高三数学一轮复习 第2篇 第1节 函数及其表示 理

函数的概念及其表示考试要求 1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理 1．函数的概念一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . 2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 常用结论1．直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A ，B ，A 即为函数的定义域，值域为B 的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．( × ) (2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．( × ) (3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．( × ) (4)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥0，x 2，x ＜0的定义域为R .( √ )教材改编题1．下列各曲线表示的y 与x 之间的关系中，y 不是x 的函数的是( )答案 C2．(多选)下列各组函数是同一个函数的是( ) A ．f (x )＝x 2－2x －1，g (s )＝s 2－2s －1B ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1C ．f (x )＝x 2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0D ．f (x )＝－x 3，g (x )＝x －x 答案 AC3．(2022·长沙质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤0，log 3x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A ．－1B ．2C.3D.12答案 D解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 312<0， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝31log 23＝12.题型一 函数的定义域例1 (1)(2022·武汉模拟)函数f (x )＝1ln x ＋1＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]答案 B解析 要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，解得－1<x ≤2且x ≠0， 所以x ∈(－1,0)∪(0,2]．所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,2]．(2)若函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数f (x －1)的定义域为________． 答案 [1,3]解析 ∵f (x )的定义域为[0,2]， ∴0≤x －1≤2，即1≤x ≤3， ∴函数f (x －1)的定义域为[1,3]．延伸探究 将本例(2)改成“若函数f (x ＋1)的定义域为[0,2]”，则函数f (x －1)的定义域为________． 答案 [2,4]解析 ∵f (x ＋1)的定义域为[0,2]， ∴0≤x ≤2， ∴1≤x ＋1≤3， ∴1≤x －1≤3， ∴2≤x ≤4，∴f (x －1)的定义域为[2,4]． 教师备选1．(2022·西北师大附中月考)函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是( ) A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞) B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞) D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞) 答案 B解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4>0，x 2＋6x ≥0，解得x >2或x ≤－6.因此函数的定义域为(－∞，－6]∪(2，＋∞)．2．已知函数f (x )＝x1－2x ，则函数f x －1x ＋1的定义域为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(－1,1) 答案 D解析 令1－2x>0， 即2x<1，即x <0.∴f (x )的定义域为(－∞，0)．∴函数f x －1x ＋1中，有⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，x ＋1≠0，解得x <1且x ≠－1.故函数f x －1x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)．思维升华 (1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义． (2)求复合函数的定义域①若f (x )的定义域为[m ，n ]，则在f (g (x ))中，由m ≤g (x )≤n 解得x 的范围即为f (g (x ))的定义域．②若f (g (x ))的定义域为[m ，n ]，则由m ≤x ≤n 得到g (x )的范围，即为f (x )的定义域． 跟踪训练1 (1)函数f (x )＝11－4x2＋ln(3x －1)的定义域为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，14 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 答案 B解析 要使函数f (x )＝11－4x2＋ln(3x －1)有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－4x 2>0，3x －1>0⇒13<x <12. ∴函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12. (2)已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x的定义域为__________． 答案 [－1,0]解析 由条件可知，函数的定义域需满足⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2x ≤2，1－2x≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]． 题型二 函数的解析式例2 (1)(2022·哈尔滨三中月考)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝lg2x －1(x >1) 解析 令2x＋1＝t (t >1)，则x ＝2t －1， 所以f (t )＝lg 2t －1(t >1)， 所以f (x )＝lg2x －1(x >1)． (2)已知y ＝f (x )是二次函数，若方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x ＋1解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ，∴2ax ＋b ＝2x ＋2， 则a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋c ， 又f (x )＝0，即x 2＋2x ＋c ＝0有两个相等实根． ∴Δ＝4－4c ＝0，则c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(3)已知函数对任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝2x ，则f (x )＝________. 答案 23x解析 ∵f (x )－2f (－x )＝2x ，① ∴f (－x )－2f (x )＝－2x ，② 由①②得f (x )＝23x .教师备选已知f (x )满足f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，则f (x )＝________.答案 －2x 3－43x解析 ∵f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，①以1x代替①中的x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝2x，②①＋②×2得－3f (x )＝2x ＋4x，∴f (x )＝－2x 3－43x.思维升华 函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法． 跟踪训练2 (1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，则f (x )＝________. 答案 －x 2＋2x ，x ∈[0,2] 解析 令t ＝1－sin x ， ∴t ∈[0,2]，sin x ＝1－t ，∴f (t )＝1－sin 2x ＝1－(1－t )2＝－t 2＋2t ，t ∈[0,2]， ∴f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]．(2)(2022·黄冈质检)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x2＝x 4＋1x4，则f (x )＝__________.答案 x 2－2，x ∈[2，＋∞)解析 ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x22－2，∴f (x )＝x 2－2，x ∈[2，＋∞)． 题型三 分段函数例3 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cosπx ，x ≤1，f x －1＋1，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值为( ) A.12B ．－12C ．－1D ．1 答案 D解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫43－1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝cosπ3＋1＝32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3＝cos2π3＝－12， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝32－12＝1.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋3，x >0，x 2－4，x ≤0，若f (a )＝5，则实数a 的值是__________；若f (f (a ))≤5，则实数a 的取值范围是__________． 答案 1或－3 [－5，－1]解析 ①当a >0时，2a＋3＝5，解得a ＝1； 当a ≤0时，a 2－4＝5， 解得a ＝－3或a ＝3(舍)． 综上，a ＝1或－3.②设t ＝f (a )，由f (t )≤5得－3≤t ≤1. 由－3≤f (a )≤1，解得－5≤a ≤－1. 教师备选1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x <1，则f (f (2022))等于( )A ．－32B.22C.32D. 2 答案 B解析 f (2022)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2022π＋π6＝sin π6＝12，∴f (f (2022))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭＝22. 2．(2022·百校联盟联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≥0，－x 2，x <0，若对于任意的x ∈R ，|f (x )|≥ax ，则a ＝________. 答案 0解析 当x ≥0时，|f (x )|＝x 3≥ax ，即x (x 2－a )≥0恒成立，则有a ≤0； 当x <0时，|f (x )|＝x 2≥ax ，即a ≥x 恒成立， 则有a ≥0，所以a ＝0.思维升华 分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3 (1)(2022·河北冀州一中模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋1，x <1.则f (f (－1))＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3 解析 ∵f (－1)＝2，∴f (f (－1))＝f (2)＝2＋22－3＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时取等号，f (x )min ＝22－3， 当x <1时，f (x )＝x 2＋1≥1，x ＝0时取等号， ∴f (x )min ＝1，综上有f (x )的最小值为22－3.(2)(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >1，x 2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞解析 当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)， 等价于x 2－1<(x ＋1)2－1， 解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1， 此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，f (x )<f (x ＋1)⇔log 2x <log 2(x ＋1)恒成立．综上知，不等式f (x )<f (x ＋1)的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.课时精练1．(2022·重庆模拟)函数f (x )＝3－xlg x的定义域是( ) A ．(0,3) B ．(0,1)∪(1,3) C ．(0,3] D ．(0,1)∪(1,3]答案 D解析 ∵f (x )＝3－xlg x，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，lg x ≠0，x >0，解得0<x <1或1<x ≤3，故函数的定义域为(0,1)∪(1,3]．2．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 A 中函数定义域不是[－2,2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0,2]． 3．(2022·安徽江淮十校联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －12，x <1，a x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝8，则a 等于( ) A.12 B.34 C ．1 D ．2答案 D解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝4×78－12＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝f (3)＝a 3，得a 3＝8，解得a ＝2.4．设函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )的表达式为( )A.1＋x1－x(x ≠－1) B.1＋xx －1(x ≠－1) C.1－x1＋x(x ≠－1) D.2xx ＋1(x ≠－1) 答案 C解析 令t ＝1－x 1＋x ，则x ＝1－t1＋t ，∴f (t )＝1－t 1＋t ，即f (x )＝1－x1＋x(x ≠－1)．5．如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，M 是CD 的中点，当P 沿A －B －C －M 运动时，设点P 经过的路程为x ，△APM 的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 A解析 由题意可得y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0≤x ＜1，34－x4，1≤x ＜2，54－12x ，2≤x ≤52.画出函数f (x )的大致图象，故选A.6．(多选)下列函数中，与y ＝x 是同一个函数的是( ) A ．y ＝3x 3B ．y ＝x 2C ．y ＝lg10xD ．y ＝10lg x答案 AC解析 y ＝x 的定义域为x ∈R ，值域为y ∈R ，对于A 选项，函数y ＝3x 3＝x 的定义域为x ∈R ，故是同一函数；对于B 选项，函数y ＝x 2＝||x ≥0，与y ＝x 的解析式、值域均不同，故不是同一函数；对于C 选项，函数y ＝lg10x＝x ，且定义域为R ，故是同一函数；对于D 选项，y ＝10lg x＝x 的定义域为(0，＋∞)，与函数y ＝x 的定义域不相同，故不是同一函数．7．(多选)(2022·张家界质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≤a ，2x，x >a ，若f (1)＝2f (0)，则实数a可以为( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 AB 解析 若a <0，则f (0)＝1，f (1)＝2，f (1)＝2f (0)成立； 若0≤a <1，则f (0)＝1，f (1)＝2，f (1)＝2f (0)成立； 若a ≥1，则f (0)＝1，f (1)＝0，f (1)＝2f (0)不成立． 综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，1)．8．(多选)具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是( ) A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝ln1－x1＋xC ．f (x )＝1ex x-D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1答案 AD解析 对于A ，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意； 对于B ，f (x )＝ln1－x1＋x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln x －1x ＋1≠－f (x )，不满足； 对于C ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝111e xx -＝ex －1，－f (x )＝1ex x--≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，不满足；对于D ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )满足“倒负”变换，故选AD.9．已知f (x 5)＝lg x ，则f (100)＝________. 答案 25解析 令x 5＝100， 则x ＝15100＝2510， ∴f (100)＝25lg 10＝25.10．函数f (x )＝ln(x －1)＋4＋3x －x 2的定义域为________． 答案 (1,4]解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，4＋3x －x 2≥0，解得1<x ≤4，∴f (x )的定义域为(1,4]．11．(2022·广州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 解析 ∵当x ≥1时，f (x )＝ln x ≥ln1＝0， 又f (x )的值域为R ，故当x <1时，f (x )的值域包含(－∞，0)．故⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥0，解得－1≤a <12.12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <0，1，x >0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．答案 [－2,0)∪(0,1] 解析 当x <0时，f (x )＝x ， 代入xf (x )＋x ≤2得x 2＋x －2≤0， 解得－2≤x <0； 当x >0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2，解得0<x ≤1. 综上有－2≤x ＜0或0＜x ≤1.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(0，＋∞) C ．(－1,0) D ．(－∞，0)答案 D解析 当x ≤0时，函数f (x )＝2－x是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，解得x <－1或－1≤x <0，即x <0.14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋λ，x <1λ∈R，2x，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f (f (a ))＝2f (a )成立，则λ的取值范围是______． 答案 [2，＋∞) 解析 当a ≥1时，2a≥2. ∴f (f (a ))＝f (2a)＝22a＝2f (a )恒成立．当a <1时，f (f (a ))＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ，∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立， 由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2， 综上，λ的取值范围是[2，＋∞)．15．(多选)若函数f (x )满足：对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则称函数f (x )具有H 性质．则下列函数中具有H 性质的是( )A ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xB ．f (x )＝ln xC ．f (x )＝x 2(x ≥0) D ．f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <π2 答案 ACD解析 若对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的中点在点⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的上方，如图⎝⎛⎭⎪⎫其中a ＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，b ＝f x 1＋f x 22.根据函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝ln x ，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x <π2的图象可知，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x <π2具有H 性质，函数f (x )＝ln x 不具有H 性质．16．设f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝2f (x )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，－1<x <0，b e 2x，0≤x ≤1，其中a ，b 为正实数，e 为自然对数的底数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a b 的取值范围为________． 答案 (2e ，＋∞)解析 因为f (x ＋2)＝2f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋4＝(2)2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2e b ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋a ＝2(a －1)， 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以2(a －1)＝2e b ， 所以a ＝2e b ＋1， 因为b 为正实数， 所以a b＝2e b ＋1b＝2e ＋1b∈(2e ，＋∞)，故a b的取值范围为(2e ，＋∞)．。