8），∴|3m-6|=2-c=|m|，∴m=或m=，∴c=或c=（舍），∴，∴（0，）或C（0，-10）.19．（1）证明；（2）50.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，而F是CB的延长线上的点，∴∠ABF=90°，在△ADE和△ABF中，∴△ADE≌△ABF（SAS）；（2）解：∵BC=8，∴AD=8，在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，∴AE，∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到，∴AE=AF，∠EAF=90°，∴△AEF的面积=12AE2=12×100=50．20．(1);(2)60°.解：（1）在△AEB和△AEF中，，∴△AEB≌△AEF，∴∠EAB=∠EAF，∵AD∥BC，∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，∴BE=AB=AF．∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）连结BF，交AE于G．∵AB=AF=2，∴GA=AE=×2=，在Rt△AGB中，cos∠BAE==，∴∠BAG=30°，∴∠BAF=2∠BAG=60°，21．小华该天晨跑的路程约为2705米解：∵四边形ABCD是正方形，∴DE＝AB＝BE＝AD＝100，∠DEC＝∠DEB＝90°，又∵∠DCE＝45°，∴△DEC是等腰直角三角形，∴EC＝DE＝100，∴DC＝，5(AB＋BC＋CD＋AD)＝5(100＋100＋100＋＋100)＝5（400+）≈2705(米)，∴小华该天晨跑的路程约为2705米.22．（1）；（2）2证明：∵四边形为菱形，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵四边形为菱形，∴四边形为正方形；解：作于，连结，如图，∵四边形为矩形，∴，∴，即，∵四边形为菱形，∴，，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，，∴，∴的面积．。

鲁教版2019-2020八年级数学下册6.3正方形的性质与判定自主学习能力达标测试题4（附答案）1．下列命题中：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线相等的四边形是矩形；③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形；④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；⑤对角线相等且互相垂直的四边形是正方形．其中真命题有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上的一点，BE=1，F 为AB 的中点，P 为AC 上一个动点，则PF+PE 的最小值为（ ）A ．B ．4CD ．3．如图，正方形ABCD 中，点P 、F 分别是边BC 、AB 的中点，连接AP 、DF 交于点E ，则下列结论错误的是（ ）A ．AP DF =B ．AP DF ⊥C ．CE CD= D ．CE EP EF =+ 4．矩形各个内角的平分线围成一个四边形，则这个四边形一定是（ ）A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．平行四边形 5．搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD ，彩线BD ．AN ．CM 将正方形ABCD 分成六部分，其中M 是AB 的中点，N 是BC 的中点，AN 与CM 交于O 点．已知正方形ABCD 的面积为576cm 2，则被分隔开的△CON 的面积为（ ）A．96cm2B．48cm2C．24cm2D．以上都不对6．下列命题错误的是（）A．对角线互相垂直平分的四边形是菱形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形7．如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E 处，AD′与CE交于点F，若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED′的度数为（）A．40°B．36°C．50°D．45°8．正方形的面积是12，则这个正方形的边长是（）A．6B．3C．D．9．一个大矩形按如图方式分割成6个小矩形，且只有标号为②，④的两个小矩形为正方形，若要求出△ABC的面积，则需要知道下列哪个条件？（）A．⑥的面积B．③的面积C．⑤的面积D．⑤的周长10．如图，矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM＝CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB∶OE＝3∶2.其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．如图，将边长为1的正方形的四条边分别向外延长一倍，得到第二个正方形，将第二个正方形的四条边分别向外延长一倍得到第三个正方形，…，则第2018个正方形的面积为_____．12．正方形ABCD中，F是AB上一点，H是BC延长线上一点，连接FH，将△FBH 沿FH翻折，使点B的对应点E落在AD上，EH与CD交于点G，连接BG交FH于点M，当GB平分∠CGE时，BM=，AE=8，则S四边形EFMG=________．13．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，有如下五个结论：①△AOD≌△COB；②∠DAC＝∠DCA；③梯形ABCD是轴对称图形；④△AOB≌△DOC；⑤AC＝BD．请把其中正确结论的序号填写在横线上________．++ 14．如图，点P在边长为2的正方形ABCD内，连结PA、PB、PC，则P A P B P C的最小值为________.15．如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合，若AB＝3，DP＝1，则PP′＝_______.⊥于E，16．如图，已知正方形ABCD的周长为32cm，P为AD边上任一点，PE AC ⊥于F，则PE PF+=________cm．PF BD17．在四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC平分∠BAD，AC=8，S四边形ABCD=16，那么对角线BD=______．18．如图，四边形ABCD是正方形，M是BC的中点，2CM=，点P是BD上一动+的最小值是__________．点，则PM PC19．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB①△APD≌△AEB；②点B到直线AE；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB；⑤S正方形ABCD．其中正确结论的序号是．20．综合与实践 美妙的黄金矩形阅读理解（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形（GoldenRectangle ），黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调、匀称的美感． （1）某校团委举办“五•四手抄报比赛”，手抄报规格统一设计成：长是40cm 的黄金矩形，则宽约为__________cm ；（精确到0.1cm ）操作发现 利用一张正方形纸片折叠出一个黄金矩形．第一步，如图1，折叠正方形纸片ABCD ，使AB 和DC 重合，得到折痕EF （点E ，F 分别在边AD ，BC 上），然后把纸片展平．第二步，如图2，折叠正方形纸片ABCD ，使得BC 落在BE 上，点C′和点C 对应，得到折痕BG （点G 在CD 上），再次纸片展平．第三步，如图3，沿过点G 的直线折叠正方形纸片ABCD ，使点A 和点D 分别落在AB 和CD 上，折痕为HG ，显然四边形HBCG 为矩形．（2）在上述操作中，以AB=2为例，证明矩形HBCG 是黄金矩形．=14） 拓广探索（3）“希望小组”的同学通过探究发现：以黄金矩形的长边为一边，在原黄金矩形外作正方形，得到的新矩形仍然是黄金矩形．如图4，如果四边形ABCD 是黄金矩形（AB ＞AD ），四边形DCEF 是正方形，那么四边形ABEF 也是黄金矩形，他们的发现正确吗？请说明理由．21．己知：正方形ABCD ． ()1如图1，点E 、点F 分别在边AB 和AD 上，且AE AF =．此时，线段BE 、DF的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论．()2如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转α∠，当090α<<时，连接BE、DF，此时()1中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．()3如图3，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转α∠，当90a=时，连接BE、DF，猜想沟AE与AD满足什么数量关系时，直线DF垂直平分BE．请直接写出结论．()4如图4，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转α∠，当90180α<<时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论．22．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）求证：△ADE≌△ABF．（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心点，按顺时针方向旋转度得到．23．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．①如图b，求证：BE⊥DQ；②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由；③若正方形ABCD的边长为10，DE=2,PB=PC,直接写出线段PB的长．24．问题探究：在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．探究1：如图1，若点P是对角线BD上任意一点，求线段AP的长的取值范围；探究2：如图2，若点P是△ABC内任意一点，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当AP的值在探究1中的取值范围内变化时，△PMN的周长是否存在最小值？如果存在，请求出△PMN周长的最小值，若不存在，请说明理由；问题解决：如图3，在边长为4的正方形ABCD中，点P是△ABC内任意一点，且AP=4，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当△PMN的周长取到最小值时，直接求四边形AMPN面积的最大值。

2021-2022学年鲁教版八年级数学下册《6-3正方形的性质与判定》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．下列关于▱ABCD的叙述，正确的是（）A．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形B．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形C．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形2．如图，正方形ABCD的面积为4，菱形AECF的面积为2，则EF的长是（）A．1B．C．2D．23．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（）A．75°B．60°C．55°D．45°4．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F 为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（）A．14B．16C．18D．125．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE＝（）A．2B．3C．D．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A（﹣2，0），B （2，b），则正方形ABCD的面积是（）A．34B．25C．20D．167．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长为（）A．B．C．2D．38．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②∠PFE＝∠BAP；③PD＝EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共7小题，满分35分）9．用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为．10．已知：如图，正方形ABCD和EFGH的边长都等于1，点E恰好是AC、BD的交点，则两个正方形的重叠部分（阴影部分）的面积是．11．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为3，4，H为线段DF的中点，则BH＝．12．如图，点O是正方形ABCD的中心，过点O的直线与AD、BC交于点M、点N，DE ⊥MN，交AB于点E，若AM＝1，DM＝3，则DE的长为．13．如图，E，F，M，N分别是边长为4的正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM ＝DN．那么四边形EFMN的面积的最小值是．14．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为；连接CP，线段CP的最小值为．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．（1）如果E、F分别是AD、BC的中点，G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，则AG 的长为；（2）如果E、F分别是AD、BC上的点，G，H是对角线AC上的点．下列判断正确的是．①在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是平行四边形；②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形；③在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是菱形；④当AG＝时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形．三．解答题（共5小题，满分45分）16．如图，P是正方形ABCD对角线AC上一点，点E在BC上，且PE＝PB．（1）求证：PE＝PD；（2）连接DE，试判断∠PED的度数，并证明你的结论．17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10．求CE的长度．18．在正方形ABCD中，F是线段BC上一动点（不与点B，C重合）连接AF，AC，分别过点F，C作AF、AC的垂线交于点Q．（1）依题意补全图1，并证明AF＝FQ；（2）过点Q作NQ∥BC，交AC于点N，连接FN．若正方形ABCD的边长为1，写出一个BF的值，使四边形FCQN为平行四边形，并证明．19．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E．（1）求证：四边形MANP是正方形；（2）求证：EM＝BN．20．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：∵▱ABCD中，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，选项A符合题意；∵▱ABCD中，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项B不符合题意；∵▱ABCD中，AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项C不符合题意；∵▱ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，选项D不符合题意；故选：A．2．解：连接AC，∵正方形ABCD的面积为4，∴AC2＝4，解得AC＝，∵菱形AECF的面积为2，∴AC•EF＝2，即×EF＝2，解得EF＝，故选：B．3．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°，∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°；故选：B．4．解：在正方形ABCD中，BO＝DO，BC＝CD，∠BCD＝90°，∵F为DE的中点，∴OF为△DBE的中位线，ED＝2CF＝2EF，∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC，∵OF＝1，∴BE＝2OF＝2，∵CE＝6，∴BC＝BE+CE＝2+6＝8，∴CD＝BC＝8，在Rt△CED中，∠ECD＝90°，CD＝8，CE＝6，∴ED＝，∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC＝10+6＝16，故选：B．5．解：过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于F点，则有△BCF≌△BAE（ASA），则BE＝BF，S四边形ABCD＝S正方形BEDF＝8，∴BE＝＝．故选：C．6．解：作BM⊥x轴于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，∴∠DAO＝∠ABM，∵∠AOD＝∠AMB＝90°，∴在△DAO和△ABM中，，∴△DAO≌△ABM（AAS），∴OA＝BM，AM＝OD，∵A（﹣2，0），B（2，b），∴OA＝2，OM＝2，∴OD＝AM＝4，∴AD＝＝＝2，∴正方形ABCD的面积＝2×2＝20，故选：C．7．解：如图，连接BB'，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴BD＝AB＝2，BD平分∠ABC，∵E为AB边的中点，∴AE＝BE＝1，∵四边形BEB'F是正方形，∴BB'＝BE＝，BB'平分∠ABC，∴点B，点B'，点D三点共线，∴B'D＝BD﹣BB'＝，故选：A．8．解：作PH⊥AB于H，∴∠PHB＝90°，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PEB＝∠PEC＝∠PFC＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠1＝∠2＝∠BDC＝45°，∠ABC＝∠C＝90°，∴四边形BEPH和四边形PECF是矩形，PE＝BE，DF＝PF，∴四边形BEPH为正方形，∴BH＝BE＝PE＝HP，∴AH＝CE，∴△AHP≌△FPE，∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP，故①、②正确，在Rt△PDF中，由勾股定理，得PD＝PF，∴PD＝CE．故③正确．∵点P在BD上，∴当AP＝AD、P A＝PD或DA＝DP时△APD是等腰三角形．∴△APD是等腰三角形只有三种情况．故④错误，∴正确的个数有3个．故选：C．二．填空题（共7小题，满分35分）9．解：∵正方形ABCD的面积为10，∴AD2＝10，∴DH＝＝＝1，∵△AHD≌△DGC，∴AH＝DG＝3，∴HG＝DG﹣DH＝2，∴正方形EFGH的面积＝HG2＝4，故答案为：4．10．解：∵四边形ABCD是正方形，∴EC＝ED，∠DEC＝90°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠FEH＝90°，∴∠OEC＝∠MED，在△OEC和△MED中，，∴△OEC≌△MED（ASA）∴两个正方形的重叠部分（阴影部分）的面积＝△DEC的面积＝×正方形ABCD的面积＝0.25，故答案为：0.25．11．解：连接BD、BF，∵四边形ABCD，BEFG是正方形，且边长分别为3和4，∴∠DBC＝∠GBF＝45°，BD＝3，BF＝4，∴∠DBF＝90°，由勾股定理得：DF＝＝5，∵H为线段DF的中点，∴BH＝DF＝．故答案为：．12．解：如图，连接AC，过点A作AF∥MN，交BC于F，∵AM＝1，DM＝3，∴AD＝4，∵点O是正方形ABCD的中心，∴AO＝CO，AB＝AD＝BC＝4，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD∥BC，∴∠MAO＝∠NCO，又∵∠AOM＝∠CON，AO＝CO，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AM＝CN＝1，∵AD∥BC，AF∥MN，∴四边形AMNF是平行四边形，∴AM＝FN＝1，∴BF＝2，∵DE⊥MN，AF∥MN，∴DE⊥AF，∴∠AED+∠EAF＝90°，又∵∠EAF+∠AFB＝90°，∴∠AED＝∠AFB，又∵∠EAD＝∠ABF＝90°，AD＝AB，∴△ADE≌△BAF（AAS），∴AE＝BF＝2，∴DE＝＝＝2，故答案为2．13．解：∵AE＝BF＝CM＝DN，∴AN＝DM＝CF＝BE．∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF．∴EF＝EN＝NM＝MF，∠ENA＝∠DMN．∴四边形EFMN是菱形．∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，∴∠ENA+∠DNM＝90°．∴∠ENM＝90°．∴四边形EFMN是正方形，∴EN最小时，正方形EFMN的面积最小，设AE＝DN＝x，则EN＝＝，∴x＝2时，EN的值最小，最小值＝，∴正方形EFMN的面积＝（）2＝8．14．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∴∠APD＝90°，取AD的中点O，连接OP，则OP＝AD＝×2＝1（不变），根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝＝＝，所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．故答案为：90°，﹣1．15．解：（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，AD＝BC，∴AC＝＝＝10，∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE＝CF＝BF＝DE，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF＝AB＝6，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴EO＝FO＝3，AO＝CO＝5，当点G在点O上方时，∵∠EGF＝90°，EO＝FO，∴GO＝EO＝3，∴AG＝AO﹣GO＝5﹣3＝2，当点G'在点O下方时，∵∠EG'F＝90°，EO＝FO，∴G'O＝EO＝3，∴AG'＝AO+G'O＝5+3＝8，综上所述：AG＝2或8；（2）①在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是平行四边形，故该说法正确；②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形，故该说法正确；③在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是菱形，故该说法正确；④当AG＝时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形，故答案为①②③④．三．解答题（共5小题，满分45分）16．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠ACB＝∠ACD，在△PBC和△PDC中，，∴△PBC≌△PDC（SAS），∴PB＝PD，∵PE＝PB，∴PE＝PD；（2）判断∠PED＝45°．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∵△PBC≌△PDC，∴∠PBC＝∠PDC，∵PE＝PB，∴∠PBC＝∠PEB，∴∠PDC＝∠PEB，∵∠PEB+∠PEC＝180°，∴∠PDC+∠PEC＝180°，在四边形PECD中，∠EPD＝360°﹣（∠PDC+∠PEC）﹣∠BCD＝360°﹣180°﹣90°＝90°，又∵PE＝PD，∴△PDE是等腰直角三角形，∴∠PED＝45°．17．解：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG＝CE，连接BG，易知四边形BCDM是正方形，则△BEC与△BGM中，，∴△BEC≌△BMG（SAS），∴∠MBG＝∠CBE，BE＝BG，∵∠ABE＝45°，∴∠CBE+∠ABM＝∠MBG+∠ABM＝45°，即∠ABE＝∠ABG＝45°，在△ABE与△ABG中，，∴△ABE≌△ABG（SAS），∴AG＝AE＝10，设CE＝x，则AM＝10﹣x，AD＝12﹣（10﹣x）＝2+x，DE＝12﹣x，在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，∴100＝（x+2）2+（12﹣x）2，即x2﹣10x+24＝0；解得：x1＝4，x2＝6．故CE的长为4或6．18．解：（1）根据题意，作图如下：证明：在AB上截取BM＝BF，如下图，∵∠CFQ+∠AFB＝90°，∠BAF+∠AFB＝90°，∴∠BAF＝∠CFQ，∵BF＝BM，∴CF＝AM，又∵∠AMF＝180°﹣45°＝135°，∠FCQ＝90°+45°＝135°，∴∠AMF＝∠FCQ，在△AMF和△FCQ中，，∴△AMF≌△FCQ（ASA），∴AF＝FQ；（2）当BF＝时，四边形FCQN为平行四边形，证明：如图，在AB上截取BM＝BF，连接MF，∵BF＝，BC＝1，∴FC＝，由（1）可得△BMF为等腰三角形，且△AMF≌△FCQ，∴CQ＝MF＝，∵NQ∥BC，∴∠FCQ+∠NQC＝180°，∵∠FCQ＝135°，∴∠NQC＝45°，∵∠NCQ＝90°，∴∠NQC＝45°＝∠NQC，∴，，∴NQ＝FC且NQ∥FC，∴四边形FCQN为平行四边形．19．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∴四边形MANP是矩形，∵AC平分∠DAB，PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM＝PN，∴四边形MANP是正方形；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴PM＝PN，∠MPN＝90°，∵∠EPB＝90°，∴∠MPE+∠EPN＝∠NPB+∠EPN＝90°，∴∠MPE＝∠NPB，在△EPM和△BPN中，∵，∴△EPM≌△BPN（ASA），∴EM＝BN．20．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在∴△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×3＝6是定值．。

鲁教版2019-2020八年级数学下册6.3正方形的性质与判定自主学习能力达标测试题3（附答案）1．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，如果∠1＝α，∠2＝β，那么∠3的度数是( )A ．90°－α－βB ．90°－α＋βC ．90°＋α－βD ．α＋β－90°2．下列命题中，假命题是（ ）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形3．下列命题中，假命题是（ ）A ．矩形的对角线相等B ．菱形的对角线互相垂直C ．正方形的对角线相等且互相垂直D ．梯形的对角线互相平分4．下列命题中正确的是（ ）A ．矩形的对角线一定垂直B ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形C ．四个角都相等的四边形是正方形D ．菱形的对角线互相垂直平分 5．如图，等边ABC ∆与正方形DEFG 重叠，其中D 、E 两点分别在AB 、BC 上，且BD BE =．若6AB =，2DE =，则EFC ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．D ．46．以下命题，正确的是（ ）.A ．对角线相等的菱形是正方形B ．对角线相等的平行四边形是正方形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形7．下列说法中，不正确的是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．一组对边平行另外一组对边相等的四边形是平行四边形C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形D．有一组邻边相等的矩形是正方形8．下列命题中，正确的是（）A．菱形的对角线相等B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．正方形的对角线不能相等D．正方形的对角线相等且互相垂直9．正方形内有一点A，到各边的距离从小到大依次是1、2、3、4，则正方形的周长是（）A．10 B．20 C．24 D．2510．如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（﹣1，1），AB平行于x轴，则点C的坐标为（）A．（2，4）B．（2，5）C．（3，4）D．（3，5）11．现有若干张边长不相等但都大于4cm的正方形纸片，从中任选一张，如图所示，从距离正方形的四个顶点2cm处，沿45 角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间cm.阴影部分的面积是______212．已知，如图，正方形ABCD的面积为25，菱形PQCB的而积为20，则阴影部分的面积为________．13．如图，正方形ABCD 的边长为8，点M 在边DC 上，且DM =2，N 为对角线AC 上任意一点，则DN +MN 的最小值为______．14．如图，E 是正方形ABCD 的边AB 延长线上一点，且BE ＝AC ，则∠BED ＝_____．15．已知：正方形ABCD ，E 为平面内任意一点，连接DE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90︒得到DG ，当点B ，D ，G 在一条直线时，若4=AD ，DG =CE =________．16．如图，Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝5cm ，BC ＝2cm ，点P 从B 点出发以1cm /s 的速度沿CB 延长线运动，运动时间为t 秒．以AP 为斜边在其上方构造等腰直角△APD ．当t ＝1秒时，则CD ＝_____cm ，当D 运动的路程为cm 时，则P 运动时间t ＝_____秒．17．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先把活动学具成为图1所示菱形，并测得，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得正方形的对角线cm ，则图1中对角线的长为______cm.18．如图，正方形ABCD 和Rt AEF ∆，5,4AB AE AF ===，连接,BF DE ．若AEF ∆绕点A 旋转，当ABF ∠最大时，ADE S ∆=_____．19．现在全省各大景区都在流行“真人CS“娱乐项目，其中有一个“快速抢点”游戏，游戏规则：如图，用绳子围成的一个边长为10m 的正方形ABCD 场地中，游戏者从AB 边上的点E 处出发，分别先后赶往边BC 、CD 、DA 上插小旗子，最后回到点E.已知EB 3AE =，则游戏者所跑的最少路程是多少______m.20．如图，已知正方形ABCD 的边长为E 在对角线BD 上，且BE BC =，连接CE ，点P 是线段CE 上的一个动点，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，PR BE ⊥于点R ，则PQ PR +的值是______.21．如图，在正方形ABCD中，E是AD上一点，F是BA延长线上的一点，AF=AE，．（1）求证：△ABE≌△ADF（2）线段BE与DF有什么关系？证明你的结论．22．如图，在等腰梯形中，，点是线段上的一个动点（与不重合），分别是的中点．（1）试探索四边形的形状，并说明理由．（2）当点运动到什么位置时，四边形是菱形？并加以证明．（3）若（2）中的菱形是正方形，探索线段与线段的关系，并证明你的结论．23．已知△ABC，分别以BC，AB，AC为边作等边三角形BCE，ACF，ABD(1)若存在四边形ADEF，判断它的形状，并说明理由．(2)存在四边形ADEF的条件下，请你给△ABC添个条件，使得四边形ADEF成为矩形，并说明理由．(3)当△ABC满足什么条件时四边形ADEF不存在．24．如图，正方形ABCD 中，P 是BA 延长线上一点，且∠PDA =α（0︒<α< 45︒）.点 A ，点 E 关于 DP 对称，连接 ED ，EP ，并延长 EP 交射线CB 于点 F ，连接 DF .（1）请按照题目要求补全图形.（2）求证：∠EDF=∠CDF（3）求∠EDF(含有α 的式子表示)；（4）过 P 做PH ⊥DP 交 DF 于点 H ，连接 BH ， 猜想 AP 与 BH 的数量关系并加以证明.25．如图，已知正方形ABCD ，连接AC 、BD 交于点O ，CE 平分∠ACD 交BD 于点E ，（1）求DE 的长；（2）过点E 作EF ⊥CE ，交AB 于点F ，求BF 的长；26．如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，()()0,,,0,//A m B n AC OB ，且AC OB =，连接BC 交x 轴于点F ，其中mn 、28160n n ++=. （1）求A B 、两点坐标；（2）如图2，过A 作C AE B ⊥于E ，延长AE 交x 轴于点D ，动点P 从点B 出发以每秒2个单位的速度向x 轴正半轴方向运动，设PFD ∆的面积为S ，请用含t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接PE ，将PED ∆沿PE 翻折到PEG ∆的位置（点D 与点G 对应），当四边形PDEG 为菱形时，求点P 和点G 的坐标.27．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”，（1）已知点A（2，0），B（0，，则以AB为边的“坐标菱形”的面积为；（2）若点C（1，2），点D在直线y＝5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD解析式．参考答案1．A【解析】【分析】根据∠3=∠BOD+EOC-∠BOE，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOC的度数从而求解．【详解】解：如图：∵∠BOD=90°-∠1=90°-α，∠EOC=90°-∠2=90°-β，又∵∠3=∠BOD+∠EOC-∠BOE，∴∠3=90°-α+90°-β-90°=90°-α-β．故选：A．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角度的计算，正确理解∠2=∠BOD+EOC-∠BOE这一关系是解决本题的关键．2．D【解析】【分析】根据平行四边形的判定方法可知A是真命题，根据矩形的判定方法可知B是真命题，根据菱形的判定方法可知C是真命题，根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，可知D是假命题．【详解】A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题；C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题；D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，是假命题；故选：D．【点睛】本题主要考查了命题与定理，解题时注意：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，对角线互相垂直且相等的四边形可能是等腰梯形或筝形．3．D【解析】【分析】分别根据矩形，菱形，正方形，梯形对角线的特殊性质判断即可．注意只有在特殊情况下才有特殊的对角线之间的关系．【详解】A. 矩形的对角线相等，正确；B. 菱形的对角线互相垂直，正确；C. 正方形的对角线相等且互相垂直，正确；D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；故选D.【点睛】此题考查正方形的性质，梯形，菱形的性质，解题关键在于掌握各性质定理4．D【解析】【分析】根据矩形的性质、正方形的判定和菱形的性质逐项判断即可.【详解】解：A. 矩形的对角线相等且互相平分，不一定垂直，所以本选项不符合题意；B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以本选项不符合题意；C. 四个角都相等的四边形是矩形，不一定是正方形，所以本选项不符合题意；D. 菱形的对角线互相垂直平分，说法正确，所以本选项符合题意.故选D.【点睛】本题考查的是特殊四边形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是正确判断的关键.5．B【解析】【分析】作FM⊥BC于M，根据等边三角形性质得等边三角形，∠B=60°，BC=AB=6，根据直角三角形性质得FM=112EF=，根据三角形面积公式求解.【详解】如图，作FM⊥BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，BC=AB=6，∵BD=BE，∴△BDE是等边三角形，∴∠BED=60°，∵四边形DEFG是正方形，EF=DE=2，∠DEF=90°，∴∠FEM=30°，∴FM=11 2EF=∵EC=BC-BE=4，∴△EFC的面积= 1412 2⨯⨯=故选：B．【点睛】本题考查了正方形的对边平行，四条边都相等的性质，等边三角形的判定与性质，综合题，但难度不大，熟记各图形的性质是解题的关键．6．A【解析】【分析】利用正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A、对角线相等的菱形是正方形，正确，是真命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误，是假命题，故选：A．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定方法．7．B【解析】【分析】平行四边形判定：1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.所有邻角（每一组邻角）都互补的四边形是平行四边形；6.对角线互相平分的四边形是平行四边形.正方形判定：1.有一个内角是直角的菱形是正方形.2.邻边相等的矩形是正方形.3.对角线相等的菱形是正方形.4.对角线相互垂直的矩形是正方形.5.对角线相互垂直平分的平行四边形是正方形.菱形判定：1.四条边相等的四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形).3.一组邻边相等的平行四边形是菱形.4.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.【详解】A、正确．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；B、错误．比如等腰梯形，满足条件，不是平行四边形；C、正确．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；D、正确．有一组邻边相等的矩形是正方形；故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形与特殊的平行四边形的判定，牢固掌握判定定理即可解题.8．D【解析】【分析】根据菱形，平行四边形，正方形的性质定理判断即可．【详解】A.菱形的对角线不一定相等，A 错误；B.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，B 错误；C. 正方形的对角线相等，C错误；D.正方形的对角线相等且互相垂直，D 正确；故选：D．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9．B【解析】【分析】正方形内一点到两边的距离之和等于边长，故找到1+4=2+3这个等量关系，可以确定边长=5，正方形周长=4×边长．【详解】解：由于A在正方形内，所以A到两组对边的距离之和相等，由于只有1+4=2+3=5，于是，正方形的边长只能为5，故正方形的周长=4×5=20，故选：B．【点睛】此题主要考查正方形的性质的知识点，题目的设置将正方形的边长为5，以条件“正方形内有一点A，到各边的距离分别为1，2，3，4”，将其巧妙地隐藏起来，等待解题者去发见．故解本题的关键是找到边长=5这个隐藏条件．10．D【解析】【分析】根据正方形的边长加上点A的横坐标得到点C的横坐标，加上点A的纵坐标得到点C的纵坐标，从而得解．【详解】解：如图，∵正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为（﹣1，1），∴点C的横坐标为4﹣1＝3，点C的纵坐标为4+1＝5，∴点C的坐标为（3，5）．故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，根据图形明确正方形的边长与点的坐标的关系是解题的关键．11．8【解析】首先根据题意可计算的AB的长度，再根据面积计算公式可得阴影部分的面积.【详解】根据题意可得如图所示的AB=所以阴影部分的面积=(28=cm2因此答案为8cm2【点睛】本题主要考查正方形的性质，关键在于作图，求出阴影部分的边长.12．11【解析】【分析】由题意易得AB=BC=BP=PQ=QC=5，EC=4，在Rt△QEC中，可根据勾股定理求得EQ=3，又有PE=PQ-EQ=2，进而可得S阴影的值．【详解】∵正方形ABCD的面积是25，∴AB=BC=BP=PQ=QC=5，又∵S菱形PQCB=PQ×EC=5×EC=20，∴S菱形PQCB=BC•EC，即20=5•EC，∴EC=4，在Rt△QEC中，；∴PE=PQ-EQ=2，∴S阴影=S正方形ABCD-S梯形PBCE=25-12×（5+2）×4=25-14=11．故答案为：11．此题主要考查了菱形的性质和面积计算以及正方形的性质，根据已知得出EC=8，进而求出EQ的长是解题关键．13．10【解析】【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，连接BD,BM交AC于N′,连接DN′,N′即为所求的点，则BM的长即为DN+MN的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又∵CM=CD−DM=8−2=6，∴在Rt△BCM中，10BM===，故答案为：10.【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出M关于直线AC的对称点M′,由轴对称及正方形的性质判断出点M′在BC上是解答此题的关键.14．22.5°【解析】【分析】首先连接BD，所以得BE＝AC＝BD，即得∠BED＝∠BDE，根据正方形的性质得∠ABD ＝45°，∠BED+∠BDE＝∠ABD＝45°，从而求得∠BED．【详解】∵正方形ABCD，AD＝AB，∴∠ABD＝45°，∴AC＝BD，∵BE＝AC，∴BE＝BD，∴∠BED＝∠BDE，∴∠BED+∠BDE＝∠ABD＝45°，∴2∠BED＝45°，∴∠BED＝22.5°，故答案为22.5°．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形底角相等的性质，根据∠BED＝∠BDE和∠BED+∠BDE＝∠ABD＝45°求∠BED是解题的关键．15．【解析】【分析】分两种情况讨论：（1）当点G在线段BD上时，如下图连接EG交CD于F；（2）当点G在线段BD的延长是线上时，如下图连接EG交CD的延长线于F.根据两种情况分别画出图形，证得GDE等腰直角三角形，求出DF=EF=2，然后在直角三角形ECF中利用勾股定理即可求出CE的长.【详解】解：分两种情况讨论：（1）当点G在线段BD上时，如下图连接EG交CD于F∵ABCD是正方形∴CD=AD=4∵线段DE绕点D顺时针旋转90︒得到DG∴GDE∆是等腰直角三角形，DE=DG=∴DF=EF=2∴CF=CD-DF=4-2=2∴CE=（2）当点G在线段BD的延长线上时，如下图连接EG交CD的延长线于F∵ABCD是正方形∴CD=AD=4∵线段DE绕点D顺时针旋转90︒得到DG∴GDE∆是等腰直角三角形，DE=DG=∴DF=EF=2∴CF=CD+DF=4+2=6∴=综上所述，CE的长为或【点睛】∆是本题考查了正方形的性质、旋转的性质及等腰直角三角形的性质，通过旋转证得GDE 等腰直角三角形进行有关的计算是解题的关键.16．8【解析】【分析】连接CD，作DF⊥CB于F，DE⊥CA于E．首先证明AC+CB，延长即可解决问题；【详解】解：连接CD，作DF⊥CB于F，DE⊥CA于E．∵DA＝DP，∠ADP＝90°，∴∠DAP＝∠DP A＝45°，∵∠ACP+∠ADP＝180°，∴A，C，P，D四点共圆，∴∠ACD＝∠APD＝45°，∴∠ACD＝∠DCF，∵DE⊥CA，DF⊥CF，∴DE＝DF，∵∠EDF＝∠ADP＝90°，∴∠ADE＝∠PDF，∵∠DEA＝∠DFP＝90°，∴△DEA≌△DFP（ASA），∴AE＝DF，∵CD＝CD，DE＝DF，∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），∴CE＝DF，∴四边形ECFD是正方形，∴AC+CP＝EC+AE+CF﹣PF＝2EC，∵t＝1s时，AC＝5cm，CP＝3cm，∴CD＝cm），，当t＝0时，CD当D运动的路程为cm时，CD＝，∵AC+CP，∴5+CP＝15，∴CP＝10，∴PB＝8，t＝8.故答案为：8．【点睛】本题考查勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．17．【解析】【分析】如图1，2中，连接AC．在图2中，理由勾股定理求出BC，在图1中，只要证明△ABC是等边三角形即可解决问题．【详解】如图1，2中，连接AC.在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC,∠B=90°，∵AC=40°，∴AB=BC=a ，在图1中,∵∠B=60°，BA=BC ，∴△ABC 是等边三角形，∴AC=BC=a.故答案为：a.【点睛】此题考查菱形的性质，正方形的性质，解题关键在于作辅助线.18．6【解析】【分析】作DH AE ⊥于H ，如图，由于A F=4，则AEF ∆绕点A 旋转时，点F 在以A 为圆心，4为半径的圆上，当BF 为此圆的切线时，ABF ∠最大，即BF AF ⊥，利用勾股定理计算出3BF =，接着证ADH ABF ∆≅∆得到3DH BF ==，然后根据三角形面积公式求解．【详解】作DH AE ⊥于H ，如图，4AF =，当AEF ∆绕点A 旋转时，点F 在以A 为圆心，4为半径的圆上，∴当BF 为此圆的切线时，ABF ∠最大，即BF AF ⊥，在Rt ABF ∆中，3BF ==,90EAF ︒∠=，90BAF BAH ︒∴∠+∠=，90DAH BAH ︒∠=+∠，DAH BAF ∴∠=∠，在ADH ∆和ABF ∆中AHD AFB DAH BAF AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADH ABF AAS ∴∆≅∆，3DH BF ∴==，1134622ADE S AE DH ∆∴=⋅=⨯⨯=． 故答案为：6．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．19．【解析】【分析】延长DC 到D ¢，使CD CD '=，G 关于C 对称点为G ，则FG FG '=，作D A CD '''⊥，D A DA ''=，H 关于C 的对称点为H '，则G H GH ''=；再作A B D A ''''⊥，E 关于G '的对称点为E '，则H E HE ''=；由两点之间线段最短可知当E 、F 、G '、H '、E '在一条直线上时路程最小，延长AB 至K 使BK AB =，连接E'K ，利用勾股定理即可求出EE'的长．【详解】延长DC 到D ¢，使CD CD '=，G 关于C 对称点为G ，则FG FG '=，作D A CD '''⊥，D A DA ''=，H 关于C 的对称点为H '，则G H GH ''=；再作A B D A ''''⊥，E 关于G '的对称点为E '，则H E HE ''=；延长AB 至K 使BK AB =，连接E'K ，如图所示：容易看出，当E 、F 、G '、H '、E '在一条直线上时路程最小，最小路程为EE '===(m)，故答案为：【点睛】本题考查的是正方形的性质以及最短路线问题，解答此题的关键是画出图形，根据两点之间线段最短的道理求解．20．4【解析】【分析】连接BP ，设点C 到BE 的距离为h ，然后根据BCE BCP BEP S S S ∆∆∆+＝，求出h PQ PR +＝，再根据正方形的性质求出h 即可．【详解】解：如图，连接BP ，设点C 到BE 的距离为h ，则,BCE BCP BEP S S S ∆∆∆+＝ 即111•••222BE h BC PQ BE PR +＝， BE BC ＝，h PQ PR ∴+＝，∵正方形ABCD 的边长为42h ∴＝． 故答案为4．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的面积，熟记性质并作辅助线，利用三角形的面积求出PQ +PR 等于点C 到BE 的距离是解题的关键．21．（1）见解析；（2）(2)BE=DF ，BE ⊥DF ；证明见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和SAS 即可证明；（2）根据旋转的性质得出△ABE ≌△ADF ，从而得出BE=DF ，再根据正方形的性质得出BE ⊥DF ．【详解】(1)∵ ABCD 是正方形，∴DA=BA,∠DAB=∠DAF=90°，在△ABE 和△ADF 中，,DA BA DAB DAF AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABE ≌△ADF （SAS ）证明：(2)BE=DF ，BE ⊥DF ；延长BE 交DF 于G ；由△ABE ≌△ADF ，得BE=DF ，∠ABE=∠ADF ；又∠AEB=∠DEG ；∴∠DGB=∠DAB=90°；【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.22．（1）四边形是平行四边形，理由详见解析；（2）当点运动到的中点时，四边形是菱形；（3）当（2）中的菱形是正方形时．，． 【解析】【分析】（1）由中位线定理可知，．利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边即可；（2）由BE=CE即可得四边形EGFH是菱形；所以需要当点E运动到AD的中点；（3）根据菱形EGFH是正方形即可得，；从而可得△BEC为等腰直角三角形，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得出结论.【详解】解：（1）四边形是平行四边形．理由如下：∵分别是，，的中点，∴，．∴四边形是平行四边形（2）当点E运动到AD的中点时，四边形EGFH是菱形．证明：∵四边形是等腰梯形，∴，∠A=∠D，∵，∴(SSS)，∴．∵分别是，的中点，∴．由（1）知四边形是平行四边形，∴四边形是菱形．（3）当（2）中的菱形是正方形时．，．证明：∵四边形是正方形，∴，．∵分别是，的中点，∴．∵是的中点，∴，．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质及菱形的判定，难度不大，关键是掌握菱形、正方形的判定方法和性质．23．（1）详见解析；（2）当∠BAC ＝150°时，四边形ADEF 是矩形；（3）∠BAC=60°时，这样的平行四边形ADEF 不存在.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC ＝AF ，AB ＝BD ，BC ＝BE ，∠EBC ＝∠ABD ＝60°，求出∠DBE ＝∠ABC ，根据SAS 推出△DBE ≌△ABC ，根据全等得出DE ＝AC ，求出DE ＝AF ，同理AD ＝EF ，根据平行四边形的判定推出即可；（2）当AB ＝AC 时，四边形ADEF 是菱形，根据菱形的判定推出即可；当∠BAC ＝150°时，四边形ADEF 是矩形，求出∠DAF ＝90°，根据矩形的判定推出即可；（3）这样的平行四边形ADEF 不总是存在，当∠BAC ＝60°时，此时四边形ADEF 就不存在．【详解】（1）证明：∵△ABD 、△BCE 和△ACF 是等边三角形，∴AC ＝AF ，AB ＝BD ，BC ＝BE ，∠EBC ＝∠ABD ＝60°，∴∠DBE ＝∠ABC ＝60°﹣∠EBA ，在△DBE 和△ABC 中BD BA DBE ABC BE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBE ≌△ABC ，∴DE ＝AC ，∵AC ＝AF ，∴DE ＝AF ，同理AD ＝EF ，∴四边形ADEF 是平行四边形；（2）解：当∠BAC ＝150°时，四边形ADEF 是矩形，理由是：∵△ABD 和△ACF 是等边三角形，∴∠DAB ＝∠F AC ＝60°，∵∠BAC ＝150°，∴∠DAF ＝90°，∵四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF是矩形；（3）解：这样的平行四边形ADEF不总是存在，理由是：当∠BAC＝60°时，∠DAF＝180°，此时点D、A、F在同一条直线上，此时四边形ADEF就不存在．【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中．24．(1)图见解析，（2）证明见解析；（3）∠EDF=45°，（4）.【解析】【分析】（1）根据题目条件直接作图即可；（2）根据对称可知DE=AD，∠PAD=∠DEP=90°，易证Rt△EDF≌Rt△CDF，即可得到结论.（3）根据（2）可得∠EDF=∠CDF=12∠PDC，即可得∠EDF=45°+α；（4）作HG⊥PB，构造△PDA≌△HPG和等腰直角△HGB.由（3）得∠EDF=45°+α；可得∠PDH=45°，△PDG是等腰直角三角形，得PD=PH,进而可证△PDA≌△HPG，HG=PA=BG，即可得△HGB是等腰直角三角形，所以【详解】(1)如图：（2）证明：∵点 A，点 E 关于DP 对称，∴DE=AD ，∠PAD=∠DEP ，∵在正方形ABCD 中，AD=CD ，∠C=∠DAB=90°，∴DE=CD ，∠E=∠C=90°，在Rt △EDF 和Rt △CDF 中，DE AD DF DF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △EDF ≌Rt △CDF （HL ），∴∠EDF=∠CDF.（3）由（2）得∠EDF=∠CDF=12∠PDC ， 又∵∠PDC=90°+2α. ∴∠EDF=45°+α.（4）结论：PA.如图：过H 点作HG 垂直于PB ，∵∠PDF=∠EDF-∠EPD ，∵∠EDF=45°+α，∠EPD=α，∴∠PDF=45°.又∵PD ⊥PF ，∴△PDG 是等腰直角三角形，∴AP=HP ，又∵∠PDA+∠DPA=90°，∠PDA+∠HPA=90°，∴∠PDA=∠HPA,在△PDA 和△HPG 中，PD PH PDA HPG DAP PGH =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴△PDA ≌△HPG （AAS ）∴PA=HG ,DA=PG ,∵DA=AB ，∴BG=PA ，∴△HGB 为等腰直角三角形，∴，∴PA.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，灵活运用在证明角相等，作辅助线构造成全等三角形是解题的关键．25．（1）DE= 2（2）BF= 2.【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，得到∠ABC=∠ADC=90°，∠DBC=∠BCA=∠ACD=45°，然后根据角平分线的意义求出∠ACE=∠DCE=12∠ACD=22.5°，进而得出△BCE 是等腰三角形，求得BC=BE ，然后根据勾股定理求出BD 的长，从而得到DE 的长；（2）根据正方形的性质，由全等三角形的判定证得△FEB ≌△ECD ，然后根据全等三角形的性质求解即可.【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=∠ADC=90°，∠DBC=∠BCA=∠ACD=45°，∵CE 平分∠DCA ，∴∠ACE=∠DCE=∠ACD=22.5°，∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+22.5°=67.5°，∵∠DBC=45°，∴∠BEC=180°﹣67.5°﹣45°=67.5°=∠BCE ， ∴BE=BC=，在Rt △ACD 中，由勾股定理得：BD==2， ∴DE=BD ﹣BE=2﹣；（2）∵FE ⊥CE ，∴∠CEF=90°，∴∠FEB=∠CEF ﹣∠CEB=90°﹣67.5°=22.5°=∠DCE ， ∵∠FBE=∠CDE=45°，BE=BC=CD ，∴△FEB ≌△ECD ，∴BF=DE=2﹣. 【点睛】此题主要考查了正方形的性质的应用，熟练掌握正方形的性质，并灵活利用正方形的性质求解是解题关键.26．（1）()()0,4,4,0A B -；（2）①当03t ≤<时，62S t =-，②当3t >时，26S t =-；（3）①当03t ≤<，2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，41255G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；②当3t >时，2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，41255G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭。

鲁教版2019-2020八年级数学下册6.3正方形的性质与判定自主学习能力达标测试题1（附答案）1．正方形所在平面上一点A ，到正方形一组对边的距离是2和6，则正方形的周长是（ ） A ．10 B ．16 C ．16或32 D ．25或122．如图，正方形ABCD 中，点 E 、F 分别在边 BC 、CD 上，且 BE=CF.连接 AE 、BF.下列结论错误的是（）A ．AE=BFB ．AE ⊥BFC ．∠DAE=∠BFCD ．∠AEB+∠BFC=12003．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（ ）A ．四条边相等，四个角相等B ．对角线相等C ．对角线互相垂直D ．对角线互相平分4．正方形 A BCD 中，对角线 A C 、BD 相交于点 O ，DE 平分∠A DO 交 AC 于点 E ，把 ∆A DE 沿AD 翻折，得到∆A DE’，点 F 是 DE 的中点，连接 A F 、BF 、E’F ，若 .下列结论 ：①AD 垂直平分 E E’，② tan ∠-1，③ C ∆A DE - C ∆ODE -1， ④ S 四边形AEFB =32+ 其中结论正确的个数是 （ ） .A ．4 个B ．3 个C ．2 个D ．1 个5．若一个正方形的边长为4，则它的面积是() A ．8 B ．12 C ．16D ．20 6．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，垂足分别为点E ，F ，连接AP ，EF ，给出下列四个结论：①AP=EF;②∠PFE=∠BAP;③EC;④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有( )．A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，EF分别是正方形ABCD的边CDAD上的点，且CE=DF，AE、BF相交于点O，若S△AOB=10，则S四边形DEOF等于（）A．5 B．8 C．10 D．128．在边长为3的正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA边上，且满足EB=FC=GD=HA=1，BD分别与HG、HF、EF相交于M、O、N给出以下结论：①HO=OF；②OF2=ON•OB；③HM=2MG；④S△HOM=56，其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，点P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕着B沿顺时针方向旋转到与△CBP′重合，若PB=3，则PP′的长为（）A．B．C．3 D．无法确定10．如图，四边形ABCD，AEFG均为正方形，点E在BC上，且B,E两点不重合，连接BG.根据图中标示的角判断，下列关系正确的是（）A ．∠1＜∠2B ．∠1＞∠2C ．∠3＜∠4D ．∠3＞∠4 11．如图，E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，AE 的垂直平分线分别交AE 、BC 于H 、G.若CG=7，则正方形ABCD 的面积等于_______．12．如图，正方形ABCD 的边长为1，点P 为BC 上任意一点（可以与B 点或C 重合），分别过B ，C ，D 作射线AP 的垂线，垂足分别是B '，C '，D '，则B B C C D D ''+'+的最大值与最小值的和为________．13．如图，在ABC 中，点D 是边BC 上一动点，//DE AC ，//DF AB ，对ABC 及线段AD 添加条件________使得四边形AEFD 是正方形．14．四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，//AD BC ，AD BC =，为使四边形ABCD 为正方形，还需要满足下列条件中：①AC BD =；②AB AD =；③AB CD =；④AC BD ⊥中的哪两个________（填代号）．15．如图，a 、b 、c 、d 是同一平面内的一组等距平行线（相邻平行线间的距离为1）正方形ABCD 的顶点A 、B 、C 、D 分别是直线a 、b 、d 、c ，则图中正方形ABCD 的边长为__________．16．如图，Rt ⊿ABC 中，∠C=90º，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形对角线交于点O ，连接OC ，已知AC=6，OC=BC 的长为______.17．如图，已知□ABCD 和正方形CEFG 有一个公共的顶点C ，其中E 点在AD 上，若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B 的度数是_________．18．如图，P 是正方形内一点，已知AP AD =，BP BC =，则CPD ∠=________．19．正方形ABCD 的边长AB ＝4，则它的对角线AC 的长度为_______.20．如图，在ABC 中，点O 是AC 边上（端点除外）的一个动点，过点O 作直线//MN BC ．设MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F ，连接AE 、AF ．()1那么当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．()2在()1的前提下ABC 满足什么条件，四边形AECF 是正方形？（直接写出答案，无需证明）21．如图，正方形ABCD 的边长为，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是OC 的中点，连接BE ，过点A 作AM ⊥BE 于点M ，交BD 于点F ．（1）求证：AF=BE ；（2）求点E 到BC 边的距离．22．以ABC 的各边，在边BC 的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI ，BCFE ，ACHG ，试探究：1（）如图中四边形ADEG 是什么四边形？并说明理由．2（）当ABC 满足什么条件时，四边形ADEG 是矩形？ 3（）当ABC 满足什么条件时，四边形ADEG 是正方形？23．在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ．（1）求证：△BEC ≌△DEC ；（2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED ＝120°时，求∠EFD 的度数．24．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，//BE AC 、//AE BD ．()1求证：四边形OAEB 是菱形．()2当题中的矩形改为菱形时，则四边形0AEB 是________形；当题中的矩形改为正方形时，则四边形0AEB 是________形．25．如图,正方形ABCD 的两条对角线相交于点O, 求∠AOB 和∠BAO 的度数.26．如图，正方形纸片ABCD 的边BC 上有一点E ，8AE cm ，若把纸片对折，使点A 与点E 重合，则纸片折痕的长是多少？27．已知：如图，边长为1的正方形ABCD 中，AC 、DB 交于点H ．DE 平分∠ADB ，交AC 于点E ．联结BE 并延长，交边AD 于点F ．（1）求证：DC =EC ；（2）求△EAF 的面积．参考答案1．C【解析】分析：分点A在正方形外和点A在正方形内两种情况讨论即可．详解：分两种情况讨论：①当点A在正方形外时，正方形边长=6－2=4，正方形周长=4×4=16；②当点A在正方形内时，正方形边长=6+2=8，正方形周长=8×4=32．综上所述：正方形的周长为16或32．故选C．点睛：本题考查了正方形的性质．解题的关键是分类讨论．2．D【解析】分析：根据正方形的性质可以证明△ABE≌△BCF，可以得出AE=BF，∠BAE=∠CBF，再由直角三角形的性质就可以得出∠BGE=90°，由∠BAE+∠AEB=90°，∠CBF+∠AEB=90°可得∠DAE=∠BFC，无法说明∠AEB+∠BFC=120°.详解：A.∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°．在△ABE与△BCF中AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，BE＝CF∴△ABE≌△BCF（SAS）∴AE=BF；故A正确；(2)由△ABE≌△BCF∴∠BAE=∠CBF．∵∠ABE=90°∴∠BAE+∠AEB=90°∴∠CBF+∠AEB=90°∴∠BGE=90°∴AE⊥BF．故B正确；C. ∵∠BAE=∠CBF，∠BAE+∠AEB=90°，∠CBF+∠AEB=90°，∴∠DAE =∠BFC ，故C 正确；D.无法说明∠AEB +∠BFC =120°，故D 不正确；故选D.点睛：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质．在解答时求出△ABE ≌△BCF 是解答的关键．3．D【解析】试题解析：A 、不正确，矩形的四边不相等，菱形的四个角不相等；B 、不正确，菱形的对角线不相等；C 、不正确，矩形的对角线不垂直；D 、正确，三者均具有此性质；故选D ．4．B【解析】【详解】解：如图，连接EB 、EE '，作EM ⊥AB 于M ，EE '交AD 于N ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=DA ，AC ⊥BD ，AO=OB=OD=OC ，∠DAC=∠CAB=∠DAE '=45°，根据对称性，△ADE ≅△ADE '≅ABE ，∴DE=DE '，AE=AE '，∴AD 垂直平分EE '，故①正确，∴EN=NE '，∵∠NAE=∠NEA=∠MAE=∠MEA=45°，，∴AM=EM=EN=AN=1，∵ED 平分∠ADO ，EN ⊥DA ，EO ⊥DB ，∴EN=EO=1，+1，∴tan ∠ADE=tan ∠ODE=OE DO -1，故②正确，∴，∴C △ADE -C △ODE ，故③错误，∴S △AEB =S △AED =12⨯1⨯（）=1+2，S △BDE = S △ADB -2 S △AEB =1+ ∵DF=EF ，∴S △EFB =2∴S 四边形AEFB = S △AEB + S △EFB ，故④错误， 故选C ．【点睛】考查翻折变换（折叠问题），全等三角形的性质，面积计算，综合性比较强，对学生能力要求较高.5．C【解析】∵正方形的面积等于边长的平方，∴边长为4的正方形的面积是16.故选C.6．C【解析】分析：由四边形ABCD 是正方形可以得出AB=BC=CD=AD ，∠1=∠2=45°，作PH ⊥AB 于H ，可以得出四边形BEPH 为正方形，可以得出AH=CE ，由条件可以得出四边形PECF 是矩形，就有CE=PF ，利用三角形全等可以得出AP=EF ，∠PFE=∠BAP ，由勾股定理可以得出，可以得出EC ，点P 在BD 上要使△APD 一定是等腰三角只有AP=AD 、PA=PD或DA=DP时才成立，故可以得出答案．详解：作PH⊥AB于H，∴∠PHB=90°，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PEB=∠PEC=∠PFC=90°．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠1=∠2=∠BDC=45°，∠ABC=∠C=90°，∴四边形BEPH和四边形PECF是矩形，PE=BE，DF=PF，∴四边形BEPH为正方形，∴BH=BE=PE=HP，∴AH=CE，∴△AHP≌△FPE，∴AP=EF，∠PFE=∠BAP，故①、②正确，在Rt△PDF中，由勾股定理，得PF，∴CE．故③正确．∵点P在BD上，∴当AP=AD、PA=PD或DA=DP时△APD是等腰三角形．∴△APD是等腰三角形只有三种情况．故④错误，∴正确的个数有3个．故选C．点睛：本题考查了正方形的性质，正方形的判定，矩形的性质，勾股定理的运用，全等三角形的运用等多个知识点．7．C【解析】【分析】根据全等三角形的面积相等可得S△ABF=S△ADE，然后都减去△AOF的面积，即可得解．【详解】解：在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，∵CE=DF，∴AD﹣DF=CD﹣CE，即AF=DE，在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴S△ABF=S△DAE，∴S△ABF﹣S△AOF=S△DAE﹣S△AOF，即S△AOB=S四边形DEOF=10，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，求出△ABF和△DAE全等是解题的关键，也是本题的突破口．8．D【解析】【分析】根据正方形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理一一判断即可．【详解】作MP⊥AD于P，MQ⊥CD于Q．连接OG．∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC．∵AH=CF，∴DH=BF，∠ODH=∠OBF．∵∠DOH=∠BOF，∴△DOH≌△BOF，∴OH=OF，故①正确．∵∠FON=∠FOB，∠OFN=∠OBF=45°，∴△OFN∽△OBF，∴OF2=ON•OB，故②正确．∵∠MDH=∠MDG，MP⊥AD于P，MQ⊥CD于Q，∴MP=MQ．∵1212DHMDMGDH PMS HM DHS MG DGDG MQ⋅⋅====⋅⋅2，∴HM=2MG，故③正确．∵正方形EFGH的面积=5，∴S△OHG的面积54=，∴S△OMH255346=⨯=，故④正确．故选D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、角平分线的性质定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．B【解析】由旋转的性质，得BP′=BP=3，∠PBP′=∠ABC=90°．在Rt△PBP′中，由勾股定理，得PP=故选：B．10．D【解析】∵四边形ABCD、四边形AEFG都是正方形，∴∠BAD=∠EAG=90°，∴∠BAD-∠EAD=∠EAG-∠EAD，∴∠1=∠2，故①②都是错误的；∵在△ABE中，AE>AB，而AE=AG，∴AG>AB，∴在△ABG中，∠3>∠4，故③错误，④正确.故选D.点睛：在同一个三角形中：不相等的边所对的角也不相等，较大的边所对的角也较大，简称为“大边对大角”.11．64【解析】【分析】连接AG、EG，设CE=x，则AB=BC=2x，BG=2x-7，根据线段垂直平分线的性质得出AG=EG，根据勾股定理得出方程，解方程即可求出边长，即可得出面积．【详解】连接AG、EG，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∵E是正方形ABCD的边CD的中点，∴CE=12 CD，设CE=x，则AB=BC=2x，BG=2x-7，∵AE的垂直平分线分别交AE、BC于H、G，∴AG=EG，在Rt△AGH和Rt△EGH中，根据勾股定理得：AG2=AB2+BG2，EG2=CE2+CG2，∴（2x）2+（2x-7）2=x2+72，解得：x=4，∴AB=8，∴正方形ABCD 的面积=AB 2=82=64．故答案是：64．【点睛】考查了正方形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的运用；根据勾股定理列出方程是解决问题的关键．12．2【解析】【分析】连接AC ，DP ，根据正方形的性质可得出AB=CD ，S 正方形ABCD =1，由三角形的面积公式即可得出()112AP BB CC DD ⋅'+'+'=，结合AP 的取值范围即可得出BB′+CC′+DD′的范围，将其最大值与最小值相加即可得出结论．【详解】连接AC,DP,如图所示。

鲁教版2019-2020八年级数学下册6.3正方形的性质与判定自主学习培优测试题（附答案）1．如图，已知在Rt△ABC中，AB=AC=2，在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第n个内接正方形的边长为（）A．B．C．D．2．下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分其中正确的有()个．A．4 B．3 C．2 D．13．在边长为2的正方形ABCD中，P为AB上的一动点，E为AD中点，FE 交CD延长线于Q，过E作EF⊥PQ交BC的延长线于F，则下列结论：①△APE≌△DQE；②PQ=EF；③当P为AB中点时，CF=；④若H为QC的中点，当P从A移动到B时，线段EH扫过的面积为，其中正确的是（）A．①②B．①②④C．②③④D．①②③4．ABCD是边长为1的正方形，是等边三角形，则的面积为A．B．C．D．5．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是()A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形C．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形D．当∠DAB=90°时，四边形ABCD是正方形6．如图所示，四边形OABC是正方形，边长为6，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA上，且D点的坐标为(2，0)，P是OB上一动点，则PA＋PD的最小值为( )A．B C．4 D．67．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5AB ，点C为半圆AB上动点，以BC为边在⊙O外8．如图，AB为⊙O的直径，4作正方形BCDE，（点D在直线AB的上方）连接OD，当点C运动时，则线段OD的长（）A．随点C的运动而变化，最大值为2 B．不变C．随点C的运动而变化，最小值为D．随点C的运动而变化，但无最值9．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）A．8 B．C．10 D．10．如图，正方形ABCD的边长为2cm，正方形AEFG的边长为1cm. 正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段CF的长的最小值为_______cm.11．方形边长为1，则它其中一对角线长为________12．如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，连接DE，BF，CE，AF，正方形ABCD的面积为1，则阴影部分的面积是____________13．如图，AC是边长为1的正方形ABCD的对角线，点E是射线CB上一点，且CE ＝CA，则EB＝_________.14．如图，在面积为16的四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB 于点P，则DP的长是_____．15．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为_____．16．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为__．17．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离AE、CF分别是1cm、2cm，则线段EF的长为______cm．18．如图，E为正方形ABCD边BC延长线上一点，且CE=BD，AE交DC于F，则∠AFC=_________.19．探究证明：(1)如图1，在△ABC中，AB=AC，点E是BC上的一个动点，EG⊥ AB，EF⊥ AC，CD⊥ AB，点G，F，D分别是垂足．求证：CD=EG+EF；猜想探究：(2)如图2，在△ABC中，AB=AC，点E是BC的延长线上的一个动点，EG⊥AB于G，EF⊥ AC交AC延长线于F，CD⊥ AB于D，直接猜想CD、EG、EF之间的关系为________；(3)如图3，边长为10的正方形ABCD的对角线相交于点O、H在BD上，且BH=BC，连接CH，点E是CH上一点，EF⊥ BD于点F，EG⊥ BC于点G，则EF+EG=________．20．如图，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形.（1）拼成的正方形的面积是, 它的边长是.（2）请你在3×3方格图中，连结四个格点组成一个面积为5的正方形.（3）如图是十个小正方形组成的图形纸，请你将其剪开并拼成正方形，在原图上用虚线画出剪拼示意图.拼成的大正方形的边长是.21．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．(1) 求证：CF＝AD；(2) 若CA＝CB，∠ACB＝90°，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．(1)求证：CE＝AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．23．以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），①试用含α的代数式表示∠HAE；②求证：HE=HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．24．如图，四边形ABCD是正方形，E是CD垂直平分线上的点，点E关于BD的对BE交于点F.称点是'E，直线DE与直线'∠＝︒；（1）若点E是CD边的中点，连接AF，则FAD（2）小明从老师那里了解到，只要点E不在正方形的中心，则直线AF与AD所夹锐角不变．他尝试改变点E的位置，计算相应角度，验证老师的说法．①如图，将点E选在正方形内，且△EAB为等边三角形，求出直线AF与AD所夹锐角的度数；②请你继续研究这个问题，可以延续小明的想法，也可用其它方法.我选择小明的想法；（填“用”或“不用”）并简述求直线AF与AD所夹锐角度数的思路．25．图中的小正方形边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点上，求（1）△ABC的面积；（2）边AC的长．参考答案1．D【解析】试题分析：∵在Rt△ABC中，AB=AC=2，∴∠B=∠C=45°，BC==2，∵在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；∴EF=EC=DG=BD，∴DE=BC，∴DE=，∵取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形依次进行下去，∴==，∴EI=KI=HI，∵DH=EI，∴HI=DE=（）2﹣1×，则第n个内接正方形的边长为：×（）n﹣1．故选：D．考点: 1.相似三角形的判定与性质；2.正方形的性质2．C【解析】【详解】∵四边相等的四边形一定是菱形，∴①正确；∵顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是菱形，∴②错误；∵对角线相等的平行四边形才是矩形，∴③错误；∵经过平行四边形对角线交点的直线，一定能把平行四边形分成面积相等的两部分，∴④正确；其中正确的有2个，故选C．考点：中点四边形；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定．3．B【解析】利用正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识一一判断即可；解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=90°，∵∠A=∠EDQ，∠AEP=∠QED，AE=ED，∴△AEP≌△DEQ，故①正确，②作PG⊥CD于G，EM⊥BC于M，∴∠PGQ=∠EMF=90°，∵EF⊥PQ，∴∠PEF=90°，∴∠PEN+∠NEF=90°，∵∠NPE+∠NEP=90°，∴∠NPE=∠NEF，∵PG=EM，∴△EFM≌△PQG，∴EF=PQ，故②正确，③连接QF．则QF=PF，PB2+BF2=QC2+CF2，设CF=x，则（2+x）2+12=32+x2，∴x=1，故③错误，④当P在A点时，Q与D重合，QC的中点H在DC的中点S处，当P运动到B 时，QC的中点H与D重合，故EH扫过的面积为△ESD的面积的一半为，故④正确．故选B．“点睛”本题考查了正方形，全等三角形的性质和判定，平行线性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．4．B【解析】分析：根据三角形面积计算公式，找到△BPD的面积等于△BCP和△CDP面积和减去△BCD 的面积的等量关系，并进行求解．解：如图，过P作PE⊥CD，PF⊥BC，∵正方形ABCD的边长是1，△BPC为正三角形，∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=1，∴∠PCE=30°，∴PF=PB•sin60°=1×=，PE=FC=，S△BPD=S四边形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD=××1+××1-×1×1=；故选B。

鲁教版2019-2020八年级数学下册6.3正方形的性质与判定自主学习能力达标测试题（附答案）1．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90C ∠=︒，8BC CD ==，过点B 作EB AB ⊥，交CD 于点E ．若6DE =，则AD 的长为（ ）．A ．6B ．8C ．9D ．102．在正方形ABCD 中，AB ＝12cm ，对角线AC 、BD 相交于O ，则△ABO 的周长是（ ）A ．12+B ．12+C ．12+D ．24+ 3．C 将一张边长为2的正方形纸片ABCD 对折，设折痕为EF （如图①）；再沿过点D 的折痕将∠A 反折，使得点A 落在EF 上的点H 处（如图②），折痕交AE 于点G ，则EG 的长度是（ ）A ．8-B ．6C ．3D ．4- 4．如图1，正方形纸片ABCD 的边长为2，翻折∠B 、∠D ，使两个直角的顶点重合于对角线BD 上一点P 、EF 、GH 分别是折痕（如图2）．设AE ＝x （0＜x ＜2），给出下列判断：①当x =1时，点P 是正方形ABCD 的中心；②当x ＝时，EF +GH ＞AC ；③当0＜x ＜2时，六边形AEFCHG 面积的最大值是3；④当0＜x ＜2时，六边形AEFCHG 周长的值不变．其中正确的选项是（ ）A ．①③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④5．如图，已知E ，F ，G ，H 分别为正方形ABCD 各边上的动点，且始终保持AE=BF=CG=DH ，点M ，N ，P ，Q 分别是EH 、EF 、FG 、HG 的中点．当AE 从小于BE的变化过程中，若正方形ABCD的周长始终保持不变，则四边形MNPQ的面积变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大6．如图，正方形纸片ABCD的边长为4cm，点M、N分别在边AB、CD上．将该纸片沿MN折叠，使点D落在边BC上，落点为E，MN与DE相交于点Q．随着点M的移动，点Q移动路线长度的最大值是（）A．4cm B．2cm C D．1cm7．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是()A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形C．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形D．当∠DAB=90°时，四边形ABCD是正方形8．如图，正方形ABCD的边长为4，将一个足够大的直角三角板的直角顶点放于点A 处，该三角板的两条直角边与CD交于点F，与CB延长线交于点E．四边形AECF的面积是（）．A．16 B．12 C．8 D．49．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5AB=，点C为半圆AB上动点，以BC为边在⊙O外10．如图，AB为⊙O的直径，4作正方形BCDE，（点D在直线AB的上方）连接OD，当点C运动时，则线段OD的长（）A．随点C的运动而变化，最大值为2+B．不变C．随点C的运动而变化，最小值为D．随点C的运动而变化，但无最值11．如图，已知正方形ABCD的边长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中折成的4个阴影三角形的周长之和为_____．12．如图，AC是边长为1的正方形ABCD的对角线，点E是射线CB上一点，且CE ＝CA，则EB＝_________.=，13．如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC，点E在BF上，且AE AC ∠=________。

鲁教版2019-2020八年级数学下册6.3正方形的性质与判定自主学习能力达标测试题C （附答案）1．如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ACB 的平分线分别交AB 、BD 于M 、N 两点．若BN 的长为（ ）A ．2BC ．D ．12．如图，在正方形ABCD 中，作等边三角形ADE ，则∠AEB 的度数为（）A ．10°B ．15°C ．12.5°D ．20°3．下列命题中，正确命题的序号是：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②一组邻边相等的平行四边形是正方形；③对角线相等的四边形是矩形；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等。

A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④4．已知：如图，M 是正方形ABCD 内的一点，且MC MD AD ==，则AM B ∠的度数为（ ）A ．120︒B ．135︒C ．145︒D ．150︒5．两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是（ ）A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．都有可能6．正方形ABCD 的边长为1，其面积记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S 2，…按此规律继续下去，则S 2019的值为（ ）A ．201912⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．201812⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．20192⎛ ⎝⎭D ．20182⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 7．如图，已知矩形ABCD 中，AB=3，AD=5，动点P 从点D 出发，在边DA 上以每秒1个单位的速度向点A 运动，连接CP ，作点D 关于直线PC 的对称点E ，设点P 的运动时间为t s 当P ，E ，B 三点在同一直线上时t 的值为( )A ．1B ．4C ．215D ．28．如图，G 是边长为4的正方形ABCD 边上一点，矩形DEFG 的边EF 经过点A ，已知GD=5，则FG 为（ ）A ．3B ．3.2C ．4D ．4.89．下列说法正确的是( )A ．对角线互相垂直的四边形是菱形B ．矩形的对角线互相垂直C ．一组对边平行的四边形是平行四边形D ．对角线相等的菱形是正方形10．下列判断中正确的是（ ）A ．对角线互相垂直的四边形是菱形B ．三个角相等的四边形是矩形C ．对角线相等的平行四边形是正方形D ．对角线互相垂直的矩形是正方形11．如图，正方形ABCD 中，点E 在BC 的延长线上，AE 平分∠DAC ，则下列结论： （1）∠E ＝22.5°；（2）∠AFC ＝112.5°；（3）∠ACE ＝135°；（4）AC ＝CE ；（5）AD ：CE ＝1_____（填写序号）12．在平面坐标系中，第1个正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为()3,0，点D 的坐标为()0,4，延长CB 交x 轴于点1A ，作第2个正方形111A B C C ，延长11C B 交x 轴于点2A ；作第3个正方形2221A B C C ，…按这样的规律进行下去，第5个正方形的边长为__________.13．如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠CAB 的平分线交BD 于点E ，交BC 于点F ．若OE =1，则CF =________．14．如图，在ABC 中，AC BC =，点D E ，分别是边AB AC ，的中点，延长DE 到点F ，使D E E F =，得四边形ADCF .若使四边形ADCF 是正方形，则应在ABC 中再添加一个条件为__________.15．如图，在正方形ABCD 中，延长BC 至E ，使CE ＝CA ，则∠E 的度数是_____．16．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=5，EC=7，点P是BD 上的一动点，则PE+PC的最小值是______．17．如图，正方形ABCD的边长为2，正方形AEFG的边长为B在线段DG 上，则BE的长为__________.18．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝3．点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的右下方作正方形AEFG，同时垂直于CD的直线MN也从C向D 以每秒2个单位的速度运动，当经过_____ 秒时，直线MN和正方形AEFG开始有公共点？19．已知：如图，平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为4，它的顶点A在x轴的正半轴上运动（点A，D都不与原点重合），顶点B，C都在第一象限，且对角线AC，BD相交于点P，连接OP.设点P到y轴的距离为d，则在点A，D运动的过程中，d的取值范围是______.20．如图，在矩形ABCD 中对角线AC ，BD 交于点O ，请添加一个条件______________，使矩形ABCD 是正方形（填一个即可）21．如图，矩形ABCD 中，AB =5cm ，BC =10cm ，动点M 从点D 出发，按折线DCBAD 方向以3cm /s 的速度运动，动点N 从点D 出发，按折线DABCD 方向以2cm /s 的速度运动．点E 在线段BC 上，且BE =1cm ，若M 、N 两点同时从点D 出发，到第一次相遇时停止运动．（1）求经过几秒钟M 、N 两点停止运动？（2）求点A 、E 、M 、N 构成平行四边形时，M 、N 两点运动的时间；（3）设运动时间为t （s ），用含字母t 的代数式表示△EMN 的面积S （cm 2）．22．如图，在ABC ∆中，90ACB ︒∠=，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，DE BC ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ．求证：四边形CEDF 是正方形．23．如图，BF 平行于正方形ABCD 的对角线AC ，点E 在BF 上，且AE AC =，CF AE ，求BCF ∠的度数.24．如图，E 为正方形ABCD 的边AB 的延长线上一点，DE 交AC 于点F ，交BC 于点G ，H 为GE 的中点．求证：FB ⊥BH.25．如图，在ABC ∆中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线//BC MN ，设MN 交BCA ∠的角平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F ．（1）求证：EO FO =；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．（3）当点O 运动到何处，且ABC ∆满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？并说明理由．26．如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、AB 上一点，且AF ＝BE ，AE 与DF 交于点G ．（1）求证：AE ＝DF ．（2）如图2，在DG 上取一点M ，使AG ＝MG ，连接CM ，取CM 的中点P ．写出线段PD 与DG 之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，连接CG ．若CG ＝BC ，则AF ：FB 的值为 ．27．如图，在矩形ABCD中，AD=4，点E在边AD上，连接CE，以CE为边向右上方作正方形CEFG，作FH⊥AD，垂足为H，连接AF．(1)求证：FH=ED；(2)当AE为何值时，△AEF的面积最大？28．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a＞b）连结AF、CF、AC,若a+b=10，ab=20，求阴影部分的面积．参考答案1．D【解析】【分析】作MH⊥AC于H，如图，根据正方形的性质得∠MAH＝45°，则△AMH为等腰直角三角形，再求出AH，MH，MB，然后证明∠BNM＝∠BMN，BN＝BM＝1．【详解】解：作MH⊥AC于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴∠MAH=45°，∴△AMH为等腰直角三角形，∵∴AH=MH=1，∵CM平分∠ACB，∠ACB=45°，∠MBC=90°∴∠ACM=∠BCM=22.5°，BM=MH=1，∵∠BAC=45°，∴∠BMC=45°+22.5°=67.5°，∵∠BNM=∠ONC=90°–22.5°=67.5°，∴∠BNM=∠BMN，∴BN=BM=1，故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，根据角平分线的性质作辅助线是解决问题的关键．2．B【解析】【分析】根据等边三角形的性质及正方形的性质可得到AB=AE，从而可求得∠BAE的度数，则∠AEB 的度数就不难求了．【详解】解：根据等边三角形和正方形的性质可知AB=AE，∴∠BAE=90°+60°=150°，∴∠AEB=（180°-150°）÷2=15°．故选：B ．【点睛】本题考查正方形和等边三角形的特殊性质，解题关键是熟练掌握性质．3．D【解析】【分析】分别利用平行四边形的判定方法以及菱形、矩形的判定方法和三角形外心的性质分析得出答案．【详解】解：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确；②一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项错误；③对角线相等的四边形是不一定是矩形，故此选项错误；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正确．故选：D ．【点睛】此题主要考查了命题与定理，正确掌握矩形、菱形的判定方法是解题关键．4．D【解析】【分析】利用等边三角形和正方形的性质求得30ADM ∠=︒，然后利用等腰三角形的性质求得MAD ∠的度数，从而求得BAM ABM ∠=∠的度数，利用三角形的内角和求得AMB ∠的度数．【详解】解：MC MD AD CD ===，MDC ∴∆是等边三角形，60MDC DMC MCD ∴∠=∠=∠=︒，90ADC BCD ∠=∠=︒，30ADM ∴∠=︒，75MAD AMD ∴∠=∠=︒，15BAM ∴∠=︒，同理可得15ABM ∠=︒，1801515150AMB ∴∠=︒-︒-︒=︒，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质及等边三角形的性质，解题的关键是根据等腰三角形的性质求得有关角的度数，难度不大．5．C【解析】【分析】根据菱形，矩形，正方形的判定进行分析即可.【详解】两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，两条对角线相等的四边形是矩形，所以两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.故选：C【点睛】掌握菱形，矩形，正方形的判定.6．B【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S 2+S 2＝S 1，写出部分S n 的值，根据数的变化找出变化规律S n ＝（12）n ﹣1，依此规律即可得出结论． 【详解】解：在图中标上字母E ，如图所示．∵正方形ABCD的边长为1，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2＝CD2，DE＝CE，∴S2+S2＝S1．观察，发现规律：S1＝12＝1，S2＝12S1＝12，S3＝12S2＝14，S4＝12S3＝18，…，∴S n＝（12）n﹣1．当n＝2019时，S2019＝（12）2019﹣1＝（12）2018，故选：B．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题的关键是找出规律S n＝（12）n−1．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，写出部分S n的值，根据数值的变化找出变化规律是关键．7．A【解析】【分析】设PD=t,则PA=5-t.首先证明BP=BC=5,再Rt-ABP中利用勾股定理即可. 【详解】如图,设PD=t则PA=5-t因为P、B.E共线，所以∠BPC=∠DPCAD BC因为||所以∠DPC=∠PCB所以∠BPC=∠PCB所以BP= BC=5在Rt△ABP中,因为AB2+AP2=PB2,所以32+(5-t)2=52所以t=1或9(舍去)则PD=1故t=1s时,B.E.P共线。

鲁教版2019-2020八年级数学下册6.3正方形的性质与判定自主学习培优测试题4（附答案）1．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于M、N两点．若BN的长为（）B C．D．1A．22．如图，已知正方形ABCD边长为1，45EAF︒∠=，AE AF=，则有下列结论：△的周长为2；①1222.5︒∠=∠=；②点C到EF的距离是2-1；③ECF+>，其中正确的结论有（）④BE DF EFA．4个B．3个C．2个D．1个3．下列命题是真命题的是( )A．对角线互相平分且相等的四边形是菱形B．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形D．对角线互相平分的四边形是平行四边形4．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB＝BC时四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时四边形ABCD是菱形C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD且∠ABC＝90°时四边形ABCD是正方形5．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，DC的中点，P为对角线AC上+最小值的是( )的一个动点，则下列线段的长等于BP EPA．AB B．CE C．AC D．AF6．正方形OGHK绕边长为10 cm的正方形ABCD的对角线的交点O旋转到如图所示的位置，则阴影部分的面积为( )A．100 cm2B．75 cm2C．50 cm2D．25 cm27．如图，将正方形ABCD 折叠，折痕交边AB，CD 分别于点E，F，顶点A 落在BC 边上的M 点，边AD 折叠后与边CD 交于点N，如果BE＝2，正方形ABCD 的周长为20，则CN 的长为（）A．（﹣1）B．2（﹣1）C．（5﹣13） D．﹣2→→的路径8．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点A出发，沿A D C以每秒1cm的速度运动（点P不与点A、点C重合），设点P运动时间为x秒，四边形ABCP的面积为2ycm，则下列图像能大致反映y与x的函数关系是（）A ．B ．C ．D ．9．依次连接菱形的各边中点，得到的四边形是（ ）A ．矩形B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形10．如图，正方形ABCD 的边长为4，点O 是对角线BD 的中点，点E 、F 分别在AB 、AD 边上运动，且保持BE AF =，连接OE ，OF ，EF .在此运动过程中，下列结论：①OE OF =；②90EOF ∠=︒；③四边形AEOF 的面积保持不变；④当EF BD 时，EF = ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．①②③④11．如图，正方形ABCD 的边长为E 、F 在BD 上，且1DF BE ==，四边形AECF 的面积为__________．12．如图，在正方形ABCD 中，以A 为顶点作等边三角形AEF ，交BC 边于点E ，交DC 边于点F ，若△AEF 的边长为2，则图中阴影部分的面积为_____．13．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为(−l,1)，点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y=6x上，过点C作CE//x轴交双曲线于点E，连接BE，则△BCE的面积为________．14．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC = 90︒，CD ⊥AD ，BE ⊥AD ，AD2 +CD2= 2 AB2，若四边形ABCD 的面积为18，则BE 的长为_____.15．如图，正方形ABCD中，点E在AB上，EF BC∥交BD、CD于点G、F，点M、N分别为DG、EC的中点，连接BN、MN，若2DF=，BN=MN=______.16．以边长为4的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A B、两点，则线段AB的最小值为______．17．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =9，CD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，已知DF =4，则AD 的长是____．18．如图，如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此作下去，已知正方形ABCD 的面积1=1S ，按上述方法所作的正方形的面积依次为2S ，3S ，⋯，(n S n 为正整数），那么第4个正方形的面积4S =__，n S =___．19．如图，已知正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，BF=CD+DF,若∠ABE 为α，用含α的代数式表示∠CBF 的度数是___________.20．既是矩形又是菱形四边形是________。

鲁教版2019八年级数学下册第六章第三节正方形的性质与判定假期预习自主测试题二（拔高部分含答案）1．如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为（）A．8B．4C．8D．62．如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，将ΔADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到ΔABF，连接EF，则线段EF的长为（）A．3B．C．D．3．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（）A．B．C．D．4．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，则第2018个正方形的边长为A．22017B．22018C．D．5．如图，在平面内有一等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，点A在直线l上．过点C作CE⊥1于点E，过点B作BF⊥l于点F，测量得CE=3，BF=2，则AF的长为（）A．5 B．4 C．8 D．76．如图，在四边形中，，对角线与相交于点，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形是正方形，则下列添加的一个条件错误的是（）A．B．C．D．、互相垂直平分7．如图，P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的一点，点E是AB的中点，则的最小值是A．B．C．D．8．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF 上的点H处，①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG= S△FGH；④AG+DF=FG．则下列结论正确的有（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③9．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点Q在对角线OB上，若OQ=OC，则点Q的坐标为_______.10．四边形的对角线、相交于点，，，为使四边形为正方形，还需要满足下列条件中：①；②；③；④中的哪两个________（填代号）．11．如图，将边长为1的正方形的四条边分别向外延长一倍，得到第二个正方形，将第二个正方形的四条边分别向外延长一倍得到第三个正方形，…，则第2018个正方形的面积为_____．12．矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=________．形填13．已知矩形ABCD，当满足条件______时，它成为正方一个你认为正确的条件即可．14．如图，正方形ABCD的边长为5，连接BD，在线段CD上取一点E，在线段BD上取点F，使得∠BEC=∠DEF，当S△DEF= 13S△EFB时，在线段BC上有一点G，使FG+EG最短，则CG=________．15．如图，正方形纸片ABCD的边长为4cm，点M、N分别在边AB、CD上．将该纸片沿MN折叠，使点D落在边BC上，落点为E，MN与DE相交于点Q．随着点M的移动，点Q移动路线长度的最大值是____．16．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上任意一点，过点E作EF⊥BC于点F，作EG⊥CD于点G，若正方形ABCD的周长为a，则四边形EFCG的周长为_____．17．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上任意一点，BE的垂直平分线FG交对角AC于点F．求证：（1）BF＝DF；（2）BF⊥FE．18．如图，已知直线AQ与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点Q，∠QAO=45°，直线AQ在y轴上的截距为2，直线BE：y=-2x+8与直线AQ交于点P．（1）求直线AQ的解析式；（2）在y轴正半轴上取一点F，当四边形BPFO是梯形时，求点F的坐标．（3）若点C在y轴负半轴上，点M在直线P A上，点N在直线PB上，是否存在以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在请求出点C的坐标；若不存在请说明理由．19．如图所示，已知等边△ABC的边长为a，P是△ABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，点D、E、F分别在BC、AC、AB上，猜想：PD+PE+PF等于多少，并证明你的猜想．20．如图，在矩形中，，动点从点开始沿边以的速度运动，动点从点开始沿边以的速度运动，点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动点的运动时间为，则当为何值时，四边形时矩形？21．问题探究请在图中作出两条直线，使它们将圆面积四等分，并写出作图过程；拓展应用如图，是正方形内一定点，是对角线、的交点．连接并延长，分别交、于、．过做直线，分别交、于、．求证：、将正方形的面积四等分．22．如图，在正方形ABCD中，点E是AD边上的一点，AF⊥BE于F，CG⊥BE于G．（1）若∠F AE=20°，求∠DCG的度数；（2）猜想：AF，FG，CG三者之间的数量关系，并证明你的猜想．答案1．C2．C3．C4．C5．B 6．D7．A 8．B9．(,)解:如图，过点Q作QD⊥OA于点D，∴∠QDO=90°.∵四边形OABC是正方形，且边长为2，OQ=OC，∴∠QOA=45°，OQ=OC=2，∴△ODQ是等腰直角三角形，∴OD=OQ==.∴点Q的坐标为.10．①②或①④解:∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，若AB=AD，则四边形ABCD为正方形；若AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形.故答案为：①②或①④.11．52018解：∵第1个正方形的面积为：1+4××2×1=5=51；第2个正方形的面积为：5+4××2×=25=52；第3个正方形的面积为：25+4××2×=125=53；…∴第n个正方形的面积为：5n；∴第2018个正方形的面积为：52018．故答案为52018．12．解:如图，延长GH交AD于p,∵矩形ABCD与CEFG，∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2，GF=CE=1∴AD∥GF,∴∠GFH=∠PAH∵H是AF的中点，∴AH=FH,在△APH与△FGH中，∠GFH=∠PAH，AH=FH, ∠AHP=∠FHG ∴△APH≌△FGH∴AP=GF=1，GH=PH=PG∴PD=AD-AP=1∴CG=2，CD=1∴DG=1∴GH =PG=.13．AB=BC解:∵四边形ABCD是矩形，∴（1）当AB=BC时，矩形ABCD是正方形；（2）当AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形.故答案为：AB=CD（或AC⊥BD）.14．59解:延长DC 到N ,CN=CE,连接FN 交BC 于G,此时点G ,FG+EG 最短,S △DEF =13S △EFB, 14DF DB ∴=, 过点F 作FM ⊥CD, 四边形ABCD 是正方形，∴∠BCD =90°， FMBC ,FM DM DF BC DC DB∴==, 5BC CD ∴==， 1554FM DM ∴==， ∴FM=DM =54，∠BEC =∠DEF ,∠EMF =∠ECB =90°，~,EMF ECB ∴545EM FM EC BC ==, ∴EC =4EM , ∴EM+EC+DM =5, ∴EM =43,EC=3, ∴CN=CE =3,MN=CN+CE+ME =3+3+34=27,4∴CG FM, CG CNFM MN ∴=, 344CG ∴=， ∴CG=59.15．2解：如下图，设AB 、CD 的中点分别为K 、G ，连接KG 、BD 相交于点O ，∵当点E 与点B 重合时，由题意可知此时点Q 与点O 重合；而当点E 与点C 重合时，由题意可知此时点Q与点G重合，∴随着点M的移动，点Q的移动路线是线段OG，∵由折叠的性质可知：BO=DO，DG=CG，∴线段OG是△DBC的中位线，∴OG=BC=.故答案为：2.16．解:∵ABCD为正方形，∴∠DBC=∠BDC=45°，AB=BC=CD=AD，又∵EF⊥BC，EG⊥CD，∴∠EFC=∠EGC=90°，又∠C=90°，∴四边形EFCG为矩形，∴EG=FC，EF=GC，∵△BEF和△EDG都为等腰直角三角形，∴DG=EG，EF=BF，则四边形EFCG的周长=EF+FC+CG+EG=DG+GC+CF+FB=DC+BC=．故答案为：．17．证明：如图所示：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAF=∠DAF=45°，∠BAE=90°，在△BAF和△DAF中，，∴△BAF≌△DAF（SAS），∴BF=DF；（2）∵BE的垂直平分线FG交对角AC于点F，∴BF=EF，∵BF=DF，∴EF=DF，∴∠FDE=∠FED，∵△BAF≌△DAF，∴∠ABF=∠FDE，∴∠ABF=∠FED，∵∠FED+∠FEA=180°，∴∠ABF+∠FEA=180°，∴∠BAE+∠BFE=180°，∴∠BFE=90°，∴BF⊥FE．18．（1）直线AQ的解析式为y=x+2；（2）F（0，4）；（3）存在，C（0，）或C（0，-10）解：（1）设直线AQ的解析式为y=kx+b，∵直线AQ在y轴上的截距为2，∴b=2，∴直线AQ的解析式为y=kx+2，∴OQ=2，在Rt△AOQ中，∠OAQ=45°，∴OA=OQ=2，∴A（-2，0），∴-2k+2=0，∴k=1，∴直线AQ的解析式为y=x+2；（2）由（1）知，直线AQ的解析式为y=x+2①，∵直线BE：y=-2x+8②，联立①②解得，∴P（2，4），∵四边形BPFO是梯形，∴PF∥x轴，∴F（0，4）；（3）设C（0，c），∵以Q、C、M、N为顶点的四边形是菱形，①当CQ是对角线时，CQ与MN互相垂直平分，设C（0，c），∵CQ的中点坐标为（0，），∴点M，N的纵坐标都是，∴M（，），N（，），∴+=0，∴c=-10，∴C（0，-10），②当CQ为边时，CQ∥MN，CQ=MN=QM，设M（m，m+2），∴N（m，-2m+8），∴|3m-6|=2-c=|m|，∴m=或m=，∴c=或c=（舍），∴，∴（0，）或C（0，-10）.19．PD+PE+PF=a．理由.解：PD+PE+PF=a．理由如下：如图，延长EP交AB于G，延长FP交BC于H，∵PE∥BC，PF∥AC，△ABC是等边三角形，∴∠PGF=∠B=60°，∠PFG=∠A=60°，∴△PFG是等边三角形，同理可得△PDH是等边三角形，∴PF=PG，PD=DH，又∵PD∥AB，PE∥BC，∴四边形BDPG是平行四边形，∴PG=BD，∴PD+PE+PF=DH+CH+BD=BC=a．20．当时，四边形是矩形解:由题意得：，；∵四边形是矩形，∴，即，解得：．即当时，四边形是矩形．21．（1）过点首先作一条直线，进而过点作直线的垂线，即可将圆面积四等分；（2）解:过点首先作一条直线，进而过点作直线的垂线，即可将圆面积四等分；证明：在和中，∴，同理可得出：，，，∴，∴、将正方形的面积四等分．22．（1）70°；（2）CG=AF+FG，理由解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠D=90°，∵AF⊥BE，CG⊥BE，∴∠AFE=∠CGE=90°，∵∠F AE=20°，∴∠FED=∠F AE+∠AFE=20°+90°=110°，∴∠DCG=360°-∠D-∠FED-∠CGE=360°-90°-110°-90°=70°；（2）猜想：CG=AF+FG，证明：∵∠ABF+∠CBG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，∴∠ABF=∠BCG，在△ABF和△BCG中∴ABF≌△BCG（AAS），∴AF=BG，BF=CG，∴CG=BF=BG+FG=AF+FG．。