下载文档原格式
Oy xBAABxy O反比例函数与几何综合基本图形及常见结论 （1） 反比例函数)0(≠=k xky 图象上任一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴；所围k S =矩形（2）反比例函数)0(≠=k xky 图象上任一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴及原点连线；所围2k S =三角形（3）反比例函数与正比例函数图像交于A ，B 两点，AM 与x 轴垂直； 则：①A ，B 两点关于原点对称；②k S ABM =△（4）过反比例函数xk y 11=图像上任一点向坐标轴做垂线，与反比例函数)(2122k k xk y ＞=交于两点； 则：①BNBP AM AP =,即AB ∥MN②21k k S APNH -=矩形③）（△2121k k S OAP -=一次函数)0(≠+=kb b kx y 和反比例函数)0(≠=m xmy 图像交于A 、B 两点，AE ⊥x 轴，BF ⊥y 轴，则：①OAE OBF S S △△= ② OAB ABFE S S △梯形=③AC BD =④BFAEOE OF AE OE BF OF =⇒⋅=⋅ ⑤OACOBD S S △△=（一）巧用k 的几何意义解题y x ABO CDy xDC F EO B A例1．函数y=和y=在第一象限内的图象如图，点P 是y=的图象上一动点，PC ⊥x 轴于点C ，交y=的图象于点B ．给出如下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②PA 与PB 始终相等；③四边形PAOB 的面积大小不会发生变化；④CA=AP ．其中所有正确结论的序号是________。
迁移练习1（1）.如图，双曲线)0x (k>=xy 经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，与AB 交于点C ．若△OBC 面积为3，则k ＝_______迁移练习1（2）..双曲线)0x (k>=xy 经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ； 若梯形OEBA 的面积为9，则k=________。
２０２３年５月下半月㊀案例赏析㊀㊀㊀㊀由数及形 代数推理和几何直观的融合以 反比例函数的图象与性质 为例◉杭州高新实验学校㊀杨张彩㊀㊀摘要:在 反比例函数图象与性质 的探究过程中,把 解析式特征 与 图形特征 紧密结合．通过先 想一想 再 画一画 的教学环节,紧紧抓住反比例函数解析式 定积 特征, 由数及形 推理得到反比例函数的图象 特征 ,观察图象 特征 归纳得到反比例函数的性质．尝试在教学过程中通过不断设问㊁追问,引导学生不断反思㊁深入思考,在学生独立思考㊁自主探究和合作交流中培养学生推理能力和几何直观等核心素养．关键词:代数特征;代数推理;几何直观１ 代数推理 的内涵和意义«义务教育数学课程标准(２０２２年版)»(以下简称课程标准(２０２２年版))强调推理能力和几何直观素养的发展[１]．推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中．推理是数学的基本思维方式．在初中数学教学中,对于代数部分的教学,更多的是停留在代数的运算,而往往忽视了代数推理．代数推理就是通过归纳类比得到结论,侧重于对数与式的分析和变形,对学生自主建构知识体系㊁培养深刻的理性思维㊁发展核心素养有着不可替代的作用．因此,在日常的教学中,应抓住时机选择适当的教学载体提升学生的代数推理能力．特别是在函数的教学中,建立 数 与 形 的联系,在 由数及形 的过程中,培养学生代数推理的关键能力．本文中以浙教版«义务教育教科书 数学»八年级下册第六章 反比例函数 第２节 反比例函数图象与性质 内容为例,对教学设计进行了研究,现予以阐述．２基于 由数及形 的教学设计案例２．１内容解析学生在小学已经学习过反比例关系,七年级学了分式,八年级上册学习了常量㊁变量㊁自变量㊁因变量,函数及函数值等概念,研究了正比例函数㊁一次函数．学生对函数的概念㊁图象和性质有了一定的认识,知道了研究函数的一般方法,积累了画函数图象的一般经验:列表－描点－连线．本节课基于此展开对 反比例函数图象和性质 的探究,巩固画函数图象的一般方法,继续积累数学基本活动经验,为后续学习二次函数的图象和性质等积累活动经验[３]．㊀㊀２．２目标建构与难点分析２．２．１目标和目标解析基于课程标准(２０２２年版)要求,确定本节课的教学目标:(１)能利用反比例函数解析式的代数特征推理反比例函数图象的特征．(２)能画反比例函数图象,通过画反比函数图象,进一步体会反比例函数三种表示方法的联系和转化,通过反比例函数的三种表示方法感知反比例函数的变化规律．(３)经历反比函数性质的探索过程,发展类比迁移能力㊁代数推理能力和几何直观[２]．达成目标(１)的标志:能指出自变量和因变量都不能等于零,知道自变量和因变量的符号与比例系数k值相关联,理解两个变量之间的对应关系．达成目标(２)的标志:能画反比例函数图象．达成目标(３)的标志:能根据反比例函数图象归纳出反比例函数的性质特征,并利用性质解决问题．２．２．２教学问题诊断分析及解决策略本节课是建立在学生已经学习了一次函数图象画法的基础上,有了画函数图象的基本经验:列表㊁描点㊁连线．但一次函数图象是一条直线,点与点之间用线段连接,它是直线型函数图象,且一次函数是连续函数．这样的经验和函数特征对学生学习反比例函数图象会产生负迁移．根据以往的教学经验,学生会有以下错误呈现:(１)连线用线段;(２)图象不完整(只有一个分支);(３)两个分支用线段连接;(４)没有延伸趋势或延伸趋势错误．针对这些问题,本节课选择从反比例函数解析式的代数特征切入,引导学生发现自变量和因变量的取值特点和变化规律．在解释 反比例函数图１５Copyright©博看网. All Rights Reserved.案例赏析２０２３年５月下半月㊀㊀㊀象为什么不能用线段连接 环节,不仅用特殊点验证,还利用几何画板描点,通过不断增加点,帮助学生直观感知反比例函数图象是光滑曲线,且不断接近x 轴和y 轴．３教学过程简介环节一:激活旧知,引入新课．回顾:(１)想一想函数有哪几种表现形式?(２)说一说正比例函数的研究路径和性质．生:函数有解析式㊁表格㊁图象三种表现形式．正比例函数的研究路径是定义 图象 性质 应用．性质为k ＞０时,图象在一㊁三象限,y 随x 的增大而增大;k ＜０时,图象在二,四象限,y 随x 的增大而减小．设计意图:激活旧知,引导学生将正比例函数图象与性质的学习经验迁移至反比例函数图象与性质的学习中．问题１㊀我们已获得反比例函数解析式y ＝kx(k ʂ０),你能类比正比例函数图象与性质的研究方法来研究反比例函数图象与性质吗设计意图:只给一般式,让学生类比正比例函数性质的探究过程,自行发现反比例函数的图象和性质与k 有关,并对k 赋值,意在培养学生 从一般到特殊 的数学思想．环节二:交流对话,探究新知．针对有学生提出先研究y ＝１x ,y ＝２x ,y ＝８x,y ＝－８x,顺势给出问题２．问题２㊀你先选择哪个解析式进行研究?为什么?追问１:若先选y ＝８x进行研究,你能根据解析式的代数特征 想到 图象的样子吗?如果你有发现,先写下来,继续 想 ;如果发现不了,可以选择画图或尝试借助表格进行探究．追问２:说说你是怎么想到的?具有这些图象特征的根本原因是什么生１:因为x 为分母,分母不能为零,所以x ʂ０．又因为k ʂ０,所以y 也不能等于零,即图象与x 轴,y 轴都没有交点．生２:将解析式变形为x y ＝８,因为８是正数,所以可以知道x ,y 同号,所以图象在一㊁三象限．生３:从x y ＝８看,当x ,y 都取正数时,如果x 变大,根据积为８是定值,那么y 将变小．师:感谢这三位同学的分享,他们的想法对画图有很大帮助．现在请大家动手画图象,看看借助图象是否还有其他发现．通过列表,学生还发现函数图象上的点关于原点对称．设计意图:引导学生学会研究函数性质的一般方法,即先分析函数解析式的代数特征,再借助自变量与因变量的表格分析二者之间的关系,最后再结合函数的图象直观地理解所研究函数的性质．此过程中基础薄弱的学生可以边想边列表边画㊁边画边想,想画结合,使不同层次的学生都有不同的收获,得到不同的发展．追问３:描点后,你用什么线连接各个点?为什么?追问４:如果用线段连接,我们能否找个特殊点加以验证?设计意图:追问３是让学生 知其所以然 ．追问４是激活学生的已有知识 (１)用临近两点间的中点坐标代入解析式验证;(２)确定横坐标,通过函数解析式求出纵坐标并加以验证．不少学生因为正比例函数图象是直线,从而对反比例函数图象的学习产生了负迁移,描点后也用线段连接．针对这一问题,笔者提出追问３和追问４,引导学生思考并及时发现错误,再利用几何画板逐步增加取点的个数让学生逐步发现点越多函数图象越清晰,函数图象不同于直线而是光滑的曲线,如图１,图２所示．图１图２问题３㊀请分别画出y ＝１x ,y ＝２x ,y ＝－８x的草２５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年５月下半月㊀案例赏析㊀㊀㊀㊀图;对比这四个函数图象,说说你的发现．设计意图:培养学生的分类意识,从不同的角度切入可以获得不同发现,得到不同结论．环节三:梳理概括,形成结构．一般地,反比例函数y ＝kx(k ʂ０)的图象有以下几个特征:(１)图象是由两个分支组成的曲线(简称双曲线)．(２)当k ＞０时,图象在一㊁三象限;当k ＜０时,图象在二㊁四象限．(３)图象的两个分支分别无限接近于x 轴与y 轴,两个分支关于原点成中心对称．(４)若k 互为相反数,则相应的两函数图象关于x 轴㊁y 轴对称．(５)|k |越大,图象离原点越远．设计意图:帮助学生将研究得到的零散的知识系统化㊁结构化．环节四:应用新知,体验成功．例㊀已知反比例函数y ＝kx (k ʂ０)的图象的一支如图３所示,且经过点B (－４,２)．图３(１)求这个反比例函数的表达式;(２)补画这个反比例函数图象的另一分支．设计意图:巩固新知,让学生体验成功的喜悦．环节五:归纳总结,纳入系统．(１)本节课你学到了反比例函数的哪些新知识?(２)你有哪些感悟和收获?(３)你还有想继续探究的问题吗?设计意图:梳理本节课所学内容和方法．问题(１)引导学生类比正比例函数图象和性质的研究方法来研究反比例函数的图象与性质;问题(２)引导学生归纳总结反比例函数图象和性质的学习方法;问题(３)引导学生观察反比例函数图象,运用 数形结合 的方法可以进一步探究反比例函数的性质．三个问题重在对反比例函数图象学习过程的反思㊁感悟,提升学习能力．４进一步的思考(１)挖教材,关注通性通法多版本教材进行比较,深度挖掘,不局限于某一版本． 先画后想 或 先想后画 是让学生想画结合,从 想一想㊁列一列㊁画一画㊁再想一想 切入设计,能想就先不画,想象不出来的可以及时 列一列㊁画一画,再借助表格和图形思考．这样,能力强的学生有机会想象;想象力弱的学生可以借助表格和图形思考．如此分层任务,适时介入,让不同层次的学生在课堂上都有事可忙,都能在已有的基础上有所提高．同时,也培养了学生研究函数的一般方法:先分析函数解析式的代数特征,然后借助自变量与因变量的表格来分析二者之间的关系,最后再结合函数的图象直观地理解所研究的函数的性质．这样采用函数的三种表现形式研究函数性质的方法,不仅能让学生学会从多角度分析,也能让学生进一步明确三者之间的内在逻辑关系．(２)重系统,重视思维的生成和发展数学思想的发生发展蕴含在知识的形成和发展之中．本节课通过已有的正比例函数学习经验,激活学生学习函数的一般思路和方法,将正比例函数图象与性质的研究方式类比迁移至反比例函数的学习中．学生通过归纳概括感悟到了数学思想方法获得的路径．同时,将函数知识系统化和结构化,既体现了教学的整体性和层次性,又有助于学生形成分析和归纳的能力,有利于学生函数观念的形成和理性精神的培养．(３)育素养,提升学生的核心素养各版本教材对于反比例函数图象描点后如何连线,都是直接给出 用光滑的曲线连接 ,并未提出为什么要用曲线．本案例在连线的地方设计了 描点后,你用什么线连接各个点?为什么? 触发学生的深度学习,不仅让学生 知其然 ,还要让学生 知其所以然,何由以知其所以然 ．借助多媒体辅助教学,运用几何画板软件描点并运用点追踪等手段,让学生直观感知图象特征,使归纳推理更加可信,同时也培养了学生的几何直观,发展了学生的空间意识．参考文献:[１]中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准(２０２２年版)[S ]．北京:北京师范大学出版社,２０２２．[２]章建跃．数学核心素养在初中阶段的主要表现之三:几何直观[J ]．中国数学教育,２０２２(Z ３):３Ｇ９．[３]章建跃．第三章 函数的概念与性质 教材介绍与教学建议[J ]．中学数学教学参考,２０１９(２８):１７Ｇ２４．Z ３５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
专题4：反比例函数与几何图形结合方法点睛反比例函数与几何图形结合常涉及以下几个方面：1．求反比例函数与一次函数的解析式：(1)找到或求出反比例函数图象上一点的坐标，利用待定系数法求解；(2)找到或求出一次函数图象上两点的坐标，再利用待定系数法求解．注：当已知一次函数与反比例数函数图象上的一个交点A的坐标及交点B的横(纵)坐标，确定两个函数的解析式时，先利用点A的坐标求得反比例函数解析式，再由反比例函数解析式求得点B的坐标，再利用A，B两点的坐标确定一次函数解析式．2、(1)给出图形面积求点的坐标：根据解析式用只含一个参数的代数式表示该点的坐标，列出关于该图形面积的等式进行求解．(2)点的存在性问题：涉及线段和面积的关系，图形的判定等，对这类题应观察图形，结合问题，建立数学模型，按照题意列出等量关系式进行求解．典例分析例1：（2022达州中考）如图，一次函数1y x =+与反比例函数k y x=的图象相交于(,2)A m ，B 两点，分别连接OA ，OB ．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）求AOB 的面积；（3）在平面内是否存在一点P ，使以点O ，B ，A ，P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P专题过关1.（2022西宁中考）如图，正比例函数4y x =与反比例函数()0k y x x=>的图象交于点(),4A a ，点B 在反比例函数图象上，连接AB ，过点B 作BC x ⊥轴于点()2,0C ．（1）求反比例函数解析式；（2）点D 在第一象限，且以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出．．．．点D 的坐标．2.（2022绵阳中考）如图，一次函数1y k x b =+与反比例函数2k y x=在第一象限交于(2,8)M 、N 两点，NA 垂直x 轴于点A ，O 为坐标原点，四边形OANM 的面积为38．（1）求反比例函数及一次函数的解析式；（2）点P 是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使PMN 的面积最小时点P 的位置（不需证明），并求出点P 的坐标和PMN3.（2022眉山中考）已知直线y x =与反比例函数k y x=的图象在第一象限交于点(2,)M a ．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，将直线y x =向上平移b 个单位后与k y x=的图象交于点(1,)A m 和点(,1)B n -，求b 的值；（3）在（2）的条件下，设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点C ，D ，求证：AOD BOC ≌△△．4.（2022衡阳中考）如图，反比例函数myx=的图象与一次函数y kx b=+的图象相交于()3,1A，()1,B n-两点．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB交y轴于点C，点M，N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM是平行四边形，求点M的坐标．A，B两点．5.（2022常德中考）如图，已知正比例函数1y x=与反比例函数2y的图象交于()2,2y y<时x的取值范围；（1）求2y的解析式并直接写出12（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．6.（2022绥化中考）在平面直角坐标系中，已知一次函数11y k x b =+与坐标轴分别交于()5,0A ，50,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点，且与反比例函数22k y x =的图象在第一象限内交于P ，K 两点，连接OP ，OAP △的面积为54．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）当21y y >时，求x 的取值范围；（3）若C 为线段OA 上的一个动点，当PC KC +最小时，求PKC 的面积．7.（2022大庆中考）已知反比例函数k y x =和一次函数1y x =-，其中一次函数图象过(3,)a b ，31,3k a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭两点．（1）求反比例函数的关系式；（2）如图，函数1,33y x y x ==的图象分别与函数(0)k y x x =>图象交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点P ，使得ABP △周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．8.（2022湘潭中考）已知()3,0A 、()0,4B 是平面直角坐标系中两点，连接AB ．（1）如图①，点P 在线段AB 上，以点P 为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P 的反比例函数表达式；（2）如图②，点N 是线段OB 上一点，连接AN ，将AON 沿AN 翻折，使得点O 与线段AB 上的点M 重合，求经过A 、N 两点的一次函数表达式．9.（2022成都中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数26y x =-+的图象与反比例函数ky x=的图象相交于(),4A a ，B 两点．（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；（2）过点A 作直线AC ，交反比例函数图象于另一点C ，连接BC ，当线段AC 被y 轴分成长度比为1:2的两部分时，求BC 的长；（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P 是第三象限内的反比例函数图象上一点，ABPQ 是完美筝形时，求P ，Q 两点的坐标．10.（2022河南西华二模）如图，反比例函数(0)my x x=>的图象与一次函数y kx b =+的图象交于(14)B ，和(1)C n ，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出不等式(0)mkx b x x+> 的解集；（3）将直线BC 向下平移5个单位长度得到直线l ，已知点P ，Q 分别为x 轴、直线l 上的动点，当PC PQ +的值最小时，请直接写出点P 的坐标．11.（2022河南西华一模）在平面直角坐标系xOy 中，函数()0ky x x=>的图象经过点()2,3A ，()6,B a ，直线l ：y ＝mx ＋n 经过A ，B 两点，直线l 分别交x 轴，y 轴于D ，C 两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）在y 轴上是否存在一点E ，使得以A ，C ，E 为顶点的三角形与△CDO 相似？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．12.（2022河南长垣一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y x =与反比例函数1y x=（x ＞0）的图象交于点A ，将直线y x =沿y 轴向上平移k 个单位长度，交y 轴于点B ，交反比例函数图象于点C ，且13BC OA =．AD ⊥y 轴于点D 、CE ⊥y 于点E ．（1）求证：△BCE ∽△OAD ；（2）求点A 和点C 的坐标；（3）求k 值．13.（2022河南虞城二模）如图，点A 为直线y ＝3x 上位于第一象限的一个动点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，将点B 向右平移2个单位长度到点C ，以AB ，BC 为边构造矩形ABCD ，经过点A 的反比例函数()0ky x x=>的图象交CD 于点M ．（1）若B(1，0)，求点M 的坐标；（2）连接AM ，当AM ⊥OA 时，求点A 的坐标．14.（2022河南商城二模）如图，一次函数2y x =与反比例函数(0)ky k x=>的图象交于点A ，B ，点P 在以点(2,0)C -为圆心，1为半径的C 上，Q 是AP 的中点，OQ 长的最大值为32时．（1）试确定反比例函数ky x=的表达式．（2）C 与x 轴在点C 的左侧交于点M ，请直接写出劣弧MP 的长是___________．（sin 310.52︒≈，sin 400.64︒≈，sin530.8︒≈．）15.（2022新乡二模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数为11y k x =和反比例函数22k y x=图像交于A ，B 两点，矩形OAEC 的边EC 交x 轴于点D ，AD ⊥x 轴，点D 的坐标为（2，0），且AE=ED ．（1）求这两个函数的解析式；（2）点P 为y 轴上的一个动点，当PE-PA 的值最大时，求点P 的坐标．16.（2022河南西平一模）如图，一次函数11y k x b =+经过点()4,0A ，()0,4B ，与反比例函数()220k y x x=>的图象交于点()1,C n ，D 两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）结合函数图象，直接写出当210k k x b x<+≤时x 的取值范围；（3）点P 在x 轴上，是否存在PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．17.（2022河南天一大联考）如图，一次函数y ＝k 1x+b 的图象与反比例函数y 2k x=的图象交于点A （m ，2），B （﹣1，4），与y 轴交于点C ，连接OA ，OB ．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△OAB 的面积；（3）若点P 在y 轴上，且BP 12=OA ，请直接写出点P 的坐标．18.（2022河南实验中学一模）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，D是AB边的中点，反比例函数yk x（x＞0）的图象经过点D，与BC边交于点E．（1）求反比例函数的表达式及点E的坐标；（2）若点P在y轴上，当△PDE的周长最小时，求出此时点P的坐标．19.（2022河南虞城二模）如图，一次函数142y x=-+交反比例函数(0)ky xx=>于A，B两点，过点A作AC x⊥轴于点C，AOC△的面积为3．（1）求反比例函数的解析式；（2）D为y轴上一个动点，当DA DB+有最小值时，求点D的坐标．20.（2022河南夏邑一模）在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)k y x x=>的图象经过点(2,3),(6,)A B a ，直线:l y mx n =+经过A ，B 两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式，并在下面的平面直角坐标系中描绘出一次函数的大致图象．（2）当直线l 向下平移b 个单位时，与(0)k y x x=>的图象有唯一交点，求b 的值．（3）若直线AB 分别交x 轴，y 轴于D ，C 两点，在y 轴上是否存在一点Q ，使得ACQ 与CDO 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．21.（2022南阳方城二模）如图，在矩形OABC 中，2,4AB BC ==，点D 是边AB 的中点，反比例函数1(0)k y x x=>的图象经过点D ，交BC 边于点E ，直线DE 的解析式为2(0)y mx n m =+≠．（1）求反比例函数1(0)k y x x=>的解析式和直线DE 的解析式；（2）在y 轴上找一点P ，使PDE △的周长最小，求出此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，PDE △的周长最小值是______．22.（2022洛阳一模）如图，反比例函数()0k y k x =≠的图象与正比例函数32y x =-的图象相交于(),3A a ，B 两点．（1）求k 的值及点B 的坐标；（2）请直接写出不等式32k x x >-的解集；（3）已知AD x ∥轴，以AB 、AD 为边作菱形ABCD ，求菱形ABCD 的面积．23.（2022开封二模）如图，平面直角坐标系中，反比例函数()0n y n x=≠与一次函数()0y kx b k =+≠的图像相交于点()1,A m ，()3,1B --两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）直接写出n kx b x+>的解集．（3）已知直线AB 与y 轴交于点C ，点(),0P t 是x 轴上一动点，作PQ ⊥x 轴交反比例函数图像于点Q ，当以C ，P ，Q ，O 为顶点的四边形的面积等于2时，求t 的值．24.（2022鹤壁一模）如图，在矩形ABCO 中，84AB BC ==，，点D 是边AB 的中点，反比例函数11(0)k y x x=<的图象经过点D ，交BC 边于点E ，直线DE 的解析式为()2220y k x b k =+≠．（1）求反比例函数和直线DE 的解析式．（2）在x 轴上找一点P ，使PDE △的周长最小，求出此时点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，PDE △的周长最小值是_________．25.（2022周口扶沟一模）如图，正比例函数y x =的图象与反比例函数k y x=（0x >）的图象交于点()1,A a ，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点C 坐标为()2,0-．（1）求k 的值；（2）求AB 所在直线的解析式．26.（2022信阳一模）如图，直线y=-2x+b与x轴、y轴分别相交于点A，B，以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD，已知（1）求直线AB的解析式；（2）求点D的坐标，并判断点D是否在双曲线y=12x，说明理由.27.（2022雅安中考）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y＝8x（x＞0）的图象上．（1）求m的值和点D的坐标；（2）求DF所在直线的表达式；（3）若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S△EFG．28.（2022盘锦中考）如图，平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是菱形，点A 在y 轴正半轴上，点B 的坐标是(4,8)-，反比例函数(0)k y x x=<的图象经过点C ．（1）求反比例函数的解析式；（2）点D 在边CO 上，且34CD DO =，过点D 作DE x 轴，交反比例函数的图象于点E ，求点E 的坐标．29．（2022天门中考）（7分）如图，OA＝OB，∠AOB＝90°，点A，B分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x ＞0）的图象上，且点A的坐标为（1，4）．（1）求k1，k2的值；（2）若点C，D分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得△COD≌△AOB．若存在，请直接写出点C，D的坐标；若不存在，请说明理由．30.（2022恩施中考）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知∠ACB=90°，A(0，2)，C(6，2)．D 为等腰直角三角形ABC 的边BC 上一点，且S △ABC =3S △ADC ．反比例函数y 1=kx(k≠0)的图象经过点D ．（1）求反比例函数的解析式；（2）若AB 所在直线解析式为()20y ax b a =+≠，当12y y >时，求x 的取值范围．31.（2022河南中考）如图，反比例函数()0ky x x=>的图像经过点()2,4A 和点B ，点B 在点A 的下方，AC 平分OAB ∠，交x 轴于点C ．（1）求反比例函数的表达式．（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC 的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B 铅笔作图）（3）线段OA 与（2）中所作的垂直平分线相交于点D ，连接CD ．求证：CD AB ∥．32.（2022荆州中考）小华同学学习函数知识后，对函数()()2410410x x y x x x⎧-<≤⎪=⎨-≤->⎪⎩或通过列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象．x…－4－3－2－134-12-14-01234…y (1)4324941140－4－243-－1…请根据图象解答：（1）【观察发现】①写出函数的两条性质：______；______；②若函数图象上的两点()11,x y ，()22,x y 满足120x x +=，则120y y +=一定成立吗？______．（填“一定”或“不一定”）（2）【延伸探究】如图2，将过()1,4A -，()4,1B -两点的直线向下平移n 个单位长度后，得到直线l 与函数()41y x x=-≤-的图象交于点P ，连接PA ，PB ．①求当n ＝3时，直线l 的解析式和△PAB 的面积；②直接用含．．．．n ．的代数式表示．．．．．．△PAB 的面积．33.（2022牡丹江中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD ，A 在y 轴的正半轴上，B ，C 在x 轴上，AD//BC ，BD 平分ABC ∠，交AO 于点E ，交AC 于点F ，CAO DBC ∠=∠．若OB ，OC 的长分别是一元二次方程2560x x -+=的两个根，且OB OC >．请解答下列问题：（1）求点B ，C 的坐标；（2）若反比例函数()0ky k x=≠图象的一支经过点D ，求这个反比例函数的解析式；（3）平面内是否存在点M ，N （M 在N 的上方），使以B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是边长比为2:3的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N 的坐标；若不存在，请说明理由．34.（2022驻马店六校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数kyx(x>0)的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为(2，6)．（1）直接写出B、C、D三点的坐标；（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．35.（2022周口川汇区一模）如图，正方形ABCD的边AB在x轴上，点D的坐标为（2，2），点M是AD的中点，反比例函数ykx的图象经过点M，交BC于点N．（1）求反比例函数的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，求PM+PN的最小值．36.（2022郑州外国语一模）如图，点()4,B a 是反比例函数()120y x x=>图象上一点，过点B 分别向坐标轴作垂线，垂足为A ，C ．反比例函数()0ky x x=>的图象经过OB 的中点M ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E ．连接DE 并延长交x 轴于点F ，连接BF ．（1）求k 的值；（2）求BDF 的面积；（3）设直线DE 的解析式为1y k x b =+，请结合图像直接写出不等式1kk x b x+<的解集______．37.（2022郑州二模）如图1，点A、B是双曲线y=kx（k＞0）上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段AC、AD、BE、BF，AC和BF交于点G，得到正方形OCGF（阴影部分），且S阴影=1，△AGB的面积为2．（1）求双曲线的解析式；（2）在双曲线上移动点A和点B，上述作图不变，得到矩形OCGF（阴影部分），点A、B在运动过程中始终保持S阴影=1不变（如图2），则△AGB的面积是否会改变？说明理由．38.（2022信阳三模）如图，在矩形OABC中，BC＝4，OC，OA分别在x轴、y轴上，对角线OB，AC交于点E；过点E作EF⊥OB，交x轴于点F．反比例函数kyx=（x＞0）的图像经过点E，且交BC于点D，已知S△OEF＝5，CD＝1．（1）求OF的长；（2）求反比例函数的解析式；（3）将△OEF沿射线EB个单位长度，得到△O'E'F'，则EF的对应线段E'F'的中点（填“能”或“不能”）落在反比例函数kyx=（x＞0）的图上．39.（2022河南新野一模）如图，()()4,30P m m m ->是双曲线12y x =-上一点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线k y x=于E 、F 两点．（1）求直线AB 的解析式；（2）若12BFBP =，求k 的值和EF 的长．40.（2022平顶山二模）如图，四边形ABCD，EFGH均为菱形，其中点E，A，B，F四点均在x轴上，点D，H在y轴上，EH∥AD．双曲线y=kx(x>0)的图象过点C(5，4)，交边GH于点P(103，a)．（1）填空：k=______，a=______；（2）求菱形EFGH的面积．41.（2022南阳卧龙一模）如图，已知在平面直角坐标系中，点(3,4)B 在反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，过点B 作BA x ⊥轴于点A ，连接OB ，将OAB 向右平移，得到,'''''O A B O B 交双曲线于点(3,)C a a ．（1）求k ，a 的值；（2）求OAB 向右平移的距离；（3）连接,BC OC ，则OBC 的面积为____________．42.（2022洛阳伊川一模）如图，已知点()0,1A 在y 轴上，点()10B ,在x 轴上，以AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，此时反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限内的图象恰好经过点C ，D ．（1）直接写出点D 的坐标和反比例函数的表达式；（2）将正方形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转，当点C 的对应点C '落在x 轴上时，判断点D 的对应点D ′是否落在反比例函数k y x =的图象上，并说明理由．43.（2022洛阳二模）如图，在平面直角坐标系中，ABCD 的顶点分别为()1,2A ，()4,2B ，()7,5C ，曲线():0k G y x x=>．（1）求点D 的坐标；（2）当曲线G 经过ABCD 的对角线的交点时，求k 的值；（3）若曲线G 刚好将ABCD 边上及其内部的“整点”（横、纵坐标都为整数的点）分成数量相等的两部分，则直接写出k 的取值范围是______．44.（2022河南林州一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边BC 在x 轴上，点A 坐标为()2,4，点M 是AB 的中点，反比例函数k y x=的图象经过点M ，交CD 于点N ．（1）求反比例函数的表达式；（2）若反比例函数图象上的一个动点(),P m n 在正方形ABCD 的内部（含边界），求POC △面积的最小值．45.（2022河南兰考一模）如图，在平面直角坐标系中，ABCD 的顶点分别为(1,2),(4,2),(7,5)A B C ，曲线(0)k y k x=>．（1）当曲线经过ABCD 的对角线的交点时，求k 的值．（2）若曲线刚好将ABCD 边上及其内部的“整点”（横、纵坐标都为整数的点）分成数量相等的两部分，求k 的取值范围．46.（2022河南兰考二模）如图，在矩形OABC 中，2AB =，4BC =，D 是AB 边的中点，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点D ，与BC 边交于点E ．（1）求反比例函数的表达式及点E 的坐标；（2）若点P 在y 轴上，当△PDE 的周长最小时，直接写出△PDE 的面积．47.（2022河南滑县一模）如图，平行四边形OABC 的顶点A ，C 都在反比例函数y k x=（k ＞0）的图象上，已知点B 的坐标为（8，4），点C 的横坐标为2．（1）求反比例函数y k x=（k ＞0）的解析式；（2）求平行四边形OABC 的面积S ．48.（2022河南邓州一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A （1，0），D （0，2），反比例函数k y x =的图象经过了矩形的顶点B ，且1tan 2ABD ∠=．（1）求反比例函数表达式；（2）动手画直线OB ，记为y mx =，结合图象直接写出关于x 的不等式0k mx x ->的解集．。
反比例函数与几何图形结合1．如图，已知点A(5，0)，B(0，5)，把一个直角三角尺DEF 放在△OAB内，使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动，其中∠EFD＝45°，ED＝2，点G为边FD 的中点．(1)求直线AB的解析式；(2)如图，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y＝kx(k≠0)的解析式；(3)在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，请说明理由．解：(1)设直线AB的解析式为y＝ax＋b，把A 、B 的坐标分别代入可得⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋b ＝0b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝5，∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋5； (2)∵A (5，0)， ∴OA ＝5，当D 与A 重合时，则OE ＝OD －DE ＝5－2＝3， ∵∠EFD ＝45°， ∴EF ＝DE ＝2， ∴F (3，2)，D (5，0)， ∵G 为DF 的中点， ∴G (4，1)，∵点G 在y ＝kx 图象上， ∴k ＝4×1＝4，∴经过点G 的反比例函数的解析式为y ＝4x ；(3)设F (t ，－t ＋5)，则D 点横坐标为t ＋2，代入直线AB 的解析式可得y ＝－(t ＋2)＋5＝－t ＋3， ∴D (t ＋2，－t ＋3)， ∵G 为DF 的中点， ∴G (t ＋1，－t ＋4)，若反比例函数图象同时过G 、F 点，则可得t (－t ＋5)＝(t ＋1)(－t ＋4)，解得t ＝2，此时F 点坐标为(2，3)，设经过F 、G 的反比例函数解析式为y ＝sx ，则s ＝2×3＝6， ∴经过点G 的反比例函数的图象能同时经过点F ，其函数解析式为y ＝6x .2. 如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象相交于点A (－2，1)，点B (1，n )． (1)求此一次函数和反比例函数的解析式；(2)请直接写出满足不等式kx ＋b －mx ＜0的解集；第2题图(3)如图，在平面直角坐标系的第二象限内边长为1的正方形EFDG 的边均平行于坐标轴，若点E (－a ，a )，当曲线y ＝mx (x ＜0)与正方形EFDG 的边有交点时，求a 的取值范围． 解：(1)∵点A (－2，1)在反比例函数y ＝mx 的图象上， ∴m ＝－2×1＝－2，∴反比例函数的解析式为y ＝－2x ；∵点B (1，n )在反比例函数y ＝－2x 的图象上， ∴－2＝n ，即点B 的坐标为(1，－2)．将点A (－2，1)、B (1，－2)分别代入y ＝kx ＋b 中得：212k b k b -=+⎧⎨=-+⎩，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝－1， ∴一次函数的解析式为y ＝－x －1； (2)∵－x －1－(－2x )＜0，∴－x －1＜－2x ，观察两函数图象，发现：当－2＜x ＜0或x ＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，∴满足不等式kx ＋b －mx ＜0的解集为－2＜x ＜0或x ＞1； (3)过点O 、E 作直线OE ，如解图所示．第2题解图∵点E 的坐标为(－a ，a )， ∴直线OE 的解析式为y ＝－x .∵四边形EFDG 是边长为1的正方形，且各边均平行于坐标轴，∴点D 的坐标为(－a ＋1，a －1)， 代入直线y ＝－x ，得： a －1＝－(－a ＋1)， ∴点D 在直线OE 上．将y ＝－x 代入y ＝－2x (x ＜0)得： －x ＝－2x ，即x 2＝2， 解得x ＝－2或x ＝2(舍去)．∵曲线y ＝－2x (x ＜0)与正方形EFDG 的边有交点， ∴－a ≤－2≤－a ＋1，解得2≤a ≤2＋1.故当曲线y ＝mx (x ＜0)与正方形EFDG 的边有交点时，a 的取值范围为2≤a ≤2＋1.3. 如图，一次函数y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝kx (x >0)的图象交于点A (m ，3)和B (3，1)．第3题图(1)填空：一次函数的解析式为________，反比例函数的解析式为________；(2)点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接OP ，若△POD 的面积为S ，求S 的取值范围． 解：(1)y ＝－x ＋4，y ＝3x ；【解法提示】将B (3，1)分别代入y ＝－x ＋b 与y ＝kx 中，解得b ＝4，k ＝3，则一次函数的解析式为y ＝－x ＋4，反比例函数的解析式为y ＝3x .(2) 由(1)得3＝3m ，∴m ＝1，则A 点坐标为(1，3)．设P 点坐标为(a ，－a ＋4)(1≤a ≤3)，则S ＝12OD ·PD ＝12a (－a ＋4)＝－12(a －2)2＋2， ∵－12＜0，∴当a ＝2时，S 有最大值，此时S ＝－12×(2－2)2＋2＝2； 由二次函数的性质得，当a ＝1或3时，S 有最小值，此时 S ＝－12×(1－2)2＋2＝32， ∴S 的取值范围是32 ≤ S ≤2.4. 如图，矩形AOCB 的顶点B 在反比例函数y ＝kx (k >0，x >0)的图象上，且AB ＝3，BC ＝8.若动点E 从A 开始沿AB 向B 以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F 从B 开始沿BC 向C 以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t 秒． (1)求反比例函数的解析式；第4题图(2)当t ＝1时，在y 轴上是否存在点D ，使△DEF 的周长最小？若存在，请求出△DEF 的周长最小值；若不存在，请说明理由；(3)在双曲线上是否存在一点M ，使以点B 、E 、F 、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题可知点B 的坐标为(3，8)，且点B 在y ＝kx 上， ∴k ＝3×8＝24，∴反比例函数的解析式为y ＝24x ；(2)存在．t ＝1时，E (1，8)，F (3，6)，则EF ＝22， 如解图，延长EA 使A ′E ＝EA ，连接DE ′，E ′F ，则E ′F ＝25，C △DEF ＝DE ＋DF ＋EF ＝22＋DE ′＋DF ≥22＋E ′F ＝22＋25，∴C △DEF min ＝22＋25， 此时点D 为E ′F 与y 轴的交点，第4题解图∵E ′(－1，8)，F (3，6)，设直线E ′F 的解析式为：y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝83k ＋b ＝6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝152，∴直线E ′F 的解析式为：y ＝－12x ＋152，∴此时D (0，152)，即：y 轴上存在点D (0，152)，使△DEF 的周长最小，且最小值为22＋2 5.(3)存在，若四边形BEMF 为平行四边形，则有三种可能，已知E (t ，8)，F (3，8－2t )，0<t ≤3. ①BE ∥FM ，此时M 在F 右侧，M (248－2t，8－2t )， 又∵BE ＝FM ，∴3－t ＝248－2t －3，即t 2－10t ＋12＝0，解得t 1＝5－13，t 2＝5＋13(舍去)． ②BF ∥EM ，此时M 在E 正上方，M (t ，24t )， ∵ME ＝BF ，∴24t －8＝2t ，t 2＋4t －12＝0， 解得t 1＝2，t 2＝－6(舍去)．③EF ∥BM ，易知点M 一定不在反比例函数上， 故综上，t ＝2或5－13.5．在平面直角坐标系xOy 中，点B 在x 轴上，四边形OACB 为平行四边形，且∠AOB ＝60°，反比例函数y ＝kx (k ＞0)在第一象限内过点A ，且与BC 交于点F . (1)若OA ＝10，求反比例函数的解析式； (2)若F 为BC 的中点，且S △AOF ＝243，求OA 的第5题图长及点C 的坐标；(3)在(2)的条件下，在x 轴上是否存在一点P ，使得PF ＋P A 最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)如解图①，过点A 作AH ⊥OB 于H ，第5题解图①∵∠AOB ＝60°，OA ＝10，∴AH ＝OA ·sin ∠AOB ＝53，OH ＝OA ·cos ∠AOB ＝5， ∴点A 的坐标为(5，53)， 将点A (5，53)代入y ＝kx ，得 53＝k5，解得k ＝253，∴反比例函数的解析式为y ＝253x ；(2)如解图①，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ，设OA ＝a (a ＞0)， ∵∠AOB ＝60°，∴AH ＝OA ·sin ∠AOB ＝32a ，OH ＝OA ·cos ∠AOB ＝12a ， ∴S △AOH ＝12AH ·OH ＝12×32a ·12a ＝38a 2，∵S △AOF ＝243，∴S ▱AOBC ＝2S △AOF ＝483， ∵F 为BC 的中点， ∴S △OBF ＝14S ▱AOBC ＝123，∵BF ＝12BC ＝12OA ＝12a ，∠FBM ＝∠AOB ＝60°， ∴FM ＝BF ·sin ∠FBM ＝34a ，BM ＝BF ·cos ∠FBM ＝14a ， ∴S △BMF ＝12FM ·BM ＝12×34a ·14a ＝332a 2， ∴S △FOM ＝S △OBF ＋S △BMF ＝123＋332a 2， ∵点A ，F 都在y ＝kx 的图象上， ∴S △AOH ＝S △FOM ， 即38a 2＝123＋332a 2， 解得a ＝82，∴OA ＝82，∴OH ＝42，AH ＝3OH ＝3×42＝46，∵S▱AOBC＝OB·AH＝483，即OB·46＝483，解得OB＝62，∴AC＝OB＝62，∴C(102，46)；(3)存在．如解图②，作点F关于x轴的对称点F′，连接AF′交x轴于点P，此时PF＋P A最小，第5题解图②由(2)可知，A(42，46)，FM＝34a＝26，BM＝14a＝22，∴OM＝62＋22＝82，∴点F的坐标为(82，26)，∴点F′的坐标为(82，－26)，设直线AF′的解析式为y＝mx＋n，将点A(42，46)，F′(82，－26)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧42m ＋n ＝4682m ＋n ＝－26， 解得⎩⎨⎧m ＝－332n ＝106， ∴y ＝－332x ＋106，令y ＝0，即－332x ＋106＝0， 解得x ＝2023，∴在x 轴上存在点P ，使得PF ＋P A 最小，点P 的坐标为(2023，0)．6．如图，反比例函数y ＝m x (x ＞0)与一次函数y ＝kx ＋63交于点C (2，43)，一次函数图象与两坐标轴分别交于点A 和点B ，动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 运动；同时，动点Q 从点O 出发，沿OA 以相同的速度向点A 运动，运动时间为t 秒(0＜t ≤6)，以点P 为圆心，P A 为半径的⊙P与AB交于点M，与OA交于点N，连接MN、MQ.第6题图(1)求m与k的值；(2)当t为何值时，点Q与点N重合；(3)若△MNQ的面积为S，试求S与t的函数关系式．解：(1)将C(2，43)代入y＝mx中得，m＝83，将(2，33)代入y＝kx＋63中得，2k＋63＝43，∴k＝－3；(2)由(1)知，k＝－3，∴直线AB的解析式为y＝－3x＋63，∴A(6，0)，B(0，63)，∴AB＝12.∵AM是直径,∴∠ANM＝90°，∴∠ANM＝∠AOB.又∵∠MAN＝∠BAO，∴△MAN∽△BAO，∴ANAO＝MNBO＝AMAB.∵OQ＝AP＝t，AM＝2AP＝2t，OA＝6，OB＝63，AB＝12∴AN6＝MN63＝2t12,∴AN＝t，MN＝3t,∴ON＝OA－AN＝6－t.∵点Q与点N重合,∴ON＝OQ.即6－t＝t.∴t＝3;(3)①当0＜t ≤3时，QN ＝OA －OQ －AN ＝6－2t, ∴S ＝12QN ·MN ＝12(6－2t )·3t ＝－3t 2＋33t ; ②当3＜t ≤6时，QN ＝OQ ＋NA －OA ＝t ＋t －6＝2t －6, ∴S ＝12QN ·MN ＝12(2t －6)·3t ＝3t 2－33t ，即：S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3t 2＋33t （0＜t ≤3）3t 2－33t （3＜t ≤6）.。
反比例函数与正方形携手进中考反比例函数与正方形进行了完美结合，给我们带来许多优美的趣题。
让我们一起走进它们，感受它们演绎的数学美。
1、反比例函数与一个正方形，求k 的值例1、如图1，四边形OABC 是边长为1的正方形，反比例函数xk y =的图象过点B ，则k 的值为：.分析：要想求反比例函数的k 的值，关键是确定出图像上点B 的坐标。
根据点的坐标的定义，且四边形OABC 是边长为1的正方形，结合图像知道，点B 的横坐标的绝对值与纵坐标的绝对值是相等的，都是1，但是，点B 是在第二象限，所以，横坐标是负的，纵坐标是正的，所以，点B 的坐标是（-1，1），所以，k=-1×1=-1.解：k 的值是 -1.2、反比例函数与一个正方形，求图像上点的坐标例2、如图2-1所示，正方形OABC 的面积是4，点B 在反比例函数(00)k y k x x=><，的图象上．若点R 是该反比例函数图象上异于点B 的任意一点，过点R 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，从矩形OMRN 的面积中减去其与正方形OABC 重合部分的面积，记剩余部分的面积为S ．则当S=m(m 为常数，且0<m<4)时，点R 的坐标是________________________ (用含m 的代数式表示)（09年某某市）分析：由正方形OABC 的面积是4，得到：BA=BC=2,从图像上知道，点B 是在第三象限，所以，点B 的坐标是（-2，-2），所以，k=（-2）×（-2）=4，即反比例函数的解析式是：xy 4=； 设点R 的坐标是（a ，b ），则ab=4，即矩形OMRN 的面积是4，当点R 在点B 的右侧时，如图2-2所示， 则4-2|a|=m ，所以，|a|=24m -，因为，a 是小于0的，所以，a=24-m ， 所以，b =48-m ，所以，点R 的坐标是（24-m ，48-m ）； 当点R 在点B 的左侧时，如图2-3所示， 则4-2|b|=m ，所以，|b|=24m -， 因为，b 是小于0的，所以，b=24-m ， 所以，a =48-m ，所以，点R 的坐标是（48-m ，24-m ）； 综上所述，点R 的坐标是（24-m ，48-m ）或者（48-m ，24-m ）。
代几结合专题：反比例函数与几何图形的综合(选做)——代几结合，掌握中考风向标◆类型一 与三角形的综合1．(2016·云南中考)位于第一象限的点E 在反比例函数y ＝kx的图象上，点F 在x 轴的正半轴上，O 是坐标原点．若EO ＝EF ，△EOF 的面积等于2，则k 的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．－22．(2016·菏泽中考)如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB＝90°，反比例函数y ＝6x在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差S △OAC－S △BAD 为( )A ．36B ．12C ．6D ．33．如图，点A 在双曲线y ＝5x 上，点B 在双曲线y ＝8x上，且AB ∥x 轴，则△OAB 的面积等于________．第3题图第4题图4．(2016·包头中考)如图，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限内，点B 在x 轴上，∠AOB ＝30°，AB ＝BO ，反比例函数y ＝k x(x ＜0)的图象经过点A ，若S △AOB ＝3，则k 的值为________．5．(2016·宁波中考)如图，点A 为函数y ＝9x(x >0)图象上一点，连接OA ，交函数y＝1x(x >0)的图象于点B ，点C 是x 轴上一点，且AO ＝AC ，则△ABC 的面积为________．第5题图第6题图6．★如图，若双曲线y ＝kx(k ＞0)与边长为3的等边△AOB (O 为坐标原点)的边OA 、AB 分别交于C 、D 两点，且OC ＝2BD ，则k 的值为________．7．(2016·宁夏中考)如图，Rt △ABO 的顶点O 在坐标原点，点B 在x 轴上，∠ABO＝90°，∠AOB ＝30°，OB ＝23，反比例函数y ＝kx(x >0)的图象经过OA 的中点C ，交AB 于点D .(1)求反比例函数的关系式；(2)连接CD ，求四边形CDBO 的面积．8．(2016·大庆中考)如图，P 1、P 2是反比例函数y ＝kx(k >0)在第一象限图象上的两点，点A 1的坐标为(4，0)．若△P 1OA 1与△P 2A 1A 2均为等腰直角三角形，其中点P 1、P 2为直角顶点．(1)求反比例函数的解析式； (2)①求P 2的坐标；②根据图象直接写出在第一象限内当x 满足什么条件时，经过点P 1、P 2的一次函数的函数值大于反比例函数y ＝kx的函数值．◆类型二 与特殊四边形的综合9．如图，点A 是反比例函数y ＝－6x(x ＜0)的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上，则平行四边形ABCD 的面积为( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．12第9题图第10题图10．(2016·烟台中考)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的面积为12，点B 在y 轴上，点C 在反比例函数y ＝kx的图象上，则k 的值为________．11．(2016·齐齐哈尔中考)如图，已知点P (6，3)，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y轴于点N ，反比例函数y ＝kx的图象交PM 于点A ，交PN 于点B ，若四边形OAPB 的面积为12，则k ＝________．第11题图第12题图12．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别是(4，0)和(0，2)，反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象过对角线的交点P 并且与AB ，BC 分别交于D ，E 两点，连接OD ，OE ，DE ，则△ODE 的面积为________．13．(2016·资阳中考)如图，在平行四边形ABCD 中，点A 、B 、C 的坐标分别是(1，0)、(3，1)、(3，3)，双曲线y ＝kx(k ≠0，x >0)过点D .(1)求双曲线的解析式；(2)作直线AC 交y 轴于点E ，连接DE ，求△CDE 的面积．14．(2016·泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，点C 的坐标为(0，3)，点A 在x 轴的负半轴上，点D 、M 分别在边AB 、OA 上，且AD ＝2DB ，AM ＝2MO ，一次函数y ＝kx ＋b 的图象过点D 和M ，反比例函数y ＝m x的图象经过点D ，与BC 的交点为N .(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)若点P 在直线DM 上，且使△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，求点P 的坐标．◆类型三 动点、规律性问题15．(2016·长春中考)如图，在平面直角坐标系中，点P (1，4)，Q (m ，n )在函数y ＝kx(x >0)的图象上，当m >1时，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为点A ，B ，过点Q 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为点C ，D .QD 交AP 于点E ，随着x 的增大，四边形ACQE的面积( )A ．减小B ．增大C ．先减小后增大D ．先增大后减小第15题图第16题图16．★在反比例函数y ＝10x(x ＞0)的图象上，有一系列点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1，若A 1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2.现分别过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1作x 轴与y 轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S 1＝________，S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ＝________(用含n 的代数式表示)．代几结合专题：反比例函数与几何图形的综合(选做)1．B2．D 解析：设△OAC 和△BAD 的直角边长分别为a 、b ，则点B 的坐标为(a ＋b ，a －b )．∵点B 在反比例函数y ＝6x的第一象限图象上，∴(a ＋b )×(a －b )＝a 2－b 2＝6.∴S △OAC －S △BAD ＝12a 2－12b 2＝12(a 2－b 2)＝12×6＝3.3.32 解析：延长BA 交y 轴于点C .S △OAC ＝12×5＝52，S △OCB ＝12×8＝4，则S △OAB ＝S △OCB －S △OAC ＝4－52＝32.4．－3 35．6 解析：设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫a ，9a ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫b ，1b .∵点C 是x 轴上一点，且AO ＝AC ，∴点C 的坐标是(2a ，0)．设过点O (0，0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，9a 的直线的解析式为y ＝kx ，∴9a ＝k ·a ，解得k ＝9a 2.又∵点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，1b 在y ＝9a 2x 上，∴1b ＝9a 2·b ，解得a b ＝3或a b ＝－3(舍去)，∴S △ABC ＝S △AOC －S △OBC ＝2a ·9a 2－2a ·1b 2＝182－62＝9－3＝6.6.36325 解析：过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F .设OC ＝2x ，则BD ＝x .在Rt △OCE 中，OC ＝2x ，∠COE ＝60°，∴∠OCE ＝30°，则OE ＝x ，CE ＝3x ，则点C 的坐标为(x ，3x )．在Rt △BDF 中，BD ＝x ，∠DBF ＝60°，∴∠BDF ＝30°，则BF ＝12x ，DF ＝32x ，则点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12x ，32x .将点C 的坐标代入反比例函数解析式可得k ＝3x 2，将点D 的坐标代入反比例函数解析式可得k ＝332x －34x 2，则3x 2＝332x －34x 2，解得x 1＝65，x 2＝0(舍去)，故k ＝3x 2＝36325. 7．解：(1)∵∠ABO ＝90°，∠AOB ＝30°，OB ＝23，∴OA ＝2AB ，∴(2AB )2＝AB 2＋(23)2，∴AB ＝2.作CE ⊥OB 于E .∵∠ABO ＝90°，∴CE ∥AB .∵OC ＝AC ，∴OE＝BE ＝12OB ＝3，CE ＝12AB ＝1，∴C 点坐标为(3，1)．∵反比例函数y ＝kx (x >0)的图象经过OA 的中点C ，∴1＝k3，∴k ＝3，∴反比例函数的关系式为y ＝3x ；(2)∵OB ＝23，∴D 的横坐标为23，代入y ＝3x 得y ＝12，∴D 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，12，∴BD ＝12.∵AB ＝2，∴AD ＝AB －BD ＝32，∴S △ACD ＝12AD ·BE ＝12×32×3＝334.∴S 四边形CDBO ＝S △AOB －S△ACD ＝12OB ·AB －334＝12×23×2－334＝534.8．解：(1)过点P 1作P 1B ⊥x 轴，垂足为B .∵点A 1的坐标为(4，0)，△P 1OA 1为等腰直角三角形，∴OB ＝2，P 1B ＝12OA 1＝2，∴P 1的坐标为(2，2)．将P 1的坐标代入反比例函数y ＝k x(k >0)，得k ＝2×2＝4，∴反比例函数的解析式为y ＝4x；(2)①过点P 2作P 2C ⊥x 轴，垂足为C ，∵△P 2A 1A 2为等腰直角三角形，∴P 2C ＝A 1C .设P 2C ＝A 1C ＝a ，则P 2的坐标为(4＋a ，a )．将P 2的坐标代入反比例函数的解析式y ＝4x中，得a ＝44＋a ，解得a 1＝22－2，a 2＝－22－2(舍去)，∴P 2的坐标为(2＋22，22－2)；②在第一象限内，当2<x <2＋22时，经过点P 1、P 2的一次函数的函数值大于反比例函数y ＝4x的函数值．9．C 10.－611．6 解析：∵点P 的坐标为(6，3)，∴点A 的横坐标为6，点B 的纵坐标为3，代入反比例函数y ＝k x ，得点A 的纵坐标为k 6，点B 的横坐标为k 3，即AM ＝k 6，NB ＝k3.∵S 四边形OAPB ＝12，即S 矩形OMPN －S △OAM －S △NBO ＝12，∴6×3－12×6×k 6－12×3×k3＝12，解得k ＝6.12.154 解析：∵四边形OABC 是矩形，∴AB ＝OC ，BC ＝OA .∵A 、C 的坐标分别是(4，0)和(0，2)，∴OA ＝4，OC ＝2.∵P 是矩形对角线的交点，∴P 点的坐标是(2，1)．∵反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象过对角线的交点P ，∴k ＝2，∴反比例函数的解析式为y ＝2x .∵D ，E 两点在反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象上，∴D 点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，E 点的坐标是(1，2)，∴S △ODE ＝S 矩形OABC －S △AOD －S △COE －S △BDE ＝4×2－12×2－12×2－12×32×3＝154.13．解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，点A 、B 、C 的坐标分别是(1，0)、(3，1)、(3，3)，∴点D 的坐标是(1，2)．∵双曲线y ＝k x (k ≠0，x >0)过点D ，∴2＝k1，得k ＝2，即双曲线的解析式是y ＝2x(x >0)；(2)∵直线AC 交y 轴于点E ，∴S △CDE ＝S △EDA ＋S △ADC ＝（2－0）×12＋（2－0）×（3－1）2＝1＋2＝3，即△CDE 的面积是3.14．解：(1)∵正方形OABC 的顶点C 的坐标为(0，3)，∴OA ＝AB ＝BC ＝OC ＝3，∠OAB ＝∠B ＝∠BCO ＝90°.∵AD ＝2DB ，∴AD ＝23AB ＝2，∴D 点的坐标为(－3，2)．把D 点的坐标代入y ＝m x 得m ＝－6，∴反比例函数的解析式为y ＝－6x.∵AM ＝2MO ，∴MO＝13OA ＝1，∴M 点的坐标为(－1，0)．把M 点与D 点的坐标代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎨⎧－k ＋b ＝0，－3k ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝－1，则一次函数的解析式为y ＝－x －1； (2)把y ＝3代入y ＝－6x得x ＝－2，∴N 点坐标为(－2，3)，∴NC ＝2.设P 点坐标为(x ，y )．∵△OPM 的面积与四边形OMNC 的面积相等，∴12(OM ＋NC )·OC ＝12OM ·|y |，即|y |＝9，解得y ＝±9.当y ＝9时，x ＝－10，当y ＝－9时，x ＝8，则点P 的坐标为(－10，9)或(8，－9)．15．B 解析：由题意得AC ＝m －1，CQ ＝n ，则S 四边形ACQE ＝AC ·CQ ＝(m －1)n ＝mn －n .∵P (1，4)，Q (m ，n )在函数y ＝k x(x >0)的图象上，∴mn ＝k ＝4(常数)．∴S 四边形ACQE ＝4－n .∵当m >1时，n 随着m 的增大而减小，∴S 四边形ACQE ＝4－n 随着m 的增大而增大．故选B.16．5 10n n ＋1 解析：∵点A 1、A 2、A 3、…、A n 、A n ＋1在反比例函数y ＝10x (x ＞0)的图象上，且每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，又点A 1的横坐标为2，∴点A 1的坐标为(2，5)，点A 2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52，∴S 1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5－52＝5.由题图象知，点A n 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，102n ，点A n ＋1的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋2，102n ＋2，∴S 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫104－106＝53，∴S n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫102n －102n ＋2＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ＝1，2，3，…)．∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋10⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋10⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…1n －1n ＋1＝10n n ＋1.。
反比例函数中求K值或面积的方法探讨作者：孙中淼来源：《教育周报·教育论坛》2018年第03期反比例函数中的难题一般为反比例函数与几何图形相结合求K值或面积的问题，学生遇到后往往束手无策。
常见解法是作辅助线，利用K值的几何意义与面积的关系进行推导，此法优点是计算简便，但考试时经常想不出.这里利用反比例函数与其他知识的关联运用，介绍一种更为实用的做法，帮助同学们突破难关！例1：如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC，若四边形ODBE的面积为6，则K=;;;;;;;;;;;.解：如图1，设点C的坐标为（a，0），由四边形OABC为矩形可知OC⊥BC，则，∵点E在反比例函数图象上，∴代入得，则点E.∵BE=2EC，∴点B.∵AB⊥OA，∴.∵点D在反比例函数图象上，∴代入得，则点D.，∵四边形ODBE的面积为6，∴代入得，解得：.小结：（1）解题过程分三步：①设点（从点C或点E开始为宜）;②标其他各点（顺序是E→B→D→A）;③利用面积相等关系列方程，求K值.（2）在垂直于轴的直线上，点的横坐标相同;在垂直于轴的直线上，点的纵坐标相同;（3）辅助未知数在解题过程中必然会抵消.此题用K的几何意义与面积的关系求解，推导过程如下：【解】连接OB，如图2所示，∵四边形OABC是矩形，∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°，，∵点D、E在反比例函数的图象上，∴，∴，∵BE=2EC，∴;，∴.例2：如图3，若反比例函数与边长为5的等边三角形AOB的边OA，AB分别相交于C，D两点，且OC=3BD，求K的值.解析：过点C作CE⊥轴于点E，过点D作DF⊥轴于点F，∵△AOB是等边三角形，可得△OEC∽△BFD，∵OC=3BD，∴，设BF=a，则OE=3a，OF=5-a，在Rt△OCE和Rt△BDF 中，∠COE=∠DBF=60°，可得，則点C的坐标为，点D的坐标为，∵点C、D在反比例函数的图象上，∴，解得，故的值为.例3：如图4，A为函数的图象上一点，连接OA，交函数的图象于点B，C是轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为;;;;;;;;;;;;;;;;;.解析：设点B的坐标为，则可得直线OB的解析式为.联立方程组，得;，消去，整理得：，∵点A，B均在第一象限，∴，即，将代入，解得，则点A，∵AO=AC，∴根据对称性可得点C的坐标为。
反比例函数与矩形结合的一个性质的证明及运用什么是反比例函数反比例函数中k的取值具有特殊性：k≠0，涉及反比例函数的取值范围的选择题及填空题，同学们在计算过程中要注意；其次，针对k的正负性，反比例的图像和象限内的增减性各有所不同，我们要具体情况具体分析。
反比例函数的图象是轴对称图形，也是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点。
反比例函数的图像是双曲线，不经过原点，断开的两个分支，延伸部分不断靠近坐标轴，但是，永远不与坐标轴相交，对称轴是y=x或y=-x。
反比例函数的几何意义是：在双曲线上某点引x轴和y轴的垂线，所得矩形面积为|k|。
正反比例函数的区别反比例函数和正比例函数仅有一字之差，需要注意考察点，勿犯糊涂，因小失大。
两者之间并非“如出一辙”。
我们要注意成反比例的关系式不一定是反比例函数，但是反比例函数中的两个变量必成反比例关系。
反比例函数的综合应用反比例函数的基本知识主要对反比例函数的基本性质、增减性、数值的大小、对称性等问题进行考察。
例题演练反比例函数与一次函数、二次函数在初中数学知识的学习中，单独考察反比例函数的题目并不多，往往与一次函数或二次函数相结合进行出题，比如：在同一直角坐标系中，两种图象的交点情况、图象的位置判断、求解析式以及面积等，常与二次函数相结合求最值。
注意：（1）若一次函数的一次项系数与反比例函数的系数正负相同，直线与双曲的两支都有交点；（2）求解析式一般需要求出函数图象上的点的坐标，函数解析式上有几个未知数，一般找几个点，而反比例函数和一次函数综合题中，关键是要抓住两函数图象的交点。
例题演练反比例函数与几何图形一般先设出几何图形中的未知数，结合函数的图象用含未知数的代数式，表示出几何图形和图象的交点坐标，再有函数解析式和几何图形的性质，写出含未知数或者待定字母系数的方程（组）。
坐标系中的图形涉及面积问题最基本的图形为三角形，解答核心是要把点坐标转化为线段长度，结合图像并适当运用割补法。
反比例函数与几何图形结合专题例1・如图1,点A （1, 6）和点M（m, n）都在反比例函数y =（k>0）的图象上.（1）求反比例函数的解析式；（2）当m=3时，求直线AM的解析式，并求出AAOM的面积；（3）如图2,当m>l时，过点M作MP丄x轴，垂足为P,过点A作AB丄y轴，垂足为B,试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由.图1 图2例2. （2015徐州26）如图,在矩形OABC中，04=3, 0S5,分别以OA, 0C所在直线为x轴、y 轴,建立平面直角坐标系•〃是边①上的一个动点（不与重合），反比例函数y =¥（£>0）的图象经过点刀且与边BA交于点£连接眩（1）连接塑若△沏的面积为2,则扫___________ ;（2）连接以,％与以是否平行？请说明理由；（3）是否存在点2使得点〃关于加的对称点在％上？若存在，求出点〃的坐标；若不存在，请说明理由.针对演练1. （2015柳州8分）如图，在矩形OABC中，04=3, OC=2, F是AB上的一个动点（F不与仏B重合）・过点F的反比例函数尸*舗>0）的图象与〃C边x交于点E・（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当R为何值时，△EE4的面积最大，最大面积是多少？请直接写出点F 的坐标，若不存在，请说明理由.2、(2014苏州26题)如图，已知函数y 二土 (x>0)的图象经过点A0,点A 的坐标为(1,2)・y=kX丿 x过点A 作A 〃〃丿轴孙B=1 (点B 位于点A 的下方)，过点〃作BD//x 轴，与函数的图象交于 点D,过点B 作BE 丄BD,垂足E 在线段BD 上，连接OB 、OD.(1) 求△OBD 的面积； (2) 当BE=-AB 时，求BE 的长.23. (2014徐州27题)如图，将透明三角形纸片PAB 的直角顶点P 落在第四象限，顶点A 、 B 分别落在反比例函数y 令图象的两支上，且PB 丄x 轴于点C, 丄y 轴于点D, AB 分别与轴轴相交于点E 、F,已知B (1, 3).(1) k= _____ ； (2) 试说明AE=BF ；21(3) 当四边形ABCD 的面积为才时，求点P 的坐标.4. 已知：在矩形A0BC 中，OB=4, OA=3,分別以OB, 0A 所在直线为x 轴和y 轴，建立如 图所示的平面直角坐标系.F 是BC 上的一个动点(不与B 、C 重合)，过F 点的反比例函数 (k>0)的图象与AC 边交于点E.(1) 求证：求证：AE*AO=BF*BO(2) 记S=S AOEF -SA EC F ，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？(3) 是否存在这样的点F,使得将ACEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在0B±?若存在,O BJb=6\ mk+b=0 '解得:X--m设直线AM 的解析式为：y=ax+c, 把点（「6力M （m, §〉代入得：m2+c=6 v6 ,am + c=— 、 m 解得a=--m6■ k=a=-—m・•・直线BP 与直线AM 的位蚤关系是BP//M.im试貂浙：⑴把A （l, 6）代入尸-，求出k 即可般果；X（2）先艇K 鯉标,脇定系数法即可求岀宜线皿的解価;再求出餓皿争轴阪点坐的面枳锄ABOH 的面枳减去△血和△（>的面舫⑴令>1时，用｛錠系数法枇直线册和皿號数k 、a 的值即可籬位跌系. 试瓣柚⑴把A ⑴6）代入衛6+：.k=6,・•・反阳邂数的跚式为：J ；X（2）如鹼示：当JF3叭n=-=2,AM (3, 2),根据题意得： 卩+ b=6 〔3上+方=2 解得：k=-2, b=8,•••直线AM 的解析式为：y=-2BB;当 y=O 时，x 二4,・•・直线AM 与x 轴的交点为N （4, 0）,•••△AOM 的面积二梯形ABON 的面积-ZkAOB 的面积-△OMN 的面积=-（1+4） X6-- X1X6-- X4X2=8;2 2 2（3）当M>1时，BP"AM;理由如下：根据题意得：P （町 0）, M （m, —）, B <0, 6）,W设直线BP 的解析式为:y=kx+b, 设直线刖的瀚式为：y=kx +bj针对演练1 （1）解：・・•在矩形OABC 中,0A=3, OC=2,・・・3（3, 2）,TF 为A3的屮点…・・F （3, 1）, •••点F 在反比例函数y =—伙＞0）的图象上n x3•••该函数的解析式为y= -a ＞0）.x（2）解：由题意知& F 两点坐标分别为E （局，2）, F （3,切，S L AF，BE =丄 X H （3 _丄約=丄 k-—k 2= -—伙 2_6£+9_9） = _ 丄伙一3）2+- 回 22 3 2 2 12 12 12 4・••当k=3时，S 有最人值，即此时网的面积最人，最人面积为4k24.解：由题意得尸一（兀＞0）的图彖经过点A （1, 2）,・・M=2, ・・・）=—•XX9：AC//y 轴，AC=1, ・・・C 点的坐标为（1, 1） ...................................... （2分）又9：CD//x 轴，点D 在函数图彖上，・・・£＞点的坐标为（2, 1）,:•S HOCD = — X 1 X 1=— ............................................ （4 分）2 2（2）【思路分析】根据BE 的长，对得8点的纵坐标，根据点在函数图彖上，可得〃心横坐标，根据两点间的距离公式，可得答案. 解：*：BE=-AC, ：.BE=-,又•:BE 丄CD,22 13 ・••点B 的纵处标为一+1二一， .............. （6分）224又・・•点B 在函数图象上，.••点B 的横坐标是・ 4 1 • • CE=— -1=—.3 3••• ^R4B= "DC. :.DC//AB ・又・：BC 〃DF ・AD//CE.化四边形ADCE 和四边形BCDF 都是平行四边形. ".DC=AE 9 DC=BF ・•••27. (1)3：(2)设/ S,詁则 Q <0, 2〉, P <1,言)，c (U 0)./.B4= 1—m, PB = 3——9 PD= 1, PC=TH -PD 1 PC ~ m 1 l-m f PB 一 ~ =T^ 3-万• PA PD PC' • p 9 • •^^PDCAE —BF.••• △"占和都是直角三角形，10分加）（38分 9分 2X1X (• ■ S 心• PB3 m= —2>P—2>.24.证明：⑴TE, F 点都在反比例函数图象上，“二根据反比例函数的性质得岀，净=匕心.•.AE ・AO=BF ・BO;卩k k I 1* t(2)由题意知：E 、F 两点坐标分别为 E ( 3,3)、F (4, 4 ) S AECF =】EC ・CF= 2 (4-3) (3-4 )S AEDF=S 矩影AOBC —S AAOE —S AECI ；= 12— - k — k —S AECI -当k=6时，S 有最大值3・21(3)存在符合条件的点F,它的坐标为(4, 32 )\7,口 J ,=、口 丄口 j 八 j > 壮仅 I > u J It- 壬旦 J J 窃、2,卅」1氏据折卷性质、相似三角形、勾股定理有以下几个关系可以考虑：3 设 BC'=a, BF=b,则 C'F=CF=4-2>. “ ・••点的坐标 F (6, b), E (1.5b, 4). aEC ,=EC=6-1.5d, v•••在 RtACBF 中，a :+b 2 =(4-d)2 ①心•••RtAEGC 与sRtACBF, a .・.(6-1.5^)： (4-b) =4： a= (b ②，“解得：a = £,"芈，a3 9 ・・・F 点的坐标为(6,岁)・“91 kS=S AOEF —S AECF = 12—k —2 S AECF = 12—k —2X — (4— 3 )(3-s= 12 k 2+k,。
反比例函数与几何图形
作者：肖俊云段其中
来源：《新课程·中学》2019年第08期
摘要：在全国各地的数学中考试卷中，经常出现反比例函数与几何图形相结合的试题，可谓精彩纷呈，各具特色.试图从孝感市近三年的考题入手，谈谈解题心得.
关键词：初中数学;反比例函数;几何图形
多年来，湖北省孝感市连续考了一种类型的试题——反比例函数与几何图形.它综合考查了学生的图形观察、思路分析、作辅助线及计算等能力，具有一定的难度，受到广大师生的高度关注.下面就孝感市近三年的这类中考试题作一番剖析，希望能够开拓思路，揭示真谛.
由以上三道试题的解法，可以发现：
1.一定要结合图形的性质.可作恰当的辅助线，利用基本图形，或证全等，或证相似，发掘图形性质，并应用性质.
2.一定要用函数图象上点的坐标满足函数解析式.利用它建立方程（组），计算所设点的坐标.
总之，数形结合是关键.平时多练，积累經验，提升能力，中考时一定能战而胜之.
编辑高琼。
专题一反比例函数的综合——2023届中考数学热点题型突破题型1 反比例函数与一次函数图象交点问题1.已知正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，若点，则点B的坐标为( )A. B. C. D.2.如图，在平面直角坐标系中，点，点B与点A关于直线对称，过点B 作反比例函数的图像.(1)____________；(2)若对于直线，总有y随x的增大而增大，设直线与双曲线交点的横坐标为t，则t的取值范围是___________.3.如图, 一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A,B两点, 其中点A的坐标为, 点B 的坐标为.(1)根据图象, 直接写出满足的x的取值范围;(2)求这两个函数的表达式;(3)点P在线段AB上, 连接OA,OB,OP, 恰有, 求点P 的坐标.题型2 反比例函数与一次函数图形面积问题4.如图,P是反比例函数的图象上一点,过点P分别作x轴,y轴的平行线,交反比例函数的图象于点M,N,则的面积为( )A.1B.1.2C.2D.2.45.如图, 一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A 和点B, 与反比例函数的图象在第一象限内交于点C,轴, 轴, 垂足分别为点D,E. 当矩形ODCE与的面积相等时, k的值为___________.6.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数(m≠0)的图象相交于A,B两点,过点A作AD⊥x轴于点D, y=mxAO=5,,B点的坐标为(―6,n)（1）求一次函数和反比例函数的表达式;（2）求△AOB的面积;（3）P是y轴上一点,且△AOP是等腰三角形,请直接写出所有符合条件的P点坐标.题型3 反比例函数与几何图形结合7.如图, 点A在双曲线上, 连接 AO并延长, 交双曲线于点C. 以AC为对角线作菱形ABCD, 点B,D在反比例函数的图象上, 且, 则k的值是( )A. B. C. D. -18.如图，已知，在矩形AOBC中，，，分别以OB、OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点(不与B、C重合)，过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E，将沿EF对折后，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为___________.9.如图, 在平面直角坐标系中, 直线与反比例函数的图象交于点,, 过点 A作交反比例函数图象于另一点D, 过点B作交反比例函数图象于另一点C, 连接CD.(1)求直线AB的解析式;(2)判断四边形 ABCD的形状, 并说明理由.答案以及解析1.答案：A解析：把点代入，得，又正比例函数与反比例函数交点关于原点对称，则.2.答案：(1)12(2)解析：(1)点，点B与点A关于点线对称，，将代入，解得，.(2)对于直线，总有y随x的增大而增大，，，当时，，直线过定点，把代入，得，解得，故.3.答案： (1) 或.(2)(3)解析： (1) 由题图可知, 当或时, 一次函数的图象在反比例函数的图象的上方，当或时, 满足.(2) 点在反比例函数的图象上, , 解得,故反比例函数的表达式为.点在反比例函数的图象上, ,点B的坐标为.将点 A,B的坐标分别代入, 得解得故一次函数的表达式为.(3)设直线与x 轴交于点C, 当时, ，,点C的坐标为.,.,.点P在线段AB上,设点P 的坐标为.,,解得，,故点P的坐标为.4.答案：A解析:设,则,,,,的面积为:.故选:A.5.答案：2解析：对于一次函数, 当时, , 当时, ,即, 故.结合反比例函数中的几何意义, 可知.，, 解得，(舍去).6.答案：（1）（2）9（3）P点坐标为:(0,8)或(0,5)或(0,―5)或(0,258)..解析:（1）(1)AO=5,AD=3,设:OD=3a,AD=4a,则AD=5a=5,解得:a=1,故点A(3,4),则m=3×4=12,故反比例函数的表达式为:y=12x,故B(―6,―2),将点A,B的坐标代入一次函数表达式y=kx+b得:,解得:k=23b=2,故一次函数的表达式为:y=23x+2;（2）设一次函数交y轴于点M(0,2),△AOB的面积;（3）设点，而点A ,O 的坐标分别为:,,AP 2=9+(m ―4)2,,PO 2=m 2,当时,解得:或0(舍去0);当时,同理可得:;当时,同理可得:m =258;综上,P 点坐标为:或或或(0,258)..7.答案：C解析：如图, 过点A 作 轴于点F ,过点B 作 轴于点E , 则，四边形 ABCD 是菱 形, ,. 又，，，，. 反比例函数的图象位于第二、四象限,，.8.答案：解析：解：如图，过点E 作轴于点M ，将沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上的D 点处，，，，，而，，，；又，，，，；，而，，在中，，即，解得，故答案为.9.答案： (1)(2)四边形ABCD是矩形，理由见解析解析：(1)点在反比例函数的图象上,,反比例函数的解析式为.点在反比例函数的图象上,,点.将,分别代入, 得解得直线AB的解析式为.(2) 四边形ABCD是矩形.理由如下:, 直线AB的解析式为, 易知可设直线AD的解析式为.将代入, 得,，直线AD的解析式为.令, 解得，,点，.由, 点, 易得直线BC的解析式为,令, 解得，,点，,.又,四边形ABCD 是平行四边形.又,四边形ABCD 是矩形.。
图像共存
1、函数y x m =+与(0)m
y m x
=
≠在同一坐标系内的图象可以是（ ）
x
y
O A ． x
y
O B ． x
y
O C ．
y
O D ．
2、在同一直角坐标系中，函数k kx y +-=与)0k (x
k
y ≠=
的图象大致是（ ）
A.
B. C. D. 练习：在同一坐标系中，y ＝(m －1)x 与x
m
y -=的图象的大致位置不可能的是( )．
一\反比例函数与直线 （1）与面积相关
1.如图,已知一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=8
x
-的图象交于A 、B 两点, 且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是-2,求: (1)一次函数的解析式; (2)△AOB 的面积.
2.如图，直线22
1
+=
x y 分别交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，P 是该直线上在第一象限内一点，PB ⊥x 轴，B 为垂足，且△ABP 的面积为9。
（1）求点P 的坐标；（2）设点M 与点P 在同一反比例函数图像上，且点M 在直线PB 右侧，作MN ⊥x 轴，N 为垂足，求：当△BMN ∽△CAO 时，点M 的坐标。
O
A
M
x B
y
O
y
x
A
C
P
B
D
C
A
x
y O
3.已知：如图，双曲线5
y x
=
在第一象限的一支上有一点C （1，5），过点C 的直线y=-kx+b （k>0）与x 轴交于点A （a ，0）。
（1）求点A 的横坐标a 与k 的函数关系式；（2）当该直线与双曲线在第一象限的另一交点D 的横坐标是9时，求△COA 的面积。
练习:
1.如图，已知双曲线k
y x
=
，经过点D （6，1），点C 是双曲线第三象限上的动点，过C 作CA ⊥x 轴，过D 作DB ⊥y 轴，垂足分别为A ，B ，连接AB ，BC ． （1）求k 的值；
（2）若△BCD 的面积为12，求直线CD 的解析式； （3）判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．
2.直线b kx y +=与反比例函数x
k y '
=
（x ＜0）的图象相交于点A 、点B ，与x 轴
交于点C ，其中点A 的坐标为（－2，4），点B 的横坐标为－4.
（1）试确定反比例函数的关系式； （2）求△AOC 的面积.
（2）与函数值的大小比较相关
已知(4)A n -，，(24)B -，是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数m
y x
=的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积； (3)求方程0=-
+x m
b kx 的解（请直接写出答案）
； (4)求不等式0<-+x
m
b kx 的解集（请直接写出答案）
二\反比例函数与三角形（等腰，等边，等腰直角三角形相关）
3如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在)2
1,1(C 处，两直角边分别 与y x ,轴平行，纸板的另两个顶点B A ,恰好是直线2
9
+
=kx y 与双曲线 )0(>=
m x
m
y 的交点．求m 和k 的值；
4.如图，等边△OAB 和等边△AFE 的一边都在x 轴上，双曲线y ＝(k ＞0)经过边OB 的中点C 和AE 的中点D ．已知等边△OAB 的边长为4． (1)求该双曲线所表示的函数解析式； (2)求等边△AEF 的边长．
y
x
O
N
M C A
B
P
练习:
如图，()111P ,x y ，()222P ,x y ，……()P ,n n n x y 在函数)4
0y x x
=
>的图像上，11P OA ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，……1P A A n n n -∆都是等腰直角三角形，斜边1OA 、12A A 、23A A ，……
1A A n n -都在x 轴上
⑴求1P 的坐标 ⑵求12310y y y y ++++的值
y
x
P 1
P 2
P 3A 3
A 2A 1
O
三\反比例函数与四边形结合（与矩形，正方形相关）
5. 、如图所示，矩形ABCD 中，2AB =，3AD =，P 为BC 上与B 、C 不重合的任意一点，设PA x =，D 到AP 的距离为y ，求y 与x 的函数关系式，并指出函数类型．
A
P E
D
B
C
6. .已知：如图，正比例函数y ax =的图象与反比例函数k
y x
=
的图象交于点()32A ，． （1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ （3）()M m n ，是反比例函数图象上的一动点，其中03m <<，过点M 作直线MN x ∥轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC y ∥轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形
OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．
E
D
B
A
C x
y
O
y
x O
A
D M
C B
7、□ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A （－4，0），B （2，0），C （3，3），反比例函数y ＝
x
m
的图象经过点C 。
（1）求此反比例函数的解析式；
（2）将□ABCD 沿x 轴翻折得到□AD /C /B ，请你通过计算说明点D /
在双曲线上；
（3）请你画出△AD /
C ，并求出它的面积。
8如图，已知矩形OABC 中，OA=2，AB=4，双曲线k
y x
=
（k ＞0）与矩形两边AB 、BC 分别交于E 、F 。
（1）若E 是AB 的中点，求F 点的坐标；
（2）若将△BEF 沿直线EF 对折，B 点落在x 轴上的D 点，作EG ⊥OC ，垂足为G ，证明△EGD
∽△DCF ，并求k 的值。
练习:
已知：如图，点（1，3）在函数(0)k
y k x
=
≠的图象上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点，函数(0)k y x x
=
的图象又经过A 、E 两点，且E
点的横坐标为m 。
（1）求k 的值；（2）求C 点的坐标（用m 的代数式表示）；（3）当∠ABD=45°时，求m 的值。
