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高中数学第一章-集合考试内容：集合、子集、补集、交集、并集．逻辑联结词．四种命题．充分条件和必要条件．考试要求：〔1〕理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．〔2〕理解逻辑联结词“或〞、“且〞、“非〞的含义理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义．§01. 集合与简易逻辑 知识要点一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法〔集合化简〕、简易逻辑三局部：二、知识回忆：（一） 集合1. 根本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B. 如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，.[注]：①Z = {整数}〔√〕 Z ={全体整数} 〔×〕②集合S 中A 的补集是一个有限集，那么集合A 也是有限集.〔×〕〔例：S=N ； A=+N ，那么C s A= {0}〕 ③ 空集的补集是全集.④假设集合A =集合B ，那么C B A = ∅， C A B = ∅ C S 〔C A B 〕= D 〔 注 ：C A B = ∅〕. 3. ①{〔x ，y 〕|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{〔x ，y 〕|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R}二、四象限的点集.③{〔x ，y 〕|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例： ⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合{(2，1)}.②点集与数集的交集是φ. 〔例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 那么A ∩B =∅〕 4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个.5. ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题⇔逆命题. ②一个命题为真，那么它的逆否命题一定为真. 原命题⇔逆否命题. 例：①假设325≠≠≠+b a b a 或，则应是真命题.解：逆否：a = 2且 b = 3，那么a+b = 5，成立，所以此命题为真. ②且21≠≠y x 3≠+y . 解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.21≠≠∴y x 且3≠+y x ,故3≠+y x 是21≠≠y x 且的既不是充分，又不是必要条件.⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3. 例：假设255 x x x 或，⇒. 4. 集合运算：交、并、补.{|,}{|}{,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交：且并：或补：且C 5. 主要性质和运算律 （1） 包含关系：,,,,,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C（2） 等价关系：U A B A B A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C （3） 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A == 分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 0-1律：,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===等幂律：.,A A A A A A ==求补律：A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U U =φ C U φ=U反演律：C U (A ∩B)= (C U A )∪(C U B ) C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B )6. 有限集的元素个数定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card( A)规定 card(φ) =0.根本公式：(1)()()()()(2)()()()()()()()()card A B card A card B card A B card A B C card A card B card C card A B card B C card C A card A B C =+-=++---+(3) card ( U A )= card(U)- card(A)(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法〔零点分段法〕①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+〞；(为了统一方便)②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点〔为什么？〕；④假设不等式〔x 的系数化“+〞后〕是“>0〞,那么找“线〞在x 轴上方的区间；假设不等式是“<0〞,那么找“线〞在x 轴下方的区间.+-+-x 1x 2x 3x m-3x m-2xm-1x mx〔自右向左正负相间〕那么不等式)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n 的解可以根据各区间的符号确定.特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论；20>∆ 0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2〔0>a 〕的图象原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互2.分式不等式的解法 〔1〕标准化：移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式， 〔2〕转化为整式不等式〔组〕⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f3.含绝对值不等式的解法〔1〕公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.〔2〕定义法：用“零点分区间法〞分类讨论.〔3〕几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)〔1〕根的“零分布〞：根据判别式和韦达定理分析列式解之.〔2〕根的“非零分布〞：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. 〔三〕简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。
上海高中高考数学知识点总结〔大全〕一、集合与常用逻辑1．集合概念元素：互异性、无序性2．集合运算全集U：如U=R交集：A B {xx A且x B}并集：A B {xx A或x B}补集：C U A {xx U且x A}3．集合关系空集 A子集A B:任意x A x BA B A A B A B B A B注：数形结合---文氏图、数轴4．四种命题原命题：假设p那么q 逆命题：假设q那么p否命题：假设p那么 q 逆否命题：假设q那么p原命题逆否命题否命题逆命题5．充分必要条件p是q的充分条件：P qp是q的必要条件：P qp是q的充要条件：p?q6．复合命题的真值q真〔假〕?“q〞假〔真〕②p、q同真?“p∧q〞真p、q都假?“p∨q〞假全称命题、存在性命题的否认M,p(x〕否认为: M, p(X)M,p(x〕否认为: M, p(X)二、不等式1．一元二次不等式解法假设a 0，ax2bx c0有两实根,()，那么ax2bx c 0解集(, )ax2bx c0解集(, )(,)注：假设a 0，转化为2．其它不等式解法—转化a0情况x a a x a x2a2x a x a或x a x2a2f(x)0f(x)g(x)0g(x)a f(x)a g(x)f(x)g(x)〔a1〕f(x)0log a f(x)log a g(x)f(x)〔0a1〕g(x)3．根本不等式①a2b22aba bab②假设a,bR，那么22ab、ab(a b)2注：用均值不等式a b2求最值条件是“一正二定三相等〞三、函数概念与性质1．奇偶性f(x)偶函数f(x)f(x)f(x)图象关于y轴对称f(x)奇函数f(x)f(x)f(x)图象关于原点对称注：①f(x)有奇偶性定义域关于原点对称②f(x)奇函数,在x=0有定义f(0)=0③“奇+奇=奇〞〔公共定义域内〕2．单调性f(x)增函数：或x1＜x 2x 1＞x 2f(x f(x1)＜f(x2) 1) ＞f(x2)或f(x 1)f(x 2)x 1x 2f(x)减函数：？注：①判断单调性必须考虑定义域 f(x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增〞③奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反3．周期性T 是f(x)周期 f(xT)f(x)恒成立〔常数T0 〕4．二次函数解析式：f(x)=ax2+bx+c ，f(x)=a(x-h)2+kf(x)=a(x-x)(x-x )12对称轴：xb 顶点：(b ,4acb 2 )2a2a 4a单调性：a>0，(,b]递减，[b ,)递增2a2a当xb4acb 2，f(x)min4a2a2b=0奇偶性：f(x)=ax +bx+c 是偶函数闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法---注意对称轴与区间的位置关系注：一次函数 f(x)=ax+b 奇函数 b=0四、根本初等函数1(a0)an1n1．指数式aa m m a na n2．对数式log a Nba b N 〔a>0,a ≠1〕log a MNlog a Mlog a Nlog a Mlog a M log a N Nlog a M n nlog a Mlog alog m b lgb blga log m alog a b log a n b n1log b a注：性质log a10log a a1a log a N N常用对数lgN log10N，lg2lg51自然对数lnN log e N，lne13．指数与对数函数y=a x与y=log a x定义域、值域、过定点、单调性？注：y=a x与y=log a x图象关于y=x对称〔互为反函数〕14．幂函数yx2,yx3,yx2,yx1x在第一象限图象如下：五、函数图像与方程1．描点法函数化简→定义域→讨论性质〔奇偶、单调〕取1010特殊点如零点、最值点等2．图象变换平移：“左加右减，上正下负〞y f(x)y f(x h)伸缩：y f(x)每一点的横坐标变为原来的倍yf(1x)对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变〞y f(x)x轴y f(x)y f(x)y轴y f(x)y f(x)原点y f(x)注：yf(x)直线xay f(2a x)翻折：y f(x)y|f(x)|保存x轴上方局部，并将下方局部沿x轴翻折到上方yy=f(x)a obc x a yoy=|f(x)|b c xy f(x)y f(|x|)保存y轴右边局部，并将右边局部沿y轴翻折到左边yyy=f(x)a obc x a o3．零点定理假设f(a)f(b) 0，那么y f(x)在(a,b)内有零点y=f(|x|)b c x 〔条件：f(x)在[a,b]上图象连续不间断〕注：①f(x)零点：f(x)0的实根②在[a,b]上连续的单调函数f(x)，f(a)f(b)0那么f(x)在(a,b)上有且仅有一个零点③二分法判断函数零点---f(a)f(b)0？六、三角函数1．概念第二象限角(2k,2k)(k Z)22．弧长lr 扇形面积S1lr23．定义siny x y cos tanrrx其中P(x,y)是终边上一点，POr4．符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦〞 5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限〞 如Sin(2 ) sin ，cos( /2 ) sin6．特殊角的三角函数值6 4 3sin 012 322 2cos132 1222tg31337．根本公式同角sin 2cos 21sin tancos和差sinsin cos cos sincoscos cos sin sintan tan tan1 tantan倍角sin2 2sin coscos2 22 21 2cos sin2cos 12sin降幂cos 2α=1cos2sin2α=1cos222叠加sincos2sin()43sincos2sin()6a ) asinbcosa 2b 2sin()(tanb322110 1/ 0/2tan tan221tan8．三角函数的图象性质y=sinx y=cosx y=tanx图象单调性：(,)增(0,)减(,)增2222sinx cosx tanx 值域[-1，1][-1，1]无奇偶奇函数偶函数奇函数周期2π2ππ对称轴xk/2x k无中心k,0/2k,0k/2,0注：kZ9．解三角形根本关系：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosCtan(A+B)=-tanC sin AB cosC22正弦定理：a=b csinA=sinCsinBa2RsinA a:b:c sinA:sinB:sinC余弦定理：a2=b2+c2－2bccosA〔求边〕cosA=b2c2a2〔求角〕2bc12注：ABC中，A+B+C=？ A B sinA s inBa2＞b2+c2?∠A＞2七、数列1、等差数列定义：a n1 a n d通项：a n a 1(n1)d求和：S nn(a 1a n )1n(n 1)dna 122a c中项：b 〔a,b,c 成等差〕2性质：假设mnpq ，那么a ma n a p a q2、等比数列定义：an1a n通项：a n求和：S n中项：b 2q(q 0) a 1q n1na 1 (q 1)a 1(1 q n )1)1 (qqac 〔a,b,c 成等比〕性质：假设m n pq那么a m a n a p a q3、数列通项与前n 项和的关系a ns 1 a 1(n 1)s n s n1(n2)4、数列求和常用方法 公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法八、平面向量1．向量加减三角形法那么，平行四边形法那么AB BCAC 首尾相接，OBOC =CB 共始点中点公式：ABAC2ADD 是BC 中点2．向量数量积a ab cosy 1y 2b ==x 1x 2注：①a,b 夹角：00≤θ≤1800②a,b 同向：ab a b3．根本定理 a 1e 12e 2〔e 1,e 2不共线--基底〕平行：a//b a b x1y2x2y1〔b0〕垂直：a b a b0x1x2y1y20模：a＝x2y22(ab)2 ab角：cos ab |a||b|注：①0∥a②a b c abc〔合律〕不成立③a b ac b c〔消去律〕不成立九、复数与推理证明1．复数概念复数：z a bi(a,b R)，部a、虚部b分：数〔b0〕，虚数〔b0〕，复数集C注：z是虚数a0，b0相等：、虚局部相等共：z a bi模：z a2b2zz2 z复平面：复数z的点(a,b) 2．复数运算加减：〔a+bi〕±(c+di)=？乘法：〔a+bi〕〔c+di〕=？除法：abi=(a bi)(c di)==⋯c di(c di)(c di)乘方：i21，i n i4kr i r 3．合情推理比：特殊推出特殊：特殊推出一般演：一般出特殊〔大前→小前→〕4．直接与接明合法：由因果比法：作差—形—判断—反法：反—推理—矛盾—缺一不可，假必使用分析法：果索因(1) 分析法写格式： (2) 要A 真，只要 B 真，即⋯⋯， (3) 只要 C 真，而 C 真，故 A 必真 (4) 注：常用分析法探索明途径，合法写明程 (5) 5．数学法： (6) 当n=1命成立,(2)假当n=k(kN*，k1)命成立明当n=k+1命也成立, 由(1)(2)知命所有正整数注：用数学法，两步 十、直线与圆1、斜角范0,斜率ky 2 y 1tanx 1x 2注：直向上方向与 x 正方向所成的最小正角斜角90，斜率不存在2、直方程点斜式yy 0 k(x x 0)，斜截式y kx by y 1 x x 1，截距式x y 1 两点式y 1x 2x 1 a b y 2一般式Ax By C注意适用范：①不含直 x x 0②不含垂直 x 的直 ③不含垂直坐和原点的直 3、位置关系〔注意条件〕平行 k 1 k 2且b 1b 2垂直k 1k 21垂直A 1A 2B 1B 204、距离公式两点距离：|AB|=(x 1 x 2)2 (y 1 y 2)2点到直距离：dAx 0By 0CA 2B 2n 都成立5、圆标准方程：(xa)2(y b)2r2圆心(a,b)，半径r圆一般方程：x2y2Dx Ey F0〔条件是？〕圆心D,E半径r D2E24F2226、直线与圆位置关系位置关系相切相交相离几何特征r dr drd代数特征△0△0△0注：点与圆位置关系(x0a)2(y0b)2r2点Px0,y0在圆外7、直线截圆所得弦长AB2r2d2十一、圆锥曲线一、定义椭圆：|PF1|+|PF|=2a(2a>|F F|)212双曲线：|PF1|-|PF2|=±2a(0<2a<|F1F2|)抛物线：与定点和定直线距离相等的点轨迹二、标准方程与几何性质〔如焦点在x轴〕椭圆x2y21(a>b>0)a2b2双曲线x2y21(a>0,b>0)a2b2中心原点对称轴？焦点F1(c,0)、F2(-c,0)顶点:椭圆(±a,0),(0,±b)，双曲线(±a,0)范围:椭圆-axa,-byb双曲线|x|a，y R焦距：椭圆2c〔c=a2b2〕双曲线2c〔c=a2b2〕2a 、2b:椭圆长轴、短轴长， 双曲线实轴、虚轴长 离心率：e=c/a椭圆0<e<1,双曲线e>1注：双曲线x 2y 2 1渐近线yb x a 2b 2a方程mx 2 ny 2 1表示椭圆 m0,nn方程mx 2ny 2 1表示双曲线mn抛物线y 2=2px(p>0)顶点〔原点〕 对称轴〔x 轴〕开口〔向右〕 范围x0离心率e=1焦点F(p,0)准线xp 22十二、矩阵、行列式、算法初步十、算法初步一．程序框图程序框名称功能起止框起始和结束输入和输出的信息输入、输出框赋值、计算处理框判断某一条件是否成立判断框4 循环框重复操作以及运算5 67 二．根本算法语句及格式8 1输入语句：INPUT “提示内容〞；变量 9 2输出语句：PRINT “提示内容〞；表达式 10 3赋值语句：变量=表达式11条件语句“IF —THEN —ELSE 〞语句“IF —THEN 〞语句IF条件THENIF条件THEN语句1语句ELSEENDIF句 2 ENDIF5循句当型循句WHILE 条件DO直到型循句循体循体WENDLOOPUNTIL条件当型“先判断后循〞直到型“先循后判断〞三．算法案例1、求两个数的最大公数 相除法：到达余数 0更相减：到达减数和差相等2、多式f(x)=a n x n +a n-1x n-1+⋯.+a 1x+a 0的求秦九韶算法：v 1=a n x+a n －1v 2=v 1x+a n－2v=vx+an －3v=vx+a32nn －1注：推公式v 0=a n v k =v k －1X +a n －k (k=1,2,⋯n)求f(x)，乘法、加法均最多 n 次3、位制的 制数十制数：a n a n1.....a 1a 0(k) a n k n a n1 k n1 ......... a 1 k a 0十制数成 k 制数：“除k 取余法〞 例1相除法求得123和48最大公数3例2f(x)=2x 5－5x 4－4x 3+3x 2－6x+7，秦九韶算法求f(5)123＝2×48＋27v 0=248＝1×27＋21 v1=2×5－5=5 27＝1×21＋6 v2=5×5－4=21 21＝3×6＋3v =21×5+3=1083 6＝2×3+0v=108×5－6=5344v 5=534×5+7=2677十三、立体几何 1．三 正、、俯2．直：斜二画法 '''XOY =45平行X 的段，保平行和度平行Y 的段，保平行，度原来一半3．体与面V柱=S底hV锥=1S底h V球=4πR3 33S圆锥侧=rl S圆台侧=(R r)l S球表=4R24．公理与推论确定一个平面的条件：①不共线的三点②一条直线和这直线外一点③两相交直线④两平行直线公理：平行于同一条直线的两条直线平行定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg高考前数学知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的元素一般属性，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
中元素各表示什么？2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或文氏图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3.已知集合A 、B ，当A B ⋂=∅时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；4. 注意下列性质：（1） 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为n 2，n 21-， n 21-，n 2 2.- （）若，；2A B A B A A B B ⊆⇔== （3）：空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。
5. 学会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）6.可以判断真假的语句叫做命题。
若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨7. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。
） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
8.注意四种条件，判断清楚谁是条件，谁是结论； 9. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）10. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 11. 如何求复合函数的定义域？ 12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，需注明函数的定义域。
13. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x ，注意正负的取舍；②互换x 、y ；③反函数的定义域是原函数的值域） 14. 反函数的性质有哪些？①互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；15. 会用定义证明函数单调性.；用定义法求函数的单调区间。
上海高中高考数学知识点总结（大全）一、集合与常用逻辑1．集合概念 元素：互异性、无序性 2．集合运算 全集U ：如U=R 交集：}{B x A x x B A ∈∈=且 并集：}{B x A x x B A ∈∈=⋃或 补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且 3．集合关系 空集A ⊆φ子集B A ⊆:任意B x A x ∈⇒∈B A B B A BA AB A ⊆⇔=⊆⇔=注：数形结合---文氏图、数轴 4．四种命题原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若p ⌝则q ⌝ 逆否命题：若q ⌝则p ⌝ 原命题⇔逆否命题 否命题⇔逆命题5．充分必要条件p 是q 的充分条件：q P ⇒ p 是q 的必要条件：q P ⇐ p 是q 的充要条件：p ⇔q 6．复合命题的真值①q 真（假）⇔“q ⌝”假（真） ②p 、q 同真⇔“p ∧q ”真 ③p 、q 都假⇔“p ∨q ”假 7.全称命题、存在性命题的否定 ∀∈M, p(x ）否定为: ∃∈M, )(X p ⌝ ∃∈M, p(x ）否定为: ∀∈M, )(X p ⌝二、不等式1．一元二次不等式解法若0>a ，02=++c bx ax 有两实根βα,)(βα<，则02<++c bx ax 解集),(βα02>++c bx ax 解集),(),(+∞-∞βα注：若0<a ，转化为0>a 情况 2．其它不等式解法—转化a x a a x <<-⇔<⇔22a x <⇔>a x a x >或a x -<⇔22a x >0)()(>x g x f ⇔0)()(>x g x f ⇔>)()(x g x f a a )()(x g x f >（a >1）⇔>)(log )(log x g x f a a f x f x g x ()()()><⎧⎨⎪⎩⎪0（01<<a ）3．基本不等式 ①ab b a 222≥+ ②若+∈R b a ,，则ab ba ≥+2注：用均值不等式ab b a 2≥+、2)2(b a ab +≤ 求最值条件是“一正二定三相等”三、函数概念与性质1．奇偶性f(x)偶函数⇔()()f x f x -=⇔f(x)图象关于y 轴对称 f(x)奇函数⇔()()f x f x -=-⇔f(x)图象关于原点对称 注：①f(x)有奇偶性⇒定义域关于原点对称②f(x)奇函数,在x=0有定义⇒f(0)=0 ③“奇+奇=奇”（公共定义域内） 2．单调性f(x)增函数：x 1＜x 2⇒f(x 1)＜f(x 2)或x 1＞x 2⇒f(x 1) ＞f(x 2)或0)()(2121>--x x x f x ff(x)减函数：？注：①判断单调性必须考虑定义域②f(x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增” ③奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反 3．周期性T 是()f x 周期⇔()()f x T f x +=恒成立（常数0≠T）4．二次函数解析式： f(x)=ax 2+bx+c ，f(x)=a(x-h)2+k f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)对称轴：abx 2-= 顶点：)44,2(2a b ac a b -- 单调性：a>0，]2,(ab--∞递减，),2[+∞-a b 递增 当ab x 2-=，f(x)min a b ac 442-=奇偶性：f(x)=ax 2+bx+c 是偶函数⇔b=0闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法--- 注意对称轴与区间的位置关系注：一次函数f(x)=ax+b 奇函数⇔b=0四、基本初等函数1．指数式 )0(10≠=a a n naa1=- m n m na a = 2．对数式b N a =log N a b =⇔（a>0,a ≠1）N M MN a a a log log log +=N M NMa a alog log log -= M n M a n a log log =a b b m m a log log log =ablg lg =n a a b b n log log =ab log 1=注：性质01log =a 1log =a a N a N a =log常用对数N N 10log lg =，15lg 2lg =+ 自然对数N N e log ln =，1ln =e 3．指数与对数函数 y=a x与y=log a x定义域、值域、过定点、单调性？注：y=a x与y=log a x 图象关于y=x 对称（互为反函数） 4．幂函数 12132,,,-====x y x y x y x yαx y =在第一象限图象如下：五、函数图像与方程1．描点法函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调） 取特殊点如零点、最值点等 2．图象变换 平移：“左加右减，上正下负”α>101<<αα<0)()(h x f y x f y +=→=伸缩：)1()(x f y x f y ϖϖ=−−−−−−−−→−=倍来的每一点的横坐标变为原对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”)()()()()()(x f y x f y x f y x f y x f y x f y y x --=−−→−=-=−→−=-=−→−=原点轴轴注：)(x f y =ax =→直线)2(x a f y -=翻折：→=)(x f y |()|y f x =保留x 轴上方部分，并将下方部分沿x 轴翻折到上方→=)(x f y (||)y f x =保留y 轴右边部分，并将右边部分沿y 轴翻折到左边3．零点定理若0)()(<b f a f ，则)(x f y =在),(b a 内有零点 （条件：)(x f 在],[b a 上图象连续不间断） 注：①)(x f 零点：0)(=x f 的实根②在],[b a 上连续的单调函数)(x f ，0)()(<b f a f 则)(x f 在),(b a 上有且仅有一个零点 ③二分法判断函数零点---0)()(<b f a f ？六、三角函数1．概念 第二象限角)2,22(ππππ++k k (Z k ∈)2．弧长 r l ⋅=α 扇形面积lr S 21=3．定义 r y =αsin r x =αcos xy=αtan其中),(y x P 是α终边上一点，r PO =4．符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦” 5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”如ααπsin )2(-=-Sin ，ααπsin )2/cos(-=+ 67同角1cos sin 22=+αααααtan cos sin = 和差()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±()βαβαβαsin sin cos cos cos =± ()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±倍角 αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ααα2tan 1tan 22tan -=降幂cos 2α=22cos 1α+ sin 2α=22cos 1α- 叠加 )4sin(2cos sin πααα+=+)6sin(2cos sin 3πααα-=-)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a )(tan ba=ϕ8．三角函数的图象性质单调性： )2,2(ππ-增 ),0(π减 )2,2(ππ-增注：Z k ∈ 9．解三角形基本关系：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC tan(A+B)=-tanC 2cos 2sin CB A =+ 正弦定理：A a sin =B b sin =Ccsin A R a sin 2= C B A c b a sin :sin :sin ::=余弦定理：a 2=b 2+c 2－2bc cos A （求边）cos A =bca cb 2222-+（求角）面积公式：S △＝21ab sin C 注：ABC ∆中，A+B+C=？ B A B A sin sin <⇔<a 2＞b 2+c 2 ⇔ ∠A ＞2π七、数 列y=sinxy=cosxy=tanx图象sinx cosx tanx 值域 [-1，1] [-1，1] 无 奇偶 奇函数偶函数 奇函数 周期 2π2ππ对称轴 2/ππ+=k xπk x =无中心()0,πk()0,2/ππk + ()0,2/πk1、等差数列定义：d a a n n =-+1 通项：d n a a n )1(1-+= 求和：2)(1n n a a n S += d n n na )1(211-+= 中项：2ca b +=（c b a ,,成等差） 性质：若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+2、等比数列定义：)0(1≠=+q q a ann通项：11-=n n q a a求和：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn中项：ac b =2（c b a ,,成等比）性质：若q p n m +=+ 则q p n m a a a a ⋅=⋅ 3、数列通项与前n 项和的关系⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n n n4、数列求和常用方法公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法八、平面向量1．向量加减 三角形法则，平行四边形法则=+BC AB AC 首尾相接，OC OB -=CB 共始点中点公式：⇔=+AD AC AB 2D 是BC 中点 2． 向量数量积 b a ⋅=θcos ⋅⋅=2121y y x x +注：①b a ,夹角：00≤θ≤1800②b a ,同向：b a =⋅3．基本定理 2211e e a λλ+=（21,e e不共线--基底）平行：⇔b a //b a λ=⇔1221y x y x =（0≠b ） 垂直：0=⋅⇔⊥b a b a 02121=+⇔y y x x模：a ＝22y x + =+=+2)(b a夹角：=θcos ||||b a ba 注：①0∥a ②()()c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅（结合律）不成立③c a b a ⋅=⋅c b =⇒（消去律）不成立九、复数与推理证明1．复数概念复数：bi a z +=(a,b )R ∈，实部a 、虚部b 分类：实数（0=b ），虚数（0≠b ），复数集C注：z 是纯虚数0=⇔a ，0≠b相等：实、虚部分别相等 共轭：bi a z -= 模：22b a z +=2z z z =⋅复平面：复数z 对应的点),(b a 2．复数运算加减：（a+bi ）±(c+di)=？ 乘法：（a+bi ）（c+di ）=？除法：di c bi a ++=))(())((di c di c di c bi a -+-+==… 乘方：12-=i ，=ni r rk i i =+43．合情推理类比：特殊推出特殊归纳：特殊推出一般演绎：一般导出特殊（大前题→小前题→结论） 4．直接与间接证明综合法：由因导果比较法：作差—变形—判断—结论 反证法：反设—推理—矛盾—结论分析法：执果索因分析法书写格式：要证A 为真，只要证B 为真，即证……， 这只要证C 为真，而已知C 为真，故A 必为真 注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程 5．数学归纳法：(1)验证当n=1时命题成立,(2)假设当n=k(k ∈N* ，k ≥1)时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立由(1)(2)知这命题对所有正整数n 都成立注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用十、直线与圆1、倾斜角 范围[)0,π 斜率 2121tan y y k x x α-==-注：直线向上方向与x 轴正方向所成的最小正角倾斜角为90︒时，斜率不存在 2、直线方程点斜式)(00x x k y y -=-，斜截式b kx y += 两点式121121x x x x y y y y --=--， 截距式1=+bya x一般式0=++C By Ax注意适用范围：①不含直线0x x = ②不含垂直x 轴的直线③不含垂直坐标轴和过原点的直线 3、位置关系（注意条件） 平行⇔12k k = 且21b b ≠垂直⇔121k k =- 垂直⇔12120A A B B += 4、距离公式两点间距离：|AB|=221221)()(y y x x -+-点到直线距离：d =5、圆标准方程：222)()(r b y a x =-+- 圆心),(b a ，半径r圆一般方程：022=++++F Ey Dx y x （条件是？）圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭半径2r =6、直线与圆位置关系注：点与圆位置关系 ⇔>-+-22020)()(r b y a x 点()00,P x y 在圆外7、直线截圆所得弦长AB =十一、圆锥曲线一、定义椭圆： |PF 1|+|PF 2|=2a(2a>|F 1F 2|) 双曲线：|PF 1|-|PF 2|=±2a(0<2a<|F 1F 2|) 抛物线：与定点和定直线距离相等的点轨迹 二、标准方程与几何性质（如焦点在x 轴）椭圆12222=+b y a x ( a>b>0)双曲线12222=-by a x (a>0,b>0)中心原点 对称轴？ 焦点F 1(c,0)、F 2(-c,0)顶点: 椭圆(±a,0),(0, ±b)，双曲线(±a,0) 范围: 椭圆-a ≤x ≤a,-b ≤y ≤b双曲线|x| ≥ a ，y ∈R 焦距：椭圆2c （c=22b a -）双曲线2c （c=22b a +）2a 、2b:椭圆长轴、短轴长，双曲线实轴、虚轴长离心率：e=c/a 椭圆0<e<1,双曲线e>1注：双曲线12222=-by a x 渐近线x a by ±=方程122=+ny mx 表示椭圆n m n m ≠>>⇔.0,0 方程122=+ny mx 表示双曲线0<⇔mn 抛物线y 2=2px(p>0)顶点（原点） 对称轴（x 轴）开口（向右） 范围x ≥0 离心率e=1焦点)0,2(p F准线2px -= 十二、矩阵、行列式、算法初步十、算法初步一．程序框图二．基本算法语句及格式1输入语句：INPUT “提示内容”；变量 2输出语句：PRINT “提示内容”；表达式 3赋值语句：变量=表达式 4条件语句“IF —THEN —ELSE ”语句 “IF —THEN ”语句 IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句1 语句ELSE END IF 语句2 END IF5循环语句当型循环语句 直到型循环语句 WHILE 条件 DO循环体 循环体WEND LOOP UNTIL 条件 当型“先判断后循环” 直到型“先循环后判断”三．算法案例1、求两个数的最大公约数 辗转相除法：到达余数为0更相减损术：到达减数和差相等2、多项式f(x)= a n x n +a n-1x n-1+….+a 1x+a 0的求值秦九韶算法： v 1=a n x+a n －1 v 2=v 1x+a n －2 v 3=v 2x+a n －3 v n =v n －1x+a 0 注：递推公式v 0=a n v k =v k －1X +a n －k (k=1,2,…n)求f(x)值，乘法、加法均最多n 次 3、进位制间的转换k 进制数转换为十进制数：111011.........)(.....a k a k a k a k a a a a n n n n n n +⨯++⨯+⨯=---十进制数转换成k 进制数：“除k 取余法” 例1辗转相除法求得123和48最大公约数为3例2已知f(x)=2x 5－5x 4－4x 3+3x 2－6x+7，秦九韶算法求f(5)123＝2×48＋27 v 0=248＝1×27＋21 v 1=2×5－5=5 27＝1×21＋6 v 2=5×5－4=21 21＝3×6＋3 v 3=21×5+3=1086＝2×3+0 v 4=108×5－6=534v 5=534×5+7=2677十三、立体几何1．三视图 正视图、侧视图、俯视图2．直观图：斜二测画法'''X OY ∠=450平行X 轴的线段，保平行和长度平行Y 轴的线段，保平行，长度变原来一半 3．体积与侧面积V 柱=S 底h V 锥 =31S 底h V 球=34πR 3S 圆锥侧=rl π S 圆台侧=l r R )(+π S 球表=24R π 4．公理与推论 确定一个平面的条件： ①不共线的三点 ②一条直线和这直线外一点 ③两相交直线 ④两平行直线公理：平行于同一条直线的两条直线平行定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
上海高考数学教辅知识点上海高考作为中国最重要的高中生考试之一，数学作为其中一门科目，对于很多考生来说是个挑战。
为了帮助考生更好地备考，下面我将分享一些上海高考数学教辅知识点，以帮助考生更好地理解和掌握数学知识。
一、函数与方程函数与方程是高考数学必备的基础知识点，而在上海高考中更为重要。
考生需要熟悉函数与方程的基本概念和性质，包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
此外，考生还需了解方程的解的概念和求解方法，包括一元一次方程、一元二次方程、一元高次方程等。
二、几何与三角上海高考数学中几何与三角题型占比较大，考生需要熟悉和掌握几何图形的性质和相关公式，包括平行线与等角定理、直角三角形与勾股定理、相似三角形与比例定理等。
此外，考生还需了解三角函数的定义和性质，包括正弦、余弦、正切等函数的定义和计算方法。
三、概率与统计概率与统计是上海高考数学中的另一重要知识点。
考生需要了解概率的基本概念和计算方法，包括事件、样本空间、概率的计算等。
此外，考生还需要掌握统计学的基本概念和相关方法，包括数据收集、数据组织、数据分析等。
四、数列与数学归纳法数列与数学归纳法在上海高考数学中也是一个重要的考点。
考生需了解数列的定义、性质和常见数列的求和公式。
此外，考生还需了解数学归纳法的基本原理和应用，以解决关于数列的问题。
五、导数与微分导数与微分在上海高考数学中也是一个重点知识点。
考生需了解导数的定义、性质和相关计算方法，包括函数求导、导数与函数图像的关系等。
此外，考生还需掌握微分的概念和计算方法，包括微分的运算法则和微分方程的基本概念。
总结：上海高考数学教辅知识点是考生备考中必备的重要内容。
通过掌握函数与方程、几何与三角、概率与统计、数列与数学归纳法、导数与微分等知识点，考生可以更好地应对高考数学考试。
然而，仅仅掌握这些知识点还不足以确保高分。
考生还需要进行大量的练习，熟悉各类题型的解题方法和思路，并且要注重实际问题的应用，培养自己解决问题的能力。
![上海市2020届高三数学二轮复习分层次辅导讲义——函数[1].02函数的单调性(B级).-学生版](https://uimg.taocdn.com/d865ecd7f01dc281e43af046.webp)
1． 函数单调性的定义：①如果函数()f x 对区间D 内的任意12,x x ，当12x x <时都有()()12f x f x <，则称()f x 在D 内是增函数；当12x x <时都有()()12f x f x >，则()f x 在D 内是减函数．②设函数()y f x =在某区间D 内可导，若()0f x '>，则()y f x =为x D ∈的增函数；若()0f x '<，则()y f x =为x D ∈的减函数．2． 单调性的定义①的等价形式：设[]12,,x x a b ∈，那么()()12120f x f x x x ->- ⇔()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是增函数；若()()12120f x f x x x -<- ⇔()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()f x ⇔在[],a b 是减函数．3． 单调性与单调区间（1）如果一个函数在某区间上是增函数或减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性．12,x x 具有以下三个特征：①任意性；②有大小，通常规定12x x <；③同属一个单调区间．（2）函数的单调性是指某个区间上的性质①这个区间可以是整个定义域．如3y x =在整个定义域(),-∞+∞上是增函数；3y x =-在整个定义域(),-∞+∞上是减函数． ②这个区间可以是定义域的真子集如：22y x =+在整个定义域(),-∞+∞上不具备单调性，但在(],0-∞上是减函数，在[)0+∞，上是增函数．③有些函数不具备单调性如：函数1(0x y x ⎧=⎨⎩为有理数）（为无理数），它的定义域为R ，但不具备单调性；再如：1y x =+，x Z ∈，它的定义域不是区间，也不能说它定义域上具有单调性． （3）区间端点的写法对于单独的一点，由于它的函数值值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性的问知识内容函数的单调性题，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点．但对于某些无意义的点，单调区间就不包括这些点．如：21y x =+的增函数是[)0+∞，，也可以记作()0+∞，．但函数1y x=在()0+∞，上是减函数，却不能写成[)0+∞，上为减函数． （4）函数的单调性的几何意义若函数()f x 是区间D 上的增（减）函数，则图像在D 上的部分从左到右是上升（下降）的．4． 函数的单调性的判断（1）讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； （2）判断函数的单调性的方法有：1）定义法用定义法证明函数单调性的一般步骤：①取值：即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且12x x <②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形． ③定号：确定差12()()f x f x -（或21()()f x f x -）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论． ④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间． 2）函数的图像先作出函数图像，利用图像直观判断函数的单调性 3）直接法就是对于我们的所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，可直接写出它的单调区间．4)记住几条常见的结论①函数()y f x =-与()y f x =的单调性相反；②函数()f x 与()f x c +（c 为常数）具有相同的单调性；③当0c >时，函数()f x 与()cf x 具有相同的单调性；当0c <时，函数()f x 与()cf x 具有相反单调性；④若()0f x ≠，则函数()f x 与1()f x 具有相反的单调性．⑤若()0f x ≥，则函数()f x⑥若()()f x g x ，具有相同的单调性，则()+()f x g x 也于()()f x g x ，具有相同的单调性； 证明：设()()()h x f x g x =+，设12x x <，[][][][]1211221212()()()()()()()()()()h x h x f x g x f x g x f x f x g x g x -=+-+=-+-，当()()f x g x ，为增函数时，则[]12()()f x f x -与[]12()()g x g x -的符号相等，所以()+()f x g x 也于()()f x g x ，具有相同的单调性．⑦若()()f x g x ，具有相反的单调性，则()()f x g x -也于()f x 具有相同的单调性，与()g x 具有相反的单调性．即在公共定义域内，增函数()f x +增函数()g x 是增函数；减函数()f x +减函数()g x 是减函数；增函数()f x -减函数()g x 是增函数；减函数()f x -增函数()g x 是减函数． 5)复合函数单调性的判断：“同增异减”．6)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性．7）重要函数的单调性：函数(0,0)by ax a b x=+>>在(),,ab ab ⎤⎡-∞-+∞⎦⎣或上单调递增；在)(,00ab ab ⎡⎤-⎣⎦或，上是单调递减．一、函数单调性的判定 1． 定义法【例1】 试用函数单调性的定义判断函数22()1xf x x =-在区间(01)，上的单调性．【例2】 求函数()1f x x x=+的单调区间．例题精讲【例3】 设函数()x af x x b+=+（a ＞b ＞0），求()f x 的单调区间，并证明()f x 在其单调区间上的单调性．【例4】 设0a >，()x x e af x a e=+是R 上的偶函数．（1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0)+∞，上为增函数．2． 图象法【例5】 求下列函数的单调区间：⑴ |1|y x =-；⑵ 1y x x=+（0x >）．【例6】 作出函数2||y x x =-的图象，并结合图象写出它的单调区间．【例7】 画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）22||1y x x =-++ （2）2|23|y x x =-++3．求复合函数的单调区间【例8】 函数21x y x =-（x ∈R ，1x ≠）的递增区间是（ ）A ．2x ≥B ．0x ≤或2x ≥C ．0x ≤D ．1x ≤或x【例9】 讨论函数y =的单调性．【例10】 求函数()f x =㏒20.5(87)x x -+的单调区间【例11】 已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性．二、利用单调性求函数中参数的取值范围【例12】 设函数()(21)f x a x b =-+是R 上的减函数，则a 的范围为( )A ．12a ≥B ．12a ≤C ．12a >-D ．12a <【例13】 函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是( )A ．0b ≥B ．0b ≤C ．0b >D ．0b <【例14】 设a 是实数，2()()21x f x a x =-∈+R ， ⑴试证明对于任意a ，()f x 为增函数； ⑵试确定a 值，使()f x 为奇函数．三、函数的单调性与方程、不等式【例15】 比较2log (1)x +与2log (23)x +的大小．【例16】 已知()f x 在区间()-∞+∞，上是减函数，R a b ∈，且0a b +≤，则下列表达正确的是（ ）A ．()()[()()]f a f b f a f b +≤-+B ．()()()()f a f b f a f b +≤-+-C ．()()[()()]f a f b f a f b +≥-+D ．()()()()f a f b f a f b +≥-+-【例17】 设f(x)在R 上是偶函数，在区间()0-∞，上递增，且有()()2221321f a a f a a ++<-+，求a 的取值范围．【例18】 已知偶函数()f x 在()0+∞，上为增函数，且()20f =，解不等式()22log 540f x x ⎡⎤++⎣⎦≥．【例19】 已知 a 、b 、R c +∈，c a b <+且c a b >-，求证：111c a bc a b <++++【例20】 已知1x >-，且0x ≠，N n ∈，2n ≥，求证：(1)1n x nx +>+四、函数的最值【例21】 求函数1()f x x x=+，0x >的最小值．【例22】 求函数y =【例23】 设a 为实数，函数()21f x x x a =+-+，R x ∈（1）讨论()f x 的奇偶性；（2）求()f x 的最小值．５、抽象函数的单调性【例24】 已知函数()f x 对任意实数x ，y 均有()()()f x y f x f y +=+．且当x ＞0时，()0f x >，试判断()f x 的单调性，并说明理由．【例25】 设()f x 是定义在R 上的函数，对m 、R n ∈恒有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，0()1f x <<． （1）求证：(0)1f =； （2）证明：x R ∈时恒有()0f x >； （3）求证：()f x 在R 上是减函数； （4）若()(2)1f x f x ⋅->，求x 的范围．【例26】 已知给定函数()f x 对于任意正数x ，y 都有()f xy ＝()f x ·()f y ，且()f x ≠0，当1x >时，()1f x <．试判断()f x 在(0,)+∞上的单调性，并说明理由．【例27】 设()f x 是定义在(0)+∞，上的单调增函数，满足()()()(3)1f xy f x f y f =+=，求：（1）()1f ；（2）当()(8)2f x f x +-≤时x 的取值范围．【例28】 已知()f x 是定义在+R 上的增函数，且()()()x f f x f y y=-．⑴求证：(1)0f =，()()()f xy f x f y =+； ⑵若(2)1f =，解不等式1()()23f x f x -≤-．【例29】 已知()f x 是定义在R 上的增函数，对R x ∈有()0f x >，且()51f =，设()()()1F x f x f x =+，讨论()F x 的单调性，并证明你的结论．高中数学.函数.02.函数的单调性（B 级）.学生版 Page 11 of 11【习题1】求证：函数()(0)a f x x a x =+>在(,)a +∞上是增函数．【习题2】求下列函数的单调区间：⑴|1||24|y x x =-++；⑵ 22||3y x x =-++【习题3】已知()y f x =是偶数，且在[)0+∞，上是减函数，求()21f x -单调增区间．【习题4】求函数212y x x =++的单调区间．【习题5】求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间；课后检测。
上海高中高考数学知识点总结（大全）一、集合与常用逻辑1．集合概念 元素：互异性、无序性 2．集合运算 全集U ：如U=R 交集：}{B x A x x B A ∈∈=且I 并集：}{B x A x x B A ∈∈=⋃或 补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且 3．集合关系 空集A ⊆φ 子集B A ⊆:任意B x A x ∈⇒∈B A B B A B A A B A ⊆⇔=⊆⇔=Y I注：数形结合---文氏图、数轴 4．四种命题原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若p ⌝则q ⌝ 逆否命题：若q ⌝则p ⌝原命题⇔逆否命题 否命题⇔逆命题5．充分必要条件p 是q 的充分条件：q P ⇒ p 是q 的必要条件：q P ⇐ p 是q 的充要条件：p ⇔q 6．复合命题的真值①q 真（假）⇔“q ⌝”假（真）②p 、q 同真⇔“p ∧q ”真 ③p 、q 都假⇔“p ∨q ”假 7.全称命题、存在性命题的否定 ∀∈M, p(x ）否定为: ∃∈M, )(X p ⌝ ∃∈M, p(x ）否定为: ∀∈M, )(X p ⌝二、不等式1．一元二次不等式解法若0>a ，02=++c bx ax 有两实根βα,)(βα<，则02<++c bx ax 解集),(βα 02>++c bx ax 解集),(),(+∞-∞βαY注：若0<a ，转化为0>a 情况 2．其它不等式解法—转化a x a a x <<-⇔<⇔22a x <⇔>a x a x >或a x -<⇔22a x >0)()(>x g x f ⇔0)()(>x g x f ⇔>)()(x g x f a a )()(x g x f >（a >1）⇔>)(log )(log x g x f a a f x f x g x ()()()><⎧⎨⎪⎩⎪0（01<<a ）3．基本不等式①ab b a 222≥+ ②若+∈R b a ,，则ab ba ≥+2注：用均值不等式ab b a 2≥+、2)2(b a ab +≤ 求最值条件是“一正二定三相等”三、函数概念与性质1．奇偶性f(x)偶函数⇔()()f x f x -=⇔f(x)图象关于y 轴对称 f(x)奇函数⇔()()f x f x -=-⇔f(x)图象关于原点对称 注：①f(x)有奇偶性⇒定义域关于原点对称②f(x)奇函数,在x=0有定义⇒f(0)=0 ③“奇+奇=奇”（公共定义域内） 2．单调性f(x)增函数：x 1＜x 2⇒f(x 1)＜f(x 2)或x 1＞x 2⇒f(x 1) ＞f(x 2) 或0)()(2121>--x x x f x ff(x)减函数：？注：①判断单调性必须考虑定义域②f(x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增” ③奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反 3．周期性T是()f x 周期⇔()()f x T f x +=恒成立（常数0≠T ）4．二次函数解析式： f(x)=ax 2+bx+c ，f(x)=a(x-h)2+k f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)对称轴：abx 2-= 顶点：)44,2(2a b ac a b -- 单调性：a>0，]2,(ab--∞递减，),2[+∞-a b 递增 当ab x 2-=，f(x)min a b ac 442-=奇偶性：f(x)=ax 2+bx+c 是偶函数⇔b=0 闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法--- 注意对称轴与区间的位置关系注：一次函数f(x)=ax+b 奇函数⇔b=0四、基本初等函数1．指数式 )0(10≠=a a n naa 1=- m n m na a = 2．对数式b N a =log N a b =⇔（a>0,a ≠1）N M MN a a a log log log +=N M NMa a alog log log -= M n M a n a log log =a b b m m a log log log =ablg lg = n a a b b nlog log =ab log 1=注：性质01log=a1log=aaNa N a=log常用对数NN10loglg=，15lg2lg=+自然对数NNelogln=，1ln=e3．指数与对数函数 y=a x与y=log a x定义域、值域、过定点、单调性？注：y=a x与y=log a x图象关于y=x对称（互为反函数）4．幂函数12132,,,-====xyxyxyxyαxy=在第一象限图象如下：五、函数图像与方程1．描点法函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调）取特殊点如零点、最值点等2．图象变换平移：“左加右减，上正下负”α>101<<αα<0)()(h x f y x f y +=→=伸缩：)1()(x f y x f y ϖϖ=−−−−−−−−→−=倍来的每一点的横坐标变为原对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”)()()()()()(x f y x f y x f y x f y x f y x f y y x --=−−→−=-=−→−=-=−→−=原点轴轴注：)(x f y =ax =→直线)2(x a f y -=翻折：→=)(x f y |()|y f x =保留x 轴上方部分，并将下方部分沿x 轴翻折到上方y=f(x)cb aoyxy=|f(x)|cb aoyx→=)(x f y (||)y f x =保留y 轴右边部分，并将右边部分沿y 轴翻折到左边y=f(x)cb aoyxy=f(|x|)cb aoyx3．零点定理若0)()(<b f a f ，则)(x f y =在),(b a 内有零点 （条件：)(x f 在],[b a 上图象连续不间断） 注：①)(x f 零点：0)(=x f 的实根②在],[b a 上连续的单调函数)(x f ，0)()(<b f a f 则)(x f 在),(b a 上有且仅有一个零点 ③二分法判断函数零点---0)()(<b f a f ？ 六、三角函数1．概念 第二象限角)2,22(ππππ++k k (Z k ∈)2．弧长 r l ⋅=α 扇形面积lr S 21= 3．定义 ry =αsin r x =αcos xy =αtan 其中),(y x P 是α终边上一点，r PO =4．符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦” 5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”如ααπsin )2(-=-Sin ，ααπsin )2/cos(-=+ 6．特殊角的三角函数值α6π4π 3π 2π π23π sin α 0 21 22 23 1 0 1-cos α 1 23 22 21 0 1-0 tg α 033 13/0 /7．基本公式同角1cos sin 22=+αααααtan cos sin = 和差()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±()βαβαβαsin sin cos cos cos μ=± ()βαβαβαtan tan 1tan tan tan μ±=±倍角 αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ααα2tan 1tan 22tan -=降幂cos 2α=22cos 1α+ sin 2α=22cos 1α-叠加 )4sin(2cos sin πααα+=+)6sin(2cos sin 3πααα-=-)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a )(tan ba=ϕ8．三角函数的图象性质单调性： )2,2(ππ-增 ),0(π减 )2,2(ππ-增y=sinxy=cosxy=tanx图象sinx cosx tanx 值域 [-1，1] [-1，1] 无 奇偶 奇函数偶函数奇函数 周期2π2ππ 对称轴 2/ππ+=k x πk x =无中心()0,πk()0,2/ππk + ()0,2/πk注：Z k ∈ 9．解三角形基本关系：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC tan(A+B)=-tanC 2cos 2sinCB A =+ 正弦定理：A asin =Bb sin =CcsinA R a sin 2= CB A c b a sin :sin :sin ::=余弦定理：a 2=b 2+c 2－2bccosA （求边）cosA=bca cb 2222-+（求角）面积公式：S △＝21absinC注：ABC ∆中，A+B+C=？ B A B A sin sin <⇔<a 2＞b 2+c 2 ⇔ ∠A ＞2π七、数 列1、等差数列定义：d a a n n =-+1 通项：d n a a n )1(1-+= 求和：2)(1n n a a n S += d n n na )1(211-+= 中项：2ca b +=（c b a ,,成等差） 性质：若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+ 2、等比数列 定义：)0(1≠=+q q a a nn通项：11-=n n q a a求和：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn中项：ac b =2（c b a ,,成等比）性质：若q p n m +=+ 则q p n m a a a a ⋅=⋅ 3、数列通项与前n 项和的关系⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n nn 4、数列求和常用方法公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法八、平面向量1．向量加减 三角形法则，平行四边形法则=+BC AB AC 首尾相接，OC OB -=CB 共始点中点公式：⇔=+AD AC AB 2D 是BC 中点 2．向量数量积 b a ⋅=θcos ⋅⋅b a =2121y y x x +注：①b a ,夹角：00≤θ≤1800②b a ,同向： b a b a ⋅=⋅3．基本定理 2211e e a ρρρλλ+=（21,e e ρρ不共线--基底） 平行：⇔b a //b a λ=⇔1221y x y x =（0≠b ） 垂直：0=⋅⇔⊥b a b a 02121=+⇔y y x x模：a ρ＝22y x + Λ=+=+22)(b a b a夹角：=θcos ||||b a ba ⋅注：①0ρ∥a ②()()c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅（结合律）不成立③c a b a ⋅=⋅c b =⇒（消去律）不成立九、复数与推理证明1．复数概念复数：bi a z +=(a,b )R ∈，实部a 、虚部b 分类：实数（0=b ），虚数（0≠b ），复数集C注：z 是纯虚数0=⇔a ，0≠b相等：实、虚部分别相等 共轭：bi a z -= 模：22b a z += 2z z z =⋅ 复平面：复数z 对应的点),(b a 2．复数运算加减：（a+bi ）±(c+di)=？ 乘法：（a+bi ）（c+di ）=？ 除法：di c bi a ++=))(())((di c di c di c bi a -+-+==… 乘方：12-=i ，=n i r r k i i =+43．合情推理类比：特殊推出特殊归纳：特殊推出一般演绎：一般导出特殊（大前题→小前题→结论） 4．直接与间接证明综合法：由因导果比较法：作差—变形—判断—结论 反证法：反设—推理—矛盾—结论分析法：执果索因分析法书写格式：要证A 为真，只要证B 为真，即证……，这只要证C 为真，而已知C 为真，故A 必为真 注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程 5．数学归纳法：(1)验证当n=1时命题成立,(2)假设当n=k(k ∈N* ，k ≥1)时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立由(1)(2)知这命题对所有正整数n 都成立注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用十、直线与圆1、倾斜角 范围[)0,π 斜率 2121tan y y k x x α-==- 注：直线向上方向与x 轴正方向所成的最小正角倾斜角为90︒时，斜率不存在 2、直线方程点斜式)(00x x k y y -=-，斜截式b kx y += 两点式121121x x x x y y y y --=--， 截距式1=+bya x 一般式0=++C By Ax注意适用范围：①不含直线0x x = ②不含垂直x 轴的直线③不含垂直坐标轴和过原点的直线 3、位置关系（注意条件）平行⇔12k k = 且21b b ≠垂直⇔121k k =- 垂直⇔12120A A B B += 4、距离公式两点间距离：|AB|=221221)()(y y x x -+- 点到直线距离：0022Ax By Cd A B++=+5、圆标准方程：222)()(r b y a x =-+- 圆心),(b a ，半径r 圆一般方程：022=++++F Ey Dx y x （条件是？）圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 半径2242D E Fr +-=6、直线与圆位置关系注：点与圆位置关系 ⇔>-+-22020)()(r b y a x 点()00,P x y 在圆外 7、直线截圆所得弦长222AB r d =-位置关系 相切 相交 相离几何特征 d r =d r <d r >代数特征 0=△0>△0<△十一、圆锥曲线一、定义椭圆： |PF 1|+|PF 2|=2a(2a>|F 1F 2|) 双曲线：|PF 1|-|PF 2|=±2a(0<2a<|F 1F 2|) 抛物线：与定点和定直线距离相等的点轨迹 二、标准方程与几何性质（如焦点在x 轴）椭圆12222=+b y a x ( a>b>0)双曲线12222=-by a x (a>0,b>0)中心原点 对称轴？ 焦点F 1(c,0)、F 2(-c,0) 顶点: 椭圆(±a,0),(0, ±b)，双曲线(±a,0) 范围: 椭圆-a ≤x ≤a,-b ≤y ≤b双曲线|x| ≥ a ，y ∈R 焦距：椭圆2c （c=22b a -）双曲线2c （c=22b a +） 2a 、2b:椭圆长轴、短轴长，双曲线实轴、虚轴长离心率：e=c/a 椭圆0<e<1,双曲线e>1注：双曲线12222=-by a x 渐近线x a by ±=方程122=+ny mx 表示椭圆n m n m ≠>>⇔.0,0 方程122=+ny mx 表示双曲线0<⇔mn抛物线y 2=2px(p>0)顶点（原点） 对称轴（x 轴） 开口（向右） 范围x ≥0 离心率e=1 焦点)0,2(p F准线2p x -=十二、矩阵、行列式、算法初步十、算法初步一．程序框图二．基本算法语句及格式程序框 名称 功能起止框 起始和结束输入、输出框 输入和输出的信息 处理框 赋值、计算判断框 判断某一条件是否成立循环框重复操作以及运算1输入语句：INPUT “提示内容”；变量2输出语句：PRINT“提示内容”；表达式3赋值语句：变量=表达式4条件语句“IF—THEN—ELSE”语句“IF—THEN”语句IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句1 语句ELSE END IF语句2END IF5循环语句当型循环语句直到型循环语句WHILE 条件 DO循环体循环体WEND LOOP UNTIL 条件当型“先判断后循环”直到型“先循环后判断”三．算法案例1、求两个数的最大公约数辗转相除法：到达余数为0更相减损术：到达减数和差相等2、多项式f(x)= a n x n+a n-1x n-1+….+a1x+a0的求值秦九韶算法： v1=a n x+a n－1 v2=v1x+a n－2v3=v2x+a n－3 v n=v n－1x+a0注：递推公式v 0=a n v k =v k －1X +a n －k (k=1,2,…n)求f(x)值，乘法、加法均最多n 次 3、进位制间的转换k 进制数转换为十进制数：111011.........)(.....a k a k a k a k a a a a n n n n n n +⨯++⨯+⨯=---十进制数转换成k 进制数：“除k 取余法” 例1辗转相除法求得123和48最大公约数为3例2已知f(x)=2x 5－5x 4－4x 3+3x 2－6x+7，秦九韶算法求f(5)123＝2×48＋27 v 0=2 48＝1×27＋21 v 1=2×5－5=5 27＝1×21＋6 v 2=5×5－4=21 21＝3×6＋3 v 3=21×5+3=1086＝2×3+0 v 4=108×5－6=534v 5=534×5+7=2677十三、立体几何1．三视图 正视图、侧视图、俯视图2．直观图：斜二测画法'''X OY ∠=450平行X 轴的线段，保平行和长度平行Y 轴的线段，保平行，长度变原来一半 3．体积与侧面积V 柱=S 底h V 锥 =31S 底h V 球=34πR 3 S 圆锥侧=rl π S 圆台侧=l r R )(+π S 球表=24R π 4．公理与推论 确定一个平面的条件： ①不共线的三点 ②一条直线和这直线外一点 ③两相交直线 ④两平行直线公理：平行于同一条直线的两条直线平行定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
2019年上海高考数学·第一轮复习（第22讲 抛物线）[基础篇]二 补充知识1.点),(00y x P 与抛物线的位置关系：),(00y x P 在抛物线内⇔ （含焦点）；),(00y x P 在抛物线上⇔ ；),(00y x P 在抛物线外⇔ ；2.焦半径：抛物线上的点),(00y x P 与焦点F 之间的线段长度称为焦半径，记作.||PF r = (1);2),0(202px r p px y +=>= (2);2),0(202p x r p px y +-=>-= (3);2),0(202p y r p py x +=>=(4);2),0(202p y r p py x +-=>-= 3.焦点弦：AB 为抛物线)0(22>=p px y的焦点弦，),(),,(2211y x B y x A ，弦中点).,(00y x M（1）=21x x =21y y （2）弦长,2,212121p x x x x p x x l=≥+++=即当21x x =时，通径最短为（3）弦长=l （α为AB 的倾斜角）； （4）=+||1||1BF AF （5）以AB 的直径为圆与准线（6）焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为 4. AB 为抛物线)0(22>=p px y的弦，),(),,(2211y x B y x A ，弦中点).,(00y x M弦长=l ==AB k ;直线AB 的方程：线段AB 的垂直平分线方程：5.过抛物线px y 22=（0>p ）的焦点F 的直线l 交抛物线于),(11y x A 、),(22y x B 两点，设m FA =，n FB =，O 为原点，则有：（1）4221p x x =；（2）221p y y -=；（3）4-=OB OA k k ；（4）pn m 211=+。
[技能篇]题型一：抛物线的性质与概念例题1-1 抛物线22x y -=的准线为_______ ,焦点坐标为______例题1-2 已知圆07622=--+x y x ，与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则=p _______例题1-3 点M 与点F (4,0)的距离比它到直线:50x +=的距离小1，则点M 的轨迹方程是 ___________例题1-4 抛物线px y 22=（0>p ）与椭圆1922=+my x 有一个共同的焦点，则P 的取值范围是______题型二：焦点弦有关的问题例题2-1 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|= （ ） A ．8B ．10C ．6D ．4例题2-2 过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则qp 11+等于（ ） A a 2 Ba 21 C a 4 D a4例题2-3 抛物线px y 22=（0>p ）上有),(11y x A 、),(22y x B 、),(33y x C 三点，F 是它的焦点，若AF 、BF 、CF 成等差数列，则（ ）A 321,,x x x 成等差数列B 231,,x x x 成等差数列C 321,,y y y 成等差数列D 231,,y y y 成等差数列例题2-4 AB 是抛物线x y =2的焦点弦，若4=AB ，则AB 的中点到直线012=+x 的距离是________[竞技篇]一、选择题1、一个正三角形的顶点都在抛物线24y x =上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是（ ）（A ）（B ）（C ）9（D ）2、抛物线2x y =上一点到直线042=--y x 的距离最短的点的坐标是（ ）A ．（1，1）B ．（41,21） C ．)49,23(D ．（2，4）3、过点（0,1）作直线，使它与抛物线x y 42=仅有一个公共点，这样的直线有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．0条二 填空题1、抛物线x y 162-=上一点P 到x 轴的距离为12，则点P 到焦点的距离为__________2、过A （－1，1），且与抛物线22y x =+有一个公共点的直线方程为3、在抛物线x y 82=中，以)1.1(-为中心的弦所在的直线方程为_________4、若点A 的坐标是（3，2），F 为抛物线y 2=2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MA|+|MF|取最小值的M 的坐标为______5、直线m x y +=交抛物线y x =2于A 、B 两点，若OB OA ⊥，则=m _______6、若抛物线x k y )1(2-=与双曲线0122=+-y x 没有公共点，则实数k 的取值范围为______三 解答题1、求顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线3x-4y=12上的抛物线方程。
2019年上海高考数学·第一轮复习（第01讲 集合）[基础篇]一 集合的概念1. 把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做 ，简称 。
集合中的各对象叫做这个集合的 。
2．集合中的元素属性具有：(1) ； (2) ； (3) ．二 集合的分类 （1）集合的分类 1. 按照元素的种类： 2.3. 4.1. 按照元素的数量：2.3. （2）常见的数集 自然数集： 正整数集： 整 数 集： 有理数集： 实 数 集：复 数：三 集合的表示方法 （1）列举法：（2）描述法：（3）图像法：备注：有限集常用 ，无限集常用 ，图示法常用于表示集合之间的相互关系．⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧四 元素与集合之间的关系 （1）属于：（2）不属于：五 集合与集合之间的关系 1.集合间的关系 （1）包含关系：（2）真包含关系：（3）不包含关系：（4）相等关系：2.子集与真子集的概念子集：若集合A 中 都是集合B 的元素，就说集合A 包含于集合B （或集合B 包含集合A ），记作 ．真子集：如果 就说集合A 是集合B 的真子集，记作 ．注意事项：空集∅是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，∅是任何集合的 ，∅是任何非空集合的 ，解题时不可忽视∅．3.子集数和真子集数的计算若集合A 含有n 个元素，则A 的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个．六 集合间的运算（1）交集、并集、补集的概念1．交集：由 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的交集，记作A∩B，即A∩B＝ ． 2．并集：由 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的并集，记作A∪B，即A∪B＝ ． 3．补集：集合A 是集合S 的子集，由 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集，记作S C A ，即S C A ＝ ．（2）集合的常用运算性质1．A ∩A ＝ ，A ∩∅＝ ，A ∩B= ，B ∩A ，A ∪A ＝ ， A ∪∅＝ ，A ∪B ＝B ∪A2．U A C A ⋂＝ ，U A C A ⋃＝ ，()U C C A = ． 3．()U C A B ⋃= ，()U C A B ⋂= ，4．A∪B＝A ⇔ A ∩B ＝A ⇔[技能篇]题型一：元素的特征例题1-1 若a,b ∈R,集合{}1,,0,,,b a b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭求b-a 的值.例题1-2 设集合2{2,3,23}U a a =+-，{|21|,2}A a =-，{5}U C A =，求实数a 的值.题型二：元素和集合间的关系 例题2-1 用符号∈、∉填空：（1*N ; （2）1 -Z ; （3）-2 R ; （4）2 N;（5（6）1 φ题型三：集合的表示方法例题3-1 用描述法表示下列集合： （1）偶数组成的集合；（2）平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合。
2020上海高考数学基础知识回顾：第三讲函数二一、函数的图像的变换★1、满足条件()()f x a f b a +=-的函数的图像关于直线2a bx +=对称； ★2、点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于y 轴的对称曲线方程为()x f y -=；★3、点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于x 轴的对称曲线方程为()x f y -=；★4、点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --；函数()x f y =关于原点的对称曲线方程为()x f y --=；★5、()y f x a =+是将()y f x =的图像向左(0)a >（右(0)a <）平移a 个单位得到； ★★6、曲线(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线的方程为(2,2)0f a x b y --=； ★★7、形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c=-由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c-；★★8、|()|f x 的图像先保留()f x 原来在x 轴上方的图像，作出x 轴下方的图像关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图像得到；(||)f x 的图像先保留()f x 在y 轴右方的图像，擦去y 轴左方的图像，然后作出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到；★★9、()y f ax =是将()y f x =的图像横坐标扩大(01)a <<（缩小(1)a >）1个单位得到； ★10、函数()x f y =+a 的图像是把函数()x f y =助图像沿y 轴向上)0(>a (向下)0(<a )平移a 个单位得到的.二、函数的单调性★★1、定义：设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么 基础知识[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. ★★2、如果函数)(x f 和)(x g 都是增（减）函数，则在公共定义域内，和函数)()(x g x f +也是增（减）函数；如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是增（减）函数，则复合函数)]([x g f y =是增（减）函数（同增异减）.★3、利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ① 任取D x x ∈21,，且21x x <；② 作差)()(21x f x f - （偶有做商比较大小的）； ③ 变形（通常是通分、因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差)()(21x f x f -的正负）；⑤下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）. 三、函数的奇偶性★1、偶函数的定义： 如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数；奇函数的定义：如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数（定义域是否是关于原点对称是判断前提）.★2、图像：)(x f 为奇函数⇔)(x f 图像关于原点对称；)(x f 为偶函数⇔)(x f 图像关于y 轴对称．★3、根据规律判断函数的奇偶性：偶函数+偶函数=偶函数；奇函数+奇函数=奇函数；偶函数×偶函数=偶函数； 奇函数×奇函数=偶函数； 偶函数×奇函数=奇函数． ★★4、函数奇偶性的性质：① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同； 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． ② 如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数； ③ 若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==；④ 若奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =．故(0)0f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件；⑤ 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”；⑥ 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”；⑦ 既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）．★★5、若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+. 四、函数的周期性★1、定义：设函数)(x f ，D x ∈，如果存在非零常数T ，使得对任意的D x ∈，都有)()(x f T x f =+，则称)(x f 为周期函数，T 为)(x f 的一个周期，周期函数的周期往往不唯一．★★★2、和周期函数有关的常见结论： （1）若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a ； （2）若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a ； （3）若f (x ＋a )＝－1f （x ），则函数的周期为2a ；（4）函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，那么函数f (x )的周期为2|b －a |；（5）若函数f (x )关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)对称，则函数f (x )的周期是2|b －a |； （6）若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b ，0)对称，函数f (x )的周期是4|b －a |； （7）若函数f (x )是偶函数，其图象关于直线x ＝a 对称，则其周期为2a ； （8）若函数f (x )是奇函数，其图象关于直线x ＝a 对称，则其周期为4a . 五、函数的对称性★★★1、函数()y f x =的图象的对称性：（1）函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=. （2）函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称 ()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.★★★2、两个函数图象的对称性：（1）函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. （2）函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. （3）函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线x y =对称.一、函数图象的变换对较为复杂的函数能够利用函数图象的平移、对称、旋转、翻折进行处理.【例1】将函数by a x a=++的图像向右平移2个单位后又向下平移2个单位，所得图像如果与原图像关于y x =对称，那么（ ）A .1,0a b =-≠B .1,a b R =-∈C . 1,0a b =≠D .0,a b R =∈【难度】★ 【答案】C【例2】函数213||4y x x =-+的单调增区间为__________. 【难度】★ 【答案】3[,0]2-和3[,)2+∞【例3】已知222)(--=x x f ，且关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有k （*N k ∈）个根，则这k 个根的和可能是 .（请写出所有可能值）【难度】★★【答案】4、6、8、10、12、14、16【巩固训练】1．已知函数1)(---=a x x a x f 的反函数)(1x f -的图像的对称中心)3,1(-，则实数a 的值为_____________． 【难度】★★ 【答案】22．将函数12log y x =的图像沿x 轴向右平移1个单位，得到图像C ，图像1C 与C 关于原点对称，图像2C 与1C 关于直线y x =对称，则2C 对应的函数解析式为______________. 【难度】★ 题型与方法【答案】1()12x y -=--3．函数c bx x x x f ++=)(给出四个命题： ①当0=c 时，)(x f y =是奇函数；②当0,0>=c b 时，方程0)(=x f 只有一个实数根； ③)(x f y =的图像关于点()c ,0对称； ④方程0)(=x f 至多只有两个实数根. 上述命题中，所有正确命题的序号是_______. 【难度】★★ 【答案】①②③二、函数的单调性掌握函数单调性的判断和证明，会求简单的复合函数的单调性，讨论单调函数与不等式的关系，以及利用函数的单调性求函数的最大值、最小值问题，同时也要注意复合函数单调性的判断“同增异减，内外兼顾”.【例4】函数22log (1)y x =-的单调递减区间是 ．【难度】★ 【答案】)1,(-∞【例5】已知⎩⎨⎧≥<--=)1(log )1()3()(x xx a x a x f a 是),(+∞-∞上的增函数，那么a 的取值范围是 ． 【难度】★★【答案】⎪⎭⎫⎢⎣⎡323，【例6】函数()1sin sin 2+-=x x x f []()π20，∈x 的单调递增区间为 ． 【难度】★★【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡26ππ，，⎥⎦⎤⎢⎣⎡2365ππ，【例7】已知在关于x 的不等式()()()10136log 4log 2<<->-a a x x a a 的解集中，有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】1312139<≤a【巩固训练】1．设R a ∈，则“1a =-”是“()()2f x ax x =-在()0,+∞上单调递增”的（ ） A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件【难度】★★ 【答案】C2．已知函数()()()()⎩⎨⎧>+-≤=0430x a x a x a x f x ，满足()()[]()02121<--x x x f x f 对定义域中任意的1x 、2x 成立，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛410，3．函数()1log 2log 221221+-=x x x f 的单调递减区间为 ．【难度】★★【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛220，4．问题“求方程345x x x +=的解”有如下的思路：方程345x x x +=可变为34()()155x x +=，考察函数34()()()55x x f x =+可知，(2)1f =，且函数()f x 在R 上单调递减，∴原方程有唯一解2x =.仿照此解法可得到不等式：632(23)(23)x x x x -+>+-的解是 ．【难度】★★★ 【答案】1x <-或3x >三、函数的奇偶性对函数奇偶性的判断和证明主要利用定义或者一些特殊函数的奇偶性的复合来进行求解．【例8】设R a ∈，22()()21x x a a f x x R ⋅+-=∈+，若函数)(x f 是奇函数，则a 的值为 ． 【难度】★ 【答案】1【例9】若定义在R 上的函数)(x f ，)(x g 均为奇函数，设1)()()(++=x bg x af x F ，若10)2(=-F ，则)2(F 的值为 ． 【难度】★★ 【答案】8-【例10】定义在R 上的奇函数()()2+=x f x f ，且当()01，-∈x 时，()212-=x x f ，则()=18log 2f ．【难度】★★ 【答案】187-【例11】若定义在R 上的函数()x f 满足对任意1x 、R x ∈2都有()()()12121++=+x f x f x x f ，则下列说法一定正确的是（）A 、()x f 为奇函数B 、()x f 为偶函数C 、()1+x f 为奇函数D 、()1+x f 为偶函数【难度】★★ 【答案】C【巩固训练】1．设)(x f 是定义在R 上的函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，当)(x f 为奇函数时，函数)(x f 的解析式是 ； 当)(x f 为偶函数时，函数)(x f 的解析式是 ．【难度】★【答案】()⎩⎨⎧<--≥-=020222x x x x x x x f ，，，()⎩⎨⎧<+≥-=020222x x x x x x x f ，，．2．93()2f x ax bx cx =+++，若(1)1f -=，则(1)f = ． 【难度】★★ 【答案】33．已知函数()⎩⎨⎧>+≤+=022x bx ax x x x x f ，，为奇函数，则=+b a ．【难度】★★ 【答案】04．设函数()x f 和()x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 （）A 、()()x g x f +为偶函数B 、()()x g x f -为奇函数C 、()()x g x f +为偶函数D 、()()x g x f -为奇函数【难度】★★ 【答案】A四、函数的周期性对函数周期性的判断和证明常利用一些公式模型来套用，或是利用赋值法恒等化简，找到()()x f T x f =+即可，也可以利用特殊函数来进行简化计算．【例12】已知奇函数)(x f 满足条件)()3(x f x f =+，当)1,0(∈x 时，13)(-=xx f ，则)36(log 31f ＝_____． 【难度】★ 【答案】13【例13】定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧>---≤-=0),2()1(0),1(log )(2x x f x f x x x f ，则)2014(f 的值为____．【难度】★★ 【答案】1【例14】设函数)(x f y =是定义在R 上以1为周期的函数，若函数x x f x g 2)()(-=在区间]3,2[上的值域为]6,2[-，则)(x g 在区间]12,12[-上的值域为（ ）A ．]6,2[-B ．]28,24[-C ．]32,22[-D ．]34,20[-【难度】★★★ 【答案】D【巩固训练】1．)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f 关于21=x 对称，则=+++)100()1()0(f f f Λ_____． 【难度】★★ 【答案】02．已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x Z ∈，都有()()()11f x f x f x =-++．若()()12,13f f -==，则()()20122012f f +-=______．【难度】★★★ 【答案】5-3．设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 ．【难度】★★★ 【答案】[15,11]-五、函数性质与图像综合应用对函数性质和图象的综合运用，可以利用函数与方程的方法、数形结合的方法、转化与划归的方法等来进行解决．【例15】已知()f x 是单调减函数，若将方程()f x x =与1()()f x f x -=的解分别称为函数()f x 的不动点与稳定点．则“x 是()f x 的不动点”是“x 是()f x 的稳定点”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【难度】★★ 【答案】B【例16】已知集合M 是满足下列两个条件的函数)(x f 的全体：①)(x f 在定义域上是单调函数；②在)(x f 的定义域内存在闭区间],[b a ，使)(x f 在],[b a 上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2b a ．若函数m x x g +-=1)(，M x g ∈)(，则实数m 的取值范围是_________．【难度】★★ 【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0【例17】定义域是一切实数的函数()x f y =，其图像是连续不断的，且存在常数λ(R λ∈)使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”．有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—伴随函数”；②“12—伴随函数”至少有一个零点；③2()f x x =是一个“λ—伴随函数”；其中正确结论的个数是（ ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．0个；【难度】★★★ 【答案】A【巩固训练】1．若偶函数()y f x =()x ∈R 满足(1)(1)f x f x +=-，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，则函数()()lg g x f x x =-的零点个数为_____个．【难度】★★ 【答案】102．若()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意的实数0x ≥，总有正常数T ，使得()()f x T f x T +=+成立，则称()f x 具有“性质p ”，已知函数()g x 具有“性质p ”，且在[]0,T 上，()2g x x =；若当[],4x T T ∈-时，函数()y g x kx =-恰有8个零点，则实数k =__________．【难度】★★★ 【答案】436-3．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x =，当0x >时，()()()11f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11个不同的公共点，则实数k的取值范围为____________． 【难度】★★★【答案】（264-，436-）【例1】设函数()()R x xxx f ∈+-=1，[]()b a b a M <=,，集合(){}M x x f y y N ∈==,，则使N M =成立的实数对()b a ,有 个．【难度】★★ 【答案】0【解析】函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+=>++-=+-=0,1110,00,1111x x x x x x x x f ，如图，从图形可以看出，函数单调递减，所以()()⎩⎨⎧==ab f ba f ，解得0==b a ，与b a <矛盾，故只有0个．【易错点】画出图象可以很容易判断函数的单调性，从而借助方程思想和数形结合思想，在函数值域一定的条件下去研究定义域就会变得简单了．【变式训练】1．设函数()()R x x xx f ∈+=12，区间[]b a M ,=（其中b a <），集合(){}M x x f y y N ∈==,，易错题型则使N M =成立的实数对()b a ,共有 对． 【难度】★★ 【答案】3【例2】若函数()()()a bx a x x f 2++=（常数a 、R b ∈）是偶函数，且它的值域为(]4，∞-，则该函数的解析式()=x f ． 【难度】★ 【答案】422+-x【解析】函数可化为()()2222a x ab a bx x f +++=，由偶函数知02=+ab a ，又因为值域为(4，∞-，所以0<b ，422=a ，解得2±=a ，2-=b ，所以()422+-=x x f ．【易错点】函数的奇偶性需要判断两点，一是定义域的对称性，而是()x f 解析式与()x f -的关系．【变式训练】1．若函数()()θ+=x x f 3sin 2，[]a a x 3,52π-∈为奇函数，其中()πθ2,0∈，则=-θa ． 【难度】★ 【答案】0【例3】设函数()⎩⎨⎧∉∈=Q x Qx x D ，，01，则下列结论错误的是（ ）A 、()x D 的值域为{}10，B 、()x D 是偶函数C 、()xD 不是周期函数 D 、()x D 不是单调函数【难度】★★ 【答案】C【解析】任取非零有理数T ，若x 为有理数，则T x +也为有理数；若当x 为无理数时，T x +也为无理数，故有()()x D T x D =+，则()x D 是周期函数，同理可证明()x D 为偶函数． 【易错点】分段函数的周期性和奇偶性按照定义证明即可．【变式训练】1．给出定义：若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}m x =．在此基础上给出下列关于函数(){}x x x f -=的四个命题：①函数()x f y =的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡210，；②函数()x f y =的图象关于直线()Z k kx ∈=2对称；③函数()x f y =是周期函数，最小正周期为1；④函数()x f y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2121，上是增函数．其中正确的命题的序号是 ． 【难度】★★ 【答案】①②③【例4】设函数()()1sin 122+++=x xx x f 的最大值为M ，最小值为m ，则=+m M ．【难度】★★ 【答案】2【解析】原函数可化为()()1sin 211sin 211sin 122222+++=++++=+++=x x x x x x x x x x x f ，令()1sin 22++=x xx x g ，则()x g 为奇函数且()()x g x f +=1，则()()M x g x f =+=max max 1，()()m x g x f =+=min min 1，因为()x g 为奇函数，所以()()0min max =+x g x g ，故2=+m M ．【易错点】奇函数的图象关于原点对称，其最大值和最小值肯定也关于原点对称，即互为相反数．【变式训练】1．函数()x x x f sin tan +=，项数为27项的等差数列{}n a ，22ππ<<-n a ，公差0≠d ，若()()()02721=+++a f a f a f Λ，则()=14a f ．【难度】★★ 【答案】0【例5】设()x f 是定义在R 上的周期为2的函数，当[)1,1-∈x 时，()⎩⎨⎧<≤<≤-+-=1001242x x x x x f ，，，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛23f ． 【难度】★★ 【答案】1【解析】由题意可知()1221421223232=+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f【易错点】根据函数的周期性将待求函数值的自变量转化为分段函数中定义域范围内求解是关键．【变式训练】1．定义在R 上的函数()x f 满足()()()()⎩⎨⎧>---≤-=02101log 2x x f x f x x x f ，，，则()2015f 的值为 ．【难度】★★ 【答案】1【例6】已知函数()x f 对任意实数x 、y ，均满足()()()[]222y f x f y x f +=+，且()01≠f ，则()=2016f ．【难度】★★ 【答案】1008【解析】令1=y ，则()()()[]2121f x f x f +=+，即()()()[]2121f x f x f =-+，令0=x ，1=y ，得()()()[]21201f f f +=，令0==y x ，得()00=f ．所以()211=f ，则()()211=-+x f x f ，累加可得()10082016=f ．【易错点】抽象函数的常见解题方法是利用赋值法、换元法、具体化法来解决．【变式训练】1．已知()x f 为R 上的增函数，且对任意R x ∈，都有()[]43=-xx f f ，则()=2f ．【难度】★★ 【答案】10【例7】已知函数()x f 是定义在()∞+，0上的增函数，且()()y f x f y x f -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛，()12=f ，则不等式()231≤⎪⎭⎫⎝⎛--x f x f 的解集为 ． 【难度】★★【答案】(]43，【解析】由题意得()()x f y f y x f =+⎪⎪⎭⎫⎝⎛，令4=x ，2=y 则有()()()422f f f =+，即()24=f ，所以原不等式变为()[]()43f x x f ≤-，再结合函数的定义域、单调性可得()⎪⎩⎪⎨⎧>->≤-03043x x x x ，解得43≤<x ．【易错点】抽象函数不等式的解题问题都是利用题中的恒等式进行赋值合并再利用单调性求解．【变式训练】1．已知()x f 是定义在()∞+，0上的增函数，且()()()y f x f y x f =+，()31=f ，则不等式()()2732≤-x f x f 的解集是 ．【难度】★★ 【答案】(]23，【例8】已知函数()()()⎩⎨⎧>≤≤=1log 10sin 2014x x x x x f π，若a 、b 、c 互不相等，且()()()c f b f a f ==，则c b a ++的取值范围是 ． 【难度】★★【答案】()20152，【解析】由()()()m c f b f a f ===，不妨设c b a <<，由正弦函数图象的对称性，可得()m a ,与()m b ,关于直线21=x 对称，因此1=+b a ．当直线1==m y 时，由1log 2014=x 得2014=x ，可得20141<<c ，所以20152<++<c b a ．【易错点】利用函数图象的对称性找到等高线函数值对应的横坐标的取值范围．【变式训练】1．已知()⎩⎨⎧>≤--=0,lg 0,22x x x x x x f ，若关于x 的方程()a x f =有四个实根1x 、2x 、3x 、4x ，则这四根之和4321x x x x +++的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛10810，【例9】已知关于x 的方程()()0368lg 20lg 2=---+a x x x 有唯一解，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】⎪⎭⎫⎢⎣⎡--216163， 【解析】方程可转化为()()368lg 20lg 2--=+a x x x ，从而得368202--=+a x x x 且方程两边都是正数，正面讨论比较麻烦，可以将方程左右两边看成二次函数x x y 202+=及一次函数368--=a x ，则只需要考虑这两个函数图象在x 轴上恒有唯一交点即可．【易错点】利用方程和的结构等价转化为图象交点问题．【变式训练】1．设函数()x x a x f 42--+=，()134+=x x g ，已知[]0,4-∈x 时恒有()()x g x f ≤，则a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】5-≤a。
上海高中高考数学知识点总结（大全）一、集合与常用逻辑1．集合概念元素：互异性、无序性2．集合运算全集U ：如U=R交集：}{B x A x x B A 且并集：}{B x A xx BA或补集：}{A xU xx A C U 且3．集合关系空集A子集B A:任意B x A x BABBA BAAB A 注：数形结合---文氏图、数轴4．四种命题原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p否命题：若p 则q逆否命题：若q 则p原命题逆否命题否命题逆命题5．充分必要条件p 是q 的充分条件：q P p 是q 的必要条件：qPp 是q 的充要条件：p?q 6．复合命题的真值①q 真（假）?“q ”假（真）②p 、q 同真?“p ∧q ”真③p 、q 都假?“p ∨q ”假7.全称命题、存在性命题的否定M, p(x ）否定为: M, )(X p M, p(x ）否定为:M,)(X p 二、不等式1．一元二次不等式解法若0a，02cbx ax 有两实根,)(，则02c bx ax 解集),(02cbxax解集),(),(注：若0a ，转化为0a 情况2．其它不等式解法—转化a x a a x 22axax a x或ax22ax)()(x g x f 0)()(x g x f )()(x g x f aa)()(x g x f （a 1）)(log )(log x g x f a a f x f x g x ()()()0（01a ）3．基本不等式①abb a 222②若R b a,，则abba 2注：用均值不等式ab b a 2、2)2(ba ab 求最值条件是“一正二定三相等”三、函数概念与性质1．奇偶性f(x)偶函数()()f x f x f(x)图象关于y 轴对称f(x)奇函数()()f x f x f(x)图象关于原点对称注：①f(x)有奇偶性定义域关于原点对称②f(x)奇函数,在x=0有定义f(0)=0③“奇+奇=奇”（公共定义域内）2．单调性f(x)增函数：x 1＜x 2f(x 1)＜f(x 2) 或x 1＞x 2f(x 1) ＞f(x 2)或)()(2121x x x f x f f(x)减函数：？注：①判断单调性必须考虑定义域②f(x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增”③奇函数在对称区间上单调性相同偶函数在对称区间上单调性相反3．周期性T 是()f x 周期()()f x T f x 恒成立（常数0T）4．二次函数解析式： f(x)=ax 2+bx+c ，f(x)=a(x-h)2+kf(x)=a(x-x 1)(x-x2)对称轴：ab x2顶点：)44,2(2abaca b 单调性：a>0，]2,(ab递减，),2[ab递增当ab x2，f(x)minabac442奇偶性：f(x)=ax 2+bx+c 是偶函数b=0 闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法--- 注意对称轴与区间的位置关系注：一次函数f(x)=ax+b奇函数b=0四、基本初等函数1．指数式)0(10a annaa1mnmnaa2．对数式bNa log N ab（a>0,a ≠1）NM MNa a a log log logNM NM a a alog log log M n M a na log log ab bm m a log log log ab lg lg na a bbnlog log ab log 1注：性质01log a 1log aa Na Na log 常用对数N N 10log lg ，15lg 2lg 自然对数N Ne log ln ，1ln e 3．指数与对数函数y=a x与y=log a x定义域、值域、过定点、单调性？注：y=a x与y=log a x 图象关于y=x 对称（互为反函数）4．幂函数12132,,,xyx yx yx y x y 在第一象限图象如下：五、函数图像与方程1．描点法函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调）取特殊点如零点、最值点等2．图象变换平移：“左加右减，上正下负”1010)()(h x f y x f y伸缩：)1()(x f y x f y倍来的每一点的横坐标变为原对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”)()()()()()(x f yx f yx f y x f y x f y x f y y x 原点轴轴注：)(x f yax直线)2(x a f y 翻折：)(x f y |()|y f x 保留x 轴上方部分，并将下方部分沿x 轴翻折到上方y=f(x)cbaoyxy=|f(x)|cb aoyx)(x f y (||)y f x 保留y 轴右边部分，并将右边部分沿y 轴翻折到左边y=f(x)cbaoyxy=f(|x|)cbaoyx3．零点定理若0)()(b f a f ，则)(x f y 在),(b a 内有零点（条件：)(x f 在],[b a 上图象连续不间断）注：①)(x f 零点：0)(x f 的实根②在],[b a 上连续的单调函数)(x f ，0)()(b f a f 则)(x f 在),(b a 上有且仅有一个零点③二分法判断函数零点---0)()(b f a f ？六、三角函数1．概念第二象限角)2,22(k k(Z k)2．弧长rl 扇形面积lr S213．定义ry sin rx cosx y tan其中),(y x P 是终边上一点，rPO4．符号“一正全、二正弦、三正切、四余弦”5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”如sin )2(Sin ，sin)2/cos(6．特殊角的三角函数值643223sin 0212223 11cos 1 23222101tg33 13/ 0 /7．基本公式同角1cos sin 22tancossin 和差sin cos cos sin sin sinsin coscos costantan 1tan tan tan倍角cossin22sin 2222sin211cos2sincos2cos 2tan1tan 22tan 降幂cos 2α=22cos 1 sin2α=22cos 1叠加)4sin(2cos sin)6sin(2cossin3)sin(cos sin 22b ab a )(tanba8．三角函数的图象性质单调性：)2,2(增),0(减)2,2(增注：Zk 9．解三角形基本关系：sin(A+B)=sinCcos(A+B)=-cosCtan(A+B)=-tanC2cos2sinC BA 正弦定理：Aa sin =Bb sin =Cc sin AR asin 2CB A cb a s i n :s i n :s i n ::余弦定理：a 2=b 2+c 2－2bccosA （求边）cosA=bc acb2222（求角）面积公式：S △＝21absinC注：ABC 中，A+B+C=？BABAsin sin a 2＞b 2+c 2?∠A ＞2七、数列y=sinx y=cosx y=tanx图象sinxcosx tanx 值域[-1，1] [-1，1] 无奇偶奇函数偶函数奇函数周期2π2ππ对称轴2/kx kx无中心,k,2/k 0,2/k1、等差数列定义：d a a n n 1通项：dn a a n )1(1求和：2)(1n na a n S dn n na )1(211中项：2ca b （c b a ,,成等差）性质：若q pn m ，则qp n ma a a a 2、等比数列定义：)0(1qq a a nn 通项：11n n qa a 求和：)1(1)1()1(11qqq a qna S nn中项：ac b2（c b a ,,成等比）性质：若qpnm则qp n m a a a a 3、数列通项与前n 项和的关系)2()1(111ns s n a s a nnn4、数列求和常用方法公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法八、平面向量1．向量加减三角形法则，平行四边形法则BC ABAC首尾相接，OC OB =CB 共始点中点公式：AD ACAB2D 是BC 中点2．向量数量积b a =cosb a=2121y y x x 注：①b a ,夹角：00≤θ≤1800②b a,同向：ba b a 3．基本定理2211e ea（21,e e 不共线--基底）平行：b a //b a 1221y x y x （0b ）垂直：0ba ba 02121y y x x 模：a ＝22yx22)(b aba夹角：cos||||b a b a 注：①0∥a②c b a cb a （结合律）不成立③ca b ac b（消去律）不成立九、复数与推理证明1．复数概念复数：bi a z(a,b)R ，实部a 、虚部 b分类：实数（0b），虚数（0b ），复数集 C注：z 是纯虚数0a ，0b 相等：实、虚部分别相等共轭：bia z 模：22baz2zz z 复平面：复数z 对应的点),(b a 2．复数运算加减：（a+bi ）±(c+di)=？乘法：（a+bi ）（c+di ）=？除法：dicbi a =))(())((di cdi cdi c bi a ==,乘方：12i，nirrk ii43．合情推理类比：特殊推出特殊归纳：特殊推出一般演绎：一般导出特殊（大前题→小前题→结论）4．直接与间接证明综合法：由因导果比较法：作差—变形—判断—结论反证法：反设—推理—矛盾—结论分析法：执果索因分析法书写格式：要证A 为真，只要证B 为真，即证,,，这只要证C 为真，而已知C 为真，故A 必为真注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程5．数学归纳法：(1)验证当n=1时命题成立,(2)假设当n=k(k N* ，k 1)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立由(1)(2)知这命题对所有正整数n 都成立注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用十、直线与圆1、倾斜角范围0,斜率2121tany y k x x 注：直线向上方向与x 轴正方向所成的最小正角倾斜角为90时，斜率不存在2、直线方程点斜式)(00x x k y y ，斜截式b kx y 两点式121121x x x x y y y y ，截距式1by ax 一般式0CByAx注意适用范围：①不含直线0xx ②不含垂直x 轴的直线③不含垂直坐标轴和过原点的直线3、位置关系（注意条件）平行12k k 且21b b 垂直121k k 垂直1212A AB B 4、距离公式两点间距离：|AB|=221221)()(y y x x 点到直线距离：22Ax By CdAB5、圆标准方程：222)()(rb y a x 圆心),(b a ，半径r圆一般方程：022FEy Dx yx（条件是？）圆心,22D E 半径2242DE Fr6、直线与圆位置关系注：点与圆位置关系222)()(rb y a x 点00,P x y 在圆外7、直线截圆所得弦长222AB rd十一、圆锥曲线一、定义椭圆： |PF1|+|PF 2|=2a(2a>|F1F 2|)双曲线：|PF 1|-|PF 2|=±2a(0<2a<|F 1F 2|) 抛物线：与定点和定直线距离相等的点轨迹二、标准方程与几何性质（如焦点在x 轴）椭圆12222by ax ( a>b>0)双曲线12222by ax (a>0,b>0)中心原点对称轴？焦点F 1(c,0)、F 2(-c,0)顶点:椭圆(±a,0),(0, ±b)，双曲线(±a,0) 范围: 椭圆-a x a,-by b双曲线|x|a ，y R焦距：椭圆2c （c=22b a）双曲线2c （c=22b a ）位置关系相切相交相离几何特征d rd rd r代数特征△0△0△2a 、2b:椭圆长轴、短轴长，双曲线实轴、虚轴长离心率：e=c/a 椭圆0<e<1,双曲线e>1注：双曲线12222by ax 渐近线xa b y方程122ny mx 表示椭圆nm n m.0,0方程122nymx表示双曲线mn抛物线y 2=2px(p>0)顶点（原点）对称轴（x 轴）开口（向右）范围x 0 离心率e=1焦点)0,2(p F 准线2p x十二、矩阵、行列式、算法初步十、算法初步一．程序框图二．基本算法语句及格式1输入语句：INPUT “提示内容”；变量2输出语句：PRINT “提示内容”；表达式3赋值语句：变量=表达式4条件语句“IF —THEN —ELSE ”语句“IF —THEN ”语句IF 条件 THEN IF条件 THEN 语句 1语句程序框名称功能起止框起始和结束输入、输出框输入和输出的信息处理框赋值、计算判断框判断某一条件是否成立循环框重复操作以及运算ELSE END IF语句 2 END IF 5循环语句当型循环语句直到型循环语句WHILE 条件 DO 循环体循环体WEND LOOP UNTIL 条件当型“先判断后循环”直到型“先循环后判断”三．算法案例1、求两个数的最大公约数辗转相除法：到达余数为0更相减损术：到达减数和差相等2、多项式f(x)= a n x n+a n-1xn-1+….+a 1x+a 0的求值秦九韶算法：v 1=a n x+a n －1v 2=v 1x+a n －2 v 3=v 2x+a n －3v n =v n －1x+a 0注：递推公式v 0=a n v k =v k －1X +a n －k (k=1,2,…n)求f(x)值，乘法、加法均最多n 次3、进位制间的转换k 进制数转换为十进制数：111011.........)(.....a ka ka ka k a a a a n nnnn n 十进制数转换成k 进制数：“除k 取余法”例1辗转相除法求得123和48最大公约数为3例2已知f(x)=2x5－5x 4－4x 3+3x 2－6x+7，秦九韶算法求f(5)123＝2×48＋27 v 0=248＝1×27＋21 v 1=2×5－5=527＝1×21＋6 v 2=5×5－4=2121＝3×6＋3 v 3=21×5+3=108 6＝2×３+0 v4=108×5－6=534v 5=534×5+7=2677十三、立体几何1．三视图正视图、侧视图、俯视图2．直观图：斜二测画法'''X OY =45平行X 轴的线段，保平行和长度平行Y 轴的线段，保平行，长度变原来一半3．体积与侧面积V 柱=S 底h V 锥 =31S 底h V球=34πR3S 圆锥侧=rlS 圆台侧=lr R )( S球表=24R4．公理与推论确定一个平面的条件：①不共线的三点②一条直线和这直线外一点③两相交直线④两平行直线公理：平行于同一条直线的两条直线平行定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
上海高中高考数学知识点总结（大全）一、集合与常用逻辑1．集合概念 元素：互异性、无序性 2．集合运算 全集U ：如U=R交集：}{B x A x x B A ∈∈=且I 并集：}{B x A x x B A ∈∈=⋃或 补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且 3．集合关系 空集A ⊆φ子集B A ⊆:任意B x A x ∈⇒∈ 注：数形结合---文氏图、数轴 4．四种命题原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若p ⌝则q ⌝ 逆否命题：若q ⌝则p ⌝原命题⇔逆否命题 否命题⇔逆命题5．充分必要条件p 是q 的充分条件：q P ⇒ p 是q 的必要条件：q P ⇐ p 是q 的充要条件：p ⇔q 6．复合命题的真值①q 真（假）⇔“q ⌝”假（真） ②p 、q 同真⇔“p ∧q ”真 ③p 、q 都假⇔“p ∨q ”假7.全称命题、存在性命题的否定M, p(x ）否定为: M, )(X p ⌝ M, p(x ）否定为:M, )(X p ⌝二、不等式1．一元二次不等式解法若0>a ，02=++c bx ax 有两实根βα,)(βα<，则02<++c bx ax 解集),(βα02>++c bx ax 解集),(),(+∞-∞βαY注：若0<a ，转化为0>a 情况2．其它不等式解法—转化⇔>a x a x >或a x -<⇔22a x >3．基本不等式②若+∈R b a ,，则ab ba ≥+2注：用均值不等式ab b a 2≥+、2)2(b a ab +≤ 求最值条件是“一正二定三相等”三、函数概念与性质1．奇偶性f(x)偶函数⇔()()f x f x -=⇔f(x)图象关于y 轴对称 f(x)奇函数⇔()()f x f x -=-⇔f(x)图象关于原点对称 注：①f(x)有奇偶性⇒定义域关于原点对称②f(x)奇函数,在x=0有定义⇒f(0)=0 ③“奇+奇=奇”（公共定义域内） 2．单调性f(x)增函数：x 1＜x 2⇒f(x 1)＜f(x 2)或x 1＞x 2⇒f(x 1) ＞f(x 2) 或0)()(2121>--x x x f x ff(x)减函数：？注：①判断单调性必须考虑定义域②f(x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增” ③奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反3．周期性T是()f x 周期⇔()()f x T f x +=恒成立（常数0≠T ）4．二次函数解析式： f(x)=ax 2+bx+c ，f(x)=a(x-h)2+k f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)对称轴：abx 2-= 顶点：)44,2(2a b ac a b -- 单调性：a>0，]2,(ab--∞递减，),2[+∞-a b 递增 当abx 2-=，f(x)min a b ac 442-=奇偶性：f(x)=ax 2+bx+c 是偶函数⇔b=0 闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法---注意对称轴与区间的位置关系注：一次函数f(x)=ax+b 奇函数⇔b=0四、基本初等函数1．指数式 )0(10≠=a a n naa1=- m n m na a = 2．对数式b N a =log N a b =⇔（a>0,a ≠1） 注：性质01log =a 1log =a a N a Na=log常用对数N N 10log lg =，15lg 2lg =+ 自然对数N N e log ln =，1ln =e 3．指数与对数函数 y=a x 与y=log a x定义域、值域、过定点、单调性？注：y=a x 与y=log a x 图象关于y=x 对称（互为反函数） 4．幂函数 12132,,,-====x y x y x y x yαx y =在第一象限图象如下：五、函数图像与方程1．描点法函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调） 取特殊点如零点、最值点等 2．图象变换平移：“左加右减，上正下负”伸缩：α>101<<αα<0)1()(x f y x f y ϖϖ=−−−−−−−−→−=倍来的每一点的横坐标变为原对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”注：)(x f y =ax =→直线)2(x a f y -=翻折：→=)(x f y |()|y f x =保留x 轴上方部分，并将下方部分沿x 轴翻折到上方→=)(x f y (||)y f x =保留y 轴右边部分，并将右边部分沿y 轴翻折到左边3．零点定理若0)()(<b f a f ，则)(x f y =在),(b a 内有零点 （条件：)(x f 在],[b a 上图象连续不间断） 注：①)(x f 零点：0)(=x f 的实根②在],[b a 上连续的单调函数)(x f ，0)()(<b f a f 则)(x f 在),(b a 上有且仅有一个零点 ③二分法判断函数零点---0)()(<b f a f ？六、三角函数1．概念 第二象限角)2,22(ππππ++k k (Z k ∈)2．弧长 r l ⋅=α 扇形面积lr S 21= 3．定义 r y =αsin r x =αcos xy=αtan 其中),(y x P 是α终边上一点，r PO =4．符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦” 5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”如ααπsin )2(-=-Sin ，ααπsin )2/cos(-=+ 6．特殊角的三角函数值α0 6π 4π 3π 2π π23π sin α 021 22 23 1 0 1-cos α 123 22 21 0 1- 0tg α0 33 1 3/ 0 /7．基本公式同角1cos sin 22=+αααααtan cos sin = 和差()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=± 倍角 αααcos sin 22sin = 降幂cos 2α=22cos 1α+ sin 2α=22cos 1α- 叠加 )4sin(2cos sin πααα+=+8．三角函数的图象性质单调性：)2,2(ππ-增 ),0(π减)2,2(ππ-增y=sinx y=cosx y=tanx图象sinx cosx tanx 值域[-1，1][-1，1]无注：Z k ∈9．解三角形基本关系：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC tan(A+B)=-tanC 2cos 2sinCB A =+ 正弦定理：A asin =Bb sin =Cc sin余弦定理：a 2=b 2+c 2－2bc cos A （求边）cos A =bca cb 2222-+（求角）面积公式：S △＝21ab sin C注：ABC ∆中，A+B+C=？ B A B A sin sin <⇔<a 2＞b 2+c 2 ⇔ ∠A ＞2π七、数 列1、等差数列 定义：d a a n n =-+1通项：d n a a n)1(1-+=求和：2)(1n n a a n S += d n n na )1(211-+= 中项：2ca b +=（c b a ,,成等差） 性质：若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+2、等比数列 定义：)0(1≠=+q q a a nn通项：11-=n n q a a求和：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S n n中项：ac b =2（c b a ,,成等比）性质：若q p n m +=+ 则q p n m a a a a ⋅=⋅ 3、数列通项与前n 项和的关系 4、数列求和常用方法公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法八、平面向量1．向量加减 三角形法则，平行四边形法则=+BC AB AC 首尾相接，OC OB -=共始点中点公式：⇔=+AD AC AB 2D 是BC 中点2． 向量数量积 ⋅=θcos ⋅=2121y y x x +注：①b a ,夹角：00≤θ≤1800②b a ,同向：=⋅3．基本定理 2211e e a ρρρλλ+=（21,e e ρρ不共线--基底）平行：⇔//b a λ=⇔1221y x y x =（0≠b ） 垂直：0=⋅⇔⊥02121=+⇔y y x x模：a ρ＝22y x +Λ=+=+2)(夹角：=θcos ||||b a 注：①0ρ∥a ②()()⋅⋅≠⋅⋅（结合律）不成立③⋅=⋅=⇒（消去律）不成立九、复数与推理证明1．复数概念复数：bi a z +=(a,b )R ∈，实部a 、虚部b 分类：实数（0=b ），虚数（0≠b ），复数集C注：z 是纯虚数0=⇔a ，0≠b相等：实、虚部分别相等 共轭：bi a z -=模：22b a z += 2z z z =⋅ 复平面：复数z 对应的点),(b a 2．复数运算加减：（a+bi ）±(c+di)=？ 乘法：（a+bi ）（c+di ）=？ 除法：di c bi a ++=))(())((di c di c di c bi a -+-+==… 乘方：12-=i ，=n i r r k i i =+43．合情推理类比：特殊推出特殊归纳：特殊推出一般演绎：一般导出特殊（大前题→小前题→结论） 4．直接与间接证明综合法：由因导果比较法：作差—变形—判断—结论 反证法：反设—推理—矛盾—结论 分析法：执果索因 分析法书写格式：要证A 为真，只要证B 为真，即证……，这只要证C 为真，而已知C 为真，故A 必为真 注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程 5．数学归纳法：(1)验证当n=1时命题成立,(2)假设当n=k(k ÎN* ，k ³1)时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立由(1)(2)知这命题对所有正整数n 都成立注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用十、直线与圆1、倾斜角 范围[)0,π斜率 2121tan y y k x x α-==-注：直线向上方向与x 轴正方向所成的最小正角倾斜角为90︒时，斜率不存在 2、直线方程点斜式)(00x x k y y -=-，斜截式b kx y +=两点式121121x x x x y y y y --=--， 截距式1=+bya x一般式0=++C By Ax注意适用范围：①不含直线0x x = ②不含垂直x 轴的直线③不含垂直坐标轴和过原点的直线3、位置关系（注意条件）平行⇔12k k = 且21b b ≠垂直⇔121k k =- 垂直⇔12120A A B B += 4、距离公式两点间距离：|AB|=221221)()(y y x x -+-点到直线距离：d =5、圆标准方程：222)()(r b y a x =-+- 圆心),(b a ，半径r圆一般方程：022=++++F Ey Dx y x （条件是？）圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭半径2r =6、直线与圆位置关系注：点与圆位置关系⇔>-+-22020)()(r b y a x 点()00,P x y 在圆外7、直线截圆所得弦长十一、圆锥曲线一、定义椭圆： |PF 1|+|PF 2|=2a(2a>|F 1F 2|) 双曲线：|PF 1|-|PF 2|=±2a(0<2a<|F 1F 2|) 抛物线：与定点和定直线距离相等的点轨迹 二、标准方程与几何性质（如焦点在x 轴）椭圆12222=+b y a x ( a>b>0)双曲线12222=-by a x (a>0,b>0)中心原点 对称轴？ 焦点F 1(c,0)、F 2(-c,0) 顶点: 椭圆(±a,0),(0, ±b)，双曲线(±a,0)范围: 椭圆-a x a,-b y b 双曲线|x|a ，yR焦距：椭圆2c （c=22b a -）双曲线2c （c=22b a +）2a 、2b:椭圆长轴、短轴长，双曲线实轴、虚轴长离心率：e=c/a 椭圆0<e<1,双曲线e>1注：双曲线12222=-by a x 渐近线x a by ±=方程122=+ny mx 表示椭圆n m n m ≠>>⇔.0,0 方程122=+ny mx 表示双曲线0<⇔mn 抛物线y 2=2px(p>0)顶点（原点） 对称轴（x 轴）开口（向右） 范围x 0 离心率e=1 焦点)0,2(pF准线2p x -=十二、矩阵、行列式、算法初步十、算法初步一．程序框图程序框名称 功能起止框 起始和结束输入、输出框输入和输出的信息处理框 赋值、计算判断框判断某一条件是否成立二．基本算法语句及格式1输入语句：INPUT “提示内容”；变量2输出语句：PRINT“提示内容”；表达式3赋值语句：变量=表达式4条件语句“IF—THEN—ELSE”语句“IF—THEN”语句IF 条件 THEN IF 条件 THEN语句1 语句ELSE END IF语句2END IF5循环语句当型循环语句直到型循环语句WHILE 条件 DO循环体循环体WEND LOOP UNTIL 条件当型“先判断后循环”直到型“先循环后判断”三．算法案例1、求两个数的最大公约数辗转相除法：到达余数为0更相减损术：到达减数和差相等2、多项式f(x)= an x n+an-1x n-1+….+a1x+a的求值秦九韶算法： v 1=a n x+a n －1 v 2=v 1x+a n －2v 3=v 2x+a n －3 v n =v n －1x+a 0注：递推公式v 0=a n v k =v k －1X +a n －k (k=1,2,…n)求f(x)值，乘法、加法均最多n 次 3、进位制间的转换k 进制数转换为十进制数：十进制数转换成k 进制数：“除k 取余法” 例1辗转相除法求得123和48最大公约数为3例2已知f(x)=2x 5－5x 4－4x 3+3x 2－6x+7，秦九韶算法求f(5)123＝2×48＋27 v 0=248＝1×27＋21 v 1=2×5－5=5 27＝1×21＋6 v 2=5×5－4=21 21＝3×6＋3 v 3=21×5+3=1086＝2×3+0 v 4=108×5－6=534v 5=534×5+7=2677十三、立体几何1．三视图 正视图、侧视图、俯视图2．直观图：斜二测画法'''X OY =450平行X 轴的线段，保平行和长度平行Y 轴的线段，保平行，长度变原来一半3．体积与侧面积V 柱=S 底h V 锥 =31S 底h V 球=34πR 3S 圆锥侧=rl π S 圆台侧=l r R )(+π S 球表=24R π 4．公理与推论 确定一个平面的条件：①不共线的三点 ②一条直线和这直线外一点 ③两相交直线 ④两平行直线公理：平行于同一条直线的两条直线平行定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
2021年上海高中数学专项讲义（平面向量）[基础篇]1.理解向量的有关概念：（1）向量的概念：既有方向又有大小的量，注意向量和数量的区别；（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意方向；（3）单位向量：给定一个非零向量→a ，与→a 同向且长度为1的向量叫→a 的单位向量,→a 的单位向量是a a→→；（4）相等向量：方向与长度都相等的向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量，→a 的相反向量是长度相等方向相反的向量a →-.2.向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如→a ，→b ，→c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量→i ，→j 为基底，则平面内的任一向量→a 可表示为→→→+=j y i x a ，称(),x y 为向量→a 的坐标，),(y x a =→叫做向量→a 的坐标表示，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.（提醒：向量的起点不在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标就不相同.）3．实数与向量的积：实数λ与向量→a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：（1）a a λλ=；（2）当0λ>时，a λ 的方向与→a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与→a 的方向相反；当0λ=时，零向量，注意：0a λ≠.提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的基线平行或重合,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有→0)；④三点C B A 、、共线⇔AB AC 、共线；4．平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，过O 点作OA a = ，OB b =，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角．当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向；如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a b →→⊥．（2）两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量cos a b θ→→叫做a 与b的数量积（或内积），记作a b →→⋅，即a b →→⋅＝cos a b θ→→．规定零向量与任一向量的数量积为0．若1122(,),(,)a x y b x y ==，则a b →→⋅＝1212x x y y +．（3）向量的数量积的几何意义：cos b θ→叫做向量b 在a 方向上的投影(θ是向量a 与b的夹角)．a b →→⋅的几何意义是，数量a b →→⋅等于模a →与b →在a →上的投影的积．（4）向量数量积的性质：设a 与b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与b的夹角．当→a 与→b 同向时，a b →→⋅＝a b →→；当→a 与→b 反向时，a b →→⋅＝-a b →→,θcos ＝a ba b→→→→⋅;⑸|→→⋅b a |≤a b →→．（5）向量数量积的运算律：⑴a b →→⋅＝a b c →→→⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭；⑵a b λ→→⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＝a b λ→→⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭＝a b λ→→⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⑶a b c →→→⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭＝a c b c →→→→⋅+⋅5.平面向量的基本定理：如果→1e 和→2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量→a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使→a =1122e e λλ+ ，1e 、2e称为一组基底.6．向量的运算：（1）几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，除此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b == ，那么向量AC 叫做→a 与→b 的和，即a b AB BC AC +=+=；②向量的减法：用“三角形法则”：设,AB a AC b ==，那么a b AB AC CB -=-=由减向量的终点指向被减向量的终点.容易得出：a b a b a b -≤-≤+．（2）坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则：1向量的加减法运算：a b ±=()1212,x x y y ±±；2实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==；3若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标；4平面向量数量积：a b →→⋅=1212x x y y +；⑤向量的模：2222||||a a a x y ===+ ；7．向量的运算律：（1）交换律：→→→→+=+a b b a ，→→=a a )()(λμμλ，a b →→⋅=→→⋅a b ；(2)结合律：→→→→→→++=++c b a c b a )()(，)(→→→→→→+-=--c b a c b a ；（3）分配律：→→→+=+a a a μλμλ)(，→→→→+=+b a b a λλλ)(，→→→→→→→⋅+⋅=⋅+c b c a c b a )(.8.向量平行(共线)的充要条件：(1)向量→b 与非零向量a共线的充要条件是b a λ→→=；实数λ是唯一存在的，当→a 与→b 同向时，0λ>；当a 与b异向时，0λ<；(2)若()11,a x y →=,()22,b x y →=，则//a b ⇔ 1212x y y x =⇔22)()(→→→→=⋅b a b a ．提醒：平行四边形法则要求参与加法的两个向量的起点相同，三角形法则要求参与加法的两个向量的首尾相接.可推广到122311...n n n A A A A A A A A -+++=（据此，可根据需要在一个向量的两个端点之间任意插点）9．向量垂直的充要条件：0a b a b →→⊥⇔⋅=→→+⇔b a =→→-b a 12120x x y y ⇔+=．[技能篇]类型一：向量的坐标表示及其运算【例1】已知12,G G 分别是△ABC 和△ACD 的重心，G 是12G G 的中点，若A,B,C,D 的坐标分别是()0,0【例2】已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5）及OP =OA +t AB ，求：（1）t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限?（2）四边形OABP 能否构成平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．巩固练习：1．已知)2,(x A ，)2,5(-y B ，若(4,6)AB =，则y x ,的值分别为_________．2．已知向量)7,2(x a = ，)4,6(+=x b ，若b a=，则=x _________．3．已知平行四边形ABCD 的顶点)2,1(--A 、)1,3(-B 、)6,5(C ，则顶点D 的坐标为_________．4．若向量)2,3(=a，)1,0(-=b ，则向量a b -2的坐标是_________．5．若)3,2(=a ，)1,4(y b +-= ，且b a//，则y 等于_________．6．若M 为ABC ∆的重心，则下列各向量中与AB共线的是（）A ．AB BC AC ++ B ．AM MB BC ++ C ．AM BM CM ++D ．AM AM AM AC +++7．在矩形ABCD 中，AB = ，1BC = ，则向量()AB AD AC ++的长度等于（）A ．2B ．C ．3D ．48．在ABC ∆中，D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、CA 的中点，已知D 点坐标为)2,1(，E 点坐标为)5,3(，F 点坐标为)7,2(，则点A 坐标为____________．9．已知)2,1(=a ，)1,(x b = ，当b a 2+与b a-2共线时，x 的值为____________．10．当=m ___时，向量)1,2(-=m a 与)6,2(-=m b 共线且方向相同；当=m __时，a 与b共线且方向相反．11．若三点)1,1(A ，)4,2(-B ，)9,(x C 共线，则=x ____________．12．设)2,1(-=a ，)1,1(-=b ，)2,3(-=c，用a 、b 作基底有b q a p c +=，则=p ______，=q ________．13．已知点),(y x M 在向量(1,2)OP =所在的直线上，则y x ,所满足的条件是___________．14.已知12(4,3),(2,6)P P --,(1)若点P 在线段12PP 上,且122PP PP = 则点P 的坐标是;(2)若点P 在线段12PP 的延长线上,且124PP PP = 则点P 的坐标是;(3)若点P 在线段21P P 的延长线上,1245PP PP =则点P 的坐标是;(4)若点P 在线段21P P 的延长线上,11245PP PP =,则点P 的坐标是.15．下列四个命题：①若0a b →→⋅=，则0a →→=或0b →→=；②若e →为单位向量，则a a e →→→=⋅；③3a a a a →→→→⋅⋅=；④若a→与b →共线，b →与c →共线，则a →与c →共线．其中错误命题的序号是___________．16．已知)0,0(O 、)2,1(A 、)5,4(B ，且OP OA tOB =+，则当=t ________时，点P 落在x 轴上．17．已知a →，b →是两个非零向量，则“a →，b →不共线”是“a b a b →→→→+<+”的____________．18．下列四个命题中是真命题的有____________个．①若b a +与b a -是共线向量，则a 与b也是共线向量②若||||||b a b a -=-，则a 与b是共线向量③若||||||b a b a +=-，则a 与b是共线向量④若||||||||b a b a+=-，则b 与任何向量都共线19.在ABC ∆中,设向量,CA a CB b ==，则ABC ∆的面积ABC S ∆=,ABC ∆的周长ABC C ∆=.20.对n 个向量12,,...,n a a a →→→，如果存在不全为零的实数12,n k k k 使得1122...0n n k a k a k a →→→→+++=，则称12,,...,n a a a →→→性相关.若已知()11,1a →=，()23,2a →=-，()33,7a →=-是线性相关的，则123::k k k =___________.21.在四边形ABCD 中，()1,1AB DC == ，BABC BA BC +=ABCD 的面积是___________.类型二：向量的数量积【例1】设O 是直角坐标原点，j i OB j i OA -=+=4,32，在x 轴上求一点P ，使BP AP ⋅最小，并求此时APB ∠的大小.【例2】已知1||,2||==b a ，且b a ,的夹角为4π，又b a OD b a OC -=+-=2,3，求||CD .【例3】已知锐角ABC ∆中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,向量(2sin m B = 2(2cos1,cos 2)2B n B =- ,且m n ⊥ （1）求B 的大小，（2）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值.巩固练习：1．（1）已知2||=a ，1||=b ，a 与b 的夹角为120，则=⋅b a __________．（2）已知4||=a ，1||=b ，4-=⋅b a ，则向量a 与b的夹角为___________．2．（1）已知4||=a ，a 与b 的夹角为30，则a 在b 方向上的投影为___________．（2）已知3||=a ，5||=b ，13=⋅b a ，则a 在b上方向上的投影为___________．3．已知3||=a，4||=b ，且)()(b k a b k a -⊥+，则k 的值为___________．4．已知5||=a ，a与b的夹角正弦值为53，12=⋅b a，则=||b ___________．5．已知2||=a ，5||=b ，3-=⋅b a，则=+||b a __________．6．已知2||=a ，2||=b ，a 与b 的夹角为45，要使a b -λ与a 垂直，则=λ______．7．在平行四边形ABCD 中，已知4,3AB AD == ，60=∠DAB ，则AB DA ⋅ =_______．8．P 是ABC ∆所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC ∆的____________．9．已知向量)a →=，b →是不平行于x 轴的单位向量，且a b →→⋅=b →=____________．10．与向量71(,),22a = 17(,)22b =- 的夹解相等，且模为1的向量是____________．11．在ABC ∆中，AB a = ，BC b = ，CA c = ，且3a = ，2b = ，4c =，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅ 的值为___________．12．在ABC ∆中，已知2AB AC ==，且2AB AC ⋅= ，则这个三角形的形状是___．13．下列四个命题：①若0 =-b a ，则b a =；②若0=⋅b a ，则0 =a 或0 =b ；③若R ∈λ，且0=a λ，则0=λ或0 =a ；④对任意两个单位向量a ，b都有1=⋅b a ．其中正确命题的序号是_______________．14.若a b a b →→→→==-,则b →与a b →→+的夹角为____________．15．在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若2AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值是.16．已知ABC ∆满足2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，则ABC ∆的形状一定是________.17.在△ABC 中，0120ABC ∠=，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD BC ⋅=________.18.如果c a b a ⋅=⋅，且0≠a ，那么()．A ．cb =B ．cb λ=C ．cb ⊥D ．c b ,在a方向上的投影相等19．若a 、b是非零向量且b a ⊥，则一定有（）A ．||||||b a b a+=+B ．||||||b a b a-=+C ．||||b a b a -=+D ．||||||b a b a+=-20.已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________.21．已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e|，则（）A ．a ⊥eB ．e ⊥(a －e )C ．a ⊥(a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e )22．已知两个单位向量1e 和2e 互相垂直，R ∈2121,,,μμλλ，则11122122()()e e e e λμλμ+⊥+的充要条件是（）A ．02121=+μμλλB ．02121=-μμλλC ．02211=+μλμλD ．01221=-μλμλ23．在ABC ∆中，有命题①AB AC BC -= ；②0AB BC CA ++=；③若()()0AB AC AB AC +⋅-= ，则ABC ∆为等腰三角形；④若0AB AC ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．②③④24点O 在ABC ∆所在平面内，给出下列关系式：（1）0OA OB OC ++= ；（2）OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅ ；（3）0AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA⎛⎫⎛⎫⎪⎪⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=．则点O 依次为ABC ∆的（）A ．内心、外心、重心、垂心B ．重心、外心、内心、垂心C ．重心、垂心、内心、外心D ．外心、内心、垂心、重心类型三：平面向量的分解定理【例1】已知D 是ABC ∆的边BC 上的点，且:1:2BD DC =，,AB a AC b == ，如图1所示．若用a b、表示AD ，则AD =．【例2】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1200OB a OA a OC =+ ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则=200S __________.【例3】下列条件中，A B P 、、三点不共线的是（）A ．1344MP MA MB=+B ．2MP MA MB =-C ．33MP MA MB=-D ．3144MP MA MB=+ 【例4】下列向量组中能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（）A ．()()120,0,1,2e e ==B ．()()121,2,5,7e e =-=C ．()()123,5,6,10e e ==D ．()12132,3,,24e e -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 【例5】过ABC ∆的重心作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ．若,AD xAB AE y AC == ，0≠xy ，则yx 11+的值为____________．【例6】P 是ABC ∆内的一点，()13AP AB AC =+，则ABC ∆的面积与ABP ∆的面积之比为__________.A ．2B ．3C ．23D ．6巩固练习：1、已知向量)2,3(-=a ，)1,2(-=b ，)4,7(-=c ，用a 和b 来表示c ，则c为（）A ．ba -2B ．ba +2C ．ba2-D ．ba2+2、设M 是△ABC 的重心，则AM=（）A ．2AC AB - B ．2AC AB + C ．3AC AB - D ．3AC AB + 3、AD 、BE 分别为ABC ∆的边BC 、AC 上的中线，且AD a = ，BE b = ，那么BC为（）A ．b a 3432+B ．b a 3232-C ．b a 3432-D ．ba 3432+-4、001,OB 120OC OA 30,OC 5OA OB OA === 与的夹角为，与的夹角为，请用OA OB ，表示.OC =__________.5、已知1,.0,OA OB OA OB === AOC ∠30o=.设(,)OC mOA nOB m n R =+∈ ，则m n等于__________.6、已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上，（不包括端点A 、C ），则AP等于（）A ．()AB AD λ+，λ∈(0,1)B ．()AB BC λ+ ，λ∈(0,22)C ．()AB AD λ-，λ∈(0,1)D ．()AB BC λ-，λ∈(0,22)7、如图，在△ABC 中，设AB a = ，AC b = ,AD a λ= ,(0<λ<1),AE b λ= ,(0<μ<1),试用向量a ,b 表示c.类型四：向量的应用【例1】l 是过抛物线)0(22>=p px y 焦点的直线，它与抛物线交于A 、B 两点，O 是坐标原点，则△ABO 是A 、锐角三角形；B 、直角三角形；C 、钝角三角形；D 、不确定与P 值有关.【例2】已知向量R x x x b x a ∈==},2sin 3,{cos },1,cos 2{.设b a x f ⋅=)(.（1）若31)(-=x f 且3,3[ππ-∈x ，求x 的值；（2）若函数x y 2sin 2=的图像按向量)2|}(|,{π<=m n m c 平移后得到函数)(x f y =的图像，求实数n m ,的值.巩固练习：1.求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数.2.已知点O 是，，内的一点，090BOC 150AOB =∠=∠∆ABC 设,,OA a OB b OC c === 且2,1,3a b c ===，试用,a b 表示c .3.求平面内两点),(),,(2211y x B y x A 间的距离公式.4.三角形ABC 中，A (5，－1)、B (－1，7)、C (1，2)，求：(1)BC 边上的中线AM 的长；(2)∠CAB 的平分线AD 的长；(3)cos ∠ABC 的值.5.证明:βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-.6.已知ABC ∆，AD 为中线，求证()2222221⎪⎭⎫⎝⎛-+=BC AC AB AD .7.已知向量123,,OP OP OP 满足条件1230OP OP OP ++= ，1231OP OP OP ===，求证：321P P P ∆是正三角形.8．设O 点在ABC ∆内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为____________．9.证明柯西不等式2212122222121)()()(y y x x y x y x +≥+⋅+.10.求x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++=的最值[竞技篇]一、填空题：1、已知2,3==b a.若3-=⋅b a ，则a 与b夹角的大小为.2、在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为5,0)，1(2,1)e = 、2(2,1)e =-分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P ，若12(OP ae be a =+、)b R ∈，则a 、b 满足的一个等式是_____．3、如图所示，直线2=x 与双曲线Γ：1422=-y x 的渐近线交于21,E E 两点，记11e OE =，22e OE =.任取双曲线Γ上的点P ，若12OP ae be =+（a 、b R ∈），则a 、b 满足的一个等式是.4、若直线l 过点(3,4)，且(1,2)是它的一个法向量，则l 的方程为．5、在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3AB =，1BD =，则AB AD ⋅=6、若()2,1d →=是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为7、若()2,1n =-是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为8、在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CNBC CD = ，则AM AN ⋅的取值范围是9、在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BC CD= ，则AM AN ⋅的取值范围是.10、已知向量(1 )a k = ，，(9 6)b k =- ，．若//a b，则实数k =11、已知正方形ABCD 的边长为1．记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c．若,,,{1,2,3}i j k l ∈，且i j ≠，k l ≠，则()()i j k l a a c c +⋅+ 的最小值是．12、直线l 的参数方程是)(221R t t y tx ∈⎩⎨⎧-=+=，则l 的方向向量d →可以是（）（A ）（2,1）.（B ）（1,2）.（C ）（1,2-）（D ）（2,1-）13、若向量()()2,0,1,1a b ==，则下列结论正确的是（）(A)1a b ⋅= (B)a b= (C)()a b b-⊥ (D)a b∥14、若1a 、2a 、3a 均为单位向量，则136,33a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭是123a a a ++=的（）(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要条件．15、设1A ，2A ，3A ，4A 是平面上给定的4个不同的点，则使12340MA MA MA MA +++=成立的点M 的个数为A ．0B ．1C ．2D .4.16、设O 为ABC ∆所在平面上一点.若实数x y z 、、满足0xOA yOB zOC ++= 222(0)x y z ++≠，则“0xyz =”是“点O 在ABC ∆的边所在直线上”的（）(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充分必要条件.(D)既不充分又不必要条件.17、直线2310x y -+=的一个方向向量是（）(A)(2 3)-，(B)(2 3)，(C)(3 2)-，(D)(3 2)，18、已知 A B 、为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）抛物线（D ）双曲线19、在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a 、4a 、5a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1d 、2d 、3d 、4d 、5d．若m 、M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++ 的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆，{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆，则m 、M 满足（）(A)0m =，0M >(B)0m <，0M >(C)0m <，0M =(D)0m <，0M <20、已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,设向量→m =(a ,b ),→n =(sinB,sinA),→p =(b -2,a -2)⑴若→m ∥→n ,求证:△ABC 为等腰三角形；⑵若→m ⊥→p ,边长c =2,角C=π3,求△ABC 的面积.25、已知向量()sin 21,cos a x x =- ，()1,2cos b x = ，设函数()f x a b =⋅ ，求函数()f x 的最小正周期及0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的最大值．26、定义向量(),OM a b =的“相伴函数”为()sin cos f x a x b x =+函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”为(),OM a b =（其中O 为坐标原点）.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S .（1）设()3sin 4sin 2g x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭求证：()g x S ∈;（2）已知()()cos 2cos h x x x α=++且()h x S ∈,求其“相伴向量”的模；27.（2012年高考理科23）对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==.若对于任意1a Y ∈ ，存在2a Y ∈ ，使得120a a ⋅=，则称X 具有性质P .例如}2,1,1{-=X 具有性质P .（1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当1n x >时，11x =；（6分）（3）若X 具有性质P ，且121,x x q ==（q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通项公式.（8分）。
2020上海高考数学基础知识回顾：第六讲 立体几何一、空间点、直线、平面的位置关系★（1）点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉ 点与直线的关系：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ； 点A 在直线l 外，记作A ∉l ； 直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作l ⊂α；直线l 不在平面α内，记作l ⊄α。
★（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线）★（3）公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理2的作用：①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
★（4）公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 ★（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行★（6）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。
二、空间中的平行问题★（1）直线与平面平行的判定及其性质线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。
线线平行⇒线面平行线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
线面平行⇒线线平行★（2）平面与平面平行的判定及其性质①两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行→面面平行）；如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行（线线平行→面面平行）；垂直于同一条直线的两个平面平行②两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行（面面平行→线面平行）；如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行（面面平行→线线平行）。
