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普通高等学校招生全国统一考试冲刺卷理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如果复数21iz =-+，则（ ） A ．z 的共轭复数为1i + B ．z 的实部为1 C ．2z =D ．z 的虚部为1-2．已知全集U =R ，集合{}2|60A x x x =--≤，(4)|0(1)x B x x ⎧⎫-=⎨⎬+⎩⎭≤，那么集合()U A C B =I （ ）A ．[24)-，B ．(13]-，C ．[21]--，D ．[13]-，3．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1~1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（ ） A ．16B ．17C ．18D ．194．已知F 是抛物线2:2C y x =的焦点，点(),P x y 在抛物线C 上，且1x =，则PF =（ ） A ．98B ．32C ．178D ．525．函数1sin y x x=-的图象大致是（ ） A ．B ．C ．D ．6．若不等式组1,3,220x y x y λ⎧⎪⎨⎪-+-⎩≤≤≥表示的平面区域经过所有四个象限，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(,4)-∞B ．[]1,2C ．[]2,4D ．(2,)+∞7．假设你家订了一份牛奶，送奶人在早上6：30~7：30之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上7：00~8：00之间随机离家上学，则你在离家前能收到牛奶的概率是（ ） A ．81B ．85 C ．21 D ．87 8．我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生()01，内的任何一个实数）．若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为（ ）A ．3.119B ．3.126C ．3.132D ．3.1519．将函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向左平移π12个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图像．若()()129g x g x =，且[]12,2π,2πx x ∈-，则122x x -的最大值为（ ）A ．49π12B ．35π6C ．25π6D ．17π410．三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．112π3C ．28π3D ．64π311．过椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点2F ，若1132k <<，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．1(0,)2B ．2(,1)3C ．12(,)23D ．12(0,)(,1)23U12．已知实数b a ,满足225ln 0a a b --=，c ∈R ，则22)()(c b c a ++-的最小值为（ ）A ．21 B ．22 C ．223 D ．29 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
试卷类型：A湖北省实验中学2020年高考考前最后冲刺试题 数学试卷（理工农医类）审核人：王君 校对：陈亮 ★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上无效。
3．非选择题的作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1．若∈a R ，则1=a 是复数i a a z )1(12++-=是纯虚数的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.设函数)02(2)(2<≤-+=x x x f ，其反函数为)(1x f-，则=-)3(1f（ ）A ．－1B ．1C ．0或1D ．1或－13.已知在等比数列{}n a 中,1346510,4a a a a +=+=,则等比数列{}n a 的公比q 的值为 （ ）A.14B.12C.2D. 8 4．已知函数),0(),0(,)(2b x a xx a x f ∈>+=，则下列判断正确的是（ ） A.当a b > 时，)(x f 的最小值为a 2； B.当a b ≤<0 时，)(x f 的最小值为a 2；C.当a b ≤<0时，)(x f 的最小值为bb a 2+；D.对任意的0>b ，)(x f 的最小值均为a 2．5.若半径是R 的球与正三棱柱的各个面都相切，则球与正三棱柱的体积比是（ ）A.4327πB.2327π C.33π D.36π6．如图是函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,||)2A πωϕ>><在一个周期内的图象，M 、N 分别是最大、最小值点，且OM ON ⊥u u u u r u u u r，则A ω⋅的值为（ ） A ．6πB ．26πC ．76πD ．712π7．设曲线2cos sin x y x -=在点,22π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线10x ay ++=垂直，则a =( )A ．2B ．2-C ．1-D ．18．用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为（ ）A ．120B ．72C ．48D ．369.某物流公司有6辆甲型卡车和4辆乙型卡车，此公司承接了每天至少运送280t 货物的业务，已知每辆甲型卡车每天的运输量为30t ，运输成本费用为0.9千元；每辆乙型卡车每天的运输量为40t ，运输成本为1千元，则当每天运输成本费用最低时，所需甲型卡车的数量是( )A ．6B ．5C ．4 D.310.已知点P 为双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的右支上一点,1F 、2F 为双曲线的左、右焦点，使0)(22=⋅+−→−−→−−→−P F OF OP (O 为坐标原点),且213PF PF =,则双曲线离心率为（ ）A.216+ B.16+ C. 213+ D. 13+ O MN12π56πy二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.11． 设集合{}{}221,,,A y y x x R B y y x x R ==+∈==-∈，则集合A B =I ．12．在二项式n x )31(-的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式中，2x 项的系数是 .（用数字作答）13. 随机变量ξ服从正态分布)16,50(N ，若3.0)40(=<ξP ，则=<<)6040(ξP .14．已知,1||=e 且满足|2|||e a e a -=+，则向量a 在e 方向上的投影等于 .15. 设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.51, 1.52=-=-. 若函数x x a a x f +=1)(（1,0≠>a a ），则()()()1122g x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域为__________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题满分12分）已知△ABC 的周长为)12(4+，且sin sin 2sin B C A +=． （Ⅰ）求边长a 的值；（Ⅱ）若3sin ABC S A ∆=，求角A 的大小（结果用反三角函数值表示）．17．（本小题满分12分）某社区举办2020年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案，参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖．（Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是152，求抽奖者获奖的概率； （Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及ξE ．18．（本小题满分12分）在正三棱柱111C B A ABC -中，21==BC BB ，且M 是BC 的中点，点N 在1CC 上.（Ⅰ）试确定点N 的位置，使MN AB ⊥1； （Ⅱ）当MN AB ⊥1时，求二面角N AB M --1的大小.19. （本小题满分12分）已知点B '为圆A ：22(1)8x y -+=上任意一点，点B (-1,0)，线段BB '的垂直平分线和线段AB '相交于点M . （Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）已知点00(,)M x y 为曲线E 上任意一点，求证：点000324(,)22x y P x x ---关于直线0022x x y y +=的对称点为定点，并求出该定点的坐标.20．（本小题满分13分）已知定义在),0(∞+上的三个函数,)(),()(,1)(2x a x x h x af x x g nx x f -=-==且)(x g 在1=x 处取得极值.（Ⅰ）求a 的值及函数)(x h 的单调区间； （Ⅱ）求证：当21e x <<时，恒有)(2)(2x f x f x -+<成立；-11yxMAB'OB（Ⅲ）把)(x h 对应的曲线1C 按向量m )6,0(=平移后得到曲线2C ，求2C 与)(x g 对应曲线3C 的交点个数，并说明理由.21.（本小题满分14分）已知函数)(,0),1(21)(1n n a f a x xx x f =>+=+，对于任意的+∈N n ，都有n n a a <+1.（Ⅰ）求1a 的取值范围； （Ⅱ）若231=a ，证明)2,(2111≥∈+<++n N n a n n ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下证明1213221+<-++++n a a a a a a n n Λ.湖北省实验中学2020年高考考前最后冲刺试题数学试卷（理工农医类）参考答案审核人：王君 校对：陈亮 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A B A B C D D C D11、 ,0],(-∞ 12、 135, 13、0.4, 14、21, 15、{0,-1}16. 解 (1)根据正弦定理，sin sin 2B C +=可化为2b c a +=． ………3分联立方程组21)2a b c b c a⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩，解得4a =． 所以，边长4a =(2)3sin ABC S A ∆=Q ，∴1sin 3sin 62bc A A bc ==，．又由(1)可知，42b c +=，∴22222()21cos 223b c a b c bc a A bc bc +-+--===． 因此，所求角A 的大小是1arccos 3．17. 解：（1）设“世博会会徽”卡有n 张，由2210n C C =152，得n=4….3分故“海宝”卡有6张，抽奖者获奖的概率为3121026=C C …………………………5分（2）ξ可能取的值为0，1，2，3，4，则.…..….….….……………...….….…6分8116)32()0(4===ξP 8132)32(31)1(314=⋅==C P ξ 8124)32()31()2(2224=⋅==C P ξ 81832)31()3(314=⋅==C P ξ 811)31()4(4===ξP ………………………………………..……………9分ξ 0 1 23 4 P8116 8132 8124 818 811...................................10分=ξE 0×8116+1×8132+2×8124+3×818+4×811=3481108= …………………12分法二（1）设“海宝”卡有n 张，由152210210=-C C n 得078192=+-n nn=6或n=13（舍去） ……….………..................…………...3分故“海宝”卡有6张，抽奖者获奖的概率为3121026=C C …………………………5分（2）)31,4(~B ξ. …..….…...……………...….….…6分)4,3,2,1,0()32()31()(44=⋅==-k C k P k kk ξξ 0 1 23 4 P8116 8132 8124 818 811 ...................................10分=ξE 34314=⨯=np ……………………………………….12分18.19. 解：（1）连结MB ，MB MB '∴=,22MA MB AB ''+== 故22MA MB +=，而2AB =∴点M 的轨迹是以A 、B 为焦点且长轴长为22的椭圆 ∴点M 的轨迹E 的方程为2212x y +=--------------------4分 （2）证明：设点0000324(,)22x y P x x ---关于直线0022x x y y +=的对称点为(,)Q a b所以0000422322y b x yx x a x --=---，即 0000(2)2(2)(1)bx x y x a ∴-=-+，02x ≠Q 002(1)0bx y a ∴-+=因为上式对任意00,x y 成立，故100a b +=⎧⎨=⎩所以对称点为定点(1,0)Q -. 20.21.。
最新高考数学最后冲刺卷三一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1．某团队有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为____15___．2．已知π()3sin(2)6f x x =-，若存在(0,π)α∈，使()()f x f x αα+=-对一切实数x 恒成立，则α=π2． 3．已知A = { (x ，y ) | x 2+y 2 ≤4 }，B = { (x ，y ) | (x -a )2+ (y -a )2≤2a 2，a ≠ 0 }，则A ∩B表示区域的面积的取值范围是____()π2,0_______．4．方程 |e 1|10x ax -++=有两个不同的解，则实数a 的取值范围是__ a ＜e -______． 5．如图边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知△A 'DE 是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形（点A '∉平面ABC ），则下列命题中正确的是①②③．①动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上；②BC ∥平面A 'DE ；③三棱锥A '-FED 的体积有最大值． 6．在△ABC 中，(3)0AB AC CB -⋅=u u u r u u u r u u u r ，则角A 的最大值为π6．7．已知函数)(x f y =是奇函数，当0<x 时，2()()f x x ax a =+∈R ，且6)2(=f ，则a =5 ．8．若x ，y 满足约束条件21,2,2,x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩目标函数*2()z kx y k =+∈N 仅在点(1,1)处取得最小值，则k 的值为_____1__．9．已知△ABC 中，3(→CA ＋→CB )·→AB ＝4→AB 2，则tan A tan B＝-7.10．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＋a 2＋a 5＞13，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 1的取值范围为(1, ＋∞)．11．在△ABC 中，若AB ＝1，|||AC AB AC BC =+=u u u r u u u r u u u r ，则BA →·BC →|BC →|＝12．12．已知三棱锥P ABC -的底面是边长为3的正三角形，其三条侧棱的长分别为3，4，5，则该三棱锥P ABC -.13．已知O 是△ABC 的外心，AB = 2a ，AC = 2a，∠BAC = 120︒，若→AO = x →AB ＋y →AC ，则x ＋y 的最小值是 2 ．14．若关于x 的不等式（组）()2*272209921n n x x n +-<∈+N ≤对任意恒成立，则所有这样的解x 构成的集合是2{1,}9-．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos B ＝c cos B ＋b cos C ．(1)求角B 的大小；(2)设向量m ＝(cos A ，cos 2A )，n ＝(12，－5)，求当m ·n 取最大值时，tan C 的值． (1)由题意，2sin A cos B ＝sin C cos B ＋cos C sin B ，所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ． 因为0＜A ＜π，所以sin A ≠0．所以cos B ＝22．因为0＜B ＜π，所以B ＝π4． (2)因为m ·n ＝12cos A －5cos 2A ，所以m ·n ＝－10cos 2A ＋12cos A ＋5＝－10⎝⎛⎭⎪⎫cos A －352＋435．所以当cos A ＝35时，m ·n 取最大值．此时sin A ＝45(0＜A ＜π2)，于是tan A ＝43．所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝7．16．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AC =AA 1= 3a ，BC =2a ，D 是BC 的中点，E ，F 分别是A 1A ，C 1C 上一点，且AE =CF = 2a ．（1）求证：B 1F ⊥平面ADF ；（2）求三棱锥B 1-ADF 的体积； （3）求证：BE ∥平面ADF ．（1）证明：∵AB =AC ，D 为BC 中点，∴AD ⊥BC ．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∵B 1B ⊥底面ABC ，AD ⊂底面ABC ，∴AD ⊥B 1B ． ∵BC I B 1B =B ，∴AD ⊥平面B 1BCC 1． ∵B 1F ⊂平面B 1BCC 1，∴AD ⊥B 1F ．在矩形B 1BCC 1中，∵C 1F =CD =a ，B 1C 1=CF = 2a ， ∴Rt △DCF ≌Rt △FC 1B 1．∴∠CFD =∠C 1B 1F ．∴∠B 1FD = 90°．∴B 1F ⊥FD ． ∵AD I FD =D ，∴B 1F ⊥平面AFD ． （2）∵B 1F ⊥平面AFD ，∴1113B ADF ADF V S B F -=⋅⋅△=3111323AD DF B F ⨯⨯⨯⨯=．（3）连EF ，EC ，设EC AF M =I ，连DM ，2AE CF a ==Q ，∴四边形AEFC 为矩形，M ∴为EC 中点． D Q 为BC 中点，//MD BE ∴．MD ⊂Q 平面ADF ，．BE ⊄平面ADF ，//BE ∴平面ADF 17．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%． （1）若建立函数y ＝f (x )模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f (x )模型的基本要求，并分析函数y ＝x150＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；（2）若该公司采用模型函数y ＝10x －3ax ＋2作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值．(1)设奖励函数模型为y ＝f (x )，按公司对函数模型的基本要求，函数y ＝f (x )满足：当x ∈[10,1 000]时，①f (x )在定义域[10,1 000]上是增函数；②f (x )≤9恒成立；③f (x )≤x5恒成立． 对于函数模型f (x )＝x150＋2．当x ∈[10,1 000]时，f (x )是增函数，f (x )max ＝f (1 000)＝1 000150＋2＝203＋2＜9，所以f (x )≤9恒成立．但x ＝10时，f (10)＝115＋2＞105，即f (x )≤x5不恒成立，故该函数模型不符合公司要求．(2)对于函数模型f (x )＝10x －3a x ＋2，即f (x )＝10－3a ＋20x ＋2，当3a ＋20＞0，即a ＞－203时递增；要使f (x )≤9对x ∈[10,1 000]恒成立，即f (1 000)≤9,3a ＋18≥1 000，a ≥9823；要使f (x )≤x 5对x ∈[10,1 000]恒成立，即10x －3a x ＋2≤x 5，x 2－48x ＋15a ≥0恒成立，所以a ≥1925．综上所述，a ≥9823，所以满足条件的最小的正整数a 的值为328．18．椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是12,F F ，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴、短轴端点外的任一点，过点P 作直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设l 与y 轴的交点为A ，过点P 作与l 垂直的直线m ，设m 与y轴的交点为B ，求证：△PAB 的外接圆经过定点．(1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程22221x y a b +=，得y ＝±2b a ．由题意知22b a＝1，即a ＝2b 2，又e ＝c a＝32，所以a ＝2，b ＝1． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=．(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立0022,1,4y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0．由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0．又220014x y +=，所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－004x y ．所以直线l 方程为0014x x y y +=，令x =0，解得点A 01(0,)y ,又直线m 方程为00043y y x y x =-,令x=0，解得点B 0(0,3)y -, △PAB 的外接圆方程为以AB 为直径的圆方程，即2001()(3)0x y y y y +-+=．整理得：220013(3)0x y y y y +-+-=，分别令2230,0,x y y ⎧+-=⎨=⎩解得圆过定点(．19．设函数32()(,,,0)3a f x x bx cx abc a =++∈≠R ． （1）若函数()f x 为奇函数，求b 的值；（2）在（1）的条件下，若3a =-，函数()f x 在[2,2]-的值域为[2,2]-，求()f x 的零点； （3）若不等式()()1axf x f x '≤+对一切x ∈R 恒成立，求a b c ++的取值范围． 解：（1）()()f x f x -=-恒成立，则b =0；（2）32(),()3f x x cx f x x c '=-+=-+ ① 若0c ≤，则()0f x '≤恒成立，则()f x 单调递减，又函数()f x 在[2,2]-的值域为[2,2]-，(2)2(2)2f f -=⎧∴⎨=-⎩，此方程无解． ② 若0c >，则()0,f x x '=∴=． （i2，即12c >时，函数()f x 在[2,2]-单调递增，(2)2(2)2f f =⎧∴⎨-=-⎩，此方程组无解；（ii2≤312c ≤≤时，2(2f f ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，所以c =3； （iii）2<，即3c <时，(2)2(2)2f f -=⎧∴⎨=-⎩，此方程无解． 综上，所以c =3．3()3f x x x ∴=-+的零点为：1230,x x x ===．（3）由题意可得232()(2)()103aa xb ab xc ac x -+-+-+≥恒成立．记232()()(2)()103aF x a x b ab x c ax =-+-+-+≥．若203aa -≠，则三次函数()F x 至少有一个零点0x ，且在0x 左右两侧异号， 所以原不等式不能恒成立；所以210=33a a a -=∴，此时22()=++1033b cF x x x ≥恒成立等价于：1）b =c =0或者2）2>0,30b c b ∆⎧∴⎨⎩≤≤． 在1）中，13a b c ++= ， 在2）中13a b c b c t ++=++=,所以2331c t c ≤--，即2331t c c ≥++恒成立．2min 53(31)4t c c ∴≥++=-．综上：a b c ++的取值范围是5[,)12-+∞．20．已知无穷数列{a n }的各项均为正整数，S n 为数列{a n }的前n 项和．（1）若数列{a n }是等差数列，且对任意正整数n 都有33()n n S S =成立，求数列{a n }的通项公式；（2）对任意正整数n ，从集合{a 1，a 2，…，a n }中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a 1，a 2，…，a n 一起恰好是1至S n 全体正整数组成的集合．(ⅰ)求a 1，a 2的值；(ⅱ)求数列{a n }的通项公式．(1)设无穷等差数列{a n }的公差为d ，因为33()n n S S =对任意正整数n 都成立，所以分别取n ＝1，n ＝2时，则有：⎩⎨⎧a 1＝a 31，8a 1＋28d ＝(2a 1＋d )3.因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ≥0． 可得a 1＝1，d ＝0或d ＝2．当a 1＝1，d ＝0时，a n ＝1，33()n n S S =成立；当a 1＝1，d ＝2时，S n ＝n 2，所以33()n n S S =．因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为a n ＝1或a n ＝2n －1． (2)(ⅰ)记A n ＝{1,2，…，S n }，显然a 1＝S 1＝1．对于S 2＝a 1＋a 2＝1＋a 2，有A 2＝{1,2，…，S n }＝{1，a 2，1＋a 2，|1－a 2|}＝{1,2,3,4}，故1＋a 2＝4，所以a 2＝3． (ⅱ)由题意可知，集合{a 1，a 2，…，a n }按上述规则，共产生S n 个正整数．而集合{a 1，a 2，…，a n ，a n ＋1}按上述规则产生的S n ＋1个正整数中，除1,2，…，S n 这S n 个正整数外，还有a n +1，a n +1＋i ，|a n +1－i |(i ＝1,2，…，S n )，共2S n ＋1个数． 所以，S n +1＝S n ＋(2S n ＋1)＝3S n ＋1．又S n +1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋12，所以S n ＝⎝⎛⎭⎪⎫S 1＋12·13n -－12＝12·3n －12．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12·3n －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12·13n -－12＝13n -，而a 1＝1也满足a n ＝13n -． 所以，数列{a n }的通项公式是a n ＝13n -．。
2023届高三冲刺卷（一）全国卷-理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}110,1,2,3,4,1,93xA B x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭Z ∣ ，则A B = （）A ．{}0,2B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,2,42．已知复数z 满足2i 1iz -=-+，则z 在复平面内所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知1cos 23x =-，则22ππcos cos 66x x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．916B ．56C ．1320D ．17244．已知变量x ，y 满足2022000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则28z x y =-的最大值是（）A ．4B ．6C ．8D ．125．一个集合中含有4个元素，从该集合的子集中任取一个，则所取子集中含有3个元素的概率为（）A ．47B ．35C ．16D ．146．某汽车生产厂家研发了一种电动汽车，为了了解该型电动汽车的月平均用电量（单位：度）情况，抽取了150名户主手中的该型电动汽车进行调研，绘制了如图所示的频率分布直方图，其中，第5组小长方形最高点的纵坐标为x ，则该型电动汽车月平均用电量在[)200,280的户主人数为（）7．某班学生的一次的数学考试成绩ξ（满分：100分）服从正态分布：()2~85,N ξσ，且()83870.3P ξ<<=，()78830.12P ξ<<=，()78P ξ<=（）A ．0.14B ．0.18C ．0.23D ．0.268．已知函数()()31bx f x a x x =-++的图象过点()0,1与93,4⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 在区间[]1,4上的最大值为（）A ．32B ．73C ．54D ．859．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,,F F P 为C 右半支上一点，且212121cos ,24F PF PF PF a ∠=⋅=，则双曲线C 的离心率为（）A ．2B ．4C ．6D ．910．在等比数列{}n a 中，公比2q =，且291011121011116a a a a a +++=，则9101112a a a a +++=（）A ．3B ．12C ．18D ．2411．定义在R 上的函数()f x 满足，①对于互不相等的任意1x ，(]20,2x ∈都有()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且当1x >时，()0f x >，②()()2f x f x +=-对任意x ∈R 恒成立，③()2y f x =+的图象关于直线2x =-对称，则()10f -､92f ⎛⎫- ⎪⎝⎭､()3f 的大小关系为（）A ．()()91032f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．()()93102f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭C ．()()9.1032f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭D ．()()93102f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭12．已知函数()f x 与()g x 定义域都为R ，满足()()()1e xx g x f x +=，且有()()()0g x xg x xg x ''+-<，()12e g =，则不等式()4f x <的解集为（）A ．()1,4B ．()0,2C ．(),2-∞D ．()1,+∞二、填空题13．若“2,630x x ax a ∃∈-+<R ”为假命题，则实数a 的取值范围为___________.14．43(2)(1)x x +-的展开式中2x 的系数为______________．15．如图所示，△ABC 是边长为8的等边三角形，点P 为AC 边上的一个动点，长度为6的线段EF 的中点为点B ，则PE PF ⋅的取值范围是___________.16．直线:10l x y +-=与椭圆22:142x yC +=交于,A B 两点，长轴的右顶点为点P ，则ABP 的面积为___________.三、解答题17．已知ABC 的角,,A B C 对边分别为,,a b c1cos sin ,3C a C bc +==，0b c +=.(1)求A ；(2)求ABC 外接圆的半径R .18．某农科所统计了单位面积某种化肥实施量x （kg ）和玉米相应产量Y （kg ）的相关数据，制作了数据对照表：x （kg ）1620242936Y （kg ）340350362404454若在合理施肥范围内x 与Y 具有线性相关关系，(1)求Y 关于x 的线性回归方程 ˆˆy bxa =+；(2)请利用线性回归方程预测40kg x =时的玉米产量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑，ˆay bx =-.19．已知正三棱柱111ABC A B C -，底面边长为2，D 为AB 的中点.(1)证明：1CD A D ⊥；(2)求二面角1D A C A --的大小；(3)求直线CA 与平面1ACD 所成角的正弦值.20．已知斜率存在的直线l 过点()1,0P 且与抛物线()2:20C y px p =>交于,A B 两点.(1)若直线l 的斜率为1，M 为线段AB 的中点，M 的纵坐标为2，求抛物线C 的方程；(2)若点Q 也在x 轴上，且不同于点P ，直线,AQ BQ 的斜率满足0AQ BQ k k +=，求点Q 的坐标.21．已知函数()21ln (0)2f x x x x a a=-+>.(1)若1a =，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)若函数()21ln (0)2f x x x x a a=-+>在其定义域上有唯一零点，求实数a 的值.22．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的参数方程为1cos ,1sin .x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.(1)若π4ϕ=，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)过点()0,3P -向直线l 作垂线，垂足为Q ，说明点Q 的轨迹为何种曲线.23．已知函数()3f x x =+.(1)解不等式()38f x x +->；(2)若()()39f x m x x ≤-++在(),-∞+∞上恒成立，求实数m 的最小值.参考答案：1．C【分析】由指数函数的性质求解集合B ，结合交集的概念运算可得出结果.【详解】{}{}{}111,02,0,1,2,0,1,293xB x x x x x A B ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤≤∈=≤≤∈=∴⋂=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭Z Z ∣∣.故选：C 2．B【分析】化简复数z ，结合复数的坐标表示，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足2i 1iz -=-+，可得()()()()21i 1i 1i 12i i i=1+2i 1i i z -==-=----++++-+，所以复数z 在复平面内对应的点(1,2)-位于第二象限.故选：B.3．B【分析】利用降幂公式及两角和差的余弦公式化简即可得解.【详解】22ππ1cos 21cos 2ππ33cos cos 6622x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111cos 221cos 22222222x x x x +++-=+11151cos 212236x ⎛⎫=+=+⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.4．A【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求出最大值作答.【详解】作出不等式组2022000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩表示的平面区域，如图中阴影四边形OABC （含边界），(2,0),(6,4),(0,1)A B C ，目标函数28z x y =-，即148zy x =-表示斜率为14，纵截距为8z -的平行直线系，画直线01:4l y x =，平移直线0l 到直线1l ，当直线1l 过点()2,0A 时，直线1l 的纵截距最小，z 最大，即max 224z =⨯=，所以28z x y =-的最大值为4.故选：A 5．D【分析】结合子集的概念与性质及古典概型的概率公式求解即可.【详解】4个元素的集合所有子集共4216=个，设此集合为{},,,a b c d ，事件A ：“所取子集中含有3个元素”，则事件A 的基本事件个数为4个，即{},,a b c ，{},,a b d ，{},,a c d ，{},,b c d ，所以()41164P A ==.故选：D ．6．C【分析】由频率和为1列方程求x ，再根据直方图中[)200,280区间频率求样本中对应的户主人数.【详解】由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=，得0.0075x =.月平均用电量在[)200,280的用户()200.0110.01250.00750.005150108⨯+++⨯=户.故选：C 7．C【分析】根据正态分布的对称性计算即可.【详解】因为()2~85,N ξσ，()83870.3P ξ<<=，所以()()81830.358372P P ξξ<-<=<，又()78830.12P ξ<<=，所以()()()7878830.2833P P P ξξξ-<=<<<=.故选：C.8．B【分析】由条件列方程求,a b ，由此可得函数()f x 的解析式，再由基本不等式求其最大值.【详解】因为函数()()31bx f x a x x =-++的图象过点()0,1与93,4⎛⎫⎪⎝⎭，所以()01f =，()934f =，则394431b a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得13a =，3b =，故函数()f x 的解析式为：()3113x xf x x =-++.而()()313313311371113133133x x x x x f x x x x +-+⎡⎤=-+=-+=-+≤-=⎢⎥+++⎣⎦，当且仅当2x =时取等号，函数()f x 在区间[]1,4上的最大值为73.故选：B.9．A【分析】根据数量积的定义可得2128PF PF a ⋅= ，结合双曲线的定义可得122PF PF a -= ，进而求解124,2PF a PF a ==，由余弦定理即可求解.【详解】221212122,cos 2PF PF a PF PF F PF a ∠⋅=∴⋅= 可得2128PF PF a ⋅= .又122PF PF a -= ，两式联立可得124,2PF a PF a ==，22222212121221216441cos 2164PF PF F F a a c F PF PF PF a ∠+-+-∴===⋅，整理可得224c a =，2,2c a e ∴==.故选：A .10．B【分析】根据等比数列的性质即可求解.【详解】9121011910111291011122910111291210119121011101110111111112a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++++++++++=+++=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，910111291011122229101112101010111166,,122a a a aa a a a a a a a a a a ++++++=∴=∴+++=.故选:B.11．B【分析】根据函数的三个条件得到函数()f x 为R 上的偶函数，周期为4，且函数()f x 在(0,2]上单调递增，然后将利用周期、奇偶性和单调性即可比较大小.【详解】因为()2y f x =+的图象关于直线2x =-对称，则函数()f x 关于y 轴对称，所以函数()f x 为R 上的偶函数，又因为()()2f x f x +=-对任意x ∈R 恒成立，则函数()f x 的周期为4，又因为对于互不相等的任意1x ，(]20,2x ∈都有()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且当1x >时，()0f x >，所以对任意1220x x ≥>>，则121x x >，故有1122()()()0xf x f x f x -=>，所以函数()f x 在(0,2]上单调递增，则有(3)(34)(1)(1)f f f f =-=-=，(10)(1034)(2)f f f -=-+⨯=，9911((4)()(2222f f f f -=-+=-=，因为函数()f x 在(0,2]上单调递增，则1()(1)(2)2f f f <<，即()()93102f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭，故选：B.12．D【分析】利用导数结合题意可知()0f x '<，()f x 在(),-∞+∞上单调递减，又()()41f x f <=，结合单调性定义可得不等式的解集．【详解】由()()()1e xx g x f x +=可得()()()()()()()()()()2e 1e 1e e e x x xxxg x x g x x g x xg x g x xg x f x ++-++'-''=='.而()()()0g x xg x xg x ''+-<，∴()0f x '<，∴()f x 在(),-∞+∞上单调递减，又()12e g =，则()()1214e14e eg f ⨯===，所以()()41f x f <=，则1x >，故不等式()4f x <的解集为()1,+∞．故选：D ．13．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由“2,630x x ax a ∀∈-+≥R ”为真命题，利用判别式法求解.【详解】解：由条件可知“2,630x x ax a ∀∈-+≥R ”为真命题，则2Δ36120a a =-≤，即103a ≤≤.故答案为：10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．24【分析】43(2)(1)x x +-的展开式中2x 来自于三类:①4(2)+x 中的二次项与3(1)x -的常数项的乘积;②4(2)+x 中的常数项与3(1)x -的二次项的乘积;③4(2)+x 中的一次项与3(1)x -的一次项的乘积.【详解】展开式中2x 项为32224123322224343(1)C 22C (1)C 2C (1)24x x x x -⋅+⋅⋅-+⋅⋅-=，∴2x 的系数为24．故答案为:2415．[]39,55【分析】由向量的数量积公式得出29PE PF PB ⋅=- ，求出PB 的最大值和最小值即可得出结果.【详解】由线段EF 的中点为点B ，得出BF BE =-.()()()()22PE PF PB BE PB BF PB BE PB BE PB BE ⋅=+⋅+=+⋅-=- 29PB =-.当点P 位于点A 或点C 时，PB 取最大值8.当点P 位于AC 的中点时，PB 取最小值，即minπ8sin3PB==∴PB的取值范围为⎡⎤⎣⎦，∴PE PF ⋅的取值范围为[]39,55.故答案为：[]39,55.16【分析】根据弦长公式以及点到直线的距离即可结合三角形面积公式进行求解.【详解】直线l 与椭圆C 联立221,4210,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩得23420x x --=.设点()()1122,,,A x y B x y ，则121242,33x x x x +==-.所以AB ===由椭圆C 知点()2,0P ，故点P 到直线:10l x y +-=的距离：d ==所以ABP的面积为11222S AB d =⋅=故答案为3.17．(1)π3【分析】（1）根据正弦定理边角互化以及和差角公式化简可得sin A A =，结合三角函数同角关系即可求解，（2）由余弦定理代入已知关系即可得1a =，由正弦定理即可求解.【详解】（1）cos sin C a C+=cos sin sin A C A C B +=，πA B C++=，())cos sin sin sin cos cos sin A C A C A C A C A C +++，sin sin sin A C AC ∴，sin 0,tan C A ≠∴= ()π0,π,3A A ∈∴=.（2）1,03bc b c =+-=222222222()213cos 22223a a b c a b c bc a A bc bc --+-+--∴====，整理得21a =，1a ∴=.由正弦定理可得2,sin 33a R R A ==∴=18．(1) 5.893234.675y x =+(2)470.395kg【分析】（1）利用最小二乘法求解；（2）将40kg x =代入回归方程求解.【详解】（1）解：由表中数据计算得，25x =.382y =，()()511438i i i x x y y =--=∑，()521244i i x x =-=∑，()()()51521 5.893i i i i i x x y y b x x ==--=≈-∑∑， 382 5.89325234.675ay bx =-=-⨯= .所以回归方程为 5.893234.675y x =+.（2）将40kg x =代入回归方程得 5.893234.675y x =+.故预测40kg x =时，玉米产量约为5.89340234.675470.395kg ⨯+=.19．(1)证明见解析；(2)π4【分析】（1）由正三棱柱的性质可得1BB ⊥平面ABC ，再利用线面垂直的判定定理即可证明CD ⊥平面11ABB A ，即可得1CD A D ⊥；（2）以11A C 的中点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系利用空间向量与二面角的几何关系即可求得二面角1D A C A --的大小为π4；（3）根据（2）中结论，利用线面角与空间向量的关系即可得直线CA 与平面1ACD 所成角的正弦值【详解】（1）由111ABC A B C -为正三棱柱可知，1BB ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，所以1BB CD ⊥，由底面是边长为2的正三角形，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥；又1BB AB B ⋂=，1,BB AB ⊂平面11ABB A ，所以CD ⊥平面11ABB A ；又1A D ⊂平面11ABB A ，所以1CD A D ⊥；（2）取线段11,AC AC 的中点分别为,O E ，连接1,OB OE ，易知11,,OB OE OC 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以11,,OC OE OB 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，如下图所示;，底面边长为2可得，()()()((111,0,0,1,,1,,0,0,0,A C A B B --，由D 为AB的中点可得12D ⎛- ⎝⎭，所以()13,,0,2AC DC ⎛== ⎝⎭uuu r uuu r ，设平面1DAC 的一个法向量为(),,n x y z = ，则120302n AC x n DC x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，可得y z =即(1,n =r ；易得(1OB =uuu r即为平面1A CA 的一个法向量，所以111cos ,2n OB n OB n OB ⋅==r uuu r r uuu r r uuu r ，设二面角1D A C A --的平面角为θ，由图可知θ为锐角，所以1cos cos ,2n OB θ==r uuu r ，即π4θ=；即二面角1D A C A --的大小为π4.（3）由（2）可知()2,0,0CA =-uu r ，平面1DAC的一个法向量为(1,n =r ，设直线CA 与平面1ACD 所成的角为α，所以sin cos ,n CA n CA n CAα⋅===r uu r r uu r r uu r ，即直线CA 与平面1ACD20．(1)24y x=(2)Q ()1,0-【分析】（1）由题知直线l 的方程，联立抛物线，利用韦达定理以及中点公式即可求解；（2）设出直线l 的方程及Q 的坐标，联立方程组，消元，韦达定理，利用直线斜率公式写出AQ BQ k k +将韦达定理代入0AQ BQ k k +=，化简求出参数即可得点Q 的坐标.【详解】（1）因为直线l 的斜率为1且过点()1,0P ，所以直线l 的方程为：1y x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，由221y px y x ⎧=⎨=-⎩，得：()22210x p x -++=，所以121222,1x x p x x +=+=，所以121222y y x x p +=+-=，因为M 为线段AB 的中点，M 的纵坐标为2，所以1222y y p +==，所以抛物线的方程为：24y x =.（2）设直线l 的方程为：()1y k x =-，()(),01Q m m ≠，()221y px y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得：()2222220k x k p x k -++=，所以21212222,1k p x x x x k ++==，由()()()()()()122112121211AQ BQ k x x m k x x m y y k k x m x m x m x m --+--+=+=----()()()12122121222kx x km km k x x x x m x x m +-++=-++()222222222122k p k km k km k m p m k k+-+⋅+-⋅++=()()22222222202222k km km p k k k k k p k m m k ⎡⎤+-+⋅⎢⎥⎣⎦=-++=+由0k ≠，所以()2202222k k km km k p k +-++=⋅，即220mp p k k--=，所以1m =-，所以点Q 的坐标为()1,0-.21．(1)2210x y --=(2)12【分析】（1）求导，利用导数求解斜率，由点斜式即可求解直线方程，（2）将问题等价转化成22ln 20x a x ax --=在()0,∞+有唯一实数解.构造函数()22ln 2g x x a x ax =--，和()2ln 1,h x x x =+-利用导数求解单调性，进而确定方程的根，即可求解.【详解】（1）当1a =时，()111221f =-+=，且()()11,11f x x f x=-+'∴='，∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程112y x -=-，即2210x y --=.（2）()21ln (0)2f x x x x a a=-+>在其定义域上有唯一零点，∴方程21ln 02x x x a-+=，即22ln 20x a x ax --=在()0,∞+有唯一实数解.设()22ln 2g x x a x ax =--，则()2222x ax a g x x --'=.令()0g x '=，即20.0,0,x ax a a x --=>> 20x ax a ∴--=的两个根分别为102a x =<（舍去），22a x =当()20,x x ∈时，()()0,g x g x '<在()20,x 上单调递减，当()2,x x ∈+∞时，()()0,g x g x '>在()20,x 上单调递增，当2x x =时，()()0,g x g x '=取最小值()2g x ，要使()g x 在()0,∞+有唯一零点，则须()()220,0,g x g x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即22222222ln 20,0,x a x ax x ax a ⎧--=⎨--=⎩()22222ln 0,0,2ln 10.*a x ax a a x x ∴+-=>∴+-= 设函数()2ln 1,h x x x =+-当0x >时()h x 是增函数，()h x ∴至多有一解.⋅()10,h =∴ 方程()*的解为21x =，即12a =，解得12a =，∴实数a 的值为12.【点睛】思路点睛：利用导数求解函数零点时，需要利用导数求解函数的单调性，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：直接求最值和等价转化.22．(1)2y x =+，224x y x+=(2)Q 的轨迹为以点1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆【分析】（1）根据直线l 的参数方程和π4ϕ=求解；利用ρcos x θ=，222x y ρ+=求解；（2）在0ϕ=时直接求出Q 的坐标，在0ϕ≠时，写出过点P 且与直线l 垂直的直线方程，与直线l 的方程联立消参求得Q 的轨迹方程，然后检验，进而得到答案.【详解】（1）解：由直线l 的参数方程为1cos ,1sin ,x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩∵π4ϕ=，1,21,2x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩∴直线l 的普通方程为11y x -=+，即2y x =+.由4cos ρϕ=得24cos ρρθ=，因为cos x ρθ=，222x y ρ+=，所以曲线C 的直角坐标方程为224x y x +=.（2）若0ϕ=，由1·tan 1y t ϕ=+=，可知直线l 的方程为1y =，于是过点()0,3P -向直线l 作垂线，垂足为()0,1Q .若0ϕ≠，由直线l 的参数方程可知直线l 的斜率为tan ϕ，∴过点()0,3P -且与直线l 垂直的直线方程为13tan y x ϕ=--.联立方程组()tan 11,13,tan y x y x ϕϕ⎧=⋅++⎪⎨=--⎪⎩整理得2223y y x x +-=--，∴点Q 的轨迹方程为22230x y x y +++-=，即()22117124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，显然，点()0,1也在()22117124x y ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭上，所以动点Q 的轨迹为以点1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，2为半径的圆.23．(1)()(),44,∞∞--⋃+(2)12【分析】（1）分3x ≤-、33x -<<、3x ≥三种情况解不等式即可；（2）由()()39f x m x x ≤-++，可得339x m x x +≥-++，由3923x x x -++≥+可得31392x x x +≤-++在(),-∞+∞上恒成立，进而求解.【详解】（1）因为()333f x x x x +-=++-，所以解不等式338x x ++->，而2,333=6,332,3x x x x x x x -≤-⎧⎪++--<<⎨⎪≥⎩，当3x ≤-时，不等式为2x ->8，解得<4x -；当33x -<<时，不等式为68>不成立，不等式无解；当3x ≥时，不等式为28x >，解得>4x .综上所述，不等式()38f x x +->的解集为()(),44,∞∞--⋃+.（2）由()()39f x m x x ≤-++，可得339x m x x +≥-++，因为3923x x x -++≥+，当且仅当()()390x x -+≥，即9x ≤-或3x ≥时等号成立.所以31392x x x +≤-++在(),-∞+∞上恒成立，故要使()()39f x m x x ≤-++在(),-∞+∞上恒成立，只须12m ≥，即实数m 的最小值为12.。
黄金冲刺大题06 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）1．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是)()12,F F ，点M 在椭圆上，且124MF MF +=．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y kx =,A B 两点，且OA OB ⊥，求实数k 的值．2．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，过2F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l与C 交于D ，E 两点，且12AF F 的周长是4+(1)求椭圆C 的方程；(2)当32AB DE =时，求ODE 的面积.3．（2024·河北邯郸·二模）已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()2,0,1,M N ⎛ ⎝两点．(1)求C 的方程．(2),A B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．4．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆222:1(08x y C b b+=<<，右顶点为E ，上､下顶点分别为12,,B B G是1EB 的中点，且121EB GB ⋅=.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()4,0D -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，点()2,1A --，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.5．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy 中，面积为9的正方形ABCD 的顶点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且23OP OA = ，记动点P 的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)过点()4,1E 的动直线l 与曲线Γ交于不同的两点,M N 时，在线段MN 上取点Q ，满足||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅．试探究点Q 是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．6．（2024·福建厦门·三模）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,M N 两点，且当l 的斜率为1时，8MN =．(1)求C 的方程；(2)设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点），线段MN 的中点为R ，若3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．7．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线2:4E y x =，点,,A B C 在抛物线E 上，且A 在x 轴上方，B 和C 在x 轴下方（B 在C 左侧），,A C 关于x 轴对称，直线AB 交x 轴于点M ，延长线段CB 交x 轴于点Q ，连接QA .(1)证明：OM OQ为定值（O 为坐标原点）；(2)若点Q 的横坐标为1-，且89MB MC ⋅= ，求AQB 的内切圆的方程.8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．9．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线E的渐近线为y =，左顶点为()A .(1)求双曲线E 的方程；(2)直线:l x t =交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上，①求D 的横坐标；②求圆P 面积的取值范围.10．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，且4p b =．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧).(1)求E 的渐近线方程；(2)若实数λ满足1111||||||||OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求λ的取值范围．11．（2024·重庆·三模）已知()2,0F ，曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 的左顶点为A ，直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ，N 两点，直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ，H 两点，Q 为PH 的中点.（i ）证明：QF MN ⊥；（ii ）记PMQ ，HNQ ，MNQ 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123S S S +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.12．（2024·河北·二模）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率e =(1)若椭圆E过点(，求椭圆E 的标准方程．(2)若直线1l ，2l 均过点()()*,00,n n P p p a n <<∈N 且互相垂直，直线1l 交椭圆E 于,A B 两点，直线2l 交椭圆E于,C D 两点，,M N 分别为弦AB 和CD 的中点，直线MN 与x 轴交于点(),0n Q t ，设13n np =.（ⅰ）求n t ；（ⅱ）记n a PQ =，求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．13．（2024·辽宁沈阳·二模）P 为大圆上一动点，大圆半径OP 与小圆相交于点,B PP x '⊥轴于,P BB PP ⊥'''于,B B ''点的轨迹为Ω．(1)求B '点轨迹Ω的方程；(2)点()2,1A ，若点M N 、在Ω上，且直线AM AN 、的斜率乘积为12，线段MN 的中点G ，当直线MN 与y 轴的截距为负数时，求AOG ∠的余弦值．14．（2024·广东佛山·二模）两条动直线1y k x =和2y k x =分别与抛物线()2:20C y px p =>相交于不同于原点的A ，B 两点，当OAB 的垂心恰是C 的焦点时，AB =(1)求p ；(2)若124k k =-，弦AB 中点为P ，点()2,0M -关于直线AB 的对称点N 在抛物线C 上，求PMN 的面积.15．（2024·广东深圳·二模）设抛物线C ：22x py =（0p >），直线l ：2y kx =+交C 于A ，B 两点．过原点O 作l 的垂线，交直线=2y -于点M ．对任意R k ∈，直线AM ，AB ，BM 的斜率成等差数列．(1)求C 的方程；(2)若直线//l l '，且l '与C 相切于点N ，证明：AMN 的面积不小于16．（2024·湖南·一模）已知双曲线2222:1(1)x y C b a a b-=>>的渐近线方程为y =，C 的半焦距为c ，且44244a b c ++=．(1)求C 的标准方程．(2)若P 为C 上的一点，且P 为圆224x y +=外一点，过P 作圆224x y +=的两条切线12,l l （斜率都存在），1l 与C 交于另一点2,M l 与C 交于另一点N ，证明：（ⅰ）12,l l 的斜率之积为定值；（ⅱ）存在定点A ，使得,M N 关于点A 对称．17．（2024·湖南岳阳·三模）已知动圆P 过定点(0,1)F 且与直线3y =相切，记圆心P 的轨迹为曲线E ．(1)已知A 、B 两点的坐标分别为(2,1)-、(2,1)，直线AP 、BP 的斜率分别为1k 、2k ，证明：121k k -=；(2)若点()11,M x y 、()22,N x y 是轨迹E 上的两个动点且124x x =-，设线段MN 的中点为Q ，圆P 与动点Q 的轨迹Γ交于不同于F 的三点C 、D 、G ，求证：CDG 的重心的横坐标为定值．18．（2024·湖北·二模）已知双曲线P 的方程为()()221,,0,,04x y B a C a -=-，其中()()00002,,,0a D x y x a y >≥>是双曲线上一点，直线DB 与双曲线P 的另一个交点为E ，直线DC 与双曲线P的另一个交点为F ，双曲线P 在点,E F 处的两条切线记为121,,l l l 与2l 交于点P ，线段DP 的中点为G ，设直线,DB DC 的斜率分别为12,k k ．(1)证明：12114k k <+≤(2)求GBGC的值．19．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆2212:1x C y a +=和()2222:10x C y a b b +=>>的离心率相同，设1C 的右顶点为1A ，2C 的左顶点为2A ，()0,1B ，(1)证明：12BA BA ⊥；(2)设直线1BA 与2C 的另一个交点为P ，直线2BA 与1C 的另一个交点为Q ，连PQ ，求PQ 的最大值．参考公式：()()3322m n m n m mn n +=+-+20．（2024·山东·二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，设C 的右焦点为F ，左顶点为A ，过F 的直线与C 于,D E 两点，当直线DE 垂直于x 轴时，ADE V 的面积为92．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)连接AD 和AE 分别交圆22(1)1x y ++=于,M N 两点．（ⅰ）当直线DE 斜率存在时，设直线DE 的斜率为1k ，直线MN 的斜率为2k ，求12k k ；（ⅱ）设ADE V 的面积为1,S AMN △的面积为2S ，求12S S 的最大值．21．（2024·山东潍坊·二模）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的实轴长为2F 到一条渐近线的距离为1．(1)求C 的方程；(2)过C上一点(1P 作C 的切线1l ，1l 与C 的两条渐近线分别交于R ，S 两点，2P 为点1P 关于坐标原点的对称点，过2P 作C 的切线2l ，2l 与C 的两条渐近线分别交于M ，N 两点，求四边形RSMN 的面积．(3)过C 上一点Q 向C 的两条渐近线作垂线，垂足分别为1H ，2H ，是否存在点Q ，满足122QH QH +=，若存在，求出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．22．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线2:=E y x ，过点()1,2T 的直线与抛物线E 交于,A B 两点，设抛物线E 在点,A B 处的切线分别为1l 和2l ，已知1l 与x 轴交于点2,M l 与x 轴交于点N ，设1l 与2l 的交点为P .(1)证明：点P 在定直线上；(2)若PMN ，求点P 的坐标；(3)若,,,P M N T 四点共圆，求点P 的坐标.23．（2024·福建漳州·一模）已知过点()11,0F -的直线l 与圆2F ：()22116x y -+=相交于G ，H 两点，GH 的中点为E ，过1GF 的中点F 且平行于2EF 的直线交2G F 于点P ，记点P 的轨迹为C ．(1)求轨迹C 的方程．(2)若,A B 为轨迹C 上的两个动点且均不在y 轴上，点M 满足OM OA OB λμ=+（λ，μ∈R ），其中O 为坐标原点，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①点M 在轨迹C 上；②直线OA 与OB 的斜率之积为34-；③221λμ+=．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．24．（2024·福建福州·模拟预测）点P 是椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）上（左、右端点除外）的一个动点，()1,0F c -，()2,0F c 分别是E 的左、右焦点.(1)设点P 到直线l ：2a x c =的距离为d ，证明2PF d 为定值，并求出这个定值；(2)12PF F △的重心与内心（内切圆的圆心）分别为G ，I ，已知直线IG 垂直于x 轴.（ⅰ）求椭圆E 的离心率；（ⅱ）若椭圆E 的长轴长为6，求12PF F △被直线IG 分成两个部分的图形面积之比的取值范围.25．（2024·福建三明·三模）已知平面直角坐标系xOy 中，有真命题：函数(0,0)ny mx m n x =+≥>的图象是双曲线，其渐近线分别为直线y mx =和y 轴．例如双曲线4y x=的渐近线分别为x 轴和y 轴，可将其图象绕原点O 顺时针旋转π4得到双曲线228x y -=的图象．(1)求双曲线1y x=的离心率；(2)已知曲线22:2E x y -=，过E 上一点P 作切线分别交两条渐近线于,A B 两点，试探究AOB 面积是否为定值，若是，则求出该定值；若不是，则说明理由；(3)已知函数y x =Γ，直线:30l x -=，过F 的直线与Γ在第一象限交于,M N 两点，过,M N 作l 的垂线，垂足分别为,C D ，直线,MD NC 交于点H ，求MNH △面积的最小值．26．（2024·浙江绍兴·二模）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点到准线的距离为2，过点()2,2A 作直线交C 于M ，N 两点，点()1,1B -，记直线BM ，BN 的斜率分别为1k ，2k .(1)求C 的方程；(2)求()121232k k k k -+的值；(3)设直线BM 交C 于另一点Q ，求点B 到直线QN 距离的最大值.27．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知抛物线C :22y px =的焦点F ，直线l 过F 且交C 于两点M N 、，已知当3MF NF =时，MN (1)求C 的标准方程.(2)令,02p F ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，P 为C 上的一点，直线F P '，FP 分别交C 于另两点A ，B .证明：·1AF PF PF BF '='.(3)过,,A B P 分别作C 的切线123,,l l l ， 3l 与1l 相交于D ，同时与2l 相交于E ，求四边形ABED 面积取值范围.28．（2024·河北保定·二模）平面几何中有一定理如下：三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高所在直线的交点）的距离等于外心（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.已知ABC 的垂心为D ，外心为E ，D 和E 关于原点O 对称，()13,0A .(1)若()3,0E ，点B 在第二象限，直线BC x ⊥轴，求点B 的坐标；(2)若A ，D ，E 三点共线，椭圆T ：()222210x y a b a b+=>>与ABC 内切，证明：D ，E 为椭圆T 的两个焦点.29．（2024·浙江杭州·模拟预测）设双曲线22:12x C y -=，直线:l y x m =+与C 交于,A B 两点.(1)求m 的取值范围；(2)已知C 上存在异于,A B 的,P Q 两点，使得PA PB QA QB t ⋅=⋅=.（i ）当4t =时，求,P Q 到点()2,m m --的距离（用含m 的代数式表示）；（ii ）当2t =时，记原点到直线PQ 的距离为d ，若直线PQ 经过点(),m m -，求d 的取值范围.30．（2024·湖北·一模）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为12，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，1F 为左焦点，且1ABF(1)求椭圆M 的标准方程：(2)设椭圆M 的右顶点为C 、P 是椭圆M 上不与顶点重合的动点．（i ）若点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，点D 在椭圆M 上且位于x 轴下方，直线PD 交x 轴于点F ，设APF 和CDF 的面积分别为1S ，2S 若1232S S -=，求点D 的坐标：（ii ）若直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点N ，求证：2QN QC k k -为定值，并求出此定值（其中QN k 、QC k 分别为直线QN 和直线QC 的斜率）．黄金冲刺大题06 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（精选30题）1．（2024·山东·二模）已知椭圆的焦点分别是)()12,F F ，点M 在椭圆上，且124MF MF +=．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线y kx =,A B 两点，且OA OB ⊥，求实数k 的值．【答案】(1)2214x y +=；【分析】（1）根据所给条件求出,a b ，即可得出椭圆标准方程；（2）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系及OA OB ⊥，列出方程求k 即可.【详解】（1）设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>．由题意可知22224c a a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩，解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的标准方程为2214x y +=．（2）设()()1122,,,A x y B x y ，如图，联立方程2214y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()221440k x +++=，则12122414x x x x k +==+，从而(1212y y kx kx =+()212122k x x x x =+++222414kk-=+，因为,0OA OB OA OB ⊥⋅=，即12120x x y y +=，所以22222424640141414k k k k k --+==+++，解得k =或，经验证知Δ0>，所以k．2．（2024·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，过2F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A ，B 两点，直线2l 与C 交于D ，E 两点，且12AF F的周长是4+(1)求椭圆C 的方程；(2)当32AB DE =时，求ODE 的面积.【答案】(1)2214x y +=【分析】（1）由椭圆离心率和焦点三角形的周长，列方程组求出,a b ，得椭圆C 的方程；（2）设直线1l ，2l 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理和32AB DE =求出DE 和2l 的方程，再求出O 到直线2l 的距离，可求ODE 的面积.【详解】（1）由题意知，222224a c ca b a c ⎧+=+⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得2,1,a b c ===所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）若直线1l 的斜率不存在，则直线2l 的斜率为0，不满足32AB DE =，直线1l 的的斜率为0，则12,,A F F 三点共线，不合题意，所以直线1l 的斜率存在且不为0，设直线1l的方程为x my =由2214x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去x得2211044m y y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，设()()1122,,,A x y B x y，则12y y +=1221414y y m =-+，()2241.4m AB m +∴===+同理可得()222214141.1144m m DE m m ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++，由32AB DE =，得()()2222414134214m m m m++=⋅++，解得22m =，则43DE =，∴直线2l的方程为y x =，∴坐标原点O 到直线2l的距离为d ==1423ODE S =⨯= 即ODE【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．3．（2024·河北邯郸·二模）已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()2,0,1,M N ⎛⎝两点．(1)求C 的方程．(2),A B 是C 上两个动点，D 为C 的上顶点，是否存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的三角形的个数；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2214x y +=(2)存在，3个【分析】（1）设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，根据条件得到41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即可求出结果；（2）设直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，当1k =时，由椭圆的对称性知满足题意；当21k ≠时，联立直线与椭圆方程，求出,A B 的坐标，进而求出AB 中垂线方程，根据条件中垂线直经过点(0,1)D ，从而将问题转化成方程42710k k -+=解的个数，即可解决问题.【详解】（1）由题设椭圆C 的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠，因为椭圆过()2,0,1,M N ⎛ ⎝两点，所以41314m m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到1,14m n ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由（1）知(0,1)D ，易知直线,DA DB 的斜率均存在且不为0，不妨设(0)DA k k k =>，1DB k k=-，直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k =-+，由椭圆的对称性知，当1k =时，显然有DA DB =，满足题意，当21k ≠时，由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得到221()204k x kx ++=，所以2814A k x k =-+，222281411414A k k y k k -=-+=++，即222814(,)1414k k A k k--++，同理可得22284(,44k k B k k -++，所以()2222222222222414(4)14(4)(14)1414888(144)5414ABk k k k k k k k k k k k k k k k k k ----+-+--++===++++++，设AB 中点坐标为00(,)x y ，则2220228812(1)1442(4)(14)k kk k k k x k k -+-++==++，22222022144151442(4)(14)k k k k k y k k --+-++==++，所以AB 中垂线方程为222222215512(1)()(4)(14)1(4)(14)k k k k y x k k k k k -+=--++-++，要使ADB 为AB 为底边的等腰直角三角形，则直AB 中垂线方程过点(0,1)，所以222222215512(1)1(0)(4)(14)1(4)(14)k k k k k k k k k -+=--++-++，整理得到42710k k -+=，令2t k =，则2710t t -+=，4940∆=->，所以t 有两根12,t t ，且121270,10t t t t +=>=>，即2710t t -+=有两个正根，故有2个不同的2k 值，满足42710k k -+=，所以由椭圆的对称性知，当21k ≠时，还存在2个符合题意的三角形，综上所述，存在以D 为顶点，AB 为底边的等腰直角三角形，满足条件的三角形的个数有3个.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，通过设出直线DA 为1y kx =+，直线DB 为11y x k=-+，联立椭圆方程求出,A B 坐标，进而求出直线AB 的中垂线方程，将问题转化成直线AB 的中垂线经过点(0,1)D ，再转化成关于k 的方程的解的问题.4．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆222:1(08x y C b b+=<<，右顶点为E ，上､下顶点分别为12,,B B G是1EB 的中点，且121EB GB ⋅=.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()4,0D -的直线l 交椭圆C 于点,M N ，点()2,1A --，直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ，求证：线段PQ 的中点为定点.【答案】(1)22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）通过椭圆的性质和中点的坐标，然后根据向量的数量积得到等量关系即可求出椭圆的标准方程；（2）设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数的关系，求得点,P Q 的坐标，进而证得线段PQ 的中点为定点.【详解】（1）由题可得()28,,0a E a = ，()()120,,0,B b B b -，1EB ∴的中点为,22a b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221233(,),1,2,2222a b a bEB GB a b b ⎛⎫⋅=-⋅--=-=∴= ⎪⎝⎭ 故椭圆C 的方程为22182x y +=；（2）依题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()4y k x =+，由()224182y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()222214326480k x k x k +++-=，由()()422Δ10244146480k k k =-+->，得2111,422k k <-<<.设()(),,,M M N N M x y N x y ，则222232648,1414M N M N k k x x x x k k -+=-=++，依题意可知直线,MA NA 的斜率存在，直线MA 的方程为()1122M M y y x x ++=++，令4x =-，得()2442422M M M M P M M k x x y x y x x -+-----==++()()()2184212424221222M M M M M k x k k x k k k x x x ------+--+===---+++，同理可求得42212Q N k y k x +=---+，()N 4242114242422222P Q M N M k k y y k k k x x x x ⎛⎫++∴+=----=---++ ⎪++++⎝⎭()()4424224M N M N M N x x k k x x x x ++=---+⋅+++()22222232414424242(42)064832241414k k k k k k k k k k -++=---+⋅=--++=⎛⎫-+-+ ⎪++⎝⎭，∴线段PQ 的中点为定点()4,0-.【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交的问题，我们一般将直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理带入计算求解.5．（2024·辽宁·二模）平面直角坐标系xOy 中，面积为9的正方形ABCD 的顶点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，且23OP OA = ，记动点P 的轨迹为曲线Γ．(1)求Γ的方程；(2)过点()4,1E 的动直线l 与曲线Γ交于不同的两点,M N 时，在线段MN 上取点Q ，满足||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅．试探究点Q 是否在某条定直线上？若是，求出定直线方程；若不是，说明理由．【答案】(1)22143x y +=(2)点Q 在定直线上，定直线方程为330x y +-=【分析】（1）设点,,P A B 的坐标，利用平面向量的坐标表示消参得0032x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，结合正方形面积得Γ的方程；（2）设:14l y kx k =+-，,,Q M N 的坐标，与椭圆联立并根据韦达定理得,M N 横坐标关系，再根据线段乘积关系化为比值关系得01120244x x x x x x --=--，化简得0243kx k+=+，代入直线方程即可0y ，从而求出定直线方程.【详解】（1）设()()()00,,,0,0,P x y A x B y ，由0000222(,0))()333OP OA x y x y ==+=，得0023x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以032x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为正方形ABCD 的面积为29AB =，即22009x y +=，所以223())92x +=，整理可得22143x y +=，因此C 的轨迹方程为22143x y +=．（2）依题意，直线l 存在斜率，设l ：1(4)y k x -=-，即14y kx k =+-，设点()00,Q x y ，()11,M x y ，()22,N x y ()102x x x <<，由22143412y kx kx y =+-⎧⎨+=⎩，消y 得2234(14)12x kx k ++-=，即222(34)8(14)4(14)120k x k k x k ++-+--=，由()()()2222Δ64141634143k k k k ⎡⎤=--+--⎣⎦()()()()()22222216144344834483414k k k k k k ⎡⎤⎡⎤=--+++=+--⎣⎦⎣⎦()()22481282966410k k k k =-++=-++>，k <<所以3k ≠-，可得1228(14)34k k x x k -+=-+，21224(14)1234k x x k --=+，由||||||||EM QN QM EN ⋅=⋅ ，得||||||||QM EM QN EN =，所以01120244x x x x x x --=--，可得222121201228(14)4(14)124234344()28(14)8()834k k k k k x x x x x k k x x k ⎡⎤---⎡⎤--⎢⎥⎢⎥+++-⎣⎦⎣⎦==--+⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦()()2222232148142432128128648242432824248k k k k k k k k k k k----+-+-+-+==++-+1632242483k kk k++==++，所以()()200143243914333k k k k ky kx k k k k-++-=+-=+=+++，因为00612393333k kx y k k+-+=+=++，所以点Q 在定直线上，定直线方程为330x y +-=．6．（2024·福建厦门·三模）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,M N 两点，且当l 的斜率为1时，8MN =．(1)求C 的方程；(2)设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点），线段MN 的中点为R ，若3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．【答案】(1)24y x =；(2)(.【分析】（1）先设l 的方程为2px my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及抛物线定义即可求解；（2）先设出()221,2R m m +，进而可求,P Q 的坐标，可得直线//QR x 轴，求出QR 的范围，再由三角形面积公式即可求解.【详解】（1）不妨先设l 的方程为2px my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，代入22y px =，可得2220y mpy p --=，所以122y y mp +=，212y y p =-，则()21212222MN x x p m y y p m p p =++=++=+，由题意可知当斜率为1时，1m =，又8MN =，即228p p +=，解得2p =，所以C 的方程为24y x =；（2）由（1）知2p =，直线l 的方程为1x my =+，抛物线方程24y x =，124y y m +=，124y y =-所以R 的纵坐标1222R y y y m +==，将R 的纵坐标2m 代入1x my =+，得221x m =+，所以R 的坐标()221,2m m +，易知抛物线的准线为=1x -,又因为l 与C 的准线交于点P ，所以P 的坐标21,m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则直线OP 的方程为2m x y =，把2mx y =代入24y x =，得22y my =，即2y m =或0y =，因为点Q 异于原点，从而Q 的纵坐标为2m ，把2y m =代入2m x y =，得22mx y m ==，所以()2,2Q m m ，因为R 的坐标()221,2m m +，所以R ，Q 的纵坐标相同，所以直线//QR x 轴，且222211QR m m m =+-=+，所以MNQ △面积1212MNQ MRQ NRQ S S S QR y y =+=- ，因为()22212121241616y y y y y y m -=+-=+，所以12y y -==，所以()332222112122MNQS m m QR =+⨯=+= ，因为点Q 异于原点，所以0m ≠，所以210m +>，因为3QR ≤，所以13QR <≤，所以3222QR <≤MNQ △面积的取值范围为(.7．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线2:4E y x =，点,,A B C 在抛物线E 上，且A 在x 轴上方，B 和C 在x 轴下方（B 在C 左侧），,A C 关于x 轴对称，直线AB 交x 轴于点M ，延长线段CB 交x 轴于点Q ，连接QA .(1)证明：OM OQ为定值（O 为坐标原点）；(2)若点Q 的横坐标为1-，且89MB MC ⋅= ，求AQB 的内切圆的方程.【答案】(1)1(2)221499x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭【分析】（1）根据已知条件作出图形，设出直线AB 的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及直线的点斜式方程即可求解；（2）根据（1）的结论及向量的数量积的坐标表示，进而得出直线AB 的方程，利用直线的斜率公式及直线的点斜式方程，结合角平分线的性质及圆的标准方程即可求解.【详解】（1）设直线AB 的方程为()()()11220,,,,x my t m A x y B x y =+>，则()()11,,,0C x y M t -，由24x my ty x =+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y my t --=，()22Δ1600m t m t =+>⇒+>，所以12124,4y y m y y t +==-，直线BC 的方程为()211121y y y y x x x x ++=--，化简得1221214y y xy y y y y =---，令0y =，得124Q y y x t ==-，所以(),0Q t -因此1OM t OQt==-.（2）因为点Q 的横坐标为1-，由（1）可知，()()1,0,1,0Q M -，设QA 交抛物线于D ，()()()()11221144,,,,,,,A x y B x y C x y D x y -，如图所示又由（1）知，124y y =-，同理可得144y y =，得42y y =-，又()212121211242x x my my m y y m +=+++=++=+，()22212121214416y y y y x x =⋅==，又()()22111,,1,MB x y MC x y =-=-- ，则()()()221121212111444MB MC x x y y x x x x m ⋅=---=-+++=- ，故2844,9m -=结合0m >，得m =所以直线AB的方程为330,x -=又12163y y -===，则141414221214141412443444AD y y y y y y k y y x x x x y y y y ---======--+--，所以直线AD 的方程为3430x y -+=，设圆心(,0)(11)T s s -<<,因为QM 为AQB ∠的平分线，故点T 到直线AB 和直线AD 的距离相等，所以333354s s +-=，因为11s -<<，解得19s =，故圆T 的半径33253s r +==，因此圆T 的方程为221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)C 和动点(,)P x y 满足2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项．(1)求P 点的轨迹方程；(2)设P 点的轨迹为曲线1C 按向量31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移后得到曲线2C ，曲线2C 上不同的两点M ，N 的连线交y 轴于点(0,)Q b ，如果MON ∠（O 为坐标原点）为锐角，求实数b 的取值范围；(3)在（2）的条件下，如果2b =时，曲线2C 在点M 和N 处的切线的交点为R ，求证：R 在一条定直线上．【答案】(1)23122y x x =-+；(2)0b <或1b >；(3)证明见解析.【分析】（1）根据题意，由平面向量的坐标运算，结合等差中项的定义代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由平移公式可得曲线2C 的方程，然后与直线MN 的方程联立，由平面向量的夹角公式，代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，求导可得在点,M N 处的切线方程，联立两条切线方程，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得(1,)PA x y =-- ，(,1)PB x y =-- ，(1,1)PC x y =--，则22(1)()()(1)PA PB x x y y x y x y ⋅=-⋅-+-⋅-=+--，22(1)(1)()(1)21PA PC x x y y x y x y ⋅=-⋅-+-⋅-=+--+，又2y 是PA PB ⋅ ，PA PC ⋅的等差中项，()()22222212x y x y x y x y y ∴+--++--+=，整理得点(,)P x y 的轨迹方程为23122y x x =-+．（2）由（1）知2131:22C y x x =-+，又31,416a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，∴平移公式为34116x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+'⎩'⎪即34116x x y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-'⎩'⎪，代入曲线1C 的方程得到曲线2C 的方程为：213331164242y x x ''⎛⎫⎛⎫-=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，即2y x ¢¢=．曲线2C 的方程为2y x =．如图由题意可设M ，N 所在的直线方程为y kx b =+，由2y x y kx b⎧=⎨=+⎩消去y 得20x kx b --=，令()11,M x y ，()()2212,N x y x x ≠，则1212x x kx x b +=⎧⎨=-⎩，()()21111,,OM x y x x ∴== ，()()22222,,ON x y x x == ，又MON ∠ 为锐角，cos 0||||OM ONMON OM ON ⋅∴∠=>⋅，即2212120||||x x x x OM ON +>⋅ ，2212120x x x x ∴+>，又12x x b =-，2()0b b ∴-+->，得0b <或1b >．（3）当2b =时，由（2）可得12122x x kx x b +=⎧⎨=-=-⎩，对2y x =求导可得2y x '=，∴抛物线2C 在点，()211,M x x ∴=，()222,N x x 处的切线的斜率分别为12M k x =，22N k x =，∴在点M ，N 处的切线方程分别为()2111:2M l y x x x x -=-，()2222:2N l y x x x x -=-，由()()()211112222222y x x x x x x y x x x x ⎧-=-⎪≠⎨-=-⎪⎩，解得交点R 的坐标(,)x y ．满足12122x x x y x x +⎧=⎪⎨⎪=⋅⎩即22k x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，R ∴点在定直线=2y -上．【点睛】关键点点睛：本题主要考查了曲线的轨迹方程问题以及切线问题，难度较大，解答本题的关键在于联立方程结合韦达定理计算以及转化为坐标运算.9．（2024·江苏南通·二模）已知双曲线E 的渐近线为y =，左顶点为()A .(1)求双曲线E 的方程；(2)直线:l x t =交x 轴于点D ，过D 点的直线交双曲线E 于B ，C ，直线AB ，AC 分别交l 于G ，H ，若O ，A ，G ，H 均在圆P 上，①求D 的横坐标；②求圆P 面积的取值范围.【答案】(1)2213x y -=(2)①⎫⎪⎪⎭；②27π16S >且7π4S ≠【分析】（1）根据渐近线方程及顶点求出,a b 得双曲线方程；（2）①设(),0D t ，由四点共圆可得1AG OH k k ⋅=，根据斜率公式转化为,B C 点坐标表示形式，由直线与双曲线联立得出根与系数的关系，据此化简即可求出t ；②求出G 点坐标得出OG ，利用正弦定理求出外接圆的半径，根据均值不等式求出半径的最值，即可得出圆面积的最值.【详解】（1）因为双曲线的渐近线关于坐标轴及原点对称，又顶点在x 轴上，可设双曲线的方程为22221x y a b-=（0a >，0b >），从而渐近线方程为：b y x a =±，由题条件知：b a =因为双曲线的左顶点为()A ，所以a =1b =，所以双曲线的方程为：2213x y -=.（2）如图，①(),0D t ，设直线BC 的方程为：my x t =-，将x my t =+代入方程：22330x y --=，得()2223230m y mty t -++-=，当230m -≠且()22Δ1230t m =+->时，设()11,B x y ，()22,C x y ，则12223mt y y m +=--，212233t y y m -=-.设直线AG 的倾斜角为α，不妨设π02α<<，则π2AGH α∠=-，由于O ，A ，G ，H 四点共圆知：HOD AGH ∠=∠，所以直线OH 的倾斜角为π2α-，πsin πsin 2tan tan 1π2cos cos 2AG OH k k αααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅=⋅-=⨯= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.直线AC的方程为：y x =，令x t =，则y =H t ⎛ ⎝，所以OH k=AGABk k==1=((1212t y y t x x ⇒=，又11x my t =+，22xmy t =+代入上式得：((1212t y yt my t my t =++，((()(22121212t y y t m y y m t y y t ⎡⎤⇒=+++⎢⎥⎣⎦，(((2222222332333t t mtt t m m t t m m m ⎛⎤---⇒⋅=⋅+⋅++ ⎥---⎝⎦，化简得：2430t +-=，解得：t =（舍）或t =故点D 的坐标为⎫⎪⎪⎭.②直线AG 的方程为(tan y x α=⋅，由①知：t =所以G α⎫⎪⎪⎭.直线OH 方程；1tan y x α=，所以H ，若G ，H 在x 轴上方时，G 在H 的上方，即tan 0α>α>若G ，H 在x 轴下方时，即t an 0α<α<所以tan α>tan α<又直线AG 与渐近线不平行，所以tan α≠所以0πα<<，tan α>tan α<tan α≠因为OG ==设圆P 的半径为R ，面积为S ，则2sin OG R α==所以()()()2222222125tan 125tan sin cos 3164sin 64sin R αααααα+⋅++=⨯=⨯()()22222125tan 1tan 33125tan 2664tan 64tan ααααα++⎛⎫=⨯=++ ⎪⎝⎭327266416⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当22125tan tan αα=即tan α=tan α>tan α<tan α≠所以22716R >且274R ≠，从而27π16S >且7π4S ≠.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用直线的倾斜角与圆的内接四边形的角的关系，得出πsin πsin 2tan tan 1π2cos cos 2AG OHk k αααααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭⋅=⋅-=⨯= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭这一关键数量关系，再转化为直线与双曲线相交，利用根与系数的关系化简求参数的常规问题.10．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，且4p b =．过F 的直线1与抛物线C 交于A ，B 两点，与E 的两条近线交于P ，Q 两点(均位于y 轴右侧).(1)求E 的渐近线方程；(2)若实数λ满足1111||||||||OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求λ的取值范围．【答案】(1)y x =(2)10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由两曲线有公共的焦点F ，且4p b =，得2c b =，a ，可求渐近线方程；（2）通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出11||||OP OQ +和11||||AF BF -，由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭求λ的取值范围．【详解】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>与双曲线2222:1x y E a b-=（0a >，0b >）有公共的焦点F ，设双曲线E 的焦距为2c ，则有2pc =，又4p b =，则2c b =.由222+=a b c，得a ，所以E的渐近线的方程为y =（2）设:l x my c =+，()()1122,,,P x y Q x y ，1与E 的两条近线交于P ，Q 两点均位于y 轴右侧，有23m <，由x my cy x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1y =2y =，11112OP OQ y +=+设()()3344,,,A x y B x y ， 由22x my cy px=+⎧⎨=⎩，消去x 得2220y pmx p --=，则有234342,y y pm y y p +==-，1AF2p =由1111OP OQ AF BF λ⎛⎫+=- ⎪⎪⎝⎭，2pc =，有2p λ==由23m <⎡∈⎢⎣，所以10,2λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．11．（2024·重庆·三模）已知()2,0F ，曲线C 上任意一点到点F 的距离是到直线12x =的距离的两倍.(1)求曲线C 的方程；(2)已知曲线C 的左顶点为A ，直线l 过点F 且与曲线C 在第一、四象限分别交于M ，N 两点，直线AM 、AN 分别与直线12x =交于P ，H 两点，Q 为PH 的中点.（i ）证明：QF MN ⊥；（ii ）记PMQ ，HNQ ，MNQ 的面积分别为1S ，2S ，3S ，则123S S S +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)2213y x -=(2)（i ）证明见解析；（ii ）是，12【分析】（1）设曲线C 上任意一点坐标为(),x y ，利用坐标可得曲线C 的方程；（2）(i)设直线MN ：2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程组可得1221231my y m +=--，122931y y m =-，求得直线AM ：()1111y y x x =++，求得P ，H ，进而可得Q 的坐标，求得FQ 的坐标，直线MN 的方向向量的坐标，利用向量法可证结论.(ii) 法一：利用（i ）可求得()226113mMN m +=-；QF=()()322329112213m S MN QF m+=⋅=-，进而求得()1212114S S PH x x +=⋅+-，代入运算可求得()()32212291413m S S m++=-，可求结论.法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，1122MF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，同理2122NF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，计算可得1218S S PH MN +=⋅，又312S MN QF =⋅，12314PH S S S QF +=，进而计算可得结论成立.【详解】（1）设曲线C 上任意一点坐标为(),x y ，则由题意可知：()2222222212444441123y x y x x x y x x x ⎛⎫-+=-⇒-++=-+⇒-= ⎪⎝⎭，故曲线C 的方程为2213y x -=.（2）(i)设直线MN ：2x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，其中m <<且11x >，21x >()22222311290330x my m y my x y =+⎧⇒-++=⎨--=⎩，故1221231my y m +=--，122931y y m =-；直线AM ：()1111y y x x =++，当12x =时，()11321y y x =+，故()1131,221y P x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，同理()2231,221y H x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，Q 为PH 中点，故()()()()1221121212111332211411Q y x y x y y y x x x x +++⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪++++⎝⎭；()()()()()()222212121212293693111333931m m m x x my my m y y m y y m -+-++=++=+++=-2931m =--；（*）()()()()()122112211212221836181133233131m m my x y x y my y my my y y y m m -+++=+++=++==---；故3183492Q m m y =⋅=，即13,22m Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则33,22m FQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，直线MN 的方向向量(),1a m =，33022m m a FQ ⋅=-+= ，故QF MN ⊥.(ii)法一：12y y -===（**）故()2226113m MN y m +=-=-；QF==又QF MN ⊥，故()()322329112213mSMN QF m+=⋅=-.()12121211111122224S S PQ x HQ x PH x x ⎛⎫⎛⎫+=⋅-+⋅-=⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()()222121222311293133113m m m x x m y y m m +-+-+-=++==--；()()()()()()1221121212113332121211y x y x y y PH x x x x +-+=-=++++，()()()()()()12211212123339211211y my y my y y x x x x +-+-==++++，由（*）知()()12291113x x m ++=-，由（**）知12y y -=，故291329m PH -==故()()()3222122231911413413m mS S m m+++=⋅=--，则12312S S S +=.法二：（利用双曲线的第二定义）由（1）知，1122MF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，同理2122NF x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故()()12121111488S S PH x x PH MF NF PH MN +=+-=⋅+=⋅，又312S MN QF =⋅，故12314PH S S S QF +=，又()()12129411P H y y y y x x =++，且由（*）知229993194431P Hm y y m -==--，记直线PH 与x 轴相交于点K ，由94P Hy y =可得2PK HK FK ⋅=，即PK FK FK HK =，即PKF PFH ∽△△，故PF HF ⊥；又Q 为PH 的中点，故12QF PH =，即1231142PH S S S QF +==.【点睛】方法点睛：直线与双曲线联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可设出直线方程．。
2020年高考大冲刺卷理 科 数 学（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|13}M x x =-<<，2{|lg(1)}N x y x ==-，则M N =I （ ） A ．{|13}x x -<< B ．{|11}x x -<< C ．{|13}x x << D ．{|11}x x -<≤答案：C解：2{|}{|111}0N x x x x x ==-><->或，|13}{M N x x =<<I ，故选C ．2．已知复数z 满足(12i)|34i |z ⋅+=-(i 为虚数单位)，则在复平面内复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D解：12i (12i 5)5((1122i)i)12i z ++--===-，对应的点位于第四象限，故选D ． 3．已知0.30.4a =，0.30.3b =，0.40.3c =，则（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>答案：B解：0.30.40.30.3>，即b c >，而0.30.30.44()()10.33a b ==>，即a b >， ∴a b c >>，故选B ．4．图1为某省2019年1至4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1至4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是(“同比"指与去年同月相比)（ ）A ．2019年1至4月的快递业务收入在3月最高，2月最低，差值超过20000万元B ．2019年1至4月的快递业务收入同比增长率不低于30%，在3月最高C ．从1至4月来看，该省在2019年快递业务量同比增长率逐月增长D ．从两图来看2019年1至4月中的同-个月快递业务量与收入的同比增长率不完全一致 答案：C解：由图表易知，故选C ． 5．下列说法正确的是（ ）A ．若“p q ∨”为真命题，则“p q ∨”为真命题B ．命题“0x ∀>，10x e x -->”的否定是“00x ∃≤，0010xe x --≤” C ．命题若“1x ≥，则11x≤”的逆否命题为真命题 D ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件 答案：C解：“p q ∨”为真，则命题p ，q 有可能一真一假，则“p q ∧”为假，故A 错误；命题“0x ∀>，10x e x -->”的否定应该是“00x ∃>，0010xe x --≤”，故B 错误；因命题“若1x ≥，则11x≤”为真命题，则其逆否命题为真命题，故选项C 正确；因21560x x x =-⇒--=，但25601x x x --=⇒=-或6x =， 所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故D 错误， 故选C ．6．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2cos b C c B c C -=⋅，则角C 的取值范围为（ ）A ．ππ(,)86B ．π(0,)6C ．ππ(,)62D ．ππ(,)82答案：A解：∵sin cos sin cos 2sin cos B C C B C C -=， ∴sin()sin 2B C C -=，∴2B C C -=，∴3B C =，此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号∴32πC <且42πB C C +=>，∴86ππC <<，故选A ．7．已知平面向量a ，b ，c 均为单位向量，若12⋅=a b ，则()()+⋅-a b b c 的最大值是（ ） A ．13+ B ．3C ．332+D ．1232+答案：C解：||1=a ，||1=b ，22||23+=⋅++=a b a a b b ，2()()()()||||3333222+⋅-=⋅+-+⋅=-+⋅≤++⋅-=+a b b c a b b a b c a b c a b c ， 当且仅当+a b 与c 反向时取等号，故选C ．8．我国传统的房屋建筑中，常会出现-些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的精美图案．如图所示的窗棂图案，是将边长为2R 的正方形的内切圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．若在正方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为（ ）A ．331π-B ．π3324-C ．332π-D ．π324-答案：B解：先计算半片花瓣面积22260π3π3()360464R R R -=-， ∴22π312()(2π33)6S R R =-=-阴， 故所求概率为22(2π33)π33(2)2S R R -==-阴，故选B ． 9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2|2|f x x =-+．若对任意的[1,2]x ∈-，()()f x a f x +>成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,2)B ．(0,2)(,6)-∞-UC ．(2,0)-D ．(2,0)(6,)-+∞U答案：D解：依题意作出()f x 的图象，()y f x a =+的图象可以看成是()y f x =的图象向左(0)a >时或向右(0)a <时平移||a 个单位而得．当0a >时，()y f x =的图象至少向左平移6个单位（不含6个单位）才能满足()()f x a f x +>成立；当0a <时，()y f x =的图象向右平移至多2个单位（不含2个单位）才能满足()()f x a f x +>成立（对任意的[1,2]x ∈-）， 故(2,0)(6,)a ∈-+∞U ，故选D ．10．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，P 为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M (异于P ，F )，与y 轴交于点N ，直线MB 与y 轴交于点H ，若3HN OH =-uuu r uuu r(O 为坐标原点)，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B解：不妨设P 在第二象限，||FM m =，(0,)(0)H h h >， 由3HN OH =-uu u r uuu r，知(0,2)N h -， 由AFM AON ~△△，得2m c ah a-=①， 由BOH BFM ~△△，得h a m c a=+②， ①②两式相乘，得12c ac a-=+，即3c a =，离心率为3，故选B ． 11．已知函数π()sin()(0)3f x x ωω=+>，1()2f x =在区间[0,π]上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：①在区间(0,π)上存在1x ，2x ，满足12()()2f x f x -=； ②()f x 在区间(0,π)有且仅有1个最大值点； ③()f x 在区间π(0,)15上单调递增；④ω的取值范围是115[,)62． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①③ B ．①③④C ．②③D ．①④答案：B解：∵0,][πx ∈，∴,πππ[π]333x ωω+∈+，令3πz x ω=+，则,ππ[π]33z ω∈+， 由题意，sin 12z =在,ππ[π]33ω+上只能有两解5π6z =和13π6z =，∴13ππ17ππ636ω≤+<， 因为在,ππ[π]33z ω∈+上必有sin π3πsin 222-=， 故在(0,)π上存在12,x x 满足122()()f x f x =-；①成立；2πz =对应的x （显然在0,][π上）一定是最大值点，因52πz =对应的x 值有可能在0,][π上，故②结论错误；解得11562ω≤<，所以④成立； 当(0,15)πx ∈时，,πππ[]3153z ω∈+，由于11562ω≤<，故,,πππππ[][]315332z ω∈+⊆， 此时sin y z =是增函数，从而()f x 在(0,15π)上单调递增，所以③成立，综上，①③④成立，故选B ． 12．设函数1()(ln 2)xe f x t x x x x=+--恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A．(1,)+∞U B ．{}[1,)3e +∞UC．}[1,)3e+∞U D ．[1,)+∞ 答案：D解：求导得21()[(21)]xx f x e x t x-'=-+有两个零点等价于函数()(21)x x e x t ϕ=-+有一个不等于1的零点，分离参数得21xe t x =+， 令()(0)21xe h x x x =>+，221()(21)x x h x e x -'=+， ()h x 在1(0,)2递减，在1(,)2+∞递增，显然在12x =，作()h x 的图像，并作y t =的图象，注意到(0)1h =，(1)13eh =<，（原定义域0x >，这里为方便讨论，考虑(0)h ），当1t ≥时，直线y t =与()21xeh x x =+只有一个交点，即x ϕ（）只有一个零点（该零点值大于1）；当2t =时，21()[(21)]x x f x e x t x -'=-+在12x =两侧附近同号，12x =不是极值点；当3et =时，函数(21)x x e x t ϕ=-+（）有两个不同零点（其中一个零点等于1），但此时21()[(21)]xx f x e x t x -'=-+在1x =两侧附近同号，使得1x =不是极值点不合， 故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．二项式52)x的展开式中2x -的系数是 ． 答案：80-解：展开式通项5352552C ()C (2)rrrr r rx x---=-， 依题意5322r -=-，得3r =，2x -的系数是335C (2)80-=-． 14．在今年的疫情防控期间，某省派出5个医疗队去支援武汉市的4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则不同的分配方案共有_______种，(用数字填写答案)答案：240解：依题意，先选出一个重灾区（有14C 种选法），分配有两个医疗队，有25C 种分配法，另3个重灾区各分配一个医疗队，有33A 种分配法， 所以不同的分配方案数共有123453C C A 240=．15．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．过点F 且斜率为3的直线交抛物线于点M （M 在第一象限），MN l ⊥，垂足为N ．直线NF 交y 轴于点D ．则||MD =_______． 答案：23解：设准线l 与x 轴交于E ．易知(1,0)F ，由抛物线定义知||||MN MF =，由于60NMF ∠=︒，所以NMF △为等边三角形， 三角形边长为||2||4NM FE ==，又OD 是FEN △的中位线，MD 就是该等边三角形的高，||23MD =．16．在四面体ABCD 中，CA CB =，DA DB =，6AB =，8CD =，AB ⊂平面α，l ⊥平面α，E ，F 分别为线段AD ，BC 的中点，当四面体以AB 为轴旋转时，直线EF 与直线l 夹角的余弦值的取值范围是 ．答案：4[0,]5解：取AC 中点G ，易证AB CD ^，又GE CD ∥，GF AB ∥，∴GE GF ^，得5EF =． 当四面体绕AB 旋转时，由GF AB ∥，即EF 绕GF 旋转， 故EF 与直线l 所成角的范围为[90,90]GFE ?邪，直线EF 与直线l 夹角的余弦值的取值范围是4[0,]5．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，36S =，3a 是1a 与9a 的等比中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列*24(1)()41n n a b n n =-∈-N ，数列{}n b 的前2n 项和为2n P ，若21|1|2020nP +<， 求正整数n 的最小值．答案：（1）n a n =，*n ∈N ；（2）505．解：（1）∵2193a a a ⋅=，∴1a d =，∵31336S a d =+=，∴11a d ==，所以数列{}n a 是以1为首项和公差的等差数列， 综上n a n =，*n ∈N ． （2）由（1）可知24()4111(1)(1)2121nnn b n n n n =-=-+-+-， 所以111111111111335572321212121n P n n n n n =--++--+--++=-+---++L ， 所以24112019|1|412020n P n n +=<⇒>+，故n 的最小值为505． 18．（12分）在如图的空间几何体中，四边形BCED 为直角梯形，90DBC ∠=︒，2BC DE =，2AB AC ==，3CE AE ==，且平面BCED ⊥平面ABC ，F 为棱AB 中点．（1）证明：DF AC ⊥；（2）求二面角B AD E --的正弦值．。
2023年高考-数学（理科）考试备考题库附带答案第1卷一.全考点押密题库(共50题)1.(单项选择题)(每题 5.00 分) 已知等比数列 an } 满足 a1 = 3 ，a1 + a3 + a5 = 21，则 a3 + a5 + a7 ={A. 21B. 42C. 63D. 84正确答案：B,2.(单项选择题)(每题 5.00 分) 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种正确答案：D,3.(单项选择题)(每题 5.00 分) 如计算S=1-1/2+1/3-1/4+....+1/99-1/100，，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A. i=i+1B. i=i+2C. i=i+3D. i=i+4正确答案：B,4.(单项选择题)(每题5.00 分) 已知等差数列 a n } 前 9 项的和为27，a 10 = 8 ，则 a100 = {A. 100B. 99C. 98D. 97正确答案：C,5.(单项选择题)(每题 5.00 分) 设集合S=｛x|(x-2)(x-3)≥0｝,T=｛x|x＞0｝,则S∩T=A. ［2,3］B. (-∞,2］∪［3,﹢∞］C. ［3,﹢∞)D. (0,2］∪［3,﹢∞)正确答案：D,6.(单项选择题)(每题 5.00 分) 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独立。
设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX = 2.4 ，P ( X = 4 )正确答案：B,7.(填空题)(每题 5.00 分) （）已知f(x)为偶函数，当x正确答案：y = - 2x - 1，8.(填空题)(每题 5.00 分) 已知点 M ( 1 ，1 ) 和拋物线 C：y2 = 4x ，过 C 的焦点且斜率为k 的直线与C交于A ，B 两点。
若∠AMB= 90°，则 k = ____ .正确答案：2 ，9.(填空题)(每题 5.00 分) 已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为7/8,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5√15，则该圆锥的侧面积为.正确答案：40√2π，10.(填空题)(每题 5.00 分) 设 Sn 是数列 { a n }的前 n 项和，且 a1 = -1 ， a n+1 = Sn S n+1 ，则 Sn = _______ .正确答案：- 1/n，11.(填空题)(每题 5.00 分) 已知向量 a = ( 1，2 ) ，b = ( 2 ，-2 ) ，c = ( 1 ，λ ) . 若 c // ( 2a + b ) ，则λ =_______ 。
ABCD EF男女6432性别人数科别甲科室乙科室高考数学理科前三道大题冲刺训练【1】1．某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：（1）填充上表；（2）若以上表频率作为概率，且每天①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求ξ的分布列.2．（本小题满分14分）如图，多面体ABCD EF -中，ABCD 是梯形，CD AB //，ACFE 是矩形，平面⊥ACFE 平面ABCD ，a AE CB DC AD ====，2π=∠ACB ． （1）若M 是棱EF 上一点，//AM 平面BDF ，求EM ； （2）求二面角D EF B --的平面角的余弦值． 3．（本小题满分12分）己知点(1,0),(0,1),(2sin cos )A B C θθ，. （1）若(2)1OA OB OC +=，其中O 为坐标原点，求sin 2θ的值；（2）若AC BC =，且θ在第三象限．求sin()3πθ+值. 4．（本小题满分13分）一个社会调查机构就某社区居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）.（1）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，求月收入在[1500,2000)（元）段应抽出的人数；（2）为了估计该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000,3000)（元）的概率，采用随机模拟的方法：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3，…表示收入在[2000,3000)（元）的居民，剩余的数字表示月收入不在[2000,3000)（元）的居民；再以每三个随机数为一组，代表统计的结果，经随机模拟产生了20组随机数如下： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，计算该社区3个居民中恰好有2个月收入在[2000,3000)（元）的概率.(3)任意抽取该社区6个居民，用ξ表示月收入在（2000,3000）（元）的人数，求ξ的数学期望。
1第I 卷 选择题部分（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|22}A x x =∈-<<N ，{1,1,2,3}B =-，则A B =I （ ） A ．{}1 B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3【答案】A 【解析】{}{|22}0,1A x x =∈-<<=Q N ，因此，{}1A B ⋂=.故选：A.2．设z =i(2+i)，则z = A ．1+2i B ．–1+2i C ．1–2i D ．–1–2i【答案】D 【解析】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，所以12z i =--，选D ．3．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为A 6πB ．2πC ．6πD ．24π【答案】C1【解析】如图所示，该几何体为四棱锥P ﹣ABCD ．底面ABCD 为矩形， 其中PD ⊥底面ABCD ． AB ＝1，AD ＝2，PD ＝1．则该阳马的外接球的直径为PB 1146=++=．∴该阳马的外接球的表面积：264()6ππ⨯=． 故选C ．4．若3sin()25πα-=，则cos2α=（ ） A ．725 B ．2425C ．725-D ．2425-【答案】C 【解析】 由条件得3sin cos 25παα⎛⎫-==⎪⎝⎭，∴2237cos22cos 121525αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭．故选C ．5．二项式812x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项等于（ ）A ．448B ．900C ．1120D ．1792【答案】C 【解析】该二项展开式通项为()888288122rrrr r rC C x x x ---⎛⎫= ⎪⎝⎭， 令820r -=，则4r =，常数项等于44821120C =.故选：C.6．已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ） A ．2 BC．D ．4【答案】A 【解析】圆22:20C x y y ++=即22(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 【命题意图】本题考查集合的运算、曲线的方程等基础知识，意在考查基本运算能力． 【答案】C【解析】根据题意有[0,)M =+∞，[N =，所以[0,MN =，故选C ．2. 【命题意图】本题考查复数的几何意义等基础知识，意在考查对概念理解． 【答案】D ．【解析】复数1z 在复平面内关于直线y x =对称的点表示的复数223z i =+，故选D ． 3．【命题意图】本题考查等差数列、等比数列定义等基础知识，意在考查基本运算能力． 【答案】D【解析】由题意2111(4)(6)a a a +=+，解得18a =-，所以68252a =-+⨯=，故选D ． 4． 【命题意图】本题考查平面向量数量积、向量夹角等基础知识，意在考查基本运算能力． 【答案】D【解析】因为22()||||cos ,||a b a a b a a b a b a ⋅+=⋅+=<>+，所以2c o s ,12a b <>+=，解得1c o s ,2a b <>=，所以,3a b π<>=，故选D ． 5． 【命题意图】本题考查程序框图等基础知识，意在考查推理以及运算能力． 【答案】B6． 【命题意图】本题考查三视图、几何体表面积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 【答案】A【解析】由三视图知该几何体是一个棱长为2的正方体中的一个三棱椎P ABC -，如图所示，PAC S ∆＝12222⨯⨯=，12222ABC S ∆=⨯⨯=．又AB =所以122ABP S ∆=⨯=在PBC ∆中，BC =，PC =3PB =，则由余弦定理，得222cos10BCP ∠==，所以sin BCP ∠＝，所以132BCP S ∆=⨯=，所以该三棱锥的表面积为223+＝7A ．7． 【命题意图】本题考查圆和圆位置关系和基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的数学思想和基本运算能力． 【答案】A【解析】由题意得两圆相外切：22222240()4x y ax a x a y +++-=⇒++=，222224140(2)1x y by b x y b +--+=⇒+-=，2224(21)9a b +=+=，因此222222222211114141()(5)(5)1999a b b a a b a b a b ++=+=++≥+=，当且仅当22=2a b 时取等号，所以2211a b +的最小值为1，选A. 8.【命题意图】本题考查线性规划等基础知识，意在考查数形结合思想的运算． 【答案】D ．9. 【命题意图】本题考查函数的图像、导数的应用等基础知识，意在考查转化与化归的数学思想和逻辑思维能力．【答案】D【解析】根据图象可知，函数图象过原点，即()00f =，所以0m ≠．当0x >时，()0f x >，所以20m ->，即2m <；函数()f x 在[]1,1-是单调递增的，所以()0f x '>在[]1,1-恒成立，()()()()()()()2222222222()0m x m x m x m x m f x x m x m -+----'==>++，20m -<，∴只需要20x m -<在[]1,1-上恒成立，∴()2max 0x m -<，∴1m >，综上所述：12m <<，故选D ．10. 【命题意图】本题考查椭圆的标准方程、直线和椭圆位置关系、中点问题等基础知识，意在考查运算求解能力． 【答案】D 【解析】11．【命题意图】本题考查面面垂直的性质、锥体体积公式以及四面体的外接球等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 【答案】D【解析】取PC 中点O ，连接,AO BO ，设球半径为R，则2,,PC R PB R BC ===．又AO R =，且由已知条件知AO ⊥平面PBC ，所以由体积可得1132P ABC V R R -=⨯⨯⨯=，解得2R =，所以三棱锥P ABC -外接球的体积为343233R ππ=，故选D ． 12. 【命题意图】本题考查函数、方程、不等式等基础知识，意在考查综合分析问题解决问题的能力． 【答案】A ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【命题意图】本题考查定积分的几何意义等基础知识，意在考查数形结合的思想和基本运算能力． 【答案】16【解析】先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0，直线y=x 与曲线y=x 2所围图形的面积120()S x x dx =-⎰，而12230111111()()023236x x dx x x -=-=-=⎰，∴曲边梯形的面积是16．14．【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力． 【答案】35【解析】由题意，知2128n=，解得7n =，所以21()n x x -展开式的通项公式为27171()()r r r T C x r x-+=-＝14317(1)r r r r T C x -+=-，令1432r -=，解得4r =，所以展开式中2x 的系数为447(1)35C -=．15．【命题意图】本题考查基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的数学思想和基本运算能力． 【答案】4【解析】因为222222222243624244(4)22x y x xy y x x y y x y x y +=++=++≤++=+，即2244x y +≥，当且仅当2x y =时等号成立，所以224z x y =+的最小值为4．16．【命题意图】本题考查几何概型、平面向量的模等基础知识，意在考查基本运算能力和转化与化归的数学思想．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 【命题意图】本题考查三角函数图像和性质、数列求和等基础知识，意在考查基本运算能力．【解析】（Ⅰ）由题可得72,2()122122k k k Z ωππωππϕπϕπ+=-+=+∈，解得2ω=，22()3k k Z πϕπ=-∈，∵||ϕπ<，∴23πϕ=-．……6分 （Ⅱ）∵*222sin()()33n n a n n N ππ=-∈，数列*22{2sin()}()33n n N ππ-∈的周期为3．前三项依次为∴32313(32)0(31)3(n n n a a a n n n --++=-⨯+-⨯=*()n N ∈，∴30123282930()()S a a a a a a =+++⋅⋅⋅+++=-12分18. 【命题意图】本题考查古典概型、独立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，意在考查统计的基本思想和基本运算能力．（II ）X 的所有可能取值为0,1,2……7分121(0)4510P X ==⨯=，12129(1)(1)(1)454520P X ==-⨯+⨯-=，129(2)(1)(1)4520P X ==-⨯-=，则X 的分布列为：∴X 的数学期望1992701210202020EX =⨯+⨯+⨯=．……12分 19.【命题意图】本题考查直线和平面平行的判定定理、二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．【解析】（I ）如图，过点E 作EH BC ⊥于H ，连接HD ． ∴EH =EHDF 为平行四边形． ∴//EF 平面ABCD ．……5分（II ）连接HA ．由（1），得H 为BC 中点，又060CBA ∠=，ABC ∆为等边三角形， ∴HA BC ⊥．分别以,,HB HA HE 为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -．则(1,0,0),(B F E A -，……7分(3,3,3),(1,3,0),(1BF BA BE =-=-=-．设平面EBF 的法向量为1111(,,)n x y z =．由1100n BF n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11111300x x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令11z =，得12,1)n =． 设平面ABF 的法向量为2222(,,)n x y z =．由2200n BF n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222300x x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令21y =，得2,2)n =．∴1212123227cos ,3148n n n n n n ⋅++>===⋅++．故二面角A FB E --的余弦值是78-．……12分20.【命题意图】本题考查椭圆方程和抛物线的方程、抛物线定义、直线和椭圆、圆的位置关系，平面向量坐标运算等基础知识，意在考查数形结合思想、转化思想、综合分析问题和解决问题的能力．（II ）设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则由OA OB OP λ+=知，120x x x λ+=，120y y y λ+=，且2200134x y +=① 又直线:(),0l y k x t kt =+≠与圆22(1)1x y ++=1=， 由0k ≠，可得22(1,0)1tk t t t =≠±≠- ② 又联立22()4312y k x t x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得22222(43)63120k x k tx k t +++-= 且0∆>恒成立，且2122643k t x x k +=-+，2212231243k t x x k-=-+，所以121228()243kty y k x x kt k +=++=+，所以得22268(,)(43)(43)k t kt P k k λλ-++， 代入①式得422222222212161(43)(43)k t k t k k λλ+=++，所以2222443k t k λ=+， 又将②式代入得，22224()1t tλ=++，0,1t t ≠≠±，易知22211()11t t ++>，且22211()13t t ++≠，所以244(0,)(,4)33λ∈，所以λ的取值范围为{|220λλλλ-<<≠≠且，且．……12分 21. 【命题意图】本题考查导数的几何意义和导数的应用等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力，逻辑思维能力．（2）由1)1(=f 得e b a =++12，a e b 21--=，由1)(=x f 得122++=bx ax e x ，设12)(2---=bx ax e x g x ，则)(x g 在)1,0(内有零点.设0x 为)(x g 在)1,0(内的一个零点，则由0)1(,0)0(==g g 知)(x g 在区间),0(0x 和)1,(0x 上不可能单调递增，也不可能单调递减，设)()(x g x h '=，则)(x h 在区间),0(0x 和)1,(0x 上均存在零点，即)(x h 在)1,0(上至少有两个零点. b ax e x g x --='4)(，a e x h x 4)(-='.当41≤a 时，0)(>'x h ，)(x h 在区间)1,0(上递增，)(x h 不可能有两个及以上零点；.7分 当4ea ≥时，0)(<'x h ，)(x h 在区间)1,0(上递减，)(x h 不可能有两个及以上零点；.9分当441ea <<时，令0)(='x h 得)1,0()4ln(∈=a x ，所以)(x h 在区间))4ln(,0(a 上递减，在)1),4(ln(a 上递增，)(x h 在区间)1,0(上存在最小值))4(ln(a h .若)(x h 有两个零点，则有：0))4(ln(<a h ，0)0(>h ，0)1(>h .)441(1)4ln(46)4ln(44))4(ln(ea e a a ab a a a a h <<-+-=--=设)1(,1ln 23)(e x e x x x x <<-+-=ϕ，则x x ln 21)(-='ϕ，令0)(='x ϕ，得e x =.当e x <<1时，0)(>'x ϕ，)(x ϕ递增，当e x e <<时，0)(<'x ϕ，)(x ϕ递减，01)()(max <-+==e e e x ϕϕ，所以0))4(ln(<a h 恒成立.由0221)0(>+-=-=e a b h ，04)1(>--=b a e h ，得2122<<-a e . 当2122<<-a e 时，设)(x h 的两个零点为21,x x ，则)(x g 在),0(1x 递增，在),(21x x 递减，在)1,(2x 递增，所以0)0()(1=>g x g ，0)1()(2=<g x g ，则)(x g 在),(21x x 内有零点. 综上，实数a 的取值范围是)21,22(-e . ^12分 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22.【命题意图】本题考查相交弦定理和切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．23. 【命题意图】本题考查普通方程、参数方程和极坐标方程的转化、三角函数的最值等基础知识，意在考查数形结合思想的运用和运算求解的能力．【解析】（Ⅰ）直线l 的极坐标方程分别是8sin =θρ． 圆C 的普通方程分别是22(2)4x y -+=，所以圆C 的极坐标方程分别是4cos P θ=． ……5分（Ⅱ）()()()24cos 4cos 2sin ()1122088sin s n 6)2(i OP OQ OM ON πααααππαα-+=⋅=∈+⋅，．∴OP OQOM ON的最大值为116．……10分24. 【命题意图】本题考查零点分段法、柯西不等式等基础知识，意在考查转化与化归、基本运算能力．。
最新高考数学冲刺试卷（理科）（2）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z=||﹣i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．4﹣i D．4+i2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}则A∩B=（）A．（2，3）B．（2，3] C．（﹣3，﹣2）D．[﹣3，﹣2）3．下列各点中，位于不等式（x+2y+1）（x﹣y+4）＜0表示的平面区域内的是（）A．（0，0）B．（﹣2，0）C．（﹣1，0）D．（2，3）4．已知语句p：函数y=f（x）的导函数是常数函数；语句q：函数y=f（x）是一次函数，则语句p是语句q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．设某几何体的三视图如图所示（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为（）A．12m3B． C．4m3D．8m36．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S为（）A．2 B． C．﹣3 D．7．已知θ是△ABC的一个内角，且sinθ+cosθ=，则方程x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在y轴上的椭圆8．已知等差数列{a n}中，|a3|=|a9|，公差d＜0；S n是数列{a n}的前n项和，则（）A．S5＞S6B．S5＜S6C．S6=0 D．S5=S69．若函数f（x）=log a（x2﹣ax+）有最小值，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，1）∪（1，）C．（1，）D．[，+∞）10．直角坐标系xOy中，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若=2+，=3+k，则k的可能值个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．用1，2，3这三个数字组成四位数，规定这三个数字必须都使用，但相同的数字不能相邻，以这样的方式组成的四位数共有（）A．9个B．18个 C．12个 D．36个12．在△ABC中，若∠C=60°，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知0＜A＜π，且满足，则= ．14．已知球O的半径为1，A，B，C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心O到平面ABC的距离为15．若P（2，﹣1）为圆x2+y2﹣2x﹣24=0的弦AB的中点，则直线AB的方程．16．在（x+1）9的二项展开式中任取2项，p i表示取出的2项中有i项系数为奇数的概率．若用随机变量ξ表示取出的2项中系数为奇数的项数i，则随机变量ξ的数学期望Eξ= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．数列{a n}中，a1=4，前n项和S n满足：S n=a n+1+n．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）令b n=，数列{b n2}的前n项和为T n．求证：∀n∈N*，T n＜．18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a．（1）求a的值；（2）求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小．19．东莞市政府要用三辆汽车从新市政府把工作人员接到老市政府，已知从新市政府到老市政府有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；汽车走公路②堵车的概率为p，不堵车的概率为1﹣p．若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．（1）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；（2）在（1）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数ξ的分布列和数学期望．20．如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且=1，|OF|=1．（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，是否存在直线l，使点F恰为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．设f（x）=ln（x+1）++ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y=x在（0，0）点相切．（I）求a，b的值；（II）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC．（1）求证：FB=FC；（2）求证：FB2=FA•FD；[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（，）．圆C的参数方程为，（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）试求f（x）的值域；（Ⅱ）设若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（﹣∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，试求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z=||﹣i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．4﹣i D．4+i【考点】复数求模．【分析】化简复数z，写出z的共轭复数即可．【解答】解：复数z=||﹣i=﹣i=2﹣i，∴复数z的共轭复数为=2+i．故选：D．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}则A∩B=（）A．（2，3）B．（2，3] C．（﹣3，﹣2）D．[﹣3，﹣2）【考点】交集及其运算．【分析】求出A，B中x的范围确定出A，B，再求出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤3，即A=[﹣1，3]，由log2（x2﹣x）＞1，得到x2﹣x﹣2＞0，即x＜﹣1或x＞2，∴B=（﹣∞，﹣1）∩（2，+∞），由B中则A∩B=（2，3]，故选：B．3．下列各点中，位于不等式（x+2y+1）（x﹣y+4）＜0表示的平面区域内的是（）A．（0，0）B．（﹣2，0）C．（﹣1，0）D．（2，3）【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】分别将点的坐标代入不等式，满足不等式即可．【解答】解：A．当x=0，y=0时，1×4＜0不成立，B．当x=﹣2，y=0时，（﹣2+1）（﹣2+4）=﹣2＜0成立C．当x=﹣1，y=0时，（﹣1+1）（﹣1+4）=0＜0不成立D．当x=2，y=3时，（2+6+1）（2﹣3+4）=9×3=27＜0不成立，故选：B4．已知语句p：函数y=f（x）的导函数是常数函数；语句q：函数y=f（x）是一次函数，则语句p是语句q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由一次函数的定义域为R可知函数y=f（x）的导函数是常数函数，函数y=f（x）不一定是一次函数．【解答】解：“函数y=f（x）是一次函数”⇒“函数y=f（x）的导函数是常数函数”，反之取f（x）=2x，（x＞0），f′（x）=2为常数函数，但是f（x）不是一次函数．5．设某几何体的三视图如图所示（尺寸的长度单位为m），则该几何体的体积为（）A．12m3B． C．4m3D．8m3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，根据底面积乘高再乘，即可得到该几何体的体积．【解答】解：根据三视图得三棱锥，底面为等腰三角形，高为：2．底面积为：（3+1）×3=6，∴体积：6×2=4故选：C6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S为（）A．2 B． C．﹣3 D．【考点】循环结构．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是根据条件循环计算并输出S的值．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S i循环前/2 1第一圈是﹣3 2第二圈是﹣ 3第三圈是 4第四圈是 2 5第五圈是﹣3 6…依此类推，S的值呈周期性变化：2，﹣3，﹣，，2，﹣3，…第2010圈是﹣2011第2011圈否故最终的输出结果为：﹣，故答案为：﹣．7．已知θ是△ABC的一个内角，且sinθ+cosθ=，则方程x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在y轴上的椭圆【考点】曲线与方程．【分析】首先利用三角关系的恒等式求出sinθ＞﹣cosθ＞0，进一步确定圆锥曲线的方程．【解答】解：∵sinθ+cosθ=，∴sinθcosθ=﹣，∵θ为三角形的一个内角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，∴sinθ＞﹣cosθ＞0，∴＞＞0，∴方程x2sinθ﹣y2cosθ=1是焦点在y轴上的椭圆．故选：D．8．已知等差数列{a n}中，|a3|=|a9|，公差d＜0；S n是数列{a n}的前n项和，则（）A．S5＞S6B．S5＜S6C．S6=0 D．S5=S6【考点】等差数列的性质．【分析】先根据d＜0，|a3|=|a9|确定a3＞0，a9＜0，且a3+a9=0，进而根据等差中项性质可知a6=0，进而可推断a5＞0，a7＜0；最后根据S6=S5+a6进而推断出S6=S5【解答】解：∵d＜0，|a3|=|a9|，∴a3＞0，a9＜0，且a3+a9=0，∴a6=0，a5＞0，a7＜0；∴S5=S6．故选D9．若函数f（x）=log a（x2﹣ax+）有最小值，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，1）∪（1，）C．（1，）D．[，+∞）【考点】复合函数的单调性．【分析】令u=x2﹣ax+=+﹣，则u有最小值，欲满足题意，须log a u递增，且u的最小值﹣＞0，由此可求a的范围．【解答】解：令u=x2﹣ax+=+﹣，则u有最小值﹣，欲使函数f（x）=log a（x2﹣ax+）有最小值，则须有，解得1＜a＜．即a的取值范围为（1，）．故选C．10．直角坐标系xOy中，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若=2+，=3+k，则k的可能值个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量的坐标运算．【分析】由向量的运算可得，分三种情况∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°利用向量的数量积等于零，建立关系式，再解方程求得所有可能k的值．【解答】解：∵若=2+，=3+k，∴==+（k﹣1），∵△ABC为直角三角形，（1）当∠A=90°时，=6+k=0，解得k=﹣6；（2）当∠B=90°时，=2+k﹣1=0，解得k=﹣1；（3）当∠C=90°时，=3+k（k﹣1）=0，方程无实解；综上所述，k=﹣6或﹣1故选B11．用1，2，3这三个数字组成四位数，规定这三个数字必须都使用，但相同的数字不能相邻，以这样的方式组成的四位数共有（）A．9个B．18个 C．12个 D．36个【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】若有两个1，则他们在13，14或24位，其他两位是2和3，可以颠倒，所以有两个1时有3×2=6个，由理两个2或两个3式也是6个，由此能得到结果．【解答】解：若有两个1，则他们在13，14或24位，其他两位是2和3，可以颠倒，则1在13位有两个，14和24为也是两个，所以有两个1时有3×2=6个，则两个2或两个3式也是6个，所以一共6×3=18个．故选B．12．在△ABC中，若∠C=60°，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】余弦定理的应用．【分析】先将所要求的式子通分，然后根据余弦定理找到a，b，c的关系式a2+b2=ab+c2，代入即可得到答案．【解答】解：==（*），∵∠C=60°，∴a2+b2﹣c2=2abcosC=ab，∴a2+b2=ab+c2，代入（*）式得=1故选A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知0＜A＜π，且满足，则= ．【考点】同角三角函数间的基本关系．【分析】先对所给的式子两边平方后求出，2sinAcosA的值再判断出A的具体范围，进而判断出sinA﹣cosA的符号，再由sinA±cosA与2sinAcosA的关系求出sinA﹣cosA的值，再求出A的正弦值和余弦值，代入所求的式子进行求解．【解答】解：将两边平方得，2sinAcosA=＜0，∵0＜A＜π，∴，∴sinA﹣cosA＞0∴sinA﹣cosA==，再由，解得，sinA=，cosA=，∴==．故答案为：．14．已知球O的半径为1，A，B，C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心O到平面ABC的距离为【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】根据题意可知：球心O与A，B，C三点构成正三棱锥O﹣ABC，且OA=OB=OC=R=1，∠AOB=∠BOC=∠AOC=90°，故AO⊥面BOC．所以此题可以根据体积法求得球心O到平面ABC 的距离．【解答】解：球心O与A，B，C三点构成正三棱锥O﹣ABC，如图所示，已知OA=OB=OC=R=1，∠AOB=∠BOC=∠AOC=90°，由此可得AO⊥面BOC．∵，．∴由V A﹣BOC=V O﹣ABC，得．故答案为：15．若P（2，﹣1）为圆x2+y2﹣2x﹣24=0的弦AB的中点，则直线AB的方程．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】求出圆的圆心和半径，由弦的性质可得CP⊥AB，求出CP的斜率，可得AB的斜率，由点斜式求得直线AB的方程．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣24=0即（x﹣1）2+y2=25，表示以C（1，0）为圆心，以5为半径的圆．由于P（2，﹣1）为圆x2+y2﹣2x﹣24=0的弦AB的中点，故有CP⊥AB，CP的斜率为=﹣1，故AB的斜率为1，由点斜式求得直线AB的方程为y+1=x﹣2，即x﹣y﹣3=0，故答案为x﹣y﹣3=0．16．在（x+1）9的二项展开式中任取2项，p i表示取出的2项中有i项系数为奇数的概率．若用随机变量ξ表示取出的2项中系数为奇数的项数i，则随机变量ξ的数学期望Eξ= ．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】写出二项展开式的系数，共有十项，写出组合数对应的数字，后面的问题转化为离散型随机变量的概率和期望问题，在求三个变量的概率时，应用古典概型的公式．【解答】解：（x+1）9的二项展开式的系数分别是C90，C91，C92，C93，C94，C95，C96，C97，C98，C99，变化为数字分别是1，9，36，84，126，126，84，36，9，1P0==P1==，P2==∴Eξ=×1+×2=故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．数列{a n}中，a1=4，前n项和S n满足：S n=a n+1+n．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）令b n=，数列{b n2}的前n项和为T n．求证：∀n∈N*，T n＜．【考点】数列的求和；数列与不等式的综合．【分析】（Ⅰ）根据S n=a n+1+n，利用a n=S n﹣S n﹣1，能求出数列{a n}的通项a n．（Ⅱ）由已知条件推导出b1=，b n=，（n≥2），从而得到当k≥2时，＜，由此能够证明对于任意的n∈N*，都有T n．【解答】（Ⅰ）解：数列{a n}中，∵a1=4，前n项和S n满足：S n=a n+1+n，∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n+1+n﹣a n﹣（n﹣1），∴a n+1=2a n﹣1，a n+1﹣1=2（a n﹣1），（n≥2），又∵a1=S1=a2+1，a1=4，解得a2=3，∴a n﹣1=（a2﹣1）•2n﹣2=2n﹣1，∴a n=2n﹣1+1，n≥2，综上，数列{a n}的通项a n=．（Ⅱ）证明：∵a n=，b n=，∴=，b n==，n≥2，则当k≥2时，有=，∴当n≥2时，+[（1﹣）+（）+…+（﹣）]=．又n=1时，=，∴对于任意的n∈N*，都有T n．18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a．（1）求a的值；（2）求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小．【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】（1）将B1C1平移到BC，∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，在三角形A1BA 内建立等式，解之即可；（2）取A1B的中点E，连接B1E，过E作EF⊥BC1于F，连接B1F，B1E⊥A1B，A1C1⊥B1E，得到∠B1FE就是平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的平面角，在△B1EF中解出此角即可．【解答】解：（1）∵BC∥B1C1，∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，即∠A1BC=60°，连接A1C，又AB=AC，则A1B=A1C∴△A1BC为等边三角形，由AB=AC=1，∠BAC=90°，∴；（2）取A1B的中点E，连接B1E，过E作EF⊥BC1于F，连接B1F，B1E⊥A1B，A1C1⊥B1E⇒B1E⊥平面A1BC1⇒B1E⊥BC1又EF⊥BC1，所以BC1⊥平面B1EF，即B1F⊥BC1，所以∠B1FE就是平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的平面角．在△B1EF中，∠B1EF=90°，，，∴⇒∠B1FE=60°，因此平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小为60°．19．东莞市政府要用三辆汽车从新市政府把工作人员接到老市政府，已知从新市政府到老市政府有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；汽车走公路②堵车的概率为p，不堵车的概率为1﹣p．若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．（1）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；（2）在（1）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）三辆车是否堵车相互之间没有影响三辆汽车中恰有一辆汽车被堵，是一个独立重复试验，走公路②堵车的概率为p，不堵车的概率为1﹣p，根据独立重复试验的概率公式写出关于P的方程，解出P的值，得到结果（2）三辆汽车中被堵车辆的个数ξ，由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3，结合变量对应的事件和相互独立事件同时发生的概率写出变量的分布列，做出期望．【解答】解：（1）三辆车是否堵车相互之间没有影响三辆汽车中恰有一辆汽车被堵，是一个独立重复试验，走公路②堵车的概率为p，不堵车的概率为1﹣p，得即3p=1，则即p的值为．（2）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3∴ξ的分布列为：∴Eξ=20．如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且=1，|OF|=1．（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，是否存在直线l，使点F恰为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆的标准方程为，则c=1．由，即（a+c）•（a﹣c）=1=a2﹣c2，可得a2，b2=a2﹣c2，即可得出．（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），k PQ=1．可设直线l的方程为y=x+m．与椭圆方程联立得3x2+4mx+2m2﹣2=0．又F为△PQM的垂心，可得MP⊥FQ．∴=0，利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为，则c=1．又∵，即（a+c）•（a﹣c）=1=a2﹣c2，∴a2=2，b2=1．故椭圆的标准方程为．（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵M（0，1），F（1，0），∴k PQ=1．∴设直线l的方程为y=x+m．由，得3x2+4mx+2m2﹣2=0．又F为△PQM的垂心，∴MP⊥FQ．∴．又y i=x i+m（i=1，2），∴x1（x2﹣1）+（x2+m）（x1+m﹣1）=0，即．由根与系数的关系，得．解得或m=1（舍去），经检验符合条件．故存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，且直线l的方程为．21．设f（x）=ln（x+1）++ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y=x在（0，0）点相切．（I）求a，b的值；（II）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（I）由y=f（x）过（0，0），可求b的值，根据曲线y=f（x）与直线在（0，0）点相切，利用导函数，可求a的值；（II）由（I）知f（x）=ln（x+1）+，由均值不等式，可得，构造函数k（x）=ln（x+1）﹣x，可得ln（x+1）＜x，从而当x＞0时，f（x）＜，记h（x）=（x+6）f（x）﹣9x，可证h（x）在（0，2）内单调递减，从而h（x）＜0，故问题得证．【解答】（I）解：由y=f（x）过（0，0），∴f（0）=0，∴b=﹣1∵曲线y=f（x）与直线在（0，0）点相切．∴y′|x=0=∴a=0；（II）证明：由（I）知f（x）=ln（x+1）+由均值不等式，当x＞0时，，∴①令k（x）=ln（x+1）﹣x，则k（0）=0，k′（x）=，∴k（x）＜0∴ln（x+1）＜x，②由①②得，当x＞0时，f（x）＜记h（x）=（x+6）f（x）﹣9x，则当0＜x＜2时，h′（x）=f（x）+（x+6）f′（x）﹣9＜＜=∴h（x）在（0，2）内单调递减，又h（0）=0，∴h（x）＜0∴当0＜x＜2时，f（x）＜．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC．（1）求证：FB=FC；（2）求证：FB2=FA•FD；【考点】圆內接多边形的性质与判定；相似三角形的性质．【分析】（I）根据角平分线得到两个角相等，根据圆内接四边形得到四边形的一个外角等于不相邻的一个内角，得到两个角相等，根据同弧所对的圆周角相等和对顶角相等，根据等量代换得到∠FBC=∠FCB，三角形是一个等腰三角形，得到两边相等．（II）根据两个三角形对应角相等，得到两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例，得到比例式，不比例式化成乘积式，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠DAC．∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC=∠FBC．∵∠EAD=∠FAB=∠FCB，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC．（Ⅱ）∵∠FAB=∠FCB=∠FBC，∠AFB=∠BFD，∴△FBA∽△FDB．∴，∴FB2=FA•FD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系中，坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（，）．圆C的参数方程为，（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，判断圆心与直线的距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C 的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）M，N的极坐标分别为（2，0），（，），所以M、N的直角坐标分别为：M（2，0），N（0，），P为线段MN的中点（1，），直线OP的平面直角坐标方程y=x；（Ⅱ）圆C的参数方程（θ为参数）．它的直角坐标方程为：（x﹣2）2+（y+3）2=4，圆的圆心坐标为（2，﹣3），半径为2，直线l上两点M，N的直角坐标分别为M（2，0），N（0，），方程为x+y﹣2=0，圆心到直线的距离为：=＞2，所以，直线l与圆C相离．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．（Ⅰ）试求f（x）的值域；（Ⅱ）设若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（﹣∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，试求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的值域．【分析】（1）将含有绝对值的函数转化为分段函数，再求分段函数的值域；（2）恒成立问题转化成最小值最大值问题，即g（x）min≥f（x）max．【解答】解：（Ⅰ）函数可化为，∴f（x）∈[﹣3，3]（Ⅱ）若x＞0，则，即当ax2=3时，，又由（Ⅰ）知∴f（x）max=3若对∀s∈（0，+∞），∀t∈（﹣∞，+∞），恒有g（s）≥f（t）成立，即g（x）min≥f（x）max，∴，∴a≥3，即a的取值范围是[3，+∞）．2016年10月13日。
黄金冲刺大题01 解三角形（精选30题）1．（2024·江苏·一模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos 1c B a+=.(1)证明：2B A =；(2)若sin A b ==，求ABC 的周长.2．（2024·湖南常德·三模）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A B A B C ++=．(1)求角C ；(2)若a ，b ，c 成等差数列，且ABC ABC 的周长．3．（2024·江苏·一模）在ABC 中，()sin sin B A A C -=．(1)求B 的大小；(2)延长BC 至点M ，使得2BC CM = ．若π4CAM ∠=，求BAC ∠的大小．4．（2024·浙江温州·二模）记ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin c B =．(1)求C ；(2)若tan tan tan A B C =+，2a =，求ABC 的面积．5．（2024·浙江嘉兴·二模）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2cos 3cos23A A -=.(1)求cos A 的值；(2)若ABC 为锐角三角形，23b c =，求sin C 的值.6．（2023·福建福州·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2sin sin ,3a C c B C π==．(1)求B ；(2)若ABC BC 边上中线的长．7．（2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC 中，2,3BAC BAC π∠=∠的角平分线交 BC 于P 点，2AP =.(1)若8BC =，求△ABC 的面积;(2)若4CP =，求BP 的长.8．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，4AB AD ==，6BC =．(1)若2π3A =，π3C =，求sin BDC ∠的值；(2)若2CD =，cos 3cos A C =，求四边形ABCD 的面积．9．（2024·浙江·一模）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2222sin sin c Cb c a B=+-．(1)求角A ；(2)设边BC 的中点为D ，若a =ABC AD 的长．10．（2024·湖北·一模）在ABC 中，已知π4AB AC C ===．(1)求B 的大小；(2)若BC AC >，求函数()()()sin 2sin 2f x x B x A C =--++在[]π,π-上的单调递增区间．11．（2024·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，ABC 的面积为S ，三个内角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin SC c b =-.(1)证明：ABC 是倍角三角形；(2)若9c =，当S 取最大值时，求tan B .12．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，π2DAB ∠=，π6B =，且ABC 的外接圆半径为4.(1)若BC =AD =ACD 的面积；(2)若2π3D =，求BC AD -的最大值.13．（2024·山东济南·二模）如图，在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，AB BC ==ABC θ∠=，120180θ︒≤<︒.(1)若120θ=°，3AD =，求ADC ∠的大小；(2)若CD =，求四边形ABCD 面积的最大值.14．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知锐角ABC 的三内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且222(cos cos )b c b C c B bc +-⋅+⋅=，(1)求角A 的大小；(2)bc 的取值范围．15．（2024·湖南邵阳·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC 的周长为sin sin sin sin a BA B C+-．(1)求C ；(2)若2a =，4b =，D 为边AB 上一点，π6BCD ∠=，求BCD △的面积．16．（2024·广东梅州·二模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，cos sin B b A -=，2c =，(1)求A 的大小：(2)点D 在BC 上，（Ⅰ）当AD AB ⊥，且1AD =时，求AC 的长；（Ⅱ）当2BD DC =，且1AD =时，求ABC 的面积ABC S ．17．（2024·广东广州·一模）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .已知222)S a c b =+-.(1)求B ；(2)若点D 在边AC 上，且π2ABD ∠=，22AD DC ==，求ABC 的周长.18．（2024·广东佛山·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中1a =，21cos 2c A b-=．(1)求角B 的大小；(2)如图，D 为ABC 外一点，AB BD =，ABC ABD ∠=∠，求sin sin CABCDB∠∠的最大值．19．（2024·河北石家庄·二模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量(2sin )m A A A =，π2π(cos ,cos sin ),(),,63n A A A f A m n A ⎡⎤=-=⋅∈⎢⎥⎣⎦.(1)求函数()f A 的最大值;(2)若()0,sin f A a B C ==+=ABC 的面积.20．（2024·广东·一模）设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos cos b c A a B C -=．(1)求cos B ；(2)若点D 在AC 上（与,A C 不重合），且π,24C ADB CBD =∠=∠，求CDAD 的值．21．（2024·辽宁·二模）在ABC 中，D 为BC 边上一点，1DC CA ==，且ACD 面积是ABD △面积的2倍．(1)若AB =，求AB 的长；(2)求sin sin ADBB∠的取值范围．22．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知π,4cos 24B bC a ==+.(1)求tan C ；(2)若ABC 的面积为32，求BC 边上的中线长.23．（2024·重庆·模拟预测）如图，某班级学生用皮尺和测角仪（测角仪的高度为1.7m ）测量重庆瞰胜楼的高度，测角仪底部A 和瞰胜楼楼底O 在同一水平线上，从测角仪顶点C 处测得楼顶M 的仰角，16.5MCE ∠=︒（点E 在线段MO 上）．他沿线段AO 向楼前进100m 到达B 点，此时从测角仪顶点D 处测得楼顶M 的仰角48.5MDE ∠=︒，楼尖MN 的视角 3.5MDN ∠=︒（N 是楼尖底部，在线段MO 上）．(1)求楼高MO 和楼尖MN ；(2)若测角仪底在线段AO 上的F 处时，测角仪顶G 测得楼尖MN 的视角最大，求此时测角仪底到楼底的距离FO ．参考数据：sin16.5sin48.52sin325︒︒≈︒，8tan16.527︒≈，8tan48.57︒≈37.4,≈24．（2024·重庆·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2π2cos sin cos 12222A B B b b a ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．(1)求角A 的大小；(2)若BP PC =，且2b c +=，求AP 的最小值．25．（2024·山西朔州·一模）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()(),,sin sin ,sin sin m a b c n A C A B =+=-- ，且//m n ．(1)求B ；(2)求222b a c+的最小值．26．（2024·河南开封·二模）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin b A B =．(1)求sin A ；(2)若a =①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求ABC 的面积．条件① ：=b ；条件② ：b =③ ：1sin 3C =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．27．（2024·河南·一模） ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足22b a ac -=.(1)求证：2B A =；(2)若ABC 为锐角三角形，求sin()sin sin C A BA--的取值范围.28．（2023·河南·三模）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2222a abc c b +-=，且a c ≠．(1)求证：2B C =；(2)若ABC ∠的平分线交AC 于D ，且12a =，求线段BD 的长度的取值范围．29．（2024·湖北·二模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，()c a b <，2cos cos cos 2c a A B b A =-．(1)求A ；(2)者13BD BC =，2AD = ，求b c +的取值范围．30．（2024·河北·二模）若ABC 内一点P 满足PAB PBC PCA θ∠=∠=∠=，则称点P 为ABC 的布洛卡点，θ为ABC 的布洛卡角．如图，已知ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，点P 为的布洛卡点，θ为ABC的布洛卡角．(1)若b c =，且满足PBPA=ABC ∠的大小．(2)若ABC 为锐角三角形．（ⅰ）证明：1111tan tan tan tan BAC ABC ACBθ=++∠∠∠．（ⅱ）若PB 平分ABC ∠，证明：2b ac =．黄金冲刺大题01 解三角形（精选30题）1．（2024·江苏·一模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos 1c B a+=.(1)证明：2B A =；(2)若sin A b ==，求ABC 的周长.【答案】(1)证明见解析(2)7【分析】（1）利用正弦定理边化角结合角范围可证；（2）利用倍角公式求得sin C ，然后利用正弦定理可得【详解】（1）()()2cos 1sin sin sin sin cos cos sin B A C A B A B A B+==+=+()sin sin cos cos sin sin A B A B A B A ⇒=-=-因为()(),0,π,π,πA B B A ∈∴-∈-A B A ∴=-或()πA B A +-=（舍），2B A ∴=.（2）由sin A =1）知()30,πA B A +=∈，则π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得cos A ===sin sin22sin cos 2B A A A ====，213cos cos212sin 1284B A A ==-=-⨯=，()3sin sin sin cos cos sin 4C A B A B A B ∴=+=+===由正弦定理得25sin sin sin a a b c c A B C =⎧==⇒==⇒⎨=⎩ABC ∴的周长为7a b c ++=2．（2024·湖南常德·三模）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin A B A B C ++=．(1)求角C ；(2)若a ，b ，c 成等差数列，且ABC ABC 的周长．【答案】(1)2π3(2)15【分析】（1）先利用正弦定理角化边得出222a b ab c ++=；再结合余弦定理得出1cos 2C =-即可求解.（2先根据a ，b ，c 成等差数列得出2a c b +=；再利用三角形的面积公式得出15ab =；最后结合(1)中的222a b ab c ++=，求出a ，b ，c 即可解答.【详解】（1）因为222sin sin sin sin sin A B A B C ++=，由正弦定理sin sin sin a b cA B C==可得：222a b ab c ++=.由余弦定理可得：2222222()1cos 222a b c a b a b ab C ab ab +-+-++===-.又因为(0,π)C ∈，所以2π3C =.（2）由a ,b ,c 成等差数列可得：2a c b +=①.因为三角形ABC ，2π3C =，1sin 2ab C ∴=15ab =②.由(1)知：222a b ab c ++=③由①②③解得：3,5,7a b c ===.15a b c ∴++=，故三角形ABC 的周长为15.3．（2024·江苏·一模）在ABC 中，()sin sin B A A C -=．(1)求B 的大小；(2)延长BC 至点M ，使得2BC CM = ．若π4CAM ∠=，求BAC ∠的大小．【答案】(1)π4B =；(2)π12BAC ∠=或5π12．【分析】（1）由()sin sin C A B =+，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得cos B =B 的大小；（2）设BC x =，BAC θ∠=，在ABC 和ACM △中，由正弦定理表示边角关系，化简求BAC ∠的大小.【详解】（1）在ABC 中，A B C π++=，所以()sin sin C A B =+．因为()sin sin B A A C -=，所以()()sin sin B A A A B -=+，即sin cos cos sin sin cos cos sin B A B A A B A B A -=+2cos sin A B A =．因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，cos B =因为0πB <<，所以π4B =．（2）法1：设BC x =，BAC θ∠=，则2CM x =．由（1）知π4B =，又π4CAM ∠=，所以在ABM 中，π2AMC θ∠=-．在ABC 中，由正弦定理得sin sin BC AC BAC B=∠，即πsin sin 4x ACθ=①．在ACM △中，由正弦定理得sin sin CM ACCAM M =∠，即2ππsin sin 42x ACθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭②．①÷②=12sin cos 2θθ=，所以1sin 22θ=．因为3π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3π20,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π26θ=或5π6，故π12θ=或5π12．法2：设BC x =，则2CM x =，3BM x =．因为π4CAM B ∠==，所以ACM BAM △△∽，因此AM CMBM AM=，所以226AM BM CM x =⋅=，AM =．在ABM 中，由正弦定理得sin sin =∠BM AM BAM B，即3sin x BAM =∠化简得sin BAM ∠=因为30,4BAM π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以π3BAM ∠=或2π3，π4BAC BAM ∠=∠-，故π12BAC ∠=或5π12．4．（2024·浙江温州·二模）记ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知2sin c B =．(1)求C ；(2)若tan tan tan A B C =+，2a =，求ABC 的面积．【答案】(1)π4C =或3π4(2)43【分析】（1）根据正弦定理，边化角，结合三角形中角的取值范围，可得sin C ，从而确定角C .（2）根据条件求角求边，再结合三角形面积公式求面积.【详解】（1）由2sin c B得2sin sin C B B =，而B 为三角形内角，故sin B >0,得sin C =C 为三角形内角，∴π4C =或3π4（2）由()tan tan tan tan A B C B C =-+=+得tan tan tan tan 1tan tan B CB C B C+-=+-，又tan tan 0B C +≠，∴tan tan 2B C =， ，故π,0,2B C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（1）得tan 1C =，故tan 2B =，∴tan tan tan 3A B C =+=，而A 为三角形内角，∴sin A =又sin sin a c A C ==⇒c =又tan 2B =，而B为三角形内角，故sin B =114sin 2223S ac B ∴==⨯=.5．（2024·浙江嘉兴·二模）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2cos 3cos23A A -=.(1)求cos A 的值；(2)若ABC 为锐角三角形，23b c =，求sin C 的值.【答案】(1)1cos 3A =或cos 0A =；.【分析】（1）根据题意，利用二倍角余弦公式化简求解；（2）解法一，由23b c =，利用正弦定理边化角得2sin 3sin B C =，结合()sin sin A C B +=和1cos 3A =，化简运算并结合平方关系求得答案；解法二，根据条件利用余弦定理可得23c a =，再利用正弦定理边化角并结合条件求得答案.【详解】（1）由题可得()22cos 32cos 13A A --=，即23cos cos 0A A -=，解得1cos 3A =或cos 0A =.（2）解法一：因为23b c =，由正弦定理得2sin 3sin B C =，即()2sin 3sin A C C +=，即2sin cos 2sin cos 3sin A C C A C +=，因为1cos 3A =，所以sin A =2sin 3sin 3C C C +=，又22sin cos 1C C +=，且ABC为锐角三角形，解得sin C =.解法二：由余弦定理得2221cos 23b c a A bc +-==，因为23b c =，所以222291433c c a c +-=，即2249c a =，所以23c a =，所以2sin sin 3C A =，又1cos 3A =，所以sin A =，所以2sin sin 3C A ==.6．（2023·福建福州·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且2sin sin ,3a C c B C π==．(1)求B ；(2)若ABCBC 边上中线的长．【答案】(1)π6B =【分析】（1）由正弦定理边化角即可得到角B ；（2）根据A B =，得a b =，结合三角形面积公式即可得到a b ==c ，以及2AD AB AC =+，即可得到答案．【详解】（1）sin sin a C c B = ，由正弦定理边化角得sin sin sin sin A C C B =，sin 0C ≠ ，sin sin A B ∴=，A B ∴=或πA B +=（舍），又 2π3C =，∴π6B =；（2） π6B =，2π3C =，π6A =，a b ∴=，∴1sin 2ABC S ab C =212a =a b ==由正弦定理sin sin a cA C=，得sin 3sin a Cc A==，设BC 边的中点为D ，连接AD ，如下图：2AD AB AC =+ ，即22(2)()AD AB AC =+，即22242cos 9323AD c b bc A =++=++解得AD 7．（2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC 中，2,3BAC BAC π∠=∠的角平分线交 BC 于P 点，2AP =.(1)若8BC =，求△ABC 的面积;(2)若4CP =，求BP 的长.【答案】【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式即可求出答案；（2）首先利用余弦定理求出1AC =，再利用正弦定理求出sin C ，再根据三角恒变换求出sin B ，最后再根据正弦定理即可.【详解】（1）ABC 中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，在ABC 中由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC CAB =+-⋅⋅∠，即2264c b b c =++⋅①因ABC MBP MCP S S S =+，即22222bc c b =整理得22b c b c ⋅=+②①②解得2b c ⋅=+所以1sin 2ABC S bc BAC =∠=（2）因为π2,4,3AP CP PAC ==∠=，所以在APC △中由余弦定理可得2222cos CP AP AC AP AC CAP =+-⋅⋅∠，所以21642AC AC =+-解得1AC =，由正弦定理得sin sin AP PCC CAP=∠，即2sin Csin C =所以cos C ==，sin sin()sin cos cos sin B BAC C BAC C BAC C =∠+=∠+∠=ABC 中由正弦定理得sin sin AC BC B BAC=∠=解得BC所以4PB BC PC =-==8．（2024·安徽·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，4AB AD ==，6BC =．(1)若2π3A =，π3C =，求sin BDC ∠的值；(2)若2CD =，cos 3cos A C =，求四边形ABCD 的面积．【答案】(1)34【分析】（1）ABD △中求出BD ，在BCD △中，由正弦定理求出sin BDC ∠的值；（2）ABD △和BCD △中，由余弦定理求出cos A 和cos C ，得sin A 和sin C ，进而可求四边形ABCD 的面积．【详解】（1）在ABD △中，4AB AD ==，2π3A =，则π6ADB ∠=，π2cos 24cos 6BD AD ADB =∠=⨯⨯=，在BCD △中，由正弦定理得sin sin BC BDBDC C=∠，sin 3sin 4BC C BDC BD ∠===.（2）在ABD △和BCD △中，由余弦定理得222222cos 44244cos 3232cos BD AB AD AB AD A A A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=-，222222cos 62262cos 4024cos BD CB CD CB CD C C C =+-⋅=+-⨯⨯⨯=-，得4cos 3cos 1A C -=-，又cos 3cos A C =，得11cos ,cos 39A C =-=-，则sin A =sin C =四边形ABCD 的面积11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A CB CD C =+=⋅⋅+⋅⋅11446222=⨯⨯⨯⨯9．（2024·浙江·一模）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2222sin sin c Cb c a B=+-．(1)求角A ；(2)设边BC 的中点为D ，若a =ABC AD 的长．【答案】(1)π3A =【分析】（1）根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到222b c a bc +-=，再结合余弦定理即可求出角A ；（2）根据三角形面积公式得到3bc =和2210b c +=，再结合中线向量公式计算即可.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理得，sin sin C cB b=，因为2222sin sin c Cb c a B =+-，所以2222c c b c a b =+-，化简得，222b c a bc +-=，在ABC 中，由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-==，又因为0πA <<，所以π3A =（2）由1sin 2ABC S bc A ===△3bc =，由2222cos a b c bc A =+-，得2273b c =+-，所以2210b c +=．又因为边BC 的中点为D ，所以()12AD AB AC =+，所以12AD ====10．（2024·湖北·一模）在ABC 中，已知π4AB AC C ===．(1)求B 的大小；(2)若BC AC >，求函数()()()sin 2sin 2f x x B x A C =--++在[]π,π-上的单调递增区间．【答案】(1)π3B =或2π3B =(2)7ππ5π11ππ,,,,,π12121212⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【分析】（1）利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解；（2）利用大边对大角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及三角函数的性质即可求解.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理可得：sin sin AB ACC B==sin B =又0πB <<，故π3B =或2π3B =．（2）由BC AC >，可得A B >，故π2π,33B AC =+=.()π2πππsin 2sin 2sin 2sin 2π3333f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈,解得π5πππZ 1212k x k k -+≤≤+∈，.由于[]π,π∈-x ，取1k =-，得7ππ12x -≤≤-；取0k =，得π51212πx -≤≤；取1k =，得11ππ12x ≤≤，故()f x 在[]π,π-上的单调递增区间为7ππ5π11ππ,,,,,π12121212⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．11．（2024·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，ABC 的面积为S ，三个内角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin SC c b =-.(1)证明：ABC 是倍角三角形；(2)若9c =，当S 取最大值时，求tan B .【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由三角形面积公式化简条件，结合余弦定理及正弦定理进一步化简即可证明；（2）由正弦定理结合题中条件得到9sin 3sin 2B a B=，结合三角形面积公式1sin 2S ac B =⨯化为关于tan B 的表达式，构造函数，利用导数求得最大值即可.【详解】（1）因为22222212sin 2sin 2sin ab CS ab C C c b c b c b ⨯===---，又sin 0C ≠,所以221abc b =-，则22b c ab =-，又由余弦定理知，2222cos b a c ac B =+-，故可得2cos c B a b =+，由正弦定理，2sin cos sin sin C B A B =+,又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+,代入上式可得sin cos sin cos sin C B B C B =+,即sin cos sin cos sin C B B C B -=，()sin sin C B B -=，则有,2C B B C B -==,故ABC 是倍角三角形.（2）因为2C B =，所以ππ30A B C B =--=->,故π03B <<，则(tan B ∈，又9c =，又sin sin a c A C =，则()9sin π39sin 9sin 3sin sin 2sin 2B A Ba C B B-===,则19sin sin 22S ac B a B=⨯=99sin 381sin 3sin 2sin 24cos B B B B B =⨯⨯=⋅,81sin 2cos cos 2sin 4cos B B B B B +=⋅()81sin 2cos 2tan 4B B B =⨯+222812tan 1tan tan 41tan 1tan B BB B B ⎛⎫-=+⋅ ⎪++⎝⎭32813tan tan 41tan B B B-=⨯+设(tan x B =∈，()3231x x f x x -=+，则()()()()()22322331321x x x x x f x x -+--⋅+'=()4222631x x x --+=+令()0f x '=得23x =-或者23x =-（舍），且当203x <<时，()0f x '>，当233x <<时，()0f x '<，则()f x 在(上单调递增，在上单调递减，故当x =()f x 取最大值，此时S 也取最大值，故tan B =.12．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，π2DAB ∠=，π6B =，且ABC 的外接圆半径为4.(1)若BC =AD =ACD 的面积；(2)若2π3D =，求BC AD -的最大值.【答案】(1)4；.【分析】（1）在三角形ABC 中，根据正弦定理求得,AC CAB ∠，再在三角形ADC 中，利用三角形面积公式即可求得结果；（2）设DAC ∠θ=，在三角形,ADC ABC 中分别用正弦定理表示,BC AD ，从而建立BC AD -关于θ的三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果.【详解】（1）因为π6B =，ABC 的外接圆半径为4，所以8sin ACB=，解得4AC =.在ABC 中，BC =8sin BC CAB ==∠，解得sin CAB ∠又π0,2CAB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以π4CAB ∠=；在ACD 中，4AC =，ππ24DAC CAB ∠=-∠=，AD =所以1442ACD S ∆=⨯⨯=.（2）设DAC ∠θ=，π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.又2π3D =，所以π3ACD θ∠=-.因为π2DAB ∠=，所以π2CAB θ∠=-.在DAC △中，4AC =，由正弦定理得sin sin AC ADD ACD=∠，πsin 3ADθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得π1sin 32AD θθθ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭4cos θθ=.在ABC 中，4AC =，由正弦定理得sin sin AC BCB CAB=∠，即41πsin 22BC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得π8sin 8cos 2BC θθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以4cos BC AD θθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭π3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.又π0,3θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2π,333θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当且仅当ππ32θ+=，即π6θ=时，πsin 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值1，所以BC AD -.13．（2024·山东济南·二模）如图，在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，AB BC ==ABC θ∠=，120180θ︒≤<︒.(1)若120θ=°，3AD =，求ADC ∠的大小；(2)若CD =，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】(1)=45ADC ∠︒2【分析】（1）在ABC 中，利用余弦定理可得AC =30BCA ∠=︒，然后在ADC △中利用正弦定理即可求解；（2）利用勾股定理求得BD =BCD ABD S S + 即可求解.【详解】（1）在ABC 中，AB BC ==120θ=°，所以30BCA ∠=︒，由余弦定理可得，2221262AC ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，即AC =又BC CD ⊥，所以60ACD ∠=︒，在ADC △中，由正弦定理可得3sin 60=︒sin ADC ∠=因为AC AD <，所以060ADC ︒<∠<︒，所以=45ADC ∠︒.（2）在Rt BCD 中，BC CD ==BD =，所以，四边形ABCD 的面积1122BCD ABD S S S ABD=+=∠2sin ABD =∠，当90ABD Ð=°时，max 2S =，即四边形ABCD 2.14．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知锐角ABC 的三内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且222(cos cos )b c b C c B bc +-⋅+⋅=，(1)求角A 的大小；(2)bc 的取值范围．【答案】(1)π3(2)(]6,9【分析】（1）由余弦定理将cos ,cos B C 化成边，化简再结合余弦定理可求得答案；（2）利用正弦定理，将边化角，再利用角的范围即可得出结果.【详解】（1）()222cos cos b c b C c B bc +-+=Q ，由余弦定理可得22222222222a b c a c b b c b c bc ab ac ⎛⎫+-+-+-⋅+⋅= ⎪⎝⎭，化简整理得222b c a bc +-=，又2222cos b c a bc A +-=，1cos 2A ∴=，又π02A <<，所以π3A =.（2）因为三角形外接圆半径为R b B =，c C =，12sin sin bc B C ∴=，由（1）得2π3B C +=，所以2π112sin sin 12sin sin 12sin sin 32bc B C B B B B B ⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭()2cos 6sin 231cos 2B B B B B =+=+-162cos 232B B ⎫=-+⎪⎪⎭π6sin 236B ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为ABC 是锐角三角形，且2π3B C +=，所以ππ62B <<，ππ5π2666B ∴<-<，1πsin 2126B ⎛⎫∴<-≤ ⎪⎝⎭，π66sin 2396B ⎛⎫∴<-+≤ ⎪⎝⎭，即69bc <≤.所以bc 的取值范围为(]6,9.15．（2024·湖南邵阳·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC 的周长为sin sin sin sin a BA B C+-．(1)求C ；(2)若2a =，4b =，D 为边AB 上一点，π6BCD ∠=，求BCD △的面积．【答案】(1)2π3C =；【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得.（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式，结合割补法列式求出CD ，再求出BCD △的面积.【详解】（1）在ABC 中，sin sin sin sin a B A B C a b c +=-++，由正弦定理得aba b c a b c++=+-，整理得222a b c ab +-=-，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==-，而0πC <<，所以2π3C =.（2）由D 为边AB 上一点，π6BCD ∠=及（1）得π2ACD ∠=，且+= ACD BCD ABC S S S ，即有1π1π12πsin sin sin 222623b CD a CD ab ⋅+⋅=，则4CD CD +=，解得CD =所以BCD △的面积1π1sin 2264BCD S a CD =⋅=⨯=16．（2024·广东梅州·二模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，cos sin B b A -=，2c =，(1)求A 的大小：(2)点D 在BC 上，（Ⅰ）当AD AB ⊥，且1AD =时，求AC 的长；（Ⅱ）当2BD DC =，且1AD =时，求ABC 的面积ABC S ．【答案】(1)2π3A =(2)AC =ABC S 【分析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan A 的值，结合(0,)A π∈即可求解A 的值；（2）（Ⅰ）根据锐角三角函数和差角公式可得cos AB AD ABC ABC C BD BD ∠=∠===正弦定理即可求解.（Ⅱ）采用面积分割的方法以及正弦定理即可解决．【详解】（1）cos sin B b A -=，cos sin sin A B B A C -=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin sin sin B A A B -=，因为B 为三角形内角，sin 0B >，所以sin A A -=，可得tan A =因为(0,π)A ∈，所以2π3A =；（2）（Ⅰ）此时22AB AD ==，AD AB ⊥，所以D B ==2π1cos sin 32AB AD ABC ABC C B BD BD ⎛⎫⎛⎫∠=∠===+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在ABC中，由正弦定理可得sin sin sin sin AC AB AB ABCAC ABC C C∠=⇒==∠=（Ⅱ）设CAD α∠=，由ABC BAD CAD S S S =+ ，2π2sin()sin 3b αα=-+2πsin 2sin()3b αα-=-有2,2πsin sin sin sin()3b CD BD ADC ADB αα==∠∠-，由于2BD DC =，所以sin sin 12πsin 22sin()3b ADB ADC αα∠⨯=∠-，所以2πsin()13sin sin 2b ααα-==⇒b =则1sin 2ABC S bc A ==17．（2024·广东广州·一模）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .已知222)S a c b =+-.(1)求B ；(2)若点D 在边AC 上，且π2ABD ∠=，22AD DC ==，求ABC 的周长.【答案】(1)2π3；(2)3+【分析】（1）根据三角形面积公式和余弦定理，化简已知条件，结合B 的范围，即可求得结果；（2）利用平面向量的线性运算及数量积运算，求得,AB BC ，即可求得三角形周长.【详解】（1）由222)S a c b =+-，则1sin 2cos 2ac B ac B ⋅=⋅，tan B =又()0,πB ∈，故2π3B =.（2）由（1）可知，2π3B =，又π2ABD ∠=，则π6CBD ∠=；由题可知，22AD DC ==，故()11213333BD BC CD BC CA BC BA BC BC BA =+=+=+-=+，所以2211103333BA BD BA BC BA c ac ⎛⎫⋅=⋅+=-= ⎪⎝⎭ ，因为0c ≠，所以a c =，π6A C ==，在Rt △ABD中，πcos6c AD =⋅=，故ABC的周长为33AB BC AC ++=+=+18．（2024·广东佛山·模拟预测）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中1a =，21cos 2c A b-=．(1)求角B 的大小；(2)如图，D 为ABC 外一点，AB BD =，ABC ABD ∠=∠，求sin sin CABCDB∠∠的最大值．【答案】(1)π3B =【分析】（1）根据题意，由正弦定理将边化为角，可得角的方程，化简计算，即可得到结果；（2）根据题意，由正弦定理可得sin sin CAB CDCDB AC∠=∠，再由余弦定理分别得到22,AC CD ，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】（1）因为1a =，所以2cos 2c aA b-=，由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，可得2sin sin cos 2sin C A A B-=，整理可得2sin cos 2sin sin B A C A =-，又因为()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+，化简可得sin 2sin cos A A B =，而sin 0A ≠，则1cos 2B =，又()0,πB ∈，则π3B =（2）在BCD △中，由sin sin BC CD CDB CBD=∠∠可得2sin 3sin CDB CD π∠=，在ABC 中，由sin sin BC AC CAB ABC=∠∠可得sin3sin CAB ACπ∠=，所以sin sin CAB CDCDB AC∠=∠，设()0AB BD t t ==>，由余弦定理2222cos CD BA BC BA BC CBD =+-⋅⋅∠，2222cos AC BA BC BA BC CBA =+-⋅⋅∠，可得221CD t t =++，221AC t t =+-，因此222221211311CD t t tAC t t t t++==+≤=+-+-，当且仅当1t t =时，即1t =等号成立，所以sin sin CABCDB∠∠1AB BD ==.19．（2024·河北石家庄·二模）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，设向量(2sin )m A A A =，π2π(cos ,cos sin ),(),,63n A A A f A m n A ⎡⎤=-=⋅∈⎢⎥⎣⎦.(1)求函数()f A 的最大值;(2)若()0,sin f A a B C ==+=ABC 的面积.【答案】(2)ABC S !【分析】（1）由平面向量的数量积与三角恒等变换知识计算可得π()2sin(23f x A =+，再结合三角函数的值域计算即可求得；（2）由题中条件计算可得π3A =，再由正弦定理得b c +=，由余弦定理可得1bc =，再由三角形的面积公式计算即可求得．【详解】（1）()2sin cos )(cos sin )f x m n A A A A A A =⋅=+-22πsin 2sin )sin 222sin(2)3A A A A A A =-=+=+因为π2π,63A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π2π5π2,333A ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当π2π233A +=，即π6A =时，()f x有最大值2=；（2）因为()0f A =，所以π2sin(2)03A +=，所以π2π,Z 3A k k +=∈，因为π2[,]63A A ∈，所以π3A =，由正弦定理得：22sin a R A===，所以sin 22b bB R ==，sin 22c c C R ==，又因为sin sin B C +=22b c +=所以b c +=，由余弦定理有：2222cos a b c bc A =+-，即23()3b c bc =+-，所以1bc =，所以11sin 122ABC S bc A ==⨯=△20．（2024·广东·一模）设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos cos b c A a B C -=．(1)求cos B ；(2)若点D 在AC 上（与,A C 不重合），且π,24C ADB CBD =∠=∠，求CDAD 的值．【答案】(1)12(2)2【分析】（1）根据条件，边转角得到sin sin cos 2sin cos cos B C A A B C -=，再利用sin sin cos cos sin B A C A C =+即可求出结果；（2）根据题设得到π4DBC C ∠==，进而可求得5π12A =，π12ABD ∠=，再利用BCD ABD S CD AD S = ，即可求出结果.【详解】（1）由cos 2cos cos b c A a B C -=，得到sin sin cos 2sin cos cos B C A A B C -=，又sin sin(π)sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C =--=+=+，所以cos sin 2sin cos cos C A A B C =，又三角形ABC 为锐角三角形，所以sin 0,cos 0A C ≠≠，得到12cos B =，即1cos 2B =.（2）因为2ADB CBD ∠=∠，又ADB ACB CBD ∠=∠+∠，所以ACB CBD ∠=∠，则BD CD =，所以π4DBC C ∠==，由（1）知，π3B =，则ππ5ππ3412A =--=，π5πππ21212ABD ∠=--=，则1ππ5πππsin sin sin sin sin cos1244124121ππππππsin sin sin sin sin sin tan 212124121212BCDABDBC BD A S CD AD S AB BD C ⋅⋅⋅======⋅⋅⋅ ，又πππtan tan(1243=-=2CD AD ==21．（2024·辽宁·二模）在ABC 中，D 为BC 边上一点，1DC CA ==，且ACD 面积是ABD △面积的2倍．(1)若AB =，求AB的长；(2)求sin sin ADBB∠的取值范围．【答案】(1)1(2)5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可；（2）根据余弦定理、二倍角的余弦公式求出,AB AD 的表达式，最后根据正弦定理求出sin sin ADBB∠的表达式，利用余弦函数的最值性质进行求解即可.【详解】（1）设BC 边上的高为AE ，垂足为E ，因为ACD 面积是ABD △面积的2倍，所以有113221222ACD ABDCD AES BD BC S BD AE ⋅==⇒=⇒=⋅ ，设AB x AD ==⇒=，由余弦定理可知：222222229111142cos 322211212x x AC BC AB AC DC AD C AC BC AC DC +-+-+-+-==⇒=⋅⋅⨯⨯⨯⨯，解得1x =或=1x -舍去，即1AB =；（2）由（1）可知13,22BD BC ==，设ADC θ∠=，由π2DC CA DAC ADC C θθ=⇒∠=∠=⇒=-且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由余弦定理可得：AD ==2cos θ==，AB ====，在ABD △中，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以由正弦定理可知：sin sin sin sin AB AD ADB ABADB B B AD∠=⇒=∠1144==，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()22211cos 0,1cos 0,1124255cos cos θθθθ∈⇒∈⇒>⇒+>⇒>，于是有sin 5sin 4ADB B ∠>，因此sin sin ADBB ∠的取值范围为5,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭..22．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知π,4cos 24B bC a ==+.(1)求tan C ；(2)若ABC 的面积为32，求BC 边上的中线长.【答案】(1)1tan 2C =.【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得tan C .（2）根据三角形ABC 的面积求得ac ，根据同角三角函数的基本关系式求得sin ,cos A A ，利用正弦定理、向量数量积运算来求得BC 边上的中线长.【详解】（1）由正弦定理可得sin sin c bC B=，所以4sin cos 2sin B C C A =+，即2sin C C A +，又πA B C ++=，所以π2sin 4C C C C C ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，C C =，解得1tan 2C =；（2）依题意，113sin 222ac B ac ==，解得ac =又3π1tan tan tan 341tan CA C C--⎛⎫=-==- ⎪-⎝⎭，所以A 为钝角，所以由22sin 3cos sin cos 1AAA A ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩,解得sin A A ==由正弦定理可得sin sin c C a A ===，又ac =所以sin 3,sin c Ba cb C=====设BC 的中点为D ，则()12AD AB AC =+，所以222212cos 5()444b c bc A AD AB AC ++=+===，所以BC23．（2024·重庆·模拟预测）如图，某班级学生用皮尺和测角仪（测角仪的高度为1.7m ）测量重庆瞰胜楼的高度，测角仪底部A 和瞰胜楼楼底O 在同一水平线上，从测角仪顶点C 处测得楼顶M 的仰角，16.5MCE ∠=︒（点E 在线段MO 上）．他沿线段AO 向楼前进100m 到达B 点，此时从测角仪顶点D 处测得楼顶M 的仰角48.5MDE ∠=︒，楼尖MN 的视角 3.5MDN ∠=︒（N 是楼尖底部，在线段MO 上）．(1)求楼高MO 和楼尖MN ；(2)若测角仪底在线段AO 上的F 处时，测角仪顶G 测得楼尖MN 的视角最大，求此时测角仪底到楼底的距离FO．参考数据：sin16.5sin48.52sin325︒︒≈︒，8tan16.527︒≈，8tan48.57︒≈37.4,≈【答案】(1)41.7m ，5m (2)FO 为37．4m【分析】（1）法一：在CDM V 中，由正弦定理得，可得100sin 48.5sin 32CM ︒=︒，进而求得ME ，MO ，进而求得CE ，计算可求得楼离MO 和楼尖MN ；法二：利用tan ME CE MCE=∠，tan MEDE MDE =∠，可求得ME ，进而计算可求得楼离MO 和楼尖MN ；（2）设m FO x =，40tan MGE x∠=，35tan NGE x ∠=，进而可得()tan tan MGN MGE NGE ∠=∠-∠403540351x x x x -=+⋅，利用基本不等式可求得楼尖MN 的视角最大时x 的值．【详解】（1）法一：16.5MCE ∠=︒，48.5MDE ∠=︒，∴32DMC ∠=︒．在CDM V 中，由正弦定理得，sin sin CD CDMCM DMC∠=∠，又100m CD =，∴()100sin 18048.5100sin 48.5sin 32sin 32CM ︒-︒︒==︒︒．∴100sin 48.5sin16.5sin 40m sin 32ME CM MCE ︒︒=∠==︒，∴40m 1.7m 41.7m MO ME EO =+=+=．40401358tan tan16.527ME CE MCE ====∠︒（m ）．∴35m DE CE CD =-=．∵45NDE MDE MDN ∠=∠-∠=︒，∴35m NE DE ==，5m MN ME NE =-=．法二：tan ME CE MCE=∠，tan MEDE MDE =∠，∴100tan tan ME MECE DE MCE MDE-=-=∠∠，即27710088ME ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，∴40m ME =，∴40m 1.7m 41.7m MO ME EO =+=+=．40401358tan tan16.527ME CE MCE ====∠︒m ．∴35m DE CE CD =-=．∵45NDE MDE MDN ∠=∠-∠=︒，∴35m NE DE ==，5m MN ME NE =-=．（2）设m FO x =，40tan MGE x∠=，35tan NGE x ∠=，∴()tan tan tan tan 1tan tan MGE NGEMGN MGE NGE MGE NGE∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠40355403540351x x x x x x -==≤=⨯+⋅+当且仅当4035x x⨯=，即37.4x ≈时，等号成立．∴测角仪底到楼底的距离FO 为37．4m 处时，测得楼尖MN 的视角最大．24．（2024·重庆·模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2π2cos sin cos 12222A B B b b a ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．(1)求角A 的大小；(2)若BP PC =，且2b c +=，求AP 的最小值．【答案】(1)π3A =；【分析】（1）根据题意，由正弦定理代入计算，结合三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由平面向量数量积的运算律代入计算，结合基本不等式代入计算，即可得到结果.【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin a B b A =又由2π2cos sin cos 12222A B B b b a ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦知2π2sin cos 2cos 122122B B A a b ⎡⎤⎛⎫=⋅-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即πsin cos 6a B b A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得πsin cos 6b A b A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得π1sin cos sin 62A A A A ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，得1sin 2A A =，所以tan A =又因为()0,πA ∈，所以π3A =．（2）由BP PC =，得1122AP AB AC =+ ，所以22221111122442AP AB AC AB AC AB AC⎛⎫=+=++⋅ ⎪⎝⎭ 2222111111cos 442444c b bc A c b bc =++=++()()()22221133442164b c b c bc b c b c ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤=+-≥+-=+=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当2b c b c =⎧⎨+=⎩，即1b c ==时等号成立，故AP25．（2024·山西朔州·一模）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()(),,sin sin ,sin sin m a b c n A C A B =+=-- ，且//m n．(1)求B ；(2)求222b a c +的最小值．【答案】(1)π3B =(2)12【分析】（1）利用向量共线的坐标形式可得222a c b ac +-=，结合余弦定理可求B ；（2）利用基本不等式可求最小值.【详解】（1）因为//m n ，所以()()()sin sin sin sin a b A B c A C +-=-，由正弦定理可得()()()a b a b c a c +-=-即222a b ac c -=-，故222a cb ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==，而B 为三角形内角，故π3B =.（2）结合（1）可得：2222222221ac b a c ca c c c a a a +==+--++,2211111222c a c a a c c a -≥-=-=+，当且仅当a c =时等号成立，故222b a c+的最小值为12.26．（2024·河南开封·二模）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知cos sin b A B =．(1)求sin A ；(2)若a =①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求ABC 的面积．条件①：=b ；条件②：b =③ ：1sin 3C =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)sin A =；(2)答案见解析.【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合同角公式计算即得.（2）选择条件①，利用余弦定理及三角形面积公式计算求解；选择条件②，利用正弦定理计算判断三角形不唯一；选择条件③，利用正弦定理计算判断，再求出三角形面积.【详解】（1）由cos sin b A B =得：sin cos sin B A A B =，而sin 0B ≠，则cos 0A A =>，A 为锐角，又22sin cos 1A A +=，解得sin A =所以sin A =且A 为锐角.（2）若选条件①，由sin A =A为锐角，得cos A =由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，又=b ，则222364c c c =+-，解得1,c b ABC ==唯一确定，所以1sin 2ABC S bc A ==.若选条件②，由正弦定理得sin sin a b A B=，则sin 1B =<，由b a =>=B A >，因此角B 有两解，分别对应两个三角形，不符合题意.若选条件③，由sin A =，A为锐角，得cos A又1sin sin 3A C =>=，得a c >，A C >，则cos C =，因此sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C ABC =+=+=唯一确定，由正弦定理得sin sin a cA C=，则1c ==，所以1sin 2ABC S ac B ==△。
冲刺2024年高考数学真题重组卷真题重组卷03（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.（2023新课标全国Ⅰ卷）已知1i22iz -=+，则z z -=（ ）A ．i-B ．iC ．0D ．12.（2023全国乙卷数学（理））设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x ≥=（ ）A ．()U M N ðB ．U N M ðC ．()U M N ðD ．U M N⋃ð3.（2023新课标全国Ⅱ卷）已知α为锐角，cos α=sin 2α=（ ）A B C D 4.（2023•乙卷（文））正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则(EC ED ⋅= )A B ．3C ．D ．55.（2023•新高考Ⅰ）设函数()()2x x a f x -=在区间(0,1)单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(-∞，2]-B ．[2-，0)C ．(0，2]D ．[2，)+∞6．（2023全国乙卷数学（文））已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（ ）A ．－1B ．12-C ．0D ．127.（2023全国乙卷数学（文））已知实数,x y 满足224240x y x y +---=，则x y -的最大值是（ ）A ．1B ．4C ．1+D ．78.（2023全国乙卷数学(理)）已知圆锥PO O 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，120AOB ∠=︒，若PAB ）A ．πB C ．3πD ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
一、单选题1．已知集合，则集合（ ） 2{|60},{|4}A x x x B y y x =+-≥==≤≤()A B =R ðA ． B ． (,0)[2,)-∞⋃+∞(,0)(2,)-∞+∞ C ． D ．(,3][2,)-∞-+∞U (,3](2,)-∞-+∞ 【答案】A【分析】根据题意，将集合分别化简，然后结合集合的运算，即可得到结果.,A B 【详解】因为或，{2{|60}2A x x x x x =+-≥=≥}3x ≤-且，{}{|4}02B y y x y x ==≤≤=≤≤则，所以. ()(),02,B =-∞+∞R ð(,0)[2(),)A B -∞⋃+=∞R ð故选：A2．走路是最简单优良的锻炼方式，它可以增强心肺功能，血管弹性，肌肉力量等，甲、乙两人利用手机记录了去年下半年每个月的走路里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（ ）A ．甲走路里程的极差等于 10B ．乙走路里程的中位数是26C ．甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数 D ．甲下半年每月走路里程的标准差小于乙下半年每月走路里程的标准差 【答案】C【分析】根据折线图，得到甲、乙下半年的走路历程数据，根据极差、中位数、平均数以及标准差与数据稳定性之间的关系求解.【详解】对于A 选项，月甲走路的里程为：、、、、、， 712-312521242030甲走路里程的极差为公里，A 错；312011-=对于B 选项，月乙走路的里程为：、、、、、，712-292826282526由小到大排列分别为：、、、、、， 252626282829所以，乙走路里程的中位数是，B 对； 2628272+=对于C 选项，甲下半年每月走路里程的平均数，31252124203015166+++++=乙下半年每月走路里程的平均数为，2928262825261622766+++++==所以，甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数，C 对； 对于D 选项，由图可知，甲下半年走路里程数据波动性大于乙下半年走路里程数据， 所以甲下半年每月走路里程的标准差大于乙下半年每月走路里程的标准差，D 错. 故选：C.3．已知平面向量，，的夹角为，，则实数（ ）||2a = ||1b = ,a b60 )a t +∈R t A ． B ．1 C ．D ．1-121±【答案】A【分析】对两边平方，再由数量积公式计算可得答案.a +【详解】因为，所以， a + 22223a a b t t b +⋅⋅+= 即，解得. 2422cos603t t +⨯⨯+= 1t =-故选：A.4．若直线是曲线的一条切线，则实数 y ax =2ln 1y x =+=a A ． B ．C ．D ．12e -122e -12e 122e 【答案】B【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，进行比较建立方程关系进行求解即可．【详解】数的定义域为（0，+∞），设切点为（m ，2lnm+1），则函数的导数 ，则切线斜率，2f x x'=（）2k m =则对应的切线方程为 22122y lnm x m x m m -+=-=-（）（），即 221y x lnm m=+-， 且， 2y ax a m=∴= ，210lnm -=即 ，则 ， 12lnm =12m e =则，121222a e e-=＝故选B ．【点睛】本题主要考查函数的导数的几何意义的应用，求函数的导数，建立方程关系是解决本题的关键．5．函数的部分图象大致形状是（ ） 1e ()sin 1e xxf x x -=⋅+A ． B．C ．D ．【答案】C【分析】先判断函数的奇偶性，结合对称性以时的函数值的正负判断可得答案.01x <<【详解】由，，定义域关于原点对称， 1e ()sin 1e xxf x x -=⋅+x ∈R 得，()()()()1e e 11e sin sin sin 1e e 11e x x xx x x f x x x x f x ------=⋅-=⋅-=⋅=+++则函数是偶函数，图象关于轴对称，排除BD ；()f x y 当时，，，，所以，01x <<1e 0x-<1e 0x+>sin 0x >()1e sin 01e xxf x x -=⋅<+排除A. 故选：C.6．已知正方体(如图1)，点P 在棱上(包括端点).则三棱锥的侧视图不1111ABCD A B C D -1DD 1B ABP-可能是（ ）A ．B ．C． D ．【答案】D【分析】根据题意结合三视图逐项分析判断.【详解】对于选项A ：当点P 于点D 重合，则的侧视图如选项A 所示，故A 正确； 1B ABP -对于选项B ：当点P 于点重合，则的侧视图如选项B 所示，故B 正确； 1D 1B ABP -对于选项C ：当点P 为线段的中点，则的侧视图如选项C 所示，故C 正确； 1DD 1B ABP -对于选项D ：因为点P 在棱上运动，则侧视图中右边的一条边与底边垂直，且右边的一条边的1DD 边长与正方体的棱长相等，所以的侧视图如不可能如选项D 所示，故D 错误； 1B ABP -故选：D.7．已知抛物线的焦点和椭圆的一个焦点重合，且抛物线的准线截椭圆的弦长为3，则椭圆24y x =的标准方程为（ ）A ．B ．22132x y +=22143x y +=C ．D ．22154x y +=22165x y +=【答案】B【分析】根据椭圆的焦点以及在椭圆上，即可求解的值.31,2⎛⎫-± ⎪⎝⎭,,a b c 【详解】抛物线的焦点为，准线为，24y x =()1,0=1x -设椭圆的方程为，椭圆中，，当时， ，故 ()222210x y a b a b +=>>1c ==1x-32y =229141,a b+=又，所以，故椭圆方程为，222a b c =+2,a b =22143x y +=故选：B8．已知（为常数），若在上单调，且()()sin f x x ωϕ=+0,ωϕ>()f x ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭，则的值可以是（ ） π5ππ263f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ϕA ． B ．C ．D ．5π6-π6-π32π3【答案】A【分析】根据在上单调，可得，再由求得的一条()f x ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭03ω<≤π5ππ263f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x 对称轴和一个对称中心，进而求得，再求的值. 2ω=ϕ【详解】对于函数，， ()()sin f x x ωϕ=+0ω>因为在上单调，()f x ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭所以，即.πππ262T ω-≤=03ω<≤又，π5ππ263f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以为的一条对称轴， π5π2π2623x +==()f x 且即为的一个对称中心， ππ23,02⎛⎫+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭5π,012⎛⎫⎪⎝⎭()f x 因为， 2π5πππ312432T-=<≤所以和是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，2π3x =5π,012⎛⎫⎪⎝⎭()f x 则，即， 2π5π4312T =-πT =所以， (]2π20,3Tω==∈所以，()()sin 2f x x ϕ=+又为的一个对称中心， 5π,012⎛⎫⎪⎝⎭()f x 则，，5π2π12k ϕ⨯+=Z k ∈则，， 5ππ6k ϕ=-+Z k ∈当时，. 0k =5π6ϕ=-故选：A.9．如图，在矩形中，分别为边上的点，且，，设ABCD E F 、AD BC 、3AD AE =3BC BF =P Q 、分别为线段的中点，将四边形沿着直线进行翻折，使得点不在平面上，AF CE 、ABFE EF A CDEF在这一过程中，下列关系不能成立的是（ ）A ．直线直线B ．直线直线 //AB CD AB ⊥PQC ．直线直线D ．直线平面//PQ ED //PQ ADE 【答案】C【分析】画出翻折之后的立体图形，根据点线面之间的位置关系以及平行与垂直的相关定理，可以证明或证伪相关命题. 【详解】翻折之后如图所示：①因为，，所以且， 3AD AE =3BC BF =//AB EF //EF CD 因此，故选项A 成立；//AB CD ②连接，因为分别为的中点，所以，FD P Q 、FA FD 、//PQ AD又因为，所以，故选项B 成立；AB AD ⊥AB PQ ⊥③因为，，所以与不平行，故选项C 不成立； //PQ AD ⋂=ED AD D PQ ED ④因为，且平面，平面， //PQ AD PQ ⊄ADE AD ⊂ADE 所以平面，故选项D 成立. //PQ ADE 故选：C10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1所示）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心到水面的距离O h 为，筒车的半径为，筒车每秒转动，如图2所示，盛水桶在处距水面的距1.5m r2.5m rad 12πM 0P离为，则后盛水桶到水面的距离近似为（ ）3m 2s M A ． B ．C ．D ．3.2m 3.4m 3.6m 3.8m 【答案】D【解析】设后盛水桶到水面的距离关于的函数解析式为ts M h t ()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>，根据题中信息求出函数的解析式，再令即可得解.()h t 2t =【详解】设后盛水桶到水面的距离关于的函数解析式为ts M h t ()()()sin 0,0h t A t b A ωϕω=++>>，由题意可得，解得，()()max min 41.52.51h t A b h t A b ⎧=+=⎪⎨=-=-=-⎪⎩ 2.51.5A b =⎧⎨=⎩由于筒车每秒转动，所以，函数的最小正周期为，rad 12π()h t ()22412T s ππ==所以，，则， 212T ππω==() 2.5sin 1.512t h t πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭由于盛水桶在处距水面的距离为，则，可得，M 0P 3m ()0 2.5sin 1.53h ϕ=+=3sin 5ϕ=由于函数在附近单调递增，则为第一象限角，所以，， ()h t 0=t ϕ4cos5ϕ==所以，. ()12 2.5sin 1.5 2.5cos 1.562h πϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2.5 1.5 3.8m =+≈故选：D.【点睛】思路点睛：建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤： （1）审题：审清题目条件、要求、理解数学关系； （2）建模：分析题目变化趋势，选择合适的三角函数模型； （3）求解：对所建立的数学模型进行分析研究，从而得出结论.11．已知双曲线C 的方程为与圆22221(0,0)x y a b a b -=>>l 2220(0)x y mx m +-=>相切于M ，与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B，且M 为AB 中点，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2BC D【答案】B 【分析】.设出直线的方程，求出A ，B 的坐标，从而可得点M 的坐标，代入圆方程中即可求离心率 l 【详解】依题意，设直线的方程为，圆的方程可化为l (0)y n n =+>2220(0)x y mx m +-=>，即圆心坐标为，半径为，222()x m y m -+=(,0)m m 因为直线与圆相切于M，由可化简得，l m 0n>m =则直线的方程为，双曲线C 的两条渐近线分别为，，l )y x m =+by x a =b y x a =-由得，同理可得， )y xm by x a⎧+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩AB 因为M 为AB 中点，由中点坐标公式可得， 222(3maM b a -M 在圆上，将M 的坐标代入圆方程可得， 222222()3ma m m b a -+=-化简整理得，从而可得， 222()0a b -=a b =则双曲线C 的离心率ce a==故选：B12．已知函数的定义域均为，且满足，(),()f x g x R (1)(3)4,(1)(3)6---=++-=f x g x g x f x (2)g x +为奇函数，则（ ）1071()n f n ==∑A ． B ． C ． D ．5350-5250-5150-5050-【答案】A【分析】由条件通过赋值，结合周期函数的定义证明为周期为的周期函数，再求()()h x f x x =+2，结合周期函数性质求，由此可得结论.()()0,1h h 1071()n h n =∑【详解】因为函数为奇函数，所以， (2)g x +()()220g x g x ++-+=在中将代换为可得①， (1)(3)4f x g x ---=x 1x +()(2)4f x g x --=在中将代换为可得②， (1)(3)6g x f x ++-=x 1x +(2)(2)6g x f x ++-=①②两式相减可得，()()(2)(2)22g x f x f x g x ++--+-+=所以，即， ()(2)2f x f x --=()(2)2f x x f x x -+-=+设，则，()()h x f x x =+()()2h x h x +=所以函数为周期为2的周期函数， ()()h x f x x =+由取可得，()()220g x g x ++-+=0x =()20g =由取可得，所以， ()(2)4f x g x --=0x =(0)(2)4f g -=(0)4f =在中取可得， ()(2)2f x f x --=1x =()(1)12f f --=在中取可得④， ()(2)4f x g x --=1x =(1)(1)4f g -=在中取可得⑤， ()(2)4f x g x --==1x -(1)(3)4f g --=在中取可得⑥， ()()220g x g x ++-+=1x =()()310g g +=将④⑤⑥相加可得，又， ()(1)18f f -+=()(1)12f f --=所以，又，， ()13f =(0)4f =()()h x f x x =+所以，， ()()0004h f =+=()()1114h f =+=又函数为周期为2的周期函数， ()()h x f x x =+所以，()()()()1071()1231074107428n h n h h h h ==+++⋅⋅⋅+=⨯=∑所以，()()()()()1071()112210710742812107n h n n h h h =-=-+-+⋅⋅⋅+-=-++⋅⋅⋅+∑所以，()()()10711107107428428577853502n h n n =+⨯-=-=-=-∑所以.1071()5350n f n ==-∑故选：A.【点睛】知识点点睛：本题考查奇函数的性质，周期函数的定义，周期函数的性质，组合求和法，等差数列求和，考查赋值法，属于综合题，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力.二、填空题13．若复数z 满足，则z 的共轭复数的虚部为________. (2i)12i z +=-z 【答案】1【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可由共轭复数的概念以及虚部概念求解.【详解】由得， (2i)12i z +=-()()()()12i 2i 12i 2i 4i 2i 2i 2i 2i 5z ------====-++-故，且虚部为1， i z =故答案为：114．在之间任取一个实数，使得直线与圆有公共点的概率为[]4,4-m 0x y m ++=222x y +=________. 【答案】/ 120.5【分析】利用直线与圆的位置关系求出的取值范围，再利用几何概型的概率公式可求得所求事件m 的概率.【详解】圆 222x y +=因为直线与圆，解得，0x y m ++=222x y +=22m -≤≤因此，所求事件的概率为.()()221442P --==--故答案为：.1215．已知正三棱柱所有顶点都在球O 上，若球O 的体积为，则该正三棱柱体积111ABC A B C -32π3的最大值为________. 【答案】8【分析】由条件结合球的体积公式求球的半径，设正三棱柱的底面边长为，求出三棱柱的高，结x 合棱柱的体积求三棱柱的体积，再利用导数求其最大值.【详解】设正三棱柱的上，下底面的中心分别为，连接， 111ABC A B C -12,O O 12O O 根据对称性可得，线段的中点即为正三棱柱的外接球的球心， 12O O O 111ABC A B C -线段为该外接球的半径，设，OA OA R =由已知，所以，即， 3432ππ33R =2R =2OA =设正三棱柱的底面边长为，设线段的中点为， 111ABC A B C -x BC D则，， AD x =12233AO AD ===在中，1Rt AO O △1OO ==所以12O O =0x <<又的面积 ABC 1122S BC AD x =⋅=⨯=所以正三棱柱的体积 111ABC A B C -V =设，，t =22123x t =-02t <<所以，， )2123V t t -02t <<所以， )2129V t '=-令，可得0V '=t =t =所以当，函数在上单调递增， 0t <<0V '>)2123V t t =-⎛ ⎝时，，函数在上单调递减， 2t <<0V '<)2123V t t =-2⎫⎪⎪⎭所以当时，取最大值，最大值为， t =)2123V t t =-8所以当的体积最大，最大体积为. x =111ABC A B C -8故答案为：.816．在中，角、、的对边分别为、、，若，且，则ABC A B C a b c cos cos a C c A b c -=-1a c +=当边取得最大值时，的周长为________. c ABC【答案】/33【分析】由正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可得出角的cos A A A 值，利用正弦定理可求得的最大值及其对应的的值，进而可求得的值，由此可得出的c C b ABC 周长.【详解】因为，由正弦定理可得，cos cos a C c A b c -=-sin cos cos sin sin sin A C A C B C -=-即， ()sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C -=+-=+-整理可得，2cos sin sin A C C =因为、，所以，，则，故，A ()0,πC ∈sin 0C >1cos2A =π3A =由正弦定理可得，)1sin sin c a c C A===-整理可得，c ==因为，当时，取最大值，且2π03C <<π2C =cc 4=-此时，，(1143a c =-=--=，所以， π6B=22c b ==因此，当边取得最大值时，的周长为. cABC ()((3243a b c ++=++-=故答案为：3三、解答题17．设等比数列的前n 项和为，且．{}n a n S ()*231n n S a n N =-∈求的通项公式；()1{}n a 若，求的前n 项和．()2()()1311nn n n b a a +=++{}n b n T 【答案】(1)．(2)．13n n a -=3112231n n T ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭【分析】利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．()1利用的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．()2()1【详解】等比数列的前n 项和为，且()1{}n a n S ()*231.n n S a n N =-∈①当时，解得． 1n =11a =当时 2n ≥11231n n S a --=-②得，-①②1323n n n a a a --=所以常数， 13(nn a a -=)故．11133n n n a --=⋅=由于，所以，()213n n a -=()()1133111123131n n n n n n b a a -+⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭所以． 011311113112313131312231n n n n T -⎛⎫⎛⎫=-+⋯+-=- ⎪ ⎪+-+++⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．18．“五一黄金周”期间，某商场为吸引顾客，增加顾客流量，推出购物促销优惠活动，具体优惠方案有两种：方案一：消费金额不满300元，不予优惠；消费金额满300元减60元；方案二：消费金额满300元，可参加一次抽奖活动，活动规则为：从装有3个红球和3个白球共6个球的盒子中任取3个球（这些小球除颜色不同其余均相同），抽奖者根据抽到的红球个数不同将享受不同的优惠折扣，具体优惠如下： 抽到的红球个数 0 1 2 3优惠折扣 无折扣 九折 八折 七折(1)现有甲乙两位顾客各获得一次抽奖活动，求这两位顾客恰好有一人获得八折优惠折扣的概率； (2)若李女士在该商场消费金额为x 元（），请以李女士实付金额的期望为决策依据，对李300x >女士选择何种优惠方案提出建议. 【答案】(1)99200(2)答案见解析【分析】（1）先求事件抽奖的顾客获得八折优惠的概率，再根据独立重复试验的概率公式求两位顾客恰好有一人获得八折优惠折扣的概率；（2）在条件下，分别求两种方案下李女士实付金额的期望，由此提出建议.300x >【详解】（1）设事件A ：抽奖的顾客获得八折优惠，则； 213336C C 9()C 20P A ⋅==由于甲乙两位顾客获得八折优惠的概率均为， 920设甲乙两位顾客恰好一人获得八折优惠的概率P ，则； 129999C (1)2020200P =⨯-=所以甲乙两位顾客恰好一人获得八折优惠的概率为. 99200（2）方案一：设实付金额，则,（）.1ξ160x ξ=-300x >方案二：设实付金额，则的可能取值有：x ，0.9x ，0.8x ，0.7x ；（）.2ξ2ξ300x >； ；3236C 1()C 20P x ξ===1233236C C 9(0.9)C 20P x ξ=== ； ；29(0.8)20P x ξ==33236C 1(0.7)C 20P x ξ===所以. ()219998178520201020102010100E x x x x x ξ=+⨯+⨯+⨯=①若，解得，选择方案一； 8560100x x -<300400x <<②若，解得，选择方案一或方案二均可； 8560100x x -=400x =③若，解得，选择方案二.， 8560100x x ->400x >所以当消费金额大于且小于时，选择方案一； 300400当消费金额等于时，选择方案一或方案二均可； 400当消费金额大于时，选择方案二.40019．如图，在直三棱柱中，点E ，F 分别是，中点，平面平面111ABC A B C -BC 11A C 11ABB A ．AEF l=(1)证明：；l EF ∥(2)若平面，且，求直线l 与平面所成角的AB AC ==11ACC A ⊥11ABBA 1AB EF ⊥11A B E 余弦值．【答案】(1)证明过程见详解【分析】（1）取中点G ，连接，，先证明四边形为平行四边形，再证明EF ∥平AB EG 1A G 1EGA F 面，再根据直线与平面平行的性质即可证明；11ABB A l EF ∥（2）根据题意先证明，，两两垂直，从而建立空间直角坐标系，再根据求11A C 11A B 1AA 1AB EF ⊥得的值，再利用线面角的向量求法即可求解． 1AA 【详解】（1）取中点G ，连接，，AB EG 1A G∵E ，G 分别是，中点，∴且， BC AB EG AC ∥12EG AC =又∵且，∴且， 1A F AC ∥112A F AC =1A F EG ∥1=A F EG ∴四边形为平行四边形，∴，1EGA F 1EF A G ∥又平面，平面，∴EF ∥平面， EF ⊄11ABB A 1AG ⊂11ABB A 11ABB A ∵平面，平面平面，∴．EF ⊂AEF AEF ⋂11ABB A l =EF l ∥（2）由三棱柱为直棱柱，∴平面，∴，，1AA ⊥111A B C 111AA A C ⊥111AA A B ⊥∵平面平面，平面平面，平面， 11ACC A ⊥11ABB A 11ACC A 111ABB A AA =11AC ⊂11ACC A ∴平面，∴，11A C ⊥11ABB A 1111A C A B ⊥故以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，1A 11A C 11A B 1AA x y z设，则，，，，1AA a =1(0,B F )E a (0,0,)A a所以，，1(0,)AB a =-(0,)EF a =-又，则，解得，1AB EF ⊥10AB EF ⋅=2a =所以，，则，，2)E (0,0,2)A 11(0,AB =12)A E =设平面法向量为，11A B E (,,)n x y z =所以，即，取， 11100n A B n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩020z ⎧=⎪+=x1)n =- 由（1）知直线，则l 方向向量为，EF l ∥(0,2)EF =-设直线l 与平面所成角为，11BCC B α则，则sin cos ,n EF n EF n EF α⋅===⋅ cos α=所以直线l 与平面． 11BCCB 20．已知抛物线C：，过的直线与C 相交于A ，B 两点，其中O 为坐标原点. 22y x =(1,0)P (1)证明：直线OA ，OB 的斜率之积为定值；(2)若线段AB 的垂直平分线交y 轴于M ，且，求直线AB 的方程. 12tan 5AMB ∠=【答案】(1)证明见解析(2)或 10x -=10x +-=【分析】（1）直线与抛物线方程联立，利用韦达定理表示斜率乘积； （2）结合二倍角公式，求，以及弦长公式求，并利用韦达定理表示，利用比||4||3AB MN =AB MN 值，即可求直线方程.【详解】（1）设，设直线AB ：x =my +1.1222(,),(,)A x y B x y 联立化简可得：221y x x my ⎧=⎨=+⎩2220.y my --=由韦达定理可得：；12122,2y y m y y +==-所以， 1212221212124222OA OB y y y y k k y y x x y y ⋅====-⋅所以直线OA ，OB 的斜率之积为定值.2-（2）设线段AB 的中点N ，设. AMN θ∠=则，解得，22tan 12tan tan 21tan 5AMB θθθ∠===-2tan 3θ=所以，即； ||2||3AN MN =||4||3AB MN =所以； 12|||AB y y -=又线段AB 的中点N ，可得，所以. 122N y y y m +==211N N x my m =+=+因为，所以，所以.MN AB ⊥MN k m =-2|||1)N M MN x x m -=+所以，解得； ||4||3AB MN =m =所以直线AB 的方程为：或. 10x -=10x -=21．已知，. ()ln 1(R)f x x kx k =-+∈()(e 2)x g x x =-(1)求的极值；()f x (2)若，求实数k 的取值范围. ()()g x f x ≥【答案】(1)答案见解析 (2) 1k ≥【分析】（1）根据题意，求导得，然后分与讨论，即可得到结果. ()f x '0k ≤0k >（2）根据题意，将问题转化为在恒成立，然后构造函数 1n 2e l xx k x+≥-+0x >，求得其最大值，即可得到结果. 1ln ()e 2xx h x x+=-+【详解】（1）已知， 1()ln 1,(),0f x x kx f x k x x'=-+=->（）当时，恒成立，无极值， 0k ≤()0f x '≥()f x 当时，，在上单调递增，在单调递减， 0k >1()kx f x x -'=()f x 10k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,k ⎛+∞⎫⎪⎝⎭当时，有极大值，，无极小值， 1x k =()f x 1()ln f k k=-综上：当时，无极值；当时，极大值为，无极小值；0k ≤()f x 0k >1(ln f k k =-（2）若，则在时恒成立，()()g x f x ≥(e 2)ln 10x x x kx --+-≥0x >恒成立，令， l 2e 1n x x k x +∴≥-+()()221ln ln e e 2,xx x x x h x h x x x '+--=-+=令，则， 2ln e x x x x φ=--（）21(2)e 0(0)x x x x x xφ'=--+<>（）在单调递减，又， ()x φ()0+∞，12e 11e 0,(1)e 0e φφ⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭由零点存在定理知，存在唯一零点，使得，01,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00x φ=即，00001ln20000000111ln e ln e ,ln e e x x x x x x x x x x x -===，令在上单调递增， e (0),()(1)e 0,()x x x x x x x x ωωω'=>=+>（）()0+∞，， 即 000011ln(),ln x x x x ωω⎛⎫=∴= ⎪⎝⎭00ln x x -=当时，单调递增，单调递减，∴0(0,)x x ∈()h x 0(,)x x ∈+∞， ()()0000max 0001ln 11e 221x x x h x h x x x x +-==-+=-+=，即的取值范围为.0()1k h x ∴≥=k 1k ≥【点睛】关键点睛：本题主要考查了用导数研究函数极值问题，难度较难，解答本题的关键在于分离参数，然后构造函数，将问题转化为最值问题.22．在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为：（为参数），曲线的参数xOy 1C 1cos x y φφ⎧=⎪⎨⎪=⎩φ2C 方程为：（t 为参数）.sin 2sin cos x ty t t =⎧⎨=+⎩(1)将曲线化为普通方程；12,C C (2)若曲线与轴相交于，与轴相交于，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐2C y ,A B x C x 标系，射线与曲线相交于，求四边形的面积.π:(0)6l θρ=≥2C P ACBP 【答案】(1)；，2212y x -=21y x =+[1,1]x ∈-(2)1【分析】（1）根据关系消去曲线的参数可得其普通方程，根据平方关系消去参2221sin 1cos cos φφφ-=1C 数可得曲线的普通方程，t 2C （2）先求点的坐标，再求四边形面积即可.,,,A B C P ACBP【详解】（1）曲线的参数方程为：（为参数）可得（为参数） 1C 1cos x y φφ⎧=⎪⎨⎪=⎩φ222221cos sin 2cos x y φφφ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩φ消去参数可得：，所以曲线的普通方程为：.φ2212y x -=1C 2212y x -=曲线的参数方程为（t 为参数）可得（t 为参数）2C sin 2sin cos x t y t t =⎧⎨=+⎩22sin cos 12sin cos x t ty t t =⎧⎨=+⎩消去参数t 可得，又因为，所以. 21y x -=sin 2[1,1]t ∈-[1,1]x ∈-所以曲线的普通方程为：，. 2C 21y x =+[1,1]x ∈-（2）易得曲线与轴交于，与轴交于.2C y (0,1)±x (1,0)-将射线化为直角坐标方程：. π:(0)6l θρ=≥(0)y x x =≥联立解得， ()22012y x y x ⎧=≥⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以四边形的面积ACBP ()112ACB ACP C P S S S AB x x =+=+= 所以四边形的面积为ACBP 1+23．设均为正数，且，证明：,,x y z 1x y z ++=（Ⅰ）13xy yz zx ++≤（Ⅱ）22212x y z y z x z x y ++≥+++【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．【分析】（1）先由基本不等式可得，再结合的展开式即可证明222x y z xy yz xz ++≥++()2x y z ++原式成立；（2）利用柯西不等式证明. []2222()()()()1x y z x y y z x z x y z y z x z x y ⎛⎫+++++++≥++= ⎪+++⎝⎭【详解】证明：（Ⅰ）：因为()()()2222222222x y y z x z x y zxy yz xz +++++++=≥++所以22221()2223()x y z x y z xy yz xz xy yz zx =++=+++++≥++故，当且仅当时“=”成立.13xy yz zx ++≤x y z ==（Ⅱ）均为正数，由柯西不等式得：,,x y z2222[()()()]()1x y z x y y z x z x y z y z x z x y ⎛⎫+++++++≥++= ⎪+++⎝⎭即， 22221x y z y z x z x y ⎛⎫++≥ ⎪+++⎝⎭故，当且仅当时“=”成立. 22212x y z y z x z x y ++≥+++x y z ==【点睛】本题考查利用基本不等式、柯西不等式等证明不等式，难度一般.证明时，利用整体思想，注意“1”的巧妙代换.。
ABCDEF高考数学理科前三道大题冲刺训练1．某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：}（1）填充上表；（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立. ①5天中该种商品恰好有2天的销售量为吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求ξ的分布列.~】2．（本小题满分14分）如图，多面体ABCD EF -中，ABCD 是梯形，CD AB //，ACFE 是矩形，平面⊥ACFE 平面ABCD ，a AE CB DC AD ====，2π=∠ACB ． （1）若M 是棱EF 上一点，//AM 平面BDF ，求EM ；;（2）求二面角D EF B --的平面角的余弦值．~'@日销售量 1 2 频数 10 （ 2515 频率3．（本小题满分12分）己知点(1,0),(0,1),(2sin cos )A B C θθ，. （1）若(2)1OA OB OC +=，其中O 为坐标原点，求sin 2θ的值； /（2）若AC BC =，且θ在第三象限．求sin()3πθ+值.，4．（本小题满分13分）一个社会调查机构就某社区居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）.（1）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，求月收入在[1500,2000)（元）段应抽出的人数；（2）为了估计该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000,3000)（元）的概率，采用随机模拟的方法：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3，…表示收入在[2000,3000)（元）的居民，剩余的数字表示月收入不在[2000,3000)（元）的居民；再以每三个随机数为一组，代表统计的结果，经随机模拟产生了20组随机数如下： 907 966 191 925 271 932 812 458 。
569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，计算该社区3个居民中恰好有2个月收入在[2000,3000)（元）的概率. (3)任意抽取该社区6个居民，用ξ表示月收入在（2000,3000）（元）的人数，求ξ的数学期望。
]5. （本小题满分12分）在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，△ABC 的面积S满足cos S A =.（1）求角A 的值； （2）若a =B 的大小为,x 用x 表示c ，并求c 的取值范围．~第17题图男女6432性别人数科别甲科室乙科室【6.(本小题满分12分)某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见右表.现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两个科室中共抽取3名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查. （1）求从甲、乙两科室各抽取的人数；（2）求从甲科室抽取的工作人员中至少有1名女性的概率；（3）记ξ表示抽取的3名工作人员中男性的人数，求ξ的分布列及数学期望.—…,7. （本小题满分14分）已知数列{}n a 是首项11a =，公差大于０的等差数列，其前ｎ项和为n S ，数列{}n b 是首项12b =的等比数列，且2216b S =,3372b S =．(1) 求n a 和n b ；(2) 令11c =，221k k c a -=，212k k k c a kb +=+（⋅⋅⋅=,3,2,1k ），求数列{}n c 的前12+n 项和12+n T ．！》\D CBAP8．（本小题满分14分）已知如图5，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为矩形，且PA=AD=1,AB=2, 120PAB ∠=,90PBC ∠=. (1)求证：平面PAD ⊥平面PAB ； ：(2)求三棱锥D －PAC 的体积； (3)求直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值． 图5~…9、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。
（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望。
！#6、设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N ． （Ⅰ）设3nn n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．：%1．(本小题满分12分)解：(1 ) 求得=a =b .(2) ①依题意，随机选取一天，销售量为吨的概率5.0=p设5天中该种商品有X 天的销售量为吨，则X ～B （5,）3125.0)5.01(5.0)2(3225=-⨯⨯==C X P ②ξ的可能取值为4,5,6,7,8，则04.02.0)4(2===ξP2.05.02.02)5(=⨯⨯==ξP ，37.03.02.025.0)6(2=⨯⨯+==ξP 3.05.03.02)7(=⨯⨯==ξP ，09.03.0)8(2===ξP ξ的分布列:*ξ4 56 7 8 p>2．（本小题满分14分）解（1）连接BD ，记O BD AC = ，在梯形ABCD 中，因为a CB DC AD ===，CD AB //，所以DAC CAB ACD ∠=∠=∠，23ππ+∠=∠+∠+∠=∠+∠=DAC ACB ACD DAB BCD ABC，6π=∠DAC ，从而6π=∠CBO ，又因为2π=∠ACB ，a CB =，所以a CO 33=，连接FO ，由//AM 平面BDF 得FO AM //，因为ACFE 是矩形，所以a CO EM 33==。
<（2）以C 为原点，CA 、CB 、CF 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则)0 , 0 , 0(C ，)0 , 0 , 3(a A ，)0 , , 0(a B ，)0 , 2, 23(aa D -，) , 0 , 0(a F ，) , 0 , 3(a a E ， 设平面DEF 的一个法向量为) . . (1t s r n =，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011DF n EF n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+⨯+⨯-=⨯022303t a s ar a r a ， 解得)1 . 2 . 0(1-=n ， 同理可得平面BEF 的一个法向量为)1 . 1 . 0(2=n观察知二面角D EF B --的平面角为锐角，所以其余弦值为1010||||cos 2121==n n n n θ。
5.解：（1）在ABC ∆中，由3cos 2S A =1sin 2bc A = 得tan 3A =∵0A π<< ∴3A π=-------------------------------------------5分<（2）由3,3a A π==及正弦定理得32sin sin 3a cA C===，------------7分∴22sin 2sin()2sin()3c C A B x ππ==--=---------------------------9分 ∵3A π= ∴203x π<< ∴22033x ππ<-<--------------------10分∴20sin()13x π<-≤， 202sin()23x π<-≤ 即(0,2]c ∈ --------12分 6.解：（1）从甲组应抽取的人数为310215⨯=，从乙组中应抽取的人数为35115⨯=；--------2分（2）从甲组抽取的工作人员中至少有1名女性的概率26210213C P C =-=（或11246421023C C C P C +==） （3）ξ的可能取值为0，1，2，32142211054(0)75C C P C C ξ==⋅=， ,1111246324212110510522(1)75C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=， 2163211051(3)5C C P C C ξ==⋅=，z yxP AB CDPABCDE 34(2)1(0)(1)(3)75P P P P ξξξξ==-=-=-==（或 2111166432212110510534(2)75C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=)-------10分∴ξ的分布列如右4223419012375757555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=---------------------------------12分7.解：(1)设数列{}n a 的公差为d （0d >）数列{}n b 的公比为q ， 则1(1),n a n d =+- 12n n b q -=依题意得222(2)16b S q d =+=，2332(33)72b S q d =+= &由此得2(2)8(1)12q d q d +=⎧⎨+=⎩ ∵0d >,解得22d q =⎧⎨=⎩.-∴21n a n =-，2n n b =.(2) ∵()211121342()2n T c a a b a a b +=++++++⋅ +⋅⋅⋅212()n n n a a nb -+++＝2121(2)n n S b b nb ++++⋅⋅⋅+令122n A b b nb =+++则22222n A n =+⋅++⋅2312222(1)22n n A n n +=+⋅++-+⋅212222n n A n +-=+++-⋅，∴11222n n A n ++=⋅-+又2222(1)42n n n a S n +==， ∴2112114222n n n T n n +++=++⋅-+2134(1)2n n n +=++-. ~8. (1)证明：∵ABCD 为矩形 ∴AD AB ⊥且//AD BC ∵BC PB ⊥ ∴DA PB ⊥且ABPB B =∴DA ⊥平面PAB ,又∵DA ⊂平面PAD ∴平面PAD ⊥平面PAB(2) ∵D PAC P DAC P ABC C PAB V V V V ----===-由（1）知DA ⊥平面PAB ，且//AD BC ∴BC ⊥平面PAB ∴111sin 332C PAB PAB V S BC PA AB PAB BC -∆=⋅=⋅⋅⋅∠⋅133121626=⨯⨯⨯=----10分 （3）解法1：以点A 为坐标原点，AB右图示，则依题意可得(0,0,1)D ,(0,2,1)C ,31,0)2P - 可得35(,1)2CP =--, &平面ABCD 的单位法向量为(1,0,0)m =，设直线PC 与平面ABCD 所成角为θ，则362cos()2||||3251144m CP m CP πθ⋅-===⋅⨯++∴6sin θ=，即直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值68解法2：由（1）知DA ⊥平面PAB ，∵AD ⊂面ABCD∴平面ABCD ⊥平面PAB, 在平面PAB 内，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ， 则PE ⊥平面ABCD ，连结EC ，则∠PCE 为直线PC 与平面ABCD 所成的角 在Rt △PEA 中，∵∠PAE=60°，PA=1，∴3PE =, 又2222cos1207PB PA AB PA AB =+-⋅= ∴2222PC PB BC =+=在Rt △PEC中sin PE PC θ===即直线PC 与平面ABCD所成角的正弦值82、【解】：记A 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品， 记B 表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，记C 表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，记D 表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种，（Ⅰ）C A B A B =⋅+⋅()()P C P A B A B =⋅+⋅()()P A B P A B =⋅+⋅()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅0.50.40.50.6=⨯+⨯0.5=（Ⅱ）D A B =⋅ ()()P D P A B =⋅()()P A P B =⋅0.50.4=⨯0.2= ()()10.8P D P D =-= （Ⅲ）()3,0.8B ξ，故ξ的分布列()300.20.008P ξ===()12310.80.20.096P C ξ==⨯⨯= ()22320.80.20.384P C ξ==⨯⨯=()330.80.512P ξ===所以30.8 2.4E ξ=⨯= 6、解：（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123nn n S S +=+，由此得1132(3)n n n n S S ++-=-． ······························································································ 4分因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① ················································································· 6分（Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ，于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯1223(3)2n n a --=⨯+-， 12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥．又2113a a a =+>．综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，． ············································································ 12分。
