最不枯燥的排列组合学习!(信息学奥赛基础)

全国青少年信息学奥林匹克联赛排序算法一、插入排序(Insertion Sort)1. 基本思想：每次将一个待排序的数据元素，插入到前面已经排好序的数列中的适当位置，使数列依然有序；直到待排序数据元素全部插入完为止。

2. 排序过程：【示例】：[初始关键字] [49] 38 65 97 76 13 27 49J=2(38) [38 49] 65 97 76 13 27 49J=3(65) [38 49 65] 97 76 13 27 49J=4(97) [38 49 65 97] 76 13 27 49J=5(76) [38 49 65 76 97] 13 27 49J=6(13) [13 38 49 65 76 97] 27 49J=7(27) [13 27 38 49 65 76 97] 49J=8(49) [13 27 38 49 49 65 76 97]Procedure InsertSort(Var R : FileType);//对R[1..N]按递增序进行插入排序, R[0]是监视哨//Beginfor I := 2 To N Do //依次插入R[2],...,R[n]//beginR[0] := R[I]; J := I - 1;While R[0] < R[J] Do //查找R[I]的插入位置//beginR[J+1] := R[J]; //将大于R[I]的元素后移//J := J - 1endR[J + 1] := R[0] ; //插入R[I] //endEnd; //InsertSort //二、选择排序1. 基本思想：每一趟从待排序的数据元素中选出最小（或最大）的一个元素，顺序放在已排好序的数列的最后，直到全部待排序的数据元素排完。

2. 排序过程：【示例】：初始关键字 [49 38 65 97 76 13 27 49]第一趟排序后 13 ［38 65 97 76 49 27 49]第二趟排序后 13 27 ［65 97 76 49 38 49]第三趟排序后 13 27 38 [97 76 49 65 49]第四趟排序后 13 27 38 49 [49 97 65 76]第五趟排序后 13 27 38 49 49 [97 97 76]第六趟排序后 13 27 38 49 49 76 [76 97]第七趟排序后 13 27 38 49 49 76 76 [ 97]最后排序结果 13 27 38 49 49 76 76 97Procedure SelectSort(Var R : FileType); //对R[1..N]进行直接选择排序//Beginfor I := 1 To N - 1 Do //做N - 1趟选择排序//beginK := I;For J := I + 1 To N Do //在当前无序区R[I..N]中选最小的元素R[K]//beginIf R[J] < R[K] Then K := Jend;If K <> I Then //交换R[I]和R[K] //begin Temp := R[I]; R[I] := R[K]; R[K] := Temp; end;endEnd. //SelectSort //三、冒泡排序(BubbleSort)1. 基本思想：两两比较待排序数据元素的大小，发现两个数据元素的次序相反时即进行交换，直到没有反序的数据元素为止。

排列与组合课题：排列与组合目标：知识目标：如何利用程序就各种排列和组合能力目标：排列组合的运用重点：求出n的全排列和从m中取n个的组合难点：算法的理解板书示意：1）求全排列的算法2）求组合数的算法授课过程：例5：有3个人排成一个队列，问有多少种排对的方法，输出每一种方案？分析：如果我们将3个人进行编号，分别为1、2、3，显然我们列出所有的排列，123，132，213，231，312，321共六种。

可用循环枚举各种情况，参考程序：program exam5;vari,j,k:integer;beginfor I:=1 to 3 dofor j:=1 to 3 dofor k:=1 to 3 doif (i+j+k=6) and (i*j*k=6) then writeln(i,j,k);end.上述情况非常简单，因为只有3个人，但当有N个人时怎么办？显然用循环不能解决问题。

下面我们介绍一种求全排列的方法。

设当前排列为P1 P2 ,…,P n，则下一个排列可按如下算法完成：1．求满足关系式P j-1 < P j的J的最大值，设为I，即I=max{j | P j-1 < P j , j = 2..n}2．求满足关系式P i -1 < P k的k的最大值，设为j，即J=max{K | P i-1 < P k , k = 1..n}3．P i -1与P j互换得 (P) = P1 P2 ,…,P n4．(P) = P1 P2 ,…, P i-1 P i,…, P n部分的顺序逆转，得P1 P2 ,…, P i-1 P n P n-1,…, P i便是下一个排列。

例：设P1 P2 P3 P4 =34211．I= max{j | P j-1 < P j , j = 2..n} = 22．J=max{K | P i-1 < P k , k =1..n} = 23．P1与P2交换得到43214．4321的321部分逆转得到4123即是3421的下一个排列。

信息学竞赛中问题求解常见题分析排列组合问题一、知识点：1． 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 。

种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1+m 2+…+m n 。

种不同的方法。

2． 分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1*m 2*…m n 。

种不同的方法。

3． 排列的概念：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

4． 排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示。

5． 排列数公式：m n A =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(m ，n ∈N ，m ≤n)6． 阶乘：n!表示正整数l 到n 的连乘积，叫做n 的阶乘规定0!=l 。

7． 排列数的另一个计算公式：)!(!m n n A m n -= 8． 组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．9． 组合数的概念：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号mn C 表示．10． 组合数公式：!)1)...(2)(1(m m n n n n A A C m m m n m n +---==，或)!(!!m n m n C m n -= (n ，m ∈N ，且m ≤n)11． 组合数的性质1：m n n m n C C -=，规定：0n C ：=1； 2：11-++=m n m n m n C C C 。

教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的n 1m 2m 方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：n n m 12nN m m m =+++ 种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，n 1m 2m …，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：n n m 12nN m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

信奥排列组合题是信息学奥林匹克竞赛（信奥赛）中涉及
排列组合知识的题目。

以下是一些例子：
1. 有五个人排成一排，要求其中甲和乙必须相邻，那么
不同的排法有多少种？
2. 有七个人排成一排，要求甲和乙不能相邻，那么不同
的排法有多少种？
3. 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方
格里，每格填一个数，要求每个方格的标号与所填数字均不
相同，那么有多少种填法？
4. 有四封信需要投入五个信箱中，问有多少种投法？
5. 七个人排成一排照相，若要求甲、乙、丙三人不相邻，有多少种不同的排法？
6. 有十个三好学生名额需要分到七个班级中，每个班级
至少一个名额，那么有多少种不同的分配方案？
以上问题都需要应用排列组合的知识进行解答。

在解决这
些问题时，通常需要明确问题的限制条件，并根据限制条件
选择合适的排列组合方法进行计算。

最不枯燥的排列组合学习!（信息学奥赛基础）组合数学>最不枯燥的排列组合学习！尽管我在认真，刷题速度和学习进度还是要被大佬们甩好几条街……忙着刷题后期肯定没办法写总结，就只好一边学习一边填坑啦啦啦。

^上面的都是废话^—————————————————————————————一、什么是组合数学（完全没用，建议跳）对于很多计数类问题，由于方案数过于巨大，我们无法用搜索的方式来解决问题因此我们需要对计数类问题进行一些优化这些优化就是组合数学研究的内容：（没错就是研究计数类问题）————————————————————二、基本原理加法原理：如果完成一件事有两类方法，第一类方法有m1种方案，第二类方法有m2种方案，那么完成这件事有m1+m2种方案将方案分类，类类相加，并且要不重不漏乘法原理：如果完成一件事有两步，第一步有m1种方案，第二步方法有m2种方案，那么完成这件事有m1*m2种方案将方案分步，步步相乘。

（这两种原理都好说，稍加理解立即明白，以下的知识几乎都要基于这两种原理咕～）三、排列与组合：（弱小的主角）排列：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列从n个数中取出m个数进行排列的方案数用符号A(nm)表示公式：A(nm)=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)=n!/(n-m)!（自己理解：第一个数字有n种选择，第二个数字有（n-1）中选择，以此类推，然后相乘）组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数从n个数中取出m个数的方案数用符号C(nm)表示公式：C(nm)=A(nm)/A(mm)=n!/(m!(n-m)!)（自己理解：每一种组合有A（m，m）种排列，所以每一种组合被这A（m，m）中排列算重了A（m，m）次，除掉就好啦）四、定理一箩筐（这东西才是组合数学（死亡）的真谛啊）欧几里得算法：这东西好说。

信息学竞赛中的组合数学问题与解决方法组合数学是一门研究离散结构及其性质的数学学科，它在信息学竞赛中扮演着重要角色。

组合数学问题在竞赛中常常出现，并且需要灵活运用数学原理和方法来解决。

本文将探讨信息学竞赛中的组合数学问题及其解决方法，帮助读者提升解题能力。

一、全排列与组合的概念及性质在组合数学中，全排列（Permutation）和组合（Combination）是最基本的概念。

全排列指的是将一组元素按照一定规则进行排列，而组合则是从一组元素中选择出若干元素的集合。

全排列的个数可以通过求解阶乘来得到，例如n个元素的全排列个数为n!（n的阶乘）。

组合的个数则可以通过组合数公式来计算，即C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数。

了解全排列和组合的概念及性质有助于我们更好地解决相关问题。

二、排列组合在竞赛中的应用在信息学竞赛中，排列组合问题常常涉及到选择、排序、计数等方面。

下面将介绍几个常见的组合数学问题及其解决方法。

1. 选取问题选取问题是组合数学中的一类常见问题，涉及在给定集合中选择符合条件的元素。

例如，给定一个集合{1, 2, 3, ..., n}，我们需要从中选出m个元素，并且满足某种特定条件。

解决这类问题时，可以运用组合数公式进行计算，同时结合条件进行筛选。

2. 重复选取问题重复选取问题是指从给定的元素集合中进行有放回地选择。

在这类问题中，元素可以被选择多次。

解决重复选取问题时，可以利用全排列的思想，根据元素的重复次数进行计算。

3. 排列问题排列问题是指将一组元素按照一定规则进行排序。

在信息学竞赛中，常见的排列问题包括全排列和部分排列。

解决排列问题时，可以通过递归、动态规划等算法设计方法。

三、解决组合数学问题的常用技巧与策略除了掌握基本的概念和方法外，还需要掌握一些常用的解题技巧和策略，以提高解题效率。

1. 计数技巧在解决组合数学问题时，经常需要统计满足条件的排列组合的个数。

第一章算法基础篇学习过程序设计的人对算法这个词并不陌生，从广义上讲，算法是指为解决一个问题而采用的方法和步骤；从程序计设的角度上讲，算法是指利用程序设计语言的各种语句，为解决特定的问题而构成的各种逻辑组合。

我们在编写程序的过程就是在实施某种算法，因此程序设计的实质就是用计算机语言构造解决问题的算法。

算法是程序设计的灵魂，一个好的程序必须有一个好的算法，一个没有有效算法的程序就像一个没有灵魂的躯体。

算法具有五个特征：1、有穷性：一个算法应包括有限的运算步骤，执行了有穷的操作后将终止运算，不能是个死循环；2、确切性：算法的每一步骤必须有确切的定义，读者理解时不会产生二义性。

并且，在任何条件下，算法只有唯一的一条执行路径，对于相同的输入只能得出相同的输出。

如在算法中不允许有“计算8/0”或“将7或8与x相加”之类的运算，因为前者的计算结果是什么不清楚，而后者对于两种可能的运算应做哪一种也不知道。

3、输入：一个算法有0个或多个输入，以描述运算对象的初始情况，所谓0个输入是指算法本身定义了初始条件。

如在5个数中找出最小的数，则有5个输入。

4、输出：一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果，这是算法设计的目的。

它们是同输入有着某种特定关系的量。

如上述在5个数中找出最小的数，它的出输出为最小的数。

如果一个程序没有输出，这个程序就毫无意义了；5、可行性：算法中每一步运算应该是可行的。

算法原则上能够精确地运行，而且人能用笔和纸做有限次运算后即可完成。

如何来评价一个算法的好坏呢？主要是从两个方面：一是看算法运行所占用的时间；我们用时间复杂度来衡量，例如：在以下3个程序中，（1）x:=x+1（2）for i:=1 to n dox:=x+1（3）for i:=1 to n dofor j:=1 to n dox:=x+1含基本操作“x增1”的语句x:=x+1的出现的次数分别为1，n和n2则这三个程序段的时间复杂度分别为O（1），O（n），O（n2），分别称为常量阶、线性阶和平方阶。

排列组合基础知识讲解介绍排列组合是一种数学领域中的基础概念，涉及到集合中元素的不同排列和组合方式。

在许多领域中都有广泛的应用，例如组合数学、概率论、统计学等。

本文将对排列组合的基础知识进行讲解，包括排列和组合的定义、计算公式、性质等内容。

排列的概念排列是从给定元素中按照一定顺序抽取一部分元素，形成一个序列的过程。

在排列中，元素的顺序是重要的。

如果从n个元素中选取r个元素进行排列，记作P(n, r)，表示排列的种类数目。

排列的计算公式为：$$P(n, r) = \\frac{n!}{(n-r)!}$$其中，n! 表示n的阶乘，即n(n-1)(n-2)…2*1。

例如，从1、2、3三个元素中选取2个元素进行排列，可以得到以下6种排列：(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)、(3,2)。

组合的概念组合是从给定元素中选择一部分元素，不考虑元素的顺序，形成一个集合的过程。

在组合中，元素的顺序不重要。

如果从n个元素中选取r个元素进行组合，记作C(n, r)，表示组合的种类数目。

组合的计算公式为：$$C(n, r) = \\frac{n!}{r!(n-r)!}$$例如，从1、2、3三个元素中选取2个元素进行组合，可以得到以下3种组合：{1,2}、{1,3}、{2,3}。

排列组合的性质1.排列和组合的区别：–排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序。

–排列中的元素不重复，组合中的元素可重复。

2.排列和组合的计算公式：–排列的计算公式中分子为n!，组合的计算公式中分子也为n!。

–排列的计算公式中分母为(n-r)!，组合的计算公式中分母为r!(n-r)!。

3.特殊情况下的排列和组合：–当r=0时，任意元素的组合为1种，排列为0种。

–当r=n时，任意取n个元素的组合为1种，排列为n!种。

应用实例排列组合在实际中有许多应用，下面以几个例子说明其应用：1.密码学：在密码学中，排列和组合可用于生成密码、破解密码等。