t分布表精确完整图

t分布介绍在概率论和统计学中，学生 t - 分布（t -distribution ），可简称为 t 分布，用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值。

如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。

t 分布曲线形态与 n（确切地说与自由度 df ）大小有关。

与标准正态分布曲线相比，自由度df 越小， t 分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度 df 愈大， t 分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度 df= ∞时， t 分布曲线为标准正态分布曲线。

中文名t 分布应用在对呈正态分布的总体外文名t -distribution 别称学生 t 分布学科概率论和统计学相关术语t 检验目录1历史2定义3扩展4特征5置信区间6计算历史在概率论和统计学中，学生 t -分布（ Student's t-distribution ）经常应用在对呈正态分布的总体的均值进行估计。

它是对两个样本均值差异进行显著性测试的学生t 测定的基础。

t 检定改进了Z 检定（en:Z-test ），不论样本数量大或小皆可应用。

在样本数量大（超过 120 等）时，可以应用Z 检定，但 Z 检定用在小的样本会产生很大的误差，因此样本很小的情况下得改用学生t 检定。

在数据有三组以上时，因为误差无法压低，此时可以用变异数分析代替学生t 检定。

当母群体的标准差是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生t-分布。

学生 t-分布可简称为t 分布。

其推导由威廉·戈塞于 1908 年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。

因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student ）这一笔名。

之后t 检验以及相关理论经由罗纳德·费雪的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布。

定义由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s 作为σ的估计值，为了与u 变换区别，称为t 变换，统计量 t 值的分布称为t 分布。

t分布表1. 什么是t分布表t分布表是一种统计学中常用的工具，用于计算t分布的累积概率。

t分布是一种概率分布，通常用于小样本（样本量较小）情况下对样本均值的推断。

t分布表中列出了在给定自由度和置信水平下的t值和对应的累积概率。

2. t分布表的用途t分布表主要用于解决以下两个问题：a. 给定t值，计算对应的累积概率在统计学中，我们经常需要计算一个t值对应的累积概率，即给定某个t值，求该t值以下的面积。

这可以用t分布表来完成。

用户只需要在t分布表中找到对应的自由度和置信水平，即可得到该t值以下的累积概率。

b. 给定累积概率，计算对应的t值在一些统计推断问题中，我们需要给定累积概率，求该累积概率对应的t值。

例如，在假设检验中，我们常常需要计算一个t临界值，该值将样本均值与总体均值进行比较。

t分布表可以帮助我们找到给定累积概率下的t值。

3. 如何使用t分布表在使用t分布表时，我们需要知道两个关键的输入参数：自由度和置信水平。

a. 自由度自由度（degrees of freedom）是t分布中的一个重要参数。

对于给定的问题，自由度等于样本中独立观察值的数量减1。

例如，若样本容量为10个，则自由度为9。

b. 置信水平置信水平是统计推断中常用的一个指标，用于表示结果的可靠性。

常见的置信水平有0.95（95%置信水平）和0.99（99%置信水平）等。

较高的置信水平意味着对结果的可靠性更高。

使用t分布表的步骤如下：1.确定问题中的自由度和置信水平；2.在t分布表中找到相应的自由度；3.在该行中找到置信水平对应的列；4.交叉点的数值即为t值。

4. t分布表的局限性在使用t分布表时，需要注意其一些局限性：•只能用于正态分布情况下的小样本（样本量较小）推断；•对于较大的自由度，t分布和正态分布的差异较小，所以在样本量大的情况下，通常可以使用正态分布近似代替t分布；•t分布表只给出了常见自由度和置信水平下的数值，若需要计算其他自由度或置信水平下的值，需要使用统计软件或计算工具进行计算。

统计学附录-卡方分布 t-分布表卡方分布卡方分布(χ2分布)是概率论与统计学中常用的一种概率分布。

k 个独立的标准正态分布变量的平方和服从自由度为k 的卡方分布。

卡方分布常用于假设检验和置信区间的计算。

卡方分布的数学定义若k 个随机变量Z1、……、Zk 相互独立，且数学期望为0、方差为 1(即服从标准正态分布)，则随机变量X被称为服从自由度为 k 的卡方分布，记作卡方分布的特征卡方分布的概率密度函数为:其中x?0, 当x?0时fk(x) = 0。

这里Γ代表Gamma 函数。

卡方分布的累积分布函数为:其中γ(k,z)为不完全Gamma函数在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。

此外许多表格计算软件如 Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。

卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立，也可用来检测统计模型是否符合实际要求。

自由度为 k 的卡方变量的平均值是 k，方差是 2k。

卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为:其中ψ(x) 是 Digamma function。

卡方变数与 Gamma变数的关系当Gamma变数频率(λ)为1/2 时，α 的2倍为卡方变数之自由度(Degree of freedom)即:卡方变数之期望值=自由度卡方变数之方差=两倍自由度卡方分布参数 k > 0, 自由度值域 ,概率密度函数,累积分布函数(cdf),期望值 k,中位数大约k ? 2 / 3,众数 k-2, if,方差 2,k,偏态 ,峰态 12/k,熵值动差生成函数(mgf) ，2t<1,特征函数 ,t-分布表For a particular number of degrees of freedom, entry represents the critical value of t Corresponding to a specified upper-tail area (α) Upper-Tail AreasDegrees of 0 t (α, df) 0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 Freedom1 1.0000 3.0777 6.3137 12.7062 31.8210 63.65592 0.8165 1.8856 2.9200 4.3027 6.9645 9.92503 0.7649 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.84084 0.7407 1.5332 2.1318 2.7765 3.7469 4.60415 0.7267 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.03216 0.7176 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.70747 0.7111 1.4149 1.8946 2.3646 2.9979 3.4995 8 0.7064 1.3968 1.85952.3060 2.89653.3554 9 0.7027 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 100.6998 1.3722 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693 11 0.6974 1.3634 1.7959 2.2010 2.7181 3.1058 12 0.6955 1.3562 1.7823 2.1788 2.6810 3.0545 13 0.69381.3502 1.77092.1604 2.65033.0123 14 0.6924 1.3450 1.7613 2.1448 2.62452.9768 15 0.6912 1.3406 1.7531 2.1315 2.6025 2.9467 16 0.6901 1.33681.74592.1199 2.5835 2.9208 17 0.6892 1.3334 1.7396 2.1098 2.5669 2.8982 18 0.6884 1.3304 1.7341 2.1009 2.5524 2.8784 19 0.6876 1.3277 1.72912.0930 2.5395 2.8609 20 0.6870 1.3253 1.7247 2.0860 2.5280 2.8453 210.6864 1.3232 1.7207 2.0796 2.5176 2.8314 22 0.6858 1.3212 1.7171 2.07392.5083 2.8188 23 0.6853 1.3195 1.7139 2.0687 2.4999 2.8073 24 0.68481.3178 1.71092.0639 2.4922 2.7970 25 0.6844 1.3163 1.7081 2.0595 2.48512.7874 26 0.6840 1.3150 1.7056 2.0555 2.4786 2.7787 27 0.6837 1.31371.70332.0518 2.4727 2.7707 28 0.6834 1.3125 1.7011 2.0484 2.4671 2.7633 29 0.6830 1.3114 1.6991 2.0452 2.4620 2.7564 30 0.6828 1.3104 1.69732.0423 2.4573 2.7500 31 0.6825 1.3095 1.6955 2.0395 2.4528 2.7440 320.6822 1.3086 1.6939 2.0369 2.4487 2.7385 33 0.6820 1.3077 1.6924 2.0345 2.4448 2.7333 34 0.6818 1.3070 1.6909 2.0322 2.4411 2.7284 35 0.68161.3062 1.68962.0301 2.4377 2.7238 36 0.6814 1.3055 1.6883 2.0281 2.43452.7195 37 0.6812 1.3049 1.6871 2.0262 2.4314 2.7154 38 0.6810 1.30421.68602.0244 2.4286 2.7116 39 0.6808 1.3036 1.6849 2.0227 2.4258 2.7079 40 0.6807 1.3031 1.6839 2.0211 2.4233 2.7045。

⑴ 自由度为（n-1），而不是n。
⑵ t分布表具有对称性，t值大于等 于某一特定值的概率与t值小于等于该
特定值相反数的概率相等。
9
数学期望与方差：
设T～t (n)，则E(T)=0，D(T)= n/(n-2) (n≥2)
小组成员： 主讲： 叶娇旗14、 PPT制作： 侯晓爽04、刘雨49、李舒婷03、 收集资料：花蕾17、王茜13
t 分布
主讲人：叶娇旗 营销131班
1
定义：
设X~N(0, 1), Y~ 2(n)，X与Y相互独立， 则称随机变量 X T Y n 所服从的分布为自由度为n的t分布。 记为T~t(n).又称为学生氏分布
2
图像：
3
特点：
1、t分布的概率密度函数是偶函数，所以图形关于y轴对称。 2、其形态变化与n（确切地说与自由度ν）大小有关 自由度n越小，t分布曲线越低平； 自由度n越大，t分布曲线越接近标准正态分布曲线
10
0.05
0.05
-1.812
0
1.812
6Leabharlann t分布表举例：例：变量 X表示面包房每日出售的面包量，在15天内，出 售面包的样本方差为16。假定真实的出售量为70条，求任 意15天内出售面包平均数量为74条的概率。 分析：本例中已知样本方差S² =16，则S=4，总体均值（真 实的出售量）=70，运用t变量公式得：
4
t分布的均值与标准正态分布均值相
同，为0，但方差为k/(k-2)。由此，在 求t分布的方差时定义自由度必须大于2。
标准正态分布的方差等于1，因此，t
分布方差总大于标准分布的方差，也就 是说，t分布比正态分布略“胖”些。
5
t分布表的使用: