青岛科技大学线性代数2014-2015-2线代 A卷及其参考答案

2012-20132 线性代数 （A 卷）数理学院 全校相关专业（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、填空题（每小题3分，共15分）1．设1221304012107301---=D ,则D 的代数余子式=23A ；2．设C B A ,,均为n 阶方阵，且E ABC =,则=T T CA B )( ；3．设A 为四阶方阵，且2-=A ，*A 是A 的伴随矩阵，则=*A ；4．n 元线性方程组b Ax =有解的充分必要条件为 ；5．设三阶方阵A 的特征值为1，-1,2，则=-1A .二、选择题（每小题3分，共15分）1．设B A ,均为n 阶方阵，则下列各式中正确的是 ；)A ()()22B A B A B A -=-+ )B ()222B A AB =)C 由BC AC =必可推出B A = )D ()()E A E A E A -+=-22．设A 为n 阶方阵，且E A =2，则 ；)A A 的行列式为1 )B A 的特征值都为1 )C A 的秩为n )D A 一定是对称矩阵3.向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是 ；)A s ααα,,,21 均不为零向量)B s ααα,,,21 中任意两个向量对应分量不成比例)C s ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量线性表出 )D s ααα,,,21 中有一部分线性无关课程考试试题学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:4．设B A ,均为n 阶矩阵，且A 与B 相似，则下列结论中不正确的是 ；)A )()(B r A r = )B B E A E -=-λλ )C B E A E -=-λλ )D B A =5．二次型32312123222132142244),,(x x x x x x x x x x x x f +--++=λ为正定二次型，则λ的取值范围为 .)A 12λ-<< )B 22<<-λ )C 2-<λ )D 2>λ三、计算题1．（10分）计算行列式1111111111111111--+---+---=x x x x D ；2．（10分）矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=100110011A ,求满足方程X A AX 2-=的矩阵X ；3. （15分）λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=--=+-+λ43214324321312222x x x x x x x x x x x 无解？有解？有解时求其通解. 四、计算题1. （10分）求向量组:()T 00111=α，()T 01112-=α，()T01223-=α，()T 21044--=α，()T 21035-=α的秩及一个最大无关组；2．（15分）求正交变换Py x =将二次型22212312123(,,)334f x x x x x x x x =+-+化为标准形. 五、证明题（每小题5分，共10分）1．设n 阶矩阵A 满足O E A A =--422,证明：E A +可逆,且E A E A 3)(1-=+-;2．已知321,,ααα是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，若211ααβ+=，322ααβ+=133ααβ+=，证明：321,,βββ也是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系.参考答案一、 填空题：（每小题3分，共15分）1. 26；2. E3. -84. ),()(b A R A R =5. 21- 二、选择题：（每小题3分，共15分）1). D 2).C 3).C 4).B 5) A 三、计算题：1. 解： 1111111111111111-----+---=x x x x D ……………5分xx x xx x x-----=00000001111……………7分 xx x x x x x------=0000001111=4x ……………10分 2．解：由A X E A =+)2(……………2分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=+100100110110011011),2(A E A ……………5分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------100100210010221001~……………9分⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=∴100210221X ……………10分3． 解：B= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----λ31111111022221 ……………2分 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----211101*********~λ ……………5分 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----100001111022221~λ ……………9分 所以 1）1≠λ时，方程组无解 ……………12分1）1=λ时，方程组有解，B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000001111004001~000001111022221~得等价方程组⎩⎨⎧++=-=1443241x x x x x ，特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=*0010η对应的齐次方程组的基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1014011021ξξ，通解为*++=ηξξ2211k k x ……………15分四、计算题1.11243112000111100022-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭11243000430111100022-~-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭11243011110002200001~-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭………………7分123454(,,,)R ααααα=， ………9分1245,,αααα，是一个最大无关组 ………10分2.解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100032023A ………2分λλλλ-----=-10032023E A ()()512---=λλ,得特征值121==λλ，53=λ ………6分当121==λλ时，解()0=-x E A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000000011~000022022E A即，21x x =，得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,01121ξξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100,0212121p p ………10分当53=λ时，解()05=-x E A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-000100011~4000220225E A得 ⎝⎛=-=0321x x x ，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0113ξ，单位化得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=021213p ………12分 所以得正交变换Py x =,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0102102121021P , ………14分化二次型为标准型2322215y y y f ++= ………15分六、证明题（2个小题，每小题5分，共10分）1.证明： 由O E A A =--422得E E A A A =--+332，即()()E E A E A A =+-+3即()()E E A E A =+-3,………4分所以E A +可逆，且()E A E A 31-=+-. ………5分2.证明：1）3,2,1,0==i A i α ()3,2,1,0==+=+=∴i A A A A k i k i i ααααβ i β∴是0=Ax 的解 ………2分2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110011101),,(),,(321321αααβββ，而021********≠=又321,,ααα是基础解系，所以线性无关，3),,(321=αααR所以3),,(),,(321321==αααβββR R ，所以321,,βββ也线性无关 ………4分 综上，321,,βββ是0=Ax 的基础解系。

20142学期《线性代数》考试A 卷答案及评分标准一、选择题(每题2分，共计20分)1-5 D C C A C 6-10 C A A A C二、填空题(每题2分，共计20分)1、-122、1或33、10123321015432176543---⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎪⎝⎭4、1815、28a6、11121321111222231331323322()2a a a a a a a a a aa a -⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭7、R （A ）=R （A ，b ）或线性方程组系数矩阵的秩与线性方程组增广矩阵的秩相等。

8、21,αα3,α 9、无 10、16三、证明题(每题10分，共计20分)1、证明：线性方程组的系数矩阵为A=1100011000111001-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪-⎝⎭； （1分） 线性方程组的增广矩阵为12341100011000111001a a A a a -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭； （1分） 又线性方程组有解的充分必要条件为R （A ）=R （A ）， （2分）12341100011000111001a a a a -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪-⎝⎭~12314110001100011011a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-+⎝⎭~123214110001100011011a a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-++⎝⎭~12332141100011000110a a a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪+++⎝⎭（4分）∴3214a a a a +++=0 （2分） 证毕。

2、证明：假设存在一组数12,r k k k ，使得02211=+++r r k k k βββ 成立， （2分）即++++++++++p r p r r k k k k k k ααα)()()(2211 0=+r r a k 因向量组r a a a ,,,21 线性无关，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00010011011121 r k k k ，因为01100110111≠= ,(6分） 故方程组只有零解，即当且仅当021====r k k k ，故r βββ,,,21 线性无关. （2分）四、计算题（共计40分）1、解：将第2，3…n 列都加到第一列得：(3分)()()()()1111a n bb b b a n b a bb a n b b a b a n b bba+-+-+-+-D =[]11(1)1b b b a b b a n b b a b =+-(4分)(1分)2、解：由 B AX X +=2，得 B X A E =-)2(. 因为032110111|2|≠=--=-A E ，所以矩阵A E -2可逆， (2分) B A E A E B A E X |2|*)2()2(1--=-=- 求出1(2)E A --得(4分)或者(2)E A E -=110100101010102001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭~1((2))E E A --=10002/31/301012/31/300101/31/3⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭,即1(2)E A --=02/31/312/31/301/31/3⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ X = 02112211321303330110311--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2分) 3、解：非齐次线性方程组的增广矩阵为()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==b a A B 1223131121β⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---225050501121~b a []10011101201j c bc a b a (n )b a b j ,,nab--======+--=-[]1(1)().n a n b a b -=+--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++---320010101121~b a (2分) 所以（1）当3,2-≠-=b a 时，()()B R A R ≠，非齐次线性方程组无解； (2分)（2）当2-≠a 时，()()3==B R A R ，非齐次线性方程组有唯一解； (2分)（3）当3,2-=-=b a 时，()()3<=B R A R ，非齐次线性方程组有无穷多解，(2分)当3,2-=-=b a 时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000010101101~000010101121~B =R (4分) 矩阵R 对应的线性方程组为1321,1.x x x -=⎧⎪=-⎨⎪⎩把3x 看成自由未知数，取3x =k,k 为任意实数得1231,1.x k x x k=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以，其通解为123111*********x k k x x k x k k +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（其中k 为任意实数.） 4、解 (1) A 的特征多项式为|A -λE|=λλλ---111011002=(1-λ)2(2-λ)所以A 的特征值为λ1=2, λ2=λ3=1. (4分)当λ1=2时,解线性方程组(A-2E)x =0.由A-2E=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111011000∽⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00021102101得基础解系x 1=(1/2，1/2，1)T所以对应于λ1=2的所有特征向量为k 1 x 1 （k 1≠0）当λ2=λ 3 =1时,解线性方程组(A-E)x =0.由 (4分)A- E=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011001001∽⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001得基础解系x 2=(0，0，1)T所以对应于λ2=λ 3 =1的所有特征向量为k 2 x 2 （k 2≠0） (4分)。

2014-2015-1线性代数参考答案及评分标准一（每小题3分，共15分）1、32 2 、3 3 、1 4、2 5、0二（每小题3分，共15分）1 B2 B3 C4 A5 D三（5分）0321103221036666=D ……………………………………………………（2分） 40000400121011116---=…………………………………………… （2分）96-=……………………………………………………………（1分）四（10分）1-=A ，A 可逆…………………………………………………（1分） 121)(---=-=A A E A A B ……………………………………………………（4分）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→100100110010211001,E A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-1001102111A ……………………………………………………………（4分） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000120B …………………………………………………………………（1分） 五（15分）()211111211112-=-----λλλλλλλ………………………………………………（5分） 0≠λ且2≠λ时，有唯一解…………………………………………………（2分）2=λ时()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=100051103111111111133111,b A3),(2)(=<=b A R A R ，方程组无解…………………………………………（3分）0=λ时，()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000001111111111111111,b A3),(1)(<==b A R A R 方程组有无穷多解，1321+--=x x x 取2312,c x c x ==得方程组通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00110101121321c c x x x x ………………………（5分）六（12分）()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0000010000712100230102301085235703273812,,,,54321a a a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→00000100000121002301……………………………………（4分） 向量组秩为3，……………………………………………………………（2分） 一个最大无关组为：521,,a a a ……………………………………………（2分） 21323a a a +=………………………………………………………………（2分） 2152a a a -=…………………………………………………………………（2分） 七（10分）证明：设存在数1k ，2k ，3k ，使0332211=++βββk k k ………………（2分） 将1β，2β，3β带入并整理得0)32()()2(33212321131=+-+-+-++αααk k k k k k k k …………………（2分）由1α，2α，3α线性无关知⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-=+03200232132131k k k k k k k k ， 因0312111201=---，故齐次线性方程组有非零解，…………………（4分）从而存在1k ，2k ，3k 不全为零，使0332211=++βββk k k ，从而1β，2β，3β是线性相关的。

考试课程：班级：姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------第1页(共1页)3、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100152321A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=141B ，利用初等变换求1-A ，并求解求矩阵方程B AX =。

4、设有向量组TTTT---=--=-==)1,1,3,4(,)3,1,0,3(,)7,1,3,2(,)0,0,1,1(4321αααα，（1）求此向量组的秩和一个极大无关组；（2）将其余向量用极大无关组线性表示。

5、设四元非齐次线性方程组b Ax =的系数矩阵A 的秩为3，已知4321,,,ηηηη是它的四个解向量，且T )2,2,0,1(1=η，T )8,2,5,1(432=++ηηη，求其通解。

6、λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ有唯一解？无解？有无穷多组解？7、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010111a a A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b B 10相似，求b a ,的值。

8、求一个正交变换，将二次型2123222132142),,(x x x x x x x x f -+-=化为标准形。

9、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=30201t t t t A ，且A 为正定矩阵，求t 的取值范围。

三、证明题（每小题6分，共12分）1、设向量组321,,ααα线性无关，321αααβ++=，证明：1αβ-、2αβ-、3αβ-线性无关。

2、设A 是正交矩阵，证明：A 的特征值为1或1-。

考试课程：班级：姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------满分8分得分4、满分8分得分5、满分8分得分满分8分得分7、满分8分得分8、满分8分得分满分8分得分三、证明题1、满分6分得分2、满分6分得分。

2014-20152 线性代数 (A 卷)数理学院 全校相关专业一、填空题（每小题3分，共15分）1. 已知10312122D -=-，则11121322M M M ++=_______________； 2. 设A 为3阶矩阵，且2A =，则1*1(3)3A A --=___________； 3. 向量组(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)TTTt αβγ==-=线性相关，则t =____________；4. 设矩阵13333664A a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征值分别为2-、2-和4，则a =___________； 5. 设二次型2221231231223(, , )322f x x x tx x x x x x x =++-+是正定二次型，则实数t 的取值范围是______________。

二、选择题（每小题3分，共15分） 1.下列等式正确的是________；)A a x b y a b x y c z d w c d z w ++=+++ )B 2123434a a a a a = )C0x y x y x y z z a z a =+- )D 22123434a a a a a = 2.设A ，B 都是n 阶矩阵，且AB O =，则下列成立的是________；)A A O B O =或= )B A ，B 都不可逆 )C A ，B 中至少有一个不可逆 )D A B O +=3.设Ax b =有无穷多组解，则0Ax = ；)A 必有唯一解 )B 必定没有解 )C 必有无穷多组解 )D A 、B 、C 都不对课程考试试题 学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:4.A 是n 阶可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵是 ；)A 1A - )B T A )C *A )D 2A5．n 阶矩阵A 的n 个特征值互异是A 与对角阵相似的 。

)A 充分条件 )B 必要条件 )C 充分必要条件 )D 既非充分又非必要条件 三、计算题(每小题10分，共20分)1. 计算行列式100110011001a b c d---；2．已知111011001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且满足2A AB E -=，其中E 为单位矩阵，求矩阵B 。

上海海洋大学试卷答案一、填空与选择题（1836='⨯） 1. 行列式的值是_____________.2. 已知A 为四阶方阵, 且=2, 是的伴随矩阵, 则=___128______.3. 当__2____时, 方程组有非零解 4．设, ,若初等矩阵, 使得,则P =___100001010æèççöø÷÷______5. 已知四阶行列式中第三列元素依次是它们的余子式依次为, 则=________6．已知＝, 且则一定有：（ D ）（A ）E A = （B ）0=A （C ）矩阵E A -一定可逆 （D ）矩阵E A +一定可逆 二、（16分）计算下列行列式 1.... （10分） 解：D =232-23-101421-354-10=-6-1043-101421-3960-33=9-2-141-1112-16=9-3031-113018=-9-3331=108103.（6分）解：D n +1=x -n 11100x -n +111000x -n +210000x -10nn -1n -211 (3)=(-1)2n +2x -n 1110x -n +111000x -2100x -1 (5)=(x -i )i =1nÕ (6)三、（15分）设, , 求1. 2. 3.若, 求矩阵. 解: (1)A -3E =2-112131-11æèççöø÷÷-300030003æèççöø÷÷ (2)=-1-112-231-1-2æèççöø÷÷ (3)(2)A E ()=2-112131-11100010001æèççöø÷÷...........2®10001000110-11414-1-34141æèççççöø÷÷÷÷..................7 所以A -1=10-11414-1-34141æèççççöø÷÷÷÷ (8)(3)X =BA -1..................................2=-34142-74142æèçççöø÷÷÷ (4)四、（15分）设矩阵, 求1.矩阵的列向量组的秩2.的列向量组的一个极大无关组3.将向量组中的其余向量表达为极大无关组的线性组合 解：由a 1,a 2,a 3,a 4()=22311-3-211033-132-1320-2æèçççççöø÷÷÷÷÷®10330187001100000000æèçççççöø÷÷÷÷÷..............5®1000010-1001100000000æèçççççöø÷÷÷÷÷ (7)得1． 向量组的秩为3 (2)2． 向量组的极大无关组为a 1,a 2,a 3...................3 3． a 4=-a 2+a 3 (3)五、（10分）设列向量组线性相关, 列向量组线性无关, 证明: （1）一定可由线性表示；（2）4α不可由321,,ααα线性表示。

装 订 线 内 不 要 答 题自觉遵 守 考 试 规 则，诚 信 考 试，绝 不作 弊)(A 2)(2121211ββααα-+++k k )(B 2)(2121211ββααα++-+k k )(C 2)(2121211ββββα-+++k k )(D 2)(2121211ββββα++-+k k4．设矩阵21407003A a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与10002000b ⎛⎫⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭相似，则a ，b 满足 （ C ）)(A 1,3a b =-= )(B 1,3a b ==- )(C 1,3a b == )(D 1,3a b =-=- 5．若二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++正定，则t 的取值范围是（ C ） （A）0t << （B ）22t -<< （C）t << （D）22t -<<三、(本题10分)设2XA X B =+，其中311010003A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，101321B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求X .解 由2XA X B =+得1(2)X B A I -=-110100(2)010*********A I I ⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪⎝⎭100110010010001001⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭1110101111(2)010*********X B A I -⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭四、(本题10分) 求向量组()11,1,1,1T α=--，()20,1,0,1Tα=-，()33,2,1,4T α=--，()44,5,2,7Tα=--的秩和它的一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示其余向量. 解103410341034101112501110111010210120022001100111147011300220000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→⎪ ⎪ ⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪---------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭初等行变换初等行变换初等行变换所以1234(,,,r αααα)=3，向量组123,,ααα是一个极大线性无关组，41232αααα=++五、(本题10分)求通过点(2,0,1)P -且又通过直线12213x y z +-==-的平面方程. 解 已知直线过点(1,0,2)M -，方向向量{2,1,3}s =-， 所求平面的法向量{3,15,3}n MP s ⨯=---，取{1,5,1}n = 所求平面方程为(1)5(0)(2)0x y z ++-+-=，即510x y z ++-=六、(本题12分) λ取何值时，线性方程组123123123322x x x x x x x x x λλλλ++=-⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩有唯一解，无解或有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解.解 2112112112011011301133A λλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→-- ⎪⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭初等行变换112011000(1)(2)3(1)λλλλλλ-⎛⎫⎪→-- ⎪ ⎪--+-⎝⎭初等行变换 (1) 当2λ≠-且1λ≠时, 原方程组有唯一解. (2) 当2λ=-时，原方程组无解.(3) 当1λ=时, 原方程组有无穷多解， 111200000000A -⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭通解为12(2,0,0)(1,1,0)(1,0,1)TTTx k k =-+-+-，12,k k 为任意常数.七、(本题12分)求一个正交变换x Qy =，将二次型22212312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++化成标准形，并指出123(,,)4f x x x =表示的曲面名称. 解 二次型的矩阵 200032023A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，232(2)(1)(5)0023I A λλλλλλλ--=--=---=--得特征值为11λ=，232,5λλ== 对11λ=，由1()0I A x λ-=得()10,1,1Tξ=-，单位化得)10,1,1Te =- 对22λ=，由2()0I A x λ-=得()21,0,0Tξ=，单位化得()21,0,0Te =， 对35λ=，由3()0I A x λ-=得()30,1,1Tξ=，单位化得)30,1,1Te =取01000Q ⎛⎫ ⎪=，由x Qy =得222123123(,,)25f x x x y y y =++ 曲面123(,,)4f x x x =表示椭球面.八、（本题6分）设n 阶实对称矩阵A 的特征值为12,,,n λλλ，α是A 的对应于特征值1λ的单位特征向量，矩阵1TB A λαα=-，证明：B 的特征值为20,,,n λλ. 证明 因为A 为n 阶实对称矩阵，且有特征值12,,,n λλλ所以存在正交矩阵12(,,,)n P p p p =，使得12(,,,)T n P AP diag λλλ=因为α是A 对应于特征值1λ的单位特征向量，取1p α=，且(,)0,2,3,,i p i n α==1110TB A ααλαααλαλα=-=-=，所以0是B 的特征值 10,2,3,,T i i i i i i i Bp Ap p p p i n λααλλ=-=-==，所以,2,3,,i i n λ=也是B 的特征值综上，B 的特征值为20,,,n λλ.。

（1）青岛科技⼤学⾼数试卷10-11⾼数A2A卷2010/20112 ⾼等数学A2（ A 卷）数理学院机电，信息，应物等专业（答案写在答题纸上，写在试题纸上⽆效）⼀、填空题（每⼩题3分，共15分）1．设arctany z x =，则zx= 。

2．⼀阶线性微分⽅程23x dyy e dx+=的通解为。

3．设L 是椭圆周221x y +=，则曲线积分2(21) Lx x ds ++? 。

4．函数()sin f x x x =展开为x 的幂级数是。

5．已知向量(2,1,1),(1,1,3)a b ==-，则a b ?= 。

⼆、选择题（每⼩题3分，共15分）1．函数(,)f x y =0，0）处（）。

()A 偏导数存在 ()B 连续但偏导数不存在 ()C 可微 ()D 连续且偏导数存在2．⼆重积分31(,)xxdx f x y dy ?交换积分次序可化是（）。

()A 1(,)y dy f x y dx ? ()B 10(,)ydy f x y dx ?()C 10(,)ydy f x y dx ? ()D 1(,)ydy f x y dx ?3．曲⾯21z x y =+在点（1,1,2）处的切平⾯⽅程是（）。

()A 210x y z +--= ()B 210x y z +--= ()C 10x y z +--= ()D 10x y z ++-= 4．若级数1nn a∞=∑收敛，则级数20()nn n aa ∞+=+∑（）。

()A 绝对收敛 ()B 发散 ()C 收敛 ()D 敛散性不能确定5．以4为周期的函数在[2,2)-上的表达式为24,20()2,02x x f x x x +-≤的和函数为(),s x 则(2)s =（）。

课程考试试题学期学年拟题学院（系）: 适⽤专业:()A 1 ()B 2 ()C 0 ()D 3.三、（共21分）1、（7分）设(2,2)z f x y x y =-+，其中f 具有⼆阶连续偏导数，求2,z zx x y。