等边三角形的性质与判定

13.3.2等边三角形
第1课时等边三角形的性质与判定
一、新课导入
1.导入课题：
在等腰三角形中，如果底边等于腰长，那么这个等腰三角形又叫什么三角形呢？
2.学习目标：
(1)知道等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系.
(2)能叙述等边三角形的性质.
(3)熟练地运用等边三角形的性质解决问题.
3.学习重、难点：
重点：等边三角形的性质和判定方法.
难点：等边三角形的判定的证明.
二、分层学习
1.自学指导：
(1)自学内容：探究等边三角形的性质.
(2)自学时间：5分钟.
(3)自学方法：注意观察、猜想、证明及归纳总结.
(4)探究提纲：
①如图，在△ABC中，如果AB=AC，那么它是等腰三角形，如果AB=AC=BC，那么这个三角形是等边三角形.
②等边三角形一定是等腰三角形吗？等腰三角形一定是等边三角形吗？
等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
③由②的判断结果，你认为等边三角形是怎样的等腰三角形？
等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形.
④在△ABC中，由AB=AC=BC，你能得出等边三角形三个内角的度数吗？试将结论用文字表述出来.
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
⑤在△ABC中，由∠A=∠B=∠C，你能得出三边的关系吗？试将结论用文字表述出来.
三个角都相等的三角形是等边三角形.
⑥如图，△ABC中，AB=AC，
a.若∠A=60°，则∠B=60°，∠C=60°，
所以△ABC是等边三角形；
b.若∠B=60°，则∠A=60°，∠C=60°，
所以△ABC是等边三角形；
c.若∠C=60°，则∠A=60°，∠B=60°，所以△ABC是等边三角形.
d.综合a、b、c你能得出什么结论？试将结论用文字表述出来.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
2.自学：学生结合探究提纲进行自主探究.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：了解学生是否能通过等腰三角形的性质去推断等边三角形的性质.
②差异指导：引导学生回忆等腰三角形的知识，并运用等腰三角形的知识，去推导等边三角形的性质，运用等腰三角形的判定去推导等边三角形的判定.
(2)生助生：学生合作交流帮助完成等边三角形性质和判定的探究.
4.强化：
(1)交流学习成果：小组交流，展示成果.
(2)总结：①等边三角形与等腰三角形的联系与区别.②等边三角形的性质及判定.
1.自学指导：
(1)自学内容：教材第80页例4.
(2)自学时间：5分钟.
(3)自学方法：分析此题证明△ADE是等边三角形所采用的方法，还可思考有无其它方法解决.
(4)自学参考提纲：
①判定一个三角形是等边三角形，按角判定，需证三个角都相等.
②判定一个三角形是等边三角形，按边、角判定，需证有两边相等和有一个角等于60°.
③例4中，证△ADE是等边三角形，教材的思路是：证：∠A=∠ADE=∠AED
还可以证：∠A=60°和AD=AE.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：了解学生证明△ADE是等边三角形的思路方法是否正确.
②差异指导：引导学生复习等边三角形的判定方法，帮助学生从已知条件中寻求满足判定条件的条件.
(2)生助生：学生相互交流帮助.
4.强化：
(1)例4中证明△ADE是等边三角形，除课本介绍的方法外，还可以先证△ADE 有一个角是60°，再证明它是等腰三角形的方法证△ADE是等边三角形.
(2)练习：
①等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？
等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴.
②如图，△ABC中，AB=AC=BC，∠A、∠B、∠C的平分线相交于O，则图中共有4个等腰三角形.
三、评价
1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生交流学习收获和学习体会.
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果及不足进行点评.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:
本课时学习特殊的等腰三角形——等边三角形，可让学生先自主探索再合作交流，小组内、小组间充分交流后概括所得结论，这既巩固等腰三角形的应用知识，又类比探索等腰三角形性质和判定定理的方法，加深了对等腰三角形与等边三角形联系与区别的理解.
一、基础巩固（第1、2、3、4每题10分，第5题20分，共60分）
1.等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形.
2.等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（C）
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
3.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有（D）
A.①②③
B.①②④
C.①③
D.①②③④
4.如果一个等腰三角形顶角的补角等于120°，那么这个等腰三角形一定是等边三角形.
5.已知：如右图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，并且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ.求∠BAC的大小．
解：∵PB=PQ=QC=AP=AQ，
∴∠B=∠BAP，△APQ是等边三角形.∠C=∠CAQ.
∴∠B=1
2
∠APQ=30°，∠C=
1
2
∠AQP=30°.
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°.
二、综合应用（20分）
6.如图，在等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE=∠CDF=60°，图中有哪些与BD相等的线段？
解：AE，DE，BE，AF，CF，DF，DC.
三、拓展延伸（20分）
7.如图，在等边三角形ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OE∥AB，
OF∥AC，试证明BE=EF=FC.
证明：在等边三角形ABC中，∠ABC=∠ACB=60°.
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠ABO=∠OBC=30°，∠ACO=∠OCE=30°，
又OE∥AB，OF∥AC，∴∠BOE=∠ABO=∠OBC=30°，∠COF=∠ACO=∠OCB=30°.
∵BE=OE，CF=OF，∠OEF=2∠OBE=60°，∠OFE=2∠OCF=60°.
∴△OEF是等边三角形.
∴OE=EF=OF. ∴BE=EF=FC.。