高中数学人教B版必修二学案：第一单元 1.1.7 柱、锥、台和球的体积 Word版含答案

人教版高中必修2(B版)1.1.7柱、锥、台和球的体积课程设计一、课程目标1.了解柱、锥、台和球的定义及形态特征；2.掌握柱、锥、台和球的体积计算公式；3.能够运用已学知识，解决实际问题。

二、教学重点与难点教学重点：1.柱、锥、台和球的定义和形态特征；2.计算柱、锥、台和球的体积公式及应用。

教学难点：1.球的立体图形；2.提高学生运用公式计算的能力；3.引导学生探究柱、锥、台和球在实际生活中的应用。

三、教学内容与教学过程安排教学内容：1.柱、锥、台和球的定义及形态特征；2.柱、锥、台和球的体积计算公式及应用。

教学过程安排：教学环节具体安排教学时间教学环节具体安排教学时间导入介绍本节课的学习目标 5 min 学习1 讲解柱、锥、台和球的定义及形态特征20 min 练习1 针对柱、锥、台和球的形态，进行练习15 min 学习2 讲解柱、锥、台和球的体积计算公式30 min 练习2 进行柱、锥、台和球的体积计算练习20 min 拓展探究柱、锥、台和球在实际生活中的应用领域20 min 总结对本节课进行小结10 min四、教学方法和教学手段教学方法：1.演示教学法；2.引导式教学法；3.问题解决式教学法。

教学手段：1.黑板、彩笔；2.直观物品模型；3.PPT。

五、考核方式1.课堂练习；2.课后作业。

六、教学资源准备1.课本内容，PPT。

2.模型球、模型锥、模型台、模型柱。

七、教学反思与总结本节课是高中必修2(B版)中柱、锥、台和球的体积计算部分。

从初中到高中，体积是数学中让学生最难逃脱的一个主题。

因此，在本课程设计中，我们着重对柱、锥、台和球的定义及形态特征进行讲解，同时给出相应的计算公式及实例，引导学生练习运用公式解决问题。

在教学环节中引入了模型球、模型锥、模型台、模型柱等示范物体，试图通过直观的方式，提高学生对不同几何体的理解。

通过教学反思，认为本节课教学过程中，学生对于柱、锥、台和球的理解方面需要更进一步的引导和讲解。

1.1.7柱、锥、台和球的体积一、教学目标1、理解祖暅原理的内容；2、了解柱、锥、台体的体积公式的推导；3、掌握柱、锥、台体和球的体积公式。

4、能运用公式求柱体，锥体，台体和球的体积重点：体积计算及公式的推导方法难点：祖暅原理的理解及体积公式的应用二、知识梳理对祖暅原理的理解：关键词：夹在，两个平行平面，任意平面所截，截面的面积总相等1、柱体的体积一般柱体的体积公式V =，其中S为底面面积，h为棱柱的高。

棱柱〔圆柱〕的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足〔垂线与底面的交点〕之间的距离。

2、锥体的体积圆锥的体积公式是V=〔S为底面面积，h为高〕，它是同底等高的圆柱的体积的13。

棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的13，即棱锥的体积V=〔S为底面面积，h为高〕。

棱锥与圆锥的体积公式类似，都是棱锥〔圆锥〕的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足〔垂线与底面的交点〕之间的距离。

3、台体的体积由于圆台〔棱台〕是由圆锥〔棱锥〕截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到园台〔棱台〕的体积公式：V=，其中S'，S分别为上、下底面面积，h为圆台〔棱台〕的高。

圆台〔棱台〕的高是指两个底面之间的距离。

4、球的体积：设球的半径为R，那么它的体积为V=球，是以R为自变量的函数。

三、[例题解析]阅读课本例1与例2完成课后练习A第1，2，3题补充例题2、直棱柱底面是菱形，面积为S，过两不相邻侧棱的截面面积分别为m，n，求直棱柱的体积2、假设干毫升水倒入底面半径为2的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6，假设将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，那么水面的高度为3、过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半、且AC＝BC＝AB＝6，求球的体积。

[限时训练]1、正方体的全面积是S,那么它的体积是( )()A()B()C()D2、假设圆柱和圆锥的底面直径,高都与球的直径相等,那么圆锥,球,圆柱的体积比是( )()A4:2:3()B1:2:3 ()C2:1:3 ()D8:32:243、台体中一个平行于底面的截面把台体分成上下两部分，假设台体的上底面面积，截面面积，下底面面积之比为1：4：9，那么截面把台体分成上下两部分的体积的比值为〔〕()A 827()B719()C513()D354、如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积为S，那么圆柱的体积等于〔〕〔A〔B〔C〔D5、圆柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，那么圆柱的体积是;6、三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为6，4，3，那么三棱锥的体积为;7、一个钢球的直径是5，那么它的体积是；假设球半径变为原来的2倍，体积变为原来的倍;8、棱长均相等的正四棱锥的全面积为)2361cm +，那么它的体积为； 9、一个正三棱台的上，下底面边长分别为3cm 和6cm ，高是32cm ，求三棱台的〔1〕侧棱长；〔2〕斜高；〔3〕体积.10、棱台的两个底面面积分别是245cm 2和80cm 2，截得这个棱台的棱锥的高为35cm ，求这个棱台的体积[课后作业]习题1-1A 第7，8，9题。

第1页 共1页 人教B 版 数学 必修2：柱、锥、台和球的体积(5) 教学目标：了解球的体积的计算方法
教学重点：了解球的体积的计算方法
教学过程：
（一） 由上节祖暅原理所述知球的体积公式3
34R
V π
= （二） 例子
1、有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角，在容器内放入一个半径为R
的
球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，这时容器中水的深度是[ ]
2、如果球的体积是V 球，它的外切圆柱的体积是V 圆柱，外切等边圆锥的体积是V 圆锥，那么这三个几何体体积之比是____
3、图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。

在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的
32 ，球的表面积也是圆柱全面积的32. 解：设圆的半径为R ，球的体积与圆柱的体积分别为V 球及V 柱 ，球的表面积与圆柱的全面积分别为S 球及S 柱，则有
S 柱=侧面积+上下底面积
注：这个发现是阿基米德在他的许许多多的科学发现当中最为得意的一个
课堂练习：教材第33页 练习A3
小结：
本节课应了解：球的体积计算公式
课后作业：教材第34页 习题1-1A ：11.。

人教B版数学必修2：柱、锥、台和球的体积一教学目标：了解柱、锥、台的体积的计算方法教学重点：了解柱、锥、台的体积的计算方法教学过程：（一）祖暅原理：祖暅(音gèng)，一名祖暅之，是祖冲之的儿子，他的活动时期大约在公元504—526年．祖氏父子在数学和天文学上都有杰出的贡献．祖暅的主要工作是修补编辑祖冲之的《缀术》．他推导球体积公式的方法非常巧妙．根据中国算书《九章算术》中李淳风的注释，下面我们使用现代的术语，并将原来的图形略加修改，把祖暅当时推导球体积公式的方法介绍如下：作一个几何体V1．底面OABC是一个正方形，边长为r(图218)．高取一点S，过点S与底面平行的截面为SPQR，设它的边长为a，OS为h，则截面面积a2=r2h2．另取一个边长为r的正方体V2(图219)，连结O′D′，O′C′，O′A′，锥体O′A′B′C′D′记作V3，V2V3是正方体O′D′挖去锥体O′A′B′C′D′剩下的几何体．下面来证明V1=V2V3．设平行于底面与底面距离为h的平面，截V2的截面是正方形P′TS′M，面积等于r2，截V3的截面是正方形Q′TR′N，面积等于h2(因为Q′T=O′T=h)，所以这两个正方形的差形成曲尺形P′Q′NR′S′M，它的面积等于r2h2．比较V1与V2V3在等高(h)处的截面，它们的面积都是r2h2，因此体积相等，即V1=V2V3．祖暅原理的原文是“幂势既同，则积不容异．”“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是：两个同高的几何体，如果与底等距离的截面积总相等，那么几何体的体积相等．这就是现在说的：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．积为V4(是未知数)．和V1比较，在高h处的截面积C″EF是以a为半祖暅提出的“幂势既同，则积不容异”，及“体积之比等于对应截面积之比”，在这里是当作公理使用．提法“幂势既同，则积不容异”，在西方通常叫做“卡瓦列利原理”(Cavalierisches ，Prinzip)．卡瓦列利[米兰Milan(现意大利城市)人]在他的名著《连续不可分几何》中提出这一原理，这本书出版于1635年． （二）长方体的体积Sh V = （三）利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的长方体与柱体的体积相等，故柱体的体积为：Sh V =（四）利用祖暅原理可以说明：等底面积等高的锥体的体积均相等 （五）三棱住可以分割成三个体积相等的锥故锥体的体积为Sh V 31=（六）利用两个锥体做差可得台体的体积公式h S SS S V )''(31++= （七）例子：(1) 长方体的三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积为 [ ](2)平行六面体ABCDA1B1C1D1中，在从B点出发的三条棱上分别取其中点E、F、G，则棱锥BEFG的体积是平行六面体体积的[ ](3)如果一个正四面体的体积为9dm3，则其表面积S的值为[ ]棱锥的体积是[ ](5)设正三棱柱的外接圆柱体体积为V1，内切切圆柱体积为V2，则[ ]A．V1∶V2=∶1 B．V1∶V2=2∶1C．V1∶V2=4∶1 D．V1∶V2=8∶1课堂练习：小结：本节课应了解：祖暅原理以及柱锥台的体积计算公式课后作业：教材第34页习题11A：7、8.。

多面体与球一、教学目标1.知识与技能：初步理解多面体与球的结构特征和几何性质。

2.过程与方法：利用类比、联想等方法，让学生掌握解决多面体与球的相关问题。

3.情感、态度与价值观：培养学生空间想象能力和抽象概括能力。

二、教学重点，难点重点：明确多面体与球的切点和接点位置，有关元素间的数量换算。

难点：确定多面体与球的球心位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图。

三、学法与教学用具1.学法：观察，思考，交流，讨论，概括。

2.教学用具：教学一体机，PPT课件。

四、教学过程1.引入：高三总复习进入第二阶段，针对高考考题做专题复习巩固，立体几何是高考中重要模块，其中几何体与球的问题属难题类型，本节课我们共同探求一些解题方法。

2.方法介绍：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点和接点位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图。

3.例题讲解：、（一）内切问题(1)正方体与内切球。

例1：正方体棱长为，其内切球表面积为。

(2)正四棱锥与内切球。

例2：正四棱锥P-ABCD底面边长为6，内切球半径为1，则四棱锥的高为。

(3)正四面体与内切球。

例3：正四面体棱长为，其内切球体积为。

（二）外接问题(1)长方体与外接球。

例4：长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=5，BD=12，外接球体积为。

(2)三棱锥与外接球。

例5：三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球体积为。

3454.经验总结：学生独立总结方法，写出体会。

5.作业布置：类比本节课多面体与球的问题及解题方法，预习旋转体与球的问题。

（1）圆柱与内切球体积之比为。

（2）圆柱与外接球，球半径为1，圆柱地面圆半径为，圆柱与外接球体积之比为。

辽宁省大连市高中数学第一章立体几何初步1.1.7 柱、锥、台和球的体积教案新人教B版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（辽宁省大连市高中数学第一章立体几何初步1.1.7 柱、锥、台和球的体积教案新人教B版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.1.7 柱锥台和球的体积【教学目标】知识与技能：理解祖暅原理，能使用祖暅原理和长方体体积公式推导出柱体、锥体、台体和球的体积公式，并可以使用体积公式求几何体的体积过程与方法：学生通过实例理解祖暅原理，借助长方体体积公式和祖暅原理推出柱的体积公式，学生通过小组探究、合作交流得到锥体的体积公式,运用化未知为已知的方法，接触到了立体几何中“割”“补"的思想方法。

情感态度价值观：通过知识的发现过程，形成科学的研究价值观，收获研究成功的喜悦.【重点】理解祖暅原理，能用祖暅原理推出柱、锥和球的体积公式【难点】用祖暅原理推出柱、锥和球的体积公式【教学过程】一. 知识回顾长方体的体积公式V abc Sh==圆柱的体积公式V Sh=圆锥的体积公式13V Sh =二. 新授课现在有1套3副扑克牌，整体摆放如图⑴，若有另1套3副扑克牌，经过变换，如图⑵，提问错误!:摆放图⑴的三幅扑克牌,你有办法求出体积吗?预设错误!：长方体，体积公式V abc=；提问◇2:摆放图⑵的三幅扑克牌,体积是多少呢？预设错误!:与摆放图⑴的三幅扑克牌的体积相同；提问错误!:对于图⑵的三幅扑克牌，你是怎么样得到体积的呢？预设错误!:两副扑克大小一样,每张牌都一样,张数一样，故体积相同。

数学人教B必修2第一章1.1.7 柱、锥、台和球的体积1．了解柱、锥、台和球的体积计算公式(不要求记忆公式)．2．理解柱、锥和台的体积公式的推导，并知道“祖暅原理”在解决体积问题中的重要作用．1．祖暅原理及应用(1)祖暅原理．幂势既同，则积不容异．这就是说，夹在________的两个几何体，被__________的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积________，那么这两个几何体的体积______．(2)祖暅原理的应用．________、________的两个柱体或锥体的体积相等．“祖暅原理”充分体现了空间与平面问题的相互转化的思想方法，这一原理是推导柱、锥、台和球的体积公式的基础和纽带．【做一做1】已知一斜棱柱的底面积为S，上下两底面间的距离为h，则利用祖暅原理可知此斜棱柱的体积为__________．2．柱、锥、台的体积其中.柱体、锥体、台体的体积有如下关系：【做一做2－1】在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是( )．A ．23B ．76C ．45D ．56【做一做2－2】用半径为R 的半圆卷成一个圆锥，这个圆锥的体积是( )． A ．324πR 3 B ．38πR 3 C ．524πR 3 D ．58πR 3 【做一做2－3】有一个几何体的三视图及其尺寸如图：则该几何体的体积为__________，表面积为__________．3．球的体积V 球＝________，其中R 为球的半径．【做一做3】充满氢气的气球飞艇可以供游客旅行．现有一个飞艇，若它的半径扩大为原来的4倍，那么它的体积增大到原来的( )．A ．4倍B ．8倍C ．64倍D ．16倍1．割补法在空间几何中的应用剖析：试用割补法探究以下问题：(1)用割补的方法说明斜三棱柱的体积等于等底等高的三棱锥体积的三倍；(2)在斜棱柱中，我们把与侧棱垂直的截面称作斜棱柱的直截面．试说明斜棱柱的侧面积等于直截面的周长与侧棱长的乘积；斜棱柱的体积等于直截面的面积与侧棱长的乘积．(1)中关键在于要说明如何去找截面，为什么如图①所示的所截得的三个三棱锥的体积是相等的，这里用了这样一个结论：若一条线段与平面相交且交点是线段的中点，则这条线段的两个端点到这个平面的距离相等．如图②所示的点A 1与点C 到截面ABC 1的距离相等．(2)如图③，从割补的过程中，我们不难发现在割补前后其斜棱柱的每个侧面上相当于将一个平行四边形割补成一个矩形，因而侧面积没有变化，体积也没有发生变化．在解题中使用体积公式时一定要注意棱锥和棱台的体积公式中都有个13.三棱锥是一种比较特殊的棱锥，在求体积时可以根据条件适当转换顶点以达到简化运算的目的，根据这一思想还可以求一些简单的距离问题．2．由锥体的体积可得到台体的体积剖析：利用锥体和台体的联系，用平行于底面的平面截锥体，截面和底面之间的部分是台体，结合锥体的体积公式即得台体的体积公式．如图所示，设台体(棱台或圆台)上、下底面面积分别是S ′，S ，高是h ，设截得台体时去掉的锥体的高是x ，则截得这个台体的锥体的高是h ＋x ，则V 台体＝V 大锥体－V 小锥体＝13S (h ＋x )－13S ′x ＝13[Sh ＋(S －S ′)x ]，而S ′S ＝x 2(h ＋x )2，所以S ′S ＝x h ＋x，于是有x ＝S ′hS －S ′，代入体积表达式，得V 台体＝13h ⎣⎢⎡⎦⎥⎤S ＋S －SS ′S －S ′＝13h (S ＋SS ′＋S ′)．棱锥、圆锥的截面(平行于底面的截面)有如下性质： S 小锥底S 大锥底＝S 小锥侧S 大锥侧＝S 小锥全S 大锥全＝对应线段比的平方； V 小锥V 大锥＝对应线段比的立方.题型一有关柱体体积的问题【例1】已知一个圆柱去掉两个底面，沿任一条母线割开，然后放在平面上展开后得到的平面图形(我们叫圆柱的侧面展开图)是一个矩形，它的对角线长为m ，对角线与底边成α角⎝⎛⎭⎫0<α<π2，求圆柱的体积． 分析：(1)圆柱的侧面展开图是一个矩形；(2)已知矩形的对角线长为m ，对角线与底边成α角．解答本题可先明确展开前图形与展开后图形中量与量之间的关系，再画图求解．反思：对于几何体的侧面展开图问题，要注意展开前后的“变”与“不变”．对此题而言，为了求体积要抓住关键元素，即圆柱的底面半径、高．题型二有关锥体体积的问题【例2】一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为15，求这个正三棱锥的体积． 分析：求三棱锥的体积时需确定其底面和高，由于已知正三棱锥的底面边长，可确定正三棱锥的底面面积，这样可容易求出其体积．反思：在正三棱锥的有关计算中，像Rt△SHA，Rt△SHE，Rt△SEB等是非常有用的，它们联系了正三棱锥的侧棱长、底面边长、高、底面正三角形的外接圆半径、内切圆半径等．题型三有关台体体积的问题【例3】圆台上底的面积为16πcm2，下底半径为6cm，母线长为10cm，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？分析：在本题中要求圆台的体积必须先求出圆台的高，通过作轴截面可以得到等腰梯形，进一步可以得到矩形ABCO和直角三角形BCD，利用它们可以方便地解决本问题．反思：在多面体和旋转体中的有关计算通常转化为平面图形(三角形或特殊的四边形)来计算．对于棱锥中的计算问题往往要构造直角三角形，即棱锥的高、斜高以及斜高在底面上的投影构成的直角三角形，或者由棱锥的高、侧棱以及侧棱在底面上的投影构成的直角三角形；对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．题型四有关球体体积的问题【例4】设A，B，C，D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB＝BC＝CD＝DA＝3，球心到该平面的距离为球半径的一半，则球的体积为()．A．86πB．646πC．242πD．722π反思：旋转体问题要注意画轴截面，将立体几何问题转化为平面几何问题，利用平面图形的性质加以解决．题型五易错辨析【例5】如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F 将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，那么V1∶V2＝__________.错解：由已知可知几何体AEF－A1B1C1是三棱台，几何体C1B1－EFCB是四棱锥．设三棱柱底面积为S，高为h，则由锥、台的体积公式可得， V 1＝13h ⎝⎛⎭⎫S ＋14S ＋S ·S 4＝712Sh ， V 2＝13h ·34S ＝14Sh .∴V 1∶V 2＝712Sh ∶14Sh ＝7∶3.错因分析：几何体C 1B 1－EFCB 不是一个规则的几何体，而错解中将其看成锥体了．1(2011·福州高一期末)若一个球的表面积为4π，则这个球的体积是( )． A ．π3 B ．43πC ．83π D ．323π2(2012·浙江名校第一次联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．6B ．163C ．143D ．43圆台的轴截面等腰梯形的腰长为a ，下底边长为2a ，对角线长为3a ，则这个圆台的体积是( )．A ．734πa 3B ．7123πa 3C ．783πa 3D ．7324πa 34正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14cm 3，则棱台的高为__________．5根据图中标出的尺寸，求各几何体的体积．答案：基础知识·梳理1．(1)两个平行平面间平行于这两个平面总相等相等 (2)等底面积等高 【做一做1】Sh【做一做2－1】D 截去的每个小三棱锥的体积为12×12×12×12×13＝13×⎝⎛⎭⎫124，则剩余部分的体积V ＝1－13×⎝⎛⎭⎫124×8＝1－16＝56.【做一做2－2】A 如图，设圆锥的底面半径为r ， 则2πr ＝l ＝π·R .∴r ＝12R .∴圆锥的高h ＝R 2－14R 2＝32R .∴V 锥＝13πr 2·h ＝π3·R 24·32R ＝324πR 3.【做一做2－3】54π54π 3．43πR 3 【做一做3】C 设气球原来半径为R ，则现在半径为4R ，此时体积V ＝43π(4R )3＝64×4πR 33.故选C.典型例题·领悟【例1】解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，如图，则由题意可知：⎩⎪⎨⎪⎧h ＝m sin α，2πr ＝m cos α，∴h ＝m sin α，r ＝m cos α2π，∴V 圆柱＝πr 2h ＝π⎝⎛⎭⎫m cos α2π2·m sin α＝m 3sin αcos 2α4π. 【例2】解：如图，在正三棱锥S －ABC 中，设H 为△ABC 的中心，连接SH ，则SH 的长即为该正三棱锥的高．连接AH ，延长后交BC 于E ，则E 为BC 的中点，且AH ⊥BC .由于△ABC 是边长为6的正三角形，∴AE ＝32×6＝3 3. ∴AH ＝23AE ＝2 3.在Rt △SHA 中，SA ＝15，AH ＝23， ∴SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝ 3.在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ·AE ＝12×6×33＝9 3.∴V S －ABC ＝13×93×3＝9.【例3】解：首先，圆台的上底的半径为4cm ， 于是S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝100π(cm 2)．其次，如图，圆台的高h ＝BC ＝BD 2－(OD －AB )2 ＝102－(6－4)2＝46(cm)，所以V 圆台＝13h (S ＋SS ′＋S ′)＝13×46×(16π＋16π×36π＋36π) ＝3046π3(cm 3)． 【例4】A 根据截面圆的性质求球的半径．设A ，B ，C ，D 所在小圆半径为r ， 则2r ＝32，∴r ＝322. 设球半径为R ，则R 2＝⎝⎛⎭⎫R 22＋r 2. ∴32R ＝r .∴R ＝ 6. ∴V 球＝43πR 3＝86π.【例5】7∶5正解：设三棱柱的高为h ，底面的面积为S ，体积为V ，则V ＝V 1＋V 2＝Sh .因为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，所以S △AEF ＝14S ，V 1＝13h ⎝⎛⎭⎫S ＋14S ＋S ·S 4＝712Sh ，V 2＝Sh －V 1＝512Sh ， 故V 1∶V 2＝7∶5. 随堂练习·巩固 1．B 2．A3．D 如图，由AD ＝a ，AB ＝2a ，BD ＝3a ，知∠ADB ＝90°.取DC 中点E ，AB 中点F ，分别过D 点、C 点作DH ⊥AB ，CG ⊥AB ，知DH ＝32a .∴HB ＝3a 2－34a 2＝32a .∴DE ＝HF ＝12a .∴V 圆台＝π3⎝⎛⎭⎫14a 2＋12a 2＋a 2·32a ＝7243πa 3. 4．2cm 如图所示，设正四棱台AC ′的上底面边长为2a ，则斜高EE ′、下底面边长分别为5a,8a .所以高OO ′＝(5a )2－(4a －a )2＝4a .又∵13×4a ×(64a 2＋4a 2＋4a 2×64a 2)＝14，∴a ＝12，即高为2cm.5．解：(1)该几何体是圆锥，高h ＝10，底面圆半径r ＝3，所以底面积S ＝πr 2＝9π， 则V ＝13Sh ＝13×9π×10＝30π.(2)该几何体是正四棱台，底面中心连线就是高h ＝6， 上底面积S 上＝64，下底面积S 下＝144， 则V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h ＝13×(64＋144＋64×144)×6＝608.。

柱、锥、台和球的体积[ 学习目标 ] 1.认识柱、锥、台和球的体积计算公式.2.能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积.3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问题.[ 知识链接 ]1.长宽高分别为 a、 b、 c 的长方体的表面积S＝ 2(ab＋bc＋ ac)，体积 V＝ abc.2.棱长为 a 的正方体的表面积 S＝ 6a2，体积 V＝ a3.3.底面半径为 r ，母线长为 l 的圆柱侧面积S 侧＝ 2πrl ，表面积 S＝ 2πrl ＋ 2πr2.4.底面半径为 r ，母线长为 l 的圆锥侧面积S 侧＝πrl ，表面积 S＝πr2＋πrl .[ 预习导引 ]1.祖暅原理(1)“幂势既同，则积不容异” ，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的随意平面所截，假如截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.”(2) 作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.(3)说明：祖暅原理充足表现了空间与平面问题的互相转变思想，是推导柱、锥、台体积公式的理论依照 .2.柱、锥、台、球的体积此中 S′、 S 分别表示上、下底面的面积，h 表示高， r′和 r 分别表示上、下底面圆的半径，R 表示球的半径 .名称柱棱柱体圆柱体积 (V)Sh πr2h锥体台体棱锥圆锥棱台圆台13Sh1πr2h313h(S＋SS′＋ S′)13πh(r2＋ rr ′＋ r ′2)球43πR3重点一柱体的体积例 1某几何体三视图如下图，则该几何体的体积为() A.8 － 2π B.8－πC.8－πD.8 －π24答案B分析这是一个正方体切掉两个14圆柱后获得的几何体，如图，几何体的高为2，V＝ 23－14×π× 12× 2× 2＝8－π.规律方法 1.解答此类问题的重点是先由三视图复原作出直观图，而后依据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据.2.若由三视图复原的几何体的直观图由几部分构成，求几何体的体积时，依照需要先将几何体切割分别求解，最后乞降.追踪操练1一个几何体的三视图如下图(单位： m)，则该几何体的体积为________m 3.答案4分析此几何体是两个长方体的组合，故V＝ 2×1× 1＋ 1× 1× 2＝4.重点二锥体的体积例 2如图三棱台 ABC － A1 1 1 1 1＝ 1∶ 2，求三棱锥1 1 1B C中，AB∶ A B A－ ABC，三棱锥 B－ A B C，三棱锥 C－ A1B1C1的体积之比 .解设棱台的高为h， S△ABC＝ S，则 S△A1B1C1＝ 4S.11∴V A1－ABC＝3S△ABC·h＝3Sh，V＝3S·h＝3Sh.C－A1B1C 11△A1 B1C 1417又 V 台＝3h(S＋ 4S＋2S)＝3Sh，∴V B－A1B1C＝ V 台－ V A1－ABC－V C－A1B1C17Sh 4Sh 2＝3Sh－3－3＝3Sh，∴体积比为 1∶2∶4.规律方法三棱柱、三棱台能够切割成三个三棱锥，切割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法.追踪操练2如图，在棱长为a 的正方体ABCD － A1B1C1D 1中，求 A 到平面 A1BD 的距离 d.解在三棱锥 A1－ ABD 中，由题意知AA1为三棱锥的高，AB＝ AD＝ AA1＝ a，A1B＝ BD ＝ A1D＝2a，∵VA1－ ABD＝ VA－ A1BD，1111×2a×3∴ × a2·a＝×2· 2a·d.32323∴d＝3 a.重点三台体的体积例 3已知正四棱台两底面边长分别为20 cm 和 10 cm ，侧面积是780 cm 2.求正四棱台的体积.解如下图，正四棱台ABCD -A1 B1 C1D 1中， A1B1＝10 cm， AB＝ 20 cm. 取 A1B1的中点 E1，AB 的中点 E，则 E1E 是侧面 ABB1A1的高 .设 O1、O 分别是上、下底面的中心，则四边形 EOO 1E11是直角梯形，由S 侧＝ 4×2(10＋ 20) ·E1E＝ 780，得 EE1＝ 13.1在直角梯形EOO 1E1中， O1 E1＝2A1B1＝ 5，1OE＝2AB＝10，∴O1O＝E1 E2－ OE－ O1E12＝ 12，V 正四棱台＝13× 12× (102＋ 202＋ 10× 20)＝2 800(cm 3).故正四棱台的体积为 2 800 cm3.规律方法求台体的体积重点是求出上、下底面的面积和台体的高.要注意充足运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面追求有关量之间的关系.追踪操练3本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为 2 cm 和 4 cm，侧棱长为 2 cm，求该棱台的体积.”解如图，正四棱台ABCD -A1B1C1D1中，上、下底面边长分别为 2 cm 和 4 cm，则 O1B1＝ 2cm，OB＝2 2cm，过点 B1111中，作 B M⊥ OB 于点 M，那么 B M 为正四棱台的高，在Rt△BMBBB1＝ 2 cm， MB＝ (2 2－2)＝2(cm).依据勾股定理22MB1＝BB1－ MB＝22－ 2 2＝2(cm).S 上＝ 22＝ 4(cm 2)，S 下＝ 42＝ 16(cm2)，∴V 正四棱台＝1×2× (4＋ 4× 16＋ 16) 3＝1×2× 28＝282(cm 3). 33重点四球的体积例 4过球面上三点A， B， C 的截面到球心 O 的距离等于球的半径的一半，且AB＝ BC＝CA＝ 3 cm，求球的体积和表面积 .解如图，设过A、 B、 C 三点的截面为圆O′，连结 OO ′、 AO、 AO′.∵AB＝ BC＝ CA＝3 cm，∴O′为正三角形ABC 的中心，3∴AO′＝3 AB＝3(cm).1设 OA＝ R，则 OO′＝2R，∵OO ′⊥截面 ABC，∴OO ′⊥ AO′，3∴AO′＝2 R＝3(cm) ，∴R＝ 2 cm，∴V 球＝43πR3＝323π(cm3)， S 球＝ 4 πR2＝ 16 π(cm2).即球的体积为323πcm3，表面积为16 πcm2.规律方法球的基天性质是解决与球有关的问题的依照，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转变为平面问题的主要方法.追踪操练 4 假如三个球的半径之比是1∶ 2∶3，那么最大球的体积是其他两个球的体积之和的 ()A.1 倍B.2 倍C.3 倍D.4 倍答案C分析半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x，则最大球的半径为3x，其444体积为3π× (3x)3，其他两个球的体积之和为3πx3＋3π× (2x)3，44343∴3π× (3x)3÷3πx＋3π× 2x＝ 3.1.已知长方体的过一个极点的三条棱长的比是1∶2∶ 3，对角线的长是 214，则这个长方体的体积是 ()A.6B.12C.24D.48答案D分析设长方体的过一个极点的三条棱长分别为x、2x、3x，又对角线长为2 14，则 x2＋(2x)2＋(3x)2＝ (2 14)2，解得 x＝ 2.∴三条棱长分别为 2、 4、 6.∴V 长方体＝ 2× 4× 6＝48.2.一个球的表面积是16π，则它的体积是 ()64πA. 64πB. 332C.32πD. 3π答案D4分析设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16 π，故 R＝ 2.因此球的半径为2，体积 V＝3πR3 32＝3π.3.假如轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于()A. πB.2πC.4πD.8π答案B分析设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的母线长为2r，由题意得S 圆柱侧＝ 2 πr×2r ＝ 4 πr2＝ 4 π，因此 r＝ 1，因此 V 圆柱＝πr2×2r＝ 2πr3＝ 2 π.4.如下图，正方体ABCDA 1B1C1D 1的棱长为1，则三棱锥D1ACD 的体积是 ()11A. 6B.31C.2D.1答案A分析三棱锥 D11△ADC×D 11×1× AD×DC × D11×1＝1ADC 的体积 V＝3S32 3 26.D＝D＝5.某几何体的三视图如下图，则该几何体的体积是________.答案16π－ 16分析由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为 4，故体积为 16 π；正四棱柱底面边长为 2，高为 4，故体积为 16，故题中几何体的体积为 16 π－ 16.1.计算柱体、锥体和台体的体积时，重点是依据条件找出相应的底面面积和高，要充足运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转变为平面问题.旋转体的轴截面是用过旋转轴的平面去截旋转体而获得的截面.比如，圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是过球心的平面截球所得的圆面.2.在求不规则的几何体的体积时，可利用切割几何体或补全几何体的方法转变为柱、锥、台、球的体积计算问题.。

柱锥台和球的体积教学设计根据本节课的特点，新课程标准对本节课的教学要求和学生身心发展的合理需要我从三个不同方面确定了以下教学目标。

知识与技能：1理解组更原理。

2利用组更原理推导出柱体锥体和台体的体积公式，并掌握公式。

推导中涉及到的数学思想。

3正确运用体积公式解决简单的体积问题。

过程与方法：在长方体体积公式和祖暅原理的基础上推出柱、锥的体积公式，进而推出台体体积公式。

最后合作探究，通过观察实验视频，让学生猜想球的体积公式，并根据所学的祖暅原理推导球的体积公式。

情感态度与价值观：1通过对组更原理的学习，使学生了解我国古代数学家的突出成就让学生受到爱国主义教育，激发学生热爱科学提高学习数学的兴趣。

2二通过柱锥台球体体积公式的推导过程培养学生理论联系实际的良好思维，习惯渗透辩证的唯物主义观点。

教学重点：1棱柱、棱锥和台的体积公式的推导方法2柱、锥、台和球的体积公式的应用教学难点：（1）对祖暅原理的理解（2）球体积公式的推导学情分析：省实验的学生数学基础好，能力强，口表能力非常好，故加大了学生在思维难度上的训练学生在本节课前通过导学案对本节内容进行了自主学习。

环节一问题引入：大屏幕展示数学家祖冲之的画像，提出问题祖冲之最大的贡献是什么？学生回答：提出了圆周率π。

老师总结：其实祖冲之还有另外一个更大的贡献就是：他培养了一位同样杰出儿子——数学家祖暅。

大屏幕展示祖暅，让同学站起来介绍组更的生平。

问题一：组更原理的内容？问题二：如何理解组更原理？问题三：你认为这段文字中有哪些词是关键词？环节二：教师点题这节课我们就在组更原理的基础上再认识柱锥台和球的体积公式。

问题四：长方体的体积公式？问题五：柱体、椎体、台体的体积公式？问题六：你能解释一下，为什么柱体体积公式与长方体体积公式相同呢？大屏幕展示上图，学生回答后，用几何画板演示动画，便于学生更好地理解祖暅原理问题七：锥体体积公式，又是如何获得的？实物展示，几何画板动画展示，以便于学生理解问题八：你能试着推导一下台体的体积公式吗？展示学生学案，讲评台体体积的推导过程问题九：观察柱锥台体的体积公式，你能发现这些公式之间有什么样的内在联系吗？通过观察动画，让学生更好地理解柱锥台的体积公式之间的联系。