矩形折叠问题优秀课件

证明:（方法一）
E
A
∵ A是A在折叠前
对应的位置,
Aˊ
∴A 和A 关于直线EF轴对称 ,
∴A A⊥EF,且AO=AO,
O
F
又∵AE∥AF,∴EO∶OF=AO∶OA,
∴EO=OF，∴ A A与EF互相垂直平分
∴四边形AEA F是菱形.
E
A
证明: (方法二)
Aˊ
F
A是A在折叠前对应的位置,
∴∆AEF ≌ ∆ AEF ,A E=AE,AF=AF，
矩形折叠问题优秀课件
一、 什么是折叠 二 、 与折叠有关的问题
一. 折叠的意义
1．折叠 就是将图形的一部分沿着一条 直线翻折180º，使它与另一部分在这条 直线的同旁，与其重叠或不重叠.显然， “折”是过程，“叠”是结果;
Bَ
l
A
B
O
OBˊ=OB；
图1
如图（1）是线段AB沿直线l折叠后的图形， 其中OBˊ是OB在折叠前的位置；
3
题的关键是求PE和PN的 D
A
长。
解: (1) M、N分别是正方形 C
E
B
的边AB和CD的中点，
∴ MN∥AD ∥BC,
M
N
∴
MN⊥AN且AN=
1 2
AB
P
又AP=AB.∴AN12 = AP ∴ ∠APN=30°,PN=3 ∴PM=33- 3
AN23=
3
D
A
2
(2) ∵∠APN=30°, ∴ ∠PAN=60°
F
α
Aˊ
E
•α的改变影响了A E的长度，但却不能 改变边A E上的高，三角形A EF的面 积会随着α 的确定而确定.
•例1.如图，标出点A在折叠前对应的
位置A,问:四边形AEA F是什么四边形? 证
明你的发现.
E
A
Aˊ
F
答:四边形AEA F是菱形.
1、矩形折叠给我们带来哪些信息？
2、证明四边形是菱形通常有哪 些方法？
C
解：延长EP交AD于F, M
则FE=FA(已证) ∵ M、N分别是矩形的
E
B
x
P
N
2x
5
5
边AB和CD的三等分点， D
F
3x
A
∴MN∥AD∥BC,∴EP∶PF=BN∶NA=1∶2,
设EP=x, 则PF=2x,AF=EF=3x,
在Rt∆APF中有AP²+PF²=AF² ,
∴5+(2x)²=(3x)², ∴x=1, PE=1∴AE²=1+5=6 ∴AE= 6 ,
B´
DE
A
B
图2
C △ABˊC≌△ABC
图（2）是平行四边形ABCD沿着对角线 AC折叠后的图形，△ABC是△ABˊC在折 叠前的位置，它们的重叠部分是三角形EAC；
2. 图形的翻折部分在折叠前和折叠 后的形状、大小不变，是全等形;
3.图形的翻折部分在折叠前和折叠后 的位置关于折痕成轴对称.
二、和折叠有关的问题
证明：（方法二）
F
∵图形在折叠前和
P
a
折叠后的形状、大小
Aˊ Q
E
不变，只是位置不同。
∴表示矩形宽度的线段EP和FQ相等, 即∆ A EF的边 A E和 A F上的高相等，
∴ A E= A F ∴ 三角形 A EF是等腰三角形
•思考题：改变折叠的角度α的大小，三 角形 A EF的面积是否会改变？为什么?
D
的边AB和CD的中点， ∴MN∥AD∥BC ∴EP∶PF=BN∶NA=1∶1，
又∠APE=∠B=90⁰, ∴AE=AF
E B
P 3
N
3
23 1
A
∴AE=AF=EF,
∴ ∠1=∠2=30⁰,
∵AP= 3
∴AE=2.
解法二：连结PB, ∵ M、N分别是矩 C
形的边AB和CD的 M
中点，
D
∴MN∥AD∥BC ∴PN垂直平分AB，
思考题：
如上题中M、N为四等分或五等 分点，其它条件不变你还能求出折 痕的长吗？
例5 如图：将正方形ABCD对折，折痕为MN，
再沿AE折叠，把B点叠在MN上（图中的P）,
若AB=3 ,(1)求PM的长；(2)以PE 为边长的
正方形的面积.
C
E
B
分析：将本题与例题3比
M
N
较，不难看出它们的共
P
3
同之处，显然，解决本
又∵∆AEF 是等腰三角形,AE=AF （已证）, ∴AE=AF=AE=AF,
∴四边形AEA F是菱形.
例2 在前面的思考
E
30º
题中,若翻折的角度a
30º 30º
2
α=30º,a=2.
Q A
求四边形AEA F的面积.
分析：图中被覆盖的部分
A 30º F
△AˊEF是等腰三角形，其腰上的高就是原矩
形的宽度2,所以，本题的解题关键就是要求出
∴PB=PA,又PA=BA，
∴PA=BA=AB.
E B
P 3
∴
∠2+∠3=60⁰,
∴∠∵2A=P∠= 3=330⁰,
∴AE=2.
N
3
23 1
A
解法三：
C
E B
由BC//MN//DA且 M、N分别为CD和
M
AB的中点可得
P
ON
3
3
23
1
EP=PF，EO=AO D
A
∴PO=
1 2
AF，
又FE=FA(问题1的结论)
腰AˊF(AˊE)的长。
•S四边形AEAF=
8 3
3
例3：如图,将矩形ABCD折叠,使B 点落
在MN上,落点为P. 已知M、N分别为CD、
AB的中点, 且AB=3 ,
求折痕AE的长. C
E B
分析:Βιβλιοθήκη MAE是直角三角形 D ABE的斜边，解决
P
N
3
3
A
本题的关键是求PE(或BE)的长
解法一
∵ M、N分别是 C
E B
矩形的边AB和 CD的中点， M
P
N
3
∴ MN∥AD ∥BC
D
A
∴ MN⊥AN且AN是AB的一半
又AP=AB. ∴ AN是AP的一半
∴ ∠PAN=60°,∠PAE=∠BAE=30°
∴AEcos 30°= 3 , ∴AE=2.
C
解法二：延长EP交AD 与 F则FE=FA(已证) M ∵ M、N分别是矩形
又∠ EPF=90 °
∴
PO=
1 2
AE，
∴AE=AF=EF ∴ ∠EAF=60°, ∠1=∠2=30°,∠3=30°
∴AE=AF，
∴AE=2.
例4 在例3中,若 C
M、N分别为CD、AB M
的 三等份点,AB= 5 ,
求PE和AE的长.
D F
E
B
x
P
N
5
5
A
分析：本题与上一题略有不同，MN由原来的 二等分线变为三等分线，其他条件不变。所 以本题的解题关键还是求出EB(或EP)的长
∠EAB=∠EAP=30°,∴EP=BE=3 ,
•问题1.如图，将宽度为a的长方形纸片 折叠成如图所示的形状，观察折叠后重 叠部分三角形 A EF
F a
Aˊ
E
这是一个什么三角形?
三角形 A EF是等腰三角形
证明（方法一） ∵图形在折叠前和
折叠后是全等的, ∴∠1= ∠2,
F
21
a
3
Aˊ
E
又∵矩形的对边是平行的,
∴∠1= ∠3,
∴ ∠2= ∠3, ∴ A E= A F ∴三角形 A EF是等腰三角形